13.4.最短路径(2)—造桥选址问题
造桥选址问题案例设计甘晓云
六、小结提升
（一）要使所得到的路径最短，就是要通过平移，使除河宽不变外，其他路径经平移后能在一条直线上.最后还是应用“两点之间，线段最短”解决问题.
（二）综合问题1、2，在解决最短路径问题时,我们通常可以利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择.
方法2：如图6，将点A沿与第一条河流垂直的方向平移一个河宽到A1，将B沿与第二条河垂直的方向平移一个河宽到B1，连接A1B1与两条河分别相交于N、P，在N、P两处，分别建桥MN、PQ，所得路径AQPMNB最短.
设计意图：拓展1是直接对问题2所总结方法的直接应用，加深对问题2的理解.
拓展2：如图9，如果在上述条件不变的情况下，两条河不平行，又该如何建桥？
所以，基于以上分析，确定本节课的重点：利用平移将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．
二、目标与目标解析
（一）目标
能利用平移解决某些最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化和化归的思想.
（二）目标解析
本节课所要达成的目标，一是能将实际问题中的“地点”、“河”抽象为数学中的“点”、“线’,把实际问题抽象为数学的线段和最小问题；二是能利用平移将和最小问题转化为“两点之间，线段最段”问题；三是能通过逻辑推理证明所求距离最短；四是在探索最短路径的过程中，体会平移的“桥梁”作用，感悟数学转化思想.
针对学生可能出现的问题，我的教学策略是这样的：
通过创设具有启发性、学生感兴趣的、有助自主学习和探索的问题情境，使学生在活动丰富、思维积极的状态中进行探究学习，在教学过程中，将学生以6个人为一个小组，通过小组讨论交流学案的形式，相互配合，提出问题，并积极的解决问题，通过讨论、交流得到解决方法，培养学生的合作学习能力.并结合几何画板演示加深学生的理解。在教学模式上，以学生为主体，将课堂还给学生，给学生一个充分展示自己的舞台，在小组合作探究后，让学生代表在白板上演示自己小组的成果展示，使学生在这个过程中获得成功的体验，从而激发对数学的激情。在这节课堂教学中，充分利用白板、几何画板等现代多媒体工具，使学生对抽象、复杂的关系有了更直接、明了具体的感观，激发学生对数学的兴趣.
13.4课题学习最短路径问题
P
C
M ’
本节课你有什么收获？
①学习了利用轴对称解决最短路径问题 ②感悟和体会转化的思想
补偿提高
如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山 脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返 回P 处，请画出旅游船的最短路径． C 山
Q
P
河岸
A
大桥
B
思路分析： 由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线 段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为 一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q 在直线BC 的同侧，如何在BC上找到 C 一点R，使PR与QR 的和最 Q 河岸 山 小”． P A
B
A C
l
两点之间，线段最短.
B
分析：
B
A A C
l
C
lBBiblioteka （1）这两个问题之间，有什么相同点和不同点？ （2）我们能否把左图A、B两点转化到直线l 的异侧呢？
（3）利用什么知识可以实现转化目标？
如图，作点B关于直线 l 的对称点B′ . 当点C在直线 l 的什么位置时，AC与CB′的和最小？
B A C
思考：
你能把这个问题转化 为数学问题吗？
如图假定任选位置造桥MN， 连接AM和BN，从A到B的路径是 AM+MN+BN，那么折线AMNB在什 么情况下最短呢？
A M
a b
N
B
由于河宽是固定的，因此当 AM+NB最小时，AM+MN+NB最小.
分析：
A A' N M
a
b
A C
l
B
B
如图，如果将点A沿与河岸垂直的方向平移到点A′， 使AA′等于河宽，则AA′=MN，AM=A′N，问题转化为：当 点N在直线b的什么位置时，A′N+NB最小？ 参考右图，利用“两点之间，线段最短”可以解决.
13.4轴对称之最短路径问题人教版2024—2025学年八年级上册
13.4轴对称之最短路径问题人教版2024—2025学年八年级上册二、例题讲解例1.如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知线段AB＝4，DE＝2，BD＝8，设CD＝x．（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE最小？最小为多少？（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求代数式的最小值．变式1.如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连结AC，EC，已知AB＝5，DE＝1，BD＝8．（1）请问点C什么位置时AC+CE的值最小？最小值为多少？（2）设BC＝x，则AC+CE可表示为，请直接写出的最小值为．例2.如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）A．B．C．D．变式1.如图，在⊥ABC中，BA＝BC，BD平分⊥ABC，交AC于点D，点M、N 分别为BD、BC上的动点，若BC＝10，⊥ABC的面积为40，则CM+MN的最小值为．变式2.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为8，面积是24，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF 上一动点，则⊥CDM的周长的最小值为（）A．7B．8C．9D．10变式3.如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点．（1）点D的坐标为；（2）若E为边OA上的一个动点，当⊥CDE的周长最小时，求点E的坐标．例3.如图，⊥AOB内一点P，P1，P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N．若⊥PMN的周长是6cm，则P1P2的长为（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm变式1.已知点P在⊥MON内．如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P 关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP．（1）若⊥MON＝50°，求⊥GOH的度数；（2）如图2，若OP＝6，当⊥P AB的周长最小值为6时，求⊥MON的度数．变式2.如图，⊥MON＝45°，P为⊥MON内一点，A为OM上一点，B为ON上一点，当⊥P AB的周长取最小值时，⊥APB的度数为（）A．45°B．90°C．100°D．135°变式3.如图，⊥AOB＝30°，P是⊥AOB内的一个定点，OP＝12cm，C，D分别是OA，OB上的动点，连接CP，DP，CD，则⊥CPD周长的最小值为．变式4.如图，在五边形中，⊥BAE＝140°，⊥B＝⊥E＝90°，在边BC，DE上分别找一点M，N，连接AM，AN，MN，则当⊥AMN的周长最小时，求⊥AMN+⊥ANM 的值是（）A．100°B．140°C．120°D．80°例4.如图，在⊥ABC中，AB＝AC，⊥A＝90°，点D，E是边AB上的两个定点，点M，N分别是边AC，BC上的两个动点．当四边形DEMN的周长最小时，⊥DNM+⊥EMN的大小是（）A．45°B．90°C．75°D．135°变式1.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（4，0），C（m+2，2），D（m，2），当四边形ABCD的周长最小时，m的值是（）A．B．C．1D．变式2.如图，在四边形ABCD中，⊥B＝90°，AB⊥CD，BC＝3，DC＝4，点E 在BC上，且BE＝1，F，G为边AB上的两个动点，且FG＝1，则四边形DGFE 的周长的最小值为．例5.如图，⊥AOB＝20°，点M、N分别是边OA、OB上的定点，点P、Q分别是边OB、OA上的动点，记⊥MPQ＝α，⊥PQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，则β﹣α的值为（）A．10°B．20°C．40°D．60°变式1.如图，∠AOB＝20°，M，N分别为OA，OB上的点，OM＝ON＝3，P，Q分别为OA，OB上的动点，求MQ+PQ+PN的最小值。
〖2021年整理〗《最短路径问题2》名师优秀教案
课题学习最短路径问题（第二课时）造桥选址问题（邹敏）一、教学目标：（一）学习目标1熟练应用轴对称变换知识，提高解决实际问题的能力；2学会利用平移变换知识解决造桥选址的最短路径问题；3体会平移变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．（二）教学重点教学重点：利用平移将“造桥选址”的实际问题转化为“两点之间，线段最短”问题（三）教学难点教学难点：如何利用平移将最短路径问题转化为线段和最小问题二、教学设计（一）课前设计1预习任务⑴平移不改变图形的和;⑵三角形三边的数量关系：三角形任意两边的差第三边;⑶如图，直线AB，CD且AB∥CD，在直线AB上任取不同两点NMBC DA P Q图1图3图2BA PBAP BA PlBAlPAB l图1CA'BADCE FA DCE FFE FQP CA B DE（图2）E F'DCBA F lBAlPABFDCABE（图1）DCBAF1212AC BC AB ⋅6810⨯2452451212245GE FCA BP ，BD =30m ，且CD =30m ．现在要在河流CD 上建立一个泵站、N 分别在边OA 、OB 上，且OM =1，ON =3，点、N 分别在边OA 、OB 上的定点，作M 关于OB 的对称点M ′，作N 关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为M′OB=∠AOB=30°，O N′=ON=3，OM′=OM=1，∴∠N′OM′=90°，∴在Rt△M′ON′中，M′N′=2231=10．故答案为10．【答案】10自助餐1 如图，小河CD边有两个村庄A村、B村，现要在河边建一自来水厂E为A村与B村供水，自来水厂建在什么地方到A村、B村的距离和最小？请在下图中找出点E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）【知识点】轴对称知识，两点之间线段最短【思路点拨】利用轴对称求最短路线的方法得出A点关于直线CD的对称点A′，再连接A′B交CD 于点E，即可得出答案．【解题过程】如图所示，点E即为所求．2 如图，在一条笔直的公路旁修建一个仓储基地，分别给A、B两个超市配货，那么这个基地建在什么位置，能使它到两个超市的距离之差即｜lBAlPABlCB'BAD ABCE FP 为直线AB 上的一动点，过M 作轴的垂线，垂足为点N ，连接＋MN ＋NQ 的最小值；xy C QP O AB【知识点】平移知识，两点之间线段最短【思路点拨】将直线AB 和轴看作河的两岸，点→N →Q ，如图所示，而MN 是定值，于是要使路程最短，只要N 到＋MN ＋′，连接，则N ＋NQ 的最小值为线段yM N Q'P'C QP O A B，则N ＋NQ的最小值为线段N 的长．又易得22''C Q C P +2268+＋MN ＋NQ 的最小值为102=12【答案】N ＋NQ 的最小值为12。
人教版八年级上册数学课题学习造桥选址问题课件
交所直以线问a题于还点可M以，转当化点为N在：直当线点bN的在什直
么线位b的置什时么，位AM置+时M，N+ANMB+最N小B最？小？
思维分析
人教版八年级上册数学课题学习造桥 选址问 题课件
人教版八年级上册数学课题学习造桥 选址问 题课件
拓展应用
拓展1：如图，如果A、B两地之间有两
条平行的河，我们要建的桥都是与河岸
垂直的。我们如何找到这个最短的距离
呢？
A
河流1
方法
人教版八年级上册数学课题学习造桥 选址问 题课件
图像
河流2 B
பைடு நூலகம்
人教版八年级上册数学课题学习造桥 选址问 题课件
方法：将点A沿与第一条河流垂直的 方向平移一个河宽到A1，将B沿与第 二条河垂直的方向平移一个河宽到B1， 连接A1B1与两条河分别相交于P、M， 在P、M两处，分别建桥PQ 、 MN， 所得路径AQPMNB最短。
人教版八年级上册数学课题学习造桥 选址问 题课件
13.4 课题学习 最短路径问题（2）
造桥选址问题
人教版八年级上册数学课题学习造桥 选址问 题课件
人教版八年级上册数学课题学习造桥 选址问 题课件
教学目标
1、知识与技能： 理解利用平移的方法，解决最短路径问题。 2、过程与方法： （1）在观察、操作、归纳等探索过程中，培养 学生的实际动手能力； （2）在运用知识解决有关问题的过程中，体验 并掌握探索、归纳最短路径选取的方法。 3、情感、态度与价值观 （1）体会数学与现实生活的联系，增强克服困 难的勇气和信心； （2）会应用数学知识解决一些简单的实际问题， 增强应用意识； （3）使学生进一步形成数学来源于实践，反过 来又服务于实践的辩证唯物主义观点。
人教版数学八年级上册13.4课题学习最短路径造桥选址实验教学探究优秀教学案例
4.鼓励学生积极参与评价，培养学生的评价能力和批判性思维。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教师通过一个有趣的现实生活中的选址问题，如“如何在两个村庄之间建一座桥，使得两地之间的距离最短？”引起学生的兴趣。
2.学生尝试用自己的知识解决此问题，教师引导学生思考问题的方法论。
人教版数学八年级上册13.4课题学习最短路径造桥选址实验教学探究优秀教学案例
一、案例背景
人教版数学八年级上册13.4课题学习“最短路径造桥选址实验教学”探究优秀教学案例，是基于学生在学习了平面直角坐标系、一次函数和二次函数等知识的基础上，对“线性规划”的初步认识。此章节内容旨在让学生通过实验探究，掌握线性规划的基本方法，解决实际问题。
在教学过程中，我以“最短路径造桥选址”为例，让学生结合生活实际，探讨如何在一个城市中选择最佳的桥梁建设位置，以达到连接两个区域、节省路程、提高效率的目的。通过对问题的探究，引导学生运用所学的数学知识，解决实际问题，提高学生的实践能力和创新能力。
在教学设计上，我充分考虑了学生的认知规律和兴趣，将抽象的数学知识与具体的生活情境相结合，以实验教学为主线，让学生在动手操作、观察分析、合作交流的过程中，掌握线性规划的方法。同时，我注重引导学生进行思考，激发学生的学习兴趣，培养学生的自主学习能力。
4.全面提高学生的数学素养：通过对实际问题的解决，本节课不仅使学生掌握了线性规划的基本方法，还培养了学生的观察力、动手能力、思维能力、沟通能力和团队协作能力，全面提高了学生的数学素养。
5.教学策略灵活多样：教师根据学生的认知规律和兴趣，采用了情景创设、问题导向、小组合作等多种教学策略，使学生在轻松愉快的氛围中学习，提高了教学效果。
人教版数学八年级上册13.4 课题学习 最短路径问题课件(共27张PPT)
A∙ 请小组讨论证明这个结论吧！
A′
M′ a M
b
N′
N
∙B
13.4 最短路径问题
证明
证明：在直线b上另外任意取一点N′，过点N′作N′M′⊥a，垂足为M′，
连接AM′，A′N′，N′B.
∵在△A′N′B中，A′B<A′N′+BN′，
∴A′N+NB<A′N′+BN′. 即A′N+NB+MN<A′N′+BN′+M′N′. ∴AM+NB+MN<AM′+BN′+M′N′， 即AM+NB+MN的值最小.
13.4 最短路径问题
解：∵点B 和 点C 关于直线 AD 对称， ∴BF = CF . 求BF + EF 最小值，只需 CF + EF 最小. 连接EC，线段 CE 的长即为 BF + EF 的最 小值. ∵D、E 是等边△ABC 中 BC、AB 的中点， ∴CE = AD = 5. ∴BF+EF的最小值为5.
路程最短？ C
A
D
A1
A C
C1 D1 E
E1 B B1
C1 B
解：如图，作 AA1⊥CD，且 AA1 = 河宽，作 BB1⊥CE，且 BB1 = 河宽， 连接 A1B1，与内河岸相交于 E1，D1. 过 E1，D1作河岸的垂线段 EE1 、 DD1，即为桥.
13.4 最短路径问题
13.4 最短路径问题
学习目标 1. 利用轴对称、平移等变化解决简单的最短路径问题. 重点
2. 体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感受由实际问题转化为
数学问题的思想. 难点
13.4.最短路径(2)—造桥选址问题电子教案
13.4.最短路径(2)—
造桥选址问题
精品资料
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2
13.4造桥选址问题
一．学习目标：
1、能利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形的变化在解决最值问题中的作用;感悟转化思想.
2、在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想. 二．重点难点：
学习重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间,线段最短”问题. 学习难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题． 三．合作探究：（同学合作，教师引导） 1．温故知新：
前面我们研究过最短路径问题，求最短路径的依据有：
（1） . （2） . 2．探究新知： 问题2 造桥选址问题
如图,A 和B 两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN.桥建在何处才能使从A 到B 的路径AMNB 最短?(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直)
思维分析：
1.如右图假定任选位置造桥MN,连接AM 和BN,从A 到B 的路径是AM+MN+BN,那么怎样确定什么情况下最短呢?
2.利用上面的“求最短路径的依据”解决问题:我们遇到了什么障碍呢?
四．感悟与反思：
A ·
· B
A ·
· B。
13.4+课题学习+最短路径问题+同步课件-2024-2025学年人教版数学八年级上册
？转化？ 实际问题
数学问题
新知ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ究
知识点1 牧人饮马问题 把河边l近似地看成一条直线
B B
A
A
l
C
l
问题转化一：那么该实际问题就转化为这样的数学问题： 如图，点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点C， 使得AC+CB的最小？
新知探究
知识点1 牧人饮马问题 如图，点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点C， 使得AC+CB的最小？
A 你找到的是哪个点？
l 依据：“两点之间，线段最短”.
B
新知探究
知识点1 牧人饮马问题
引例 若点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点， 使得这个点到点A、点B的距离的和最短？
A
作法：连接AB,与直线l相交于一点C. 点C即为所求作的点.
C l
B
新知探究
知识点1 牧人饮马问题 问题1 如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B 地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
CE即可，线段CE的长即为BF+EF的最小值.
新知探究
知识点1 牧人饮马问题
思考：作点E关于AD的对称点可 以吗？为什么不选择这个方法？
新知探究
知识点2 造桥选址问题 问题2 如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN. 桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的 直线，桥要与河垂直）
A C′
在的位置即为所求作的点（C）.
B
C l
B′
新知探究
知识点1 牧人饮马问题
例1 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，
人教版八年级数学上册13.4《课程学习 最短路径问题》教学设计(优质获奖)
《课题学习：最短路径问题》教学设计一、课程标准解读及地位作用（1）课程标准解读：《课题学习：最短路径问题》属于综合与实践这一部分，这节课就是综合运用所学的数学思想、方法、知识、技能解决一些生活和社会中的问题，以实际生活中的问题为载体，以学生自主参与为主的学习活动，是培养学生应用意识、创新意识、过程经验很重要的载体，通过课题学习能够把知识系统化，解决一些实际问题。
针对问题情境，学生借助所学知识和生活经验独立思考或与他人合作，经历发现问题和提出问题、分析问题和解决问题的全过程，感悟数学各部分内容之间、数学与实际生活之间及其他学科的联系，激发学生学习数学的兴趣，加深学生对所学数学内容的理解。
这种类型的课程应该“少而精”的原则，保证每学期至少一次，可以在课堂上完成，也可以将课内外结合.（2）地位及作用：《课题学习：最短路径问题》位于人教版八年级上第十三章《轴对称》，为让学生能灵活的运用两点之间线段最短、合理使用轴对称、平移等解决最短路径问题而设置的一节课。
本节课是在学习轴对称、等腰三角形的基础上，引导学生探究如何利用线段公理解决最短路径问题。
它既是轴对称、平移、等腰三角形知识运用的延续，又能培养学生自主探究，学会思考，在知识与能力转化上起到桥梁作用．二、教学内容和内容解析1、内容：利用轴对称研究某些最短路径问题．2、内容解析：最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等进行变换进行研究.这节课我以数学史中的一个经典问题---将军饮马问题为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小值问题，再利用轴对称将线段和最小值问题转化为“两点之间，线段最短”问题。
基于以上分析，确定本节课的教学重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题.三、目标和目标解析1、目标：能利用轴对称能利用轴对称和平移变换解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．2、目标解析：达成目标的标志是：学生能将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线”，经历将实际问题抽象为数学的线段和最小值问题的过程；能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会轴对称“桥梁“的作用，感悟转化思想．四、教学问题诊断分析最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中生，在此前很少涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手。
13.4《最短路径问题(2)》教案
13.4课题学习最短路径问题（第二课时）13.4.2 造桥选址问题一、教学目标：（一）学习目标1.熟练应用轴对称变换知识，提高解决实际问题的能力；2.学会利用平移变换知识解决造桥选址的最短路径问题；3.体会平移变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．（二）教学重点教学重点：利用平移将“造桥选址”的实际问题转化为“两点之间，线段最短”问题（三）教学难点教学难点：如何利用平移将最短路径问题转化为线段和最小问题二、教学设计（一）课前设计1.预习任务⑴平移不改变图形的和;⑵三角形三边的数量关系：三角形任意两边的差第三边;⑶如图，直线AB，CD且AB∥CD，在直线AB上任取不同两点P、Q，过P、Q 分别作CD的垂线，垂足分为M、N，则PM与QN的大小关系为（）A．PM＞QN B．PM＝QN C．PM＜QN D．不能确定答案：⑴形状，大小；⑵小于；⑶B2.预习自测⑴直线AB上有一点P，当点P在时，P A+PB有最小值，最小值为AB 的值；⑵直线AB上有一点P，当点P在时，PB-P A等于AB的值；⑶直线AB上有一点P，当点P在时，P A-PB等于AB的值；【知识点】线段的和差【数学思想】分类讨论，数形结合【思路点拨】直线AB上有一点P，此时点P与线段AB的位置关系有两种：①如图1，点在线段AB上；②如图2和图3，点在线段BA的延长线上或点在直线AB的延长线上.【解题过程】⑴当点P在线段AB上时，如图1，P A+PB=AB即P A+PB最小值为AB的值；⑵当点P在线段BA的延长线上时，如图2，PB-P A=AB；⑶当点P在线段AB的延长线上时，如图3，P A - PB =AB；【答案】⑴线段AB上；⑵线段BA的延长线上；⑶线段AB的延长线上.⑷如图，点A、B在直线l的同侧，在直线l上能否找到一点P，使得｜PB－P A｜的值最大？【知识点】两点之间线段最短，三角形两边的差小于第三边【思路点拨】当点P、点A、点B不共线时，根据“三角形任意两边的差小于第三边”，则｜PB－P A｜＜AB；当点P与A、B共线，点P在线段BA的延长线上时，即点P为直线AB与直线l的交点，则｜PB－P A｜=AB.【解题过程】⑴当点P在直线l上且点P、点A、点B不共线时｜PB－P A｜＜AB；⑵当点P在线段BA的延长线与直线l的交点时，如图，PB-P A=AB，即｜PB－P A｜=AB；【答案】如图，连接BA并延长交直线l 于P，此时｜PB－P A｜的值最大. （二）课堂设计1.知识回顾⑴在平面内，一个图形沿一定方向、移动一定的距离，这样的图形变换称为平移变换（简称平移）. 平移不改变图形的形状和大小.⑵三角形三边的数量关系：三角形两边的差小于第三边2.问题探究探究一运用轴对称解决距离之差最大问题●活动①回顾旧知，引入新知师：上节课我们认识了精通数学、物理学的学者海伦，解决了数学史中的经典问题——“将军饮马问题”，但善于观察与思考的海伦在解决“两点（直线同侧）一线”的最短路径问题时他从另一角度发现了“最大值”的情况：●活动②整合旧知，探究新知例1. 如图，A、B两点在直线l的异侧，在直线l上求作一点C，使｜AC－BC｜的值最大．【知识点】轴对称变换，三角形三边的关系【思路点拨】根据轴对称的性质、利用三角形三边的关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法.此题的突破点是作点A(或点B)关于直线l的对称点A′(或B′)，利用三角形任意两边之差小于第三边，再作直线A′B(AB′)与直线l交点C.【解题过程】如图1所示，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A′，A′B的延长线交l于点C，则点C即为所求．●活动③类比建模，证明新知师：回忆我们是怎么利用轴对称的知识证明“两点（直线同侧）一线型”时AC +BC 最小的吗？试类比证明“｜AC－BC｜最大”的作法是否正确性？理由：在直线l上任找一点C ′ (异于点C )，连接CA，C′A，C′A′，C′B.因为点A，A′关于直线l对称，所以l为线段AA′的垂直平分线，则有CA＝CA′，所以CA－CB＝CA′－CB＝A′B.又因为点C′在l上，所以C′A＝C′A′.又在△A′BC′中，C′A－C′B ＝C′A′－C′B＜A′B，所以C′A′－C′B＜CA－CB.练习点A、B均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系，如图所示.若P是x轴上使得|PA－PB|的值最大的点，Q是y轴上使得QA+QB的值最小的点，请在图中画出点P与点Q.【知识点】两点之间线段最短，三角形任意两边的差小于第三边，三角形任意两边的和大于第三边【思路点拨】当点P与A、B共线时，即在线段AB的延长线上，点P为直线AB 与x轴的交点，则此时P是x轴上使得|PA－PB|的值最大的点，即｜P A－PB｜=AB. 将点A、B看成y轴同侧有两点：在y轴上求一点Q，使得QA+QB最小【解题过程】⑴延长线段AB，AB与x轴交于点P，则此时P是x轴上使得|PA －PB|的值最大的点，即｜P A－PB｜=AB；⑵作点A关于x轴的对称点A′，A′B 的连线交y轴于点Q，则点Q是y轴上使得QA+QB的值最小的点.【答案】如图，点P与点Q即为所求：探究二利用平移解决造桥选址问题★▲●活动①结合实际，难点分解师：常说“遇山开路，遇水搭桥”，生活中的建桥问题与我们所学习的轴对称有什么关系呢？如图，在笔直河岸CD上的点A处需建一座桥，连接河岸EF，且CD∥EF.显然当桥AB垂直于河岸时，所建的桥长最短.●活动②生活中的实际问题例2. 如图，A、B两地位于一条河的两岸，现需要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）【知识点】平移知识，两点之间线段最短【思路点拨】需将实际问题抽象成数学问题：从点A到点B要走的路线是A→M→N→B，如图所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AM＋BN最短即可．如图1，此时两线段AM、BN应在同一平行方向上，平移MN到A A′，则A A′=MN，AM+NB=A′N+NB，这样问题就转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N+NB最小？如图2，连接A′，B两点的线中，线段A′B最短，因此，线段A′B与直线b的交点N的位置即为所求，即在点N处造桥MN，所得路径A→M→N→B是最短的.图1【解题过程】⑴如图2，平移MN到AA′（或者过点A作A A′垂直于河岸），且使AA′等于河宽．⑵连接BA′与河岸的一边b交于点N.⑶过点N作河岸的垂线交另一条河岸a于点M.【答案】如图所示，则MN为所建的桥的位置．图2●活动③几何证明上述作图为什么是最短的？请你想想.先让学生小组合作完成，进行展示、分享.证明：由平移的性质，得MN∥AA′，且MN= AA′，AM=A′N，AM∥A′N，所以A、B两地的距离:AM+MN+BN= AA′+ A′N+ BN = AA′+ A′B.如图2，不妨在直线b上另外任意取一点N′，若桥的位置建在N′M′处，过点N′作N′M ′⊥a，垂足为M ′，连接AM ′，A′N ′，N ′B.由平行知：AM′=A′N′，AA′= N′M′，则建桥后AB 两地的距离为：AM′+M′N′+N′B=A′N′+AA′+N′B=AA′+A′N′+N′B. 在△A′N′B中，∵A′N′+N′B＞A′B，∴AA′+A′N′+N′B＞AA′+A′B，即AM′+M′N′+N′B＞AM+MN+BN.所以桥建在MN处，AB两地的路程最短.【设计意图】利用平移等变换把问题转化为容易解决的已知问题，从而做出最短路径的选择.练习如图1，江岸两侧有A、B两个城市，为方便人们从A城经过一条大江到B城的出行，今欲在江上建一座与两岸垂直的大桥，且笔直的江岸互相平行.应如何选择建桥的位置，才能使从A地到B地的路程最短？【知识点】平移的知识，两点之间线段最短【思路点拨】从A到B要走的路线是A→M→N→B，如图所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AM＋BN最短即可．此时两线段应在同一平行方向上，平移MN到AC，从C到B应是余下的路程，连接BC的线段即为最短的，此时不难说明点N即为建桥位置，MN即为所建的桥．【解题过程】(1)如图2，过点A作AC垂直于河岸，且使AC等于河宽；(2)连接BC与河岸的一边交于点N；(3)过点N作河岸的垂线交另一条河岸于点M.【答案】如图2所示，则MN为所建的桥的位置．3. 课堂总结知识梳理本堂课主要知识为两个最值问题：（1）利用轴对称知识解决“线段距离之差最大”问题；（2）利用平移、两点间线段最短解决“造桥选址”问题．重难点归纳解决线段最值问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题．⑴“距离之差最大”问题的两种模型：①如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大；②如果两点在一条直线的异侧时，先作其中一点关于直线的对称点，转化为①即可.通常求最大值或最小值的情况，常取其中一个点的对称点来解决，而用三角形三边的关系来推证说明其作法的正确性．⑵“造桥选址”问题的关键是把各条线段转化到一条线段上．解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．（三）课后作业基础型自主突破1.如图，A、B两点分别表示两幢大楼所在的位置，直线a表示输水总管道，直线b表示输煤气总管道．现要在这两根总管道上分别设一个连接点，安装分管道将水和煤气输送到A、B两幢大楼，要求使铺设至两幢大楼的输水分管道和输煤气分管道的用料最短．图中，点A′是点A关于直线b的对称点，A′B分别交b、a于点C、D；点B′是点B关于直线a的对称点，B′A分别交b、a于点E、F．则符合要求的输水和输煤气分管道的连接点依次是（）A．F和C B．F和E C．D和C D．D和E 【知识点】最短路径问题．【思路点拨】图中隐含了两个“两点（同侧）一线型”的模型.【解题过程】由轴对称的最短路线的要求可知：输水分管道的连接点是点B关于a的对称点B′与A的连线的交点F，煤气分管道的连接点是点A关于b的对称点A′与B的连线的交点C．故选A．【答案】A2. 如图所示，一面镜子MN竖直悬挂在墙壁上，人眼O的位置与镜子MN上沿M处于同一水平线．有四个物体A、B、C、D放在镜子前面，人眼能从镜子看见的物体有（）A.点A、B、CB. 点A、B、DC. 点B、C、DD. 点A、B、C、D 【知识点】轴对称的知识【思路点拨】物体在镜子里面所成的像就是数学问题中的物体关于镜面的对称点，人眼从镜子里所能看见的物体是它关于镜面的对称点，必须在眼的视线范围内．如下图示，分别作A、B、C、D四点关于直线MN的对称点A′、B′、C′、D′．由于C′不在∠MON内部，故人能从镜子里看见A、B、D三个物体．【解题过程】如下图示，分别作A、B、C、D四点关于直线MN的对称点A′、B′、C′、D′．由于C′不在∠MON内部，故人能从镜子里看见A、B、D三个物体．【答案】B3．如图，在四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短、三角形的外角以及三角形内角和、四边形内角和【解题过程】∵在四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，∴∠BAD=130°延长AB到P，使BP=AB，延长AD到Q，使DQ=AD，则点A关于BC的对称点为点P，关于CD的对称点为点Q，连接PQ与BC相交于点E，与CD相交于点F，如图，PQ的长度即为△AEF的周长最小值；又∵∠BAD=130°，∴在△APQ 中，∠P＋∠Q＝180°－130°＝50°.∵∠AEF＝∠P＋∠P AE＝2∠P，∠AFE＝∠Q ＋∠QAF＝2∠Q，∴∠AEF＋∠AFE＝2(∠P＋∠Q)＝2×50°＝100°，∴∠EAF =180°－100°=80°【思路点拨】①补全图形，转化为“一点两线型”求三角形周长最小的问题；②根据三角形的内角和等于180°求出∠P＋∠Q，再根据三角形的外角以及三角形内角和知识运用整体思想解决．【答案】D4.如图，村庄A，B在公路l的同侧，在公路l上有一个公交车站点P，此点P使得｜PB－PA｜值最大，试作出公交车站P的位置.【知识点】两点之间线段最短，三角形任意两边的差小于第三边【思路点拨】当点P、点A、点B不共线时，根据“三角形任意两边的差小于第三边”，则｜PB－P A｜＜AB；当点P与A、B共线时，即在线段BA的延长线上，点P为直线AB与直线l的交点，则｜PB－P A｜=AB.【解题过程】⑴当点P在直线l上且点P、点A、点B不共线时｜PB－P A｜＜AB；⑵当点P在线段BA的延长线与直线l的交点时，如图，PB-P A=AB，即｜PB－P A｜=AB；【答案】如图，点P为所求公交车站的位置.5. 如图，等边△ABC的边长为2，AD是BC边上的中线，E是AD边上的动点，F是AC边上的中点，当EF+EC取得最小值时，求∠ECF的度数.【知识点】等腰三角形的“三线合一”，轴对称知识，两点之间线段最短【思路点拨】拆分出点F、点C和直线AD，构成“两点一线型”的基本模型是解决本题的关键，连接CF′（或者连接BF）与直线AD交于点E，此时EF+EC取得最小值为CF′（或者BF），但题目要求∠ECF的度数，则只能连接CF′，根据等腰三角形“三线合一”的性质求解.【解题过程】取AB得中点F′，则等边三角形AC边的中点F与点F′关于直线AD对称；连接CF′，与直线AD相交于点E，此时EF+EC取得最小值.因为CF′是等边△ABC的边AB上的中线，所以CF′平分∠ACB，则∠ECF的度数是30°.作图解题之前应该忽略图中的点E，如图1，又由“两点一线型”的最短距离的模型得到图2；【答案】∠ECF的度数为30°6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，AD是∠BAC的平分线．若P、Q分别是AD和AC上的动点，求PC+PQ的最小值.【知识点】轴对称的知识、垂线段最短、角平分线的性质【数学思想】数形结合，转化【解题过程】如图，过点C作CM⊥AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC 于点Q，∵AD是∠BAC的平分线，∴PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，最小值为CM的长度. ∵AC=6，BC=8，AB=10，S△ABC =12AB•CM=12AC•BC，∴CM=AC BCAB⋅=6810⨯=245，即PC+PQ的最小值为245．【思路点拨】因为∠BAC的对称轴是∠BAC的平分线所在的直线AD，所以点Q 的对称点在射线AB上.若点Q关于直线AD的对称点为点M，PC+PQ =PC+PM，又当PC、PM共线时，PC+PM的最小值为线段CM的最小值，根据垂线段最短，所以当CM⊥AB时线段CM的值最小.过点C作CM⊥AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，因为AD是∠BAC的平分线，得出PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，最小值为CM的长度，再运用S△ABC=12AB•CM=12AC•BC，得出CM的值，即PC+PQ的最小值．本题主要考查了轴对称问题，解题的关键是找出满足PC+PQ有最小值时点P和Q的位置．【答案】24 5能力型师生共研7.如图所示，在边长为3的等边三角形ABC中，E、F、G分别为AB、AC、BC 的中点，点P是线段EF上一个动点，连接BP、GP，求△BPG周长的最小值．【知识点】轴对称的知识、两点之间线段最短【思路点拨】要使△PBG的周长最小，而BG=1.5是一个定值，只要使BP+PG 最短即可，则转化为“两点一线型”的最短路径问题. 连接AB交直线EF于点P 即当P和E重合时，此时BP+PG最小，即△PBG的周长最小.【解题过程】如图，连接AG交EF于M.∵等边△ABC，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，∴AG⊥BC，EF∥BC，则AG⊥EF，AM=MG，∴A、G关于EF对称，连接AB交直线EF于点P，即当P和E重合时，此时BP+PG最小，即△PBG的周长最小，∵AP=PG，BP=BE，∴最小值是：PB+PG+BG=AE+BE +BG=AB+BG=3+1.5=4.5．【答案】4.5探究型多维突破8. 读一读：勾股定理揭示了直角三角形边之间的关系: 在直角三角形中，两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a²+b²=c² .我国古代学者把直角三角形的较短直角边称为“勾”，较长直角边为“股”，斜边称为“弦”，所以把这个定理成为“勾股定理”.例如：直角三角形的两个直角边分别为3、4，则斜边c2= a2+b2=9+16=25，则斜边c为5. 借助勾股定理我们可以解决更多最短路径问题，勾股定理的具体内容我们将在八年级下册中学到.借助勾股定理，请尝试完成下面的练习：如图，已知A、B两个村庄位于河流CD的同侧，它们到河流的距离AC=10km，BD=30km，且CD=30km．现在要在河流CD上建立一个泵站P向村庄供水，铺设管道的费用为每千米2万元，要使所花费用最少，请确定泵站P的位置，并求出此时所花费用的最小值为多少？（保留痕迹，不写作法）【知识点】轴对称的知识、两点之间线段最短【思路点拨】根据已知得出作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点P到A、B两点的距离和最小，再构造直角三角形利用勾股定理即可求出．此题主要考查了用轴对称解决最短路径问题和勾股定理的应用，解题关键是构建直角三角形．【解题过程】依题意，只要在直线l上找一点P，使点P到A、B两点的距离和最小．作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点P到A、B两点的距离和最小，且PA+PB=PA′+PB=A′B．又过点A′向BD作垂线，交BD 的延长线于点E，在直角三角形A′BE中，A′E=CD=30，BE=BD+DE=40，根据勾股定理可得：A′B=50（千米）即铺设水管长度的最小值为50千米．所以铺设水管所需费用的最小值为：50×2=100（万元）．【答案】100万元9. 读一读：勾股定理揭示了直角三角形边之间的关系: 在直角三角形中，两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a²+b²=c² .我国古代学者把直角三角形的较短直角边称为“勾”，较长直角边为“股”，斜边称为“弦”，所以把这个定理成为“勾股定理”.例如：直角三角形的两个直角边分别为3、4，则斜边c2= a2+b2=9+16=25，则斜边c为5. 借助勾股定理我们可以解决更多最短路径问题，勾股定理的具体内容我们将在八年级下册中学到.借助勾股定理，请尝试完成下面的练习：如图，∠AOB=30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=1，ON=3，点P、Q 分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是．【知识点】轴对称的知识【思路点拨】点M、N分别在边OA、OB上的定点，作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．【解题过程】解：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．∴根据轴对称的定义可知：∠N′OQ=∠M′OB=∠AOB=30°，O N′=ON=3，OM′=OM=1，∴∠N′OM′=90°，∴在Rt△M′ON′中，M′N′自助餐1. 如图，小河CD边有两个村庄A村、B村，现要在河边建一自来水厂E为A 村与B村供水，自来水厂建在什么地方到A村、B村的距离和最小？请在下图中找出点E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）【知识点】轴对称知识，两点之间线段最短【思路点拨】利用轴对称求最短路线的方法得出A点关于直线CD的对称点A′，再连接A′B交CD于点E，即可得出答案．【解题过程】如图所示，点E即为所求．2. 如图，在一条笔直的公路l旁修建一个仓储基地，分别给A、B两个超市配货，那么这个基地建在什么位置，能使它到两个超市的距离之差即｜PB－P A｜最小? (保留作图痕迹及简要说明)【知识点】线段垂直平分线的知识，绝对值的知识【思路点拨】因为绝对值具有非负性，即｜PB－AP｜≥0，所以当点PA=PB 时，｜PB－P A｜最小值为0.【解题过程】作线段AB的垂直平分线，与直线l交于点P，交点P即为符合条件的点．如图，取线段AB的中点G，过中点G画AB的垂线，交EF于P，则P到A，B的距离相等．也可分别以A、B为圆心，以大于12AB为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，与EF的交点P即为所求．【答案】如图，点P为所求公交车站的位置.3. 如图，直线l外不重合的两点A、B，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短，作法为：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′与直线l相交于点C，则点C为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的数学知识或方法是（）A．转化思想B．三角形的两边之和大于第三边C．两点之间，线段最短D．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角【知识点】轴对称的知识、两点之间最短【解题过程】∵点B和点B′关于直线l对称，且点C在l上，∴CB=CB′，又∵AB′交l与C，且两条直线相交只有一个交点，∴CB′+CA= AB′最短，即此时点C使CA+CB的值最小，将轴对称最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”，体现了转化的思想，验证时利用三角形的两边之和大于第三边．故选D．【思路点拨】利用“两点之间线段最短”分析并验证即可．此题主要考查了利用轴对称知识解决最短路径问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理“两点之间线段最短”，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．【答案】D4.如图，在△ABC中，AC=5，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则AP+BP的最小值= .【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短【数学思想】数形结合.【解题过程】∵EF垂直平分BC，∴B、C关于EF对称.连接AC交EF于D，∴当P和D重合，即当点P在直线EF上的D点处时，AP+BP的值最小，最小值等于AC的长为5.【思路点拨】根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P与点D重合时，AP+BP的最小值为AC长度5.【答案】55. 如图，在平面直角坐标系中，PQ⊥x 轴于点Q，P（-4，8）. 直线AB垂直平分线段OQ,交x 轴于点C，点M为直线AB上的一动点，过M作y轴的垂线，垂足为点N，连接PM、NQ，求PM＋MN＋NQ的最小值；【知识点】平移知识，两点之间线段最短【思路点拨】将直线AB和y轴看作河的两岸，点P和点Q′看作河岸两侧的点，转化为造桥选址问题.从P到Q要走的路线是P→M→N→Q，如图所示，而MN 是定值，于是要使路程最短，只要PM＋QN最短即可．此时两线段应在同一平行方向上，平移MN到PP′，从P′→N→Q应是余下的路程，当P′N+ NQ的值最小时PM＋MN＋NQ有最小值.作点Q关于y轴的对称点Q′，连接P′Q′的线段即为最短，P′Q′与y轴的交点为N，过N作直线AB的垂线，垂足为点M，则PM ＋MN＋NQ的最小值为线段P′Q′的长．【解题过程】因为PQ⊥x 轴于点Q，P（-4，8）所以Q（-4，0）又因为直线AB垂直平分线段OQ,交x 轴于点C，所以C（-2，0）.如图2，过点P作PP′⊥AB 于P′，且PP′等于OC．又作点Q关于y轴的对称点Q′（4，0），连接P′Q′与y 轴的交点为N，过N作直线AB的垂线，垂足为点M，则PM＋MN＋NQ的最小值为线段P′Q′+MN的长．又易得P′C=8，Q′C=6，借助勾股定理，在直角三角形P′CQ ′中可得P′Q′=22''C Q C P +=2268+=10，所以PM ＋MN ＋NQ 的最小值为10+2=12.【答案】PM ＋MN ＋NQ 的最小值为12.。
13.4课题学习_最短路径问题
归纳小结
（1）本节课研究问题的基本过程是什么？
（2）轴对称在所研究问题中起什么作用？
布置作业
教科书复习题13第15题．
B
C
如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从 马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河 边给马喝水，然后回到帐篷，请你帮助他确定 这一天的最短路线。
如图：A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马 厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边 饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的 最短路线。
F
作法：1.作点A关于直线
作法：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E， 2.连接AE交河对岸与点M, 则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。 证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且 BN=EM, MN=CD, B BD=CE, 所以A.B两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在CD处，连接AC.CD.DB.CE, 则AB两地的距离为： M C AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN, 在△ACE中，∵AC+CE＞AE, ∴AC+CE+MN＞AE+MN, N D E 即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN 所以桥的位置建在CD处，AB两地的路程最短。
探索新知
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ B · A 追问2 你能利用轴对称的 · 有关知识，找到上问中符合条 l 件的点B′吗？
探索新知
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
13.4.最短路径(2)—造桥选址问题
造桥选址问题
一．学习目标：
1、能利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形的变化在解决最值问题中的作用;感悟转化思想.
2、在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.
二．重点难点：
学习重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间,线段最短”问题.
学习难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题．
三．合作探究：（同学合作，教师引导）
1．温故知新：
前面我们研究过最短路径问题，求最短路径的依据有：
（1） .
（2） .
2．探究新知：
问题2 造桥选址问题
如图,A和B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN.桥建在何处才能使从A到B的路径AMNB最短(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直)
思维分析：
1.如右图假定任选位置造桥MN,连接AM和BN,从A到B的路径是AM+MN+BN,那么怎样确定什么情况下最短呢
2.利用上面的“求最短路径的依据”解决问题:我们遇到了什么障碍呢
四．感悟与反思：
A ·
· B A ·
· B。
13.4课题学习 最短路径问题 教学设计
素养
目标
通过对最短路径问题的探索，进一步理解和掌握两点之间线段最短的公理和三角形两边之和大于第三边的垂线段最短的定理。
运用所学知识解决问题的过程，培养学生解决问题的能力，掌握探索最短路径问题的思想方法。
在数学学习活动中获得成功的体验，树立自信心，激发学生的学习兴趣，让学生感受到数学与现实生活的密切联系。
布置任务，复习知识点
为课堂上涉及知识点做知识储备
新课导入（疑）
一．温故知新
问题1.“孝”是中华民族的传统美德，一代代的中国人应该将它传承下去。晴空万里的一天，何将军从军营（点A）出发，到一条笔直的市集（直线l）买礼品，然后到父母家（点B），何将军到市集的什么地方买礼品，可使所走的路径最短？（假设选中的最佳位置刚好能买到礼品）
生自己读题完成题目，并先行自我归纳模型特点、作图方法、证明思路。
1.设置问题：
（1）让生在学案上作图,用点P表示具体位置；
（2）说出这样的作图依据；
（3）简要证明为何最短？
2.分析这样的模型特点：
两个定点在直线异侧，一个动点在直线上。
3.归纳此模型的作图方法、依据、证明思路。
以学生学过的知识为基础引入课题，培养学生的学习兴趣.
再动手作图，做出最短路径。
归纳总结此模型与上述模型的异同，得到作图方法。
5.在学案上作图，并证明路径最短，可以小组合作。
由平移性质可知，AM＝A'N，AA'＝MN＝M'N'，AM'＝A'N'.
AM+MN+BN转化为ＡA'＋A'Ｂ，而ＡM'＋M'N'＋ＢN'转化为ＡA'＋A'N'＋ＢN'
造桥选址问题 最短路径.4-造桥选址问题-最短路径(2)课件
pq在中间且方向不能改变仍无法直接利用两点之间线段最短解决问题只有利用平移变换转移到两侧或同一侧先走桥长mn平移pq平移到mn此时问题转化为问题基本题型两点利用基本问题的解决方法确定桥pq确定pq的位置也确定了bqpq此时问题可转化为由点和第一条河确定桥mn的位置a2a1的对岸于n点建桥mn
13.4 课题学习 ---最短路径问题（2）
A·
B
问题延伸一
如图，A和B两地之间 有两条河，现要在两 条河上各造一座桥MN 和PQ.桥分别建在何处 才能使从A到B的路径 最短？（假定河的两 岸是平行的直线，桥 要与河岸垂直）
A
B
思维分析
如图，问题中所走总路径是 AM+MN+NP+PQ+ＱＢ． 桥MN和PQ在中间，且方向不 能改变，仍无法直接利用“两 点之间，线段最短”解决问题， 只有利用平移变换转移到两侧 或同一侧先走桥长. 平移的方法有三种：两个桥长都平移 到A点处、都平移到B点处、MN平移 到A点处，PQ平移到B点处
1、2两种方法改变了.
怎样调整呢？ 把A或B分别向下或上平移一个桥长
那么怎样确定桥的位置呢?
问题解决
如图，平移A到A1，使AA1 等于河宽，连接A1B交河 岸于Ｎ作桥ＭＮ，此时路 径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短.
A
A1
M N
Ｍ１ Ｎ１
B
理由；另任作桥Ｍ１Ｎ１，连接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.
由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１. AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１ 转 化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１. 在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由三角形三边关系知A1N1+BN1＞A1B 因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞ AM+MN+BN
初中数学人教版八年级上册《13.4最短路径问题课时2》课件
A∙
M
a
A′ N
b
∙B
证明：在直线b上另外任意取一点N′，过点N′作N′M′⊥a，
垂足为M′，连接AM′，A′N′，N′B. ∵在△A′N′B中，A′B<A′N′+BN′， ∴A′N+NB<A′N′+BN′. 即A′N+NB+MN<A′N′+BN′+M′N′.
A∙
M
A′
∴AM+NB+MN<AM′+BN′+M′N′.
如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得四边形PQMN的周长最小.
解析：通过轴对称把周长最小问题转化为两点 间距离最短问题，四边形PMNQ的周长的最小 值为PM+MN+NQ+QP=P1Q1+PQ，根据的是两 点之间，线段最短.
Q1
l2
N ∙Q ∙P
l1 M
P1
某中学八（2）班举行文艺晚会，如图所示，OA，OB分别表示桌面，其中 OA桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子 再拿糖果，然后回到C处，请你帮他设计一条行走路线，使其所走的路程最 短.
A
∙C
O
B
解析：（1）如图所示，作点C关于OA的对称点C1； （2）作点C关于OB的对称点C2； （3）连接C1C2，分别交OA，OB于点D，E，连接 CD，CE. 所以先到点D处拿橘子，再到点E处拿糖果，最后 O 回到点C处，依照这样的路线所走的路程最短.
C1 A
D
∙C
E
B
C2
如图，为了做好交通安全工作，某交警执勤小队从点A处动身，先到公路l1上设 卡检查，再到公路l2上设卡检查，最后到点B处实行任务，他们应如何走才能使 总路程最短？
造桥选址问题案例设计甘晓云
造桥选址问题——最短路径问题第二课时设计案例南宁市新民中学甘晓云一、内容与内容解析（一）内容本题选自人教版八年级上册第13章《轴对称》13.4课题学习第86页问题2.利用平移研究某些最短路径问题.（二）内容解析本课题学习是利用图形变换来研究某些实际问题中的最短路径问题.问题2以造桥选址这样一个实际问题为载体展开研究，让学生经历将实际问题抽象成数学的线段和最小问题,再利用平移变化将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题．所以，基于以上分析，确定本节课的重点：利用平移将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．二、目标与目标解析（一）目标能利用平移解决某些最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化和化归的思想.（二）目标解析本节课所要达成的目标，一是能将实际问题中的“地点”、“河”抽象为数学中的“点”、“线’,把实际问题抽象为数学的线段和最小问题；二是能利用平移将和最小问题转化为“两点之间，线段最段”问题；三是能通过逻辑推理证明所求距离最短；四是在探索最短路径的过程中，体会平移的“桥梁”作用，感悟数学转化思想.三、教学问题诊断分析最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中生，此前很少在几何中接触最值问题，解决此类问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手。
解答在两条直线异侧两点的最短路径问题时，如何利用图形变化将其转化为“在一条直线异侧两点与直线上点的线段和最小问题”，为什么需要这样转化、怎样通过图形变化实现转化的，一些学生在理解和操作上存在困难。
在证明作法的合理性时，需要在直线上任取点(与所求作的点不重合)。
证明所连线段和大于所求作的线段和，这种思路、方法，因为之前很少遇到，不过有了问题177 baNMAB的铺垫，部分同学会想到，但还会有一些学生无从下手。
要克服这个难点，关键是要加强对问题分析的教学，帮助学生分析证明问题的思路．本节课的教学难点在于如何利用平移将最短路径问题转化为线段和最小问题. 针对学生可能出现的问题，我的教学策略是这样的： 通过创设具有启发性、学生感兴趣的、有助自主学习和探索的问题情境，使学生在活动丰富、思维积极的状态中进行探究学习，在教学过程中，将学生以6个人为一个小组，通过小组讨论交流学案的形式，相互配合，提出问题，并积极的解决问题，通过讨论、交流得到解决方法，培养学生的合作学习能力.并结合几何画板演示加深学生的理解。
人教版八年级上册13.4最短路径问题(第二课时)课件
问题转化为：
将点A沿直线l的方向平移A′，
将当A点MN沿在与直河线岸b的垂什直么的位方置向时平，移A，M+NB最当小？点Q在什么位置时，AP+PQ+QB+BA最小．
连接A′B，交直线b于点N.
如图，在直线 l 上求作一点C，使得C问A+C题B最转短．化为：当点Q在什么位置时，AP+QB最小．
当点N在直线b的什么位置时，A′N+NB最小？
连接A′B，交直线b于点N.
如图，在直线 l 上求作一点C，使得CA+CB最短． A′B<A′N′+N′B
思考： 问题是否可以简化？
如何证明这条路径AMNB最短？
AM+MN+NB<AM′+ M′N′+N′B.
年 级：八年级
学 科：数学（人教版）
③ 把已知问题转化成容易解决的问题.
在直线b上任取一点N′ ，
线段MN即为桥的位置. 点A移动到A′，点P移动到点Q.
边形APQB的周长最小．
当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？ 将AP沿直线l的方向平移，
思考： 哪些点是定点？
问题转化为：当点Q在什么位置时，AP+QB最小． 连接A′′B，与直线l交于一点
AM+NB=A′N +NB=A′B
哪些点是动点？
N′ b
N
只需证明：
B
A′N+NB< A′N′+N′B.
由两点之间，线段最短可证.
思考 如何证明这条路径AMNB最短？
在直线b上任取一点N′ ，
A
过N′作N′M′⊥a
连接AM′，A′N′，N′B
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
造桥选址问题
一．学习目标：
1、能利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形的变化在解决最值问题中的作用;感悟转化思想.
2、在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.
二．重点难点：
学习重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间,线段最短”问题.
学习难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题．
三．合作探究：（同学合作，教师引导）
1．温故知新：
前面我们研究过最短路径问题，求最短路径的依据有：
（1）.
（2）. 2．探究新知：
问题2造桥选址问题
如图,A和B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN.桥建在何处才能使从A到B的路径AMNB最短(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直)
思维分析：
1.如右图假定任选位置造桥MN,连接AM和BN,从A到B的路径是AM+MN+BN,那么怎样确定什么情况下最短呢
2.利用上面的“求最短路径的依据”解决问题:我们遇到了什么障碍呢
四．感悟与反思：
A ·
·B A ·
·B。