对基本不等式的教学反思

对基本不等式（一）的教学反思

佛山市顺德区乐从中学：肖智胜

【复习目标】

1． 复习并了解由重要不等式推出基本不等式的证明过程；

2． 会运用基本不等式及其变形公式证明不等式:

3． 应用基本不等式证明和求最大（小）值.

【重点难点】

1． 能灵活利用基本不等式及其变式解决有关求值问题；

2． 要充分注意应用基本不等式求最值的条件：“一正，二定，三相等”。

【教学过程】

（一）、课前预习

1、重要不等式：_______22≥+b a ，当且仅当__________时，取得“＝”号。

2、基本不等式：若＋

、R b a ∈，则____________,当且仅当__________时，取得“＝”。

3、用基本不等式求最值时注意三个条件：“一正，二定，三相等”。

（学生基本上可以在自学的基础上正确回答以上问题）

（二）、预习尝试

1、若01,01,且,a b a b <<<<≠则下列不等式中最大的是 （ ）

A ．22a b +

B ．a b +

C ．2ab

D ．

2、函数1()(,0)f x x x R x x

=+∈≠的值域是（ ） A. [)2,+∞ B. (2,)+∞ C. R D. (,2][2,)-∞-+∞

3、已知＋R y x ∈,，2052＝＋y x ，则xy 的最大值为___，取最大值时_______,==y x

（能初步检验学生课前预习掌握基本知识、基本方法的情况，及时调整下面的教学。题目难度不大，且能为下一步问题尝试作铺垫。题2有部分同学不知分类讨论）

（三）问题尝试

1、若a,b,c ∈R +，且a+b+c ＝1，求证：6111≥-+-+-c

c b b a a （设计意图：会用基本不等式证明简单的不等式，难度要控制）

证明：左＝

c b a b c a a c b c c b b a a +++++-+-+-＝111＝（)()()c b b c c a a c b a a b +++++ 6222=++≥

（反思：学生不能很好将证明的结论与已知条件结合起来考虑，在变形到基本不等式条件存在一定的困难；不等式的证明在高考中难度较大，对于我们这类的学生可以不作重点讲解）

2、（1）已知：,194,0,0=+>>y x y x 求y

x 11+的最小值。 （设计意图：理解用基本不等式求最值的一般方法和步骤，避免出现可能的误解。） 误解：121942941,0,0≤

⇒⋅≥+>>xy y x y x y x ＝ 1221211≥≥+xy

y x 又＝34（没有考虑取得“＝”的条件） 解：,

0,0>>y x y x 11+＝（y x 11+）（4)9y x +＝2513121349=+≥++y x x y 当且仅当又y x x y 49=419＝y x +时，得：15

1,101==y x 小结：（1）注意取得“＝”的条件 （2）灵活运用1

（反思：有部分学生利用错解来解题，没能考虑基本不等式的三个条件，特别是取“＝”的条件；有相当部分学生不能灵活运用1入手做题）

（2）若,x y R +∈，且x +4y －xy =0求 ①y x +的最小值, ②xy 的最大值。

（设计意图：本题难度较大，培养学生灵活运用基本不等式求最值）

解: ①法一：由x +4y －xy ＝0⇒4

-=x x y 代入y x +中，得： y x +＝54

4)4(4+-+-=-+

x x x x x 954＝＋≥， 当且仅当6444=-=-x x x 即时，取“＝”，（ 4-=x x y )0400>-⇒>≥x x 且 法二：由x +4y －xy ＝0⇒141=+x

y ，利用（1）方法 y x +＝)41()x y y x +⋅+（＝95454=+≥++x

y y x ， 当且仅当且x

y y x 4=x +4y －xy ＝0时⇒即3,6==y x ，取 “=”.

解②：由x +4y ＝xy xy 42≥，两边平方得：1616)(2≥⇒≥xy xy xy 当且仅当时，取得“＝”即2,82

4====y x xy y x 。 （反思：题目要求学生对已知的式子灵活变形，难度较大，只有个别学生可以完成，要求老师认真仔细，结合多媒体讲解，可以较好控制时间）

（四）尝试练习

1、设y x y x R y x 33,5,+=+∈+则且，的最小值是（ ）

A 、0

B 、36

C 、64

D 、318

2、已知x>1，y>1，且lgx+lgy ＝4，则lgxlgy 的最大值是（ ）

A.4

B.2

C.1

D.

4

1 3、下列函数中最小值为2的是（ ） A. x x y 1+

= B. )2

0(sin 1sin π<<+=x x x y C.x x e e y -+= D.)1(3log log 3<+=x x y x

4、 当x= 时，函数y=2x(3-2x),(0

3)有最大值，最大值等于 ； 当x= 时，函数y= x (3-2x),(0

3)有最大值，最大值等于 . 5、已知a,b,c ∈R + 且a+b+c=1求证: (a 1－1)(b 1－1)(c 1－1)≥8 （设计意图：精选题目，题组练习，达到巩固加深知识，熟练方法技巧）

（反思：题目难度适中，大部分学生可以独立完成，但时间不够，要求教师在前面要很好的把握时间）

（五）本课小结

1、灵活利用基本不等式及其变式解决有关证明和求值问题

2、要充分注意应用基本不等式求最值的条件：“一正，二定，三相等”。