磁场的能量

R
习题：7.6.2
1 0 H 2 2 rdr 单位长度 0 2 0 I 2 证毕。 16
R
H 内 nI， B内 nI
螺线管（螺绕环）的自感系数
自感线圈储存的磁能
L n 2V
1 2 1 2 2 Wm LI n VI 2 2
1 BHV 2 磁场均匀分布在螺线管（螺绕环）体积V内，磁 能也均匀分布在体积V内，磁场的能量密度为 Wm 1 1 m BH B H V 2 2
§7.6 磁场的能量
将自感线圈的磁能及互感线圈的磁能转化为磁 场的能量，将磁能用描述磁场的场量 B和H 来表示。 考虑一个很长的直螺线管，管内充满磁导率为 的均匀磁介质。管中磁场看作均匀且认为磁场全 部集中在管内。 考虑一个螺绕环（平均半径远大于环上所绕线 圈的半径），环内充满磁导率为 的均匀磁介质。 环中磁场看作均匀且认为磁场全部集中在环内。 设通过螺线管（螺绕环）的电流为I，则螺线管 （螺绕环）内的磁感应强度及磁场强度为
说明：（1）上式从螺线管（螺绕环）中均匀磁 场的特例导出，但它是一个普通成立的表达式，只 须将 B、H 看成位置的函数即可。
（2）对于非均匀的磁场，求总磁场能量 Wm ，就 是将上式对磁场存在的空间V进行积分，即
1 Wm （B H）dV 2 V
（3）如果空间的磁场是由多个电流激发，如电流 I1、I2 在空间某点激发的磁场分别为 B1、H1 和 B2、 H 2 ，则据叠加原理该点的总磁场为
例2（补充）： 习题 7.6.3
无限长圆柱形导线 P317
I
μr r P
横截面图
R
证明：导线内的磁场为
rI H 2R 2
磁场能量密度
B H
1 1 2 H m B H 0 r 2 2
1 0 H 2 2
导线内 r 1
磁场能量
Wm m dV
0
μr R2 R1
横截面图
I
（2）单位长度同轴电缆内储存的磁场能量
Wm mdV
Fra Baidu bibliotek0 r I 2 Wm 2 rdr 2 2 R 8 r 0 r I 2 R2 ln 4 R1
R2
1
dV 2rdrl l 取单位长度
（3）单位长度上同轴电缆的自感磁能为
1 2 Wm LI 2 0 r R2 L ln 两式比较得 2 R1
B B1 B2
H H1 H 2
储存在磁场所在空间的总磁场能量为
1 Wm （B H）dV 2 V
1 Wm B1 B2 H1 H 2 dV 2 V
1 1 ( B1 H1 )dV ( B2 H 2 )dV 2 V 2 V 1 ( B1 H 2 B2 H1 )dV 2 V
例1（补充）：无限长同轴电缆的内筒半径R1，
（2）单位长度同轴电缆所储存的磁场能量 （3）同轴电缆单位长度的自感系数 解：（1）由于磁场分布具有 对称性，由安培环路定理得两筒 之间的磁场分布为 I 0 r I H B 2r 2r 磁场能量密度 0 r I 2 1 m BH 2 8 2 r 2
上述三式说明：在恒定磁场的情形中，用路量 （L，M，I）和用场量（ B、H ）表示的磁能是相 等的。同时还提供了一种计算自感系数和互感系数 的方法，即通过磁场能量计算L和M。 外筒半径R2，两筒之间充满均匀磁介质，其相对磁 导率 r ，电流I从外筒流去，内筒流回，忽略两筒 厚度，求 （类似习题7.6.2） （1）两筒间磁场能量密度分布
上式（1）（2）项对应于载流线圈1和2的自感磁 能，即
1 1 2 ( B H ) dV L I 1 1 1 1 2 V 2 1 1 2 ( B2 H 2 )dV L2 I 2 2 V 2
第（3）项对应于两个载流线圈间的互感磁能，即
1 B1 H 2 B2 H1 dV MI1 I 2 2 V