拉普拉斯方程

拉普拉斯方程，也称为谐波方程和势方程，是一种偏微分方程，最早由法国数学家拉普拉斯提出。

拉普拉斯方程是液体表面曲率和液体表面压力之间关系的公式。

曲面称为曲面。通常，使用两个相应的曲率半径来描述表面，即在表面上的某个点处绘制垂直于该表面的直线，然后通过该线制作一个平面。平面和表面的截面是曲线，并且在该点与曲线相切的圆的半径称为曲线的曲率半径R1。第二剖面线及其曲率半径R2可以通过使第二平面垂直于第一平面并与表面相交来获得。液面的弯曲可以用R1和R2表示。如果液体表面弯曲，则液体P1内部的压力将与液体外部的压力P2不同，并且液体表面的两侧之间将存在压力差△P = P1-P2，这称为附加压力。压力。其值与液体表面的曲率有关，可以表示为：其中γ是液体的表面张力系数，称为拉普拉斯方程。

在数学公式中

拉普拉斯方程是：其中∥是拉普拉斯算子，而这里的拉普拉斯方程是二阶偏微分方程。在三维情况下，拉普拉斯方程可按以下形式描述。可以将问题简化为求解对于实变量X，y和Z可二阶微分的实函数φ

∇2称为拉普拉斯算子。

拉普拉斯方程的解称为谐波函数。

如果在等号右边是给定的函数f（x，y，z），即：

然后将该方程称为泊松方程。拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆偏微分方程。偏微分算子（可以在任何维空间中定义）称为拉

普拉斯算子。

方程解

它称为谐波函数，可以在建立方程的区域进行分析。如果任何两个函数满足拉普拉斯方程（或任何线性微分方程），则这两个函数的总和（或它们的任何线性组合）也满足上述方程。这种非常有用的特性称为叠加原理。根据这一原理，可以将已知的复杂问题的简单特殊解组合起来，以构建具有更广泛适用性的一般解。