2018-2019年上海市七宝中学高三上开学考数学试卷及答案

七宝中学高三上九月开学考

2018.09

一. 填空题

1. 已知集合2{|340}A x x x =--=，{|10,}B x mx m =+=∈R ，且A B A =，则所有

满足条件的m 构成的集合为

2. 设,a b ∈R ，则“tan b α=”是“arctan b α=”的 条件

3. 294i z z +=+（i 为虚数单位），则||z =

4. 若△ABC 中，4a b +=，30C ∠=︒，则△ABC 面积的最大值是

5. 设直线l 过点(4,0)P -，且与直线:310m x y -+=的夹角为l 的方 程是

6. 设常数0a >，9

(x

展开式中6x 的系数为4，则2lim()n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=

7. 已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，11

()142

x x f x =-++，则此函数

的值域是

8. 已知函数8()log (8)a f x x x

=+-在[2,)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是 9. 奇函数()y f x =满足对任意x ∈R 都有(2)(2)0f x f x ++-=，且(1)9f =，则

(2016)(2017)(2018)f f f ++的值为

10. 平面直角坐标系中，给出点(1,0)A 、(4,0)B ，若直线10x my +-=上存在点P ，使得

||2||PA PB =，则实数m 的取值范围是

11. 下列命题：

① 关于x 、y 的二元一次方程组1

323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩

的系数行列式0D =是该方程组有

解的必要非充分条件；

② 已知E 、F 、G 、H 是空间四点，命题甲：E 、F 、G 、H 四点不共面，命题乙： 直线EF 和GH 不相交，则甲成立是乙成立的充分非必要条件；

③“2a <”是“对任意的实数x ，|1||1|x x a ++-≥恒成立”的充要条件； ④“0p =或4p =-”是“关于x 的方程p

x p x

=+有且仅有一个实根”的充要条件； 其中，真命题序号是

12. 在直角坐标平面xOy 中，已知两定点1(2,0)F -与2(2,0)F 位于动直线:0l ax by c ++=的同侧，设集合

{|P l =点1F 与点2F 到直线l 的距离之差等于2}，22{(,)|4,,}Q x y x y x y =+≤∈R ，记{(,)|(,),}S x y x y l l P =∉∈，{(,)|(,)}T x y x y Q

S =∈，则由T 中的所有点所组成的图形的面积是

二. 选择题

13. 设a 、b 为实数，则“01ab <<”是“1

b a

<

”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 若函数()2sin()f x x ω=在区间[,]54

ππ

-上存在最小值2-，则非零实数ω的取值范围 是（ ）

A. (,2]-∞-

B. [6,)+∞

C. 5(,2][,)2-∞-+∞

D. 15

(,][6,)2

-∞-

+∞ 15. 已知集合{(,)|||||1}M x y x y =+≤，若实数对(,)λμ满足：对任意的(,)x y M ∈，都有(,)x y M λμ∈，则称(,)λμ是集合M 的“嵌入实数对”，则以下集合中，不存在集合M 的 “嵌入实数对”的是（ ）

A. {(,)|2}λμλμ-=

B. {(,)|2}λμλμ+=

C. 22{(,)|2}λμλμ-=

D. 22{(,)|2}λμλμ+=

16. 已知函数210

()(1)0

x x f x f x x -⎧-+≤=⎨->⎩，则下列命题中正确命题的个数是（ ）

① 函数()f x 在[1,)-+∞上为周期函数；

② 函数()f x 在区间[,1)m m +上单调递增；

③ 函数()f x 在1x m =-（m ∈N ）取到最大值0，且无最小值；

④ 若方程()log (2)a f x x =+（01a <<）有且仅有两个不同的实根，则11[,)32

a ∈； A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

三. 解答题 17. 关于x 的不等式

2

01x a x

+<的解集为(1,)b -.

（1）求实数a 、b 的值；

（2）若1i z a b =+，2cos isin z αα=+，且12z z 为纯虚数，求tan α的值.

18. 如图，四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 为平行四边形，若60DAB ∠=︒，

2AB =，1AD =.

（1）求证：PA BD ⊥；

（2）若45PCD ∠=︒，求点D 到平面PBC 的距离h .

19. 如果一条信息有n （1n >，n ∈N ）种可能的情形（各种情形之间互不相容），且这些 情形发生的概率分别为1p 、2p 、⋅⋅⋅、n p ，则称12()()()n H f p f p f p =++⋅⋅⋅+（其中

()log a f x x x =-，(0,1)x ∈）为该条信息的信息熵，已知11

()22

f =.

（1）若某班共有32名学生，通过随机抽签的方式选一名学生参加某项活动，试求“谁被选 中”的信息熵的大小；

（2）某次比赛共有n 位选手（分别记为1A 、2A 、⋅⋅⋅、n A ）参加，若当1,2,,1k n =⋅⋅⋅-时， 选手k A 获得冠军的概率为2k -，求“谁获得冠军”的信息熵H 关于n 的表达式.

20. 双曲线2

2

21y x b

-=（0b >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线l 过2F 且与双曲线交

于A 、B 两点.

（1）若l 的倾斜角为2

π

，△1F AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；

（2）设b =，若l 的斜率存在，且11()0F A F B AB +⋅=，求l 的斜率.