2019-2020学年浙江省金兰教育合作组织高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)

2019-2020学年浙江省金兰教育合作组织高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 若集合A ={x|x 2−4x >0}，B ={−2,2，4，6}，则A ∩B = ( )A. ⌀B. {2,4，6}C. {−2,4，6}D. {−2,6}2. 已知幂函数f(x)=kx α(k ∈R,α∈R)的图象过点(12,√2)，则k +α= ( )A. 12B. 1C. −1D. 23. 已知0<a <1，log a m <log a n <0，则( )A. 1<m <nB. 1<n <mC. m <n <1D. n <m <14. 函数f(x)=ln(2x −1)−1x+2的零点所在的大致区间是( )A. (12,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)5. 已知函数f(x)={2x −1(x >−1)e x (x ≤−1)，若a <b ，f(a)=f(b)，则实数2a +b 的取值范围为( )A. (−∞,e−72) B. (−∞,e−52)C. (−∞,1−e e) D. (−∞,1−3e 2e]6. 若数f(x)=ln(√1+4x 2+2x)+3，且f(log a 2019)=5，则f(log a 12019)=( )A. −5B. 4C. 3D. 1 7. 定义在R 的奇函数f(x)，当x <0时，f(x)=−x 2+x ，则f(2)等于( )A. 4B. 6C. −4D. −6 8. 函数f(x)=lg(1−x 2)的单调递减区间是( )A. (0,+∞)B. (0,1)C. (−∞,0)D. (−1,0) 9. 若关于x 的方程x 2− 2x + a = 0在区间[0,3]上有解，则实数a 的取值范围是( )A. (− 3,1)B. [− 3,1]C. (− 3,0)D. [− 3,0] 10. 若函数f (x )=x 2−2ax +1−a 在[0,2]上的最小值为−1，则a =( )A. 1或2B. 1C. 1或65D. −2二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11. 已知集合A ={1,2，3，4}，集合B ={x|x(4−x)<0}，则A ∩(∁ R B)=___________． 12. 函数f(x)=2x−1在区间[2,4]上值域为________． 13. 已知f(2x )=x +3，若f(a)=5，则a = ______ ．14. 已知函数f (x)是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )=x 2−x.若f (a)<4+f (−a)，则实数a 的取值范围是_____． 15. log 28−(−23)0=______．16. 已知函数f (x )={x +12,0≤x <122x−1,12≤x <2，若存在x 1，x 2，当0≤x 1<x 2<2时，f(x 1)=f(x 2)，则x 1f(x 2)−f(x 2)的最小值为_____________17. 设a 为实常数，y =f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )=9x +a 2x+7，若f (x )≥a +1对一切x >0成立，则实数a 的取值范围为 _____ 三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18. 已知集合A ={x|x 2+3x −10<0}，B ={x|x 2−2x −3≥0}，全集为R ，求A ∩B 和A ∪(∁R B)19. 已知函数． (1)若，求函数的解析式，并写出的定义域；(2)记．①若在[1,32]上的最小值为1，求实数的值； ②若，，为图象上的三点，且满足2=+的实数有且只有两个不同的值，求实数的取值范围．20. 某商品在30天内(包括30天)的交易价格P(单位：元/件)与时间t(单位：天)组成有序数对(t,P)，点(t,P)落在下图中的两条线段上．该商品在30天内的日交易量Q(单位：万件)与时间t(单位：天)的部分数据如下表所示：t4101622Q36302418(1)根据提供的图象，写出该商品的交易价格P关于时间t的函数关系式；(2)根据表中数据，确定日交易量Q关于时间t的一次函数关系式；(3)若用y(单位：万元)表示该商品日交易额，试写出y关于t的函数关系式，并求出这30天中第几天的日交易额最大，最大交易额为多少？21.二次函数f(x)=x2−16x+q+3.若函数在区间[−1,1]上存在零点，求实数q的取值范围．22.已知函数f(x)=x2+ax+b的图象关于x=1对称(1)求实数a的值；(2)若f(x)的图象过(2,0)点，求x∈[0,3]时f(x)的值域．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析： 【分析】本题考查集合的交集运算，先求出集合A ，再求交集即可． 【解答】解：解不等式x 2−4x >0得，x >4或x <0， 所以A =｛x|x >4或x <0｝ 所以A ∩B =｛−2，6｝ 故选D ．2.答案：A解析： 【分析】本题考查了幂函数的概念，以及求函数解析式，根据题意得以k =1，α=−12，从而得到结果． 【解答】解：∵幂函数f(x)=kx α(k ∈R,α∈R)的图象过点(12,√2)， ∴k =1,(12)α=√2， ∴α=−12， ∴k +α=1−12=12． 故选A ．3.答案：B解析：本题考查比较大小，解题的关键是熟练掌握对数函数的单调性． 根据对数函数的单调性可直接作答． 【解答】解：log a m <log a n <0可化为log a m <log a n <log a 1， ∵0<a <1， ∴m >n >1． 故选B ．4.答案：B解析： 【分析】本题考查函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用，属于基础题．由题意可知函数在(12,+∞)单调递增且连续，f(1)⋅f(2)<0，由根的存在性定理可求． 【解答】解：函数f(x)=ln(2x −1)−1x+2在区间(12,+∞)上为增函数，且连续， 因为f (1)=ln1−13=−13<0,f (2)=ln3−14=ln3−ln √e 4>0， 即f(1)⋅f(2)<0，所以函数零点所在的大致区间是(1,2)． 故选B ．5.答案：D解析： 【分析】本题考查了函数的单调性，考查换元思想，本题属于中档题． 结合函数的草图易知a ≤−1，2a +b =e a +12+2a ，由函数y =e x +12+2x 的单调性，从而求出实数2a +b 的范围．解：由题意，函数f(x)={2x −1(x >−1)e x (x ≤−1)，若a <b ，f(a)=f(b)，所以a ≤−1，∵f(a)=e a ，f(b)=2b −1，且f(a)=f(b)， ∴e a =2b −1， 得b =e a +12，∴2a +b =e a +12+2a ，又∵函数y =e x +12+2x ，(x ≤−1)单调递增，∴y ≤1−3e 2e，∴实数2a +b 的范围是(−∞,1−3e 2e]，故选：D ．6.答案：D解析： 【分析】本题考查函数奇偶性的应用，考查对数的运算，属基础题．令g (x )=ln (√1+4x 2+2x)知g (x )为奇函数，根据f(log a 2019)=g(log a 2019)+3=5，求得g(log a 2019)=2，又f(log a 12019)=g(log a 12019)+3 =−g(log a 2019)+3，即可求得结果． 【解答】解：令g (x )=ln (√1+4x 2+2x)，则g (−x )=ln (√1+4x 2−2x)= √1+4x 2+2x =−g (x )，所以g (x )为奇函数，f(x)=g (x )+3，f(log a 2019)=g(log a 2019)+3=5，所以g(log a 2019)=2， f(log a12019)=g(log a12019)+3= −g(log a 2019)+3=−2+3=1，故选D ．7.答案：B解析： 【分析】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质进行转化是解决本题的关键，属较易题． 根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可． 【解答】解：∵定义在R的奇函数f(x)，当x<0时，f(x)=−x2+x，∴f(2)=−f(−2)=−[−(−2)2−2]=6，故选：B．8.答案：B解析：解：令t=1−x2=(1+x)(1−x)>0，可得−1<x<1，故函数的定义域为(−1,1)，则f(x)=lgt．本题即求t=−x2+1在(−1,1)上的减区间，再利用二次函数的性质可得，t=−x2+1在(−1,1)上的减区间为(0,1)，故选：B．令t=1−x2>0，可得函数的定义域为(−1,1)，f(x)=lgt，本题即求t=−x2+1在(−1,1)上的减区间，再利用二次函数的性质求得t=−x2+1在(0,1)上为减区间．本题考查对数函数的单调性和应用、复合函数的单调性、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．9.答案：B解析：【分析】本题考查了方程与函数的转化运用，函数的交点，方程的根的关系，属于中档题．由x2−2x+a=0，得a=−x2+2x，令ƒ(x)=−x2+2x，求得f(x)在区间[0,3]的值域即可．【解答】解：由x2−2x+a=0，得a=−x2+2x，实数a的取值范围即函数ƒ(x)=−x2+2x在区间[0,3]上的值域，ƒ(x)的最大值为ƒ(1)=−12+2×1=1，ƒ(x)的最小值为ƒ(3)=−32+2×3=−3，所以ƒ(x)=−x2+2x的值域是[−3,1]，即实数a的取值范围是[−3,1]．故选B．10.答案：B解析：【分析】本题考查由二次函数的最值求参数的值，属于中档题目．利用二次函数的性质对a进行分类讨论求出f(x)的最小值得出a的值．【解答】解：函数f(x)=x2−2ax+1−a图象的对称轴为x=a，图象开口向上．(1)当a≤0时，函数f(x)=x2−2ax+1−a在[0,2]上单调递增，则f(x)min=f(0)=1−a，由1−a=−1，得a=2，不符合a≤0；(2)当0<a<2时，则f(x)min=f(a)=a2−2a2+1−a=−a2−a+1，由−a2−a+1=−1，得a=−2或a=1，∵0<a<2，∴a=1符合；(3)当a≥2时，函数f(x)=x2−2ax+1−a在[0,2]上单调递减，∴f(x)min=f(2)=4−4a+1−a=5−5a，，由5−5a=−1，得a=65∵a≥2，∴a=6不符合．5综上可知，a=1．故选B．11.答案：{1,2，3，4}解析：【分析】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．化简集合B，根据补集与交集的定义写出A∩(∁ R B)即可．【解答】解：集合A={1,2，3，4}，B={x|x(4−x)<0}={x|x(x−4)>0}={x|x<0或x>4}，∴∁ R B={x|0≤x≤4}，∴A∩(∁ R B)={1,2，3，4}．故答案为：{1,2，3，4}．,2]12.答案：[23解析：【分析】本题主要考查分式函数的单调性，利用函数的单调性求函数的值域．【解答】解：f(x)=2x−1，则函数在[2,4]上单调递减，所以f(4)≤f(x)≤f(2)， 即23≤f(x)≤2，所以函数的值域为[23,2]． 故答案为[23,2]．13.答案：4解析： 【分析】本题考查了函数值的计算，属于基础题．令a =2x ，则f(a)=x +3=5，从而得出x 的值，进而得出a 的值． 【解答】解：令a =2x ，则f(a)=f(2x )=x +3=5， ∴x =2， ∴a =22=4， 故答案为4．14.答案：(−∞,2)解析： 【分析】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及分段函数的解析式和一元二次不等式的解法，属于中档题．根据题意，由函数的奇偶性和解析式分析可得f(x)={x 2−x,x ≥0−x 2−x,x <0；据此可得f(a)<4+f(−a)等价于{a 2−a <2a ≥0或{−a 2−a <2a <0，解可得a 的取值范围，即可得答案． 【解答】解：根据题意，设x <0，则−x >0， 则f(−x)=(−x)2−(−x)=x 2+x ，又由f(x)是定义在R 上的奇函数，则f(x)=−f(−x)=−x 2−x ， 则f(x)={x 2−x,x ≥0−x 2−x,x <0；因为f(a)<4+f(−a)， 所以f(a)−f(−a)<4， 所以f(a)<2，所以{a 2−a <2a ≥0或{−a 2−a <2a <0, 解可得：a <2，即a 的取值范围为(−∞,2)；故答案为(−∞,2)．15.答案：2解析：解：log 28−(−23)0=3−1=2．故答案为：2．可以求出log 28=3,(−23)0=1，从而可求出原式的值． 考查对数的运算，以及x ≠0时，x 0=1．16.答案：−916解析：【分析】本题考查分段函数应用及二次函数，画出函数图象，分析x 1的范围，然后将x 1f(x 2)−f(x 2)用x 1表示，利用二次函数求解即可【解答】解： 画出f(x)的图象，如下图，设f(x 1)=f(x 2)=a ，由图知当√22≤a <1时，符合题意， 由x +12=√22得x =√22−12， 所以由图知x 1∈[√22−12,12), 则x 1f(x 2)−f(x 2)=x 1f(x 1)−f(x 1)=x 12−12x 1−12=(x 1−14)2−916，当x 1=14时，取得最小值−916．故答案为−916．17.答案：a ≤−87或a ≥85 解析： 【分析】本题主要考查函数恒成立问题，根据函数的奇偶性求出函数的解析式，以及利用基本不等式求出最小值是解决本题的关键． 根据函数奇偶性的对称性求出当x >0时的解析式，利用基本不等式的性质求出函数f(x)的最值即可得到结论．【解答】解：设x >0，则−x <0．∵当x <0时，f(x)=9x +a 2x +7，∴f(−x)=−9x −a 2x +7．∵y =f(x)是定义在R 上的奇函数，∴f(x)=−f(−x)=9x +a 2x −7．∵f(x)≥a +1对一切x >0成立，∴即9x +a 2x −7≥a +1对一切x >0恒成立由基本不等式可得9x +a 2x −7≥2√9x ·a 2x −7=6|a|−7，当且仅当由9x =a 2x 即x =|a|3时，等号成立，由恒成立可得6|a|−7≥a +1解得a ≤−87或a ≥85．故答案为a ≤−87或a ≥85．18.答案：解：集合A ={x|x 2+3x −10<0}={x|−5<x <2}，B ={x|x 2−2x −3≥0}={x|x ≤−1或x ≥3}，且全集为R ，所以A ∩B ={x|−5<x ≤−1}，∁R B ={x|−1<x <3}，A ∪(∁R B)={x|−5<x <3}．解析：化简集合A 、B ，根据交集与并集、并集的定义计算即可．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．19.答案：解：(1)令，，则且∵∴∴，定义域为； (2) ①在∴函数在上单调减，在 上单调增； (Ⅰ)当a <1<32≤a +1，即12≤a <1时，当x =32时，y min =−log 3(32−a)=1，∴a =76>1(舍) (Ⅱ)当1<a +1<32，即0<a <12时，当时，(舍) (Ⅲ)当，即时，当时， ∴a =−2 ∴综上：a =−2；(a =76舍)②∵，即 化简得： (∗)∵满足条件的实数有且只有两个不同的值∴(∗)在上有两个不等实根， 设∴，解得：.解析：本题考查了函数与方程知识的综合运用，考查了计算能力，(1)构造函数可直接求出的定义域； (2)①化根据函数单调性直接求解；②利用一元二次方程有两个不同根的条件进行计算．20.答案：解：(1)P ={15t +2,0<t <20,且t ∈N −110t +8,20≤t ≤30,且t ∈N(2)设Q =at +b(a,b 为常数)，将(4,36)与(10,30)的坐标代入，得{4a +b =3610a +b =30. 日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式为Q =40−t ，0<t ≤30，t ∈N ∗.(3)由(1)(2)可得y =PQ即y ={−15t 2+6t +80,0<t <20,且t ∈N 110t 2−12t +320,20≤t ≤30,且t ∈N ， 当0<t <20时，当t =15时，y max =125；当20≤t ≤30时，当t =20时，y max =120；所以，第15日交易额最大，最大值为125万元．解析：本题考查学生根据实际问题选择函数类型的能力，理解分段函数的能力．(1)根据图象可知此函数为分段函数，在(0,20)和[20,30]两个区间利用待定系数法分别求出一次函数关系式联立可得P 的解析式；(2)因为Q 与t 成一次函数关系，根据表格中的数据，取出两组即可确定出Q 的解析式；(3)根据股票日交易额=交易量×每股交易价格可知y =PQ ，可得y 的解析式，分别在各段上利用二次函数求最值的方法求出即可．21.答案：解：∵二次函数f(x)=x 2−16x +q +3的对称轴为x =8，∴函数f(x)在区间[−1,1]上是减函数，∵函数在区间[−1,1]上存在零点，∴必有{f(1)≤0f(−1)≥0，即{1−16+q +3≤01+16+q +3≥0， 解不等式组可得−20≤q ≤12，∴实数q 的取值范围为[−20,12]解析：由二次函数的单调性易得{f(1)≤0f(−1)≥0，解关于q 的不等式组可得． 本题考查二次函数的零点分布，得出q 的不等式组是解决问题的关键，属基础题．22.答案：解：(1)因为函数f(x)=x 2+ax +b 的图象关于x =1对称，所以−a 2=1，∴a =−2．(2)因为f(x)的图象过(2,0)点，所以0=22−2×2+b ，所以b =0．所以函数f(x)=x 2−2xx ∈[0,3]时f(x)的最小值为：f(1)=−1；最大值为：f(3)=3，所以函数的值域为：[−1,3]．解析：(1)利用二次函数的对称轴，求出a的值．(2)利用函数的图象经过(2,0)，求出b，通过函数的定义域，求出函数的值域．本题考查用待定系数法求二次函数的解析式和求二次函数的最值问题，需注意区间与对称轴的位置关系．。