第四章格林函数法

推论2：狄利克莱问题 的解唯一。
u 0, u f
(x, y, z)
证明：设 u1 和 u2 均为该问题的解，则 u u1 u2 满足
由极值原理， u 0
u 0, u 0
(x, y, z)
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推论3：对狄利克莱问题
u 0, u a
(x, y, z) (常数)
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( P x
Q y
R )d z
Ò (P
cos
Q
cos
R
cos
)dS
其中n {cos, cos , cos} 是 的外法线方向。
（2）第一Green公式：设 是有界区域， 是其边界曲面且 足够光滑，u(x, y, z), v(x, y, z) 及其一阶偏导数在 上连 续，在 内有二阶连续偏导数，则
数，在 上连续，且不为常数，则其最大值、最小值只能
在边界 上 达到。
证明从略
推论1：设 u, v 在有界区域 内为调和函数，在 上连
续，若在 上 有 u v ，则在 内也有
uv
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证明：用反证法 若在 内有 u v ，即 u v 0 ，而在边界上 u v 0 ， 说明 u v 在内部可能取最大值。
rMM0 n
n
n
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代入上式，得
Ò [u ( 1 ) 1 u ]dS 4u 4 u 0
n rMM0 rMM0 n
n
令 0 ，则 u u(M0 )
u u(M0 )
n
n
从而得证
1
1
1 u(M )
Ò u(M0 ) 4
[u(M ) ( )
n rMM0 rMM0
]dS n
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4 调和函数的基本性质
性质1：设 u(x, y, z) 在有界区域 内为调和函数，且在
Ò 上有一阶连续偏导数，则 u dS 0 n 证：令 v 1 将 u, v代入第二Green公式即可。
推论1：诺伊曼问题
u 0,
u n
f
(x, y, z)
有解的必要条件是 Ò fdS 0
rMM0
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2
特点：除 M0 (x0 , y0 , z0 )点外，任一点满足Laplace方程。
同学们自己验证。
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二维Laplace方程的基本解：
1
1
u(x, y) ln ln
rMM0
(x x0 )2 ( y y0 )2
同学们考虑为什么？
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性质2（平均值定理）：设 u(x, y, z) 在有界区域 内为调和
函数，M0 ，a 是以 M0为球心，以 a 为半径的球面，则
有
1
Ò u(M0 ) 4 a2
意义：球平均值
a
udS
证明：将调和函数积分表达式用于此球面上，有
1
1
1 u
Ò u(M0 ) 4
特点：除 M0 (x0 , y0 ) 点外，任一点满足Laplace方程。
同学们自己验证。 问题：基本解是否为整个区域内的解？
2 Green公式
（1）奥－高公式（高斯公式）：设 是有界区域， 是其 边界曲面且足够光滑，P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) 在 上连续，在 内有连续偏导数，则
1
1 u
Ò [u ( )
]dS 0
n rMM0
rMM0 n
在 上（其外法线方向如何？）
( 1 ) ( 1 ) 1 1
n
于是
rMM 0
r rMM0
r 2 MM 0
2
乙 u ( 1 )dS 1 udS 1 4 2 u 4u
n rMM0
2
2
乙 1 u dS 1 u dS 4 u
(uv
vu)d
Ò
(u
v n
v
u n
)dS
推导：由第一Green公式，有
uvd
Ò u
v n
dSΒιβλιοθήκη (u xv x
u y
v y
u z
v z
)d
u
u v u v u v
vud
Ò v
n
dS
( x
x
y
y
z
)d z
两式相减即可得。
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3 调和函数的积分表达式
定理：设 u(x, y, z)在有界区域 内为调和函数，且在 上 有一阶连续偏导数，则 M0 ，有
1
1
1 u(M )
Ò u(M0 ) 4
[u(M ) ( )
n rMM0 rMM0
]dS(M ) n
意义：调和函数在 内任一点的函数值可用其边界上的函数值
及其法向导数值表示。
证明： 取 v 1 rMM 0
如图作球
K M0
则 u和
v
在
K M0
内均为调和函数，
由第二Green公式有
M •
0
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第四章 格林函数法
拉普拉斯方程边值问题的求解方法
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§4.1 格林（Green）公式及其应用
1 拉普拉斯（Laplace）方程的基本解
调和函数：具有二阶连续偏导数的调和方程的连续解；或满 足Laplace方程的函数。 三维Laplace方程的基本解：
1
1
u(x, y, z)
v
u v u v u v
uvd
Ò u
n
dS
(
x
x
y
y
z
)d z
推导：令 P u v , Q u v , R u v
x
y
z
代入高斯公式，并注意方向导数公式即可得。
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（2）第二Green公式：设 是有界区域， 是其边界曲面且 足够光滑，u(x, y, z), v(x, y, z) 及其一阶偏导数在 上连 续，在 内有二阶连续偏导数，则
有 ua
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§4.2 格林（Green）函数
1 Green函数的引入 对狄利克莱问题 u 0, (x, y, z) u f
由调和函数的积分表达式，其解可以表示成 M0
1
1
1 u
Ò u(M0 ) 4
[u ( )
]dS
n rMM0 rMM0 n
（1）
1
1
1 u
Ò
[f ( )
]dS
4 n rMM0 rMM0 n
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a
[u ( ) n rMM0 rMM0
]dS n
而
1
1
1
( ) ( )
n rMM0 a r rMM0 a
a2
为什么？
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乙 1 u 1 u
dS
dS 0
a rMM0 n
a a n
为什么？
Ò 于是
1
u(M0 ) 4 a2 a udS
性质3（极值原理）：若 u(x, y, z)在有界区域 内为调和函