山东省济宁市第一中学2020届高三考前冲刺测试(一)数学试题含答案
2020年山东省济宁市第一中学高三下学期一轮质量检测数学试题
2020年山东省济宁市第一中学高三下学期一轮质量检测数学试题一、选择题1.在复平面上，复数24i1i++对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.已知实数集R ，集合{|13}A x x =<<，集合|2B x y x ⎧==⎨⎬-⎩⎭，则()R A C B ⋂=（ ） A ．{|12}x x <≤ B ．{|13}x x << C ．{|23}x x ≤<D ．{|12}x x <<3.过点(1,2)P 的直线与圆221x y +=相切，且与直线10ax y +-=垂直，则实数a 的值为（ ）A ．0B ．43-C ．0或43D ．434.某次考试，班主任从全班同学中随机抽取一个容量为8的样本，他们的数学､物理分数对应如下表:学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 数学分数x 60 65 70 75 80 85 90 95 物理分数y7277808488909395绘出散点图如下:根据以上信息，判断下列结论:①根据此散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系； ②根据此散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系；③甲同学数学考了80分，那么，他的物理成绩一定比数学只考了60分的乙同学的物理成绩要高. 其中正确的个数为（ ）.A ．0B ．3C ．2D ．15.函数()3cos 1x f x x+=的部分图像大致是（ ） A ． B ．C ．D ．6.设0a >，0b >，lg 2是lg 4a 与lg 2b的等差中项，则21a b+的最小值为（ ） A ．22B ．3C ．4D ．97.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，现从该正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A ．316 B ．38C ．14D ．188.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两顶点为1A ，2A ，虚轴两端点为1B ，2B ，两焦点为1F ，2F ，若以12A A为直径的圆内切于菱形1122F B F B ，则双曲线的离心率是（ ） A ．51- B．35+ C ．51+ D ．31+二、填空题9.已知12,e e →→为单位向量且夹角为3π ，设12a e e →→→=+，2b e →→=，a →在b →方向上的投影为______ ．10.在32nx x ⎛-⎪⎝⎭的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是 ．11.如图,椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ,过F 的直线交椭圆于,A B 两点,点C 是A 点关于原点O 的对称点,若CF AB ⊥且CF AB =,则椭圆的离心率为__________．12.已知定义域为R 的函数()f x 满足:当(1,1]x ∈-时，2,10()122,01x xx f x x x -⎧--<≤⎪=+⎨⎪-<≤⎩，且(2)()f x f x +=对任意的x ∈R 恒成立，若函数()()(1)g x f x m x =-+在区间[1,5]-内有6个零点，则实数m 的取值范围是________. 三、解答题13.已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2=3，b 3=9，a 1=b 1，a 14=b 4.（1）求{a n }的通项公式；（2）设c n =a n +b n ，求数列{c n }的前n 项和.14.已知函数221()cos sin ,(0,)2f x x xx ．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）设ABC 为锐角三角形，角A 所对边19a =，角B 所对边5b =，若()0f A =，求ABC 的面积．15.如图所示，直角梯形AB C D 中，//AD BC ，AD AB ⊥，22AB BC AD ===，四边形ED C F 为矩形，3CF =，平面EDCF ⊥平面ABCD ．（1）求证：DF 平面ABE ；（2）求平面ABE 与平面EFB 所成锐二面角的余弦值．（3）在线段DF 上是否存在点P ，使得直线BP 与平面ABE 3，若存在，求出线段BP 的长，若不存在，请说明理由．16.某班级体育课进行一次篮球定点投篮测试，规定每人最多投3次，每次投篮的结果相互独立.在A 处每投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分，否则得0分.将学生得分逐次累加并用X 表示，如果X 的值不低于3分就判定为通过测试，立即停止投篮，否则应继续投篮，直到投完三次为止.现有两种投篮方案:方案1:先在A 处投一球，以后都在B 处投；方案2:都在B 处投篮.已知甲同学在A 处投篮的命中率为14，在B 处投篮的命中率为45. （1）若甲同学选择方案1，求他测试结束后所得总分X 的分布列和数学期望()E X ； （2）你认为甲同学选择哪种方案通过测试的可能性更大?说明理由.17.已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）．（Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．18.已知函数)f x =（a e 2x +（a ﹣2） e x ﹣x . （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 四、不定项选择题19.（多选）等差数列{}n a 是递增数列，满足753a a =，前n 项和为n S ，下列选择项正确的是（ ）A ．0d >B ．10a <C ．当5n =时n S 最小D ．0n S >时n 的最小值为820.已知函数2()sin 22sin 1f x x x =-+，给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ）.A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．函数()f x 在区间5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数 C ．函数()f x 的图象关于直线8x π=对称:D ．函数()f x 的图象可由函数2sin 2y x =的图象向左平移4π个单位得到 21.已知函数()y f x =是R 上的偶函数，对于任意x ∈R ，都有(6)()(3)f x f x f +=+成立，当12,[0,3]x x ∈，且12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-，给出下列命题，其中所有正确命题为（ ）.A ．(3)0f =B ．直线6x =-是函数()y f x =的图象的一条对称轴C ．函数()y f x =在[9,6]--上为增函数D ．函数()y f x =在[9,9]-上有四个零点22.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，F 是棱11A D 上动点，下列说法正确的是（ ）.A ．对任意动点F ，在平面11ADD A 内存在与平面CBF 平行的直线B ．对任意动点F ，在平面ABCD 内存在与平面CBF 垂直的直线C ．当点F 从1A 运动到1D 的过程中，FC 与平面ABCD 所成的角变大D．当点F从1A运动到1D的过程中，点D到平面CBF的距离逐渐变小参考答案1.【解析】24i (24i)(1i)62i3i 1i (1i)(1i)2++-+===+++-，对应点为(3,1)在第一象限. 故答案选A 【答案】A2.0>,得2x >,即(2,)B =+∞,所以R C B (,2]=-∞, 所以()R A C B ⋂=(1,2]. 故选:A 【答案】A3.【解析】当0a ≠时，过点()1,2P且与直线10ax y +-=垂直的直线斜率为1a，可设该直线方程为12(1)y x a -=-，即210x ay a -+-=，再根据直线与圆相切，即圆心到直线距离为11=，解得43a =.故本题正确答案为C ． 【答案】C4.【解析】对于①，根据此散点图知，各点都分布在一条直线附近，可以判断数学成绩与物理成绩具有较强的线性相关关系，①正确；对于②，根据此散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有较强的线性相关关系， 不是一次函数关系，②错误；对于③，甲同学数学考了80分，他的物理成绩可能比数学只考了60分的乙同学的物理成绩要高，所以③错误．综上，正确的命题是①，只有1个． 故选：D ． 【答案】D5.【解析】函数()f x 的定义域为()()00+，，-∞∞.()()()3cos +13cos +1x x f x f x xx--==-=--,所以()f x 为奇函数，故排除选项A ． 由当0x >且0x →时，()f x →+∞，故排除选项D ． 由23034f ππ⎛⎫=-<⎪⎝⎭，故排除选项C ． 故选：B 【答案】B6.【解析】∵lg4a 与lg2b 的等差中项，∴lg 4lg 2a b =+， 即2lg 2lg 42lg 2aba b+=⋅=，∴21a b +=．所以212122()(2)559b aa b a b a b a b+=++=++≥+= 当且仅当22b a a b =即13a b ==时取等号， ∴21a b+的最小值为9． 【答案】D7.【解析】设2AB =，则1BC CD DE EF====.∴112224BCI S ∆=⨯⨯=，112242BCI EFGH S S ∆==⨯=平行四边形∴所求的概率为113422216P +==⨯ 故选A ． 【答案】A8.【解析】由题意可得()1,0A a -，()2,0A a ，()10,Bb ，()20,B b -， ()1,0Fc -，()2,0F c ，且222a b c +=，菱形1122F B F B 的边长为22b c +，由以12A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ，切点分别为A ，B ，C ，D ． 由面积相等，可得221122422b c a b c ⋅⋅=⋅+， 即为()22222b c abc =+，即有442230c a a c +-=， 由e ca=，可得42e 3e 10-+=， 解得235e 2±=， 可得15e 2+=，或51e 2-=（舍去） 故选：C ． 【答案】C9.【解析】由题可知1,b = 故，a 在b 方向上的投影为即答案为32. 【答案】3210.【解析】根据题意可得8n =，88831883()()(1)?2?2r r r r r r r r r x T C C x x----+=-=-，令48063r r -==，，可得常数项为7. 【答案】711.【解析】作另一焦点F ',连接AF '和BF '和CF ',则四边形FAF C '为平行四边,所以AF CF AB '==,且AF AB '⊥,则三角形ABF '为等腰直角三角形, 设AF AB x '== ,则24x x x a +=,解得(422)x a =-,(222)AF a =,在三角形AFF ' 中由勾股定理得222()()(2)AF AF c '+=,所以2962,63e e =-=,故答案为63-. 63-12.【解析】()()2f x f x +=对x ∀∈R 恒成立，∴函数()f x 的周期为2．又当(]1,1x ∈-时，2,10()122,01x xx f x x x -⎧--<⎪=+⎨⎪-<⎩ ∴函数()f x 的图象如下图所示：令函数()()()10g x f x m x =-+=， 则()()=+1f x m x ，若函数()()()1g x f x m x =-+在区间内有6个零点，则()=y f x 与()=+1y m x 的图象在区间[-1,5]内有6个交点．()1y m x =+恒过点()-1,0，过()1,0-，()4,2点的直线斜率为25， 过()1,0-，()2,2点的直线斜率为23，根据图象可得：22,53m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭故答案为：22,.53⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】22,53⎡⎫⎪⎢⎣⎭13.【解析】（1）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，因为b 2=3，b 3=9，可得323b q b ==， 所以b n =b 2q n -2=3·3n -2=3n -1， 又由a 1=b 1=1，a 14=b 4=27，所以1412141a a d -==-，所以数列{a n }的通项公式为a n =a 1+（n -1）×d =1+2（n -1）=2n -1； （2）由题意知c n =a n +b n =（2n -1）+3n -1， 设数列{c n }的前n 项和为n S ，则[13(21)](13931)n S n n =++⋯+-++++⋯+-2(121)13312132n n n n n +---=+=+-. 【答案】（1）21n a n =-；（2）2312nn -+. 14.【解析】（1）依题意2211()cos sin cos 20,π22f x x xxx ，由2ππ22πk x k -≤≤得πππ2k x k -≤≤，令1k =得ππ2x ≤≤.所以()f x 的单调递增区间,2.（2）由于a b <，所以A 为锐角，即π0,02π2A A <<<<.由()0f A =，得11cos 20,cos 222A A +==-，所以2ππ2,33A A ==. 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-⋅，2560c c -+=，解得2c =或3c =.当2c =时，222cos 0238a cb B ac +-==-<，则B 为钝角，与已知三角形ABC 为锐角三角形矛盾.所以3c =.所以三角形ABC 的面积为11sin 5322bc A =⨯⨯=【答案】（1）,2；（2 15.【解析】（Ⅰ）取D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图，则()1,0,0A ，()1,2,0B ，(E ，(F -，∴(1,BE =--，()0,2,0AB =，设平面ABE 的法向量(),,n x y z =，∴20,20,x y y ⎧--+=⎪⎨=⎪⎩不妨设()3,0,1n =，又(1,DF =-，∴30DF n ⋅=-+=，∴DF n ⊥，又∵DF ⊄平面ABE ，∴//DF 平面ABE ．（Ⅱ）∵()1,2,3BE =--，()2,0,3BF =-，设平面BEF 的法向量(),,m x y z=，∴230,230,x y z x z ⎧--+=⎪⎨-+=⎪⎩不妨设()23,3,4m =，∴531cos 231m n m n θ⋅===⋅⋅，∴平面ABE 与平面EFB 所成锐二面角的余弦值为531． （Ⅲ）设()1,2,3DP DF λλ==- (),2,3λλλ=-，[]0,1λ∈，∴(),2,3P λλλ-， ∴()1,22,3BP λλλ=---，又∵平面ABE 的法向量()3,0,1n =，∴()()2223333sin cos ,21223BP n λλθλλλ--+===++-+，∴28610λλ-+=，∴12λ=或14λ=． 当12λ=时，33,1,2BP ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，∴2BP =；当14λ=时，533,,42BP ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，∴2BP =． 综上，2BP =．【答案】（I ）见解析（II 531（III ）2BP = 16.【解析】（1）设甲同学在A 处投中为事件A ，在B 处第i 次投中为事件(1,2)i B i =，由已知1()4P A =，()45i P B =. X 的取值为0，2，3，4.则()()()12123113(0)()455100P X P AB B P A P B P B ====⨯⨯=， ()()11223413146(2)45545525P X P AB B P AB B ==+=⨯⨯+⨯⨯=， 1(3)()4P X P A ===，()1234412(4)45525P X P AB B ===⨯⨯=，X 的分布列为:X 的数学期望为:()0234 3.1510025425100E X =⨯+⨯+⨯+⨯==. （2）甲同学选择方案1通过测试的概率为1P ，选择方案2通过测试的概率为2P ， 则111273(3)(4)0.73425100P P X P X ==+==+==， ()()()2121231234414441455555555P P B B P B B B P B B B =++=⨯+⨯⨯+⨯⨯1120.896125==, ∵21P P >，∴甲同学选择方案2通过测试的可能性更大.【答案】（1）分布列见解析，3.15（2）方案2，理由见解析17.【解析】（Ⅰ）将点()2,1-代入抛物线方程：()2221p =⨯-可得：2p =，故抛物线方程为：24x y =-，其准线方程为：1y =. （Ⅱ）很明显直线l 的斜率存在，焦点坐标为()0,1-，设直线方程为1y kx =-，与抛物线方程24x y =-联立可得：2440x kx +-=. 故：12124,4x x k x x +=-=-.设221212,,,44x x M x N x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12,44OM ON x x k k =-=-，直线OM 的方程为14x y x =-，与1y =-联立可得：14,1A x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理可得24,1B x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，易知以AB 为直径的圆的圆心坐标为：1222,1x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，圆的半径为：1222x x -， 且：()1212122222x x k x x x x ++==，12222x x -==则圆的方程为：()()()2222141x k y k -++=+，令0x =整理可得：2230y y +-=，解得：123,1y y =-=，即以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点()()0,3,0,1-. 【答案】（Ⅰ） 24x y =-，1y =； （Ⅱ）见解析.18.【解析】（1）()f x 的定义域为(),-∞+∞，()()()()2221121x x x x f x ae a e ae e =+---'=+，（ⅰ）若0a ≤，则()0f x '<，所以()f x 在(),-∞+∞单调递减. （ⅱ）若0a >，则由()0f x '=得ln x a =-.当(),ln x a ∈-∞-时，()0f x '<；当()ln ,x a ∈-+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(),ln a -∞-单调递减，在()ln ,a -+∞单调递增.（2）（ⅰ）若0a ≤，由（1）知，()f x 至多有一个零点.（ⅱ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，最小值为()1ln 1ln f a a a-=-+. ①当1a =时，由于()ln 0f a -=，故()f x 只有一个零点； ②当()1,a ∈+∞时，由于11ln 0a a-+>，即()ln 0f a ->，故()f x 没有零点； ③当()0,1a ∈时，11ln 0a a-+<，即()ln 0f a -<. 又()()4222e 2e 22e 20f a a ----=+-+>-+>，故()f x 在(),ln a -∞-有一个零点. 设正整数0n 满足03ln 1n a ⎛⎫>-⎪⎝⎭，则()()00000000e e 2e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->. 由于3ln 1ln a a ⎛⎫->- ⎪⎝⎭，因此()f x 在()ln ,a -+∞有一个零点. 综上，a 的取值范围为()0,1. 【答案】（1）见解析；（2）(0,1).19.【解析】由题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，因为753a a =，可得()11634a d a d +=+，解得13a d =-，又由等差数列{}n a 是递增数列，可知0d >，则10a <，故,A B 正确； 因为22172222n d d d d S n a n n n ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭， 由7722d nn d -=-=可知，当3n =或4时n S 最小，故C 错误， 令27022n d dS n n =->，解得0n <或7n >，即0n S >时n 的最小值为8，故D 正确. 故选：ABD 【答案】ABD20.【解析】2()sin 22sin 1sin 2cos 224f x x x x x x π⎛⎫=-+=+=+ ⎪⎝⎭A 选项，因为2ω=，则()f x 的最小正周期T π=，结论错误；B 选项，当5,88x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，32,422x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则()f x 在区间5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，结论正确；C 选项，因为8f π⎛⎫=⎪⎝⎭()f x 的最大值，则()f x 的图象关于直线8x π=对称，结论正确； D 选项，设()2g x x =，则()22sin 22cos 2442g x x x x f x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+=≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，结论错误．故选：BC ． 【答案】BC21.【解析】A ：令3x =-，则由()()()63f x f x f +=+，得()()()()33323f f f f =-+=， 故()30f =,A 正确；B ：由()30f =得：()()6f x f x +=，故()f x 以6为周期． 又()f x 为偶函数即关于直线0x =对称，故直线6x =-是函数()y f x =的图象的一条对称轴，B 正确； C ：因为当1x ，[]20,3x ∈，12x x ≠时，有()()12120f x f x x x ->-成立，故()f x 在[]0,3上为增函数， 又()f x 为偶函数， 故在[]3,0-上为减函数， 又周期为6．故在[]9,6--上为减函数， C 错误；该抽象函数图象草图如下：D ：函数()f x 周期为6，故()()93f f -=-()()390f f ===，故()y f x =在[]9,9-上有四个零点， D 正确．故答案为：ABD ． 【答案】ABD22.【解析】因为AD 在平面11ADD A 内，且平行平面CBF ，故A 正确；平面CBF 即平面11A D CB ，又平面11A D CB 与平面ABCD 斜相交，所以在平面ABCD 内不存在与平面CBF 垂直的直线，故B 错误；F 到平面ABCD 的距离不变且FC 变小，FC 与平面ABCD 所成的角变大，故C 正确； 平面CBF 即平面11A D CB ，点D 到平面11A D CB 的距离为定值，故D 错误． 故选：AC ． 【答案】AC。
2020年高考模拟山东省济宁市嘉祥一中高考数学第一次模拟试卷 含解析
2020年高考数学第一次模拟测试试卷一、选择题1．若全集U＝R，集合A＝{x∈Z|x2＜16}，B＝{x|x﹣1≤0}，则A∩（∁U B）＝（）A．{x|1≤x＜4}B．{x|1＜x＜4}C．{1，2，3}D．{2，3}2．复数z满足，则|z|＝（）A．2i B．2C．i D．13．已知向量＝（3，﹣4），＝（6，﹣3），＝（2m，m+1）．若，则实数m的值为（）A．B．C．﹣3D．﹣4．函数f（x）＝的部分图象是（）A．B．C．D．5．“a＜﹣1”是“∃x0∈R，a sin x0+1＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．若，则a+2b的最小值为（）A．6B．C．3D．7．已知圆C：x2+y2﹣10y+21＝0与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．8．已知正三棱锥S﹣ABC的侧棱长为4，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是（）A．16πB．20πC．32πD．64π二、多项选择题9．已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（）A．若a＞b，c＞d，则ac＞bdB．若ab＞0，bc﹣ad＞0，则C．若a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣cD．若a＞b，c＞d＞0，则10．已知α，β是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（）A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m∥α，α∩β＝n，则m∥nC．若m⊥α，m⊥β，则α∥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α∥β11．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，且，F为AE的中点，则（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），则下列命题正确的是（）A．当x＞0时，f（x）＝﹣e﹣x（x﹣1）B．函数f（x）有3个零点C．f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D．∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2三、填空题13．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，b2+c2﹣a2＝bc，则tan B＝．14．我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷（guǐ）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），夏至、小署、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列，经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为尺．15．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F（4，0），过F作直线l交抛物线于M，N两点，则p＝，的最小值为．16．设函数f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，∀x∈（0，+∞），f[f（x）﹣e x+x]＝e，若不等式f（x）+f'（x）≥ax对x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a sin A＝4b sin B，ac＝（a2﹣b2﹣c2）（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值18．已知数列{a n}的前n项和S n＝3n2+8n，{b n}是等差数列，且a n＝b n+b n+1．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n＝，求数列{c n}的前n项和T n．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，已知∠BCC1＝，BC＝1，AB ＝C1C＝2，点E是棱C1C的中点．（1）求证：C1B⊥平面ABC；（2）在棱CA上是否存在一点M，使得EM与平面A1B1E所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．20．为了解某地区初中学生的体质健康情况，统计了该地区8所学校学生的体质健康数据，按总分评定等级为优秀，良好，及格，不及格．良好及其以上的比例之和超过40%的学校为先进校．各等级学生人数占该校学生总人数的比例如表：学校比例等级学校A学校B学校C学校D学校E学校F学校G学校H优秀8%3%2%9%1%22%2%3%良好37%50%23%30%45%46%37%35%及格22%30%33%26%22%17%23%38%不及格33%17%42%35%32%15%38%24%（Ⅰ）从8所学校中随机选出一所学校，求该校为先进校的概率；（Ⅱ）从8所学校中随机选出两所学校，记这两所学校中不及格比例低于30%的学校个数为X，求X的分布列；（Ⅲ）设8所学校优秀比例的方差为S12，良好及其以下比例之和的方差为S22，比较S12与S22的大小．（只写出结果）21．已知椭圆C：3x2+4y2＝12．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设A，B分别为椭圆C的左右顶点，点P在椭圆C上，直线AP，BP分别与直线x＝4相交于点M，N．当点P运动时，以M，N为直径的圆是否经过x轴上的定点？试证明你的结论．22．已知函数f（x）＝m sin（1﹣x）+lnx．（1）当m＝1时，求函数f（x）在（0，1）的单调性；（2）当m＝0且时，，求函数g（x）在（0，e]上的最小值；（3）当m＝0时，有两个零点x1，x2，且x1＜x2，求证：x1+x2＞1．参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若全集U＝R，集合A＝{x∈Z|x2＜16}，B＝{x|x﹣1≤0}，则A∩（∁U B）＝（）A．{x|1≤x＜4}B．{x|1＜x＜4}C．{1，2，3}D．{2，3}【分析】可以求出集合A，B，然后进行补集和交集的运算即可．解：A＝{x∈Z|﹣4＜x＜4}＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x≤1}，∴∁U B＝{x|x＞1}，A∩（∁U B）＝{2，3}．故选：D．2．复数z满足，则|z|＝（）A．2i B．2C．i D．1【分析】根据已知条件，先求出复数z的代数形式，代入模长公式即可．解：依题意，因为复数z满足，所以z＝＝＝i，所以|z|＝1，故选：D．3．已知向量＝（3，﹣4），＝（6，﹣3），＝（2m，m+1）．若，则实数m的值为（）A．B．C．﹣3D．﹣【分析】先求得得＝＝（3，1），再由，则这两个向量的坐标对应成比例，解方程求得实数m的值，可得结论．解：由题意可得＝＝（3，1），若，则这两个向量的坐标对应成比例，即，解得m＝﹣3，故选：C．4．函数f（x）＝的部分图象是（）A．B．C．D．【分析】根据题意，由排除法分析：分析可得f（x）为奇函数，排除B，结合函数的解析式可得当0＜x＜1时，f（x）＜0，排除C，当x＞1时，f（x）＞0，排除D；据此即可得答案．解：根据题意，f（x）＝，其定义域为{x|x≠0}，又由f（﹣x）＝＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，排除B，当0＜x＜1时，ln|x|＝lnx＜0，x3＞0，则有f（x）＜0，排除C，当x＞1时，ln|x|＝lnx＞0，x3＞0，则有f（x）＞0，排除D，故选：A．5．“a＜﹣1”是“∃x0∈R，a sin x0+1＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】设f（x）＝a sin x+1，分类求得函数的值域，由∃x0∈R，a sin x0+1＜0求得a的范围，可知“a＜﹣1”是“∃x0∈R，a sin x0+1＜0”的不必要条件；取，当a＜﹣1时，a sin x0+1＜0成立，说明“a＜﹣1”是“∃x0∈R，a sin x0+1＜0”的充分条件．解：必要性：设f（x）＝a sin x+1，当a＞0时，f（x）∈[1﹣a，1+a]，∴1﹣a＜0，即a ＞1；当a＜0时，f（x）∈[1+a，1﹣a]，∴1+a＜0，即a＜﹣1．故a＞1或a＜﹣1；充分性：取，当a＜﹣1时，a sin x0+1＜0成立．∴“a＜﹣1”是“∃x0∈R，a sin x0+1＜0”的充分不必要条件．故选：A．6．若，则a+2b的最小值为（）A．6B．C．3D．【分析】，变形log3（2a+b）＝1+log3ab，可得a，b＞0，+＝3，可得a+2b＝（a+2b）（+）＝（5++），利用基本不等式的性质即可得出．解：，∴log3（2a+b）＝1+log3ab，∴2a+b＝3ab，a，b＞0．化为：+＝3．则a+2b＝（a+2b）（+）＝（5++）≥（5+2×2）＝3，当且仅当a＝b＝1时取等号．故选：C．7．已知圆C：x2+y2﹣10y+21＝0与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．【分析】由双曲线的标准方程写出渐近线方程，利用圆心到切线的距离d＝r，列方程求出离心率e＝的值．解：双曲线﹣＝1的渐近线方程为bx±ay＝0，圆C：x2+y2﹣10y+21＝0化为标准方程是：x2+（y﹣5）2＝4，则圆心C（0，5）到直线bx﹣ay＝0的距离为d＝r；即＝＝2，解得＝，即双曲线的离心率是e＝．故选：C．8．已知正三棱锥S﹣ABC的侧棱长为4，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是（）A．16πB．20πC．32πD．64π【分析】正棱锥的外接球的球心在顶点向底面做投影所在的直线上，先求底面外接圆的半径，再由勾股定理求锥的高，由勾股定理求出外接球的半径，由球的表面积公式求出表面积．解：如图所示：由正棱锥得，顶点在底面的投影是三角形ABC的外接圆的圆心O'，接圆的半径r，正三棱锥的外接球的球心在高SO'所在的直线上，设为O，连接OA得，：r＝，∴r＝2，即O'A＝2，所以三棱锥的高h＝＝＝6，由勾股定理得，R2＝r2+（R﹣h）2，解得：R＝4，所以外接球的表面积S＝4πR2＝64π．故选：D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（）A．若a＞b，c＞d，则ac＞bdB．若ab＞0，bc﹣ad＞0，则C．若a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣cD．若a＞b，c＞d＞0，则【分析】利用不等式的基本性质，或者反例判断选项的正误即可．解：若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd，所以A不正确；若ab＞0，bc﹣ad＞0，可得，即﹣＞0，所以B正确；若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d，即a﹣d＞b﹣c，所以C正确；若a＞b，c＞d＞0，则．不正确，反例a＝1，b＝﹣1，c＝﹣2，d＝﹣3，显然，，所以D不正确．故选：BC．10．已知α，β是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（）A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m∥α，α∩β＝n，则m∥nC．若m⊥α，m⊥β，则α∥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α∥β【分析】利用空间线面、面面位置关系的判定即可得出结论．解：A．由m∥n，m⊥α，则n⊥α，正确；B．由m∥α，α∩β＝n，则m与n的位置关系不确定；C．由m⊥α，m⊥β，则α∥β正确D．由m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β，因此不正确．故选：AC．11．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，且，F为AE的中点，则（）A．B．C．D．【分析】利用向量的加法法则，先用，进而表示出．解：由AB＝2AD＝2DC知：∵，∴＝＝，故A选项正确．又∵，∴＝＝＝，故B选项正确．∵，∴＝，故C正确．∵＝＝，D不正确．故选：ABC．12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），则下列命题正确的是（）A．当x＞0时，f（x）＝﹣e﹣x（x﹣1）B．函数f（x）有3个零点C．f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D．∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2【分析】函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），设x＞0时，﹣x＜0，可得f（x）＝﹣f（﹣x）＝e﹣x（x﹣1），x＝0时，f（0）＝0．当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），f′（x）＝）＝e x（x+2），可得x＝﹣2时，函数f（x）取得极小值，进而判断出结论．解：函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），设x＞0时，﹣x＜0，f（﹣x）＝e﹣x（﹣x+1），∴f（x）＝﹣f（﹣x）＝e﹣x（x﹣1），x＝0时，f（0）＝0．因此函数f（x）有三个零点：0，±1．当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），f′（x）＝）＝e x（x+2），可得x＝﹣2时，函数f（x）取得极小值，f（﹣2）＝．可得其图象：f（x）＜0时的解集为：（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤|f（0+）﹣f（0﹣）|＜2．因此BCD都正确．故选：BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，b2+c2﹣a2＝bc，则tan B＝4．【分析】先由余弦定理求出cos A的值，结合正弦定理进行化简即可．解：由b2+c2﹣a2＝bc得cos A＝＝＝，则sin A＝，若，则+＝＝1，即+＝1，得＝，得tan B＝4，故答案为：4．14．我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷（guǐ）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），夏至、小署、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列，经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为1.5尺．【分析】根据题意列等式，再用等差数列的通项公式和求和公式去求解，即得．解：由题意知为单调递增的等差数列，设为a1，a2，…，a12，公差为d，，代入得，联立方程解得a1＝1.5，故答案为：1.5．15．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F（4，0），过F作直线l交抛物线于M，N两点，则p＝8，的最小值为．【分析】先有焦点坐标求出p，再讨论当直线l的斜率不存在时，求出答案，当直线l的斜率存在时，根据韦达定理和抛物线的定义即可求出+＝，代入，根据基本不等式即可求最小值解：抛物线y2＝2px的焦点F，因为F（4，0），∴＝4⇒p＝8⇒y2＝16x；当直线l的斜率不存在时，直线l为x＝4，由，可得M（4，8），N（4，﹣8），∴|MF|＝|NF|＝8，∴＝﹣＝；当直线l的斜率存在时，设过点F作直线l的方程为y＝k（x﹣4），不妨设M（x1，y1），N（x2，y2），由，消y可得k2x﹣（16+8k2）x+16k2＝0，∴x1+x2＝8+，x1x2＝16，∴|MF|＝x1+＝x1+4，|NF|＝x2+＝x2+4，∴+＝+＝＝＝．∴＝﹣4（﹣）＝+﹣1≥2﹣1＝．（当且仅当|NF|＝6时等号成立）．故答案为：8，．16．设函数f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，∀x∈（0，+∞），f[f（x）﹣e x+x]＝e，若不等式f（x）+f'（x）≥ax对x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是{a|a ≤2e﹣1}．【分析】由已知可得f（x）＝e x﹣x+t，且f（t）＝e t，进而可求t及f（x），然后代入已知不等式，结合恒成立与最值求解的相互转化可求．解：令t＝f（x）﹣e x+x，所以f（x）＝e x﹣x+t，因为f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，∀x∈（0，+∞），f[f（x）﹣e x+x]＝e，故t为常数且f（t）＝e t＝e，所以，t＝1，f（x）＝e x﹣x+1，f′（x）＝e x﹣1因为f（x）+f'（x）≥ax对x∈（0，+∞）恒成立，所以2e x≥（a+1）x对x∈（0，+∞）恒成立，即a+1对x∈（0，+∞）恒成立，令g（x）＝，x＞0，则g′（x）＝，当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，故当x＝1时，函数取得最小值g（1）＝2e，故a+1≤2e即a≤2e﹣1．故答案为：{a|a≤2e﹣1}．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a sin A＝4b sin B，ac＝（a2﹣b2﹣c2）（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值【分析】（Ⅰ）由正弦定理得a sin B＝b sin A，结合a sin A＝4b sin B，得a＝2b．再由，得，代入余弦定理的推论可求cos A的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，代入a sin A＝4b sin B，得sin B，进一步求得cos B．利用倍角公式求sin2B，cos2B，展开两角差的正弦可得sin（2B﹣A）的值．【解答】（Ⅰ）解：由，得a sin B＝b sin A，又a sin A＝4b sin B，得4b sin B＝a sin A，两式作比得：，∴a＝2b．由，得，由余弦定理，得；（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入a sin A＝4b sin B，得．由（Ⅰ）知，A为钝角，则B为锐角，∴．于是，，故．18．已知数列{a n}的前n项和S n＝3n2+8n，{b n}是等差数列，且a n＝b n+b n+1．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n＝，求数列{c n}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）求出数列{a n}的通项公式，再求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）求出数列{c n}的通项，利用错位相减法求数列{c n}的前n项和T n．解：（Ⅰ）S n＝3n2+8n，∴n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝6n+5，n＝1时，a1＝S1＝11，∴a n＝6n+5；∵a n＝b n+b n+1，∴a n﹣1＝b n﹣1+b n，∴a n﹣a n﹣1＝b n+1﹣b n﹣1．∴2d＝6，∴d＝3，∵a1＝b1+b2，∴11＝2b1+3，∴b1＝4，∴b n＝4+3（n﹣1）＝3n+1；（Ⅱ）c n＝＝＝＝＝＝＝＝6（n+1）•2n，∴T n＝6[2•2+3•22+…+（n+1）•2n]①，∴2T n＝6[2•22+3•23+…+n•2n+（n+1）•2n+1]②，①﹣②可得﹣T n＝6[2•2+22+23+…+2n﹣（n+1）•2n+1]＝12+6×﹣6（n+1）•2n+1＝（﹣6n）•2n+1＝﹣3n•2n+2，∴T n＝3n•2n+2．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，已知∠BCC1＝，BC＝1，AB ＝C1C＝2，点E是棱C1C的中点．（1）求证：C1B⊥平面ABC；（2）在棱CA上是否存在一点M，使得EM与平面A1B1E所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）推导出BC1⊥BC，AB⊥BC1，由此证明C1B⊥平面ABC；（2）以B为原点，BC，BC1，BA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设在棱CA 上存在点M，使得EM与平面A1B1E所成角的正弦值为，由＝λ，λ∈[0，1]，求出的坐标及平面A1B1E的法向量，利用法向量求出EM与平面A1B1E所成角的正弦值，列方程求出λ的值即可．【解答】（1）证明：∵BC＝1，CC1＝2，∠BCC1＝，∴BC1＝，∴BC2+BC12＝CC12，得BC1⊥BC，又AB⊥侧面BB1C1C，∴AB⊥BC1，又AB∩BC＝B，∴C1B⊥平面ABC；（2）以B为原点，BC，BC1，BA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），A（0，0，2），B1（﹣1，，0），A1（﹣1，，2），E（，，0），C（1，0，0）．则＝（﹣，，0），＝（0，0，2）．设平面A1EB1的法向量为＝（x，y，z），则，令x＝1，求得＝（1，，0）．假设在棱CA上存在一点M（a，b，c），使得EM与平面A1B1E所成角的正弦值为，不妨设＝λ，λ∈[0，1]．又＝（a﹣1，b，c），＝（﹣1，0，2），∴，∴M（1﹣λ，0，2λ），∴＝（﹣λ，﹣，2λ），又平面A1B1E的法向量为＝（1，，0），则EM与平面A1B1E所成角的正弦值为：|cos＜，＞|＝＝＝，化简得69λ2﹣38λ+5＝0，解得λ＝或λ＝．∴在棱CA上存在点M，使得EM与平面A1B1E所成角的正弦值为．此时＝或．20．为了解某地区初中学生的体质健康情况，统计了该地区8所学校学生的体质健康数据，按总分评定等级为优秀，良好，及格，不及格．良好及其以上的比例之和超过40%的学校为先进校．各等级学生人数占该校学生总人数的比例如表：学校学校学校B学校C学校D学校E学校F学校G学校H比例A等级优秀8%3%2%9%1%22%2%3%良好37%50%23%30%45%46%37%35%及格22%30%33%26%22%17%23%38%不及格33%17%42%35%32%15%38%24%（Ⅰ）从8所学校中随机选出一所学校，求该校为先进校的概率；（Ⅱ）从8所学校中随机选出两所学校，记这两所学校中不及格比例低于30%的学校个数为X，求X的分布列；（Ⅲ）设8所学校优秀比例的方差为S12，良好及其以下比例之和的方差为S22，比较S12与S22的大小．（只写出结果）【分析】（Ⅰ）8所学校中有四所学校学生的体质健康测试成绩达到良好及其以上的比例超过40%，即可得出从8所学校中随机取出一所学校，该校为先进校的概率．（Ⅱ）8所学校中，学生不及格率低于30%的学校有学校B、F、H三所，所以X的取值为0，1，2．利用超几何分布列即可得出随机变量X的分布列．（Ⅲ）经过计算即可得出S12与S22的关系．解：（Ⅰ）8所学校中有四所学校学生的体质健康测试成绩达到良好及其以上的比例超过40%，所以从8所学校中随机取出一所学校，该校为先进校的概率为．（Ⅱ）8所学校中，学生不及格率低于30%的学校有学校B、F、H三所，所以X的取值为0，1，2．，所以随机变量X的分布列为：X012P（Ⅲ）S12＝S22．21．已知椭圆C：3x2+4y2＝12．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设A，B分别为椭圆C的左右顶点，点P在椭圆C上，直线AP，BP分别与直线x＝4相交于点M，N．当点P运动时，以M，N为直径的圆是否经过x轴上的定点？试证明你的结论．【分析】（Ⅰ）将方程化成标准方程，可得a，b，c进而求出离心率；（Ⅱ）分两种方法解题，由题意求出A，B的坐标，设直线AP，BP与x＝4联立求出M，N的坐标，设x轴一点Q，使得＝0，求出Q的坐标，即为定点．解：（Ⅰ）由得，那么a2＝4，b2＝3，所以c2＝a2﹣b2＝1，解得a＝2，c＝1所以离心率；（Ⅱ）解法一：A（﹣2，0），B（2，0），设P（x0，y0），则，直线AP的方程：，令x＝4，得，从而M点坐标为，直线BP的方程：，令x＝4，得，从而N点坐标为，设以MN为直径的圆经过x轴上的定点Q（x1，0），则MQ⊥NQ，由得，由①式得，代入②得，解得x1＝1或x1＝7，所以以MN为直径的圆是否经过x轴上的定点（1，0）和（7，0），解法二：A（﹣2，0），B（2，0）设P（x0，y0），则，，设直线AP的方程：y＝k（x+2），令x＝4，得y M＝6k，从而M点坐标为（4，6k），则直线BP的方程：，令x＝4，得，从而N点坐标为，设以MN为直径的圆经过x轴上的定点Q（x1，0），则MQ⊥NQ，由得，可得，解得x1＝1或x1＝7，所以以MN为直径的圆经过x轴上的定点（1，0）和（7，0）．22．已知函数f（x）＝m sin（1﹣x）+lnx．（1）当m＝1时，求函数f（x）在（0，1）的单调性；（2）当m＝0且时，，求函数g（x）在（0，e]上的最小值；（3）当m＝0时，有两个零点x1，x2，且x1＜x2，求证：x1+x2＞1．【分析】（1）将m＝1代入f（x）中，然后求导判断f（x）在（0，1）上的单调性；（2）由条件求出g（x）的解析式，然后求导判断g（x）在（0，e]上的单调性，再求出其最小值；（3）求出个零点x1，x2，得到，构造函数，根据函数的单调性证明即可．解：（1）当m＝1时，f（x）＝sin（1﹣x）+lnx，则f'（x）＝﹣cos（1﹣x）+，当x∈（0，1），f'（x）在（0，1）上单调递减，∴f'（x）＞f（1）＝0，∴当x∈（0，1）时，f（x）在（0，1）上单调递增．（2）当m＝0时，（，0＜x≤e），则＝，∵，∴g'（x）＜0，∴g（x）在（0，e]上单调递减，∴．（3）当m＝0时，，∵x1，x2是函数的两个零点，∴，，．两式相减，可得，即，∴，∴，．令（0＜t＜1），则．记，则．∵0＜t＜1，∴F'（t）＞0恒成立，∴F（t）＜F（1），即．∴，故x1+x2＞1．。
2020届山东省济宁市第一中学高三下学期一轮质量检测数学试题(原卷版)
济宁一中2017级高三一轮复习质量检测数学试题第Ⅰ卷一､选择题1.在复平面上，复数241ii++对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知实数集R ，集合{|13}A x x =<<，集合|2B x y x ⎧==⎨⎬-⎩⎭，则()R A C B ⋂=（ ） A. {|12}x x <≤B. {|13}x x <<C. {|23}x x ≤<D. {|12}x x <<3.过点(1,2)P 的直线与圆221x y +=相切，且与直线10ax y +-=垂直，则实数a 的值为（ ） A. 0B. 43-C. 0或43D.434.某次考试，班主任从全班同学中随机抽取一个容量为8的样本，他们的数学､物理分数对应如下表: 学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 数学分数x 60 65 70 75 80 85 90 95 物理分数y 7277808488909395绘出散点图如下:根据以上信息，判断下列结论:①根据此散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系； ②根据此散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系；③甲同学数学考了80分，那么，他的物理成绩一定比数学只考了60分的乙同学的物理成绩要高. 其中正确的个数为（ ）.A. 0B. 3C. 2D. 15.函数3cos 1()x f x x+=的部分图象大致是（ ）.A.B.C .D.6.设0a >，0b >，lg 2是lg 4a 与lg 2b的等差中项，则21a b+的最小值为（ ） A. 22B. 3C. 4D. 97.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，现从该正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是A.316 B. 38C. 14D.188.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>两顶点为1A ，2A ，虚轴两端点为1B ，2B ，两焦点为1F ，2F ，若以12A A 为直径的圆内切于菱形1122FB F B ，则双曲线的离心率是（ ） 51B.352+ C.51231二､不定项选择题9.等差数列{}n a 是递增数列，满足753a a =，前n 项和为n S ，下列选择项正确的是（ ） A. 0d >B. 10a <C. 当5n =时n S 最小D.0n S >时n 的最小值为8 10.已知函数2()sin 22sin 1f x x x =-+，给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ）. A. 函数()f x 的最小正周期是2π B. 函数()f x 在区间5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数 C. 函数()f x 的图象关于直线8x π=对称:D. 函数()f x 的图象可由函数2sin 2y x =的图象向左平移4π个单位得到 11.已知函数()y f x =是R 上的偶函数，对于任意x ∈R ，都有(6)()(3)f x f x f +=+成立，当12,[0,3]x x ∈，且12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-，给出下列命题，其中所有正确命题为（ ）.A. (3)0f =B. 直线6x =-是函数()y f x =的图象的一条对称轴C. 函数()y f x =在[9,6]--上为增函数D. 函数()y f x =在[9,9]-上有四个零点12.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，F 是棱11A D 上动点，下列说法正确的是（ ）.A. 对任意动点F ，在平面11ADD A 内存在与平面CBF 平行的直线B. 对任意动点F ，在平面ABCD 内存在与平面CBF 垂直的直线C. 当点F 从1A 运动到1D 的过程中，FC 与平面ABCD 所成的角变大D. 当点F 从1A 运动到1D 的过程中，点D 到平面CBF 的距离逐渐变小第Ⅱ卷三､填空題13.已知12,e e →→为单位向量且夹角为3π ，设12a e e →→→=+，2b e →→=，a →在b →方向上的投影为______ ．14.在32nx x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是 ． 15.如图,椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ,过F 的直线交椭圆于,A B 两点,点C 是A 点关于原点O 的对称点,若CF AB ⊥且CF AB =,则椭圆的离心率为__________．16.已知定义域为R 的函数()f x 满足:当(1,1]x ∈-时，2,10()122,01x xx f x x x -⎧--<≤⎪=+⎨⎪-<≤⎩，且(2)()f x f x +=对任意的x ∈R 恒成立，若函数()()(1)g x f x m x =-+在区间[1,5]-内有6个零点，则实数m 的取值范围是________.四､解答題17.已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且23b =，39b =，11a b =，144a b =． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和． 18.已知函数221()cos sin ,(0,)2f x x xx ．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）设ABC 为锐角三角形，角A 所对边19a =B 所对边5b =，若()0f A =，求ABC 的面积．19.如图所示，直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AD AB ⊥，22AB BC AD ===，四边形EDCF 为矩形，3CF =EDCF ⊥平面ABCD ．(1)求证：DF 平面ABE ；(2)求平面ABE 与平面EFB 所成锐二面角的余弦值． (3)在线段DF 上是否存在点P ，使得直线BP 与平面ABE 所成角的正弦值为34，若存在，求出线段BP 的长，若不存在，请说明理由．20.某班级体育课进行一次篮球定点投篮测试，规定每人最多投3次，每次投篮的结果相互独立.在A 处每投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分，否则得0分.将学生得分逐次累加并用X 表示，如果X 的值不低于3分就判定为通过测试，立即停止投篮，否则应继续投篮，直到投完三次为止.现有两种投篮方案:方案1:先在A 处投一球，以后都在B 处投；方案2:都在B 处投篮.已知甲同学在A 处投篮的命中率为14，在B 处投篮的命中率为45. （1）若甲同学选择方案1，求他测试结束后所得总分X 的分布列和数学期望()E X ； （2）你认为甲同学选择哪种方案通过测试的可能性更大?说明理由. 21.已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）． （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．22.已知函数)f x （a e 2x +(a ﹣2) e x ﹣x . （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.。
山东省济宁市第一中学2020届高三考前冲刺测试(一)数学答案
，得 ，且等号不能同时取，
恒成立，即
，即
令
，求导得
当
时，
在 上是增函数，
（3）由条件，
，从而
假设曲线
上存在两点 满足题意，则 只能在 轴两侧
不妨设
，则
，且
是以 为直角顶点的直角三角形，
是否存在 等价于方程 在 且 是否有解
①当
时，方程 为
，化简
②当 时，方当 时，
//
BC1
BC1 平面 BCC1B1, DE 平面 BCC1B1
所以 DE // 平面 BCC1B1
(2) AA1 A1C1, AA1 AC
AA1
AB, BAC
3
,
在平面内过点 A 作 AC 的垂线，尽量如图所示坐标系
则 AA1 1, A1B1 A1C1 2, AC 4
A1(0, 0,1),C(0, 4, 0), B(2 3, 2, 0), B1( 3,1,1)
由（1）知，学生 B 的分数属于区间70,75,75,80,80,85,85,90,90,95,95,100 的概率分别是： 3 ，
60 11 ， 19 ， 14 ， 11 ， 2 . 60 60 60 60 60
我们用符号 Aij （或 Bij )表示学生 A （或 B ）在第一轮获奖等级为 i ，通过附加赛最终获奖等级为 j ，
每个小区间的频率值分别是
P
5Y
8n
109 60
,
n
14,15,16
1 3
5k
1 20
n
,
n
17,18,19
.
由
3 60
11 60
19 60
1
山东省济宁市济宁一中2020届高三上学期10月阶段检测数学试题+Word版含答案
济宁一中2017级高三年级第一学期阶段检测数学试题2019.10出题人：杨涛审题人：张善举、曹雷注意事项：1.本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。
2.选择题答案请填涂在答题卡的相应位置，非选择题答案必须用黑色签字笔写在规定的答题区域内，否则不得分。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则的子集个数为（）A．B．C．D．2．已知复数，则在复平面上对应的点所在象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．在等差数列中，若，，则（）A．B．C．D．4．下列函数中，既是奇函数又在定义域内递增的是（）A．B．C．D．5．，则的值为（）山东中学联盟A．B．C．D．6．已知向量，，则“”是为钝角的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．若向量，的夹角为，且，，则向量与向量的夹角为（）A．B．C．D．8．函数在上单调递增，且关于对称，若，则的的取值范围是（）A．B．C．D．9．设函数，若，（）A．B．C．D．10．函数（其中，）的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有点（）A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度11．在中，是的中点，，点在上且满足，则等于（）A．B．C．D．12．定义在R上的函数满足：，，则不等式的解集为（）A．(3,+ ∞) B．(－∞,0)∪(3,+ ∞)C．(－∞,0)∪(0,+∞) D．(0,+∞)第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．若等差数列的前项和为，则_________．Sdzxlm14. 已知，，且共线，则向量在方向上的投影为__________．15．设，将的图像向右平移个单位长度，得到的图像，若是偶函数，则的最小值为__________．16．已知函数，则当函数恰有两个不同的零点时，实数的取值范围是．三、解答题：本题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知函数y=ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，记．（1）求a的值；（2）证明；（3）求的值．18.（本小题满分12分）已知函数．（I）求函数的最小正周期和对称中心坐标；（II）讨论在区间上的单调性．19．（本小题满分12分）已知中，角的对边分别为，．（1）求角的大小；（2）若，求的面积．20. （本小题满分12分）设Sn为数列{an}的前n项和．已知an>0，a2n＋2an＝4Sn＋3.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝1anan＋1，求数列{bn}的前n项和．21. （本小题满分12分）某品牌电脑体验店预计全年购入360台电脑，已知该品牌电脑的进价为3 000元/台，为节约资金决定分批购入，若每批都购入x(x∈N*)台，且每批需付运费300元，储存购入的电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值(不含运费)成正比(比例系数为k)，若每批购入20台，则全年需付运费和保管费7 800元．(1)记全年所付运费和保管费之和为y元，求y关于x的函数；(2)若要使全年用于支付运费和保管费的资金最少，则每批应购入电脑多少台？22．（本小题满分12分）已知为实数，函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个不同的零点，①求实数的取值范围；②证明：．济宁一中2017级高三年级第一学期第二次阶段检测数学答案一、选择题。
【附加15套高考模拟试卷】山东省济宁市2020届高三第一次模拟考试数学(理)试题含答案
山东省济宁市2020届高三第一次模拟考试数学（理）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()ln 2f x x x x a =-+，若函数()y f x =与()()y ff x =有相同的值域，则a 的取值范围是（ ） A ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．(],1-∞ C ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．[)1,+∞ 2．已知幂函数()a f x x =的图象过点13,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，则函数()()()21g x x f x =-在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是（ ）A ．1-B ．0C ．2-D ．323．已知点()mod N n m ≡表示N 除以m 余n ，例如()71mod6≡，()133mod5≡，则如图所示的程序框图的功能是（ ）A ．求被5除余1且被7除余3的最小正整数B ．求被7除余1且被5除余3的最小正整数C ．求被5除余1且被7除余3的最小正奇数D ．求被7除余1且被5除余3的最小正奇数4．已知各项均为正数的等差数列{}n a 的公差为2，等比数列{}n b 的公比为-2，则（ ）A ．14n n a a b b --=B ．14n n a a b b -=C ．14n n a a b b --=-D ．14nn a a b b -=- 5．设函数()322ln f x x ex mx x =-+-，记()()f xg x x =，若函数()g x 至少存在一个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．21,e e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦ B ．210,e e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦C ．21e ,e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭ D ．2211e ,e e e ⎛⎤--+ ⎥⎝⎦ 6．已知x ∈R，sin 3cos x x -=tan2x =( )A ．43B ．34C ．34-D ．43-7．设[]x 表示不超过x 的最大整数（如5[2]2,[]14==），对于给定的*n N ∈，定义(1)([]1)(1)([]1)x n n n n x C x x x x -⋅⋅⋅-+=-⋅⋅⋅-+，[1,)x ∈+∞，则当3[,3)2x ∈时，函数8x C 的值域是（ ） A ．16[,28]3 B ．16[,56)3 C ．28(4,)[28,56)3⋃ D ．1628(4,](,28]33⋃8．若直线y=2x 上存在点（x ，y ）满足约束条件30230x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则实数m 的最大值为A ．-1B ．1C ．32 D ．29．将函数()2sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，再把所得函数图象向右平移4π个单位，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 图象的一条对称轴的方程为（ ） A ．4x π= B ．1912x π= C ．1312x π= D ．6x π= 10．若正数,m n 满足21m n +=，则11m n +的最小值为 A．3+B．3C．2+ D ．311．等比数列{a n }中，11,28aq ==，则4a 与8a 的等比中项是（ ） A ．±4 B ．4 C ．14±D ．14 12．如图，四棱锥P ABCD -的底面为矩形，矩形的四个顶点A ，B ，C ，D 在球O 的同一个大圆上，且球的表面积为16π，点P 在球面上，则四棱锥P ABCD -体积的最大值为（ ）A ．8B ．83C ．16D ．163二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省济宁市第一中学2020届高三下学期一轮质量检测数学答案
；
又 平面ABE，
平面ABE；
Ⅱ ， ， ， 0， ，
设平面BEF的法向量为 b， ，
令 ，则 ，
则平面BEF的法向量为 ，
设平面ABE与平面EFB所成锐二面角为 ，
，
平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值是 ；
Ⅲ 设 2，
， ；
，
，
又平面ABE的法向量为 0， ，设直线BP与平面ABE所成角为 ，
综上可知：当 时， 在R单调递减，
当 时， 在 是减函数，在 是增函数；
若 时，由 可知： 最多有一个零点，
所以 不符合题意；
当 时， ，
函数有两个零点， 的最小值必须小于0，
由 知， ，
，即 ，
令 ， 0'/>，
所以 在 上单调递增，
又因为 ，
此时解得 ．
接下来说明 时 存在两个零点：
当 时， ， ，
济宁一中2017级高三一轮复习质量检测数学试题
答案
1.A2.B3.C4.D5.A6.D7.A8.C
9.ABD10.BC11.ABD12.AC
13. 14.715. 16.
17.解： 设 是公差为d的等差数列， 是公比为q的等比数列，
由 ， ，可得 ，
；
即有 ， ，
则 ，
则 ；
，
则数列 的前n项和为：
此时 ，故 ，
又 在 上单调递减， ，
故存在 ，使得 ，
当 时，易证 ，
此时 ，
故 ，且满足 ，
又 在 上单调递增， ，
故存在 使得 ，
所以当 时， 存在两个零点．
综上所述，a的取值范围是 ．，，源自化简得 ，解得 或 ；
【附28套精选模拟试卷】山东省济宁市2020届高三第一次模拟考试数学(理)试题及答案
山东省济宁市2020届高三第一次模拟考试数学（理）试题及答案 本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共5页．满分150分．考试用时120分钟，考试结束 后，将试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答卷前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号填写在答题纸上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题纸各题指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A 、B 独立，那么P(AB)=P(A)·P(B)第I 卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数211i z i +=+（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知集合{}211,3402x A x B x x x A B ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<=-->⋂⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则等于A.{}0x x >B. {}0x x x <-1>或C.{}4x x >D. {}4x x -1≤≤ A.88 88B.90 89C.89 88D.89 90 4.若点(),P x y 满足线性约束条件20220,40x y x y z x y y -≤⎧⎪-+≥=+⎨⎪≥⎩则的最大值为A.1B.2C.3D.45.给出命题p ：直线()3102110ax y x a y ++=+++=与直线互相平行的充要条件是3a =-；命题q ：若210mx mx --<恒成立，则40m -<<.关于以上两个命题，下列结论正确的是A.命题“p q ∧”为真B. 命题“p q ∨”为假C.命题“p q ∧⌝”为真D. 命题“p q ∨⌝”为真 6.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c.若sin sin 3sin sin .aA c C a C bB +-=则角B 等于A.56πB.23π C.3π D.6π 7.函数()1ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象大致是8.已知向量()()11,1,1,2,0,0,//a m n b m n a b m n=-=>>+其中若，则的最小值是 A.22 B.322+ C.42 D.32 9.设()ln f x x =，若函数()()g x f x ax =-在区间(]0,3上有三个零点，则实数a 的取值范围是A.10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B.ln 3,3e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C.ln 30,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ D.ln 31,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 10.已知12,F F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点，点P 是该双曲线和圆2222x y a b +=+的一个交点，若1221sin 2sin PF F PF F ∠=∠，则该双曲线的离心率是A.10B.5C.10D.10 第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数1lg 123x y x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭的定义域是 ▲ . 12.阅读如图所示的程序框图，若输出()f x 的范围是2,2⎡⎤⎣⎦，则输入实数x 的范围应是 ▲ .13.已知在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱11A B 的中点，则直线AE 与平面11BDD B 所成角的正弦值是 ▲ .14.若()()()()()234525012345411111x x a a x a x a x a x a x a +=+-+-+-+-+-，则 = ▲ .15.设区域Ω是由直线0,=1x x y π==±和所围成的平面图形，区域D 是由余弦曲线y=cosx 和直线x=0,x=π和y=1±所围成的平面图形，在区域Ω内随机抛掷一粒豆子，则该豆子落在区域D 的概率是 ▲ .三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）已知函数()3sin cos .34f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ （I ）当,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域； （II ）将函数()y f x =的图象向右平移3π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标变为原的12倍，纵坐标保持不变，得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 的表达式及对称轴方程. 17.（本小题满分12分）如图，已知斜三棱柱ABC 111A B C -的底面是正三角形，点M 、N 分别是1111B C A B 和的中点，112,60AA AB BM A AB ===∠=o .（I ）求证：BN ⊥平面111A B C ；（II ）求二面角1A AB M --的余弦值.18.（本小题满分12分）甲、乙、丙三位同学彼此独立地从A 、B 、C 、D 、E 五所高校中，任选2所高校参加自主招生考试（并且只能选2所高校），但同学甲特别喜欢A 高校，他除选A 校外，在B 、C 、D 、E 中再随机选1所；同学乙和丙对5所高校没有偏爱，都在5所高校中随机选2所即可.（I ）求甲同学未选中E 高校且乙、丙都选中E 高校的概率；（II ）记为甲、乙、丙三名同学中未参加E 校自主招生考试的人数，求的分布列及数学期望.19.（本小题满分12分）在等比数列{}121342,,n a a a a a a =+中，已知，且成等差数列.（I ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（II ）设数列{}2n n a a -的前n 项和为2,nn n n S b S =记，求数列{}n b 的前n 项和n T . 20.（本小题满分13分） 已知抛物线214x y =的焦点与椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的一个焦点重合，12F F 、是椭圆C 的左、右焦点，Q 是椭圆C 上任意一点，且12QF QF ⋅u u u r u u u u r 的最大值是3.（I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）过右焦点2F 作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，在x 轴上是否存在点(),0P m ，使得PM 、PN 为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出m 的取值范围；如果不存在，请说明理由.21.（本小题14分）设函数()()2ln f x ax x a R =--∈.（I ）若()()(),f x e f e 在点处的切线为20,x ey e a --=求的值；（II ）求()f x 的单调区间；（III ）当()0.x x f x ax e >0-+>时，求证：高考模拟数学试卷第Ⅰ卷注意事项：第Ⅰ卷共12小题，每小题5分，共60分。
济宁市第一中学2020届高三数学下学期3月自测试题含解析
【解析】
【分析】
根据导数解决函数的的极值,零点，不等式等问题依次讨论选项即可得答案.
【详解】解：对于A选项，函数的的定义域为 ，函数的导数 ，
∴ 时， ，函数 单调递减，
时， ，函数 单调递增，
∴ 是 的极小值点，故A错误；
对于B选项， ，
∴ ，
∴ 函数在 上单调递减，
又∵ , ，
∴ 函数 有且只有1个零点，故B正确;
他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同包含的基本事件个数m 36，
则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是p ．
故选:B．
【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合中的分组分配等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6。 已知 、 、 、 ，从这四个数中任取一个数 ，使函数 有极值点的概率为（ ）
A. -15B。-7C。 3D。 15
【答案】A
【解析】
【分析】
根据奇函数定义域关于原点中心对称，可求得 的值.根据奇函数性质，即可求得 的值.
【详解】因为奇函数的定义域关于原点中心对称
则 ，解得
因为奇函数 当 时，
则
故选:A
【点睛】本题考查了奇函数的定义域关于原点对称，奇函数的性质应用,属于基础题。
A。 若随机变量 服从正态分布 ， ，则 ；
B。 已知直线 平面 ,直线 平面 ,则“ "是“ ”的充分不必要条件；
C。 若随机变量 服从二项分布： ,则 ;
D. 是 的充分不必要条件。
【答案】ABCD
【解析】
【分析】
由随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2），则曲线关于x＝1对称，即可判断A；结合面面平行性质定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．可判断B；
2020年山东省济宁一中高考数学考前冲刺试卷(一) (1)
2020年山东省济宁一中高考数学考前冲刺试卷（一）一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 函数f(x)=ln x x−1的定义域为（ ）A.(0, +∞)B.(0, 1)∪(1, +∞)C.[0, +∞)D.[0, 1)∪(1, +∞)2. 已知向量a →，b →满足a →=(2, 1)，b →=(1, y)，且a →⊥b →，则|a →+2b →|＝（ ） A.√5 B.5√2 C.5 D.43. 某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600，从中抽取60个样本，下面提供随机数表的第4行到第6行： 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第5个样本编号是（ ） A.522 B.324 C.535 D.5784. 如图，在正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，底面的边长为3，BD 1与底面所成角的大小为θ，且tan θ=23，则该正四棱柱的外接球表面积为（ ）A.26πB.28πC.30πD.32π5. 已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b =1,c =√3，且2sin (B +C)cos C ＝1−2cos A sin C ，则△ABC 的面积是（ ） A.√34B.12C.√34或√32D.√34或126. 设等差数列{a n }的公差为d ，若b n ＝2a n，则“d <0”是“{b n }为递减数列”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7. 将三颗骰子各掷一次，设事件A ＝“三个点数都不相同”，B ＝“至少出现一个6点”，则P(A|B)＝（ ） A.6091B.12C.518D.912168. 在平行四边形ABCD 中，∠A =π3，AB ＝2，AD ＝1，若M ，N 分别是边BC ，CD 上的点，且满足|BM →||BC →|=|CN →||CD →|，则AM →⋅AN →的最大值为（ ） A.2 B.4 C.5 D.6二、多项选择题：在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．若集合A ＝{x|sin 2x ＝1}，B ={y|y =π4+kπ2,k ∈Z}，则正确的结论有（ ）A.A ∪B ＝BB.∁R B ⊆∁R AC.A ∩B ＝⌀D.∁R A ⊆∁R B已知函数f(x)=cos (ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A.ω＝πB.φ=π3C.x =34是函数的一条对称轴D.(k +14,0)(k ∈Z)是函数的对称中心以下结论中错误的有（ ）A.经过点(1, 1)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为x +y −2＝0B.设a ，b ∈R ，且ab ≠0，ab >1，则a >1bC.若m ⊂α，n ⊄α，m ，n 是异面直线，那么n 与α相交D.以模型y ＝ce kx 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z ＝ln y ，将其变换后得到线性方程z ＝0.3x +4，则c ，k 的值分别是e 4和0.3在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的方程是|x−a|a+|y−b|b=1(a >b >0)，则下列结论正确的是（ ）A.曲线C 关于(a, b)对称B.x 2+y 2的最小值为a 2b 2a 2+b 2 C.曲线C 的周长为2(a +b) D.曲线C 围成的图形面积为2ab三、填空题：已知等比数列{a n }满足3a 5＝a 6，且a 2＝1，则a 4＝________．设复数x =2i 1−i（i 是虚数单位），则C 20201x 1+C 20202x 2+C 20203x 3+⋯+C 20202020x 2020=________．已知双曲线C 的焦点为F 1(0, 2)，F 2(0, −2)，实轴长为2，则双曲线C 的离心率是________；若点Q 是双曲线C 的渐近线上一点，且F 1Q ⊥F 2Q ，则△QF 1F 2的面积为________√3 ．已知函数f(x)={2x +1,x ≤215−2x ,x >2 ，若f[f(0)+f(a)]＝7，则a ＝________．四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．已知△ABC 内接于单位圆，且(1+tan A)(1+tan B)=2. (1)求角C ；(2)求△ABC 面积的最大值．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=12，且a n+1=2a n +1a n +2，(Ⅰ)求证：数列{1−a n1+a n}为等比数列；(Ⅱ)求[S 100]（[x]表示不超过x 的最大整数）．如图，三棱台ABC −A 1B 1C 1中，侧面A 1B 1BA 与侧面A 1C 1CA 是全等的梯形，若A 1A ⊥AB ，A 1A ⊥A 1C 1，且AB ＝2A 1B 1＝4A 1A ．(Ⅰ)若CD →=2DA 1→，AE →=2EB →，证明：DE // 平面BCC 1B 1；(Ⅱ)若二面角C 1−AA 1−B 为π3，求平面A 1B 1BA 与平面C 1B 1BC 所成的锐二面角的余弦值．已知点P(2, 2)，圆C:x 2+y 2−8y =0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP|=|OM|时，求l 的方程及△POM 的面积．为丰富学生课外生活，某市组织了高中生钢笔书法比赛，比赛分两个阶段进行：第一阶段由评委给出所有参赛作品评分，并确定优胜者；第二阶段为附加赛，参赛人员由组委会按规则另行确定．数据统计员对第一阶段的分数进行了统计分析，这些分数X 都在[70, 100)内，在以组距为5画分数的频率分布直方图（设“=Y ”）时，发现Y 满足Y ={8n−109300,n ≤16115−k ⋅120−n ,n >16，n ∈N ∗，5n ≤X <5(n +1)．（1）试确定n 的所有取值，并求k ；（2）组委会确定：在第一阶段比赛中低于85分的参赛者无缘获奖也不能参加附加赛；分数在[95, 100)的参赛者评为一等奖；分数在[90, 95)的同学评为二等奖，但通过附加赛有111的概率提升为一等奖；分数在[85, 90)的同学评为三等奖，但通过附加赛有17的概率提升为二等奖（所有参加附加赛的获奖人员均不降低获奖等级）．已知学生A 和B 均参加了本次比赛，且学生A 在第一阶段评为二等奖． (i)求学生B 最终获奖等级不低于学生A 的最终获奖等级的概率；(ii)已知学生A 和B 都获奖，记A ，B 两位同学最终获得一等奖的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．已知函数g(x)＝a ln x ，f(x)＝x 3+x 2+bx ．（1）若f(x)在区间[1, 2]上不是单调函数，求实数b 的范围；（2）若对任意x ∈[1, e]，都有g(x)≥−x 2+(a +2)x 恒成立，求实数a 的取值范围；（3）当b ＝0时，设F(x)={f(−x),x <1g(x),x ≥1 ，对任意给定的正实数a ，曲线y ＝F(x)上是否存在两点P ，Q ，使得△POQ 是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由．参考答案与试题解析2020年山东省济宁一中高考数学考前冲刺试卷（一）一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.【答案】 B【考点】函数的定义域及其求法 【解析】根据函数f(x)的解析式，求出使解析式有意义的自变量取值范围即可． 【解答】 函数f(x)=ln x x−1，∴ {x >0x −1≠0，解得x >0且x ≠1，∴ f(x)的定义域为(0, 1)∪(1, +∞)． 2. 【答案】 C【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】根据题意，由向量垂直与数量积的关系可得a →⋅b →=2+y ＝0，解可得y 的值，即可得b →的坐标，进而计算可得向量(a →+2b →)的坐标，由向量模的计算公式计算可得答案． 【解答】根据题意，a →=(2, 1)，b →=(1, y)，且a →⊥b →， 则有a →⋅b →=2+y ＝0，解可得y ＝−2，即b →=(1, −2)， 则a →+2b →=(4, −3)，故|a →+2b →|=√16+9=5； 3.【答案】 A【考点】 简单随机抽样 【解析】根据随机数表法抽样的定义进行抽取即可． 【解答】第6行第6列的数开始的数为808，不合适，436，789不合适，535，577，348，994不合适，837不合适，522，535重复不合适，478合适则满足条件的5个编号为436，535，577，348，522， 则第5个编号为522， 4.【答案】 A【考点】 球内接多面体 【解析】根据正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的侧棱D 1D ⊥底面ABCD ，判断∠D 1BD 为直线BD 1与底面ABCD 所成的角，即可求出正四棱柱的高． 【解答】∵ 正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的侧棱D 1D ⊥底面ABCD ， ∴ ∠D 1BD 为直线BD 1与底面ABCD 所成的角， ∴ tan ∠D 1BD =23，∵ 正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 的边长为3， ∴ BD ＝3√2，∴ 正四棱柱的高ℎ＝3√2×23=2√2． ∴ 正四棱柱的外接球半径为R =D 1B 2=√18+82=√262． ∴ 正四棱柱的外接球表面积为S ＝4πR 2＝26π． 5. 【答案】 C【考点】 余弦定理 【解析】由已知利用三角函数恒等变换的应用可求sin B =12，由于b <c ，可得角B 为锐角，利用同角三角函数基本关系式可求cos B 的值，根据余弦定理解得a 的值，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【解答】因为2sin (B +C)cos C ＝1−2cos A sin C ， 所以2sin A cos C ＝1−2cos A sin C ， 所以2sin A cos C +2cos A sin C ＝1， 所以2sin (A +C)＝1， 所以2sin B ＝1， 所以sin B =12． 因为b <c ， 所以B <C ，所以角B 为锐角， 所以cos B =√1−sin 2B =√32，12=a 2+(√3)2−2×a ×√3×√32，解得a ＝1或a ＝2．当a ＝1时，△ABC 的面积S =12ac sin B =12×1×√3×12=√34； 当a ＝2时，△ABC 的面积S =12ac sin B =12×2×√3×12=√32． 综上，△ABC 的面积是√34或√32． 6. 【答案】C【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【解析】“d <0”⇔等差数列{a n }单调递减，又b n ＝2a n ，利用复合函数的单调性即可判断出结论． 【解答】“d <0”⇔等差数列{a n }单调递减，又b n ＝2a n ，∴ 数列{b n }为递减数列， 反之也成立．∴ “d <0”是“{b n }为递减数列”的充要条件． 7.【答案】 A【考点】条件概率与独立事件 【解析】本题要求条件概率，根据要求的结果等于P(AB)÷P(B)，需要先求出AB 同时发生的概率，除以B 发生的概率，根据等可能事件的概率公式做出要用的概率．代入算式得到结果． 【解答】∵ P(A|B)＝P(AB)÷P(B)， P(AB)=6063=60216P(B)＝1−P(B ¯)＝1−5363=1−125216=91216 ∴ P(A/B)＝P(AB)÷P(B)=6021691216=60918. 【答案】C【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】 设|BM →||BC →|=|CN →||CD →|=k ≥0，建立如图所示的坐标系．A(0, 0)，B(2, 0)，D(12,√32)，C(52,√32)， 由BM →=kBC →，CN →=kCD →，可得AM →=AB →+kBC →=(2+12k,√3k2)，同理可得AN →=(52−2k,√32)，再利用数量积运算性质和二次函数的单调性即可得出．【解答】 设|BM →||BC →|=|CN →||CD →|=k ≥0，建立如图所示的坐标系． A(0, 0)，B(2, 0)，D(12,√32)，C(52,√32)， 由BM →=kBC →，CN →=kCD →， 可得AM →=AB →+kBC →=(2+12k,√3k2)， 同理可得AN →=(52−2k,√32)， ∴ AM →⋅AN →=(2+12k)(52−2k)+3k 4=−k 2−2k +5＝−(k +1)2+6，∵ k ≥0，∴ AM →⋅AN →的最大值是5，当且仅当M 、N 与点C 重合时取得最大值． 二、多项选择题：在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的． 【答案】A,B【考点】 交集及其运算交、并、补集的混合运算【解析】求出集合A ，根据k 为偶数和奇数即可得出A ⊆B ，从而可判断每个选项的正误． 【解答】集合A ＝{x|sin 2x ＝1}＝{x|x ＝kπ+π4, k ∈Z}，B ={y|y =π4+kπ2,k ∈Z}，对于B ，当k 为偶数时，A ＝B ；当k 为奇数时，A ≠B ， ∴ A ⊆B ，∴ A ∪B ＝B ，∁R B ⊆∁R A ，A ∩B ＝A ． 【答案】 A,C,D【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式 【解析】根据函数f(x)的部分图象求出T 、ω和φ的值，再求函数f(x)的对称轴和对称中心． 【解答】根据函数f(x)的部分图象知，T2=54−14=1，T ＝2，ω=2πT=π，所以A 正确；由f(14)＝cos (π×14+φ)＝0，得π4+φ=π2+2kπ，k ∈Z ；解得φ=π4+2kπ，k ∈Z ； 又|φ|<π2，所以φ=π4，B 错误；由f(x)＝cos(πx+π4)，令πx+π4=kπ，k∈Z；解得x＝k−14，k∈Z；当k＝1时，x=34是函数f(x)的一条对称轴，C正确；令πx+π4=kπ+π2，k∈Z；解得x＝k+14，k∈Z；所以(k+14, 0)(k∈Z)是函数f(x)的对称中心，D正确．【答案】A,B,C【考点】命题的真假判断与应用直线的截距式方程【解析】设出直线方程，根据截距相等可求出两条直线，可知A错误；由不等式的性质可知，B错误；依条件可知，n 与α可能相交，也可能平行，C错误；根据对数的运算可知D正确．【解答】A．设直线方程为y−1＝k(x−1)(k≠0)，令x＝0，得y＝1−k，令y＝0，得x＝1−1k，所以1−k＝1−1k，解得k＝1或k＝−1，故A错误；B．因为b的正负不确定，所以a>1b，不一定成立，B错误；C．若m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n与α相交，或者n与α平行，C错误；D．因为z＝ln y＝ln ce kx＝ln c+kx，所以ln c＝4，即c＝e4，k＝0.3，D正确．【答案】A,B,D【考点】曲线与方程【解析】由曲线方程可得画成图形，可得A，B，C，D的坐标，进而可得四边形ABCD为菱形，进而判断所给命题的真假．【解答】因为曲线C的方程是|x−a|a +|y−b|b=1(a>b>0)，可得P(x, y)的图形为折线AB，BC，CD，DA，且A，B，C，D的坐标分别为：(0, b)，(a, 2b)，(2a, b)，(a, 0)，可得四边形ABCD为菱形，A中：显然关于(a, b)对称，所以A正确；B中：O到直线AD的距离最小，而直线AD的方程为：xa +yb=1，即bx+ay−ab＝0，所以O到AD的距离为：d=√x2+y2=√a2+b2，所以(x2+y2)min=a2b2a2+b2，所以B正确；C中：四边形周长为：4√a2+b2，所以C不正确；D中：四边形的面积S=12⋅2a⋅2b=2ab，所以D正确；三、填空题：【答案】9【考点】等比数列的通项公式【解析】根据等比数列的通项公式即可求出．【解答】因为3a5＝a6，故q=a6a5=3，由等比数列的通项公式得a4＝a2q2＝1×32＝（9）【答案】【考点】二项式定理及相关概念【解析】经化简，x＝−1+i，然后逆用二项式定理，将x＝−1+i代入即可．【解答】由已知得x=2i1−i=−1+i．则C20201x1+C20202x2+C20203x3+⋯+C20202020x2020=C20200+C20201x1+C20202x2+C20203x3+⋯+C20202020x2020−1＝(1+x)2020−1＝i2020−1＝(i4)505−1＝0．【答案】2,2【考点】双曲线的离心率【解析】由题意可得c，a的值，进而求出双曲线的离心率，进而求出双曲线的方程，再求出渐近线的方程，设渐近线上的点的坐标Q，由F1Q⊥F2Q可得F1Q→⋅F2Q→=0可得Q的纵坐标，进而求出△QF1F2的面积．【解答】由题意可得c＝2，2a＝2即a＝1，所以双曲线的离心率e=ca=2，所以b2＝c2−a2＝4−1＝3，所以双曲线的方程为：y2−x23=1，所以渐近线的方程为：y =√3，设Q(−√3y, y)为一条渐近线的点，由F 1Q ⊥F 2Q 可得F 1Q →⋅F 2Q →=0，即(−√3y, y −2)(−√3y, y +2)＝0，可得3y 2+y 2−4＝0，所以|y|＝1， 所以S QF 1F 2=12|F 1F 2|⋅|√3y|=12⋅4⋅√3=2√3， 【答案】12或log 213【考点】函数的求值 求函数的值【解析】推导出f(0)＝1，从而f[f(0)+f(a)]＝f[1+f(a)]＝7，当1+f(a)≤2时，推导出f(a)＝2，不成立；当1+f(a)>2时，推导出f(a)＝2，当a ≤2时，f(a)＝2a +1＝2，当a >2时，f(a)＝15−2a ＝2，由此能求出a 的值． 【解答】∵ 函数f(x)={2x +1,x ≤215−2x ,x >2，∴ f(0)＝2×0+1＝1， ∵ f[f(0)+f(a)]＝7，∴ f[f(0)+f(a)]＝f[1+f(a)]＝7，当1+f(a)≤2时，f[f(0)+f(a)]＝f[1+f(a)]＝2+2f(a)+1＝7， 则f(a)＝2，此时1+f(a)＝3>2，不成立．当1+f(a)>2时，f[f(0)+f(a)]＝f[1+f(a)]＝15−21+f （a ）＝7， 21+f （a ）＝8，解得f(a)＝2，当a ≤2时，f(a)＝2a +1＝2，解得a =12，当a >2时，f(a)＝15−2a ＝2，解得a ＝log 213．综上，a =12或a =log 213．四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 【答案】解：(1)∵ (1+tan A)(1+tan B)=2， ∴ tan A +tan B =1−tan A ⋅tan B ， ∴ tan C =−tan (A +B)=−tan A+tan B 1−tan A tan B=−1.∵ C ∈(0, π)， ∴ C =3π4.(2)∵ △ABC 的外接圆为单位圆，∴ 其半径R =1.由正弦定理可得c =2R sin C =√2，由余弦定理可得c 2=a 2+b 2−2ab cos C ， 代入数据可得2=a 2+b 2+√2ab ≥2ab +√2ab =(2+√2)ab ， 当且仅当a =b 时，“=”成立. ∴ ab ≤2+√2，∴ △ABC 的面积S =12ab sin C ≤2+√2√22=√2−12， ∴ △ABC 面积的最大值为：√2−12. 【考点】两角和与差的正切公式 余弦定理 正弦定理 【解析】（1）变形已知条件可得tan A +tan B =1−tan A ⋅tan B ，代入可得tan C =−tan (A +B)=−tan A+tan B1−tan A tan B =−1，可得C 值；（2）由正弦定理可得c ，由余弦定理和基本不等式可得ab 得取值范围，进而可得面积的最值． 【解答】解：(1)∵ (1+tan A)(1+tan B)=2， ∴ tan A +tan B =1−tan A ⋅tan B ， ∴ tan C =−tan (A +B)=−tan A+tan B 1−tan A tan B=−1.∵ C ∈(0, π)， ∴ C =3π4.(2)∵ △ABC 的外接圆为单位圆，∴ 其半径R =1.由正弦定理可得c =2R sin C =√2，由余弦定理可得c 2=a 2+b 2−2ab cos C ， 代入数据可得2=a 2+b 2+√2ab ≥2ab +√2ab =(2+√2)ab ， 当且仅当a =b 时，“=”成立. ∴ ab ≤2+2，∴ △ABC 的面积S =12ab sin C ≤2+√2√22=√2−12， ∴ △ABC 面积的最大值为：√2−12. 【答案】（I ）证明：∵ a 1=12，且a n+1=2a n +1a n +2，∴1−a n+11+a n+1=1−2a n +1a n +21+2a n +1a n +2=13⋅1−a n 1+a n，1−a 11+a 1=1−121+12=13∴ 数列{1−an 1+a n}为等比数列，公比与首项都为13．(II)由(I)可得：1−a n 1+a n=(13)n ．解得：a n =3n −13n +1=1−23n +1．数列{23n +1}单调递减， n ＝4时，234+1=141， n ＝5时，235+1=1141， n ≥6时，23n +1≤1365．∴ 100−12−15−114−141−1141−95365≤S 100≤100−12−15−114−141−1141， ∴ [S 100]＝99． 【考点】等比数列的通项公式 【解析】（I ）由a 1=12，且a n+1=2a n +1a n+2，可得1−a n+11+a n+1=1−2a n +1a n +21+2a n +1a n +2=13⋅1−a n 1+a n，1−a 11+a 1=13，利用等比数列的定义即可得出．(II)由(I)可得：1−an 1+a n=(13)n ．解得：a n =23n +1．数列{23n +1}单调递减，n ＝5时，235+1=1141，n ≥6时，23n +1≤1365．可得100−12−15−114−141−1141−95365≤S 100≤100−12−15−114−141−1141，即可得出．【解答】（I ）证明：∵ a 1=12，且a n+1=2a n +1a n +2， ∴1−a n+11+a n+1=1−2a n +1a n +21+2a n +1a n +2=13⋅1−a n 1+a n，1−a 11+a 1=1−121+12=13∴ 数列{1−a n 1+a n}为等比数列，公比与首项都为13．(II)由(I)可得：1−an 1+a n=(13)n ．解得：a n =3n −13n +1=1−23n +1． 数列{23n +1}单调递减， n ＝4时，234+1=141， n ＝5时，235+1=1141，n ≥6时，23n +1≤1365．∴ 100−12−15−114−141−1141−95365≤S 100≤100−12−15−114−141−1141， ∴ [S 100]＝99． 【答案】（1）证明：连接AC 1，BC 1， 在梯形A 1C 1CA 中，AC ＝2A 1C 1， ∵ AC 1∩A 1C ＝D ，CD →=2DA 1→， ∴ AD →=2DA 1→，又AE →=2EB →，∴ DE // BC 1，∵ BC 1⊂平面BCC 1B 1，DE ⊄平面BCC 1B 1， ∴ DE // 平面BCC 1B 1；（2）侧面A 1C 1CA 是梯形，∵ A 1A ⊥A 1C 1，∴ AA 1⊥AC ，又A 1A ⊥AB ，∴ ∠BAC 为二面角C 1−AA 1−B 的平面角，则∠BAC =π3， ∴ △ABC ，△A 1B 1C 1均为正三角形，在平面ABC 内，过点A 作AC 的垂线，如图建立空间直角坐标系， 不妨设AA 1＝1，则A 1B 1＝A 1C 1＝2，AC ＝AC ＝4，故点A 1(0, 0, 1)，C(0, 4, 0)，B(2√3,2,0),B 1(√3,1,1)．设平面A 1B 1BA 的法向量为m →=(x 1,y 1,z 1)，则有{m →⋅AB →=2√3x 1+2y 1=0m →⋅AB 1→=√3x 1+y 1+z 1=0 ，取y 1=−√3，得m →=(1,−√3,0)；设平面C 1B 1BC 的法向量为n →=(x 2,y 2,z 2)，则有{n →⋅CB →=2√3x 2−2y 2=0n →⋅CB 1→=√3x 2−3y 2+z 2=0，取y 2=√3，得n →=(1,√3,2√3)．∴ cos <m →,n →>=m →⋅n→|m|→|n|→=−14，故平面A 1B 1BA 与平面C 1B 1BC所成的锐二面角的余弦值为14．【考点】直线与平面平行二面角的平面角及求法 【解析】(Ⅰ)连接AC 1，BC 1，由已知可得CD →=2DA 1→，则AD →=2DA 1→，又AE →=2EB →，可得DE // BC 1，然后利用线面平行的判定得DE // 平面BCC 1B 1；(Ⅱ)由侧面A 1C 1CA 是梯形，且A 1A ⊥A 1C 1，可得AA 1⊥AC ，结合A 1A ⊥AB ，得∠BAC 为二面角C 1−AA 1−B 的平面角，则∠BAC =π3，可得△ABC ，△A 1B 1C 1均为正三角形，在平面ABC 内，过点A 作AC 的垂线，如图建立空间直角坐标系，不妨设AA 1＝1，分别求出平面A 1B 1BA 与平面C 1B 1BC 的法向量，由两法向量所成角的余弦值得平面A 1B 1BA 与平面C 1B 1BC 所成的锐二面角的余弦值． 【解答】（1）证明：连接AC 1，BC 1， 在梯形A 1C 1CA 中，AC ＝2A 1C 1， ∵ AC 1∩A 1C ＝D ，CD →=2DA 1→， ∴ AD →=2DA 1→，又AE →=2EB →，∴ DE // BC 1，∵ BC 1⊂平面BCC 1B 1，DE ⊄平面BCC 1B 1， ∴ DE // 平面BCC 1B 1；（2）侧面A 1C 1CA 是梯形，∵ A 1A ⊥A 1C 1，∴ AA 1⊥AC ，又A 1A ⊥AB ，∴ ∠BAC 为二面角C 1−AA 1−B 的平面角，则∠BAC =π3， ∴ △ABC ，△A 1B 1C 1均为正三角形，在平面ABC 内，过点A 作AC 的垂线，如图建立空间直角坐标系， 不妨设AA 1＝1，则A 1B 1＝A 1C 1＝2，AC ＝AC ＝4，故点A 1(0, 0, 1)，C(0, 4, 0)，B(2√3,2,0),B 1(√3,1,1)．设平面A 1B 1BA 的法向量为m →=(x 1,y 1,z 1)，则有{m →⋅AB →=2√3x 1+2y 1=0m →⋅AB 1→=√3x 1+y 1+z 1=0，取y 1=−√3，得m →=(1,−√3,0)；设平面C 1B 1BC 的法向量为n →=(x 2,y 2,z 2)，则有{n →⋅CB →=2√3x 2−2y 2=0n →⋅CB 1→=√3x 2−3y 2+z 2=0，取y 2=√3，得n →=(1,√3,2√3)．∴ cos <m →,n →>=m →⋅n→|m|→|n|→=−14，故平面A 1B 1BA 与平面C 1B 1BC 所成的锐二面角的余弦值为14．【答案】解：(1)由圆C:x 2+y 2−8y =0， 得x 2+(y −4)2=16，∴ 圆C 的圆心坐标为(0, 4)，半径为4． 设M(x, y)，则CM →=(x,y −4)， MP →=(2−x,2−y)． 由题意可得：CM →⋅MP →=0．即x(2−x)+(y −4)(2−y)=0． 整理得：(x −1)2+(y −3)2=2．∴ M 的轨迹方程是(x −1)2+(y −3)2=2．(2)由(1)知M 的轨迹是以点N(1, 3)为圆心，√2为半径的圆， 由于|OP|=|OM|，故O 在线段PM 的垂直平分线上， 又P 在圆N 上， 从而ON ⊥PM ． ∵ k ON =3，∴ 直线l 的斜率为−13．∴ 直线PM 的方程为y −2=−13(x −2)， 即x +3y −8=0． 则O 到直线l 的距离为√12+32=4√105． 又N 到l 的距离为√10=√105， ∴ |PM|=2√2−(√105)2=4√105． ∴ S △POM =12×4√105×4√105=165．【考点】三角形的面积公式 直线与圆的位置关系 轨迹方程点到直线的距离公式 直线的点斜式方程 【解析】（1）由圆C 的方程求出圆心坐标和半径，设出M 坐标，由CM →与MP →数量积等于0列式得M 的轨迹方程； （2）设M 的轨迹的圆心为N ，由|OP|=|OM|得到ON ⊥PM ．求出ON 所在直线的斜率，由直线方程的点斜式得到PM 所在直线方程，由点到直线的距离公式求出O 到l 的距离，再由弦心距、圆的半径及弦长间的关系求出PM 的长度，代入三角形面积公式得答案． 【解答】解：(1)由圆C:x 2+y 2−8y =0， 得x 2+(y −4)2=16，∴ 圆C 的圆心坐标为(0, 4)，半径为4． 设M(x, y)，则CM →=(x,y −4)， MP →=(2−x,2−y)． 由题意可得：CM →⋅MP →=0．即x(2−x)+(y −4)(2−y)=0． 整理得：(x −1)2+(y −3)2=2．∴ M 的轨迹方程是(x −1)2+(y −3)2=2．(2)由(1)知M 的轨迹是以点N(1, 3)为圆心，√2为半径的圆， 由于|OP|=|OM|，故O 在线段PM 的垂直平分线上， 又P 在圆N 上， 从而ON ⊥PM ． ∵ k ON =3，∴ 直线l 的斜率为−13．∴ 直线PM 的方程为y −2=−13(x −2)， 即x +3y −8=0．则O 到直线l 的距离为√12+32=4√105． 又N 到l 的距离为√10=√105， ∴ |PM|=2√2−(√105)2=4√105． ∴ S △POM =12×4√105×4√105=165．【答案】根据题意，X 在[70, 100)内，按组距为5可分成6个小区间，分别是[70, 75)，[75, 80)，[80, 85)，[85, 90)，[90, 95)，[95, 100)， ∵ 70≤X <100，由5n ≤X <5(n +1)，n ∈N ∗， ∴ n ＝14，15，16，17，18，19，每个小区间对应的频率值分别是P ＝5Y ={8n−10960,n =14,15,1613−5k ⋅120−n,n =17,18,19．360+1160+1960+1−5k(13+12+1)=1，解得k =350， ∴ n 的对值是14，15，16，17，18，19，k =350．(i)由于参赛学生很多，可以把频率视为概率，由（1）知，学生B 的分数属于区间[70, 75)，[75, 80)，[80, 85)，[85, 90)，[90, 95)，[95, 100)的概率分别是：360,1160,1960,1460,1160,260，我们用符号A ij （或B ij ）表示学生A （或B ）在第一轮获奖等级为i ，通过附加赛最终获奖等级为j ， 其中j ≤i(i, j ＝1, 2, 3)，记W ＝“学生B 最终获奖等级不低于学生A 的最终获奖等级”， 则P(W)＝P(B 1+B 21+B 22A 22+B 32A 22)＝P(B 1)+P(B 21)+P(B 22)P(A 22)+P(B 32)P(A 22) =260+1160⋅111+1160⋅1011⋅1011+1460⋅17⋅1011=51220．(ii) 学生A 最终获得一等奖的概率是P(A 21)=111，学生B 最终获得一等奖的概率是P(B 1′+B 21′)=227+1127⋅111=19，P(ξ＝0)＝(1−111)(1−19)=8099，P(ξ＝1)=111⋅(1−19)+(1−111)⋅19=1899， P(ξ＝2)=111⋅19=199， ∴ ξ的分布列为：Eξ=0⋅8099+1⋅1899+2⋅199=2099．【考点】离散型随机变量的期望与方差 【解析】（1）X 在[70, 100)内，按组距为5可分成6个小区间，分别是[70, 75)，[75, 80)，[80, 85)，[85, 90)，[90, 95)，[95, 100)，由70≤X <100，由5n ≤X <5(n +1)，n ∈N ∗，能求出n 的对值和k ．(2)(i)由于参赛学生很多，可以把频率视为概率，学生B 的分数属于区间[70, 75)，[75, 80)，[80, 85)，[85, 90)，[90, 95)，[95, 100)的概率分别是360,1160,1960,1460,1160,260，用符号A ij （或B ij ）表示学生A （或B ）在第一轮获奖等级为i ，通过附加赛最终获奖等级为j ，其中j ≤i(i, j ＝1, 2, 3)，记W ＝“学生B 最终获奖等级不低于学生A 的最终获奖等级”，由此能求出学生B 最终获奖等级不低于学生A 的最终获奖等级的概率． (ii) 学生A 最终获得一等奖的概率是P(A 21)=111，学生B 最终获得一等奖的概率是P(B 1′+B 21′)=227+1127⋅111=19，ξ的可能取值为0，1，2，分虽求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．【解答】根据题意，X 在[70, 100)内，按组距为5可分成6个小区间，分别是[70, 75)，[75, 80)，[80, 85)，[85, 90)，[90, 95)，[95, 100)， ∵ 70≤X <100，由5n ≤X <5(n +1)，n ∈N ∗， ∴ n ＝14，15，16，17，18，19，每个小区间对应的频率值分别是P ＝5Y ={8n−10960,n =14,15,1613−5k ⋅120−n ,n =17,18,19 ．360+1160+1960+1−5k(13+12+1)=1，解得k =350， ∴ n 的对值是14，15，16，17，18，19，k =350． (i)由于参赛学生很多，可以把频率视为概率，由（1）知，学生B 的分数属于区间[70, 75)，[75, 80)，[80, 85)，[85, 90)，[90, 95)，[95, 100)的概率分别是：360,1160,1960,1460,1160,260， 我们用符号A ij （或B ij ）表示学生A （或B ）在第一轮获奖等级为i ，通过附加赛最终获奖等级为j ， 其中j ≤i(i, j ＝1, 2, 3)，记W ＝“学生B 最终获奖等级不低于学生A 的最终获奖等级”， 则P(W)＝P(B 1+B 21+B 22A 22+B 32A 22)＝P(B 1)+P(B 21)+P(B 22)P(A 22)+P(B 32)P(A 22) =260+1160⋅111+1160⋅1011⋅1011+1460⋅17⋅1011=51220． (ii) 学生A 最终获得一等奖的概率是P(A 21)=111，学生B 最终获得一等奖的概率是P(B 1′+B 21′)=227+1127⋅111=19，P(ξ＝0)＝(1−111)(1−19)=8099，P(ξ＝1)=111⋅(1−19)+(1−111)⋅19=1899， P(ξ＝2)=111⋅19=199，∴ ξ的分布列为：Eξ=0⋅8099+1⋅1899+2⋅199=2099．【答案】由f(x)＝x 3+x 2+bx得f ′(x)＝3x 2+2x +b 因f(x)在区间[1, 2]上不是单调函数所以f ′(x)＝3x 2+2x +b 在[1, 2]上最大值大于0，最小值小于0， f ′(x)=3x 2+2x +b =3(x +13)2+b −13f ′(x)max =16+b#/DEL/#f ′(x)min =5+b#/DEL/#∴ −16<b <−5由g(x)≥−x 2+(a +2)x ，得(x −ln x)a ≤x 2−2x ．∵ x ∈[1, e]，∴ ln x ≤1≤x ，且等号不能同时取，∴ ln x <x ，即x −ln x >0 ∴ a ≤x 2−2xx−ln x恒成立，即a ≤(x 2−2xx−ln x )min ⋯令f(x)=x 2−2x x−ln x,x ∈[1,e]，求导得，f ′(x)=(x−1)(x+2−21nx)(x−ln x),x ∈[1,e]，当x ∈[1, e]时，x −1≥0，0≤ln x ≤1x +2−2ln x >0，从而f′(x)≥0，∴ f(x)在[1, e]上为增函数，∴ (x 2−2xx−ln x )min =f(1)＝−1， ∴ a ≤−1．由条件，F(x)={−x 3+x 2,x <1a ln x,x ≥1，假设曲线y ＝F(x)上存在两点P ，Q 满足题意， 则P ，Q 只能在y 轴两侧， 不妨设P （t, F(t)），t >0则Q(−t, t 3+t 2)，且t ≠1． ∵ △POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形， ∴ OP →⋅OQ →=0，∴ −t 2+F(t)(t 3+t 2)＝0 (∗)，是否存在P ，Q 等价于方程(∗)在t >0且t ≠1时是否有解． ①若0<t <1时，方程(∗)为−t 2+(−t 3+t 2)(t 3+t 2)＝0， 化简得t 4−t 2+1＝0，此方程无解；②若t >1时，方程(∗)为−t 2+a ln t(t 3+t 2)＝0， 即1a =(t +1)ln t ，设ℎ(t)＝(t +1)ln t ，(t >1)，则ℎ′(x)＝ln t +1t +1，显然，当t >1时，ℎ′(x)>0，即ℎ(x)在(1, +∞)上为增函数， ∴ ℎ(t)的值域为(ℎ(1)，+∞)，即(0, +∞)， ∴ 当a >0时，方程(∗)总有解．∴ 对任意给定的正实数a ，曲线y ＝F(x) 上总存在两点P ，Q ，使得△POQ 是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上． 【考点】利用导数研究函数的单调性 分段函数的应用 函数单调性的性质与判断 利用导数研究函数的最值【解析】（1）利用函数的导数在区间[1, 2]上有极值，即可得到不是单调函数，求实数b 的范围；（2）利用对任意x ∈[1, e]，都有g(x)≥−x 2+(a +2)x 恒成立，转化为a 的不等式，通过函数的最值，求实数a 的取值范围；（3）b ＝0，设F(x)={f(−x),x <1g(x),x ≥1 ，对任意给定的正实数a ，曲线y ＝F(x)上是否存在两点P ，Q ，使得△POQ 是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，得到OP →⋅OQ →=0，通过构造函数以及函数的导数的单调性，判断方程的解从而说明三角形斜边中点在y 轴上． 【解答】由f(x)＝x 3+x 2+bx得f ′(x)＝3x 2+2x +b 因f(x)在区间[1, 2]上不是单调函数所以f ′(x)＝3x 2+2x +b 在[1, 2]上最大值大于0，最小值小于0，f ′(x)=3x 2+2x +b =3(x +13)2+b −13f ′(x)max =16+b#/DEL/#f ′(x)min =5+b#/DEL/#∴ −16<b <−5由g(x)≥−x 2+(a +2)x ，得(x −ln x)a ≤x 2−2x ．∵ x ∈[1, e]，∴ ln x ≤1≤x ，且等号不能同时取，∴ ln x <x ，即x −ln x >0 ∴ a ≤x 2−2x x−ln x恒成立，即a ≤(x 2−2xx−ln x )min⋯ 令f(x)=x 2−2x x−ln x,x ∈[1,e]，求导得，f ′(x)=(x−1)(x+2−21nx)(x−ln x)2,x ∈[1,e]，当x ∈[1, e]时，x −1≥0，0≤ln x ≤1x +2−2ln x >0，从而f′(x)≥0， ∴ f(x)在[1, e]上为增函数，∴ (x 2−2xx−ln x )min=f(1)＝−1，∴ a ≤−1．由条件，F(x)={−x 3+x 2,x <1a ln x,x ≥1，假设曲线y ＝F(x)上存在两点P ，Q 满足题意， 则P ，Q 只能在y 轴两侧， 不妨设P （t, F(t)），t >0则Q(−t, t 3+t 2)，且t ≠1． ∵ △POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形， ∴ OP →⋅OQ →=0，∴ −t 2+F(t)(t 3+t 2)＝0 (∗)，是否存在P ，Q 等价于方程(∗)在t >0且t ≠1时是否有解． ①若0<t <1时，方程(∗)为−t 2+(−t 3+t 2)(t 3+t 2)＝0， 化简得t 4−t 2+1＝0，此方程无解；②若t >1时，方程(∗)为−t 2+a ln t(t 3+t 2)＝0， 即1a =(t +1)ln t ，设ℎ(t)＝(t +1)ln t ，(t >1)，则ℎ′(x)＝ln t +1t +1，显然，当t >1时，ℎ′(x)>0，即ℎ(x)在(1, +∞)上为增函数， ∴ ℎ(t)的值域为(ℎ(1)，+∞)，即(0, +∞)， ∴ 当a >0时，方程(∗)总有解．∴ 对任意给定的正实数a ，曲线y ＝F(x) 上总存在两点P ，Q ，使得△POQ 是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上．。
2020届山东省济宁市第一中学高三下学期一轮质量检测数学试题
2020届山东省济宁市第一中学高三下学期一轮质量检测数学试题第Ⅰ卷一､选择题1.在复平面上，复数241ii++对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知实数集R ，集合{|13}A x x =<<，集合|2B x y x ⎧==⎨⎬-⎩⎭，则()R A C B ⋂=（ ） A. {|12}x x <≤ B. {|13}x x <<C. {|23}x x ≤<D. {|12}x x <<3.过点(1,2)P 的直线与圆221x y +=相切，且与直线10ax y +-=垂直，则实数a 的值为（ ） A. 0B. 43-C. 0或43D.434.某次考试，班主任从全班同学中随机抽取一个容量为8的样本，他们的数学､物理分数对应如下表: 学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 数学分数x 60 65 70 75 80 85 90 95 物理分数y 7277808488909395绘出散点图如下:根据以上信息，判断下列结论:①根据此散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系；②根据此散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系；③甲同学数学考了80分，那么，他的物理成绩一定比数学只考了60分的乙同学的物理成绩要高. 其中正确的个数为（）.A. 0B. 3C. 2D. 15.函数3cos1 ()xf xx+=的部分图象大致是（）. A. B. C. D. 6.设0a>，0b>，lg2是lg4a与lg2b的等差中项，则21a b+的最小值为（）A. 22 B. 3 C. 4 D. 97.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，现从该正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是A.316B. 38C.14D.188.双曲线22221(0,0) x ya ba b-=>>的两顶点为1A，2A，虚轴两端点为1B，2B，两焦点为1F，2F，若以12A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B，则双曲线的离心率是（）A. 1B. 32+ C. 12D. 1+二､不定项选择题9.等差数列{}n a是递增数列，满足753a a=，前n项和为nS，下列选择项正确的是（）A. 0d> B.1a<C. 当5n=时nS最小 D. 0nS>时n的最小值为810.已知函数2()sin22sin1f x x x=-+，给出下列四个结论，其中正确的结论是（）.A. 函数()f x的最小正周期是2πB. 函数()f x在区间5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数C. 函数()f x的图象关于直线8xπ=对称: D. 函数()f x的图象可由函数2y x=的图象向左平移4π个单位得到11.已知函数()y f x=是R上的偶函数，对于任意x∈R，都有(6)()(3)f x f x f+=+成立，当12,[0,3]x x∈，且12x x≠时，都有()()1212f x f xx x->-，给出下列命题，其中所有正确命题为（）.A. (3)0f=B. 直线6x=-是函数()y f x=的图象的一条对称轴C. 函数()y f x=在[9,6]--上为增函数D. 函数()y f x=在[9,9]-上有四个零点12.如图，在正方体1111ABCD A B C D-中，F是棱11A D上动点，下列说法正确的是（）.A. 对任意动点F ，在平面11ADD A 内存在与平面CBF 平行的直线B. 对任意动点F ，在平面ABCD 内存在与平面CBF 垂直的直线C. 当点F 从1A 运动到1D 的过程中，FC 与平面ABCD 所成的角变大D. 当点F 从1A 运动到1D 的过程中，点D 到平面CBF 的距离逐渐变小第Ⅱ卷三､填空題13.已知12,e e →→为单位向量且夹角为3π ，设12a e e →→→=+，2b e →→=，a →在b →方向上的投影为______ ．14.在32nx x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是 ． 15.如图,椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ,过F 的直线交椭圆于,A B 两点,点C 是A 点关于原点O 的对称点,若CF AB ⊥且CF AB =,则椭圆的离心率为__________．16.已知定义域为R 的函数()f x 满足:当(1,1]x ∈-时，2,10()122,01x xx f x x x -⎧--<≤⎪=+⎨⎪-<≤⎩，且(2)()f x f x +=对任意的x ∈R 恒成立，若函数()()(1)g x f x m x =-+在区间[1,5]-内有6个零点，则实数m 的取值范围是________.四､解答題17.已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且23b =，39b =，11a b =，144a b =． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和． 18.已知函数221()cos sin ,(0,)2f x x xx ．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）设ABC 为锐角三角形，角A 所对边19a =，角B 所对边5b =，若()0f A =，求ABC 的面积．19.如图所示，直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AD AB ⊥，22AB BC AD ===，四边形EDCF 为矩形，3CF =，平面EDCF ⊥平面ABCD ．(1)求证：DF 平面ABE ；(2)求平面ABE 与平面EFB 所成锐二面角的余弦值．(3)在线段DF 上是否存在点P ，使得直线BP 与平面ABE 所成角3BP 的长，若不存在，请说明理由．20.某班级体育课进行一次篮球定点投篮测试，规定每人最多投3次，每次投篮的结果相互独立.在A 处每投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分，否则得0分.将学生得分逐次累加并用X 表示，如果X 的值不低于3分就判定为通过测试，立即停止投篮，否则应继续投篮，直到投完三次为止.现有两种投篮方案:方案1:先在A 处投一球，以后都在B 处投；方案2:都在B 处投篮.已知甲同学在A 处投篮的命中率为14，在B 处投篮的命中率为45. （1）若甲同学选择方案1，求他测试结束后所得总分X 的分布列和数学期望()E X ； （2）你认为甲同学选择哪种方案通过测试的可能性更大?说明理由. 21.已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）． （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．22.已知函数)f x =（a e 2x +(a ﹣2) e x ﹣x . （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.济宁一中2017级高三一轮复习质量检测数学试题第Ⅰ卷一､选择题1.在复平面上，复数241ii++对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】 【分析】化简复数，判断对应点的象限.【详解】24(24)(1)6231(1)(1)2i i i ii i i i ++-+===+++-，对应点为(3,1)在第一象限. 故答案选A【点睛】本题考查了复数的计算，属于简单题.2.已知实数集R ，集合{|13}A x x =<<，集合|B x y ⎧==⎨⎩，则()R A C B ⋂=（ ） A. {|12}x x <≤ B. {|13}x x <<C. {|23}x x ≤<D. {|12}x x <<【答案】A 【解析】 【分析】0>可得集合B ,求出补集R C B ,再求出()R A C B ⋂即可.0>,得2x >,即(2,)B =+∞, 所以R C B (,2]=-∞, 所以()R A C B ⋂=(1,2]. 故选:A【点睛】本题考查了集合的补集和交集的混合运算,属于基础题.3.过点(1,2)P 的直线与圆221x y +=相切，且与直线10ax y +-=垂直，则实数a 的值为（ ）A. 0B. 43-C. 0或43D.43【答案】C 【解析】【详解】当0a =时，直线10ax y +-=，即直线1y =，此时过点()1,2P 且与直线1y =垂直的直线为1x =，而1x =是与圆相切，满足题意，所以0a =成立，当0a ≠时，过点()1,2P 且与直线10ax y +-=垂直的直线斜率为1a ，可设该直线方程为12(1)y x a-=-，即210x ay a -+-=，再根据直线与圆相切，即圆心到直线距离为1可得，22111a a -=+，解得43a =.故本题正确答案为C.点晴：本题考查的是直线 与直线，直线与圆的位置关系.当考虑直线与直线位置关系时要分斜率存在和不存在即0a =和0a ≠两种情况讨论，两直线垂直则斜率互为负倒数;当考虑直线和圆相切时，一方面要分斜率存在和不存在两种情况，另一方面要充分利用圆心到直线距离为半径，列出等式22111a a -=+求解即可.4.某次考试，班主任从全班同学中随机抽取一个容量为8的样本，他们的数学､物理分数对应如下表: 学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 数学分数x 60 65 70 75 80 85 90 95 物理分数y 7277808488909395绘出散点图如下:根据以上信息，判断下列结论:①根据此散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系； ②根据此散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系；③甲同学数学考了80分，那么，他的物理成绩一定比数学只考了60分的乙同学的物理成绩要高. 其中正确的个数为（ ）.A. 0B. 3C. 2D. 1【答案】D【解析】【分析】根据散点图的知识，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．【详解】对于①，根据此散点图知，各点都分布在一条直线附近，可以判断数学成绩与物理成绩具有较强的线性相关关系，①正确；对于②，根据此散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有较强的线性相关关系，不是一次函数关系，②错误；对于③，甲同学数学考了80分，他的物理成绩可能比数学只考了60分的乙同学的物理成绩要高，所以③错误．综上，正确的命题是①，只有1个．故选：D．【点睛】本题主要考查了散点图的应用问题，是基础题．5.函数3cos1()xf xx+=的部分图象大致是（）.A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性,单调性和特殊点的函数值估算或变化趋势，来进行排除或确认. 【详解】根函数()f x 是奇函数，排除D ， 根据x 取非常小的正实数时()0f x >，排除B ，x π=是满足310cosx +<的一个值，故排除C ，故选：A ．【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和函数值的符号判定函数的图象，属基础题.6.设0a >，0b >，是lg 4a与lg 2b的等差中项，则21a b+的最小值为（ ） A.B. 3C. 4D. 9【答案】D 【解析】∵lg4a与lg2b的等差中项，∴lg 4lg 2a b =+， 即2lg 2lg 42lg 2aba b+=⋅=，∴21a b +=．所以212122()(2)559b a a b a b a b a b+=++=++≥+= 当且仅当22b a a b =即13a b ==时取等号， ∴21a b+的最小值为9． 7.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，现从该正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是A. 316B. 38C. 14D.18【答案】A 【解析】设2AB =，则1BC CD DE EF ====. ∴122124BCI S ∆==，112242BCI EFGHS S ∆==⨯=平行四边形 ∴所求的概率为113422216P +==⨯ 故选A.8.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两顶点为1A ，2A ，虚轴两端点为1B ，2B ，两焦点为1F ，2F ，若以12A A 为直径的圆内切于菱形1122FB F B ，则双曲线的离心率是（ ） A.51 B.352+ C.512D. 31+【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得顶点和虚轴端点坐标及焦点坐标，求得菱形的边长，运用等积法可得221122422b c a b c ⋅⋅=⋅+a ，b ，c 的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．【详解】由题意可得()1,0A a -，()2,0A a ，()10,Bb ，()20,B b -， ()1,0Fc -，()2,0F c ，且222a b c +=，菱形1122F B F B 22b c +由以12A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ，切点分别为A ，B ，C ，D ． 由面积相等，可得221122422b c a b c ⋅⋅=⋅+ 即为()22222b c abc =+，即有442230c a a c +-=， 由ce a=，可得42310e e -+=， 解得2352e ±=， 可得152e +=，或512e =(舍去) 故选C ．【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用圆内切等积法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．二､不定项选择题9.等差数列{}n a 是递增数列，满足753a a =，前n 项和为n S ，下列选择项正确的是（ ）A.0d > B. 10a <C. 当5n =时n S 最小D.0n S >时n 的最小值为8【答案】ABD 【解析】 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为753a a =，求得13a d =-，根据数列{}n a 是递增数列，得到,A B 正确；再由前n 项公式，结合二次函数和不等式的解法，即可求解. 【详解】由题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，因为753a a =，可得()11634a d a d +=+，解得13a d =-，又由等差数列{}n a 是递增数列，可知0d >，则10a <，故,A B 正确； 因为22172222n d d d d S n a n n n ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭， 由7722d nn d -=-=可知，当3n =或4时n S 最小，故C 错误， 令27022n d dS n n =->，解得0n <或7n >，即0n S >时n 的最小值为8，故D 正确. 故选：.ABD【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及前n 项和公式的应用，其中解答中熟练应用等差数列的通项公式和前n 项和公式，结合数列的函数性进行判断是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10.已知函数2()sin 22sin 1f x x x =-+，给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ）. A. 函数()f x 的最小正周期是2π B. 函数()f x 在区间5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数 C. 函数()f x 的图象关于直线8x π=对称:D. 函数()f x的图象可由函数2y x =的图象向左平移4π个单位得到 【答案】BC【解析】 【分析】先将()2221f x sin x sin x =-+化简为()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再逐个选项判断即可．【详解】2()sin 22sin 1sin 2cos 224f x x x x x x π⎛⎫=-+=+=+ ⎪⎝⎭A 选项，因为2ω=，则()f x 的最小正周期T π=，结论错误；B 选项，当5,88x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，32,422x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则()f x 在区间5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，结论正确；C 选项，因为8f π⎛⎫= ⎪⎝⎭()f x 的最大值，则()f x 的图象关于直线8x π=对称，结论正确；D 选项，设()2g x x =，则()22sin 22cos 2442g x x x x f x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+=≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，结论错误．故选：BC ．【点睛】本题考查三角函数的恒等变换及三角函数的性质，属于中档题.11.已知函数()y f x =是R 上的偶函数，对于任意x ∈R ，都有(6)()(3)f x f x f +=+成立，当12,[0,3]x x ∈，且12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-，给出下列命题，其中所有正确命题为（ ）.A. (3)0f =B. 直线6x =-是函数()y f x =的图象的一条对称轴C. 函数()y f x =在[9,6]--上增函数D. 函数()y f x =在[9,9]-上有四个零点 【答案】ABD 【解析】 分析】函数()y f x =是R 上的偶函数，对任意x R ∈，都有()()()63f x f x f +=+成立，我们令3x =-，可得()()330f f -==，进而得到()()6f x f x +=恒成立，再由当1x ，[]20,3x ∈且12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-，我们易得函数在区间[]0,3单调递增，然后对题目中的四个结论逐一进行分析，即可得到答案．【详解】:A 令3x =-，则由()()()63f x f x f +=+， 得()()()()33323f f f f =-+=， 故()30f =,A 正确；:B 由()30f =得：()()6f x f x +=，故()f x 以6为周期．又()f x 为偶函数即关于直线0x =对称，故直线6x =-是函数()y f x =的图象的一条对称轴，B 正确；:C 因为当1x ，[]20,3x ∈，12x x ≠时，有()()12120f x f x x x ->-成立，故()f x 在[]0,3上为增函数， 又()f x 为偶函数， 故在[]3,0-上为减函数， 又周期为6．故在[]9,6--上为减函数，C 错误；该抽象函数图象草图如下：:D 函数()f x 周期为6，故()()93f f -=-()()390f f ===，故()y f x =在[]9,9-上有四个零点，D 正确．故答案为：ABD ．【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性、周期性、对称性及函数的零点与方程根的关系，属于基础题. 12.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，F 是棱11A D 上动点，下列说法正确的是（ ）.A. 对任意动点F ，在平面11ADD A 内存在与平面CBF 平行的直线B. 对任意动点F ，在平面ABCD 内存在与平面CBF 垂直的直线C. 当点F 从1A 运动到1D 的过程中，FC 与平面ABCD 所成的角变大D. 当点F 从1A 运动到1D 的过程中，点D 到平面CBF 的距离逐渐变小 【答案】AC 【解析】 【分析】运用线面平行判定定理，即可判断A ；运用线面垂直的判定定理，可判断B; 由线面角的定义，可判断C; 由平面CBF 即平面11A D CB 可知D 到平面的距离的变化情况，即可判断选项D . 【详解】因为AD 在平面11ADD A 内，且平行平面CBF ，故A 正确；平面CBF 即平面11A D CB ，又平面11A D CB 与平面ABCD 斜相交，所以在平面ABCD 内不存在与平面CBF 垂直的直线，故B 错误；F 到平面ABCD 距离不变且FC 变小，FC 与平面ABCD 所成的角变大，故C 正确；平面CBF 即平面11A D CB ，点D 到平面11A D CB 的距离为定值，故D 错误． 故选：AC ．【点睛】本题考查棱柱的结构特征，涉及线面平行、线面垂直、线面角、 点到平面距离等，考查学生空间想象能力，属中档题.第Ⅱ卷三､填空題13.已知12,e e→→为单位向量且夹角为3π ，设12a e e →→→=+，2b e →→=，a →在b→方向上的投影为______ ． 【答案】32【解析】 【分析】 可知这样即可求出 a b ⋅ 及b 的值，从而得出a 在b 方向上的投影的值．【详解】由题可知1,b = 故，a 在b 方向上的投影为即答案为32. 【点睛】考查单位向量及投影的定义，数量积的运算及计算公式．14.在32nx x ⎛ ⎝的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是 ． 【答案】7 【解析】本题考查二项式定理的知识，利用二项式的通项来解题.根据题意可得8n =，88831883()((1)?2?2rr r r r r r r r x T C C x x----+==-，令48063r r -==，，可得常数项为7.15.如图,椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ,过F 的直线交椭圆于,A B 两点,点C 是A 点关于原点O 的对称点,若CF AB ⊥且CF AB =,则椭圆的离心率为__________．【答案】63-【解析】 【分析】作另一焦点F ',连接AF '和BF '和CF ',则四边形FAF C '为平行四边,进一步得到三角形ABF '为等腰直角三角形,设AF AB x '==,求出x ,在三角形AFF ' 中由勾股定理得222()()(2)AF AF c '+=,即可求出2e ,则答案可求.【详解】作另一焦点F ',连接AF '和BF '和CF ',则四边形FAF C '为平行四边,所以AF CF AB '==,且AF AB '⊥,则三角形ABF '为等腰直角三角形, 设AF AB x '== ,则24x x x a +=,解得(422)x a =-,(222)AF a =,在三角形AFF ' 中由勾股定理得222()()(2)AF AF c '+=,所以2962,63e e =-=,故答案为63-.【点睛】本题考查了椭圆的几何性质,属中档题.16.已知定义域为R 的函数()f x 满足:当(1,1]x ∈-时，2,10()122,01x xx f x x x -⎧--<≤⎪=+⎨⎪-<≤⎩，且(2)()f x f x +=对任意的x ∈R 恒成立，若函数()()(1)g x f x m x =-+在区间[1,5]-内有6个零点，则实数m 的取值范围是________.【答案】22,53⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】若函数()()()1g x f x m x =-+在区间[]1,5-内有6个零点，则()y f x =与()1y m x =+的图象在区间[]1,5-内有6个交点．画出函数的图象，数形结合可得答案．【详解】()()2f x f x +=对x R ∀∈恒成立，∴函数()f x 的周期为2．又当(]1,1x ∈-时，2,10()122,01x xx f x x x -⎧--<⎪=+⎨⎪-<⎩∴函数()f x 的图象如下图所示：令函数()()()10g x f x m x =-+=， 则()()=+1f x m x ，若函数()()()1g x f x m x =-+在区间内有6个零点，则()=y f x 与()=+1y m x 的图象在区间[-1,5]内有6个交点．()1y m x =+恒过点()-1,0，过()1,0-，()4,2点的直线斜率为25， 过()1,0-，()2,2点的直线斜率为23，根据图象可得：22,53m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭故答案为：22,.53⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的零点，数形结合思想，属于较难题．四､解答題17.已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且23b =，39b =，11a b =，144a b =． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和．【答案】（1）21n a n =-；（2）2312n n -+【解析】 【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，运用通项公式，可得3,2q d ==，进而得到所求通项公式；（2）由（1）求得1(21)3n n n n c a b n -=+=-+，运用等差数列和等比数列的求和公式，即可得到数列{}n c 和．【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ， 因为233,9b b ==，可得323b q b ==，所以2212333n n n n b b q ---==⋅=，又由111441,27a b a b ====，所以1412141a a d -==-，所以数列{}n a 的通项公式为1(1)12(1)21n a a n d n n =+-⨯=+-=-．（2）由题意知1(21)3n n n n c a b n -=+=-+，则数列{}n c 的前n 项和为12(121)1331[13(21)](1393)2132n n n n n n n -+---+++-+++++=+=+-． 【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的分组求和，其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式和前n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 18.已知函数221()cos sin ,(0,)2f x x xx ．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）设ABC 为锐角三角形，角A 所对边a =B 所对边5b =，若()0f A =，求ABC 的面积． 【答案】（1）,2；（2）4【解析】 【分析】（1）利用降次公式化简()f x ，然后利用三角函数单调区间的求法，求得()f x 的单调递增区间. （2）由()0f A =求得A ，用余弦定理求得c ，由此求得三角形ABC 的面积. 【详解】（1）依题意2211()cos sin cos 20,π22f x x xxx ，由2ππ22πk x k -≤≤得πππ2k x k -≤≤，令1k =得ππ2x ≤≤.所以()f x 单调递增区间,2.（2）由于a b <，所以A 为锐角，即π0,02π2A A <<<<.由()0f A =，得11cos 20,cos 222A A +==-，所以2ππ2,33A A ==.由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-⋅，2560c c -+=，解得2c =或3c =.当2c =时，22219cos 02a c b B ac +-==-<，则B 为钝角，与已知三角形ABC 为锐角三角形矛盾.所以3c =.所以三角形ABC 的面积为113153sin 5322bc A =⨯⨯⨯=. 【点睛】本小题主要考查二倍角公式，考查三角函数单调性的求法，考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.19.如图所示，直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AD AB ⊥，22AB BC AD ===，四边形EDCF 为矩形，3CF =，平面EDCF ⊥平面ABCD ．(1)求证：DF 平面ABE ；(2)求平面ABE 与平面EFB 所成锐二面角的余弦值．(3)在线段DF 上是否存在点P ，使得直线BP 与平面ABE 所成角的正弦值为34，若存在，求出线段BP 的长，若不存在，请说明理由． 【答案】（I ）见解析（II ）3131（III ）2BP = 【解析】 试题分析：（Ⅰ）取D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，由题意可得平面ABE 的法向量()3,0,1n =，且(1,3DF =-，据此有0DF n ⋅=，则//DF 平面ABE ．（Ⅱ）由题意可得平面BEF的法向量()23,4m =，结合(Ⅰ)的结论可得531cos 31m n m nθ⋅==⋅，即平面ABE与平面EFB 所成锐二面角的余弦值为31． （Ⅲ）设(),2DP DF λλλ==-，[]0,1λ∈，则()1,2BP λλ=---，而平面ABE 的法向量()3,0,1n =，据此可得3sin cos ,4BP n θ==，解方程有12λ=或14λ=．据此计算可得2BP =．试题解析：（Ⅰ）取D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图，则()1,0,0A ，()1,2,0B ，(E ，(F -，∴(1,BE =--，()0,2,0AB =，设平面ABE 的法向量(),,n x y z =，∴20,20,x y y ⎧--+=⎪⎨=⎪⎩不妨设()3,0,1n =，又(1,DF =-，∴30DF n ⋅=-+=，∴DF n⊥，又∵DF ⊄平面ABE ，∴//DF 平面ABE ．（Ⅱ）∵(1,BE =--，(BF =-，设平面BEF 的法向量(),,m x y z =，∴20,230,x y x z ⎧--+=⎪⎨-+=⎪⎩不妨设()23,4m =，∴cos 231m n m n θ⋅===⋅⋅∴平面ABE 与平面EFB ．（Ⅲ）设(DP DF λλ==-(),2λλ=-，[]0,1λ∈，∴(),2P λλ-， ∴()1,2BP λλ=---，又∵平面ABE 的法向量()3,0,1n =，∴(sin cos ,BP n θλ-===，∴28610λλ-+=，∴12λ=或14λ=．当12λ=时，3,2BP ⎛=-- ⎝⎭，∴2BP =；当14λ=时，53,42BP ⎛=-- ⎝⎭，∴2BP =． 综上，2BP =．20.某班级体育课进行一次篮球定点投篮测试，规定每人最多投3次，每次投篮的结果相互独立.在A 处每投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分，否则得0分.将学生得分逐次累加并用X 表示，如果X 的值不低于3分就判定为通过测试，立即停止投篮，否则应继续投篮，直到投完三次为止.现有两种投篮方案:方案1:先在A 处投一球，以后都在B 处投；方案2:都在B 处投篮.已知甲同学在A 处投篮的命中率为14，在B 处投篮的命中率为45. （1）若甲同学选择方案1，求他测试结束后所得总分X 的分布列和数学期望()E X ； （2）你认为甲同学选择哪种方案通过测试的可能性更大?说明理由. 【答案】（1）分布列见解析，3.15（2）方案2，理由见解析 【解析】 【分析】()1确定甲同学在A 处投中为事件A ，在B 处第i 次投中为事件()1,2i B i =，根据题意知()()14,.45i P A P B ==总分X 的取值为0，2，3，4.利用概率知识求解相应的概率．(2)设甲同学选择方案1通过测试的概率为1P ，选择方案2通过测试的概率为2P ，利用概率公式得出1P ，2P ，比较即可．【详解】（1）设甲同学在A 处投中为事件A ，在B 处第i 次投中为事件(1,2)i B i =， 由已知1()4P A =，()45i P B =. X 的取值为0，2，3，4.则()()()12123113(0)()455100P X P AB B P A P B P B ====⨯⨯=，()()11223413146(2)45545525P X P AB B P AB B ==+=⨯⨯+⨯⨯=， 1(3)()4P X P A ===， ()1234412(4)45525P X P AB B ===⨯⨯=，X 的分布列为:X 的数学期望为:36112315()0234 3.1510025425100E X =⨯+⨯+⨯+⨯==. （2）甲同学选择方案1通过测试的概率为1P ，选择方案2通过测试的概率为2P ， 则111273(3)(4)0.73425100P P X P X ==+==+==， ()()()2121231234414441455555555P P B B P B B B P B B B =++=⨯+⨯⨯+⨯⨯1120.896125==, ∵21P P >，∴甲同学选择方案2通过测试的可能性更大.【点睛】本题主要考查离散型随机变量分布列及数学期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等． 21.已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）． （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．【答案】(Ⅰ) 24x y =-，1y =；(Ⅱ)见解析. 【解析】【分析】(Ⅰ)由题意结合点的坐标可得抛物线方程，进一步可得准线方程；(Ⅱ)联立准线方程和抛物线方程，结合韦达定理可得圆心坐标和圆的半径，从而确定圆的方程，最后令x =0即可证得题中的结论.【详解】(Ⅰ)将点()2,1-代入抛物线方程：()2221p =⨯-可得：2p =，故抛物线方程为：24x y =-，其准线方程为：1y =.(Ⅱ)很明显直线l 的斜率存在，焦点坐标为()0,1-，设直线方程为1y kx =-，与抛物线方程24x y =-联立可得：2440x kx +-=.故：12124,4x x k x x +=-=-.设221212,,,44x x M x N x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12,44OM ON x x k k =-=-， 直线OM 的方程为14x y x =-，与1y =-联立可得：14,1A x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理可得24,1B x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，易知以AB 为直径的圆的圆心坐标为：1222,1x x ⎛⎫+-⎪⎝⎭，圆的半径为：1222x x -， 且：()1212122222x x k x x x x ++==，12222x x -==则圆的方程为：()()()2222141x k y k -++=+，令0x =整理可得：2230y y +-=，解得：123,1y y =-=，即以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点()()0,3,0,1-.【点睛】本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的方程的求解及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.22.已知函数)f x =（a e 2x +(a ﹣2) e x ﹣x . （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）(0,1). 【解析】试题分析：（1）讨论()f x 单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对a 按0a ≤，0a >进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）问，若0a ≤，()f x 至多有一个零点.若0a >，当ln x a=-时，()f x 取得最小值，求出最小值1(ln )1ln f a a a-=-+，根据1a =，(1,)∈+∞a ，(0,1)a ∈进行讨论，可知当(0,1)a ∈时有2个零点.易知()f x 在(,ln )a -∞-有一个零点；设正整数0n 满足03ln(1)n a>-，则00000000()e (e 2)e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->.由于3ln(1)ln a a->-，因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点.从而可得a 的取值范围为(0,1).试题解析：（1）()f x 的定义域为(),-∞+∞，()()()()2221121xx x x f x aea e ae e =+---'=+，（ⅰ）若0a ≤，则()0f x '<，所以()f x 在(),-∞+∞单调递减. （ⅱ）若0a >，则由()0f x '=得ln x a =-.当(),ln x a ∈-∞-时，()0f x '<；当()ln ,x a ∈-+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(),ln a -∞-单调递减，在()ln ,a -+∞单调递增.（2）（ⅰ）若0a ≤，由（1）知，()f x 至多有一个零点.（ⅱ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，最小值为()1ln 1ln f a a a-=-+. ①当1a =时，由于()ln 0f a -=，故()f x 只有一个零点； ②当()1,a ∈+∞时，由于11ln 0a a-+>，即()ln 0f a ->，故()f x 没有零点； ③当()0,1a ∈时，11ln 0a a-+<，即()ln 0f a -<. 又()()4222e 2e 22e 20f a a ----=+-+>-+>，故()f x 在(),ln a -∞-有一个零点. 设正整数0n 满足03ln 1n a ⎛⎫>-⎪⎝⎭，则()()00000000e e 2e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->. 由于3ln 1ln a a ⎛⎫->- ⎪⎝⎭，因此()f x 在()ln ,a -+∞有一个零点. 综上，a 的取值范围为()0,1.点睛:研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数()f x有2个零点求参数a的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断y a 与其交点的个数，从而求出a的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若()f x有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点.。
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济宁一中2020届高三考前冲刺测试一数学试题一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数()ln 1xf x x =-的定义域为（） A ．()0,+∞ B ．()()0,11,⋃+∞ C ．[)0,+∞D ．[)()0,11,⋃+∞2．已知向量a ，b 方满足()2,1a =，()1,b y =，且a b ⊥，则2a b +=（）AB ．C ．5D ．43．某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600，从中抽取60个样本，下面提供随机数表的第4行到第6行： 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第5个样本编号是( ) A ．522B ．324C ．535D ．5784．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为θ，且2tan 3θ=，则该正四棱柱的外接球表面积为（）．A ．26πB ．28πC ．30πD ．32π5．已知在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1b =，c = 且()2sin cos 12cos sin B C C A C +=-，则ABC △的面积是（）A ．4B ．12C ．4或12D ．4或26．设等差数列{}n a 的公差为d ，若2n an b =，则“0d <”是“{}n b 为递减数列”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．将三枚骰子各掷一次，设事件A 为“三个点数都不相同”，事件B 为“至少出现一个6点”， 则概率()A B P 的值为（）A ．6091B ．12C ．518D ．912168．在平行四边形ABCD 中，3A π∠=，2AB =，1AD =，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM CN BCCD=，则AM AN ⋅的最大值为（） A ．2B ．4C ．5D ．6二、多项选择题：在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的． 9．若集合{}sin 21A x x ==，,42k B y y k Z ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则正确的结论有（） A ．A B B ⋃= B ．RRB A ⊆C ．A B ⋂=∅D ．R RA B ⊆10．已知函数()()cos 0,2f x x πωϕϕω⎛⎫=+<⎪⎝⎭>的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（）A ．ωπ=B ．3πϕ=C ．34x =是函数的一条对称轴．D ．()1,04k k Z ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭是函数的对称中心． 11．以下结论中错误．．的有（） A ．经过点()1,1且在x 轴和y 轴上被截距都相等的直线方程为20x y +-=． B ．设,a b R ∈，且0ab ≠，1ab >，则1a b>C ．．若m α⊂，n α⊄，m ，n 是异面直线，那么n 与α相交．D ．以模型kxy ce =去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设ln z y =， 将其变换后得到线性方程0.34z x =+，则c ，k 的值分别是4e 和0.3．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的方程是1x a y ba b--+=(0a b >>)，则下列结论正确的是（）A ．曲线C 关于(),a b 对称B ．22x y +的最小值为2222a b a b+ C ．曲线C 的周长为()2a b +D ．曲线C 围成的图形面积为2ab三、填空题：13．已知等比数列{}n a 满足563a a =，且21a =，则4a =______． 14．设复数21i x i=-（i 是虚数单位），则112233202020202020202020202020C x C x C x C x+++⋅⋅⋅+=______． 15．已知双曲线C 的焦点为()10,2F ，()20,2F -，实轴长为2，则双曲线C 的离心率是______； 若点Q 是双曲线C 的渐近线上一点，且12F Q F Q ⊥，则12QF F △的面积为______． 16．已知函数()21,2152,2x x x f x x +≤⎧=⎨->⎩，若()()07f f f a +=⎡⎤⎣⎦，则a =______． 四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．已知ABC △内接于单位圆，且()()1tan 1tan 2A B ++=， （1）求角C ．（2）求ABC △面积的最大值．18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，且1212n n n a a a ++=+，（1）求证：数列11n n a a ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭为等比数列；（2）求[]100S （[]x 表示不超过x 的最大整数）．19．如图，三棱台111ABC A B C -中，侧面11A B BA 与侧面11A C CA 是全等的梯形，若1AA B A ⊥，111AA AC ⊥，11142B AB A AA ==，（1）若12CD DA =，2AE EB =， 证明：//DE 平面11BCC B ； （2）若二面角11C AA B --为3π，求平面11A B BA 与平面11C B BC 所成的锐二面角的余弦值 20．已知点()2,2P ，圆C ：2208y x y -+=，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点 （1）求M 的轨迹方程；（2）当OP OM =时，求l 的方程及POM △的面积。
21．为丰富学生课外生活，某市组织了高中生钢笔书法比赛，比赛分两个阶段进行：第一阶段由评委给所有参赛作品评分，并确定优胜者；第二阶段为附加赛，参赛人员由组委会按规则另行确定。
数据统计员对第一阶段的分数进行了统计分析，这些分数X 都在[)70,100内，在以组距为5面分数的频率分布直方图（设“Y =频率组距”）时，发现Y 满足8109,1630011,161520n n Y k n n -⎧≤⎪⎪=⎨⎪-⋅>⎪-⎩，n N *∈，()551n X n ≤<+ （1）试确定n 的所有取值，并求k ；（2）组委会确定：在第一阶段比赛中低于85分的参赛者无缘获奖也不能参加附加赛；分数在[)95,100的参赛者评为一等奖；分数在[)90,95的同学评为二等奖，但通过附加赛有111的概率提升为一等奖；分数在[)85,90的同学评为三等奖，但通过附加赛有17的概率提升为二等奖（所有参加附加赛的获奖人员均不降低获奖等级），已知学生A 和B 均参加了本次比赛，且学生A 在第一阶段评为二等奖． （i ）求学生B 最终获奖等级不低于学生A 的最终获奖等级的概率：（ii ）已知学生A 和B 都获奖，记A ，B 两位同学最终获得一等奖的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 22．已知函数()ln g x a x =，()32f x x x bx =++．（1）若()f x 在区间[]1,2上不是单调函数，求实数b 的范围；（2）若对任意[]1,x e ∈，都有()()22gx x a x ++≥-恒成立，求实数a 的取值范围：（3）当0b =时，设()()()1,1,x x F x g f x x =-<⎧⎪⎨≥⎪⎩，对任意给定的正实数a ，曲线()y F x =上是否存在两点P ，Q ，使得POQ △是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由．济宁一中2020届高三考前冲刺一数学试题答案选择1—8BCAADCAC 9—12ABACD ABCABD 填空 13．9 14．0 15．2，16．12或132log 17．【解析】（1）∵()()1tan 1tan 2A B ++=，∴tan tan 1tan tan A B A B +=-⋅， ∴()tan tan tan tan 11tan tan A B C A B A B +=-+=-=--，∵()0,C π∈∴34C π=（2）：ABC △的外接圆为单位圆，∴其半径1R =，由正弦定理可得2sin c R C ==由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，代入数据可得(22222a b ab ab =+≥=+，当且仅当a b =时，“=”成立，∴ab ≤∴ABC △的面积11sin 222S ab C =≤=， ∴ABC △面积的最大值为：18．【解析】（Ⅰ）1212n n n a a a ++=+．所以11111131n nn na a a a ++--=⋅++．故数列11n n a a ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭为等比数列，首项与公比都为13．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：1113n n n a a -=+，即31213131n n n n a -==-++． 1002100210010011111111002100299993131313333S ⎛⎫⎛⎫=-++⋅⋅⋅+>-++⋅⋅⋅+=+> ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭．因此：10099100S <<， 故[]10099S =．19．解：（1）连接1AC ，1BC 在梯形11A C CA 中，112AC A C =因为11A A C C D ⋂=，12CD DA =，所以12AD DA =，∵2AE EB =，∴1//DE BC ∵1BC ⊂平面11BCC B ，DE ⊄平面11BCC B 所以//DE 平面11BCC B (2)∵111AA AC ⊥，∴1AA AC ⊥ ∵1AA AB ⊥，∴3BAC π∠=，在平面内过点A 作AC 的垂线，尽量如图所示坐标系则11AA =，11112A A B C ==，4AC =()10,0,1A ，()0,4,0C，()B，)1B平面11A B BA 的法向量为(),,m x y z =，则1232030mAB x y m AB x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩，∴()1,m = 同理得平面11C B BC 的法向量为(1,3,n = ∴1cos 4θ=-所以平面11A B BA 与平面11C B BC 所成的锐二面角的余弦值14． 20．解析：（1）圆的标准方程，()22416y x +-= 设22AB y k x -=-，4CM y k x -=，圆心()0,4C ， 则22ABy k x -=-，4CM y k x -=所以2412AB CM y y k k x x--==-- 化简得，222680y x y x +-++=（2）依题意，OP =M 也在228x y +=上所以222282680y y x y x x ⎧+=⎪⎨+-++=⎪⎩两式相减得，12606x y +-=-即380x y +-= 设M 轨迹圆心为N 则()1,3N所以，d =又，NP ==所以，MP== O 到l 的距离h =所以，11625s ==综上，l 的方程是380x y +-=，POM △的面积是165． 21．（1）根据题意，X 在[)70,100内，按组距为5可分成6个小区间， 分别是[)70,75，[)75,80，[)80,85，[)85,90，[)90,95，[)95,100， ∴70100X ≤<，由()551n X n ≤<+,n ∈*N ,14,15,16,17,18,19n =．每个小区间的频率值分别是8109,14,15,16605115,17,18,19320n n P Y k n n -⎧=⎪⎪==⎨⎪-⋅=⎪-⎩由3111911151160606032k ⎛⎫+++-++= ⎪⎝⎭，解得350k =． ∴n 的所有取值为14,15,16,17,18,19，350k =． （2）（i ）由于参赛学生很多，可以把频率视为概率．由（1）知，学生B 的分数属于区间[)70,75，[)75,80，[)80,85，[)85,90，[)90,95，[)95,100的概率分别是：360，1160，1960，1460，1160，260． 我们用符号ij A （或ij B )表示学生A （或B ）在第一轮获奖等级为i ，通过附加赛最终获奖等级为j ，其中j i ≤(i ,1,2,3j =)．记“学生B 最终获奖等级不低于学生A 的最终获奖等级”为事件W ，则()()()()()()()()1212222322212122223222P W P B B B A B A P B P B P B P A P B P A =+++=+++2111111010141105160601160111160711220=+⋅+⋅⋅+⋅⋅=． （ii ）学生A 最终获得一等奖的概率是()21111P A =．学生B 最终获得一等奖的概率是()12121112116060272711272796060P B B ''+=+⋅=+=，()118001111999P ξ⎛⎫⎛⎫==--=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()11111811111911999P ξ⎛⎫⎛⎫==⋅-+-⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()111211999P ξ==⋅=， ∴ξ的分布列为：01299999999E ξ=⋅+⋅+⋅=． 22．（1）由()32b x x f x x ++=得()223x b f x x '++=，因()f x 在区间[]1,2上不上单调函数 所以()223x b f x x '++=在[]1,2上最大值大于0，最小值小于0()223112333x b x b f x x ⎛⎫++=++- ⎪⎝⎭'=∴()()max min165f x f x bb '⎧=+⎪⎨'=+⎪⎩，∴165b -<<-（2）由()()22a x g x x ++≥-，得()22ln x x a x x -≤-∵[]1,x e ∈，∴ln 1x x ≤≤，且等号不能同时取，∴ln x x <，即ln 0x x ->∴22ln x x a x x -≤-恒成立，即2min2ln x x a x x ⎛⎫-≤ ⎪-⎝⎭令()22ln x xt x x x -=-（[]1,x e ∈），求导得()()()()2122ln ln x x x t x x x -+-'=- 当[]1,x e ∈时，10x -≥，0ln 1x ≤≤，22ln 0x x +->，从而()0t x '≥()t x 在[]1,e 上是增函数，∴()()max 11t x t ==-∴1a ≤-（3）由条件，()32,1ln ,1x x x F x a x x ⎧-+<=⎨≥⎩假设曲线()y F x =上存在两点P ，Q 满足题意，则P ，Q 只能在y 轴两侧不妨设()()(),0P t F t t >，则()32,Q t t t -+，且1t ≠∵POQ △是以Q 为直角顶点的直角三角形，∴0OP OQ ⋅=∴()()()2320t F t t t -++*是否存在P ，Q 等价于方程()*在0t >且1t ≠是否有解①当01t <<时，方程()*为()()232320t t t t t -+-++=，化简4210t t -+=，此方程无解；②当1t >时，方程()*为()232ln 0t a t t t -++=，即()11ln t t a =+ 设()()()1ln 1h t t t t =+>，则()1ln 1h t t t'=++ 显然，当1t >时，()0h t '>，即()h t 在()1,+∞上为增函数∴()h t 的值域为()(),h t +∞，即()0,+∞，∴当0a >时，方程()*总有解∴对任意给定的正实数a ，曲线()y F x =上存在两点P ，Q ，使得POQ △是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在y 又轴上．。