解决旋转问题的思路方法

解决旋转问题的思路方法

1.把一个平面图形F绕平面内一点O按一定方向（顺时针或逆时针）旋转一定角度α得到图形F'的变换称为旋转变换，点O叫做旋转中心，角度α叫做旋转角.特别地，旋转角为180°的旋转变换就是中心对称变换.

2.旋转变换的性质：对应图形全等，对应线段相等，对应角相等，对应线段所在直线的夹角中有一个等于

旋转角，对应点到旋转中心的距离相等.

中心对称的性质：连结对应点的线段都经过对称中心且被对称中心平分，对应线段平行且相等，对应角相等.

3.旋转变换应用时常见的有下面三种情况：

（1）旋转90°角.当题目条件中有正方形或等腰直角三角形时，常将图形绕直角顶点旋转90°.

（2）旋转60°角.当题目条件中有等边三角形时，常将图形绕等边三角形一顶点旋转60°.

（3）旋转度数等于等腰三角形顶角度数.当题目条件中有等腰三角形时，常将图形绕等腰三角形顶角的顶点旋转顶角的度数.

例1.已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一个圆心角为45°，半径长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N.

（1）当扇形绕点C在∠ACB的内部旋转时，如图1所示，求证：MN2=AM2+BN2.

（2）当扇形CEF绕点C旋转至如图2所示的位置时，关系式MN2=AM2+BN2是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

规律技巧：本题利用旋转变换，将结论中的分散线段通过等量代换集中到了一个三角形中，再证明该三角形为直角三角形，运用勾股定理证明.本题还体现了动态几何问题的一个共同特征：运动的图

形与静止的图形的相对位置虽然发生了变化，但有些结论仍然保持不变，且证明方法也是一

样的.这也正是动态几何问题的魅力所在.本题也可通过运用轴对称变换作辅助线，将△ACM沿

直线CE对折，得△DCM，连结DN.再证△DCN≌△BCN.

例2.如图所示，在梯形ABCD 中，BC>AD ，AD//BC ，∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°.若AE=10，

则CE 的长为 .

思路分析：本题已知条件多，但比较分散，而且题设和结论间的关系也不是很明显，不易沟通，此时我们

是否考虑用旋转变换来铺路架桥.

规律技巧：本题中条件与结论间不能直接找到关系时，我们想到了用旋转法，但旋转法解题一般用在正方

形、正三角形中较多.故本题先把直角梯形补成一个正方形，然后根据正方形中特殊三角形旋转

的前后关系，使问题得到解决.本题如果通过在Rt △ADE 、Rt △CEB 和△BAE 中直接求出EC

几乎是不可能的.

例3.如图所示，正方形ABCD 的边长为1，点F 在线段CD 上运动，AE 平分∠BAF 交边BC 于点E.

（1）求证：AF=DF+BE.

（2）设DF=x ()01x ≤≤，△ADF 与△ABE 的面积和S 是否存在最大值？若存在，求出此时x 的值

及S 的最大值；若不存在，请说明理由.

思路分析：求证AF=DF+BE ，观察图形可知线段AF 、DF 、BE 不在同一个三角形内，所以考虑添加辅助

线帮助解题，考虑到AF 、DF 在Rt △ADF 中，又AD 是正方形ABCD 的边长，所以试着延长

CB 到点G ，使BG=DF ，又AB=AD ，进一步推理，可使问题获解.

规律技巧：利用旋转构造等腰三角形是证明第（1）题的关键.通常在正方形中存在共顶角图形（或等腰三

角形存在共顶点图形）时，往往利用旋转的思想；第（2）题是求S 的最大值，往往结合几何

图形，实际上就是要求AF 的最大值，显然，当AF 为对角线时取得最大值.由此可见，恰当的

数形结合，能简洁明了地解决问题.