(完整版)极限与连续

第二章 极限与连续

本章教学内容

本章介绍了数列极限与函数极限的概念、基本知识和基本理论以及函数连续性的基本知识．

微积分是一门以变量（函数等）作为研究对象、以极限方法作为基本研究手段的数学学科，无论是微分学、积分学、还是无穷级数问题都需以极限为工具进行研究，整个微积分学就是建立在极限论的基础之上的．

连续性是函数的一个重要的分析性质，本章运用极限引入函数连续性的概念．

在微积分学中讨论的函数，主要是连续型的函数，它有许多良好的性质，它是本课程的主要研究对象．

教学思路

1． 学习微积分的一个直接的重要的目的是掌握研究函数的微观性态和宏观性态的方法．这一点无论对学术研究能力的培养还是对研究生入学应试，都是非常重要的．当然，学习微积分的目的还有其更重要的另外一面，那就是培养和训练思维与思考问题的模式，掌握学习未知世界的方法与技巧，不管你将来是否从事数学及其相关学科，如能达到上述境界，则必会长期受益．

2．极限的思想、概念与方法是分析数学问题的基本工具和语言．数列极限和函数极限都是高等数学重要的基础，但相对而言，前者是训练和培养极限思维模式的基础．对数列极限的有关概念和方法，站到较高台阶上去思考，将有助于全部微积分内容的学习．因此，极限的基本概念要讲透，使学生能接受并理解其深刻的内涵．要使学生会熟练地求极限．可让学生适当地多做一些练习题．

3．用“N -ε”、“δε-”语言定义极限不能省略，不要求学生会做有关的习题，但要领会，以便理解有关的定理的证明．

4．函数的连续性作为承上（极限理论与方法）启下（微分、积分概念）的重要环节，它是用极限等工具研究函数局部性质与整体性质的开始．函数在一点处连续的概念描述了函数的局部性质，而在一个区间上的连续性则描述了一个函

数的整体性质．也可以说前者涉及的是函数微观性态，而后者则是刻画函数的宏观性态，并且，二者互相渗透，相辅相成．闭区间上连续函数的性质只作介绍，其证明略去．

5．本章重点是极限定义与其等价性描述，极限的性质及运算，以及若干重要结论构成的知识层次．学好本章内容，对掌握微积分全部内容与技巧有着重要的影响作用．

6．本章新概念多、难点多，又处于学生从初等数学跃上高等数学台阶的转型时期，很不习惯．因此，本章内容讲授完成后可安排一次习题课．

教学安排

本章教学时数为14学时，课时分配如下：

§2.1数列的极限2学时

§2.2 函数的极限 2学时

§2.3变量的极限，§2.4无穷大量与无穷小量 2学时

§2.5极限的运算法则 2学时

§2.6两个重要的极限 2学时

§2.7函数的连续性 2学时

习题课 2学时

教学目标

理解数列的极限、函数的极限及函数的左、右极限的概念．

了解有界变量的概念，了解变量有极限与有界的关系．

了解无穷大量、无穷小量的概念及二者之间的关系．

了解极限存在的两个准则．

熟练掌握极限的运算法则、无穷小量的性质、两个重要极限以及利用函数的连续性求函数极限的方法．

理解函数连续的概念，会判断函数在某点的连续性．掌握讨论简单分段函数连续性的方法．理解初等函数在其定义域内都是连续的结论．

理解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质

（有界性、最大值与最小值定理、介值定理及其零值性推论）及其简单应用．

§2.1 数列的极限

教学内容：数列的极限，包括数列极限的概念，数列极限的N -ε定义，数列极限的几何意义等．

教学重点：数列极限的概念及数列极限的证明．

教学难点：利用“N -ε”定义证明极限．

教法建议：

1．建立极限概念时，可先从一些简单直观、容易接受的实例（如“一尺之棰，日取其半”、“刘徽割圆”等）出发，建立数学模型，引入并形成极限概念．

2．在此基础上，分三步引入极限定义：第一步，先讲描述性定义；第二步，用距离、绝对值为工具，对描述性定义中的话逐一地抽象，用数学语言（四个不等式）来表示，提炼出数列极限的N -ε定义；第三步，对数列极限的N -ε定义给出几何解释，辅之以草图，对ε、N 等作补充说明，加深印象．

3．引入定义以后，可用简单的例子介绍用N -ε定义证明数列极限的论证方法，其关键是“由0>∀ε去找)(εN ”，并总结出使用N -ε方法的四个步骤：

1o 0>∀ε，令ε<-||A y n ；

2o 据ε<-||A y n ，分析并推出)(εϕ>n （含ε的式子）；

3o 取)]([εϕ=N （整数部分）；

4o 用N -ε定义叙述并下结论．

应给学生指出：前三步是分析找N ；第四个步骤综合才是正式的证明．这种分析加综合的叙述方式的优点是思路清晰，N 不是一眼就能看出来的，所以要先分析找N ，不要把它与综合的证明混淆起来了．

4．对于N -ε论证法，不要要求过高，这里只是让学生见识一下就可以了，随着后续内容的学习和多次运用N -ε论证法证题，使学生逐步加深体会、理解并接受．

§2.2 函数的极限

教学内容：函数的极限，包括当∞→x 时函数)(x f 的极限，当0x x →时函数)(x f 的极限，左极限与右极限，函数极限的性质等．

教学重点：当0x x →时函数)(x f 的极限．

教学难点：函数极限的δε-定义．

教法建议：

1．讲授“当∞→x 时函数)(x f 的极限”时，可以从数列极限的N -ε定义出发，结合几何图形，引出当∞→x 时函数)(x f 的极限的M -ε定义．

2．通过两个实例引出当0x x →时函数)(x f 的极限的δε-定义，注意讲清在这个过程中变量x 的变化过程以及相应的函数)(x f 的变化过程．

3．从0x x →的不同方式引出左极限、右极限的定义．

4．教材中关于函数极限的三个定理：定理2.1（当0x x →时函数)(x f 的极限存在的充分必要条件）；定理2.2（局部保号性定理）；定理2.3（局部保不等式性定理）的内容要求学生能熟记，证明只要能接受即可．定理2.1在证明极限不存在时更为方便．注意定理2.2，定理2.3的条件与结论中关于等号的讨论．

§2.3 变量的极限，§2.4 无穷大量与无穷小量

教学内容：变量的极限，无穷大量，无穷小量，无穷大量与无穷小量的关系，无穷小量的阶等．

教学重点：无穷小量的概念及其运算性质．

教学难点：无穷小量概念的理解．

教法建议：