《因式分解之十字相乘法》课件
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因式分解(十字相乘法)ppt课件
因式分解--方法三
十字相乘法
一、整式的有关概念
1、单项式：数与字母乘积，这样的代数式叫单项式。 单独的一个数或字母也是单项式。
2、单项式的系数： 单项式中的数字因数。
3、单项式的次数：单项式中所有的字母的指数和。 4、多项式： 几个单项式的和叫多项式。 5、多项式的项：组成多项式中的单项式叫多项式的项 6、多项式的次数： 多项式中次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。
.
( xa) b ( x )x 2 ( ab )axb
x2(ab) xab (x+a)(x+b)
例:1把x2 5x6分解因式;
解:原式= (x+2)(x+3)
x
2
x
3
2x+3x=5x
(1).因式分解拆两边;
(2).交叉相乘验中间;
3x +2x=5x
(3).竖着分解横着写;
.
(x+2)和(x+3)
x2 2x15分解因;式
解 :原 x 2 式 2 x 3 x 2 3
x2(23)x6
x25x6
(3). (x-2)(x-3);
(4)(x+a)(x+b);
.
( xa) b ( x )x 2 ( ab )axb
反过来: x2(ab)xab(x+a)(x+b)
也就说 是,对于二次三 x2 项 px式 q,如果常q 能分为 解分解为两 数a个 ,b的 因 积,并且 abp时, (a与b和是一次项的系数)就可以用上面的 解公 因.式 式
3. 若 多 项项 M 分解的因式是 (x - 2)(x - 3), 则 M 是 ( C)
A. x 2 5x 6;
十字相乘法
一、整式的有关概念
1、单项式：数与字母乘积，这样的代数式叫单项式。 单独的一个数或字母也是单项式。
2、单项式的系数： 单项式中的数字因数。
3、单项式的次数：单项式中所有的字母的指数和。 4、多项式： 几个单项式的和叫多项式。 5、多项式的项：组成多项式中的单项式叫多项式的项 6、多项式的次数： 多项式中次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。
.
( xa) b ( x )x 2 ( ab )axb
x2(ab) xab (x+a)(x+b)
例:1把x2 5x6分解因式;
解:原式= (x+2)(x+3)
x
2
x
3
2x+3x=5x
(1).因式分解拆两边;
(2).交叉相乘验中间;
3x +2x=5x
(3).竖着分解横着写;
.
(x+2)和(x+3)
x2 2x15分解因;式
解 :原 x 2 式 2 x 3 x 2 3
x2(23)x6
x25x6
(3). (x-2)(x-3);
(4)(x+a)(x+b);
.
( xa) b ( x )x 2 ( ab )axb
反过来: x2(ab)xab(x+a)(x+b)
也就说 是,对于二次三 x2 项 px式 q,如果常q 能分为 解分解为两 数a个 ,b的 因 积,并且 abp时, (a与b和是一次项的系数)就可以用上面的 解公 因.式 式
3. 若 多 项项 M 分解的因式是 (x - 2)(x - 3), 则 M 是 ( C)
A. x 2 5x 6;
沪科版七年级数学下册8.4《因式分解-十字相乘法》 课件
解：3x 2－10x＋3
x
－3
=(x－3)(3x－1) 3x
－1
－9x－x=－10x
例5 分解因式 5x2－17x－12
解：5x 2－17x－12 5x
＋3
=(5x＋3)(x－4) x
－4
－20x＋3x=－17x
练习二
分解下列因式：
(1)2x2-5x-3 =（2x+1)(x-3) (2)3x2+8x-3 =(3x-1)(x+3)
（3）x 2 14x 49
和差 积 分解因式 整式乘法
因式分解的实质是（“和差化积 ）”与（ 整式乘法） 是“积化和差”的过程正好（ 相反 ）。
观察和思考 X2-14x+49
（1）x2+3x+2 是几次几项式？二次项系数、
一次项系数、常数项分别是多少？
（2）它有公因式吗？能用平方差公式，完全 平方公式分解因式吗?
(x 3)(x 4) x2 7x 12 (x 3)(x 4) x2 x 12 (x 3)(x 4) x2 x 12
(x 3)(x 4) x2 7x 12
(x a)(x b) x2 (a b)x ab
等式左边是两个一次二项式（相乘 ） 右边是（ 二次三项式 ）
计算下列各题：
(x 3)(x 4) x2 7x 12 (x 3)(x 4) x2 x 12 (x 3)(x 4) x 2 x 12 (x 3)(x 4) x2 7x 12 问：你有什么快速计算类似多项式的方法吗？
(x a)(x b) x2 (a b)x ab
小结：
对于二次项系数不是1的二次三项 式分解的方法是“拆两头，凑中间”
十字相乘法因式分解徐斌ppt课件共16页
3、 15x2＋7xy－4y 2 答案 (3x－y)(5x＋4y)
4、 10(x ＋2)2－29(x＋2) ＋10
答案 (2x－1)(5x＋8)
5、 x 2－(a＋1) x＋a 答案 (x－1)(x－a)
例4、把 6x2-23x+10 分解因式 十字相乘法的要领是： 头尾分解，交叉相乘，求和凑中
1、8x2-22x+15 2、14a2-29a-15 3、4m2+7mn-36n2 4、10(y+1)2-29(y+1)+10
例6、把 (x2+2x+3)(x2+2x-2)-6分 解因式
例7、把(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-3 分解因式
拓展创新
把下列各式分解因式 1、x2-4xy+4y2-6x+12y+8
2、(x2+2x)(x2+2x-11)+11 3、x n+1+3xn+2xn-1 4、(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+16
把下列各式分解因式
x2-5x+6 x2-5x-6 X2+5x-6 X2+5x+6
把下列各式分解因式
1. x2-11x-12 2. x2+4x-12 3. x2-x-12 4. x2-5x-14 5. y2-11y+24
例4 将 2(6x 2＋x) 2－11(6x 2＋x) ＋5 分
解因式
解：2(6x 2＋x)2－11(6x 2＋x) ＋5 = [(6x 2＋x) －5][2(6x 2＋x)－1]
谢谢你的阅读
4、 10(x ＋2)2－29(x＋2) ＋10
答案 (2x－1)(5x＋8)
5、 x 2－(a＋1) x＋a 答案 (x－1)(x－a)
例4、把 6x2-23x+10 分解因式 十字相乘法的要领是： 头尾分解，交叉相乘，求和凑中
1、8x2-22x+15 2、14a2-29a-15 3、4m2+7mn-36n2 4、10(y+1)2-29(y+1)+10
例6、把 (x2+2x+3)(x2+2x-2)-6分 解因式
例7、把(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-3 分解因式
拓展创新
把下列各式分解因式 1、x2-4xy+4y2-6x+12y+8
2、(x2+2x)(x2+2x-11)+11 3、x n+1+3xn+2xn-1 4、(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+16
把下列各式分解因式
x2-5x+6 x2-5x-6 X2+5x-6 X2+5x+6
把下列各式分解因式
1. x2-11x-12 2. x2+4x-12 3. x2-x-12 4. x2-5x-14 5. y2-11y+24
例4 将 2(6x 2＋x) 2－11(6x 2＋x) ＋5 分
解因式
解：2(6x 2＋x)2－11(6x 2＋x) ＋5 = [(6x 2＋x) －5][2(6x 2＋x)－1]
谢谢你的阅读
《因式分解之十字相乘法》PPT课件
因式分解之
十字相乘法
温故而知新
整式乘法中，有
(x+a)(x+b)= x2+(a+b)x+ab
口答计算结果
(1) (x+3)(x+4) (2) (x+3)(x-4) (3) (x-3)(x+4) (4) (x-3)(x-4)
两个一次二项式 整式乘法 一个二次
相乘的积
三项式
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
反过来 x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
一个二次
两个一次二项式相
三项式 因式分解
乘的积
x2 px q
=
x2 (a b)x ab (x + a )(x + b)
pq
q ab, p a b
如果二次三项式
x2+px+q中的常数项系 数q能分解成两个因数a、 b的积，而且一次项系 数p又恰好是a+b，那 么x2+px+q就可以进行 如上的因式分解。
16
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
17
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
十字相乘法
温故而知新
整式乘法中，有
(x+a)(x+b)= x2+(a+b)x+ab
口答计算结果
(1) (x+3)(x+4) (2) (x+3)(x-4) (3) (x-3)(x+4) (4) (x-3)(x-4)
两个一次二项式 整式乘法 一个二次
相乘的积
三项式
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
反过来 x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
一个二次
两个一次二项式相
三项式 因式分解
乘的积
x2 px q
=
x2 (a b)x ab (x + a )(x + b)
pq
q ab, p a b
如果二次三项式
x2+px+q中的常数项系 数q能分解成两个因数a、 b的积，而且一次项系 数p又恰好是a+b，那 么x2+px+q就可以进行 如上的因式分解。
16
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
17
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
人教版初中八年级数学上册14.3.2因式分解的(十字相乘法)ppt课件
试因式分解5x2–6xy–8y2。
这里仍然可以用十字相乘法。
5 x2 – 6 xy – 8 y2
x
–2y
5x
4y
4xy – 10xy = –6xy
∴5x2–6xy–8y2 =(x– 2y)(5x+4y)
简记口诀： 首尾分解，交叉 相乘，求和凑中。
十字相乘法3随堂练习：
1）2(x2+y2)+5xy
先讨论交流，后分解因式。
=x2+3x+2
(2) (x+2)(x-1) =X2+x-2
(3) (x-2)(x-1) =x2-3x+2
(4) (x+2)(x+3)
一般地,
=x2+5x+6
(x+p)(x+q) =x2+(p+q)x+pq
x2+(p+q)x+pq
= (x+p)(x+q)
x2 + 3x + 2 =(x+1)(x+2)
x
-4
练习一：分解因式
-4x-2x=-6x
(1) x2-2x-15
=(x-5)(x+3)
(2) －y2 －4y＋12
= - (y+6)(y-2)
对于二次项系数为1的二次三项式分解的方法是 “拆常数项，凑一次项”
例2 分解因式 3x －10x2＋3
解：3x －210x＋3
x
－3
=(x－3)(3x－1)
用十字相乘法分解下列因式
1、x4-13x2+36 2x2+3xy-4y2 3、x2y2+16xy+48 4、(2+a)2+5(2+a)-36
十字相乘法,非常非常好用ppt课件
x
5
x
3
x2 px q
二次三项式分解因式使
q ab, p a b
(3x) (5x) 8x
4
注意：
当常数项是正数时，分解的 两个数必同号，即都为正或都为 负，交叉相乘之和得一次项系数。 当常数项是负数时，分解的两个 数必为异号，交叉相乘之和仍得 一次项系数。因此因式分解时， 不但要注意首尾分解，而且需十 分注意一次项的系数，才能保证 因式分解的正确性。
2、(x2+2x)(x2+2x-11)+11 3、x n+1+3xn+2xn-1 4、(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+16
12
4、10(y+1)2-29(y+1)+10
10
例5、把(x2+5x)2-2(x2+5x)-24 分解因式
例6、把 (x2+2x+3)(x2+2x-2)-6 分解因+3)(x+4)-3分解 因式
11
拓展创新
把下列各式分解因式 1、x2-4xy+4y2-6x+12y+8
1、x4-13x2+36 2、x2+3xy-4y2 3、x2y2+16xy+48 4、(2+a)2+5(2+a)-36
5、x4-2x3-48x2
9
例4、把 6x2-23x+10 分解因式 十字相乘法的要领是：“头尾
分解，交叉相乘，求和凑中，观 察试验”。
1、8x2-22x+15
2、14a2-29a-15 3、4m2+7mn-36n2
十字相乘法完整版 ppt课件
分解因式 2 2
解： 2x －3xy－2y ＋3x＋4y－2 2 2
=(2x －3xy－2y )＋3x＋4y－2
=(2x ＋y)(x－2y)＋3x＋4y－2
=(2x ＋y－1)(x－2y＋2)
2
1
(2x＋y)
－1
1
－2 (x－2y)
2
－4＋1=－3
2(2x＋y) － (x－ 2 y)=3x＋4y
还有别的 解法吗？
= a (b – c) + d (b – c) = (a + d) (b – c)
分组分解法
要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添、 去括号等一些变换达到因式分解的目的。
例1：因式分解 ab–ac+bd–cd
解：原式 = (ab + bd) – (ac + cd)
= b (a + d) – c (a + d)
• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我 笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
• “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
例1 分解因式 x2－2 6x＋8
2
例3 分解因式 3x2－10x＋3
x
－3
2
解：3x －10x＋3
=(x－3)(3x－1)
3
－
x－9x－x=－101x
（1）2x2 + 13x + 15 （2）3x2 － 15x － 18 ( 3 ) -6x2 +3x +18
( 4 ) 2x2+5xy - 12y2 ( 5 ) 6x2 - 7xy – 5y2
解： 2x －3xy－2y ＋3x＋4y－2 2 2
=(2x －3xy－2y )＋3x＋4y－2
=(2x ＋y)(x－2y)＋3x＋4y－2
=(2x ＋y－1)(x－2y＋2)
2
1
(2x＋y)
－1
1
－2 (x－2y)
2
－4＋1=－3
2(2x＋y) － (x－ 2 y)=3x＋4y
还有别的 解法吗？
= a (b – c) + d (b – c) = (a + d) (b – c)
分组分解法
要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添、 去括号等一些变换达到因式分解的目的。
例1：因式分解 ab–ac+bd–cd
解：原式 = (ab + bd) – (ac + cd)
= b (a + d) – c (a + d)
• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我 笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
• “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
例1 分解因式 x2－2 6x＋8
2
例3 分解因式 3x2－10x＋3
x
－3
2
解：3x －10x＋3
=(x－3)(3x－1)
3
－
x－9x－x=－101x
（1）2x2 + 13x + 15 （2）3x2 － 15x － 18 ( 3 ) -6x2 +3x +18
( 4 ) 2x2+5xy - 12y2 ( 5 ) 6x2 - 7xy – 5y2
12.2因式分解的方法(第4课时 十字相乘法)(课件)-七年级数学上册(沪教版2024)
解法：
am＋an＋bm＋bn
＝(am＋an)＋(bm＋bn)
＝a(m＋n)＋b(m＋n)
＝(m＋n)(a＋b)．
观察上述因式分解的过程，解答下列问题：
(1)分解因式：mb－2mc＋b2－2bc；
解：原式＝(mb－2mc)＋(b2－2bc)
＝m(b－2c)＋b(b－2c)
＝(b－2c)(m＋b)；
(2)△ABC三边a，b，c满足a2－4bc＋4ac－ab＝0，判
−2
4 2 − 11 − 12.
1
1
−2
6
4 2 − 11 + 12
= + 1 − 12 .
1
1
1
−12
新知探究
如何将 2 + 7 + 12 2 因式分解？
类比二次三项式 2 + 7 + 12的因式分解，同样考虑十字相乘法.
将 2 + 7�� + 12 2 看作关于的二次三项式，它的二次项系数是1，
.
一次项的系数
课本例题
例7
1 2 + 7 + 12;
解 1 2 + 7 + 12
= +3 +4 .
2 2 − 8 + 12;
1
1
3
4
3 2 + 4 − 12；
3 2 + 4 − 12
= −2 +6 .
2 2 − 8 + 12
= −6 −2 .
1
1
−6
如果关于x的二次三项式 2 + + 的常数项q能分解成两个因
数与的积，且一次项系数p又恰好等于a + b,那么 2 + + 就可
《分解因式-十字相乘法》ppt课件
解：1、a= -10 b= -2
2、 a、b
m=(a+b)
1、-10 -9
-1、10 9
2、-5 -3
-2、5 3
例题 (1)2x2+5x+2 (2)3x2+5x-12
解：(1)原式=(2x+1)(2x+2) (2)原式=(3x-4)(x+3)
练习：因式分解 （1）6x2-5x-25 （2）8x2-22x+15
请大家记住公式
十字相乘法公式：
x2 (a b)x ab (x a)(x b)
练一练：将下列各式因式分解
(1)x2+3x+2
(3)x2+x-6
(2)x2-6x+8
(4)x2-x-12
解：(1)原式=(x+1)(x+2) (2)原式=(x-2)(x-4)
(3)原式=(x-2)(x+3) (4)原式=(x+3)(x-4)
利用十字交叉线来分解系数， 把二次三项式分解因式的方 法叫做十字相乘法
十字相乘法的步骤：
（1）因式分解竖直写; （2）交叉相乘验中项; （3）横向写出两因式;
提问：形如x2＋px＋q的二次三项式满足什么条件时可以 用十字相乘法因式分解？
如果二次三项式x2+px+q中的常数项系数q能分解成两个 因数a、b的积，而且一次项系数p有恰好是a、b的和，那 么x2+px+q就可以用十字相乘法因式分解。
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
反过来，得 x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
十字相乘法的课件ppt
x （2） 2 5x 6
解：
1 2
13
2+3=5
所以，原式 =(x 2)(x+3)
练一练：分解因式
课本P172
归纳填空: (1)常数项是正数时,它分解成两个__同_____ 号因数,它们和 一次项系数符号__相_同__. (2)常数项是负数时,它分解成两个__异_____ 号因数,其中绝对值_较__大___的因数和一次项 系数符号相同.
1 、若x2 ax 2能4 在整数范围
内因式分解，问符合条件的整 系数a的值有几个？
23，－23，10，－10，5，－5，2， －2，
2、当x为什么值时，代数式 x2 8x 12
的值等于零。
3、已知长方形的面积为 x2 12x 2，8 长
为 x ，2求长方形的宽。
小结
试一试，填空：
(1)x2 4x 3 (x _+_ 3)(x _+_1)
(2)x2 2x 3 (x __ 3)(x _+_1)
(3)x2 x 20 (x 4)( x 5)
(4) y2 16 y 15 ( y 1)(y 15)
互
动 小组合作，讨论出题。
环 节
每个小组讨论给出一道能够用十 字相多
项式进行因式分解。
例2:分解因式
（1） x2 y2 4xy 12
（2） x2 5xy 6 y2
举一反三： 把下列各式进行因式分解
（1）m4 22m2 75 （2）(a b)2 7(a b) 12
（3）(x 1)(x 2) 12
（4）x3 18x2 +19x
看谁算得快：
1.(x+2)(x+4)=x2+6x+8 2.(x-2)(x-4) = x2-6x+8 3.(x-2)(x+4)= x2+2x-8 4.(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
因式分解(十字相乘法)最新.ppt
x2 (a b)x ab (x+a)(x+b)
例1: 把x2 5x 6分解因式;
解:原式= (x+2)(x+3)
x
2
.精品课件.
x
3
2x+3x=5x
(1).因式分解拆两边;
(2).交叉相乘验中间; 3x +2x=5x
(3).竖着分解横着写; (x+2)和(x+3)
x2 2x 15分解因式;
2. 分解x 2 2x 8的结果为 ( A )
A. a 4a 2; B. a 4a 2;
C. a 4a 2; D. a - 4a 2;
3. 若 多项项M分解的因式是(x - 2)(x - 3),则M是(C )
A. x2 5x 6;
B. x2 5x 6;
C. x2 5X 6;
.精品课件.
x 2 (a b)x ab x 2 px q
.精品课件.
x 2 (a b)x ab x 2 px q
.精品课件.
1. 分解a 2 a 12的结果为( B )
A. (a - 3)(a 4); B. a 3a 4; C. a 6a 2; D. a 6a 2;
7、整式：单项式与多项式统称整式。 .精品课（件.分母含有字母的代数式不是整式,而是分式。）
1．二次三项式-----课本P172：
（1）多项式 x2 2x 3 ，称为字母 的二次
三项式，其中
称为二次项， 为一次项，
为常数项．
（2）在多项式2a2b2 7ab 3，把 看作一个整体，
即
，就是关于 的二次三项式．
D. x2 5x 6;
(4). 分解a 2 3ab 2b2的结果为 ( D )
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例3、把 x2-9xy+14y2 分解因式
用十字相乘法分解下列因式
1、x4-13x2+36 2、x2+3xy-4y2 3、x2y2+16xy+48 4、(2+a)2+5(2+a)-36
5、x4-2x3-48x2
首项系数非1的整系数二次三项式的因式分解
ax2 bx c (a1x c1)(a2 x c2 )
反过来 x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
一个二次
两个一次二项式相
三项式 因式分解
乘的积
x2 px q
=
x2 (a b)x ab (x + a )(x + b)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ pq
q ab, p a b
如果二次三项式
x2+px+q中的常数项系 数q能分解成两个因数a、 b的积，而且一次项系 数p又恰好是a+b，那 么x2+px+q就可以进行 如上的因式分解。
x2 6x 16
x2 6x 16
x 8x 2
提示：当二次项系数为-1时 ，先提出 负号再因式分解 。
把下列各式分解因式
1. x2-11x-12 2. x2+4x-12 3. x2-x-12 4. x2-5x-14 5. y2-11y+24
例2、把 y4-7y2-18 分 解因式
4.6x2 19x 36 (2x 9)(3x 4)
5. 5x2 6xy 8 y2 (5x2 6xy 8y2 ) (5x 4y)(x 2y)
14
6.2(a b)2 15(a b) 7
2(a b) 1(a b) 7
16
例4.分解下列因式
1
2k 1
1.x2 2k 2x 2k 1 x 2k 1x 1
1
1
2k 11 2k 2
2.x2 2m 1x m2 m 2
x2 2m 1x m 2m 1
x m 2x m 1
十字相乘法（借助十字交叉线分解因式的方法）
例一：
步骤：
x2 6x 7 (x 7)(x 1)①竖分二次项与常
x
7 7
或
x 1 1
数项
②交叉相乘，和相 加
x7x 6x
③检验确定，横 写因式
举一反三：
x2 8x 15 (x 5)(x 3)
小结：
(2a 2b 1)(a b 7) 7.4x4 y2 5x2 y2 9 y2
y2 (4x4 5x2 9) y2 (4x2 9)( x2 1) y2 (2x 3)(2x 3)( x2 1)
15
8. 1 x2 2xy 3y2 3 1 (x2 6xy 9 y2 ) 3 1 (x 3y)2 3
因式分解之
十字相乘法
温故而知新
整式乘法中，有
(x+a)(x+b)= x2+(a+b)x+ab
口答计算结果
(1) (x+3)(x+4) (2) (x+3)(x-4) (3) (x-3)(x+4) (4) (x-3)(x-4)
两个一次二项式 整式乘法 一个二次
相乘的积
三项式
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
a a1
a2
c1 c2
c
a1c2 a2c1 b
13
例3.分解下列因式
6
2 3
1 2
2
1.6x2 7x 2 (2x 1)(3x 2) 22 3 7
2.3x2 11x 10 (3x 5)(x 2)
3.15x2 23x 8 (15x 8)(x 1)
3.mx 2 3m 2x 2m 2 mx 2m 2x 1
17
x
5
用十字相乘法把形如
x2 px q
x
3
二次三项式分解因式为
(3x) (5x) 8x (x + a )(x + b)
的形式
学以致用
将下列各式分解因式
x2 5x 6
x2 x 6
x2 7x 12 x2 3x 10
试将 x2 6x 16 分解因式
用十字相乘法分解下列因式
1、x4-13x2+36 2、x2+3xy-4y2 3、x2y2+16xy+48 4、(2+a)2+5(2+a)-36
5、x4-2x3-48x2
首项系数非1的整系数二次三项式的因式分解
ax2 bx c (a1x c1)(a2 x c2 )
反过来 x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
一个二次
两个一次二项式相
三项式 因式分解
乘的积
x2 px q
=
x2 (a b)x ab (x + a )(x + b)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ pq
q ab, p a b
如果二次三项式
x2+px+q中的常数项系 数q能分解成两个因数a、 b的积，而且一次项系 数p又恰好是a+b，那 么x2+px+q就可以进行 如上的因式分解。
x2 6x 16
x2 6x 16
x 8x 2
提示：当二次项系数为-1时 ，先提出 负号再因式分解 。
把下列各式分解因式
1. x2-11x-12 2. x2+4x-12 3. x2-x-12 4. x2-5x-14 5. y2-11y+24
例2、把 y4-7y2-18 分 解因式
4.6x2 19x 36 (2x 9)(3x 4)
5. 5x2 6xy 8 y2 (5x2 6xy 8y2 ) (5x 4y)(x 2y)
14
6.2(a b)2 15(a b) 7
2(a b) 1(a b) 7
16
例4.分解下列因式
1
2k 1
1.x2 2k 2x 2k 1 x 2k 1x 1
1
1
2k 11 2k 2
2.x2 2m 1x m2 m 2
x2 2m 1x m 2m 1
x m 2x m 1
十字相乘法（借助十字交叉线分解因式的方法）
例一：
步骤：
x2 6x 7 (x 7)(x 1)①竖分二次项与常
x
7 7
或
x 1 1
数项
②交叉相乘，和相 加
x7x 6x
③检验确定，横 写因式
举一反三：
x2 8x 15 (x 5)(x 3)
小结：
(2a 2b 1)(a b 7) 7.4x4 y2 5x2 y2 9 y2
y2 (4x4 5x2 9) y2 (4x2 9)( x2 1) y2 (2x 3)(2x 3)( x2 1)
15
8. 1 x2 2xy 3y2 3 1 (x2 6xy 9 y2 ) 3 1 (x 3y)2 3
因式分解之
十字相乘法
温故而知新
整式乘法中，有
(x+a)(x+b)= x2+(a+b)x+ab
口答计算结果
(1) (x+3)(x+4) (2) (x+3)(x-4) (3) (x-3)(x+4) (4) (x-3)(x-4)
两个一次二项式 整式乘法 一个二次
相乘的积
三项式
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
a a1
a2
c1 c2
c
a1c2 a2c1 b
13
例3.分解下列因式
6
2 3
1 2
2
1.6x2 7x 2 (2x 1)(3x 2) 22 3 7
2.3x2 11x 10 (3x 5)(x 2)
3.15x2 23x 8 (15x 8)(x 1)
3.mx 2 3m 2x 2m 2 mx 2m 2x 1
17
x
5
用十字相乘法把形如
x2 px q
x
3
二次三项式分解因式为
(3x) (5x) 8x (x + a )(x + b)
的形式
学以致用
将下列各式分解因式
x2 5x 6
x2 x 6
x2 7x 12 x2 3x 10
试将 x2 6x 16 分解因式