2018-2019年上海市七宝中学高三上开学考数学试卷及答案
精品解析：上海市七宝中学2019届高三上学期期末考试数学试题(解析版)
2019年上海市闵行区七宝中学高考数学一模试卷注意事项：1、答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置上。
2、选择题答案使用2B铅笔填涂，如蒞改动，用橡皮搽干净后，再选涂其它答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
一、选择题（本大题共4小题）1.设集合P1={x|x2+ax+1＞0}，P2={x|x2+ax+2＞0}，其中a∈R，下列说法正确的是（）A. 对任意a，P1是P2的子集B. 对任意a，P1不是P2的子集C. 存在a，使得P1不是P2的子集D. 存在a，使得P2是P1的子集【答案】 A【解析】【分析】由不等式的性质得：由x2+ax+1＞0，则有x2+ax+2=x2+ax+1+1＞0+1＞0，由x2+ax+2＞0，不能推出x2+ax+1＞0，由集合间的关系得：P1P2，得解．【详解】解：由x2+ax+1＞0，则有x2+ax+2=x2+ax+1+1＞0+1＞0，由x2+ax+2＞0，则有x2+ax+1=x2+ax+2-1＞-1，不能推出x2+ax+1＞0，即P1P2，故选：A．【点睛】本题考查了集合间的关系，不等式的性质，属简单题．2.△ABC中，a2：b2=tan A：tan B，则△ABC一定是（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形【答案】 D【解析】【分析】由已知a2：b2=tanA：tanB，利用正弦定理及同角基本关系对式子进行化简，然后结合二倍角公式在进行化简即可判断.【详解】解：∵a2：b2=tanA：tanB，由正弦定理可得，∵sin AsinB≠０∴∴sin AcosA=sin BcosB即sin2A=sin2B∴2A=2B或2A+2B=π∴A=B或A+B=，即三角形为等腰或直角三角形故选：D．【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，正弦定理的应用，式子变形是解题的关键和难点．3.抛物线y=2x2上有一动弦AB，中点为M，且弦AB的长度为3，则点M的纵坐标的最小值为（）A. B. C. D. 1【答案】 A【解析】【分析】由题意设，，直线的方程为，代入抛物线方程，写出韦达定理关系式及弦长与点的纵坐标关系式，通过基本不等式确定最小值.【详解】由题意设，，，直线的方程为，联立方程，整理得，，，点M的纵坐标，弦的长度为，即，整理得，即根据基本不等式，，当且仅当，时取等，即，，点的纵坐标的最小值为.故选 A.【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系，考查基本不等式在圆锥曲线综合问题中的应用，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用.解决直线与圆锥曲线综合问题基本步骤为：（1）设，即设交点坐标和直线方程，注意考虑直线斜率是否存在;（2）联，即联立直线方程与圆锥曲线，消元;（3）判，即直线与圆锥曲线的位置关系可以通过判别式加以判断;（4）韦，即韦达定理，确定两根与系数的关系.（5）代，即根据已知条件，将所求问题转换到与两点坐标和直线方程相关的问题，进而求解问题.4.已知正数数列{a n}满足a n+1≥２a n+1，且a n＜2n+1对n∈N*恒成立，则a1的范围为（）A. [1，3]B. （1，3）C. （0，3]D. （0，4）【答案】 C【解析】【分析】由条件可得1+a n+1≥２（a n+1），设b n=1+a n，（a n＞0，b n＞1），运用累乘法，结合不等式恒成立，即可得到所求范围．【详解】解：正数数列{a n}满足a n+1≥２a n+1，可得1+a n+1≥２（a n+1），设b n=1+a n，（a n＞0，b n＞1）即有b2≥２b1，b3≥２b2，…，b n≥２b n-1，累乘可得b n≥b1?2n-1，可得1+a n≥（1+a1）?2n-1，又a n＜2n+1对n∈N*恒成立，可得1+2n+1＞1+a n≥（1+a1）?2n-1，即有1+2n+1＞（1+a1）?2n-1，。
上海七宝中学等七校2019高三3月联考试题-数学理
上海七宝中学等七校2019高三3月联考试题-数学理数学〔理科〕 2018年3月6日(上师大附中、七宝中学、向明中学、廸平中学、延安中学、南洋 模范、复兴高级)〔完卷时间120分钟 总分值150分〕【一】填空题(本大题总分值56分)本大题共有14题，只要求将最终结果直接填写答题纸上相应的横线上，每个空格填对得4分，否那么一律得零分、 1. 假设2cos()sin()0x x ππ-+-=，那么tan()4x π+=. 2. 线性方程组{230230x y x y --=++=的增广矩阵是 . 3. 复数1z i =+的共轭复数是z ， z z 、在复平面内对应的点分别是 A B 、，O 为坐标原点，那么AOB ∆的面积是 . 4. 假设函数()8x f x =的图像经过点1()3a ，，那么1(2)f a -+= .5. 设 a b c ，，分别是锐角ABC ∆中角 A B C ，，所对的边，假设2sin a c A =，那么角C = .6. 设等差数列}{n a 的公差为正，假设21231 3a a a a ==-，，那么456a a a ++= .7. 向量(2 3) (4 7)a b ==-，，，，假设(2)//()a b a b λ+-，那么λ= .8. 假设212lim(1)3n n a a a-→∞++++=，那么二项式10()x a -的展开式中，7x 的系数是 . 9. 如图的程序框图运行后输出的结果是 .10. 一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：31()f x x =,2()5x f x =,3()2f x =，421()21x xf x -=+， 5()sin()2f x x π=+，6()cos f x x x =.从中任意拿取2张卡片，那么两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函 数的概率是 . 11. 1122arcsin ()22x x x xx f x +--++=+的最大值和最小值分别是M 和m ，那么M m += . 12. 设12 F F 、分别为双曲线22221(00)y x a t a ta -=>>，的左、右焦点，过1F 且倾斜角为30的直线与双曲线的右支相交于点P ，假设212||||PF F F =，那么t = .13. 函数()Mf x 的定义域为R ，且定义如下：1() M x x M f x x M x∈⎧⎪=⎨∉⎪⎩(其中M 是实数集R 的非空真子集)，假设{||1|2} {|11}A x x B x x =-≤=-≤<，，那么函数2()1()()()1A BA B f x F x f x f x +=++的值域为 .第9题图 ODB CA P Q第14题图14. 如下图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长 ①假设Q 是PA 的中点，那么//PC 平面BDQ ； 15. ②假设PB PD =，那么BD CQ ⊥；16. ③假设PAC ∆是正三角形，那么PO ⊥平面ABCD ；17. ④假设3PA PC PB PD ===，，60ABC ∠=，那么四棱锥P ABCD -的体积为18. 其中正确的命题是.【二】选择题(本大题总分值20分)本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应的正确代号用2B 铅笔涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分. 19. 假设抛物线22(0)x py p =>上不同三点的横坐标的平方成等差数列， 20. 那么这三点 ()21. A 、到原点的距离成等差数列B 、到x 轴的距离成等差数列22. C 、到y 轴的距离成等差数列D 、到焦点的距离的平方成等差数列23. 假设()sin f x x =在区间()()a b a b <，上单调递减，那么()x a b ∈，时，() 24. A.sin 0x < B.cos 0x < C.tan 0x < D.tan 0x >25. 假设实数 a b 、满足0 0a b ≥≥，，且0ab =，那么称a 与b互补、记( )a b a bϕ=--，，那么“( )0a b ϕ=，”是“a 与b 互补”的()26. A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件 27. 实数 (0)a b c a ≠、、满足0(0)21a b cm m m m++=>++，对于函数2()f x ax bx c =++，()1m af m +与0的大小关系是() 28. A.()01m af m >+ B.()01m af m <+ C.()01maf m =+ D.与m 的大小有关 【三】解答题(本大题共5题，总分值74分)每题均需写出详细的解答过程.29. (此题总分值12分)此题共有2小题，第(1)小题总分值6分，第(2)小题总分值6分、设ABC ∆的角 A B C ，，所对的边分别是 a b c ，，，向量( )m a b =，,(sin sin )n B A =，，(2 2)p b a =--，.(1)假设//m n ，求证：ABC ∆为等腰三角形； (2)假设m p ⊥，边长2c =，角3C π=，求ABC ∆的面积.30. (此题总分值14分)此题共有2小题，第(1)小题总分值6分，第(2)小题总分值8分、 空气污染指数(API)是一种用于反映和评价空气质量的数量，我国计入空气污染指数的项目暂定为：总悬浮颗粒物(10PM )、2SO 和2NO .其计算公式为()I I I C C I C C -=-+-大小小小大小，其中I 为某污染物的污染指数，C 为该污染物的浓度；C 大(I 大)和C 小(I 小)分别是API 分级限值表(附表)中最贴近C (I )值的两个限值.根据这个公式分别计算各污染物的API 分指数；选取API 分指数最大值为全市API,且该项污染物即为该市空气中的首要污染物.(1)假设某地区的10PM 、2SO 和2NO 日均值分别为0.215毫克/立方米，0.105毫克/立方米和0.080毫克/立方米，求空气污染指数API ，并指出首要污染物；(2)某地的首要污染物为2SO ，10PM 和2NO 的API 分指数分别为122和67，政府对相关企业进行限排，减少2SO 和10PM 的污染，使得首要污染物变成了10PM ，且其分指数不超过80，2SO 的API 分指数低于2NO 的API 分指数，求限排后2SO 和10PM 浓度的范围.附表：API 分级限值表污染指数限值 污染物浓度(毫克/立方米)(日均值) 污染物浓度(小时均值) API 2SO 2NO 10PM CO 3O50 0.050 0.080 0.050 5 0.120 100 0.150 0.120 0.150 10 0.200 200 0.800 0.280 0.350 60 0.400 300 1.600 0.565 0.420 90 0.800 400 2.100 0.750 0.500 120 1.000 500 2.620 0.940 0.600 150 1.20031. (此题总分值14分)此题共有2小题，第(1)小题总分值7分，第(2)小题总分值7分、如图，抛物线24y x =的焦点为F ，过点(2 0)P ，且斜率为1k11( )A x y ，，22( )B x y ，两点，直线 AF BF 、分别与抛物线交于点 M 、(1)证明OA OB ⋅的值与1k无关，并用12y y ，表示1k ；(2)记直线MN 的斜率为2k ，证明12k k 为定值、 32. (此题总分值16分)此题共有3小题，第(1)小题4分，第(2)小题4分，第(3)小题8分、函数2()2(0)f x x ax a =->.(1)当2a =时，解关于x 的不等式3()5f x -<<；(2)对于给定的正数a ，有一个最大的正数()M a ，使得在整个区间[0 ()]M a ，上，不等式|()|5f x ≤恒成立.求出()M a 的解析式； (3)函数()y f x =在[ 2]t t +，的最大值为0，最小值是4-，求实数a 和的值. 33. (此题总分值18分)此题共有3小题，第(1)小题4分，第(2)小题6分，第(3)小题8分、一青蛙从点0( )A x y ，( )()i i i A x y i N *∈，，(如下图，000( )A x y ，n A 所经过的路程.(1)假设点000( )A x y ，为抛物线22y px =(0)p >一点，点1A 、2A 均在该抛物线上，并且直线1A 2A 过该抛物线的焦点，证明23S p =.(2)假设点( )n n n A x y ，要么落在y x =所表示的曲线上，要么落在2y x =所表示的曲线上，并且011( )22A ，,第21题图试写出lim nn S →+∞(请简要说明理由)；(3)假设点( )n n n A x y ，要么落在y x =所表示的曲线上，要么落在2y x =所表示的曲线上，并且01( 1)2A ，,求n S 的表达式. 数学(理科)参考答案及评分标准【一】填空题(本大题总分值56分)本大题共有14题，只要求将最终结果直接填写答题纸上相应的横线上，每个空格填对得4分，否那么一律得零分、 34. 假设2cos()sin()0x x ππ-+-=，那么tan()4x π+=.3- 35. 线性方程组{230230x y x y --=++=的增广矩阵是.()123213-- 36. 复数1z i =+的共轭复数是z ， z z 、在复平面内对应的点分别是 A B 、，O 为坐标原点，那么AOB ∆的面积是. 37. 假设函数()8x f x =的图像经过点1()3a ，，那么1(2)f a -+=.2338. 设 a b c ，，分别是锐角ABC ∆中角 A B C ，，所对的边，假设2sin a c A =，那么角C =.6π39. 设等差数列}{n a 的公差为正，假设21231 3a a a a ==-，，那么456a a a ++=21. 40. 向量(2 3) (4 7)a b ==-，，，，假设(2)//()a b a b λ+-，那么λ=.2-41. 假设212lim(1)3n n a a a-→∞++++=，那么二项式10()x a -的展开式中，7x 的系数是15.42. 如图的程序框图运行后输出的结果是.6343. 一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数： 44. 31()f x x =,2()5x f x =,3()2f x =，421()21x x f x -=+， 45.5()sin()2f x x π=+，6()cos f x x x =.从中任意拿取2张46. 卡片，那么两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函 47. 数的概率是.15(或0.2)48.1122arcsin ()22x x x xx f x +--++=+的最大值和最小值分别49. 是M 和m ，那么M m +=.4 50. 设12 F F 、分别为双曲线22221(00)y x a t a ta -=>>，的左、右焦点，过1F 且倾斜角为30的直线与双曲线的右支相交于点P ，假设212||||PF F F =，那么t =第9题图51. 函数()Mf x 的定义域为R ，且定义如下：1() M x x M f x x M x∈⎧⎪=⎨∉⎪⎩(其中M 是实数集R 的非空真子集)，假设{||1|2} {|11}A x x B x x =-≤=-≤<，，那么函数2()1()()()1A B A B f x F x f x f x +=++的值域为.21[1]13，； 52. 如下图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长53. 为2的菱形，Q ∈棱PA ，AC BD O =、有以下命题： 54. ①假设Q 是PA 的中点，那么//PC 平面BDQ ； 55. ②假设PB PD =，那么BD CQ ⊥；56. ③假设PAC ∆是正三角形，那么PO ⊥平面ABCD ；57. ④假设3PA PC PB PD ===，，60ABC ∠=，那么四棱锥P ABCD -的体积为58. 其中正确的命题是.①②④【二】选择题(本大题总分值20分)本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应的正确代号用2B 铅笔涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分. 59. 假设抛物线22(0)x py p =>上不同三点的横坐标的平方成等差数列， 60. 那么这三点 (B)61. A 、到原点的距离成等差数列B 、到x 轴的距离成等差数列62. C 、到y 轴的距离成等差数列D 、到焦点的距离的平方成等差数列63. 假设()sin f x x =在区间()()a b a b <，上单调递减，那么()x a b ∈，时，(B) 64. A.sin 0x < B.cos 0x < C.tan 0x < D.tan 0x >65. 假设实数 a b 、满足0 0a b ≥≥，，且0ab =，那么称a 与b 互补、记( )a b a bϕ=--，，那么“( )0a b ϕ=，”是“a 与b 互补”的(C)66. A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件 67. 实数 (0)a b c a ≠、、满足0(0)21a b cm m m m++=>++，对于函数2()f x ax bx c =++，()1m af m +与0的大小关系是(B) 68. A.()01m af m >+ B.()01m af m <+ C.()01maf m =+ D.与m 的大小有关 【三】解答题(本大题共5题，总分值74分)每题均需写出详细的解答过程.69. (此题总分值12分)此题共有2小题，第(1)小题总分值6分，第(2)小题总分值6分、设ABC ∆的角 A B C ，，所对的边分别是 a b c ，，，向量( )m a b =，,(sin sin )n B A =，，(2 2)p b a =--，.(1)假设//m n ，求证：ABC ∆为等腰三角形； (2)假设m p ⊥，边长2c =，角3C π=，求ABC ∆的面积.ODB CAP Q第14题图证明：(证法一)(1)∵m ∥n ，∴sin sin a A b B =，………………3分 由正弦定理可知，22a b a b R R⋅=⋅，其中R 是ABC ∆外接圆的半径， ∴a b =.∴ABC ∆为等腰三角形.………………6分 (证法二)∵m ∥n ，∴sin sin a A b B =，………………3分由正弦定理可知，22sin sin A B =，∴sin sin A B =∵ (0 )A B π∈、，，∴A B =.即ABC ∆为等腰三角形.………………6分 (2)由题意可知，0m p ⋅=，即(2)(2)0a b b a -+-=，∴a b ab +=…………8分由余弦定理可知，2224()3,a b ab a b ab =+-=+-即2()340ab ab --=4ab ∴=，(1ab =-舍去)………………10分∴11sin 4sin 224ABC S ab C π∆==⨯=………………12分 70. (此题总分值14分)此题共有2小题，第(1)小题总分值6分，第(2)小题总分值8分、空气污染指数(API)是一种用于反映和评价空气质量的数量，我国计入空气污染指数的项目暂定为：总悬浮颗粒物(10PM )、2SO 和2NO .其计算公式为()I I I C C I C C -=-+-大小小小大小，其中I 为某污染物的污染指数，C 为该污染物的浓度；C 大(I 大)和C 小(I 小)分别是API 分级限值表(附表)中最贴近C (I )值的两个限值.根据这个公式分别计算各污染物的API 分指数；选取API 分指数最大值为全市API,且该项污染物即为该市空气中的首要污染物.(1)假设某地区的10PM 、2SO 和2NO 日均值分别为0.215毫克/立方米，0.105毫克/立方米和0.080毫克/立方米，求空气污染指数API ，并指出首要污染物；(2)某地的首要污染物为2SO ，10PM 和2NO 的API 分指数分别为122和67，政府对相关企业进行限排，减少2SO 和10PM 的污染，使得首要污染物变成了10PM ，且其分指数不超过80，2SO 的API 分指数低于2NO 的API 分指数，求限排后2SO 和10PM 浓度的范围.附表：API 分级限值表污染指数限值 污染物浓度(毫克/立方米)(日均值) 污染物浓度(小时均值) API 2SO 2NO 10PM CO 3O 50 0.050 0.080 0.050 5 0.120100 0.150 0.120 0.150 10 0.200 200 0.800 0.280 0.350 60 0.400 300 1.600 0.565 0.420 90 0.800 400 2.100 0.750 0.500 120 1.000 500 2.620 0.940 0.600 150 1.200解：(1)设(1 2 3)kI k =，，分别为210 PM SO 、和2NO 的污染指数， (1 2 3)k C k =，，分别为210 PM SO 、和2NO 的浓度根据上表，对于10PM ，∵0.1500.2150.350<<， ∴0.350 0.150 200 100C C I I ====小小大大，，，，………………1分其API 分指数为1200100(0.2150.150)100132.50.3500.150I -=-+=-……………3分 同理2SO 的API 分指数210050(0.1050.050)5077.50.1500.050I -=-+=- 2NO 的API 分指数350I =………………5分由此可见，空气污染指数API 为132.5，首要污染物为总悬浮颗粒物10PM ……6分 (2)依题意，1110050(0.050)50(67 80]0.1500.050I C -=-+∈-，， 解得10.0840.110C <≤………………10分2210050(0.050)50670.1500.050I C -=-+<-，解得10.084C < ∴限排后10PM 和2SO 浓度的范围分别是(0.084 0.110]，和[0 0.084)，.…………14分 71. (此题总分值14分)此题共有2小题，第(1)小题总分值7分，第(2)小题总分值7分、如图，抛物线24y x =的焦点为F ，过点(2 0)P ，且斜率为1k11( )A x y ，，22( )B x y ，两点，直线 AF BF 、分别与抛物线交于点 M N 、(1)证明OA OB ⋅的值与1k 无关，并用12y y ，表示1k ；(2)记直线MN 的斜率为2k ，证明12k k 为定值、证明：(1)依题意，设直线AB 的方程为2x my =+、……………1分 将其代入24y x =，消去x ，整理得2480y my --=、…………4分 从而128y y =-、于是2212126444416y y x x =⋅==………………5分 ∴1212484OA OB x x y y ⋅=+=-=-与1k 无关，又1212122121212444y y y y k y y x x y y --===-+-………………7分(2)证明：设33( )M x y ，，44( )N x y ，、那么223434341121222212341234124444y y x x y y k y y y yk x x y y y yy y y y --+--=⨯=⨯=---+-、…………8分设直线AM 的方程为1x ny =+，将其代入24y x =，消去x ，整理得2440y ny --=∴134y y =-、同理可得244y y =-、………………11分故34112212121244412y y k y y k y y y y y y --++-====++、………………13分 第21题图由(1)知，128y y =-，∴1212k k =为定值、………………14分 72. (此题总分值16分)此题共有3小题，第(1)小题4分，第(2)小题4分，第(3)小题8分、函数2()2(0)f x x ax a =->.(1)当2a =时，解关于x 的不等式3()5f x -<<；(2)对于给定的正数a ，有一个最大的正数()M a ，使得在整个区间[0 ()]M a ，上，不等式|()|5f x ≤恒成立.求出()M a 的解析式； (3)函数()y f x =在[ 2]t t +，的最大值为0，最小值是4-，求实数a 和的值.解：(1)2a =时，{224503()5430x x f x x x --<-<<⇔-+>①②………………1分由①得，15x -<<，由②得，1x <或3x >， ∴(1 1)(3 5)-，，为所求.………………4分(2)∵0a >，当25a -<-，即a时，()M a a =………………6分当250a -≤-<，即0a <时，()M a a =∴()a a M a a a ⎧>=⎨<⎩………………8分(3)22()()(2)f x x a a t x t =--≤≤+，显然(0)(2)0f f a ==………………9分 ①假设0t =，那么1a t ≥+，且min [()]()4f x f a ==-，或min [()](2)4f x f ==-，当2()4f a a =-=-时，2a =±，2a =-不合题意，舍去当2(2)2224f a =-⨯=-时，2a =………………12分 ②假设22t a +=，那么1a t ≤+，且min[()]()4f x f a ==-，或min [()](22)4f x f a =-=-，当2()4f a a =-=-时，2a =±，假设2a =，2t =，符合题意； 假设2a =-，那么与题设矛盾，不合题意，舍去当2(22)(22)2(22)4f a a a a -=---=-时，2a =，2t =………………15分 综上所述，{20a t ==和{22a t ==符合题意.………………16分73. (此题总分值18分)此题共有3小题，第(1)小题4分，第(2)小题6分，第(3)小题8分、一青蛙从点0( )A x y ，( )()i i i A x y i N *∈，，(如下图，000( )A x y ，n A 所经过的路程.(1)假设点000( )A x y ，为抛物线22y px =(0)p >一点，点1A 、2A 均在该抛物线上，并且直线1A 2A 过该抛物线的焦点，证明23S p =.(2)假设点( )n n n A x y ，要么落在y x =所表示的曲线上， 要么落在2y x =所表示的曲线上，并且011( )22A ，,试写出lim nn S →+∞(请简要说明理由)；(3)假设点( )n n n A x y ，要么落在y x =所表示的曲线上，要么落在2y x =所表示的曲线上，并且01( 1)2A ，,求n S 的表达式. 解：(1)设00( )2pA y -，，由于青蛙依次向右向上跳动， 所以10( )2p A y ，，20( )2p A y -，，由抛物线定义知：23S p =………………4分 (2)依题意，*2122122121 ()n n n n n n x x x y y x n N +-+-====∈，………………5分011223342221212lim ||||||||||||n n n n n n S A A A A A A A A A A A A ---→∞=+++++++1021324354212221()()()()()()()n n n n x x y y x x y y x x x x y y --=-+-+-+-+-++-+-+1032542122()2()2()2()n n x x x x x x x x -=-+-+-++-+随着n 的增大，点n A 无限接近点(1 1)，………………8分 横向路程之和无限接近11122-=，纵向路程之和无限接近11122-=所以lim n n S →+∞=11122+=………………10分(注：只要能说明横纵坐标的变化趋势，用文字表达也行) (3)设点222212121( ) ( )kkkk k k A x y A x y +++，，，，由题意，nA 的坐标满足如下递推关系：001 12x y ==，，且2122122(0 1 2 3 ) (0 1 2 3 )k k k k y y k x x k +++====，，，，，，，，， 其中212122 2k k k k yx y x ++==，，∴212222k k k x x x ++==，………………11分(方法一)∴2{}k x 是以012x =为首项，2为公比的等比数列，∴2122k k x =⨯，22k k y =即当n 为偶数时，2122n n x =⨯，22nn y =………………13分 又21222k k k x x ++==，21212k k k y x ++==，∴当n 为奇数时，11222 2n n n n x y --==， (14)分于是，当n 为偶数时，011223342221212||||||||||||k k k k A A A A A A A A A A A A ---++++++10213243542122221()()()()()()()k k k k x x y y x x y y x x x x y y ---=-+-+-+-+-++-+-10203142532123222()()()()()()()k k k k x x y y x x y y x x x x y y ---=-+-+-+-+-++-+-220033()()222k k k x y x y =+-+=⨯-………………16分当n 为奇数时，011223342221221||||||||||||k k k k A A A A A A A A A A A A --+++++++1021324354221212()()()()()()()k k k k x x y y x x y y x x y y x x -+=-+-+-+-+-++-+-10203142532122121()()()()()()()k k k k x x y y x x y y x x y y x x ++-=-+-+-+-+-++-+-2121003()()222kk k x y x y ++=+-+=⨯-∴12232 23(21) 2n nn n S n +⎧-⎪=⎨⎪-⎩为奇数为偶数………………18分(方法二)∴2{}k x 是以012x =为首项，2为公比的等差数列，∴2122k k x =⨯，22k k y = 又21222k k k x x ++==，21212k k k y x ++==∴2121122222kk k k k x x +-=-⨯=⨯，12221222k k k k k y y +++-=-=………………13分于是，当n 为偶数时，011223342221212||||||||||||k k k k A A A A A A A A A A A A ---++++++10213243542122221()()()()()()()k k k k x x y y x x y y x x x x y y ---=-+-+-+-+-++-+-1111(122)(122)22k k --=++++⨯++++33222k =⨯-………………16分 当n 为奇数时，011223342221221||||||||||||k k k k A A A A A A A A A A A A --+++++++1021324354221212()()()()()()()k k k k x x y y x x y y x x y y x x -+=-+-+-+-+-++-+- 111(122)(122)22k k -=++++⨯++++3222k =⨯- ∴12232 23(21) 2n nn n S n +⎧-⎪=⎨⎪-⎩为奇数为偶数………………18分.(注：本小题假设没有写出递推关系，直接归纳得到正确结论而没有证明，扣4分)。
上海市七宝中学2019届高三上学期期末考试数学试题.doc
2018学年七宝中学高三年级第一学期期末考试卷2019.1一、填空题1.设{}2018,A x x x R =≤∈，{}B x y x R ==∈，则A B ⋂= .2.已知定义在[]1,1-上的函数()f x 值域为[]2,0-，则函数(y =的值域为 .3.若行列式13201x a --的展开式的绝对值小于6的解集为()1,2-，则实数a 等于 . 4.在()0,2π内使33sin cos x x >成立的x 的取值范围是 . 5.在等差数列{}n a 中，78S =，则4a = .6.已知()122x f x +=-，那么()12f -的值是 .7.高三毕业时，甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念且已知甲乙相邻，则甲丙相邻的概率为 .8.若(),P x y 是双曲线22184x y -=上的动点，则x y -最小值是 .9.设点P 到平面a点Q 在平面a 上，使得直线PQ 与平面a 所成角不小于30°且不大于60°.则这样的PQ 所构成的区域体积为 .10.已知AB. P 为单位圆上的点，若()f BP BA λλ=-uu r uu r的最小值为m （其中R λ∈），当点P 在单位圆上运动时，则m 的最大值为 . 11.已知函数(),f a x x x =+随着a ,x 在定义域内变化时，该函数的最大值为 .12.已知定义在R +上的函数()331log 03log 13949x x f x x x x ⎧-<≤⎪=-<≤⎨⎪>⎩，设,,a b c 为三个互不相同的实数，满足()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围为 .二、选择题13.设集合{}2110P x x ax =++>，{}2220P x x ax =++>，其中a R ∈，下列说法正确的是（ ）A.对任意a ，1P 是2P 的子集 B . 对任意a ，1P 不是2P 的子集C .存在a ，使得1P 不是2P 的子集D . 存在a ，使得2P 是1P 的子集14.如果在ABC V 中，,,a b c 为其三边长，若22tan tan a A b B =，则ABC V 的形状为（ ）A .等腰三角形B .直角三角形C .等腰直角三角形D .等腰或直角三角形15.抛物线22y x =有一动弦AB ，重点为M ，弦AB 的长为3，则点M 的纵坐标的最小值为（ ） A .118B . 54C . 32 D .116.已知正数数列{}n a 满足121n n a a +≥+，且12n n a +<对*n N ∈恒成立，则1a 的范围为（ ） A . []1,3 B . ()1,3 C . (]0,3 D . ()0,4 三、解答题17.在长方体1111ABCD A B C D -中（如图），11AD AA ==，2AB =，点E 是棱AB 的中点.（1）求异面直线1AD 与EC 所成角的大小；（2）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，试问四面体1D CDE 是否为鳖臑？并说明理由.18.设S ，T 是R 的两个非空子集，如果函数()y f x =满足：①(){}T f x x S =∈；②对任意12,x x ，当12x x <时，恒有()()12f x f x <，那么称函数()y f x =为集合S 到集合T 的“保序同构函数”.（1）试判断下列函数()111f x x x =--，()tan 2f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭是否是集合{}01A x x =<<到集合R 的保序同构函数；请说明理由. （2）若()21xf x x =+是集合[]0,s 到集合[]0,t 是保序同构函数，求s 和t 的最大值. 19.如图1，已知一个长方形展览大厅为20m ，宽为16 m ，展厅入口位于其长边的中间位置，为其正中央由一个圆心为C 的圆盘形站台，现欲在展厅一角B 点处安装一个监控摄像头对展台与入口进行监控（如图中阴影所示），要求B 与圆C 在同一水平面上. （1）若圆盘半径为25m ，求监控摄像头最小水平摄像视角的正切值；（2）若监控摄像头最大水平视角为60°，求圆盘半径的最大值.（注：水平摄像视角指镜头中心点与水平观察物体边缘的视线的夹角）20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>左右焦点分别为1F ,2F ，过1F 任作一条与坐标轴都不垂直的直线，与C 交于A ，B 两点，且2ABF V 的周长为8，当直线AB 的斜率为34时，2AF 与x 轴垂直.（1）求椭圆C 的方程；（2）若A 是该椭圆上位于第一象限的一点，过A 作圆222x y b +=的切线，切点为P ，求1AF AP -的值；（3）设()()0,P m m b ≠±为定点，直线I 过点P 与x 轴交于点Q ，且与椭圆交于C ，D 两点，设QC PC λ=uuu r uu u r ，QD PD μ=uuu r uu u r，求λμ+的值.21.设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1，q 为非零正常数，已知对任意整数n ,m ，当n >m 时，m n m n m S S q S --=⋅恒成立. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明数列1n n S S +⎧⎫⎨⎬⎩⎭时递增数列；（3）是否存在正常数c 使得(){}lg n c S -为等差数列？若存在，求出常数c 的值；若不存在，说明理由. 参考答案 一、填空题1. ∅2. []2,0-3. 44. 3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭5. 876. 2x =7.138. 2 9.10. 3211. 142 12. ()81,144二、选择题13.A 14.D 15.A 16.C 三、解答题 17.（1）3π（2）是 18.（1）是；是 （2）1s =，12t =19.（1）1+（2）4 20.（1）22143x y += （2）2 （3）263m -- 21.（1）()1*n n a q n N -=∈ （2）略 （3）()10,11c q q=∈-。
上海市闵行区七宝中学2018-2019学年高三数学上学期期中试卷及答案解析
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∈ R，a ≠ 0）的定义域与值域都是[m,n]（n > m） ，求区间[m,n]的最大长
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上海市闵行区七宝中学 2018-2019 学年高三数学上学期期中试卷及答案解析
7.命题“若实数 a、b 满足 a + b ≤ 5，则 a ≤ 2 或 b ≤ 3”是________命题（填“真”或“假”） 8.某个时钟时针长 6cm，则在本场考试时间 120 分钟内，该时针扫过的面积是______cm2 9.设 f(x) = log1
1−ax 为奇函数，则 x−1 2 a
a =______．
10.函数 y = x + x在(1,2)上单调递增，则实数 a 的取值范围为________ 11.在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，若 a = 3，c = 2，A = 3，则△ABC 的面积为 ________ 12.已知函数 f(x) = x4 ，则 f(3x − 1) < f(1 + x2 )的解集是________ 13.若关于 x 的不等式|2x − a| + x > 1 在[0,2]上恒成立，则正实数 a 的取值范围为________ 恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 14.已知常数 a > 0，函数 f(x) = 2x+ax的图像经过点 P(p, 5 )、Q(q, − 5 )，若2p+q = 16pq，则 a =________ 15.已知函数 f(x) =− 3x3 − 3x + 3−x − 3x + 3，若 f(3a2 ) + f(b2 − 1) = 6，则 a 1 + b2 的最大值是________ 性，其二是由 f(3a2 ) + f(b2 − 1) = 6 得 3a2 + b2 = 1，其三是利用三角换元求函数 a 1 + b2 的最大值. 2−x 1< x ≤2 16.已知函数 f(x) = 1 ，如果函数 g(x) = f(x) − k(x − 1)恰有三个不同的零点，那么实数 k f(2x) 0 < x ≤ 1 的取值范围是________ 三、解答题（本大题共 5 小题，共 60.0 分） 17.已知锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于 A、B 两点，其中 A 点坐标( 5 , 5 ). （1）求
上海市2018-2019学年度七宝中学高三第二学期数学开学考试卷(解析版)
2018-2019学年上海市闵行区七宝中学高三（下）开学数学试卷（3月份）一、填空题1．已知复数z满足z（1+i）＝2（i是虚数单位），则|z|＝．2．已知集合A＝{x||x﹣1|＜2，x∈R}，B＝{x|2x≥1，x∈R}，则A∩B＝．3．已知f（x）＝，其反函数为f﹣1（x），则f﹣1（0）＝．4．已知a，b＞0，2a＝3b＝m，且a、ab、b成等差数列，则m＝5．若二项式（x+）6展开式的常项数为20，则a＝．6．实数x，y满足不等式组，那么目标函数z＝2x+4y的最小值是．7．长方体ABCD﹣A1B1C1D1内接于球O，且AB＝BC＝2，AA1＝2，则A、B两点之间的球面距离为．8．已知F1，F2分别是椭圆+＝1的左、右焦点，点P是椭圆上的任意一点，则的取值范围是．9．已知数列{a n}中，若a1＝0，a i＝k2（i∈N*，2k≤i＜2k+1，k＝1，2，3，…），则满足a i+a2i ≥100的i的最小值为．10．若边长为6的等边三角形ABC，M是其外接圆上任一点，则的最大值为．11．已知函数f（x）＝，记a n＝f（n）（n∈N*），若{a n}是递减数列，则实数t的取值范围是．12．设整数n≥3，集合P＝{1，2，…，n}，A，B是P的两个非空子集．则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对（A，B）的个数为：．二、选择题13．函数的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π14．二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件是（）A．系数行列式D≠0B．比例式C．向量不平行D．直线a1x+b1y＝c1，a2x+b2y＝c2不平行15．某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为：（）A．B．C．D．16．对于函数f（x），若存在区间A＝[m，n]，使得{y|y＝f（x），x∈A}＝A，则称函数f（x）为“可等域函数”，区间A为函数f（x）的一个“可等域区间”．给出下列4个函数：①f（x）＝sin（x）；②f（x）＝2x2﹣1；③f（x）＝|1﹣2x|；④f（x）＝log2（2x﹣2）．其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为（）A．①②③B．②③C．①③D．②③④三、解答题17．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱AA1＝2，E为棱CC1的中点．（1）求异面直线AE与BC1所成角的大小；（2）求三棱锥B1﹣ADE的体积．18．已知向量，，函数．（Ⅰ）求f（x）的最大值，并求取最大值时x的取值集合；（Ⅱ）已知a、b、c分别为△ABC内角A、B、C的对边，且a，b，c成等比数列，角B 为锐角，且f（B）＝1，求的值．19．记数列{a n}的前n项和为S n，其中所有奇数项之和为S n′，所有偶数项之和为S n″．（1）若{a n}是等差数列，项数n为偶数，首项a1＝1，公差d＝，且S n″﹣S n′＝15，求S n；（2）若数列{a n}的首项a1＝1，满足2tS n+1﹣3（t﹣1）S n＝2t（n∈N*），其中实常数t∈（，3），且S n′﹣S n″＝，请写出满足上述条件常数t的两个不同的值和它们所对应的数列．20．抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F为圆C：x2+y2﹣4x+3＝0的圆心．（1）求抛物线的方程与其准线方程；（2）直线l与圆C相切，交抛物线于A，B两点；①若线段AB中点的纵坐标为4，求直线l的方程；②求的取值范围．21．若存在常数k（k＞0），使得对定义域D内的任意x1，x2（x1≠x2），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成立，则称函数f（x）在其定义域D上是“k﹣利普希兹条件函数”．（1）若函数f（x）＝，（1≤x≤4）是“k﹣利普希兹条件函数”，求常数k的最小值；（2）判断函数f（x）＝log2x是否是“2﹣利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；（3）若y＝f（x）（x∈R）是周期为2的“1﹣利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤1．参考答案一、填空题1．【解答】解：∵z（1+i）＝2，∴，则|z|＝．故答案为：．2．【解答】解：A＝{x||x﹣1|＜2，x∈R}＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|2x≥1，x∈R}＝{x|x≥0}，则A∩B＝{x|0≤x＜3}＝[0，3）故答案为：[0，3）3．【解答】解：f（x）＝，∴f﹣1（x）＝，∴f﹣1（0）＝﹣1故答案为：﹣14．【解答】解：∵a，b＞0，2a＝3b＝m≠1，∴a＝，b＝．∵a、ab、b成等差数列，∴2ab＝a+b，∴2××＝+．∴lgm＝＝＝lg．则m＝．故答案为：．5．【解答】解：二项式（x+）6展开式的通项公式：T r+1＝x6﹣r＝a r x6﹣2r，令6﹣2r＝0，解得r＝3．∴常项数为20＝a3，则a＝1．故答案为：1．6．【解答】解：约束条件对应的平面区域如下图示：当直线z＝2x+4y过（3，﹣3）时，Z取得最小值﹣6．故答案为：﹣6．7．【解答】解：由AB＝BC＝2，AA1＝2，得AC1＝BD1＝4，∴△ABO为正三角形，∠AOB＝，∴A，B两点间的球面距离为2×＝，故答案为：．8．【解答】解：，因为2≤PF1≤6且函数在x∈[2，6]上单调递增，所以，故．故答案为：[0，2]．9．【解答】解：∵a i＝k2（i∈N*，2k≤i＜2k+1，k＝1，2，3，…），∴a i+a2i＝k2+（k+1）2≥100，故k≥7；故i的最小值为27＝128，故答案为：128．10．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴三角形的外接圆半径为2，以外接圆圆心O为原点建立平面直角坐标系，设A（2，0），B（﹣，3）．设M（2cosθ，2sinθ），则，．∴＝﹣18cosθ+6sinθ+18＝12sin（θ﹣）+18．∴的最大值是18+12．故答案为18+12．11．【解答】解：要使函数f（x）＝x2﹣3tx+18在x≤3（x∈N*）时单调递减，则＞，解得t；要使函数f（x）＝在x＞3单调递减，则必须满足t﹣13＜0，解得t＜13．又函数f（x）在x∈N*时单调递减，则f（3）＝27﹣9t＞f（4）＝（t﹣13）•，解得t ＜4．故t的取值范围是．故答案为：．12．【解答】解：设A中的最大数为k，其中1≤k≤n﹣1，整数n≥3，则A中必含元素k，另元素1，2，…，k﹣1，可在A中，故A的个数为：++…+＝2k﹣1，B中必不含元素1，2，…，k，另元素k+1，k+2，…，n可在B中，但不能都不在B中，故B的个数为：++…+＝2n﹣k﹣1，从而集合对（A，B）的个数为2k﹣1•（2n﹣k﹣1）＝2n﹣1﹣2k﹣1，∴a n＝（2n﹣1﹣2k﹣1）＝（n﹣1）•2n﹣1﹣＝（n﹣2）•2n﹣1+1．故答案为：（n﹣2）•2n﹣1+1．二、选择题13．【解答】解：∵＝2sin（2x+），∴最小正周期T＝＝π．故选：C．14．【解答】解：当两直当两直线共面时，直线a1x+b1y＝c1，a2x+b2y＝c2不平行，二元一次方程组存在唯一解当两直线异面，直线a1x+b1y＝c1，a2x+b2y＝c2不平行，二元一次方程组无解，故直线a1x+b1y＝c1，a2x+b2y＝c2不平行是二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件．故选：D．15．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的所有事件是10位同学参赛演讲的顺序共有：A1010；满足条件的事件要得到“一班有3位同学恰好被排在一起而二班的2位同学没有被排在一起的演讲的顺序”可通过如下步骤：①将一班的3位同学“捆绑”在一起，有A33种方法；②将一班的“一梱”看作一个对象与其它班的5位同学共6个对象排成一列，有A66种方法；③在以上6个对象所排成一列的7个间隙（包括两端的位置）中选2个位置，将二班的2位同学插入，有A72种方法．根据分步计数原理（乘法原理），共有A33•A66•A72种方法．∴一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为：．故选：B．16．【解答】解：①函数f（x）＝sin（x）的周期是4，正弦函数的性质我们易得，A＝[0，1]为函数的一个“可等域区间”，同时当A＝[﹣1，0]时也是函数的一个“可等域区间”，∴不满足唯一性．②当A＝[﹣1，1]时，f（x）∈[﹣1，1]，满足条件，且由二次函数的图象可知，满足条件的集合只有A＝[﹣1，1]一个．③A＝[0，1]为函数f（x）＝|2x﹣1|的“可等域区间”，当x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣1，函数单调递增，f（0）＝1﹣1＝0，f（1）＝2﹣1＝1满足条件，∴m，n取值唯一．故满足条件．④∵f（x）＝log2（2x﹣2）单调递增，且函数的定义域为（1，+∞），若存在“可等域区间”，则满足，即，∴m，n是方程2x﹣2x+2＝0的两个根，设f（x）＝2x﹣2x+2，f′（x）＝2x ln2﹣2，当x ＞1时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增，∴f（x）＝2x﹣2x+2＝0不可能存在两个解，故f（x）＝log2（2x﹣2）不存在“可等域区间”．故选：B．三、解答题17．【解答】解：（1）取BC的中点，连接EF、AF，因为EF∥BC1，所以∠AEF（或其补角）为异面直线AE与BC1所成角，又AE＝＝3，EF＝，AF＝，所以cos∠AEF＝＝，又0＜∠AEF＜π，所以异面直线AE与BC1所成角的大小为，故答案为（2）取BB1的中点H，连接EH，则EH∥AD，则V＝V＝V＝V＝＝，故答案为：．18．【解答】解：（Ⅰ）＝＝﹣2＝＝＝．故f（x）max＝1，此时，得．所以取得最大值的x的集合为{x|}．（Ⅱ）由f（B）＝，又∵0＜B＜，∴．∴，∴．由a，b，c成等比数列，则b2＝ac，∴sin2B＝sin A sin C．∴＝＝．19．【解答】解：（1）若数列{a n}项数n为偶数，由已知，得S″﹣S'＝15＝，解得n ＝20，Sn＝1×20+＝305．（2）在2tS n+1﹣3（t﹣1）S n＝2t（n∈N*）中，令n＝1，得a2＝，∵2tS n+1﹣3（t﹣1）S n＝2t（n∈N*）①可得2tS n﹣3（t﹣1）S n﹣1＝2t（n∈N*，n＞1）②①减去②得：＝，且，∵t∈（，3），∴0＜||＜1，．（当t＝1时，数列为1，0，0…，显然不合题意）所以，{a n}是首项a1＝1，公比q＝的等比数列，且公比0＜|q|＜1，设项数n＝3，∵S'﹣S″＝，∴∴，解得或（舍），由解得，∈（，3），所以，当t＝﹣2时，对应的数列为1，，．设数列{a n}为无穷数列，由题意，得S'＝，S″＝，∵S'﹣S″＝，∴＝，∴q＝﹣，由＝﹣解得∈（，3），∴当t＝时，对应的数列为：1，﹣，，……．20．【解答】解：（1）由圆C：x2+y2﹣4x+3＝0配方可得：（x﹣2）2+y2＝1，可得圆心C（2，0）．∴抛物线的焦点F（2，0）．∴＝2，解得p＝4．∴抛物线的准线方程为：x＝﹣2．（2）设直线l的方程为：my+t＝x，A（x1，y1），B（x2，y2）．∵直线l与圆C相切，∴＝1，化为：（t﹣2）2＝m2+1≥1．∴t≥3，或t≤1．联立，化为：y2﹣8my﹣8t＝0，△＝64m2+32t＞0．∴t＞﹣2m2．∴t≥3，或﹣2m2＜t≤1．∴y1+y2＝8m，y1y2＝﹣8t．①∵线段AB中点的纵坐标为4，∴4m＝4，∴m＝，∴（t﹣2）2＝m2+1＝4，解得t＝0或t＝4，故直线l的方程为x﹣y＝0或x﹣y﹣4＝0②•＝（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2＝（my1+t﹣2）（my2+t﹣2）+y1y2＝（m2+1）y1y2+m（t﹣2）（y1+y2）+（t﹣2）2＝﹣8t（m2+1）+8m2（t﹣2）+（t﹣2）2＝﹣8t（t﹣2）2+8[（t﹣2）2﹣1]（t﹣2）+（t﹣2）2＝﹣15t2+52t﹣44，＝﹣15（t﹣）2+∈（﹣∞，﹣7]．∴的取值范围是（﹣∞，﹣7]．21．【解答】解：（1）若函数f（x）＝，（1≤x≤4）是“k﹣利普希兹条件函数”，则对于定义域[1，4]上任意两个x1，x2（x1≠x2），均有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成立，不妨设x1＞x2，则k≥＝恒成立．∵1≤x2＜x1≤4，∴＜＜，∴k的最小值为．（2）f（x）＝log2x的定义域为（0，+∞），令x1＝，x2＝，则f（）﹣f（）＝log2﹣log2＝﹣1﹣（﹣2）＝1，而2|x1﹣x2|＝，∴f（x1）﹣f（x2）＞2|x1﹣x2|，∴函数f（x）＝log2x不是“2﹣利普希兹条件函数”．证明：（3）设f（x）的最大值为M，最小值为m，在一个周期[0，2]内f（a）＝M，f（b）＝m，则|f（x1）﹣f（x2）|≤M﹣m＝f（a）﹣f（b）≤|a﹣b|．若|a﹣b|≤1，显然有|f（x1）﹣f（x2）|≤|a﹣b|≤1．若|a﹣b|＞1，不妨设a＞b，则0＜b+2﹣a＜1，∴|f（x1）﹣f（x2）|≤M﹣m＝f（a）﹣f（b+2）≤|a﹣b﹣2|＜1．综上，|f（x1）﹣f（x2）|≤1．。
上海市七宝中学2018-2019学年上学期高一数学第一次月考试卷附答案解析
上海市七宝中学2018-2019学年上学期第一次月考高一数学试题一、单选题1．已知,a b 为非零实数，且a b <，则下列命题成立的是 A ．22a b < B ．22ab a b <C ．2211ab a b< D ．b aa b< 2．设集合A={}{}|1,,2,.x x a x R B xx b x R -<∈=-∈若A ⊆B,则实数a,b 必满足A ．3a b +≤B ．3a b +≥C ．3a b -≤ D ．3a b -≥3．已知函数2()f x ax bx c =++，且a b c >>，0a b c ++=，集合{|()0}A m f m =<，则（ ）A ．m A ∀∈，都有(3)0f m +>B ．m A ∀∈，都有(3)0f m +<C ．0m A ∃∈，使得0(3)0f m +=D ．0m A ∃∈，使得0(3)0f m +<4．设,,,a b c d R ∈，32()()()f x x a x bx cx d =++++，32()(1)(1)g x ax dx cx bx =++++.记集合{|()0,}S x f x x R ==∈，{|()0,}T x g x x R ==∈，若Card()S 、Card()T 分别表示集合S ，T的元素个数，则下列结论不可能的是（ ） A ．Card()1S =，Card()0T = B ．Card()1S =，Card()1T = C ．Card()2S =，Card()2T = D ．Card()2S =，Card()3T =二、填空题5．不等式||1x >的解集为________；6．已知集合{}02A x x =<<，{}11B x x =-<<，则A B =_________.7．设,,,a b c d R ∈，则()()0c d a b c a d b +>+⎧⎨-->⎩是c ad b>⎧⎨>⎩成立的________条件；8．不等式204xx -≥+的解集为________； 9．已知集合{}|A x x a =<，{}|2B x x =>，若A B ⋂=∅，则实数a 的取值范围是____________.10．已知,m n R ∈，若6m n +≤，则2m ≤或4n ≤”是_______命题（填“真”或“假”）. 11．关于x 的不等式2320kx kx k ++-≤的解集为R ，则实数k 的取值范围是__________ 12．已知{||1|2}A x x =-<，{|()(4)0}B x x m x =-->，若A B Ü，则实数m 的取值范围是________；13．已知关于x 的不等式|1||2|x x t +-->有解，则实数t 的取值范围是________；14．已知关于x 的方程22320x ax a -+-=的两个根1x ，2x ，且在区间()12,x x 上恰好有两个正整数解，则实数a 的取值范围是________. 15．定义区间(,)a b ，[,)a b ，(,]a b ，[,]a b 的长度均为d b a =-，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如(1,2)[3,5)的长度(21)(53)3d =-+-=，设()[]{}f x x x =⋅，()1g x x =-，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，{}[]x x x =-．若用d 表示不等式()()f x g x ≥解集区间的长度，则当[2018,2018]x ∈-时，d =________；16．对于集合M ，定义函数1,()1,M x Mf x x M-∉⎧=⎨∈⎩，对于两个集合M ，N ，定义集合{}|()()1M N M N x f x f x ∆=⋅=-．已知{2,4,6,8,10}A =，{1,2,4,8,16}B =，用||M 表示有限集合M中的元素个数，则对于任意集合M ，||||M A M B ∆+∆的最小值为________；三、解答题17．已知关于x 的不等式：(1)1()2a x a x ->∈-R ． （1）当1a =时，求此不等式的解集； （2）当1a <时，求此不等式的解集．18．命题甲：关于x 的方程20x x m ++=有两个相异负根；命题乙：不等式243m pm m p +>+-对[0,1]p ∈恒成立．（1）若这两个命题至少有一个成立，求实数m 的取值范围； （2）若这两个命题有且仅有一个成立，求实数m 的取值范围．19．若存在满足下列三个条件的集合A ，B ，C ，则称偶数n 为“萌数”：①集合A ，B ，C 为集合{1,2,3,4,,}M n =⋅⋅⋅的3个非空子集，A ，B ，C 两两之间的交集为空集，且A B C M =；②集合A 中的所有数均为奇数，集合B 中的所有数均为偶数，所有3的倍数都在集合C 中；③集合A ，B ，C 所有元素的和分别为1S ，2S ，3S ，且123S S S ==．注：(1)1232n n n ++++⋅⋅⋅+=． （1）判断：8n =是否为“萌数”？若为“萌数”，写出符合条件的集合A ，B ，C ，若不是“萌数”，说明理由．（2）证明：“62,n k k =+∈N ”是“偶数n 为萌数”成立的必要条件．20．已知集合2{|540}A x x x =-+≤，2{|220,}B x x ax a a =-++≤∈R ． （1）求集合A ；（2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围； （3）若B A ⊆，求实数a 的取值范围；21．已知M 是满足下列条件的集合：①0M ∈，1M ∈；②若,x y M ∈，则x y M -∈；③若x M ∈且0x ≠，则1M x∈．（1）判断13M ∈是否正确，说明理由； （2）证明：“x ∈Z ”是“x M ∈”的充分条件； （3）证明：若,x y M ∈，则xy M ∈．解析上海市七宝中学2018-2019学年上学期第一次月考高一数学试题一、单选题1．已知,a b 为非零实数，且a b <，则下列命题成立的是 A ．22a b < B ．22ab a b <C ．2211ab a b< D ．b aa b< 【答案】C 【解析】【详解】若a <b <0,则a 2>b 2，A 不成立；若220{,ab a b ab a b>⇒<<B 不成立；若a =1，b=2，则12,2b a b aa b a b==⇒>,所以D 不成立 ,故选C. 2．设集合A={}{}|1,,2,.x x a x R B xx b x R -<∈=-∈若A ⊆B,则实数a,b 必满足A ．3a b +≤B ．3a b +≥C ．3a b -≤D ．3a b -≥【答案】D【解析】试题分析：{}{}|1,|11A x x a x R x a x a =-<∈=-<<+，{}{}222B x x b x x b x b =-=+<-或，若A ⊆B ，则有21b a +≤-或21b a -≥+3a b ∴-≥【考点】1．绝对值不等式解法；2．集合的子集关系 3．已知函数2()f x ax bx c =++，且a b c >>，0a b c ++=，集合{|()0}A m f m =<，则（ ）A ．m A ∀∈，都有(3)0f m +>B ．m A ∀∈，都有(3)0f m +<C ．0m A ∃∈，使得0(3)0f m +=D ．0m A ∃∈，使得0(3)0f m +< 【答案】A【解析】试题分析：∵函数2()f x ax bx c =++，且a b c >>，0a b c ++=，故有0a >且0c <，∴02a a c a c <++=+，即2c a >-，且02a c c a c >++=+，即12c a <-，∴122c a -<<-，又(1)0f a b c =++=，∴1x =为()f x 的一个零点，由根与系数的关系可得，另一个零点为0ca<，∴有{|1}c A m m a =<<，∴331cm a+>+>，∴(3)0f m +>恒成立． 【考点】函数的零点、函数的性质．4．设,,,a b c d R ∈，32()()()f x x a x bx cx d =++++，32()(1)(1)g x ax dx cx bx =++++.记集合{|()0,}S x f x x R ==∈，{|()0,}T x g x x R ==∈，若Card()S 、Card()T 分别表示集合S ，T的元素个数，则下列结论不可能的是（ ） A ．Card()1S =，Card()0T = B ．Card()1S =，Card()1T = C ．Card()2S =，Card()2T = D ．Card()2S =，Card()3T =【答案】D【解析】给a ，b ，c ，d 取特值，可排除A ，B ，C ，再根据()()f x g x ，解析式关系，确定对应根的关系，即可判断D . 【详解】当a ＝b ＝c ＝d ＝0时，f （x ）＝x 3，g （x ）＝1，此时Crad （S ）＝1，Card （T ）＝0，排除A ； 当a ＝b ＝c ＝d ＝1时，f （x ）＝（x +1）（x 3+x 2+x +1）＝（x +1）2（x 2+1），g （x ）＝x 3+x 2+x +1＝（x +1）（x 2+1），此时Card （S ）＝1，Card （T ）＝1，排除B ； 当a ＝2，b ＝c ＝d ＝1时，f （x ）（x +2）（x +1）（x 2+1），此时Card （S ）＝2，g （x ）＝（2x +1）（x +1）（x 2+1），此时Card （T ）＝2，排除C ； 当0x ≠时32411()(1)(1)()a d c b g f x x x x x x x=++++= 又当0ad =时(0)0f ad ==，而(0)1g =，所以Card()S Card()T ≥，因此结论不可能的是D . 故选：D . 【点睛】本题考查函数解析式以及函数零点，考查综合分析判断能力，属中档题.二、填空题5．不等式||1x >的解集为________； 【答案】(,1)(1,)-∞-+∞【解析】根据绝对值定义化简求解 【详解】||111x x x >∴><-或故答案为：(,1)(1,)-∞-+∞【点睛】本题考查解含绝对值不等式，考查基本求解能力，属基础题. 6．已知集合{}02A x x =<<，{}11B x x =-<<，则A B =_________.【答案】()0,1【解析】根据交集的定义即可写出答案。
上海市七宝中学2019届高三月考数学试卷2019.3.25简略答案.doc
七宝中学高三数学试题2019.3.25一、填空题（本大题共有12题，满分54分）．1．已知集合{1,3,},{3,5}==A m B ，且⊆B A ，则实数m 的值是___________． 2．函数()=f x 的定义域是_____________． 3．函数2(2)=≥x y x 的反函数是_______________．4．如果圆锥的底面积为π，母线长为2，那么该圆锥的高为_____________． 5．二项式82⎫⎪⎭x 的展开式中的常数项为_____________．6．已知复数03=+z i （i 为虚数单位），复数z 满足003⋅=+z z z z ，则=z ________． 7．如右图，直三棱柱的主视图是边长为2的正方形，且俯视图为一个等边三角形，则该三棱柱的左视图面积为______________．8．某班从4位男生和3位女生志愿者选出4人参加校运动会的点名签到工作，则选出的志愿者中既有男生又有女生的概率是____________（结果用最简分数表示）．9．已知,r ra b 是平面内两个互相垂直的单位向量，且此平面内另一向量r c 在满足(3)(4)0+⋅-=r r r ra cbc 时，均能使||-≤rr c b k 成立，则k 的最小值是___________．10．已知函数()5sin(2),0,,[0,5]2πθθπ⎛⎤=-∈∈ ⎥⎝⎦f x x x ，若函数()()3=-F x f x 的所有零点依次记为123,,,,L n x x x x ，且1231-<<<⋯<<n n x x x x x ，*∈n N ，若 123218322222π--+++⋯+++=n n n x x x x x x ，则θ=___________． 11．已知函数()(0)2π=≥f x x x ，图像的最高点从左到右依次记为135,,,L P P P 函数()=y f x 图像与轴的交点从左到右依次记为246,,,L P P P ，设 ()()()23122323343441251+++=⋅+⋅+⋅++⋅u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u u u r u u u u u u u u r L nn n n n n S P P P P P P P P P P P P P P P P则lim 1(2)→∞=+-nnn S ______________．俯视图主视图1111112．若数列{}n a 满足221,--=n n a a p p 为常数，2≥n ，则称数列{}n a 为等方差数列，p 为公方差，已知正数等方差数列{}n a 的首项11=a ，且125,,a a a 成等比数列，12≠a a ， 设*12231111|,1100,N +⎧⎫==++⋯+≤≤∈⎨⎬+++⎩⎭n n n n A T T n n a a a a a a ，取A 的非空子集B ，若的元素都是整数，则为“完美子集”，那么集合中的完美子集的个数为___________．二、选择题（每题5分，共20分）13．关于,x y 的二元一次方程组341310+=⎧⎨-=⎩x y x y 的增广矩阵为 （ ）A 3411310-⎛⎫ ⎪-⎝⎭B 3411310⎛⎫ ⎪--⎝⎭C 3411310⎛⎫ ⎪-⎝⎭D 3411310⎛⎫⎪⎝⎭14．若函数(),=∈R y f x x 为非奇非偶函数，则有 （ ） A ．对于任意的0∈x R ，都有()()00-≠f x f x 且()()00-≠-f x f x B ．存在0∈x R ，使()()00-≠f x f x 且()()00-≠-f x f x C ．存在12,∈x x R ，使()()11-≠f x f x 且()()22-≠-f x f x D ．对于任意的0∈x R ，都有()()00-≠f x f x 或()()00-≠-f x f x15．无穷等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，前n 项和为()*∈n S n N ，则“10+>a d ” 是“{}n S 为递增数列”的 （ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件 16、在圆锥PO 中，已知高2=PO ，底面圆半径为4，为母线上一点，根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命题，正确的个数为（ ）①圆的面积为4π 37③双曲线两渐近线的夹角为4arcsin5π- 45A 1个B 2个C 3个D 4个 三、解答题：（本大题共有5题，满分76分）17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，已知长方体1111-A BCD A B C D 的棱长12,1,2===A B BC A A ，求： （1）异面直线1BC 与1CD 所成角的大小； （2）点B 到平面1A CD 的距离．1A 118．（本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分． 函数)()lg2=f x x ，其中0>b ．（1）若函数是奇函数，求b 的值；（2）在（1）的条件下，判别函数图像是否存在两点,A B ，使得直线AB 平行于x 轴，说明理由； 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 如图，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形,,ABCD AB AD 的长分别为,4m ，上部是圆心为O 的劣弧CD ，23π∠=COD 。
2018-2019学年上海市闵行区七宝中学高三(下)开学数学试卷(3月份)-解析版
2018-2019学年上海市闵行区七宝中学高三（下）开学数学试卷（3月份）一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.函数的最小正周期为（）A. B. C. D.2.二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件是（）A. 系数行列式B. 比例式C. 向量不平行D. 直线，不平行3.某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为：（）A. B. C. D.4.对于函数f（x），若存在区间A=[m，n]，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，则称函数f（x）为“可等域函数”，区间A为函数f（x）的一个“可等域区间”．给出下列4个函数：①f（x）=sin（x）；②f（x）=2x2-1；③f（x）=|1-2x|；④f（x）=log2（2x-2）．其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为（）A. ①②③B. ②③C. ①③D. ②③④二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.已知复数z满足z（1+i）=2（i是虚数单位），则|z|=______．6.已知集合A={x||x-1|＜2，x∈R}，B={x|2x≥1，x∈R}，则A∩B=______．7.已知f（x）=，其反函数为f-1（x），则f-1（0）=______．8.已知a，b＞0，2a=3b=m，且a、ab、b成等差数列，则m=______9.若二项式（x+）6展开式的常项数为20，则a=______．10.实数x，y满足不等式组，那么目标函数z=2x+4y的最小值是______．11.长方体ABCD-A1B1C1D1内接于球O，且AB=BC=2，AA1=2，则A、B两点之间的球面距离为______．12.已知F1，F2分别是椭圆+=1的左、右焦点，点P是椭圆上的任意一点，则的取值范围是______．13.已知数列{a n}中，若a1=0，a i=k2（i∈N*，2k≤i＜2k+1，k=1，2，3，…），则满足a i+a2i≥100的i的最小值为______．14.若边长为6的等边三角形ABC，M是其外接圆上任一点，则的最大值为______．15.已知函数f（x）=，，＞，记a n=f（n）（n∈N*），若{a n}是递减数列，则实数t的取值范围是______．16.设整数n≥3，集合P={1，2，…，n}，A，B是P的两个非空子集．则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对（A，B）的个数为：______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱AA1=2，E为棱CC1的中点．（1）求异面直线AE与BC1所成角的大小；（2）求三棱锥B1-ADE的体积．18.已知向量，，，，函数．（Ⅰ）求f（x）的最大值，并求取最大值时x的取值集合；（Ⅱ）已知a、b、c分别为△ABC内角A、B、C的对边，且a，b，c成等比数列，角B为锐角，且f （B）=1，求的值．19.记数列{a n}的前n项和为S n，其中所有奇数项之和为S n′，所有偶数项之和为S n″．（1）若{a n}是等差数列，项数n为偶数，首项a1=1，公差d=，且S n″-S n′=15，求S n；（2）若数列{a n}的首项a1=1，满足2tS n+1-3（t-1）S n=2t（n∈N*），其中实常数t∈（，3），且S n′-S n″=，请写出满足上述条件常数t的两个不同的值和它们所对应的数列．20.抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F为圆C：x2+y2-4x+3=0的圆心．（1）求抛物线的方程与其准线方程；（2）直线l与圆C相切，交抛物线于A，B两点；①若线段AB中点的纵坐标为4，求直线l的方程；②求的取值范围．21.若存在常数k（k＞0），使得对定义域D内的任意x1，x2（x1≠x2），都有|f（x1）-f（x2）|≤k|x1-x2|成立，则称函数f（x）在其定义域D上是“k-利普希兹条件函数”．（1）若函数f（x）=，（1≤x≤4）是“k-利普希兹条件函数”，求常数k的最小值；（2）判断函数f（x）=log2x是否是“2-利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；（3）若y=f（x）（x∈R）是周期为2的“1-利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数x1，x2，都有|f（x1）-f（x2）|≤1．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵=2sin（2x+），∴最小正周期T==π．故选：C．由已知利用两角和的正弦函数公式化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x+），利用三角函数的周期公式即可求值得解．本题主要考查了两角和的正弦函数公式，三角函数的周期公式的应用，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：当两直当两直线共面时，直线a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2不平行，二元一次方程组存在唯一解当两直线异面，直线a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2不平行，二元一次方程组无解，故直线a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2不平行是二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件．故选：D．利用二元一次方程组存在唯一解时，系数行列式不等于0，即可得到A，B，C为充要条件，对于选项的，直线分共面和异面两种情况．本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是利用二元一次方程组存在唯一解时，系数行列式不等于0，以及空间两直线的位置关系，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的所有事件是10位同学参赛演讲的顺序共有：A1010；满足条件的事件要得到“一班有3位同学恰好被排在一起而二班的2位同学没有被排在一起的演讲的顺序”可通过如下步骤：①将一班的3位同学“捆绑”在一起，有A33种方法；②将一班的“一梱”看作一个对象与其它班的5位同学共6个对象排成一列，有A66种方法；③在以上6个对象所排成一列的7个间隙（包括两端的位置）中选2个位置，将二班的2位同学插入，有A72种方法．根据分步计数原理（乘法原理），共有A33•A66•A72种方法．∴一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为：．故选：B．由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件是10位同学参赛演讲的顺序共有A1010；满足条件的事件要得到需要分为三步，根据分步计数原理得到结果，再根据古典概型公式得到结果．本题考查的是排列问题，把排列问题包含在实际问题中，解题的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题，解出结果以后再还原为实际问题．4.【答案】B【解析】解：①函数f（x）=sin （x）的周期是4，正弦函数的性质我们易得，A=[0，1]为函数的一个“可等域区间”，同时当A=[-1，0]时也是函数的一个“可等域区间”，∴不满足唯一性．②当A=[-1，1]时，f（x）∈[-1，1]，满足条件，且由二次函数的图象可知，满足条件的集合只有A=[-1，1]一个．③A=[0，1]为函数f（x）=|2x-1|的“可等域区间”，当x∈[0，1]时，f（x）=2x-1，函数单调递增，f（0）=1-1=0，f（1）=2-1=1满足条件，∴m，n取值唯一．故满足条件．④∵f（x）=log2（2x-2）单调递增，且函数的定义域为（1，+∞），若存在“可等域区间”，则满足，即，∴m，n是方程2x-2x+2=0的两个根，设f（x）=2x-2x+2，f′（x）=2x ln2-2，当x＞1时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增，∴f（x）=2x-2x+2=0不可能存在两个解，故f（x）=log2（2x-2）不存在“可等域区间”．故选：B．根据“可等域区间”的定义分别进行判断即可得到结论．本题主要考查与函数有关的新定义问题，根据“可等域区间”的定义，建立条件关系是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度．5.【答案】【解析】解：∵z（1+i）=2，∴，则|z|=．故答案为：．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础的计算题．6.【答案】[0，3）【解析】解：A={x||x-1|＜2，x∈R}={x|-1＜x＜3}，B={x|2x≥1，x∈R}={x|x≥0}，则A∩B={x|0≤x＜3}=[0，3）故答案为：[0，3）求出集合的等价条件，结合交集的定义进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．7.【答案】-1【解析】解：f（x）=，∴f-1（x）=，∴f-1（0）=-1 故答案为：-1先求出反函数，再代值计算即可．本题考查了反函数的求法及函数值的计算，属于简单题．8.【答案】【解析】解：∵a，b＞0，2a=3b=m≠1，∴a=，b=．∵a、ab、b成等差数列，∴2ab=a+b，∴2××=+．∴lgm===lg．则m=．故答案为：．a，b＞0，2a=3b=m≠1，利用对数换底公式化为a=，b=．根据a、ab、b成等差数列，可得2ab=a+b，代入利用对数运算性质即可得出．本题考查了对数换底公式、等差数列、指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.【答案】1【解析】解：二项式（x+）6展开式的通项公式：T r+1=x 6-r=a r x6-2r，令6-2r=0，解得r=3．∴常项数为20=a3，则a=1．故答案为：1．利用通项公式即可得出．本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.【答案】-6【解析】解：约束条件对应的平面区域如下图示：当直线z=2x+4y过（3，-3）时，Z取得最小值-6．故答案为：-6．本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值．用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．11.【答案】【解析】解：由AB=BC=2，AA1=2，得AC1=BD1=4，∴△ABO为正三角形，∠AOB=，∴A，B两点间的球面距离为2×=，故答案为：．利用长方体外接球直径为其体对角线长求得外接球半径，及AB所对球心角，得解．此题考查了长方体外接球问题，难度不大．12.【答案】[0，2]【解析】解：，因为2≤PF1≤6且函数在x∈[2，6]上单调递增，所以，故．故答案为：[0，2]．利用椭圆的定义，化简，再利用函数的单调性，即可求出的取值范围．本题考查椭圆的定义，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．13.【答案】128【解析】解：∵a i=k2（i∈N*，2k≤i＜2k+1，k=1，2，3，…），∴a i+a2i=k2+（k+1）2≥100，故k≥7；故i的最小值为27=128，故答案为：128．由题意可得a i+a2i=k2+（k+1）2≥100，从而解得．本题考查了数列，注意i与2i的关系对k的影响即可．14.【答案】18+12【解析】解：∵△ABC是等边三角形，∴三角形的外接圆半径为2，以外接圆圆心O为原点建立平面直角坐标系，设A（2，0），B（-，3）．设M（2cosθ，2sinθ），则，．∴=-18cosθ+6sinθ+18=12sin （θ-）+18．∴的最大值是18+12．故答案为18+12．求出外接圆圆心，建立平面直角坐标系，将表示成θ的三角函数，求出最．大值本题考查了三角函数的恒等变换，平面向量的数量积运算，数形结合的解题思想，属于中档题．15.【答案】，【解析】解：要使函数f （x ）=x 2-3tx+18在x≤3（x ∈N *）时单调递减，则＞，解得t ；要使函数f （x ）=在x ＞3单调递减，则必须满足t-13＜0，解得t ＜13．又函数f （x ）在x ∈N *时单调递减，则f （3）=27-9t ＞f （4）=（t-13）•，解得t ＜4．故t 的取值范围是．故答案为：．要使函数f （x ）=x 2-3tx+18在x≤3（x ∈N *）时单调递减，则＞，解得t ，解得t ；要使函数f （x ）=在x ＞3单调递减，则必须满足t-13＜0，解得t ；又函数f （x ）在x ∈N *时单调递减，则f （3）＞f （4），解得t ．联立解得即可．本题考查了利用函数的单调性研究数列的单调性、二次函数的单调性、一次函数的单调性，属于难题．16.【答案】（n -2）•2n -1+1【解析】解：设A 中的最大数为k ，其中1≤k≤n -1，整数n≥3， 则A 中必含元素k ，另元素1，2，…，k-1，可在A 中， 故A 的个数为：++…+=2k-1，B 中必不含元素1，2，…，k ，另元素k+1，k+2，…，n 可在B 中，但不能都不在B 中， 故B 的个数为：++…+=2n-k -1，从而集合对（A ，B ）的个数为2k-1•（2n-k -1）=2n-1-2k-1，∴a n=（2n-1-2k-1）=（n-1）•2n-1-=（n-2）•2n-1+1． 故答案为：（n-2）•2n-1+1．设A 中的最大数为k ，其中1≤k≤n -1，整数n≥3，则A 中必含元素k ，另元素1，2，…，k-1，可在A 中，B 中必不含元素1，2，…，k ；元素k+1，k+2，…，k 可在B 中，但不能都不在B 中．由此能求出a n ．本题考查数列的第3项的求法，考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．17.【答案】解：（1）取BC 的中点，连接EF 、AF ，因为EF ∥BC 1，所以∠AEF （或其补角）为异面直线AE 与BC 1所成角， 又AE = =3，EF = ，AF = ， 所以cos ∠AEF ==，又0＜∠AEF ＜π，所以异面直线AE 与BC 1所成角的大小为， 故答案为（2）取BB 1的中点H ，连接EH ，则EH ∥AD ， 则V=V=V=V==，故答案为：． 【解析】（1）由异面直线所成角的求法得：∠AEF （或其补角）为所求，又AE==3，EF=，AF=，即cos ∠AEF==，即异面直线AE 与BC 1所成角的大小为， （2）利用等体积法求三棱锥的体积得：则V =V=V=V==，得解．本题考查了异面直线所成角的求法及利用等体积法求三棱锥的体积，属中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）==，，-2===．故f（x）max=1，此时，∈，得，∈．所以取得最大值的x的集合为{x|，∈}．（Ⅱ）由f（B）=，又∵0＜B＜，∴ ＜＜．∴，∴．由a，b，c成等比数列，则b2=ac，∴sin2B=sin A sin C．∴==．【解析】（Ⅰ）把给出的向量的坐标代入函数解析式，化简整理后得到，直接由即可得到使函数取得最大值1的x的取值集合；（Ⅱ）由B为锐角，利用f（B）=1求出B的值，把要求的式子切化弦，由a，b，c成等比数列得到sin2B=sinAsinC，代入化简后即可得到结论．本题考查了平面向量数量积的运算，考查了正弦定理，解答此题的关键是“降幂化积”，“角边互化”．是解决此类问题常用到的办法，此题是中档题．19.【答案】解：（1）若数列{a n}项数n为偶数，由已知，得S″-S'=15=，解得n=20，Sn=1×20+=305．（2）在2tS n+1-3（t-1）S n=2t（n∈N*）中，令n=1，得a2=，∵2tS n+1-3（t-1）S n=2t（n∈N*）①可得2tS n-3（t-1）S n-1=2t（n∈N*，n＞1）②①减去②得：=，且，∵t∈（，3），∴0＜||＜1，．（当t=1时，数列为1，0，0…，显然不合题意）所以，{a n}是首项a1=1，公比q=的等比数列，且公比0＜|q|＜1，设项数n=3，∵S'-S″=，∴∴，解得或（舍），由解得，∈（，3），所以，当t=-2时，对应的数列为1，，．设数列{a n}为无穷数列，由题意，得S'=，S″=，∵S'-S″=，∴=，∴q=-，由=-解得∈（，3），∴当t=时，对应的数列为：1，-，，……．【解析】（1）{a n}是等差数列，则S″-S′=（a2-a1）+（a4-a3）…（a2n-a2n-1）=d+d+…d=d×求出n，再利用等差数列前n项和公式计算．（2）根据S n 与an的固有关系a n=，得出=，借助于等比数列性质解决．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组求和的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于难题．20.【答案】解：（1）由圆C：x2+y2-4x+3=0配方可得：（x-2）2+y2=1，可得圆心C（2，0）．∴抛物线的焦点F（2，0）．∴=2，解得p=4．∴抛物线的准线方程为：x=-2．（2）设直线l的方程为：my+t=x，A（x1，y1），B（x2，y2）．∵直线l与圆C相切，∴=1，化为：（t-2）2=m2+1≥1．∴t≥3，或t≤1．联立，化为：y2-8my-8t=0，△=64m2+32t＞0．∴t＞-2m2．∴t≥3，或-2m2＜t≤1．∴y1+y2=8m，y1y2=-8t．①∵线段AB中点的纵坐标为4，∴4m=4，∴m=，∴（t-2）2=m2+1=4，解得t=0或t=4，故直线l的方程为x-y=0或x-y-4=0②•=（x1-2）（x2-2）+y1y2=（my1+t-2）（my2+t-2）+y1y2=（m2+1）y1y2+m（t-2）（y1+y2）+（t-2）2=-8t（m2+1）+8m2（t-2）+（t-2）2=-8t（t-2）2+8[（t-2）2-1]（t-2）+（t-2）2=-15t2+52t-44，=-15（t-）2+∈（-∞，-7]．∴的取值范围是（-∞，-7]．【解析】（1）由圆C：x2+y2-4x+3=0配方可得：（x-2）2+y2=1，可得圆心C（2，0）．可得抛物线的焦点F（2，0）．因此=2，解得p，即可得出．（2）设直线l的方程为：my+t=x，A（x1，y1），B（x2，y2）．由直线l与圆C相切，可得：（t-2）2=m2+1≥1．t≥3，或t≤1．联立，化为：y2-8my-8t=0，△＞0．进而得到t≥3，或-2m2＜t≤，根与系数的关系可得y1+y2=8m，y1y2=-8t，①根据中点坐标公式即可求出m的值，可得直线方程，②利用数量积运算性质，再利用二次函数的单调性即可得出．本题考查了抛物线与圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、直线与抛物线相交问题、向量数量积运算性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.【答案】解：（1）若函数f（x）=，（1≤x≤4）是“k-利普希兹条件函数”，则对于定义域[1，4]上任意两个x1，x2（x1≠x2），均有|f（x1）-f（x2）|≤k|x1-x2|成立，不妨设x1＞x2，则k≥=恒成立．∵1≤x2＜x1≤4，∴＜＜，∴k的最小值为．（2）f（x）=log2x的定义域为（0，+∞），令x1=，x2=，则f（）-f（）=log2-log2=-1-（-2）=1，而2|x1-x2|=，∴f（x1）-f（x2）＞2|x1-x2|，∴函数f（x）=log2x不是“2-利普希兹条件函数”．证明：（3）设f（x）的最大值为M，最小值为m，在一个周期[0，2]内f（a）=M，f（b）=m，则|f（x1）-f（x2）|≤M-m=f（a）-f（b）≤|a-b|．若|a-b|≤1，显然有|f（x1）-f（x2）|≤|a-b|≤1．若|a-b|＞1，不妨设a＞b，则0＜b+2-a＜1，∴|f（x1）-f（x2）|≤M-m=f（a）-f（b+2）≤|a-b-2|＜1．综上，|f（x1）-f（x2）|≤1．【解析】（1）根据新函数的定义求出k关于x1，x2的不等式，根据x1，x2的范围即可得出k的最小值；（2）令x1=，x2=即可举出反例，得出结论；（3）设f（x）的最大值为M，最小值为m，在一个周期内f（a）=M，f（b）=m，根据|a-b|与1的大小关系和“1-利普希兹条件函数”的性质得出结论．本题考查了抽象函数的性质与应用，属于中档题．。
2018-2019学年上海市闵行区七宝中学高三(上)期中数学试卷(精编含解析)
2018-2019学年上海市闵行区七宝中学高三（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共20分）1.“函数存在反函数”是“函数在R上为单调函数”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】函数f（x）（x∈R）存在反函数，至少还有可能函数f（x）在R上为减函数，充分条件不成立；而必要条件显然成立【详解】“函数f（x）在R上为增函数”⇒“函数f（x）（x∈R）存在反函数”；反之取f（x）=﹣x（x∈R），则函数f（x）（x∈R）存在反函数，但是f（x）在R上为减函数．故选：B．【点睛】本题考查充要条件的判断及函数存在反函数的条件，属基本题．2.若函数的反函数为，则函数与的图象可能是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】f（x）和f﹣1（x）关于y=x对称是反函数的重要性质；而将f（x）的图象向右平移a个单位后，得到的图象的解析式为f（x﹣a）而原函数和反函数的图象同时平移时，他们的对称轴也相应平移．【详解】函数f（x﹣1）是由f（x）向右平移一个单位得到，f﹣1（x﹣1）由f﹣1（x）向右平移一个单位得到，而f（x）和f﹣1（x）关于y=x对称，从而f（x﹣1）与f﹣1（x﹣1）的对称轴也是由原对称轴向右平移一个单位得到即y=x﹣1，排除B，D；A，C选项中各有一个函数图象过点（2，0），则平移前的点坐标为（1，0），则反函数必过点（0，1），平移后的反函数必过点（1，1），由此得A选项有可能，C选项排除；故答案为：A【点睛】本题主要考查函数与其反函数的关系，考查函数的图像的变换，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 用整体平移的思想看问题，是解决本题的关键．3.在△中，角、、所对的边分别为、、，给出四个命题：（1）若，则△为等腰三角形；（2）若，则△为直角三角形；（3）若，则△为等腰直角三角形；（4）若，则△为正三角形；以上正确命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】对每一个命题逐一分析得解.【详解】(1)若，则2A=2B或2A+2B=π，所以A=B或A+B=,所以△ABC是等腰三角形或直角三角形，所以该命题是错误的.(2) 若，所以sinA=sin(,所以则△不一定为直角三角形,所以该命题是错误的.(3) 若，所以A=C=，则△为等腰直角三角形，所以该命题是真命题.(4)若，所以所以A=B=C,所以△ABC是正三角形.所以该命题是真命题.故答案为：B【点睛】本题主要考查正弦定理和三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.4.是定义在上的函数，且，若的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】直接利用定义函数的应用求出结果．【详解】由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合．我们可以通过代入和赋值的方法当f（）=，，3时，此时得到的圆心角为，，，然而此时x=0或者x=时，都有2个y与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y，因此只有当=，此时旋转，此时满足一个x只会对应一个y，故答案为：C【点睛】本题考查函数的定义的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.集合的真子集有________个【答案】【解析】【分析】直接写出集合A的真子集即得解.【详解】集合A的真子集有，{0}，{1}，{2018}，{0,1}，{0,2018}，{1,2018}，所以集合A的真子集个数为7,故答案为：7【点睛】本题主要考查集合的真子集及其个数，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.6.设全集，，，则图中阴影部分所表示的集合是________（用区间表示）【答案】【解析】【分析】先化简集合M和N，再求M∩N,再求即得阴影部分所表示的集合.【详解】由题得M={x|x>2或x<-2}，N={x|x≥0}，所以M∩N={x|x＞2}，所以.所以阴影部分所表示的集合为[0,2].故答案为：【点睛】本题主要考查韦恩图和集合的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.7.命题“若实数、满足，则或”是________命题（填“真”或“假”）【答案】真【解析】【分析】先考虑其逆否命题“a＞2且b＞3则a+b＞5”的真假，即得原命题的真假.【详解】由题得原命题的逆否命题为“a＞2且b＞3则a+b＞5”，由不等式同向可加的性质得其逆否命题为真命题，所以原命题是真命题.故答案为：真【点睛】（1）本题主要考查原命题及其逆否命题，考查命题真假性的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)互为逆否关系的命题同真同假，即原命题与逆否命题的真假性相同，原命题的逆命题和否命题的真假性相同.所以，如果某些命题（特别是含有否定概念的命题）的真假性难以判断，一般可以判断它的逆否命题的真假性.8.某个时钟时针长6cm，则在本场考试时间120分钟内，该时针扫过的面积是______【答案】．【解析】时针所扫过的面积是以时针的长度为半径，圆心角为×2=的扇形的面积，据此解答即可．【详解】∵设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，∴则时针所扫过的面积是以时针的长度为半径，圆心角为×2=的扇形的面积，即：r=6，α=，∴扇形的面积为S=r2α==6π．故答案为：6π．【点睛】本题弄清楚分针时针的运动轨迹，是解答本题的关键，属于基础题．9.设为奇函数，则______．【答案】【解析】【分析】根据对数的基本运算以及函数奇偶性的性质建立条件关系即可求a的值；【详解】∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴，∴，即（1+ax）（1﹣ax）=﹣（x+1）（x﹣1），即1﹣a2x2=1﹣x2，即a2=1，∴a=﹣1或a=1，若a=1，则=不满足条件，舍去，故答案为：a=﹣1．【点睛】本题主要考查利用函数奇偶性的应用求参数的值，注意取舍，属于基础题.10.函数在上单调递增，则实数的取值范围为________【答案】【解析】先对函数求导得在（1,2）上恒成立，再分离参数求出a的范围.【详解】由题得在（1,2）上恒成立，所以.故答案为：【点睛】(1)本题主要考查利用导数研究不等式的单调性和恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)一般地，函数在某个区间可导，在某个区间是增函数≥0 .11.在△中，角、、所对的边分别为、、，若，，，则△的面积为________ 【答案】【解析】【分析】利用余弦定理可得b，再利用三角形面积计算公式即可得出．【详解】∵a=，∴a2=b2+c2﹣2bccosA，∴3=4+b2﹣4b×，化为b2﹣2b+1=0，解得b=1．∴S△ABC===．故答案为：．【点睛】本题主要考查了余弦定理、三角形面积计算公式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力与计算能力．12.已知函数，则的解集是________【答案】【解析】【分析】由于函数是定义域在上的增函数，所以,解不等式即得解.【详解】由于函数是定义域在上的增函数，所以故答案为：【点睛】(1)本题主要考查幂函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)处理函数的问题，一定要注意“定义域优先的原则”，本题不要漏了3x-1≥0.13.若关于的不等式在上恒成立，则正实数的取值范围为________【答案】【解析】【分析】由题得|2x-a|>-x+1,再分1＜x≤2和0≤x≤1两种情况讨论恒成立问题，即得解.【详解】由题得|2x-a|>-x+1,当1＜x≤2时，-x+1<0,所以不等式恒成立.当0≤x≤1时，-x+1≥0，所以2x-a＞-x+1或2x-a＜x-1，所以a＜3x-1或a＞x+1在[0,1]上恒成立，所以a<-1或a>2,因为a>0,综合得a>2.故答案为：a>2【点睛】本题主要考查绝对值不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.14.已知常数，函数的图像经过点、，若，则________【答案】【解析】【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a值．【详解】函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．则：，整理得：=1，解得：2p+q=a2pq，由于：2p+q=16pq，所以：a2=16，由于a＞0，故：a=4．故答案为：4【点睛】本题主要考查函数的性质和指数幂的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.15.已知函数，若，则的最大值是________【答案】【解析】【分析】设g(x)=f(x)-3,再判断函数g(x)的奇偶性和单调性，再由得，再利用三角换元求的最大值.【详解】设g(x)=f(x)-3,所以g(x)=,所以所以g(-x)=-g(x),所以函数g(x)是奇函数，由题得，所以函数g（x）是减函数，因为，所以，所以g=0,所以g=g(1-,所以不妨设，所以==，所以的最大值为.故答案为：【点睛】（1）本题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查函数的图像和性质，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)本题的解题关键有三点，其一是构造函数g(x)得到函数g(x)的奇偶性和单调性，其二是由得，其三是利用三角换元求的最大值.16.已知函数，如果函数恰有三个不同的零点，那么实数的取值范围是________【答案】【解析】【分析】先求出函数的解析式，作出函数的图像，由题得有三个不同的实根，数形结合分析得到实数k 的取值范围.【详解】当1＜x≤2时，f(x)=-x+2,当时，1＜2x≤2，所以f(x)=,当时，＜2x≤1，所以f(x)=,当时，＜2x≤，所以f(x)=,当时，＜2x≤，所以f(x)=,所以函数的图像为：其图像为线段PA,EB,GC,HD,,(不包括上端点A,B,C,D,)直线y=k(x-1)表示过定点P(1,0)的直线系，由题得C(),D(),当直线在PD(可以取到)和直线PC（不能取到）之间时，直线和函数f(x)的图像有三个不同的交点，由题得.所以k的取值范围为.故答案为：【点睛】（1）本题主要考查函数的图像和性质，考查求函数的解析式，考查函数的零点问题，意在考查学生读这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.（2）解答本题的关键是求出函数f(x)的解析式作出函数的图像.(3)函数的零点问题常用的方法有：方程法、图像法、方程+图像法.三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知锐角和钝角的终边分别与单位圆交于、两点，其中点坐标.（1）求的值；（2）若，求点坐标.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)先求出，再求的值.(2)由题得，解方程组即得点B的坐标. 【详解】由题得，，所以=-7.由题设B(x,y),因为是钝角，所以,所以点B的坐标为.【点睛】本题主要考查三角函数的坐标定义，考查三角恒等变换求值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.18.如图，某公园有三个警卫室、、有直道相连，千米，千米，千米.（1）保安甲沿从警卫室出发行至点处，此时，求的直线距离；（2）保安甲沿从警卫室出发前往警卫室，同时保安乙沿从警卫室出发前往警卫室，甲的速度为1千米/小时，乙的速度为2千米/小时，若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在公园内的最大通话距离不超过3千米，试问有多长时间两人不能通话？（精确到0.01小时）【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)由解直角三角形可得∠C=30°，在△BPC中由余弦定理可得BP的值；（2）设甲出发后的时间为t小时，则由题意可知0≤t≤4，设甲在线段CA上的位置为点M，则AM=4﹣t，讨论0≤t≤1时，当1≤t≤4时，分别在△AMQ和△AMB中，运用余弦定理和二次不等式的解法，即可得到所求结论．【详解】（1）在Rt△ABC中，AB=2，BC=2，所以∠C=30°，在△PBC中PC=1，BC=2，由余弦定理可得BP2=BC2+PC2﹣2BC•PCcos30°=（2）2+1﹣2×2×1×=7，即BP=；（2）在Rt△ABC中，BA=2，BC=2，AC=4，设甲出发后的时间为t小时，则由题意可知0≤t≤4，设甲在线段CA上的位置为点M，则AM=4﹣t，①当0≤t≤1时，设乙在线段AB上的位置为点Q，则AQ=2t，如图所示，在△AMQ中，由余弦定理得MQ2=（4﹣t）2+（2t）2﹣2•2t•（4﹣t）cos60°=7t2﹣16t+16＞9，解得t＜或t＞，所以0≤t≤；②当1≤t≤4时，乙在警卫室B处，在△ABM中，由余弦定理得MB2=（4﹣t）2+4﹣2•2t•（4﹣t）cos60°=t2﹣6t+12＞9，解得t＜3﹣或t＞3+，又1≤t≤4，不合题意舍去．综上所述0≤t ≤时，甲乙间的距离大于3千米，所以两人不能通话的时间为小时．【点睛】本题考查解三角形的实际问题的解法，注意运用余弦定理，考查化简整理的运算能力，属于 中档题．19.问题：正数、满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题：（1）若实数、、、满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件；（2）利用（1）的结论，求函数的值域.【答案】（1），且等号成立；（2）.【解析】 【分析】（1）先化简=( ，再利用基本不等式求最值即得解.(2) 令再利用结论求函数的值域.【详解】=(当时取等.令由（1）得,因为f(t)>0,所以.所以函数的值域为.【点睛】(1)本题主要考查常量代换和基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 本题的解题关键是对“1”的常量代换，再利用基本不等式求函数的最小值. 利用基本不等式求最值时，要注意“一正二定三相等”，三个条件缺一不可.20.定义区间、、、的长度均为，已知不等式的解集为.（1）求的长度；（2）函数（，）的定义域与值域都是（），求区间的最大长度；（3）关于的不等式的解集为，若的长度为6，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】解不等式得其解集即得区间长度.(2) 由题意求出f（x）的定义域并化简解析式，判断出区间的范围和f（x）的单调性，由题意列出方程组，转化为m，n是方程f（x）的同号的相异实数根，利用韦达定理表示出mn和m+n，由判别式大于零求出a 的范围，表示出n﹣m 利用配方法化简后，由二次函数的性质求出最大值和a的值．(3)先求出A∩B⊆（0，6），再转化为不等式组，当x∈（0，6）时恒成立. 分析两个恒成立问题即得t的取值范围.【详解】解不等式得其解为-1≤x＜6，所以解集A区间长度为6-(-1)=7.(2) 由题意得，函数f（x）的定义域是{x|x≠0}，∵[m，n]是其定义域的子集，∴[m，n]⊆（﹣∞，0）或（0，+∞）．∵f（x）=在[m，n]上是增函数，∴由条件得，则m，n是方程f（x）=x的同号相异的实数根，即m，n是方程（ax）2﹣（a2+a）x+1=0同号相异的实数根．∴mn=，m+n==，则△=（a2+a）2﹣4a2＞0，解得a＞1或a＜﹣3．∴n﹣m====，∴n﹣m的最大值为，此时，解得a=3.即在区间[m，n]的最大长度为．(3) 因为x>0,A=[-1,6），的长度为6，所以A∩B⊆（0，6）.不等式log2x+log2（tx+3t）＜2等价于又A∩B⊆（0，6），不等式组的解集的各区间长度和为6，所以不等式组，当x∈（0，6）时恒成立.当x∈（0，6）时，不等式tx+3t＞0恒成立，得t＞0当x∈（0，6）时，不等式tx2+3tx﹣4＜0恒成立，即恒成立当x∈（0，6）时，的取值范围为，所以实数综上所述，t的取值范围为【点睛】本题考查一个新定义问题，即区间的长度，本题解题的关键是对于条件中所给的三种不同的题目进行整理变化，灵活解答函数的最值问题和恒成立问题.21.已知定义在上的函数满足：对任意的实数都成立，当且仅当时取等号，则称函数是上的函数，已知函数具有性质：（,）对任意的实数（）都成立，当且仅当时取等号.（1）试判断函数（且）是否是上的函数，说明理由；（2）求证：是上的函数，并求的最大值（其中、、是△三个内角）；（3）若定义域为，①是奇函数，证明：不是上的函数；②最小正周期为，证明：不是上的函数.【答案】（1），是S函数；，不是S函数；（2）见解析，最大值；（3）见解析.【解析】【分析】(1)利用S函数的定义证明当0＜a＜1时，不是上的函数.当a大于1时，不是上的函数.（2）利用S函数的定义证明是上的函数，并利用S函数的性质求的最大值.(3)利用举反例证明.【详解】任取,当同理可证，当0＜a＜1时，不是上的函数.(2),,,所以是上的函数.由S函数的性质有所以（3）用举反例证明，令f(x)=sinx,所以f(x)=sinx是R上的周期为π的奇函数，取所以而即在R上，f(x)=sinx不是S函数，故原命题得证.【点睛】本题主要考查新定义解题，考查学生对新定义的理解和掌握水平和利用新定义处理数学问题的能力.解题的关键是对新定义理解透彻.。
上海市七宝中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案
上海市七宝中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 已知是虚数单位，若复数)(3i a i +-（R a ∈）的实部与虚部相等，则=a （ ）A ．1-B ．2-C ．D ． 2． 已知全集R U =，集合{|||1,}A x x x R =≤∈，集合{|21,}x B x x R =≤∈，则集合U A C B 为（ ）A.]1,1[-B.]1,0[C.]1,0(D.)0,1[- 【命题意图】本题考查集合的运算等基础知识，意在考查运算求解能力. 3． 给出函数()f x ，()g x 如下表，则(())f g x 的值域为（ ）A ．{}4,2B ．{}1,3C ．{}1,2,3,4D ．以上情况都有可能4． 过点),2(a M -，)4,(a N 的直线的斜率为21-，则=||MN （ ） A ．10 B ．180 C ．36 D ．565． 设n S 是等差数列{}n a 的前项和，若5359a a =，则95S S =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46． 已知向量=（1，2），=（x ，﹣4），若∥，则x=（ ） A ． 4 B ． ﹣4 C ． 2 D ． ﹣27． 已知函数22()32f x x ax a =+-，其中(0,3]a ∈，()0f x ≤对任意的[]1,1x ∈-都成立，在1和两数间插入2015个数，使之与1，构成等比数列，设插入的这2015个数的成绩为T ，则T =（ ） A ．20152B ．20153C ．201523D ．2015228． 正方体1111D ABC A B C D - 中，,E F 分别为1,AB B C 的中点，则EF 与平面ABCD 所成角的正 切值为（ ）A ．B 2 C. 12 D 29．已知，则tan2α=（ ）A．B．C．D．10．在ABC ∆中，若60A ∠=，45B ∠=，BC =AC =（ ）A ．B ． C. D11．已知双曲线的方程为﹣=1，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．或 D ．或12．若函数f （x ）=log a （2x 2+x ）（a ＞0且a ≠1）在区间（0，）内恒有f （x ）＞0，则f （x ）的单调递增区间为（ ）A ．（﹣∞，）B ．（﹣，+∞）C ．（0，+∞）D ．（﹣∞，﹣）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．设x R ∈，记不超过x 的最大整数为[]x ，令{}[]x x x =-.现有下列四个命题: ①对任意的x ，都有1[]x x x -<≤恒成立； ②若(1,3)x ∈，则方程{}22sincos []1x x +=的实数解为6π-；③若3n n a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（n N *∈），则数列{}n a 的前3n 项之和为23122n n -；④当0100x ≤≤时，函数{}22()sin []sin 1f x x x =+-的零点个数为m ，函数{}()[]13xg x x x =⋅--的 零点个数为n ，则100m n +=.其中的真命题有_____________.（写出所有真命题的编号）【命题意图】本题涉及函数、函数的零点、数列的推导与归纳，同时又是新定义题，应熟悉理解新定义，将问题转化为已知去解决，属于中档题。
2019届上海市七宝中学高三上学期摸底考试数学试题(解析版)
2019届上海市七宝中学高三上学期摸底考试数学试题一、单选题1．若,a b 为实数，则“01ab <<”是“1b a<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【详解】若“0＜ab ＜1”，当a ，b 均小于0时，b ＞1a 即“0＜ab ＜1”⇒“b ＜1a”为假命题； 若“b＜1a 当a ＜0时，ab ＞1，即“b＜1a ”⇒“0＜ab ＜1”为假命题，综上“0＜ab ＜1”是“b＜1a”的既不充分也不必要条件，故选D 2．若函数()2sin()f x x ω=在区间[,]54ππ-上存在最小值2-,则非零实数ω的取值范围是（ ） A ．(,2]-∞- B ．[6,)+∞ C ．5(,2][,)2-∞-+∞UD ．15(,][6,)2-∞-+∞U 【答案】C【解析】先根据x 的范围求出x ω的范围,根据函数()f x 在区间[,]54ππ-上存在最小值2-,然后对ω大于0和小于0两种情况讨论最值,即可求得非零实数ω的取值范围.【详解】Q 函数()2sin()f x x ω=在区间[,]54ππ-①当0>ω时,,54x ππωωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ Q 函数()2sin()f x x ω=在区间[,]54ππ-上存在最小值2-∴ 52ππω-≤-可得:52ω∴≥②当0ω<时,,45x ππωωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦Q 函数()2sin()f x x ω=在区间[,]54ππ-上存在最小值2-∴42ππω≤-可得:2ω≤-综上所述,非零实数ω的取值范围是:5(,2],2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭. 故选:C. 【点睛】本题考查了正弦函数在某区间上取最值时,求非零实数ω的取值范围.解题关键是能够掌握正弦函数sin()y A x ωφ=+图像性质,数学结合.3．已知集合{(,)|||||1}M x y x y =+≤,若实数对(,)λμ满足:对任意的(,)x y M ∈,都有(,)x y M λμ∈,则称(,)λμ是集合M 的“嵌入实数对”,则以下集合中,不存在集合M 的“嵌入实数对”的是（ ）A ．{(,)|2}λμλμ-=B ．{(,)|2}λμλμ+=C ．22{(,)|2}λμλμ-=D ．22{(,)|2}λμλμ+=【答案】C【解析】由定义可知||1λ≤,||1μ≤利用不等式的性质,即可得出2222,,,λμλμλμλμ+--+的范围,从而得出答案.【详解】Q {(,)|||||1}M x y x y =+≤Q 对任意的(,)x y M ∈,都有(,)x y M λμ∈可得:||||1x y λμ+≤Q 11x y x y λμ⎧+≤⎪⎨+≤⎪⎩, 结合:实数对(,)λμ满足,对任意的(,)x y M ∈,都有(,)x y M λμ∈.∴ 可得||1λ≤,||1μ≤ 即11λ-≤≤,11μ-≤≤对于A,Q 11μ-≤≤,可得11μ-≤-≤,根据1111λμ-≤≤⎧⎨-≤-≤⎩可得:22λμ-≤-≤,∴ 故存在集合M 的“嵌入实数对使2λμ-=对于B,Q 1111λμ-≤≤⎧⎨-≤≤⎩可得22λμ-≤+≤,∴ 故存在集合M 的“嵌入实数对使2λμ+=对于C,Q ||1λ≤,||1μ≤可得:220110λμ⎧≤≤⎨-≤-≤⎩ 故2211λμ-≤-≤, ∴ 故不存在集合M 的“嵌入实数对使222λμ-=对于D, Q ||1λ≤,||1μ≤可得220101λμ⎧≤≤⎨≤≤⎩,故2202λμ≤+≤. ∴ 故存在集合M 的“嵌入实数对使222λμ+=综上所述,故C:22{(,)|2}λμλμ-=不存在集合M 的“嵌入实数对. 故选:C. 【点睛】本题考查了集合的新定义,解题关键是能理解新定义“嵌入实数对”,结合不等式知识进行求解,考查了学生的理解能力和推理能力,属于基础题.4．已知函数210()(1)0x x f x f x x -⎧-+≤=⎨->⎩,则下列命题中正确命题的个数是（ ）①函数()f x 在[1,)-+∞上为周期函数②函数()f x 在区间(),1m m +,()m N +∈上单调递增③函数()f x 在1x m =-（m N ∈）取到最大值0,且无最小值④若方程()log (2)a f x x =+（01a <<）有且仅有两个不同的实根,则11[,)32a ∈ A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】作出()f x 的图像,由图像对各选项进行判断即可.0x ≤时,12112x xy -⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭,可由12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像作关于x 轴的对称图像,再向上平移一个单位得到.当0x >时,()(1)f x f x =-故是周期为1的周期函数,01x <≤图像可由10x -<≤时,112xy ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭向右平移一个单位得到,根据周期函数的性质即可得到0x >图像.【详解】()f x 的图像如图所示:对于①,因为(1)1f -=-,(0)0f =,可得(1)(0)f f -≠所以函数()f x 在[1,)-+∞上不是周期函数,故①不正确; 对于②,当(),1m m +,()m N+∈结合函数图像可知,函数()f x 在区间(),1m m +,()m N +∈上单调递增,故②正确;对于③,因为0m =时,(1)(1)1f m f -=-=-,不是最大值, 故③不正确; 对于④,如图所示,图中两条曲线对应的a 分别为13和12,故方程为()log (2)(01)a f x x a =+<<,有且只有两个实根,则11,32a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭,故④正确. 故选:B. 【点睛】本题考查了分段函数和周期函数等相关知识.解题关键是根据函数平移变换画出其函数图像,结合函数图像对其单调性,最值进行求解,考查了计算能力和理解能力,属于中档题.二、填空题5．已知集合2{|340}A x x x =--=,{|10,}B x mx m R =+=∈.且A B A ⋃=,则所有满足条件的m 构成的集合为________ 【答案】1{0,,1}4-【解析】先化简集合A .由A B A ⋃=,可得B A ⊆,分类讨论=0m 和0m ≠,即可求出构成m 的集合. 【详解】Q 集合2{|340}A x x x =--=∴ {1,4}A =-Q A B A ⋃=,可得B A ⊆①当0m =时,满足B A ⊆,符合题意 ②当0m ≠时,1{|10}B x mx m ⎧⎫=+==-⎨⎬⎩⎭Q B A ⊆∴ 11m-=-或14m -=解得:1m =或14m =-.∴ 所有满足条件的m 构成的集合为:1{0,,1}4-.故答案为:1{0,,1}4-.【点睛】本题考查根据集合的关系求参数取值范围的问题,一般涉及子集问题时,需考虑集合是空集或非空集两种情况,属于基础题.6．设,a b ∈R ,则“tan b α=”是“arctan b α=”的________条件 【答案】必要不充分【解析】根据充分条件和必要条件的定义判断,即可得出答案. 【详解】Q ,a b ∈R ,只有当22ππα-<<时,由tan b α=才有arctan b α=∴ 由tan b α=不能推出arctan b α=故tan b α=不是arctan b α=的充分条件 又Q 由arctan b α=得tan tan(arctan )b α=∴ 可得tan b α=故tan b α=是arctan b α=的必要条件;∴ tan b α=是arctan b α=的必要不充分条件.故答案为:必要不充分. 【点睛】本题主要考查了充分条件与必要条件的判定,其中熟记充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键,着重考查了理解能力与运算能力,属于基础题. 7．294i z z +=+（i 为虚数单位），则||z =________ 【答案】5【解析】设z a bi =+(,a b ∈R ),则z a bi =-,代入294i z z +=+,整理后由复数相等的条件列式求得,a b 的值,根据z a bi =+的模为z =,即可求得z .【详解】Q 设z a bi =+(,a b ∈R ),则z a bi =-,代入294i z z +=+,得:()2()394a bi a bi a bi i ++-=-=+39,4a b ∴=-= 故:3,4a b ==-∴ 34z i =-根据z a bi =+的模为z =∴ 5z ==故答案为:5. 【点睛】本题主要考查复数相等和复数求模,明确复数的实部与虚部是解题关键,考查计算能力,属于基础题.8． 若△ABC 中，a ＋b ＝4，C ＝30°，则△ABC 面积的最大值是________． 【答案】1 【解析】【详解】在△ABC 中，∵C ＝30°，a ＋b ＝4，∴△ABC 的面积S ＝12ab ·sin C ＝12ab ·sin30°＝14ab ≤241()2a b +＝14×4＝1，当且仅当a ＝b ＝2时取等号．因此△ABC 面积的最大值是1. 故答案为1.9．设直线l 过点(4,0)P -，且与直线:310m x y -+=的夹角为arccos10，则直线l 的方程是________【答案】4x =-或43160x y -+=【解析】设l 的方程为(4)(1)0a x b y ++-=(,a b 不同时为零),根据直线夹角公式可得10=,化简可得0b =或34a b =-,即可求得直线l 的方程.【详解】直线:310m x y -+=的方向向量为(1,3)α= 设所求直线的方向向量为(,)a b β=(,a b 不同时为零)Q 依题意有:|cos ,|cos αβ⎛〈〉== ⎝⎭∴||||10αβαβ⋅= ,10=解得243a ab =,即0a =或34a b =- ①当0a =时,则(0,)b β=且0b ≠∴ 此时直线l 的斜率不存在,直线的方程为:4x =-②当34a b =-时,则,a b 均不为0可得:3,4b b β⎛⎫= ⎪⎝⎭,故直线的斜率为:4334b b =∴ 直线的方程为:4(4)3y x =+ ,即43160x y -+=综上所述, 直线l 的方程:4x =-或43160x y -+=.故答案为: 4x =-或43160x y -+=. 【点睛】本题考查直线夹角的问题,解题关键是熟记直线夹角的计算公式,考查了计算能力.属于基础题.10．设常数0a >，9x ⎛+ ⎝展开式中6x 的系数为4，则()2lim n n a a a →∞+++=L _______【答案】12【解析】根据二项展开式的通项公式3992199rrr r r r r T C x a C x--+==和已知求出r ，再代入求a ，从而将a 代入所求表达式，结合等比数列的前n 项和公式求和并取极限即可. 【详解】9x ⎛+ ⎝展开式的通项公式为3992199rr r r r r r T C x a C x--+==，令3962r -=，解得2r =，则2294a C =，解得13a =，所以，()2lim lim l 11(1)111331223213im n n n n n n a a a →∞→∞→∞-⎛⎫=-= ⎪⨯⎝-+⎭++=L .故答案为：12. 【点睛】本题考查二项展开式的通项公式和系数，考查了等比数列的前n 项和以及极限的简单计算，注意仔细审题，认真计算，属中档题.11．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，11()142x x f x =-++，则此函数的值域为________.【答案】{}55,11,044⎡⎛⎫⎤--⋃⋃⎪ ⎢⎥⎭⎦⎣⎝【解析】先求当0x >时函数的值域，再根据函数的奇偶性得到函数在R 上的值域. 【详解】当0x >时，21111()1=()14222x x x x f x =-++-++, 令1,(01)2x t t =<<，所以2()1(01)g t t t t =-++<<， 所以5()(1,]4g t ∈.由于函数是奇函数，所以当0x <时，5()[,1)4f x ∈--. 当0x =时，(0)0f =.综上所述，此函数的值域为{}55,11,044⎡⎛⎫⎤--⋃⋃⎪ ⎢⎥⎭⎦⎣⎝.故答案为：{}55,11,044⎡⎛⎫⎤--⋃⋃⎪ ⎢⎥⎭⎦⎣⎝【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，考查指数型函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12．已知函数8()log (8)af x x x=+-在[2,)+∞上是增函数,则实数a 的取值范围是________ 【答案】[4,20)-【解析】根据复合函数单调性同增异减,因为外层函数8log y x =是单调增函数,则需内层函数8a y x x =+-也是增函数,且满足80ax x+->,即可求得实数a 的取值范围. 【详解】Q 8()log (8)af x x x=+-设8log ,8a y t t x x==+-8log y t =Q 在(0,)+∞上为增函数要保证8()log (8)a f x x x=+-在[2,)+∞上是增函数8at x x ∴=+-在[2,)+∞上是增函数 ∴ 210at x'=+≥在[2,)+∞上恒成立2a x ∴≥- 在[2,)+∞上恒成立 22,4x x ≥≥Q 可得24x -≤-4a ∴≥-Q 8()log (8)af x x x=+-2802a∴+->20a ∴<∴ 实数a 的取值范围是:[4,20)-.故答案为:[4,20)-. 【点睛】本题考查了根据复合函数单调性求参数.对于复合函数单调性的判断要掌握同增异减,对函数的内层和外层分别判断,当外层函数是增函数时,内层函数也需要增函数,注意内层函数要满足外层函数的定义域.13．奇函数()y f x =满足对任意x ∈R 都有(2)(2)0f x f x ++-=,且(1)9f =,则(2016)(2017)(2018)f f f ++的值为________【答案】9【解析】由(2)(2)0f x f x ++-=推导出(4)()f x f x +=即可得到()f x 的周期为4,当0x =时,由 (2)(2)0f f +=得(2)0f =.结合(1)9f =,即可求得(2016)(2017)(2018)f f f ++的值.【详解】Q (2)(2)0f x f x ++-=(2)(2)f x f x ∴+=-- ┄①Q ()f x 为奇函数,故()()f x f x -=-(2)[(2)](2)f x f x f x ∴-=--=-- ┄②由①②可得:(2)(2)f x f x +=-即:(4)()f x f x += 可得:()f x 的周期为4Q 函数()f x 是定义在R 上的奇函数,可得: (0)0f =Q 当0x =时, 由(2)(2)0f x f x ++-=,可得: (20)(20)0f f ++-=∴ (2)0f =(2016)(50440)(0)f f f ∴=⨯+= (2017)(20161)(1)9f f f =+== (2018)(20162)(2)0f f f =+==∴ (2016)(2017)(2018)9f f f ++=故答案为:9. 【点睛】本题考查通过奇函数的定义及周期函数的定义求函数的周期,解题关键是通过赋值法求特定的函数值和利用周期性求函数的值.14．在直角坐标系中，已知()1,0A ，()4,0B ，若直线10x my +-=上存在点P ，使得2PA PB =，则实数m 的取值范围是______．【答案】(),-∞⋃+∞【解析】设点P 的坐标为(),x y ，根据条件2PA PB =求出动点P 的轨迹方程，可得知动点P 的轨迹为圆，然后将问题转化为直线10x my +-=与动点P 的轨迹圆有公共点，转化为圆心到直线的距离不大于半径，从而列出关于实数m 的不等式，即可求出实数m 的值. 【详解】设点P 的坐标为(),x y ，2PA PB =Q =化简得()2254x y -+=，则动点P 的轨迹是以()5,0为圆心，半径为2的圆， 由题意可知，直线10x my +-=与圆()2254x y -+=有公共点，2≤，解得m ≤或m ≥因此，实数m 的取值范围是(),-∞⋃+∞.故答案为：(),-∞⋃+∞.【点睛】本题考查动点的轨迹方程，同时也考查了利用直线与圆的位置关系求参数，解题的关键就是利用距离公式求出动点的轨迹方程，考查化归与转化思想的应用，属于中等题. 15．下列命题:①关于x 、y 的二元一次方程组1323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩的系数行列式0D =是该方程组有解的必要非充分条件;②已知E 、F 、G 、H 是空间四点,命题甲:E 、F 、G 、H 四点不共面,命题乙:直线EF 和GH 不相交,则甲成立是乙成立的充分非必要条件;③“2a <”是“对任意的实数x ,|1||1|x x a ++-≥恒成立”的充要条件; ④“0p =或4p =-”是“关于x 的方程px p x=+有且仅有一个实根”的充要条件; 其中,真命题序号是________ 【答案】②【解析】根据充分条件和必要条件的定义逐一判断,即可得出答案. 【详解】对于①,Q 系数行列式0D ≠,关于x 、y 的二元一次方程组1323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩有唯一解,∴ 0D =是该方程组有解的非充分条件又Q 系数行列式0D =,0x D ≠或0y D ≠关于x 、y 的二元一次方程组1323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩无解系数行列式0D =, 0x y D D ==关于x 、y 的二元一次方程组1323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩有无穷组解∴ 关于x 、y 的二元一次方程组1323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩的系数行列式0D =是该方程组有解的非必要非充分条件; 故①不正确;对于②,已知E 、F 、G 、H 是空间四点,命题甲:E 、F 、G 、H 四点不共面,命题乙:直线EF 和GH 不相交.Q 命题甲可以推出命题乙,甲成立是乙成立的充分条件又Q 直线EF 和GH 不相交,当EF GH P ,即E 、F 、G 、H 四点共面,∴ 命题乙不能推出命题甲,甲成立是乙成立的非必要条件 ∴ 甲成立是乙成立的充分非必要条件.故②正确;对于③,设|1||1|y x x =++-当1x ≥时,22y x =≥; 当11x -≤<时,2y =; 当1x <-时,22y x =->. 故|1||1|2x x ++-≥Q 2a <能推出任意的实数x ,|1||1|x x a ++-≥又Q 对任意的实数x ,|1||1|x x a ++-≥不能推出2a <故“2a <”是“对任意的实数x ,|1||1|x x a ++-≥恒成立”的充分不必要条件 故③不成立;对于④,由关于x 的实系数方程px p x=+有且仅有一个实数根,得:20x px p +-=, 由240p p ∆=+=得:0p =或4p =-当0p =时,得0x =,检验知:0x =不是方程px p x=+的实根,故此时方程无解 当4p =-时,2440x x -+=,解得2x =,检验知:2x =是方程px p x=+的实根.故此时关于x 的方程px p x=+有且仅有一个实数根∴ “0p =或4p =-”不能推出“关于x 的方程px p x=+有且仅有一个实根”又Q 关于x 的方程px p x=+有且仅有一个实根也不能推出“0p =或4p =-”∴ “0p =或4p =-”是“关于x 的方程px p x=+有且仅有一个实根”的既不充分也不必要条件. 故④错误. 故答案为:②. 【点睛】本题主要考查了充分条件与必要条件的判定,其中熟记充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于中档题.16．在直角坐标平面xOy 中,已知两定点1(2,0)F -与2(2,0)F 位于动直线:0l ax by c ++=的同侧,设集合{|P l =点1F 与点2F 到直线l 的距离之差等于2}，22{(,)|4,,}Q x y x y x y R =+≤∈,记{(,)|(,),}S x y x y l l P =∉∈,{(,)|(,)}T x y x y Q S =∈I ,则由T 中的所有点所组成的图形的面积是________ 【答案】4433π+【解析】根据条件确定集合P 对应的轨迹,利用集合T 的定义,确定T 对应图形,即可求得T 中的所有点组成的图形的面积. 【详解】Q 两定点1(2,0)F -与2(2,0)F 位于动直线:0l ax by c ++=的同侧,如图:过1(2,0)F -与2(2,0)F 分别作l 直线的垂线,垂足分别为,B C 由题意得122F B F C -=,即12F A =Q 在12Rt AF F △中214F F =,∴ 121cos 2AF F ∠=可得2160AF F ︒∠= ∴.集合P 对应的轨迹为线段2AF 的上方部分,Q 对应的区域为半径为2的单位圆内部根据T 的定义可知,T 中的所有点组成的图形为图形阴影部分∴ 阴影部分的面积为:21142224sin 4362360ππ︒⎛⎫⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭故答案为:4433π. 【点睛】本题考查了集合的新定义的理解,解题关键是能够通过已知条件画出阴影面积的几何图像,数学结合,考查了分析能力和计算能力.三、解答题 17．关于x 的不等式201x a x+<的解集为()1,b -．()1求实数a ，b 的值；()2若1z a bi =+，2z cos isin αα=+，且12z z 为纯虚数，求tan α的值．【答案】（1）1a =-，2b =（2）12-【解析】(1)由题意可得:1-,b 是方程220x ax +-=的两个实数根,利用根与系数的关系即可得出答案;(2)利用(1)的结果得()()1222z z cos sin cos sin i αααα=--+-为纯虚数,利用纯虚数的定义即可得出． 【详解】 解：(1)不等式201x ax+<即()20x x a +-<的解集为()1,b -． 1∴-,b 是方程220x ax +-=的两个实数根,∴由1b a -+=-，2b -=-，解得1a =-,2b =． (2)由(1)知1,2a b =-=,()()()()121222z z i cos isin cos sin cos sin i αααααα∴=-++=--+-为纯虚数，20cos sin αα∴--=,20cos sin αα-≠,解得12tan α=-. 【点睛】本题考查了行列式,复数的运算法则、纯虚数的定义、一元二次方程的根与系数的关系、一元二次不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.18．如图,四棱锥P ABCD -中,PD ⊥底面ABCD ,且底面ABCD 为平行四边形,若60DAB ∠=︒,2AB =,1AD =.（1）求证:PA BD ⊥;（2）若45PCD ∠=︒,求点D 到平面PBC 的距离h .【答案】（1）答案见解析（2）7. 【解析】（1） 因为60DAB ∠=︒,2AB =,1AD =,利用余弦定理求出BD ,即可判断出ABD △满足勾股定理,即ABD △直角三角形且角ADB ∠为直角,则AD BD ⊥,结合已知PD ⊥底面ABCD ,即可求证PA BD ⊥.（2）利用等体积法,根据P BCD D BCP V V --=列方程,即可求得点D 到平面PBC 的距离h . 【详解】（1）1,2,60AD AB DAB ︒==∠=Q根据余弦定理可得: 2222cos60BD AB AD AB AD ︒=+-⋅⋅∴BD =222AD BD AB ∴+=AD BD ∴⊥Q PD ⊥底面ABCD ,BD ⊂底面ABCDPD BD ∴⊥,又AD PD D =IBD ∴⊥平面PADPA ⊂Q 平面PAD ∴ PA BD ⊥综上所述, PA BD ⊥ （2）由（1）可知BC BD ⊥122BCD S BC BD ∴=⨯⨯=V 45PCD ︒∠=Q 可得:2PD CD ==12323P BCD V -∴=⨯=1PC PB BC ===Q 222BC PB PC ∴+= PB BC ∴⊥12BCP S BC PB ∴=⋅=V1326D BCP V h -∴=⨯=又Q P BCD D BCP V V --=63=解得:7h = . 【点睛】本题考查了判定空间两条直线垂直和点到面的距离问题.本题的解题关键是将判定空间线线垂直转化为求证空间线面垂直,考查了学生空间想象能力和计算能力.属于中等题.19．如果一条信息有n 1,N)n n >∈（种可能的情形（各种情形之间互不相容），且这些情形发生的概率分别为12,,,n p p p L ，则称H = ()()()12n f p f p f p ++L （其中()f x = log ,a x x - ()0,1x ∈）为该条信息的信息熵．已知1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．（1）若某班共有32名学生，通过随机抽签的方式选一名学生参加某项活动，试求“谁被选中”的信息熵的大小；（2）某次比赛共有n 位选手（分别记为12,,,n A A A L ）参加，若当1,2,k = ,1n -L 时，选手k A 获得冠军的概率为2k -，求“谁获得冠军”的信息熵H 关于n 的表达式．【答案】（1）5（2）422n-【解析】试题分析：利用11()22f =求出a ，根据题目（1）所给出的信息，32名学生，通过随机抽签的方式选一名学生参加某项活动，“某人被选中”的概率均为132，利用公式H = ()()()12n f p f p f p ++L （其中()f x = log ,a x x - ()0,1x ∈），求出信息熵的值；比赛共有n 位选手（分别记为12,,,n A A A L ）参加，若当1,2,k = ,1n -L 时，选手k A 获得冠军的概率为2k -，利用公式H = ()()()12n f p f p f p ++L （其中()f x = log ,a x x - ()0,1x ∈），表示出信息熵后，利用错位相减法求出数列的和.试题解析：（1）由1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得111log 222a -=，解之得2a =.由32种情形等可能，故()11,2,,3232k P k ==L ，所以21132log 53232H ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，答：“谁被选中”的信息熵为5．（2）n A 获得冠军的概率为111111111+1124222n n n ---⎛⎫⎛⎫-++=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L ，当1,2,k = ,1n -L 时，()22log 22k kk k k f p --=-=，又()112nn n f p --=， 故111231124822n n n n H ----=+++++L ， 1112211+248222n n n n n n H L ----=++++， 以上两式相减，可得11111111+1224822n n H --=+++=-L ，故422n H =-， 答：“谁获得冠军”的信息熵为422n -．20．双曲线2221(0)y x b b-=>的左、右焦点分别为12F F 、，直线l 过2F 且与双曲线交于A B 、两点.（1）若l 的倾斜角为π2，1F AB V 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设b =l 的斜率存在，且11()0F A F B AB +⋅=u u u r u u u r u u u r，求l 的斜率.【答案】（1）y =；（2）. 【解析】试题分析：（1）设(),x y A A A ，根据题设条件得到()24413bb+=，从而解得2b 的值．（2）设()11,x y A ，()22,x y A ，直线:l ()2y k x =-与双曲线方程联立，得到一元二次方程，根据l 与双曲线交于两点，可得230k -≠，且()23610k∆=+>．再设AB的中点为(),x y M M M ，由()110F F A +B ⋅AB =u u u r u u u r u u u r 即10F M⋅AB =u u u u r u u u r ，从而得到11F k k M ⋅=-，进而构建关于k 的方程求解即可．试题解析：（1）设(),x y A A A ．由题意，()2,0F c ，c ，()22241y bcb A =-=，因为1F AB V是等边三角形，所以2c A =， 即()24413bb+=，解得22b =．故双曲线的渐近线方程为y =． （2）由已知，()12,0F -，()22,0F ．设()11,x y A ，()22,x y B ，直线:l ()2y k x =-．显然0k ≠．由()221{32y x y k x -==-，得()222234430k x k x k --++=． 因为l 与双曲线交于两点，所以230k -≠，且()23610k ∆=+>．设AB 的中点为(),x y M M M ．由11()0F A F B AB +⋅=u u u r u u u r u u u r 即10F M⋅AB =u u u u r u u u r ，知1F M ⊥AB ，故11F k k M ⋅=-． 而2122223x x k x k M +==-，()2623k y k x k M M =-=-，12323F k k k M =-， 所以23123k k k ⋅=--，得235k =，故l的斜率为． 【考点】双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系、平面向量的数量积 【名师点睛】本题对考生的计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目时，利用,,,a b c e 的关系，确定双曲线（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与双曲线（圆锥曲线）方程得到方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题与解决问题的能力等.21．若定义在R 上的函数()y f x =满足：对于任意实数x 、y ，总有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=恒成立，我们称()f x 为“类余弦型”函数．()1已知()f x 为“类余弦型”函数，且()514f =，求()0f 和()2f 的值；()2在()1的条件下，定义数列()()21(1,n a f n f n n =+-=2，3，).⋯求201720181222223333a a a alog log log log ++⋯++的值． ()3若()f x 为“类余弦型”函数，且对于任意非零实数t ，总有()1f t >，证明：函数()f x 为偶函数，设有理数1x ，2x 满足12x x <，判断()1f x 和()2f x 的大小关系，并证明你的结论．【答案】（1）()01f =，()1728f =（2）2035153（3）证明见解析，()()12.f x f x <，证明见解析【解析】()1是抽象函数基础题,令121,0x x ==,求得()01f =;令121x x ==,求得()1728f =; ()2对于此数列,需要求其通项,而求通项又需要递推公式,令x n =，1y =,利用题中关系式推导出递推公式12n n a a -=,求通项然后利用对数的运算法则求解答案;()3属于难题,因为()()12的铺垫,代入特定的数即令0x =,y 为任意实数即可证明偶函数,证明()1f x 与()2f x 的大小关系需要定义新的数列,又因为题目中的有理数条件,要充分利用分数的特点. 【详解】解：()1令1x =，0y =，则()()()()11210+=f f f f ，所以()01f =． 令1x =，1y =，则()()()()20211f f f f +=，所以()1728f =． ()2令x n =，1y =，其中n 是大于1的整数，则()()()()()511212f n f n f n f f n ++-==，所以()()()()()21221f n f n f n f n +-=--，即12n n a a -=．又因为()()12213a f f =-=，所以数列{}n a 是首项为3，公比为2的等比数列，所以132n n a -=⋅，则213na log n =-． 所以原式0120172035153=++⋯+=．(3)证明:由题意函数()f x 定义域为R 关于原点对称,令0x =,y 为任意实数,则()()()()()202f y f y f f y f y +-==，即()()-=f y f y ，所以()f x 是偶函数．令N 为1x ,2x 分母的最小公倍数,并且1a x N =,2b x N=,a b 、都是自然数,并且a b <．第 21 页 共 21 页 令数列{}n c 满足n n c f N ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0n =，1，.⋯下证：数列{}n c 单调递增． ()1.01i f f N ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，所以01c c <； .ii 若1n n c c -<，n 是正整数，即1n n f f N N -⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 令n x N =，1y N =，则11122n n n n f f f f f N N N N N +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即112n n n c c c +-+>．所以()1112n n n n n n n c c c c c c c +-->-=+->．综上,数列{}n c 单调递增,所以()()12f x f x <，又因为()f x 是偶函数，所以()()12.f x f x <【点睛】本题涉及抽象函数、数列求通项求和等知识，使用了赋值法、数学归纳法等方法,属于难题.。
上海市七宝中学2018-2019学年高三上学期12月月考数学试题
绝密★启用前上海市七宝中学2018-2019学年高三上学期12月月考数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．若直线l 的一个法向量()3,1n =，则直线l 的一个方向向量d 和倾斜角α分别为（ ） A ．()1,3;arctan3d α== B ．()()1,3;arctan 3d α=-=- C ．()1,3;arctan3d απ==- D ．()1,3;arctan3d απ=-=- 2．“2sin cos 1x x =+”是“1tan 22x =”的（ ） A.必要非充分条件 B.充分非必要条件 C.充要条件D.既非充分也非必要条件3．已知向量a b c 、、满足0a b c ++=，且222a b c ＞＞，则a b b c c a 、、中的最小值是（ ） A.a b B.b c C.c aD.不能确定4．给出条件：①12x x <；②12||x x <；③12||x x <；④2212x x <；使得函数22()sin f x x x =+，对任意12,[,22x x ππ∈-，都使12()()f x f x <成立的条件序号是（） A.①③ B.②④C.③④D.②③……○…※题※※……○…第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题5．函数()f x=_______.6．已知{}{}222||3M y y x x R N x x y y R==∈=+=∈，，，，则M N=_______.7．设复数z满足()()125z i i-+=，则z=________.8．若二项式（x﹣）6（a＞0）的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B=4A，则a的值是_________．9．平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α，则此球O的体积为______.10．若3sin(45πα-=，则cos()4πα+的值是________11．将若干水倒入底面半径为2cm的圆柱器皿中(底面水平放置),量得水面的高度为6cm,若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒置的圆锥形器皿中,则水面的高度是_______cm.12．在△ABC中,a b c、、分别是角A、B、C所对的边,其中57sin cos7c C B===，，则b=_________.13．函数()f x在R上单调递增,设()1111λαβλλλ==≠++，，若()()()()10f f f fαβ--＞，则λ的取值范围是_________.14．过点(1,1)P的直线将圆形区域22{()4|,}x y x y+≤分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为________________．15．函数()()23f x xg x x x==-+，，,若存在1292nx x x⎡⎤⋯∈⎢⎥⎣⎦，，，，使得()()()()()()()()121121n n n nf x f x f xg x g x g x g x f x--++⋯+=++⋯++，则n的最大值为___.16．对于数列{}n a,若对任意正整数n，有不等式212n nna aa+++≤成立,则称数列{}n a为上凸数列.现有数列{}n a满足:110128a a==，，{}n a为上凸数列,且对任意○…………外○…………内()*110n n n N ≤∈＜，，都有20n n a b -≤，其中2610n b n n =-+，则5a 的取值范围为_______. 三、解答题17．已知函数()cos 22sin .sin cos xf x x x x=++(1)求()0f 的值；(2)求函数()f x 在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的单调递增区间.18．贺先生想向银行贷款买辆新能源车,银行可以贷给贺先生N 元,一年后需要一次性还1.02N 元.(1)贺先生发现一个投资理财方案:每个月月初投资m 元,共投资一年,每月的月收益率达到1%,于是贺先生决定贷款12m 元,按投资方案投资,求m 的值,使得贺先生用最终投所得的钱还清贷款后,还有120000的余额去旅游(精确到0.01元)；(2)贺先生又发现一个投资方案:第k 个月月初投资km 元()1212k =⋯，，，共投资一年，每月的月收益率达到1%,则贺先生应贷款多少,使得用最终投资所得的钱还清后,还有120000的余额去旅游(精确到0.01元).（参考数据121.01 1.1268250301»，131.01 1.1380932804»，141.01 1.1494742132»）19．若()()()()()()()()()()1121221231390.xxf x f x f x f x f x a a f x f x f x f x ⎧≤⎪=-=⋅-=⎨⎪⎩，，＞，，＞ (1)当29a ≤＜时,设()()2f x f x =所对应的自变量取值区间的长度为l (闭区间[]m n ，的长度为n m -),试求l 的最大值；(2)是否存在这样的，a 使得当[)2x ∈+∞，时,()()2f x f x =?若存在,求出a 的取值范围；若不存在,说明理由.20．已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()()0,0F c c >到直线的距离为322．设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点．(1) 求抛物线C 的方程；(2) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3) 当点P 在直线l 上移动时，求AF BF ⋅的最小值．21．记无穷数列{}n a 的前n 项中最大值为n M ，最小值为n m ，令2n nn M m b +=（Ⅰ）若23nn a n =-，请写出1234,,,b b b b 的值；（Ⅱ）求证:“数列{}n a 是等差数列”是“数列{}n b 是等差数列”的充要条件；（Ⅲ）若*,2018,1n n n N a b ∀∈= ，求证:存在*k N ∈，使得n k ∀≥，有1n b +=n b参考答案1．D【解析】试题分析：由题设可知直线的一个方向向量是,其斜率,即,故,应选D ．考点：直线的法向量和反正切函数． 2．A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合三角函数的关系式进行判断即可． 【详解】解：由1tan 22x =，得2sin2sin cos1sin 222tan 221cos cos 222x x xx xx x x cos ====+即2sin 1cos x x =+成立，即必要性成立当x π=时，满足2sin cos 1x x =+但tan2x无意义，即充分性不成立， 则“2sin cos 1x x =+”是“1tan 22x =”的必要不充分条件， 故选：A 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合三角函数的关系式是解决本题的关键． 3．A 【解析】 【分析】根据零向量与任何向量的数量积为零，得到关于a b b c c a 、、的关系式，再利用222a b c ＞＞，的到不等式，即可得到答案。
上海市七宝中学2018-2019学年高三上学期12月月考数学试题
………○学………○绝密★启用前上海市七宝中学2018-2019学年高三上学期12月月考数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．若直线l 的一个法向量(3,1)n =r，则直线l 的一个方向向量d 和倾斜角α分别为（ ）A ．(1,3);arctan 3d α==rB ．(1,3);arctan(3)d α=-=-rC ．(1,3);arctan 3d απ==-rD ．(1,3);arctan 3d απ=-=-r【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：由题设可知直线的一个方向向量是(1,3)d =-r,其斜率,即,故,应选D ．考点：直线的法向量和反正切函数． 2．“2sin cos 1x x =+”是“1tan 22x =”的（ ） A ．必要非充分条件 B ．充分非必要条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件【答案】A 【解析】试卷第2页，总19页【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合三角函数的关系式进行判断即可． 【详解】解：由1tan 22x =，得2sin2sin cos1sin 222tan 221cos cos 222x x xx xx x x cos====+即2sin 1cos x x =+成立，即必要性成立当x π=时，满足2sin cos 1x x =+但tan2x无意义，即充分性不成立， 则“2sin cos 1x x =+”是“1tan 22x =”的必要不充分条件， 故选：A 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合三角函数的关系式是解决本题的关键．3．已知向量a b c r r r 、、满足0a b c ++=r r r r ，且222a b c r r r ＞＞，则a b b c c a r r r r r r g g g 、、中的最小值是（ ） A ．a b r rg B ．b c r rgC ．c a r rgD ．不能确定【答案】A 【解析】 【分析】根据零向量与任何向量的数量积为零，得到关于a b b c c a r r r r r rg g g 、、的关系式，再利用222a b c r r r ＞＞，的到不等式，即可得到答案。
精品解析：上海市闵行区七宝中学2019-2020学年高三上学期开学考试数学试题(解析版)
【详解】∵A､B､C 三点不共线,∴
| AB + AC |>| BC | | AB + AC |>| AB - AC |
| AB + AC |2>| AB - AC |2 AB • AC >0 AB 与 AC
2019-2020 学年上海市闵行区七宝中学高三（上）开学数学试卷
一、填空题（本大题共 12 小题）
U
1.已知全集
1, 0,1, 2,3,集合
A
0,1, 2,
B
1, 0,1,则 ðU
A
B
______.
1
【答案】
【解析】
【分析】
利用集合补集和交集的定义直接求解即可.
17
17
,解得 a 12 .
故答案为:12.
【点睛】本题考查参数值的求法，考查借用圆锥曲线的参数方程和点到直线的距离求参数的问题，考查运
算求解能力，属于中档题．
11.已知
a
、b、
c
都是实数，若函数
f
x
x2
1 x
b
xa
a
x
c
,
的反函数的定义域是
，则
7.已知
4x 2x
，则此函数的值域是______
【答案】
1,
5 4
【解析】
【分析】
t (1)x 令 2 ,由 x 的范围求得 t 的范围,再由二次函数求值域.
t (1)x 【详解】解:令 2 ,
x
精品解析：上海市闵行区七宝中学2019-2020学年高三上学期开学考试数学试题(原卷版)
2019-2020学年上海市闵行区七宝中学高三（上）开学数学试卷一、填空题（本大题共12小题）1.已知全集,集合,,则______.{}1,0,1,2,3U =-{}0,1,2A ={}1,0,1B =-()U A B = ð2.已知复数是虚数单位，则______5(12i z i i =+)z z ⋅=3.关于x ，y 的二元一次方程组无解，则______1323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩m =4.直线的一个方向向量，直线的一个法向量，则直线与直线的夹角是______1l ()1,2d = 2l ()1,1n = 1l 2l 5.已知为钝角三角形，边长，，则边长______ABC A 1a =2b =c ∈6.设常数，展开式中的系数为，则_______0a>9x ⎛ ⎝6x 4()2lim n n a a a →∞+++= 7.已知，则此函数的值域是______()111(0)42x x f x x =-++>8.若函数的值域为，则的最小值为_________()[]()sin 0,0,6f x x x πωωπ⎛⎫=->∈ ⎪⎝⎭1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ω9.PA ，PB ，PC 是从P 点引出的三条射线，他们之间每两条的夹角都是60°，则直线PC 与平面PAB 所成的角的余弦值为_______________10.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为，为参数，直线l 的参数方程为3x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩(θ)，若C 上的点到l，则______4(0)x y a a +=>a =11.已知、b 、都是实数，若函数的反函数的定义域是，则的所a c ()21x x a f x b a x c x ⎧≤⎪=⎨+<<⎪⎩(),-∞+∞c 有取值构成的集合是________12.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的两条渐近线()2222:10,0x y C a b a b -=>>1F 2F 1F C 分别交于、两点，若，，则的渐近线方程为__________.A B 1F A AB = 120F B F B ⋅= C 二、选择题（本大题共4小题）13.设点A ，B ，C 不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的AB AC||||AB AC BC +> A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件14.若，，则()1a b >>01c <<A . B. C. D. c c a b <c c log a log b <b ac c <a b log c log c<15.定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意，2k m ≤中0的个数不少于1的个数.若m =4，则不同的“规范01数列”共有12,,,,k a a a A. 18个B. 16个C. 14个D. 12个16.以表示值域为的函数组成的集合，表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数A R B ()x ϕ，存在一个正数，使得函数的值域包含于区间．例如，当，()x ϕM ()x ϕ[],M M -()31x x ϕ=时，，．则下列命题中正确的是：（ ）()2sin x x ϕ=()1x A ϕ∈()2x B ϕ∈A. 设函数的定义域为，则“”的充要条件是“，，”()f x D ()f x A ∈b R ∀∈a D ∃∈()f a b =B. 函数的充要条件是有最大值和最小值()f x B ∈()f x C. 若函数，的定义域相同，且，，则()f x ()g x ()f x A ∈()g x B ∈()()f x g x B+∉D. 若函数有最大值，则()()()2ln 22,1x f x a x x a R x =++>-∈+()f x B ∈三、解答题（本大题共5小题）17.关于x 的不等式的解集为．201x a x +<()1,b -求实数a ，b 的值；()1若，，且为纯虚数，求的值．()21z a bi =+2z cos isin αα=+12z z tan α18.如图，在四棱锥中，平面ABCD ，，，，P ABCD -PA ⊥AD CD ⊥//AD BC 2PA AD CD ===，E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且．3BC =13PF PC =求证：平面PAD ；()1CD ⊥若平面AEF 与线段PB 交于点G ,求的值．()2PG PB 19.某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为圆弧的中点）和线段MN 构成，已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米，现规范在此农田修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为梯形MNBA ，其中，且，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求A 、B 均//AB MN AB MN <ABP △在圆弧上，设OB 与MN 所成的角为．θ用表示多边形MAPBN 的面积，并确定的取值范围；()1θsin θ若分别在两个大棚内种植两种不同的蔬菜，且这两种蔬菜单位面积的年产值相等，求当为何值时，()2θ能使种植蔬菜的收益最大．20.已知椭圆的右焦点为，短轴长为4，设，的左右有两个焦点．22221(0,0)x y C a b a b +=>>：()1,01F 2F 求椭圆C 的方程；()1若P 是该椭圆上的一个动点，求的取值范围；()212PF PF ⋅ 是否存在过点的直线l 与椭圆交于不同的两点C ，D ，使得？若存在，求出直线l ()3()5,0A 22F C F D =的方程；若不存在，请说明两点．21.若定义在R 上的函数满足：对于任意实数x 、y ，总有恒()y f x =()()()()2f x y f x y f x f y ++-=成立，我们称为“类余弦型”函数．()f x已知为“类余弦型”函数，且，求和的值；()1()f x ()514f =()0f ()2f 在的条件下，定义数列2，3，求()2()1()()21(1,n a f n f n n =+-=).⋯的值．201720181222223333a a a a log log log log ++⋯++若为“类余弦型”函数，且对于任意非零实数t ，总有，证明：函数为偶函数，设()3()f x ()1f t >()f x 有理数，满足，判断和的大小关系，并证明你的结论．1x 2x 12x x <()1f x ()2f x。
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七宝中学高三上九月开学考
2018.09
一. 填空题
1. 已知集合2{|340}A x x x =--=，{|10,}B x mx m =+=∈R ，且A B A =，则所有
满足条件的m 构成的集合为
2. 设,a b ∈R ，则“tan b α=”是“arctan b α=”的 条件
3. 294i z z +=+（i 为虚数单位），则||z =
4. 若△ABC 中，4a b +=，30C ∠=︒，则△ABC 面积的最大值是
5. 设直线l 过点(4,0)P -，且与直线:310m x y -+=的夹角为l 的方 程是
6. 设常数0a >，9
(x
展开式中6x 的系数为4，则2lim()n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=
7. 已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，11
()142
x x f x =-++，则此函数
的值域是
8. 已知函数8()log (8)a f x x x
=+-在[2,)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是 9. 奇函数()y f x =满足对任意x ∈R 都有(2)(2)0f x f x ++-=，且(1)9f =，则
(2016)(2017)(2018)f f f ++的值为
10. 平面直角坐标系中，给出点(1,0)A 、(4,0)B ，若直线10x my +-=上存在点P ，使得
||2||PA PB =，则实数m 的取值范围是
11. 下列命题：
① 关于x 、y 的二元一次方程组1
323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩
的系数行列式0D =是该方程组有
解的必要非充分条件；
② 已知E 、F 、G 、H 是空间四点，命题甲：E 、F 、G 、H 四点不共面，命题乙： 直线EF 和GH 不相交，则甲成立是乙成立的充分非必要条件；
③“2a <”是“对任意的实数x ，|1||1|x x a ++-≥恒成立”的充要条件； ④“0p =或4p =-”是“关于x 的方程p
x p x
=+有且仅有一个实根”的充要条件； 其中，真命题序号是
12. 在直角坐标平面xOy 中，已知两定点1(2,0)F -与2(2,0)F 位于动直线:0l ax by c ++=的同侧，设集合
{|P l =点1F 与点2F 到直线l 的距离之差等于2}，22{(,)|4,,}Q x y x y x y =+≤∈R ，记{(,)|(,),}S x y x y l l P =∉∈，{(,)|(,)}T x y x y Q
S =∈，则由T 中的所有点所组成的图形的面积是
二. 选择题
13. 设a 、b 为实数，则“01ab <<”是“1
b a
<
”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 若函数()2sin()f x x ω=在区间[,]54
ππ
-上存在最小值2-，则非零实数ω的取值范围 是（ ）
A. (,2]-∞-
B. [6,)+∞
C. 5(,2][,)2-∞-+∞
D. 15
(,][6,)2
-∞-
+∞ 15. 已知集合{(,)|||||1}M x y x y =+≤，若实数对(,)λμ满足：对任意的(,)x y M ∈，都有(,)x y M λμ∈，则称(,)λμ是集合M 的“嵌入实数对”，则以下集合中，不存在集合M 的 “嵌入实数对”的是（ ）
A. {(,)|2}λμλμ-=
B. {(,)|2}λμλμ+=
C. 22{(,)|2}λμλμ-=
D. 22{(,)|2}λμλμ+=
16. 已知函数210
()(1)0
x x f x f x x -⎧-+≤=⎨->⎩，则下列命题中正确命题的个数是（ ）
① 函数()f x 在[1,)-+∞上为周期函数；
② 函数()f x 在区间[,1)m m +上单调递增；
③ 函数()f x 在1x m =-（m ∈N ）取到最大值0，且无最小值；
④ 若方程()log (2)a f x x =+（01a <<）有且仅有两个不同的实根，则11[,)32
a ∈； A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
三. 解答题 17. 关于x 的不等式
2
01x a x
+<的解集为(1,)b -.
（1）求实数a 、b 的值；
（2）若1i z a b =+，2cos isin z αα=+，且12z z 为纯虚数，求tan α的值.
18. 如图，四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 为平行四边形，若60DAB ∠=︒，
2AB =，1AD =.
（1）求证：PA BD ⊥；
（2）若45PCD ∠=︒，求点D 到平面PBC 的距离h .
19. 如果一条信息有n （1n >，n ∈N ）种可能的情形（各种情形之间互不相容），且这些 情形发生的概率分别为1p 、2p 、⋅⋅⋅、n p ，则称12()()()n H f p f p f p =++⋅⋅⋅+（其中
()log a f x x x =-，(0,1)x ∈）为该条信息的信息熵，已知11
()22
f =.
（1）若某班共有32名学生，通过随机抽签的方式选一名学生参加某项活动，试求“谁被选 中”的信息熵的大小；
（2）某次比赛共有n 位选手（分别记为1A 、2A 、⋅⋅⋅、n A ）参加，若当1,2,,1k n =⋅⋅⋅-时， 选手k A 获得冠军的概率为2k -，求“谁获得冠军”的信息熵H 关于n 的表达式.
20. 双曲线2
2
21y x b
-=（0b >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线l 过2F 且与双曲线交
于A 、B 两点.
（1）若l 的倾斜角为2
π
，△1F AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
（2）设b =，若l 的斜率存在，且11()0F A F B AB +⋅=，求l 的斜率.
21. 若定义在R 上的函数()y f x =满足：对于任意实数x 、y ，总有
()()2()()f x y f x y f x f y ++-=恒成立，我们称()f x 为“类余弦型”函数.
（1）已知()f x 为“类余弦型”函数，且5
(1)4
f =
，求(0)f 和(2)f 的值； （2）在（1）的条件下，定义数列2(1)()n a f n f n =+-（1,2,3,n =⋅⋅⋅），求
20172018122
222log log log log 3333
a a a a
++⋅⋅⋅++的值； （3）若()f x 为“类余弦型”函数，且对于任意非零实数t ，总有()1f t >，证明：函数()f x 为偶函数，设有理数1x 、2x 满足12||||x x <，判断1()f x 和2()f x 的大小关系，并证明你的 结论.
一. 填空题
1. 1{0,,1}4
- 2. 必要非充分 3. 5 4. 1 5. 4x =-或43160x y -+= 6.
12
7. 55
[,1){0}(1,]44--
8. [4,20)- 9. 9 10. (,(3,)-∞+∞ 11. ② 12.
二. 选择题
13. D 14. C 15. C 16. B
三. 解答题
17.（1）1a =-，2b =；（2）12
-.
18.（1）略；（2. 19.（1）5；（2）422n
H =-
.
20.（1）y =；（2）. 21.（1）(0)1f =，17
(2)8f =；（2）2log 13
n a n =-，20182035153S =； （3）12()()f x f x <.。