已知圆弧3点坐标求圆心坐标
2020-2021沪科版九年级数学24.2圆的基本性质-知识点+习题同步练习提升 (1)
圆的基本性质记忆导图 ()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧对称、旋转对称对称性：轴对称、中心角形顶点的距离相等定理：三角形外心到三、圆的内接三角形三角形的外接圆、外心圆的作法圆的确定几者之间的关系圆心角的概念距间的关系圆心角、弧、弦、弦心弦心距垂径定理的推论垂径定理垂径分弦点在圆外点在圆内点在圆上点与圆的位置关系半圆、等圆弓形特殊弦：直径普通弦：小于直径的弦弦等弧优弧劣弧或弧圆弧圆、圆心、半径圆的相关概念圆的基本性质 考点1 圆的相关概念1、圆的定义（1）线段OA 绕着它的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的封闭曲线，叫做圆。
（2）圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
（3）固定的端点O 叫做圆心。
（4）线段OA 的长为r 叫做半径。
2、圆弧（1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
（2）大于半圆的弧叫做优弧，一般用三个字母表示。
（3）小于半圆的弧叫做劣弧。
（4）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
3、弦（1）连接圆上任意两点的线段叫做弦。
（2）经过圆心的弦叫做直径。
4、弓形由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形。
5、半圆、等圆（1）圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
（2）能够重合的两个圆叫做等圆，等圆的半径相等。
考点2 点与圆的位置关系平面上一点P 与⊙O （半径为r ）的位置关系有以下三种情况：（1）点P在⊙O上⇔OP=r；（2）点P在⊙O内⇔OP<r；（3）点P在⊙O外⇔OP>r。
考点3垂径分弦1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
2、推论：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
②弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧。
③平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦。
④平行弦夹的弧相等。
大半径短圆弧用三坐标测不准？知道为什么吗？
大半径短圆弧用三坐标测不准？知道为什么吗？短圆弧（一般为30º以下圆心角所对应的圆弧）的测量在实际测量中有许多应用，如测量样板、异形零件等。
常用的非完整圆弧半径测量方法包括圆弧样板法、卡尺法和弓高弦长法等，这些方法的精度、量程、特点和应用场合不同。
圆弧样板法仅用于检验圆弧半径是否在公差带范围内；卡尺法适用于精度不高的场合，测量范围受弧长的限制，卡尺量程受横向定位架的限制；而弓高弦长法的操作比较繁琐。
上述方法一般只用于对工件做静态的离线测量。
短圆弧测量的难点在于圆弧上的特征点数少，受到的噪声大。
下面介绍用三坐标（CMM）对大半径短圆弧的测量方法。
CMM测量大半径短圆弧的误差分析从测量原理上讲，CMM直接测得的是被测工件上一些特征点的坐标位置，为了获得被测参数值，需要通过测量软件的数据处理和运算。
因此，被测参数的测量精度主要与CMM的系统误差、测头系统误差、工件形状误差、算法误差、环境误差、采样策略和敏感系数等因素有关。
而对于大半径短圆弧测量，采样策略和敏感系数对精度的影响更大。
1、采样策略对CMM测量的影响采样策略是指如何在被测物体表面合理安排采样点，采集多少点最为合理，且使检测误差达到最小。
所谓合理是指在同一台测量机上，在相同的环境下，测量同一个零件，怎样安排测量点的位置和测量点数，可以获得较高的测量准确度，且耗费的时间比较经济。
采样数量和采样位置会影响测量结果的原因在于：1）被测元素并非理想元素，存在形状误差；2）CMM采点及计算方法有局限性，存在测量误差。
以圆为例说明采样策略对测量结果的影响：图1实际圆形具有三叶形误差，当测量点在a、b、c三点时，测得的直径为最小；当测量点选择在A、B、C三点时，测得的直径最大，由于工件任意摆放，测得的可能是他们之间的任意值。
这是被测元素形状误差对测量结果的影响。
图2为采样点对圆参数测量结果的影响，如果采样点选在A、B、C三点，测得的圆直径如图中圆3所示，如果选在A'、B'、C'三点，则测得的直径很大，如圆1所示；若在A'、C'两点的测量误差向外，而B'点的误差向内，测得的圆直径更大，如圆4所示。
描述点运动的弧坐标表示法
由于点的这种运动的速度大小不变，a=0，a=an，这种运动只有 法向加速度。又由于速度v是常数，将ds＝vdt积分
s
t
ds v dt
s0
0
得点的运动方程
s s0 vt
目录
点的运动\描述点运动的弧坐标表示法
3. 匀变速曲线运动
由于点的这种运动的切向加速度是常数，将dv＝adt积分
1.2 用弧坐标表示点的 速度
如图所示，设动点在某平面
内运动，其运动轨迹已知，沿该轨
O
迹的运动方程为s=s(t), 在瞬时t， 动点M的位置矢量为r，经过时间 间隔Δt，动点M沿已知轨迹运动到
r s
M，其位置矢量为r，动点在Δt时
间间隔内的位移为Δr，相应的弧坐
O' (－)
M
标增量为Δs。动点的速度为
r'
(＋)
r
M' s v
v dr dr ds dr ds dt dt ds ds dt
当Δs →0时，Δr/Δs的大小趋于1，Δr/Δs 的方向总是趋于弧坐标的正
向（若Δs >0,Δr的方向趋于弧坐标的正向，Δr/Δs也趋于弧坐标的正
向；若Δs<0,由于Δr的方向趋于弧坐标的负向，故Δr/Δs 仍趋于弧坐
τ
t
C
n B
'
M'
在该点的法线方向，该方向的单位矢量用n表 Δ A
示。则导数 d表τ 示为
M
dt
dτ v n
dt
由此可得
a dv τ v2 n
dt
上式中的加速度a也称为全加速度，它由两个分矢量组成：分矢量 a的τ 代dd数vt τ值的随方时向间沿的轨变迹化的率切；线分方矢向量，a称n 为v切2 n向的加方速向度沿，轨它迹反的映法速线度方
点与圆、直线与圆位置关系
一、点与圆的位置关系1.确定圆的条件（1）圆心(定点)，确定圆的位置；（2）半径(定长)，确定圆的大小．注意：只有当圆心和半径都确定时，圆才能确定．2.点与圆的位置关系（3）点与圆的位置关系有：点在圆上、点在圆内、点在圆外三种，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定．（4）设O=；⊙的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则有：点在圆外⇔d r>；点在圆上⇔d r 点在圆内⇔d r<.如下表所示：二、过已知点的圆1.过已知点的圆（1）经过点A的圆：以点A以外的任意一点O为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A的圆，这样的圆有无数个．（2）经过两点A B、的圆：以线段AB中垂线上任意一点O作为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A B、的圆，这样的圆也有无数个．（3）过三点的圆：若这三点A B C、、三点不共线时，圆心、、共线时，过三点的圆不存在；若A B C是线段AB与BC的中垂线的交点，而这个交点O是唯一存在的，这样的圆有唯一一个．n≥个点的圆：只可以作0个或1个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点确定的（4）过n()4圆的圆心．2.定理：不在同一直线上的三点确定一个圆（1）“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；（2）“确定”一词的含义是”有且只有”，即”唯一存在”．三、三角形的外接圆及外心1.三角形的外接圆（1）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．（2）锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处(即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半)；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部.2. 三角形外心的性质（1） 三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等； （2） 三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.一、点与圆的位置关系【例1】 已知圆内一点到圆周上的点的最大距离是7，最小距离是5，则该圆的半径是( )A ．2B ．6C ．12D ．7【巩固】1、一个已知点到圆周上的点的最大距离为5cm ，最小距离为1cm ，则此圆的半径为______．2、若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最小距离为b （a>b ），则此圆的半径为（ ）DA ．2b a + B ．2ba - C ．22b a b a -+或D ．b a b a -+或3、定义：定点A 与O ⊙上的任意一点之间的距离的最小值称为点A 与O ⊙之间的距离．现有一矩形ABCD如图，14cm 12cm AB BC ==，，K ⊙与矩形的边AB BC CD 、、分别相切于点E F G 、、，则点A 与K ⊙的距离为______________．【例2】 已知ABC ∆中，90C ∠=︒，2AC =，3BC =，AB 的中点为M ，⑴以C 为圆心，2为半径作C ⊙，则点A ，B ，M 与C ⊙的位置关系如何？ ⑵若以C 为圆心作C ⊙，使A ，B ，M 三点至少有一点在C ⊙内，且至少有一点在C ⊙外，求C ⊙半径r 的取值范围．M CBA【巩固】1、Rt ABC ∆的两条直角边3BC =，4AC =，斜边AB 上的高为CD ，若以C 为圆心，分别以12r =，2 2.4r =，33r =为半径作圆，试判断D 点与这三个圆的位置关系.DCBA2、在ABC ∆中，90C ∠=︒，4AC =，5AB =，以点C 为圆心，以r 为半径作圆，请回答下列问题，并说明理由.⑴当r 取何值时，点A 在C ⊙上，且点B 在C ⊙内部？⑵当r 在什么范围内取值时，点A 在C ⊙外部，且点B 在C ⊙的内部？ ⑶是否存在这样的实数r ，使得点B 在C ⊙上，且点A 在C ⊙内部？CBA二、过三点的圆【例3】 如图，四边形ABCD 中，AB AC AD ==，若7613CAD BDC ∠=︒∠=︒，，则CBD ∠=_________，BAC ∠=__________．DCBA【例4】 如图，在平面直角坐标系中，O '与两坐标轴分别交于A B C D ，，，四点，已知：()60A ，，()03B -，，()20C -，，则点D 的坐标是（ ） A ．()02，B ．()03，C ．()04，D ．()05，三、三角形的外接圆及外心【例5】 如图，ABC ∆内接于O ⊙，120BAC ∠=︒，AB AC =，BD 为O ⊙的直径，6AD =，则BC =.【巩固】等边三角形的外接圆的半径等于边长的（ ）倍．ABCD ．12【例6】 设Rt ABC ∆的两条直角边长分别为3，4，则此直角三角形的内切圆半径为 ，外接圆半径为 ．【巩固】1、如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A B C ，，，其中B 点的坐标为()44，，则该圆弧所在圆的圆心的坐标为 ．2、ABC ∆中，10AB AC ==，12BC =，求其外接圆的半径．【例7】 在等腰ABC ∆中，AB BC =，BH 是高，点M 是边AB 的中点，而经过点B ，M 于C 的圆同BH的交点是K ，求证32BK R =，其中R 是ABC ∆的外接圆半径．【巩固】1、已知∆ABC 中，=AB AC ，D 是∆ABC 外接圆劣弧AC 上的点(不与点A C ，重合)，延长BD 至E ．⑴求证：AD的延长线平分∠CDE；⑵若30∠=︒BAC，∆ABC中BC边上的高为2∆ABC外接圆的面积．AB CD E2、已知如图，ACD∆的外角平分线CB交其外接圆于B，连接BA、BD，求证：BA BD=．一、直线与圆的位置关系设O⊙的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表：切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．注意：这个定理共有三个条件，即一条直线满足：①垂直于切线②过切点③过圆心①过圆心，过切点⇒垂直于切线．AB过圆心，AB过切点M，则AB l⊥．②过圆心，垂直于切线⇒过切点．AB过圆心，AB l⊥，则AB过切点M．③过切点，垂直于切线⇒过圆心．AB l⊥，AB过切点M，则AB过圆心．l 3.切线的判定（1）定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；（2）距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；（3）定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．注意：定理的题设是①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可；定理的结论是“直线是圆的切线”．因此，证明一条直线是圆的切线有两个思路：①连接半径，证直线与此半径垂直；②作垂直，证垂直在圆上．l4.切线长和切线长定理（1）切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．三、三角形的内切圆1.三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．2. 多边形的内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．3. 直角三角形内切圆的半径与三边的关系cb acbaO F ED CBACBAC B A设a 、b 、c 分别为ABC △中A ∠、B ∠、C ∠的对边，面积为S ，则内切圆半径为sr p=，其中()12p a b c =++．若90C ∠=︒，则()12r a b c =+-． 一、直线与圆位置关系的确定【例1】 如图，已知⊙O 是以数轴的原点O 为圆心，半径为1的圆，45AOB ∠=︒，点P 在数轴上运动，若过点P 且与OA 平行的直线与⊙O 有公共点，设OP x =，则x 的取值范围是A ．0≤x B．x C ．－1≤x ≤1D ．x【例2】 Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3cm AC =，4cm BC =，给出下列三个结论： ①以点C 为圆心，3 cm长为半径的圆与AB 相离；②以点C 为圆心，4cm 长为半径的圆与AB 相切；③以点C 为圆心，5cm 长为半径的圆与AB 相交．上述结论中正确的个数是（ ） A ．0个 B ．l 个 C ．2个 D ．3个【巩固】在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，12cm AC =，16cm BC =，以点C 为圆心，r 为半径的圆和AB 有怎样的位置关系？为什么？⑴ 9cm r =；⑵10cm r =；⑶9.6cm r =．DCBA【例3】 如下左图，在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90C =︒∠，且AB AD BC >+，AB 是O 的直径，则直线CD 与O 的位置关系为( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．无法确定【巩固】如图，BC是半圆O的直径，点D是半圆上的一点，过点D作O的切线AD，BA DA⊥，10BC=，4AD=，那么直线CE与以点O为圆心，52为半径的圆的位置关系是．二、切线的性质及判定【例4】已知：O为BAC∠平分线上一点，OD AB⊥于D，以O为圆心．以OD为半径作圆O．求证：O⊙与AC相切．【巩固】如图，ABC∆为等腰三角形，AB AC=，O是底边BC的中点，O⊙与腰AB相切于点D，求证AC与O⊙相切．【例5】已知：如图，ABC∆内接于O，AD是过A的一条射线，且B CAD∠=∠．求证：AD是O的切线．【巩固】已知：如图，AB 是O ⊙的直径，C 为O ⊙上一点，MN 过C 点，AD MN ⊥于D ，AC 平分DAB ∠．求证：MN 为O ⊙的切线．【例6】 如图，已知OA 是O ⊙的半径，B 是OA 中点，BC OA ⊥，P 是OA 延长线上一点，且PA AC =．求证：PC 是O ⊙的切线．【巩固】如图，AB 是O ⊙的直径，C 点在圆上，CD AB ⊥于D ．P 在BA 延长线上，且PCA ACD ∠=∠．求证：PC 是O ⊙的切线．BP【例7】 如图，O ⊙是Rt ABC ∆的外接圆，90ABC ∠=︒，点P 是圆外一点，PA 切O ⊙于点A ，且PA PB =． （1）求证：PB 是O ⊙的切线．（2）已知1PA BC ==，求O ⊙的半径．【巩固】1、如图，AB 为O ⊙的直径，D 是BC 的中点，DE AC ⊥交AC 的延长线于E ，O ⊙的切线BF 交AD 的延长线于点F ．求证：DE 是O ⊙的切线；FAB2、如图，已知O 是正方形ABCD 对角线上一点，以O 为圆心、OA 长为半径的O ⊙与BC 相切于M ，与AB 、AD 分别相交于E 、F ． （1）求证：CD 与O ⊙相切．（2）若正方形ABCD 的边长为1，求O ⊙的半径．【例8】 如图，AB BC =，以AB 为直径的O ⊙交AC 于点D ，过D 作DE BC ⊥，垂足为E ．（1）求证：DE 是O ⊙的切线；（2）作DG AB ⊥交O ⊙于G ，垂足为F ，若308A AB ∠=︒=，，求弦DG 的长．【巩固】如图，AC 为O ⊙的直径，B 是O ⊙外一点，AB 交O ⊙于E 点，过E 点作O ⊙的切线，交BC 于D 点，DE DC =，作EF AC ⊥于F 点，交AD 于M 点．求证：BC 是O ⊙的切线；D CB A【例9】 如图，AB 是O 的直径，30BAC ∠=︒，M 是OA 上一点，过M 作AB 的垂线交AC 于点N ，交BC 的延长线于点E ，直线CF 交EN 于点F ，且ECF E ∠=∠． （1）证明CF 是O 的切线；（2）设O 的半径为1，且AC CE =，求MO 的长．A1. 已知60ABC ∠=︒，点O 在ABC ∠的平分线上，5cm OB =，以O 为圆心3cm 为半径作圆，则O 与BC 的位置关系是________．2.如图，半径为3cm 的O ⊙切直线AC 于B ，3cm AB BC =，，则AOC ∠的度数是 ．3.如图所示在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，A ∠的平分线交BC 于D ，E 为AB 上一点，DE DC =，以D 为圆心，以DB 的长为半径画圆．求证：（1）AC 是D ⊙的切线；（2）AB EB AC +=．E B4.如图，四边形ABCD 内接于O ，BD 是O 的直径，AE CD ⊥，垂足为E ，DA 平分BDE ∠．（1）求证：AE 是O 的切线；（2）若301cm DBC DE ∠==，，求BD 的长．5.如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，AB 经过圆心O ，且与小圆相交于点A 、与大圆相交于点B ．小圆的切线AC 与大圆相交于点D ，且CO 平分ACB ∠． ⑴ 试判断BC 所在直线与小圆的位置关系，并说明理由； ⑵ 试判断线段AC AD BC 、、之间的数量关系，并说明理由； ⑶ 若8cm 10cm AB BC ==，，求大圆与小圆围成的圆环的面积．。
2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思全册第24章 圆(教案) 点和圆的位置关系教案
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系24.2.1 点和圆的位置关系一、教学目标【知识与技能】1.掌握点与圆的三种位置关系及数量间的关系.2.探求过点画圆的过程，掌握过不在同一直线上三点画圆的方法.3.了解运用“反证法”证明命题的思想方法.【过程与方法】通过生活中的实例探求点和圆的三种位置关系，并提炼出数量关系，从而渗透数形结合，分类讨论等数学思想.【情感态度与价值观】形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神.二、课型新授课三、课时1课时。
四、教学重难点【教学重点】（1）点与圆的三种位置关系.（2）过三点作圆.【教学难点】点与圆的三种位置关系及其数量关系反证法五、课前准备课件、图片、圆规、直尺等.六、教学过程（一）导入新课我国射击运动员在奥运会上获金牌，为我国赢得荣誉.如图是射击靶的示意图，它是由许多同心圆（圆心相同，半径不相同）构成的，你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？（出示课件2）解决这个问题要研究点和圆的位置关系．（板书课题）（二）探索新知探究一点和圆的位置关系教师问：观察下图中点和圆的位置关系有哪几种？（出示课件4）学生交流，回答问题.教师点评：点与圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.教师问：设点到圆心的距离为d,圆的半径为r，量一量在点和圆三种不同位置关系时，d与r有怎样的数量关系？（出示课件5）学生答：教师问：反过来，由d与r的数量关系，怎样判定点与圆的位置关系呢？学生观察思考交流后，师生共同得到结论：（出示课件6）点与圆的三种位置关系及其数量间的关系：边结论.读作“等价于”.⑵要明确“d”表示的意义，是点P到圆心O的距离.出示课件7,8：例如图，已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4.（1）以A为圆心，4为半径作⊙A，则点B、C、D与⊙A的位置关系如何？（2）若以A点为圆心作⊙A，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围？（直接写出答案）学生独立思考后，师生共同解答.解：⑴AD=4=r，故D点在⊙A上；AB=3<r，故B点在⊙A内;AC=5>r，故C点在⊙A外.⑵3≤r≤5.巩固练习：（出示课件9）1.⊙O的半径为10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与⊙O的位置关系是：点A在_______；点B在_______；点C在_______.2.圆心为O的两个同心圆，半径分别为1和2，若，则点P在（）A.大圆内B.小圆内C.小圆外D.大圆内，小圆外学生独立思考后口答：1.圆内；圆上；圆外 2.D探究二过不共线三点作圆教师问：如何过一个点A作一个圆？过点A可以作多少个圆？（出示课件10）学生动手探究，作图，交流，得出结论，教师点评并总结.以不与A点重合的任意一点为圆心，以这个点到A点的距离为半径画圆即可；可作无数个圆.教师问：如何过两点A、B作一个圆？过两点可以作多少个圆？（出示课件11）学生动手探究，作图，交流，得出结论，教师点评并总结.作线段AB的垂直平分线，以其上任意一点为圆心，以这点和点A或B的距离为半径画圆即可；可作无数个圆.教师问：过不在同一直线上的三点能不能确定一个圆？（出示课件12）学生思考后师生共同解答：经过A,B两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.经过B,C两点的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上.经过A,B,C三点的圆的圆心应该在这两条垂直平分线的交点O的位置.教师归纳：不在同一直线上的三点确定一个圆.（出示课件13）出示课件14：例已知：不在同一直线上的三点A、B、C.求作：⊙O,使它经过点A、B、C.学生动手探究，作图，交流后，师生共同解答.作法：1.连接AB，作线段AB的垂直平分线MN；2.连接AC，作线段AC的垂直平分线EF，交MN于点O；3.以O为圆心，OB为半径作圆.所以⊙O就是所求作的圆.教师问：现在你知道怎样将一个如图所示的破损的圆盘复原了吗？（出示课件15）学生动手探究，交流，在教师指导下作图.作法:1.在圆弧上任取三点A、B、C;2.作线段AB、BC的垂直平分线,其交点O即为圆心;3.以点O为圆心，OC长为半径作圆.⊙O即为所求.巩固练习：（出示课件16）如图，CD所在的直线垂直平分线段AB，怎样用这样的工具找到圆形工件的圆心．学生独立思考后口答：∵A、B两点在圆上，所以圆心必与A、B两点的距离相等，又∵和一条线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，∴圆心在CD所在的直线上，因此可以做任意两条直径，它们的交点为圆心.探究三三角形的外接圆及外心已知△ABC，用直尺与圆规作出过A、B、C三点的圆.（出示课件17）学生复述作法.教师对照图形进行归纳：（出示课件18）1.外接圆：经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆.⊙O叫做△ABC的外接圆，△ABC叫做⊙O的内接三角形.2.三角形的外心定义：外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.作图：三角形三边中垂线的交点.性质：到三角形三个顶点的距离相等.练一练：判断下列说法是否正确.（出示课件19）(1)任意的一个三角形一定有一个外接圆.( )(2)任意一个圆有且只有一个内接三角形.( )(3)经过三点一定可以确定一个圆. ( )(4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等.( )学生口答：⑴√⑵×⑶×⑷√画一画：分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系.（出示课件20）学生动手探究，作图，交流后，教师总结.锐角三角形的外心位于三角形内,直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点,钝角三角形的外心位于三角形外.出示课件21,22:例1 如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，O为原点，∠ABO＝60°，若△AOB的外接圆与y轴交于点D(0，3)．(1)求∠DAO的度数；(2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积．学生独立思考后师生共同解答.解：(1)∵∠ADO＝∠ABO＝60°，∠DOA＝90°，∴∠DAO＝30°；⑵∵点D的坐标是(0，3)，∴OD＝3.在Rt△AOD中，∵∠DOA＝90°，∴AD为直径.又∵∠DAO=30°，∴AD＝2OD＝6，OA＝因此圆的半径为3．点A的坐标(0),∴△AOB外接圆的面积是9π.教师强调：解题妙招：图形中求三角形外接圆的面积时，关键是确定外接圆的直径(或半径)长度．巩固练习：（出示课件23）如图,已知直角坐标系中,A(0,4),B(4,4),C(6,2).(1)写出经过A,B,C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标.(2)判断点D(5,-2)和圆M的位置关系.学生独立解答.解：(1)在方格纸中，线段AB和BC的垂直平分线相交于点(2，0)，所以圆心M的坐标为(2，0).(2)圆的半径AM==线段DM所以点D在圆M内.出示课件24：例2 如图，在△ABC中，O是它的外心，BC＝24cm，O到BC的距离是5cm，求△ABC的外接圆的半径．学生独立思考后师生共同解答.解：连接OB ，过点O 作OD ⊥BC.则OD ＝5cm ，112cm 2BD BC ==在Rt △OBD 中,13cm OB ==，即△ABC 的外接圆的半径为13cm.巩固练习：（出示课件25）在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=6 cm,BC=8cm,则它的外心与顶点C 的距离为( )A.5cmB.6cmC.7cmD.8cm学生思考后口答：A探究四 反证法教师问：经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？（出示课件26）学生动手探究，作图，交流后，师生共同解答.如图，假设过同一条直线l 上三点A 、B 、C 可以作一个圆，设这个圆的圆心为P.那么点P 既在线段AB 的垂直平分线l 1上，又在线段BC 的垂直平分线l 2上，即点P 为l 1与l 2的交点.而l 1⊥l ，l 2⊥l 这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾.所以过同一条直线上的三点不能作圆．教师归纳：（出示课件27）1.反证法的定义先假设命题的结论不成立，然后由此经过推理得出矛盾(常与公理、定理、定义或已知条件相矛盾)，由矛盾判定假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法．2.反证法的一般步骤⑴假设命题的结论不成立（提出与结论相反的假设）；⑵从这个假设出发，经过推理，得出矛盾；⑶由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.出示课件28：例求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.师生共同解答.已知：△ABC.求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°，则∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°.因此∠A+∠B+∠C>180°.这与三角形的内角和为180度矛盾．假设不成立．因此△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.巩固练习：（出示课件29）利用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设（）A.有一个锐角小于45°B.每一个锐角都小于45°C.有一个锐角大于45°D.每一锐角都大于45°学生口答：D（三）课堂练习（出示课件30-36）1.已知△ABC的三边a，b，c，满足a+b2+|c﹣，则△ABC的外接圆半径=______．2.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=45°，BC=4，则⊙O的直径为______．3.如图，请找出图中圆的圆心，并写出你找圆心的方法?4.正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心2cm为半径作⊙A，则点B在⊙A______；点C在⊙A______；点D在⊙A______.5.⊙O的半径r为5cm，O为原点，点P的坐标为（3,4），则点P与⊙O的位置关系为（）A.在⊙O内B.在⊙O上C.在⊙O外D.在⊙O上或⊙O外6.已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则它的外接圆半径=______.7.如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝20°，则∠C的度数是________．8.如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（）A．点P B．点Q C．点R D．点M9.画出由所有到已知点的距离大于或等于2cm并且小于或等于3cm的点组成的图形.10.某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示．为复制该瓷盘要确定其圆心和半径,请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．参考答案：1.2582.3.解:如图所示.4.上；外；上5.B6.57.70°8.B9.解：如图所示.10.解：(1)在圆形瓷盘的边缘选A、B、C三点；(2)连接AB、BC；(3)分别作出AB、BC的垂直平分线；(4)两垂直平分线的交点就是瓷盘的圆心.（四）课堂小结本节课你学到了哪些数学知识和数学方法？请与同伴交流.（五）课前预习预习下节课（24.2.2第1课时）的相关内容.七、课后作业1.教材95页练习2.2.配套练习册内容八、板书设计：九、教学反思：本节课通过学生操作，总结出了点与圆的三种位置关系，其中渗透着分类讨论的思想，经过探讨过一点、两点、三点作圆，得出了不在同一直线上三点确定一个圆，从而自然引出三角形外接圆、外心及圆内接三角形的定义，此外还学习了用反证法证明命题的方法和步骤.这些定理都是从学生实践中得出的，培养了学生动手的能力.。
励精测绘软件工具包 TIP-Tools使用帮助
励精测绘软件工具包 TIP-Tools使用手册励精科技（上海）有限公司二〇〇九年十月第一章软件安装与卸载1.1 软件安装在安装本系统前系统假设用户已具备能运行一般桌面软件所需的软硬件环境，找到安装目录下的Setup.exe安装程序，双击启动系统安装过程如下图所示：单击“下一步”进入“选择目的地位置”界面，单击“取消”系统结束本次安装过程。
单击“浏览”可以选择软件安装的指定位置，如下图所示：单击“下一步”进入安装拷贝过程，如下图所示：最终进入软件安装完成提示界面，完成本次安装过程，如下图所示：3.2 软件卸载找到安装目录下的Setup.exe安装程序，双击启动系统安装过程如下图所示，启动软件卸载过程：选择“删除”，单击“下一步”出现“确认文件删除”对话框，按“确定”，单击“下一步”如下图所示：最终进入软件卸载完成提示界面，完成本次卸载过程，如下图所示：第二章TIP-Tools主界面如上图系统主界面，主要由系统主菜单构成，主菜单下设五个主要功能分别描述如下：第三章COCO工具3.1 前方交会按图示，顺序输入已知A、B两点大地坐标和相应的三角形内角α、β，计算得到待定点P。
3.2 后方交会3.3.1 后方交会（三点定位）按图示，顺序输入已知A、B、C三点大地坐标和相应的夹角α、β，选择待定点P位于三角形ABC的内外侧，计算得到待定点P。
3.3.2 后方交会（双点定位）按图示，顺序输入已知A、B两点大地坐标，参照四图中的点位相对关系，输入相应的四个夹角α1、β1、α2、β2，计算得到待定点P。
3.3.3 后方交会（边角定位）按图示，顺序输入已知A、B两点大地坐标，输入夹角α（对应角APB），选择并输入边长PA或PB，计算得到待定点P。
3.3 方向交会按图示，顺序输入已知A、B、C、D四点大地坐标和大地方位夹角α（对应角ABP）（其中Ｃ、Ｄ两点顺序任意），计算得到待定点P。
3.4 边长交会按图示，顺序输入已知A、B两点大地坐标和相应的三角形边D1、D2，计算得到待定点P。
G代码解释——精选推荐
G代码解释G代码解释G00 快速线性移动(G00)1. 功能轴快速移动G0⽤于快速定位⼑具，没有对⼯件进⾏加⼯。
可以在⼏个轴上同时执⾏快速移动，由此产⽣⼀线性轨迹。
机床参数中规定每个坐标轴快速移动速度的最⼤值，⼀个坐标轴运⾏时就以此速度快速移动。
如果快速移动同时在两个轴上执⾏，则移动速度为两个轴可能的最⼤速度。
⽤G0快速移动时在地址F下进给率⽆效。
G0⼀直有效，直到被G功能组中其它的指令(G1,G2,G3,…) 取代为⽌。
2. 编程举例N10 G0 X100 Y150 Z65 ；直⾓坐标系…N50 G0 RP=16.78 AP=45 ；极坐标系说明：G功能组中还有其它的G指令⽤于定位功能，在⽤G60准确定位时，可以在窗⼝下选择不同的精度。
另外，⽤于准确定位还有⼀个单程序段⽅式有效的指令：G9。
在进⾏准确定位时请注意对⼏种⽅式的选择。
G01 带进给率的线性插补(G01)1. 功能⼑具以直线从起始点移动到⽬标位置，按地址F下设置的进给速度运⾏。
所有的坐标轴可以同时运⾏。
G1⼀直有效，直到被G功能组中其它的指令(G0,G2,G3,…) 取代为⽌。
2. 编程举例N05 G0 G90 X40 Y48 Z2 S500 M3 ；⼑具快速移动到P1,3个轴⽅向同时移动，主轴转速= 500转/分, 顺时针旋转N10 G1 Z-12 F100 ；进⼑到Z-12,进给率100毫⽶/分N15 X20 Y18 Z-10 ；⼑具以直线运⾏到P2N20 G0 Z100 ；快速移动空运⾏N25 X-20 Y80 N30 M2 ；程序结束G02/G03圆弧插补(G02/G03)1. 功能⼑具以圆弧轨迹从起始点移动到终点，⽅向由G指令确定:G2 顺时针⽅向G3 逆时针⽅向G2和G3⼀直有效，直到被G功能组中其它的指令(G0,G1,…)取代为⽌。
2. 编程G2/G3 X… Y… I… J… ；圆⼼和终点G2/G3 CR=… X… Y… ；半径和终点G2/G3 AR=… I… J… ；张⾓和圆⼼G2/G3 AR=… X… J… ；张⾓和终点3. 编程举例N5 G90 X30 Y40 ；⽤于N10的圆弧起始点N10 G2 X50 Y40 I10 J-7 ；终点和圆⼼说明：圆⼼值与圆弧起始点相关。
瑞典圆弧法圆心坐标
瑞典圆弧法圆心坐标瑞典圆弧法圆心坐标的研究和应用是土木工程领域中的一个重要课题。
瑞典圆弧法是一种常用的路径设计方法，用于设计道路、铁路和运河等线性基础设施的曲线部分。
它的独特之处在于将直线段和圆弧段组合起来，以实现舒适、安全且高效的交通流动。
1. 介绍瑞典圆弧法圆心坐标瑞典圆弧法圆心坐标是研究和应用瑞典圆弧法的重要基础。
在瑞典圆弧法中，曲线由一系列连续的圆弧段和直线段组成。
每个圆弧段都有一个特定的圆心，该圆心坐标的确定对于曲线路径的设计和计算非常关键。
瑞典圆弧法圆心坐标的计算涉及到诸多因素，包括曲线段的长度、半径、旋转角度和圆心坐标的变化等。
2. 瑞典圆弧法的应用领域瑞典圆弧法广泛应用于道路、铁路和运河等线性基础设施的设计和规划中。
它可以用于设计平缓的弯道，使驾驶员在行驶过程中感到舒适并减少驾驶的疲劳。
瑞典圆弧法还可以在有限的空间内实现高效的交通流动，提高路段的通行能力。
在土木工程领域中，瑞典圆弧法圆心坐标的计算和应用是工程设计中不可或缺的一部分。
3. 瑞典圆弧法的设计原则瑞典圆弧法的设计原则是在保证舒适和安全的前提下，使曲线段的长度最短。
为了实现这一原则，设计师需要合理选择曲线的半径和旋转角度，并同时考虑曲线段的过渡长度。
瑞典圆弧法的设计方法是一项复杂的工程任务，需要综合考虑土地利用、交通需求和环境保护等因素。
4. 瑞典圆弧法的优势和不足瑞典圆弧法具有许多优势，例如可以在既定空间内实现更弯曲和更流畅的路径设计，提高路段的通行能力和安全性。
然而，瑞典圆弧法也存在一些不足之处，如设计复杂、计算量大和对设计师技术要求较高等问题。
在实际应用中，设计师需要综合考虑现实条件和使用要求，进行合理的曲线设计和路径规划。
5. 对瑞典圆弧法圆心坐标的个人理解和观点在我看来，瑞典圆弧法圆心坐标是瑞典圆弧法设计中的一个重要环节。
通过合理计算和确定圆心坐标，可以实现曲线段的平滑过渡和路径规划的灵活性。
瑞典圆弧法的设计理念和原则给予了设计者在有限空间内实现高效和安全交通流动的机会，对于改善城市交通状况具有积极的作用。
四种方法确定圆心和半径
分析 只要确定 了圆心 0 的位置 ，可利用上 述方法
，1
二I 弋 ‘ 曰
解析
半径 r
已
知
要 ，
确定过点
A
B
、
的侧的圆心 ．
只 需 要 分 别 以 A C 、 为 圆 心 以 ， r 为 半 径 作 弧 车}l 交 于 0 ，
再以 0
为 圆心
OA
，
为半径作圆 0
D ，则0
r)
Ii 比 n ；A 、 c
两 点 间 的弧
就是所求的弧
A
C ．
?0
四 种方法确 定 圆J
@ ￡壹鋈盟 吏点 哩-中_堂 睦置垒 … …
我 们 常 说 ， “ 以 x × 点 为 圆 心 以 ， × × 长 为 半 径 作 圆 ” ． 圆是 由 圆心 和 半 径 确 定 的 ， 圆 心 确 定 圆 的 位 置 半 ，
二
确定 圆．
本题只要求圆过 A
露
、
两点
， 因此
A ．
第①块
C ．
第③块
B ．
第②块
D ．
第④块
如果点
AB 、
C
、
不 在 同一
直线上 ，那么分别连接线
解 ：由于 第②块 中实 际 上 是 一 段 完 整 的 弧 ， 因 此 可
段
AB
、 A C 分 ， 别作线段
AB
AC
、
的垂直平分线 ，它们的交点
以 由它 确 定 圆 ， 选 B ．
0 就是 圆心 而 ， OA ( 或 OB 、 O C ) 的长度就是 圆的半径
都要求我们灵活运 用 “ 确定圆的方法 ” ，作出合乎要 求 的
圆弧插补计算过程步骤
圆弧插补是指在数控机床上，通过控制工具沿着圆弧路径进行加工的过程。
下面是圆弧插补的计算过程步骤：
1. 确定圆弧的起点和终点坐标：根据加工要求和图纸，确定圆弧的起点和终点的坐标。
2. 计算圆弧的半径：根据起点和终点的坐标，计算出圆弧的半径。
3. 计算圆心坐标：根据起点、终点和半径的关系，计算出圆心的坐标。
4. 计算圆弧的角度：根据起点、终点和圆心的坐标，计算出圆弧的角度。
5. 确定圆弧的方向：根据起点、终点和圆心的位置关系，确定圆弧的方向（顺时针或逆时针）。
6. 计算插补点的坐标：根据圆心、半径、角度和方向，计算出插补点的坐标。
7. 控制工具移动：根据插补点的坐标，通过数控系统控制工
具在圆弧路径上移动。
8. 重复计算和移动：根据设定的插补步长，重复计算和移动，直到达到终点。
以上是圆弧插补的计算过程步骤，通过这些步骤可以实现精确的圆弧加工。
最值模型之瓜豆模型(原理)圆弧轨迹型(学生版)-2024年中考数学常见几何模型
最值模型之瓜豆模型(原理)圆弧轨迹型动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。
掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。
本专题就最值模型中的瓜豆原理(动点轨迹为圆弧型)进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【模型解读】模型1、运动轨迹为圆弧模型1-1. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。
模型1-2. 如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=k⋅AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。
则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。
模型1-3. 定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。
(常见于动态翻折中)如图，若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。
模型1-4. 定边对定角(或直角)模型1)一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。
2)一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧．如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。
【模型原理】动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。
1(2023·山东泰安·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，点A的坐标为(-6，4)；Rt△COD中，∠COD=90°，OD=43，∠D=30°，连接BC，点M是BC中点，连接AM．将Rt△COD以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段AM的最小值是()A.3B.62-4C.213-2D.22(2023·四川广元·统考一模)如图，线段AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB=4，BC=2，点P是⊙O上一动点，连接CP，以CP为斜边在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP=60°，连接OD，则OD长的最大值为．3(2023·四川宜宾·统考中考真题)如图，M是正方形ABCD边CD的中点，P是正方形内一点，连接BP，线段BP以B为中心逆时针旋转90°得到线段BQ，连接MQ．若AB=4，MP=1，则MQ的最小值为．4(2023·湖南·统考中考真题)如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=7，动点P在矩形的边上沿B→C→D→A运动．当点P不与点A、B重合时，将△ABP沿AP对折，得到△AB P，连接CB ，则在点P的运动过程中，线段CB 的最小值为．5(2023·山东·统考中考真题)如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°,AB=5,AD=4,AD< BC，点E在线段BC上运动，点F在线段AE上，∠ADF=∠BAE，则线段BF的最小值为．6(2023·浙江金华·九年级校考期中)如图，点A，C，N的坐标分别为(-2，0)，(2，0)，(4，3)，以点C为圆心、2为半径画⊙C，点P在⊙C上运动，连接AP，交⊙C于点Q，点M为线段QP的中点，连接MN，则线段MN的最小值为．7(2023上·江苏连云港·九年级校考阶段练习)已知矩形ABCD,AB=6,BC=4,P为矩形ABCD内一点，且∠BPC=135°，若点P绕点A逆时针旋转90°到点Q，则PQ的最小值为．8(2023下·陕西西安·九年级校考阶段练习)问题提出：(1)如图①，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，BC=43，则AB的长为；问题探究：(2)如图②，已知矩形ABCD，AB=4，BC=5，点P是矩形ABCD内一点，且满足∠APB= 90°，连接CP，求线段CP的最小值；问题解决：(3)如图③所示，我市城市绿化工程计划打造一片四边形绿地ABCD，其中AD∥BC，AD= 40m，BC=60m，点E为CD边上一点，且CE:DE=1:2，∠AEB=60°，为了美化环境，要求四边形ABCD的面积尽可能大，求绿化区域ABCD面积的最大值．课后专项训练1(2023·安徽合肥·校考一模)如图，在△ABC中，∠B=45°，AC=2，以AC为边作等腰直角△ACD，连BD，则BD的最大值是()A.10-2B.10+3C.22D.10+22(2023春·广东·九年级专题练习)已知：如图，在△ABC中，∠BAC=30°，BC=4，△ABC面积的最大值是( )．A.8+43B.83+4C.83D.8+833(2022秋·江苏扬州·九年级校考阶段练习)如图，A是⊙B上任意一点，点C在⊙B外，已知AB=2，BC=4，△ACD是等边三角形，则△BCD的面积的最大值为()A.43+4B.4C.43+8D.64(2023·山东济南·一模)正方形ABCD中，AB=4，点E、F分别是CD、BC边上的动点，且始终满足DE=CF，DF、AE相交于点G.以AG为斜边在AG下方作等腰直角△AHG使得∠AHG=90°，连接BH．则BH的最小值为()A.25-2B.25+2C.10-2D.10+25(2023上·江苏连云港·九年级统考期中)如图，在矩形ABCD中，已知AB=3，BC=4，点P是BC边上一动点(点P不与点B，C重合)，连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，连接CM，则CM的最小值为．6(2023春·广东深圳·九年级专题练习)如图，点G是△ABC内的一点，且∠BGC=120°，△BCF是等边三角形，若BC=3，则FG的最大值为．7(2023·江苏泰州·九年级专题练习)如图，在矩形ABCD中，AD=10，AB=16，P为CD的中点，连接BP．在矩形ABCD外部找一点E，使得∠BEC+∠BPC=180°，则线段DE的最大值为．8(2023·陕西渭南·三模)如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=5，点E在BC上，且CE=4BE，点M 为矩形内一动点，使得∠CME=45°，连接AM，则线段AM的最小值为．9(2023江苏扬州·三模)如图，在等边△ABC和等边△CDE中，AB=6，CD=4，以AB、AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．若将△CDE绕点C旋转一周，则线段AF的最小值是．10(2023秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习)如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB= AC=22，点D为△ABC所在平面内一点，∠BDC=90°，以AC、CD为边作平行四边形ACDE，则CE的最小值为．11(2023·福建泉州·统考模拟预测)如图，点E是正方形ABCD的内部一个动点(含边界)，且AD= EB=8，点F在BE上，BF=2，则以下结论：①CF的最小值为6；②DE的最小值为82-8；③CE= CF；④DE+CF的最小值为10；正确的是．12(2021·广东·中考真题)在△ABC中，∠ABC=90°,AB=2,BC=3．点D为平面上一个动点，∠ADB=45°，则线段CD长度的最小值为．13(2023·广东·深圳市二模)如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E为边BC上一动点，F为AE 中点，G为DE上一点，BF=FG，则CG的最小值为．14(2023秋·广东汕头·九年级校考期中)如下图，在正方形ABCD中，AB=6，点E是以BC为直径的圆上的点，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°，得到线段DF，连接CF，则线段CF的最大值与最小值的和．15(2023·陕西渭南·统考一模)如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，Q是矩形ABCD左侧一点，连接AQ、BQ，且∠AQB=90°，连接DQ，E为DQ的中点，连接CE，则CE的最大值为．16(2023·安徽亳州·统考模拟预测)等腰直角△ABC 中，BAC =90°，AB =5，点D 是平面内一点，AD =2，连接BD ，将BD 绕D 点逆时针旋转90°得到DE ，连接AE ，当DAB =(填度数)度时，AE 可以取最大值，最大值等于．17(2023·河北廊坊·统考二模)已知如图，△ABC 是腰长为4的等腰直角三角形，∠ABC =90°，以A 为圆心，2为半径作半圆A ，交BA 所在直线于点M ，N ．点E 是半圆A 上仟意一点．连接BE ，把BE 绕点B 顺时针旋转90°到BD 的位置，连接AE ，CD ．(1)求证：△EBA ≌△DBC ；(2)当BE 与半圆A 相切时，求弧EM的长；(3)直接写出△BCD 面积的最大值．18(2022·北京·中考真题)在平面直角坐标系xOy 中，已知点M (a ,b ),N .对于点P 给出如下定义：将点P 向右(a ≥0)或向左(a <0)平移a 个单位长度，再向上(b ≥0)或向下(b <0)平移b 个单位长度，得到点P '，点P '关于点N 的对称点为Q ，称点Q 为点P 的“对应点”．(1)如图，点M (1,1),点N 在线段OM 的延长线上，若点P (-2,0),点Q 为点P 的“对应点”．①在图中画出点Q；②连接PQ,交线段ON于点T.求证：NT=12 OM;(2)⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，且ON=t12<t<1，若P为⊙O外一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ.当点M在⊙O上运动时直接写出PQ长的最大值与最小值的差(用含t的式子表示)19(2023下·广东广州·九年级校考阶段练习)如图，△ABC为等边三角形，点P是线段AC上一动点(点P不与A，C重合)，连接BP，过点A作直线BP的垂线段，垂足为点D，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接DE，CE．(1)求证：BD=CE；(2)连接CD，延长ED交BC于点F，若△ABC的边长为2；①求CD的最小值；②求EF的最大值．20(2023·江苏常州·统考二模)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-13x2+bx-3的图像与x轴交于点A和点B9,0，与y轴交于点C．(1)求二次函数的表达式；(2)若点P是抛物线上一点，满足∠PCB+∠ACB=∠BCO，求点P的坐标；(3)若点Q在第四象限内，且cos∠AQB=35，点M在y轴正半轴，∠MBO=45°，线段MQ是否存在最大值，如果存在，直接写出最大值；如果不存在，请说明理由．。
过不在同一直线上的三点作圆湘教版九年级下册
B
M
C
EF，交MN于点O；
3பைடு நூலகம்以O为圆心，OB为半径作圆.所以
⊙O就是所求作的圆.
1.现在你知道怎样将一个如图所示的破 损圆盘复原吗？ 方法: 1.在圆弧上任取三点A、 B、C. 2.分别作线段AB、BC的 垂直平分线,其交点O即 为圆心. 3.以点O为圆心，OC长 为半径作圆. ⊙O即为所求. A B
一位考古学家在长沙马王堆汉墓挖掘时，发现一圆形瓷 器碎片，你能帮助这位考古学家画出这个碎片所在的整 圆，以便于进行深入的研究吗？
想一想
要确定一个圆必须满足几个条 件?
1.过一点可以作几条直线？ 2.过几点可确定一条直线？ 过几点可以确定一个圆呢？
经过一点可以作无数条直线；
●
A
●
A
●
B
经过两点只能作一条直线.
【答案】D
D.（3，1）
3.（江西·中考）如图，以点P为圆心的圆弧与X轴交于A、 B两点，点P的坐标为（4，2）点A的坐标为（2，0）
则点B的坐标为
．
【答案】 (6,0)
4.（湖州·中考）请你在如图所示的12×12的网格图形 中任意画一个圆，则所画的圆最多能经过144个格点中的 个格点．
【答案】12
【规律方法】外心它是三边中垂线的交点，到三个顶点 的距离相等，在数学和实际运用中，要分析清楚题意， 转化为数学问题.要求明确已知什么？求作什么？
2.求边长为a的等边三角形的外接圆的半径. Rt △OBD中，有∠OBD=30°
a BD 2
A
· O
COS OBD
a BD 2 OB COS OBD COS 30
线的交点，它到三角形的三个顶
点的距离相等.
已知圆弧坐标求圆心坐标的公式
已知圆弧坐标求圆心坐标的公式在数学的奇妙世界里，有一种有趣的问题：已知圆弧坐标求圆心坐标。
这可不是一个能轻松解决的小麻烦，不过别怕，咱们一起来把它弄明白！想象一下，你正在一个大大的操场上画圆。
你标记了圆弧上的几个点的坐标，然后就想着怎么找到这个圆的中心，也就是圆心的坐标。
这就像是在玩一个解谜游戏，只不过这个谜题需要我们用数学知识来解开。
咱们先来说说这个公式到底是怎么来的。
假设圆弧上有三个点 A(x1, y1)、B(x2, y2)、C(x3, y3) ，那通过这三个点就能求出圆心的坐标。
首先，我们要分别求出线段 AB 和线段 BC 的中垂线方程。
求中垂线方程，这可不是一件容易的事儿。
比如说求线段 AB 的中垂线方程，我们得先算出 AB 的中点坐标，然后求出 AB 的斜率，根据斜率的负倒数就能得到中垂线的斜率。
接着，利用点斜式就能写出中垂线的方程啦。
这过程听起来是不是有点复杂？别急，我给您举个具体的例子。
比如说，A 点的坐标是(1, 2)，B 点的坐标是(3, 4)，那 AB 的中点坐标就是（（1 + 3）/ 2，（2 + 4）/ 2），也就是(2, 3)。
AB 的斜率就是（4 - 2）/（3 - 1） = 1，那中垂线的斜率就是 -1 啦。
假设中点坐标是(x0, y0) ，中垂线的斜率是 k ，那中垂线的方程就是 y - y0 = k(x - x0) 。
同样的方法，求出线段 BC 的中垂线方程。
然后呢，这两条中垂线的交点就是圆心的坐标啦！我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个学生特别可爱，一直皱着眉头，嘴里还嘟囔着：“这怎么这么难呀！”我就笑着跟他说：“别着急，咱们一步一步来，就像搭积木一样，一块一块搭，总能搭出漂亮的城堡。
”然后我带着他一步一步地推导，最后他恍然大悟，脸上露出了开心的笑容。
其实呀，数学就是这样，有时候看起来很难，但只要我们耐心一点，细心一点，总能找到解决问题的办法。
就像已知圆弧坐标求圆心坐标这个公式，虽然推导过程有点繁琐，但当我们真正掌握了，那种成就感可真是无与伦比的。
圆过坐标原点的知识点
圆过坐标原点的知识点在数学中，圆是一个非常重要的几何概念。
而圆的定义和性质是数学学习的基础内容之一。
本文将重点讨论圆的一个特殊性质：圆过坐标原点。
圆的定义：圆是平面上所有到一个固定点距离相等的点的轨迹。
这个固定点称为圆心，两个相等的距离称为半径。
圆的标准方程:假设圆的圆心为O(x0, y0)，半径为r，那么圆的标准方程为(x - x0)^2 + (y - y0)^2 = r^2。
圆过坐标原点的性质：当圆过坐标原点时，即圆心的坐标为O(0, 0)，圆的标准方程为x^2 + y^2 = r^2。
由此可知，圆过坐标原点的标准方程相对简化，不需要包含圆心坐标的变量。
简化公式的应用：1. 圆的半径已知，求圆心坐标：在标准方程x^2 + y^2 = r^2中，由于圆过坐标原点，即x0=0，y0=0，可以直接得到圆心坐标为O(0, 0)。
2. 圆的圆心已知，求半径：在标准方程(x - x0)^2 + (y - y0)^2 =r^2中，由于圆心是坐标原点O(0, 0)，即x0=0，y0=0，方程简化为x^2 + y^2 = r^2。
我们可以通过给定的圆心坐标，将公式代入，即可求得半径的值。
3. 圆的方程已知，求圆心坐标和半径：在标准方程中，已知x和y的值，圆心的坐标即为(0, 0)，半径的值可以通过计算得到。
圆过坐标原点的实际应用：圆过坐标原点的性质在数学、物理、工程等领域有广泛的应用。
1. 电路分析：在电路分析中，我们常常会遇到以原点为圆心的圆形电路元件，如电容或电感，利用圆过坐标原点的性质可以更方便地分析电路的特性。
2. 几何建模：在计算机图形学中，我们可以利用圆过坐标原点的特性，通过调整半径值来生成具有规则对称性的几何模型。
3. 几何定位：在实际测量中，我们可以通过圆仪器将圆弧或圆环与坐标原点对齐，以便更准确地确定物体的位置和尺寸。
结论：圆过坐标原点的知识点是数学学习中的基础内容，掌握了这一知识，可以更好地理解和应用圆的相关性质。
圆弧的方程式
圆弧的方程式圆弧是几何学中常见的曲线之一，也是生活中常见的形状。
在数学中，圆弧的方程式可以用多种方式表示，其中最常见的是极坐标和直角坐标系下的参数方程。
无论采用何种方式，圆弧的方程式都能够准确地描述出圆弧的形状和特征，为人们研究和应用圆弧提供了强有力的工具。
本文将针对圆弧的方程式进行详细的介绍与解析。
一、圆弧的极坐标方程在极坐标系中，圆弧可以表示为：r = f(θ)其中，r为圆弧到极点的距离，θ为圆弧与极正半轴的夹角，f(θ)为一个映射函数，用来描述圆弧的形状和大小。
常见的圆弧方程式如下：1. r = a + bcosθ这是描述椭圆形圆弧的方程式，其中a和b分别代表椭圆的半长轴和半短轴长度。
椭圆形圆弧的极点位于椭圆长轴方向上，其中a和b的正负号决定了椭圆的朝向。
2. r = a + bsinθ这是描述另一种椭圆形圆弧的方程式，其中a和b同样代表椭圆的半长轴和半短轴长度。
不同的是，该方程式的极点位于椭圆短轴方向上，再加上a和b的正负号决定了椭圆的朝向。
3. r = a*cosθ这是描述半径为a的圆弧的方程式，可以发现，在此情况下，圆弧的极点即为圆心，且圆弧经过的点的极角均为0到2π之间的角度。
二、圆弧的参数方程在直角坐标系中，圆弧可以使用参数方程来描述其形状和大小。
参数方程通常由两个函数组成，分别代表x和y坐标随着参数t的变化而变化的函数。
常见的圆弧参数方程如下：1. x = a*cos(t), y = a*sin(t)这是描述半径为a的圆弧的参数方程，它由两个函数组成，分别表示圆弧上任意一点的x和y坐标，且圆弧的极点即为圆心。
2. x = a*cos(t), y = b*sin(t)这是描述椭圆形圆弧的参数方程，其中a和b分别代表椭圆的半长轴和半短轴长度。
椭圆形圆弧的极点位于椭圆长轴方向上，且再加上a和b 的正负号决定了椭圆的朝向。
3. x = a + b*cos(t), y = c + d*sin(t)这是描述任意椭圆形圆弧的参数方程，其中a、b、c、d分别代表椭圆形圆弧的中心点坐标和半长短轴长度。
数学四分之一圆弧线中点坐标
数学四分之一圆弧线中点坐标
在一个四分之一圆弧线上，如何求得线段中点的坐标？下面提供一种简单的方法：
假设四分之一圆弧线的半径为r，圆心坐标为(x0,y0)。
现在我们需要求出圆弧线上一段线段的中点坐标，该线段的起点坐标为(x1,y1)，终点坐标为(x2,y2)。
步骤1：求出线段的中点坐标
中点坐标可以通过以下公式计算：
x_mid = (x1 + x2) / 2
y_mid = (y1 + y2) / 2
步骤2：求出线段与x轴的夹角
线段与x轴的夹角可以通过以下公式计算：
theta = atan2(y2-y1,x2-x1)
其中，atan2()函数是求反正切值的函数，y2-y1表示线段在y 轴上的投影长度，x2-x1表示线段在x轴上的投影长度。
步骤3：求出中点到圆心的距离
中点到圆心的距离可以通过以下公式计算：
d = r / sqrt(2 - 2 * cos(theta))
其中，cos()函数是求余弦值的函数，sqrt()函数是求平方根的函数。
步骤4：求出中点在圆弧线上的位置
中点在圆弧线上的位置可以通过以下公式计算：
x = x0 + d * cos(theta)
y = y0 + d * sin(theta)
其中，sin()函数是求正弦值的函数。
到此为止，我们就可以求出线段中点在四分之一圆弧线上的坐标了。
圆弧接点如何计算公式
圆弧接点如何计算公式圆弧接点是指两个圆弧相切的点，计算圆弧接点的公式可以通过几何知识和数学原理进行推导。
在几何学中，圆弧接点的计算涉及到圆的性质、切线和切点的概念，以及一些基本的几何公式和定理。
本文将从这些方面入手，详细介绍圆弧接点的计算公式。
首先，我们需要了解圆的性质和切线的概念。
在几何学中，圆是一个平面上所有点到一个固定点的距离都相等的集合。
而切线是与圆相切且只有一个公共点的直线。
圆弧接点就是切线与圆弧相切的点，也就是切线与圆弧的交点。
接下来，我们来推导圆弧接点的计算公式。
假设有一个圆弧和一条切线，我们需要求出切线与圆弧的接点坐标。
首先，我们可以利用圆的标准方程和直线的一般方程来表示圆和切线的方程，然后通过求解这两个方程的交点来得到圆弧接点的坐标。
圆的标准方程一般形式为：(x a)² + (y b)² = r²。
其中(a, b)为圆心坐标，r为半径。
直线的一般方程一般形式为：Ax + By + C = 0。
其中A、B、C为实数，且A和B不同时为零。
假设圆的标准方程为(x a)² + (y b)² = r²，切线的一般方程为Ax + By + C = 0。
我们可以通过将切线方程代入圆的方程中，得到一个关于x和y的二次方程。
解这个二次方程可以得到切线与圆的交点坐标，即圆弧接点的坐标。
具体来说，我们可以将切线的方程代入圆的方程中，得到一个关于x和y的二次方程：(x a)² + (Ax + By + C b)² = r²。
展开并整理得到：(x² 2ax + a²) + (A²x² + 2ABxy + B²y² + 2ACx + 2BCy + C² 2abx 2b²) = r²。
化简得到：(1 + A²)x² + 2ABxy + (1 + B²)y² + (2AC 2a 2ab)x + (2BC 2b² + C²) = r² a²。