第九章 圆轴扭转

63.7
M n ,max 318 .3( N m)
159 .2
318 .3
AD段
因此将A、D轮的位置更换不合理。
3
(1)计算外力偶矩
(2)计算扭矩
(3) 扭矩图
练习1 作内力图

练习2 传动轴如图所示，主动轮A输入功率50马力， 从动轮B、C、D输出功率分别为15马力，15马力， 20马力,轴的转速为300r/min。试画出轴的扭矩图。
m1 m4
BC段为危险截面;
T1 4.78kN
A T
B
C
D
6.37KNm
x
4.78KNm 9.56KNm
例2 :图示传动轴上，经由A轮输入功率10KW，经 由B、C、D轮输出功率分别为2、3、5KW。轴的转速 n=300r/min，求作该轴的扭矩图。如将A、D轮的位置 更换放置是否合理？
4、切应力分布规律假设
因为筒壁的厚度很小，可以认为沿筒壁厚度切应力均匀分布；
5、薄壁圆筒的扭转切应力
T


rm
2 rm t T
2
T 2 2 rm t
rm：薄壁圆筒横截面的平均半径;
二、切应力互等定理
切应力互等定理
a
m

´
dx
´
b
z
0
dy

c
z

d
tdy dx tdx dy
§9.1
圆轴扭转的概念
工 程 实 例
工 程 实 例
工 程 实 例
对称扳手拧紧镙帽
扭转变形的受力特点
扭转变形的受力特点
一组外力偶的作用，且力偶的作用面与杆件的轴线垂直；
变形特点：
变形特点：
任意两横截面绕轴线发生相对转动；
轴： 工程中以扭转为主要变形的构件。
齿轮轴
§9.2 扭矩和扭矩图
一.外力偶矩的计算 ——直接计算
切应力与半径成正比
危险点的位置
切应力与扭矩同向的顺流
T

纵向面内切应力
3. 静力学关系：
T A dA
d A G dA dx
2
d G A 2 dA dx
令
I p A 2dA
极惯性矩
d T dx GI p
d T GI p dx T GIP：抗扭刚度 G d Ip dx
n1=n2=120r/min,z1=36,z3=12;d1=70mm, d 2=50mm, d3=35mm.求:各轴横截面上的最大切应力。
3
1、计算各轴的功率与转速
P1=14kW, P2= P3= P1/2=7 kW n1=n2= 120r/min
P1 m1 9.55 n
n =300r/min，P1=500kW，
P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW
m2
m3
m1
m4
15.9(kN m)
A
P2 m2 m3 9.55 4.78 (kN m) n P4 m4 9.55 6.37 (kN m) n
结论
横截面： 像刚性平面一样， 只是绕轴线旋转了一个角度。 在此假设的基础上，推倒出的应力与变形计算公式，符 合试验结果，且与弹性力学一致
二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：
1. 变形几何关系：
tg

BB' dx
d
dx
d dx
距圆心为 的任一点处的； 与点到圆心的距离成正比。

方向：
t
在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对出现； 且数值相等； 两者都垂直于两平面的交线； 共同指向或共同背离该交线；
三、切应变
纯剪切单元体的相对两侧面 发生微小的相对错动， a
´
´
b

c

d
使原来互相垂直的两个棱边 的夹角改变了一个微量γ；
圆筒两端的相对扭转角为υ，圆筒 的长度为L，则切应变为
t
L r
r L
四、剪切虎克定律：
当剪应力不超过材料的剪切比例
极限时（τ ≤τp)，
a

´
´
b

c

d
切应力与切应变成线形关系；
t
G

G 材料剪切弹性模量，单位：GPa。
对各向同性材料有

E G 21
§9.4 圆轴扭转时的应力 · 强度条件
一、等直圆杆扭转实验
Ip
D 2 d 2
2 d
2

32
( D4 d 4 )
d ( ) D
Ip
D 4
32
( 1 )
4
Wt
D 3
16
( 1 )
4
实心轴与空心轴 Ip 与 Wt 对比
空心圆截面的扭转切应力分布
（实心截面）
（空心截面）
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻， 结构轻便，应用广泛。
四、圆轴扭转时的强度计算
强度条件： 对于等截面圆轴： 强度计算三方面： ① 校核强度： ② 设计截面尺寸：
max [ ]
Tmax [ ] Wt
([] 称为许用切应力。)
Tmax max [ ] Wt
Wt Tmax [ ]
3 实： D 16 3 Wt D 4 空： （ 1 ） 16
T Ip
横截面上距圆心为处任一点切应力计算公式
危险点的位置
圆截面边缘处；
T T R max Ip Ip
令 Wt
IP R
抗扭截面系数
（实心截面）
max
T Wt
讨论
公式的适用范围 仅适用于各向同性、 线弹性材料， 在小变形条件下的 等圆截面杆；
截面的极惯性矩和抗扭截面系数计算
d —— 扭转角沿长度方向变化率。 dx
2. 物理关系：
虎克定律：
G
G G d dx
扭转变形的切应力的分布规律
d G dx
1、任意一点处的切应力τ ρ与该点到圆心的距离ρ成正比；
2、切应变γρ发生在垂直于半径的平面内， 切应力τρ也与半径ρ垂直； 3、切应力的方向形成与扭矩同向的顺流；
确定实心轴与空心轴的重量之比
长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：
A1 d 1 45 10 2 ＝ 1.28 2 3 2 A2 D2 1 46 10 1 0.5
2 1 3
2
例3：已知：P1＝14kW, P2= P3=P1/2，
目 的 ①扭矩变化规律； ②|T|max值及其截面位置（危险截面）。
T
m
m
x
危险面 处处是危险面
[例1]已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入
P1=500kW，从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，
P4=200kW，试绘制扭矩图。 m2 m3 m1 m4
A
B
C
D
1 计算外力偶矩
C D
B
A
3、已知PA＝20KW，PB＝PC＝6KW，PD＝
8KW，转数ｎ＝191转/分，作扭矩图
PA PD
PB
PC
4、作扭矩图
3KNm
2KNm
1KNm
2KNm
2KNm
5、轴上作用有均布力偶，轴长为L＝1.2米
M0=2KNm/m
§9.3
纯剪切
一、薄壁圆筒的扭转切应力
薄壁圆筒： 壁厚
1 t rm 10
B
C
D
2、求扭矩
m2
T1 m2 0
T1 4.78kN m
T2 m2 m3 0
m2
1
m3
2
m1
3
m4
1
T1 m3
2
3
T2 9.56 kN m
T3 m4 0 T3 m4 6.37 kN m
T3
m2
T2 m4
3、绘制扭矩图 m2 m3
T max 9.56 kN m
I p A dA
2
mm4，m4。
IP Wt R
mm3，m3。
实心圆截面：
I p A dA
2
dA 2 d
I p 2 2 d
D 2 0
IP
D 4
32
Wt
D 3
16
空心圆截面：
I p A dA
2
dA 2 d
③ 计算许可载荷：
Tmax Wt[ ]
1. 等截面圆轴：
2. 阶梯形圆轴：
[例1]
功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转
子，许用切应力 []=30M Pa, 试校核其强度。
M
M
D3 =135 D2=75 D1=70
M
M
①计算外力偶矩
D3 =135 D2=75 D1=70 T T=m x
M=Fd
按输入功率和转速计算
已知 轴转速－n 转/分钟 输出功率－P 千瓦 计算：力偶矩M
电机每秒输入功： 外力偶作功：
60P( KW ) P M 9.549 ( KN m) 2n( r / m in) n
P 60P( 马力 ) M 0.7355 7.024 ( KN m ) n 2n( r / m in)
n W M 2 60
W P 1000(N.m)