高中数学北师大版选修11第三章导数的四则运算法则word教案2

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高中数学第3章 §4导数的四则运算法则课件北师大版选修11

∴3＋a＝k，∴a＝－1，∴32页。
准确应用公式求下列函数的导数：
(1)y＝(x2＋1)2; (2)y＝cos22x. [错解] (1)y′＝2(x2＋1)；(2)y′＝－2sin2x.
第三十一页，共32页。
[辨析] 这是复合函数的导数，但复合函数的导数我们没有学习讨论(tǎolùn)过，遇到这种类型的函数求导，可先整理，再求导．
第二十八页，共32页。
[方法规律总结] 1.导数的应用中，求导数是一个(yī ɡè)基本解题环节，应仔细分析函数解析式的结构特征，根据导数公式及运算法则求导数，不具备导数运算法则的结构形式时，先恒等变形，然后分析题目特点，探寻条件与结论的联系，选择解题途径．
2．求参数的问题一般依据条件建立参数的方程求解．
即 4x－y－12＝0 或 4x－y－8＝0.
第二十四页，共32页。
[方法规律总结] 求切线方程(fāngchéng)的步骤： (1)用导数公式和运算法则求导数． (2)求切线的斜率； (3)写出切线方程(fāngchéng)．
第二十五页，共32页。
(2014·贵州湄潭中学高二期中)曲线f(x)＝xlnx在点x＝1处的
第八页，共32页。
＝fx＋Δx＋gx＋ΔxΔx－fx－gx
＝fx＋ΔΔxx－fx＋gx＋ΔΔxx－gx，
∴ lim Δx→0
Fx＋Δx－Fx Δx
＝
lim
Δx→0
gx＋ΔΔxx－gx＝f ′(x)＋g′(x)，
fx＋Δx－fx Δx
＋
lim
Δx→0
第九页，共32页。
Gx＋ΔΔxx－Gx＝fx＋Δxgx＋ΔxΔx－fxgx
解法二：y＝(x2＋2x＋1)(x－1)＝x3＋x2－x－1， y′＝(x3＋x2－x－1)′＝3x2＋2x－1. (2)y′ ＝ (x2sinx)′ ＝ (x2)′sinx ＋ x2(sinx)′ ＝ 2xsinx ＋ x2cosx. (3)y′＝1x＋x22＋x33′＝(x－1＋2·x－2＋3·x－3)′＝－x－2－ 4x－3－9x－4＝－x12－x43－x94.

高中数学 3.4.1 导数的加法与减法法则配套多媒体教学优质课件北师大版选修11

§4 导数的四则运算法则(fǎzé) 4.1 导数的加法与减法法则 (fǎzé)
第一页，共26页。
观察(guānchá)下图你能作出判断吗？
h（x）
=
f（x） +
g(x)
求导
f x +
求导
gx
=
？
hx
本节课我们就主要解决(jiějué)这一问题.
第二页，共26页。
1.掌握导数的加法与减法法则.（重点） 2.会运用公式，求含有和、差综合(zōnghé)运算的函数的导数.（重点） 3.函数和、差导数公式的应用，运用导数的几何意义求过曲线上一点的切线.（难点）
22
1 ( 1 1). 2xx
第十八页，共26页。
1.函数(háynsh1ù) cos x x
A.
y
1 x2
sin x
的导数为B （）
B.
y
1 x2
sin x
C.
y
1 x2
sin x
D.
y
1 x2
sin x
解析(jiě ：
xyī)
( 1 ) x
cos x
1 x2
sin x.
第十九页，共26页。
给定自变量x的一个(yī ɡè)改变量△x，则函数值y的改变
量为
y f x x f x
x x x x2 x x2
x 2xx x2
相应(xiāngyīng)的平均变化y率为x 2xx x 2
x
x
1 2x x.
当△x趋于0时，得到(dé dào)导函f 数x 1 2x.
6x2 6x 4.
第二十三页，共26页。
6.已知曲线 y 1 x3 x 上一点(yīPd(i2ǎ,n1)4)

高中数学 3.4.2 导数的乘法与除法法则配套多媒体教学优质课件北师大版选修11

A.
x
1 x
1
1 x2
C. 3x 3x log3 e
B.
log2
x
x
1 ln
2
D.
x2 cos x
2x
cos x x2
cos x2
sin
x
第二十六页，共30页。
5.(2012·新课标全国卷)曲线y=x(3ln x+1)在点
（1,1）处的切线方程为___4_x___y___3___.0
则得
sin x
x
cos
x
x x2
sin
x
1
x
cos
x x2
sin
x
.
第十三页，共30页。
（2）函数 y 是函x2数 f（x）=x2与g（x）=ln x之商，根据导数公式(gōnglnshxì)表分别得出
f (x) 2x, g(x) 1 . x
由求导的除法(chúfǎ)法
则得
x2
ln
]
f
(x)g(x) f (x)g(x) g2(x)
.
特别地，当
时，有
.
第七页，共30页。
思考交流：下列式子是否成立？试举例说明.
设
，试说明(shuōmíng)：
，
.
第八页，共30页。
解析(jiě xī)f：(x)g(x) x3x2 (x5) 5x4,
f (x)g(x) (x3)(x2) 3x2 2x 6x3,
变形化简
对不易于直接应用求导公式的函数，适当运用代数、三角恒等变换，对函数进行化简，优化解题过程.
求导时应尽量避免使用积或商的求导法则，可在求导前先化简，然后求导，以简化运算.

北师大版数学高一北师大版选修1-1教案 3.3 计算导数2

3.3 计算导数教学过程：一、创设情景我们知道,导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率,物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.那么,对于函数()y f x =,如何求它的导数呢？由导数定义本身,给出了求导数的最基本的方法,但由于导数是用极限来定义的,所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦,有时甚至很困难,为了能够较快地求出某些函数的导数,这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法,下面我们求几个常用的函数的导数. 二、新课讲授1.函数()y f x c ==的导数根据导数定义,因为()()0y f x x f x c c x x x∆+∆--===∆∆∆ 所以00lim lim 00x x yy ∆→∆→∆'===0y '=表示函数y c =图像上每一点处的切线的斜率都为0.若y c =表示路程关于时间的函数,则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0,即物体一直处于静止状态.2.函数()y f x x ==的导数因为()()1y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-===∆∆∆ 所以00lim lim11x x yy ∆→∆→∆'===∆1y '=表示函数y x =图像上每一点处的切线的斜率都为1,若y x =表示路程关于时间的函数,则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动.3.函数2()y f x x ==的导数因为22()()()y f x x f x x x x x x x ∆+∆-+∆-==∆∆∆2222()2x x x x x x x x+∆+∆-==+∆∆ 所以00limlim(2)2x x yy x x x ∆→∆→∆'==+∆=∆2y x '=表示函数图像上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ,说明随着x 的变化,切线的斜率也在变化.另一方面,从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,表明:当0x <时,随着x 的增加,函数2y x =减少得越来越慢;当0x >时,随着x 的增加,函数2y x =增加得越来越快.若2y x =表示路程关于时间的函数,则2y x '=可以解释为某物体做变速运动,它在时刻x 的瞬时速度为2x . 4.函数1()y f x x==的导数因为11()()y f x x f x x x x x x x-∆+∆-+∆==∆∆∆ 2()1()x x x x x x x x x x -+∆==-+∆∆+⋅∆ 所以220011lim lim()x x y y∆→∆→∆'==-=-∆5.函数()y f x==因为()()y f x x f x x x x∆+∆-==∆∆∆==所以lim x y ∆→'=推广: 若*()()n y f x x n Q ==∈,则1()n f x nx -'=注:这里n 可以是全体实数. 6. 基本初等函数的求导公式：⑴ ()kx b k '+= (k,b 为常数) ⑵ 0)(='C (C 为常数) ⑶ ()1x '=⑷ 2()2x x '=⑸ 32()3x x '= ⑹ 211()x x '=-⑺ '=由⑶~⑹你能发现什么规律?⑻ 1()x xααα-'= （α为常数）⑼ ()ln (01)xxa a a a a '=>≠，⑽ a a 11(log x)log e (01)x xlnaa a '==>≠，且 ⑾ xx e )(e =' ⑿ x1)(lnx =' ⒀ cosx )(sinx =' ⒁ sinx )(cosx －='从上面这一组公式来看，我们只要掌握幂函数、指对数函数、正余弦函数的求导就可以了。

《导数的四则运算法则》教学设计

《导数的四则运算法则》教学设计
一、教学目标
1.知识与技能
(1)掌握两个函数的和、差、积、商的求导法则.
(2)能正确利用法则求函数的导数，解决相关的问题.
2.过程与方法
利用学生已掌握的导数定义，得出一个简单的两个函数的和的导数，从而提出问题引入新课，通过学生的猜想，探究和、差、积、商的求导法则，并加以应用，加深学生对法则的理解.
3.情感、态度与价值观
通过学生的主动参与，自我探索，互相交流，提高学生的学习兴趣，激发学生的求知欲，培养探索和创新精神.
二、教材分析
1.地位、作用
导数运算法则的给出是前几节课的继续，它将求导数问题、求曲线切线问题、求瞬时速度问题由理论化转为公式化，使较复杂的过程简单化，也为下节课研究函数的单调性与极值问题提供了方便，在连接教材内容方面起到了一个纽带的作用.
2.教学重点：函数的和、差、积、商的求导法则及应用.
3.教学难点：积、商的求导法则的理解和综合运用.
三、教学方法
通过设疑、引导、启发等形式，采用启发式与发现法相结合的教学方法，引导学生学会自主观察、类比、分析、归纳等学习方法.
四、教学过程。

高中数学(北师大版)选修1-1教案：第3章导数的四则运算法则参考教案__2

3.4 导数的四则运算法则教学目的：1.理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数．2.理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数3.能够综合运用各种法则求函数的导数教学重点：用定义推导函数的和、差、积、商的求导法则教学难点：函数的积、商的求导法则的推导．授课类型：新授课教学过程：一、复习引入：常见函数的导数公式：0'=C ；()'kx b k +=(k,b 为常数) 1)'(-=n n nx x ； ()'ln (0,0)x x a a a a a =>≠且 ()'x x e e =1(ln )'x x = 11(log )'log (0,0)ln a a x e a a x x a==>≠且 x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=二、讲解新课：例1.求2y x x =+的导数.法则 1 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，即 []()()''()'()f x g x f x g x ±=±法则2常数与函数的积的导数，等于常数与函数的积的导数．[]()'()'cf x cf x = 法则3两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即 []()()''()()()'()f x g x f x g x f x g x =+ 证明：令()()y f x g x =，则=∆y ()f x x +∆()g x x +∆-()()f x g x()f x x =+∆()g x x +∆-()f x ()g x x +∆+()f x ()g x x +∆-()()f x g x ，=∆∆x y ()()f x x f x x +∆-∆()g x x +∆+()f x ()()g x x g x x+∆-∆ 因为()g x 在点x 处可导，所以它在点x 处连续，于是当0→∆x 时，()()g x x g x +∆→，从而0lim →∆x =∆∆x y 0lim →∆x ()()f x x f x x +∆-∆()g x x +∆+()f x 0lim →∆x ()()g x x g x x+∆-∆ '()()()'()f x g x f x g x =+，法则4 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，即'2()'()()()'()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎛⎫-=≠ ⎪⎝⎭三、讲解范例：例1 求下列函数的导数1、y =x 2+sin x 的导数.2、求2(23)(32)y x x =+-的导数．(两种方法)3、求下列函数的导数 ⑴()sin h x x x = ⑵21()t s t t+= 4、y =5x 10sin x －2x cos x －9，求y ′5、求y =xx sin 2的导数. 变式：(1)求y =332++x x 在点x =3处的导数. (2) 求y =x1·cos x 的导数. 例2求y =tan x 的导数.例3求满足下列条件的函数()f x(1) ()f x 是三次函数,且(0)3,'(0)0,'(1)3,'(2)0f f f f ===-=(2)'()f x 是一次函数, 2'()(21)()1x f x x f x --=变式：已知函数f(x)=x 3+bx 2+cx+d 的图象过点P(0,2)，且在点M 处(-1，f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0，求函数的解析式四、课堂练习：1.求下列函数的导数：(1)y =x a x a +- (2)y =232xx + (3)y =x cos 11- 五、小结：由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数,商的导数法则(v u)′=2vv u v u '-'(v ≠0)，如何综合运用函数的和、差、积、商的导数法则，来求一些复杂函数的导数.要将和、差、积、商的导数法则记住六、课后作业：。

高中数学《导数的四则运算法则》导学案导学课件北师大版选修11

ln x
(xsin x)' sin x+xcos x
)'=
(ln x)'
=
1
x
2
=xsin x+x cos x.
第九页，共21页。
[问题]求函数的导数是对谁求导?导数的运算(yùn suàn)法则正确吗?
[结论](1)求导是对自变量的求导,要分清表达式中的自变量.本题
的自变量是 x,a 是常量.(2)不正确,商的求导法则是:分母的平方作
写出推导过程.
第三页，共21页。
问题1
基本初等函数的导数公式表:
①若 f(x)=c,则 f'(x)= 0
;
②若 f(x)=xα(α∈Q),则 f'(x)= αxα-1 ;
③若 f(x)=sin x,则 f'(x)= cos x ;
④若 f(x)=cos x,则 f'(x)= -sin x ;
x
x
a
分母,分子是差的形式,等于分子的导数乘以分母的积减去分母的导
数乘以分子的积.
于是,正确解答为:
2
2
(1)f'(x)=(a +2ax-x )'=-2x+2a.
(2)f'(x)=(
xsin x
=
ln x
(xsin x)'ln x-xsin x(ln x)'
)'=
(ln x)
sin xln x+xcos xln x-sin x
4
求下列函数的导数.
π
(1)y=sin(x+ );
2
(2)y=log 1 x2-log 1 x.
2

高中数学第三章变化率与导数 4 导数的四则运算法则学案北师大版选修11

§4 导数的四则运算法则[对应学生用书P41]已知函数f (x )＝1x ，g (x )＝x ，那么f ′(x )＝－1x2，g ′(x )＝1.问题1：如何求h (x )＝f (x )＋g (x )的导数？提示：用定义，由h (x )＝1x＋x ，得h (x ＋Δx )－h (x )＝1x ＋Δx ＋x ＋Δx －1x－x ＝Δx －Δxx x ＋Δx.则f ′(x )＝lim Δx →0 h x ＋Δx －h xΔx＝lim Δx →0 ⎝⎛⎭⎪⎫1－1xx ＋Δx ＝1－1x 2.问题2：[f (x )＋g (x )]′＝f ′(x )＋g ′(x )成立吗？提示：成立．问题3：[f (x )－g (x )]′＝f ′(x )－g ′(x )成立吗？提示：成立．问题4：运用上面的结论你能求出(3x 2＋tan x －e x)′吗？提示：可以，(3x 2＋tan x －e x )′＝6x ＋1cos 2x－e x .导数的加法与减法法则两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差)，即 [f (x )＋g (x )]′＝f ′(x )＋g ′(x )， [f (x )－g (x )]′＝f ′(x )－g ′(x )．已知函数f (x )＝x 3，g (x )＝x 2，则f ′(x )＝3x 2，g ′(x )＝2x .问题1：[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g ′(x )成立吗？提示：因为[f (x )·g (x )]′＝(x 5)′＝5x 4，f ′(x )g ′(x )＝3x 2·2x ＝6x 3，所以上式不成立．问题2：[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )成立吗？提示：成立．问题3：⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝fxg x成立吗？提示：不成立．问题4：⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f x g x －f x gx[g x2成立吗？提示：成立．导数的乘法与除法法则(1)若两个函数f (x )和g (x )的导数分别是f ′(x )和g ′(x )，则 [f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f x g x －f x gxg 2x.(2)[kf (x )]′＝kf ′(x )．1．[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )≠f ′(x )g ′(x )，避免与[f (x )＋g (x )]′＝f ′(x )＋g ′(x )混淆．2．若c 为常数，则[cf (x )]′＝cf ′(x )．3．类比[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )记忆⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝fx g x －f x gx[g x2.[对应学生用书P42][例1] (1)f (x )＝x ln x ；(2)y ＝x －1x ＋1； (3)y ＝2x 3＋log 3x ；(4)y ＝x －sin x2cos x2.[思路点拨] 观察函数的结构特征，可先对函数式进行合理变形，然后利用导数公式及运算法则求解．[精解详析] (1)f ′(x )＝(x ln x )′＝ln x ＋x ·1x＝ln x ＋1.(2)法一：y ′＝(x －1x ＋1)′＝x ＋1－x －x ＋2＝2x ＋2.法二：y ＝x ＋1－2x ＋1＝1－2x ＋1， ∴y ′＝(1－2x ＋1)′＝(－2x ＋1)′ ＝－x ＋－x ＋x ＋2＝2x ＋2.(3)y ′＝(2x 3＋log 3x )′＝(2x 3)′＋(log 3x )′＝6x 2＋1x ln 3. (4)y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ，∴y ′＝(x －12sin x )′＝1－12cos x .[一点通]解决函数的求导问题，应先分析所给函数的结构特点，选择正确的公式和法则，对较为复杂的求导运算，一般综合了和、差、积、商几种运算，在求导之前应先将函数化简，然后求导，以减少运算量．1．用导数的运算法则推导： (1)(tan x )′＝1cos 2x； (2)(cot x )′＝－1sin 2x.解：(1)(tan x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝sin x ′cos x －sin x cos x ′cos 2x ＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝1cos 2x. (2)(cot x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x sin x ′＝cos x ′sin x －cos x sin x ′sin 2x ＝－sin 2x －cos 2x sin 2x ＝－1sin 2x.2．求下列函数的导数．(1)y ＝4cos x －3sin x ；(2)y ＝x ＋3x 2＋3；(3)y ＝x n e x. 解：(1)y ′＝(4cos x －3sin x )′＝(4cos x )′－(3sin x )′＝－4sin x －3cos x .(2)y ′＝(x ＋3x 2＋3)′＝x ＋3′x 2＋3－x ＋3x 2＋3′x 2＋32＝x 2＋3－2x 2－6xx 2＋32＝－x 2－6x ＋3x 2＋32.(3)y ′＝(x n e x)′＝(x n)′e x＋x n(e x)′＝(nxn －1＋x n )e x.[例2] 处与直线y ＝x －3相切，求a ，b ，c 的值．[思路点拨] 题中涉及三个未知量，已知中有三个独立条件，因此，要通过解方程组来确定a ，b ，c 的值．[精解详析] 因为y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)，所以a ＋b ＋c ＝1.y ′＝2ax ＋b ，曲线在点(2，－1)的切线的斜率为4a ＋b ＝1.又曲线过点(2，－1)，所以4a ＋2b ＋c ＝－1.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，4a ＋b ＝1，4a ＋2b ＋c ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－11，c ＝9.所以a ，b ，c 的值分别为3，－11,9. [一点通]1．由导数的几何意义，结合已知条件建立关于参数的方程组是解决此类问题的关键． 2．若已知(x 0，y 0)处的切线方程为y ＝kx ＋b ，则有f ′(x 0)＝k ，y 0＝kx 0＋b .3．若函数y ＝x 2＋m 2x(m ＞0)在点x ＝x 0处的导数等于0，那么x 0＝( )A ．mB ．－mC ．±mD ．m 2解析：由y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m 2x ′＝1－m 2x 2，结合题意得1－m 2x 20＝0⇒x 20＝m 2⇒x 0＝±m .答案：C4．已知曲线y ＝x 3－1与曲线y ＝3－12x 2在x ＝x 0处的切线互相垂直，则x 0的值为( )A.33B.333 C. 3D.393解析：因为y ＝x 3－1⇒y ′＝3x 2，y ＝3－12x 2⇒y ′＝－x ，由题意得3x 20·(－x 0)＝－1，解得x 30＝13，即x 0＝313＝393.答案：D5．若f ′(x )为一次函数，且x 2f ′(x )＋(－2x ＋1)f (x )＝1，求f (x )的解析式．解：由于f ′(x )为一次函数，则f (x )必为二次函数，令f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，则f ′(x )＝2ax ＋b ，代入x 2f ′(x )＋(－2x ＋1)f (x )＝1得x 2(2ax ＋b )＋(－2x ＋1)(ax 2＋bx ＋c )＝1.即(－b ＋a )x 2＋(b －2c )x ＋(c －1)＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－b ＋a ＝0，b －2c ＝0，c －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2，c ＝1.∴f (x )＝2x 2＋2x ＋1.[例3] (1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； (3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．[思路点拨] (1)求出f (x )在2处的导数，即切线斜率，用点斜式写出方程即可． (2)设出切点坐标，进而求出切线斜率，写出切线方程，再利用切线过原点即可求出切点坐标．(3)设出切点坐标，求出切线斜率，又已知斜率为4，则可求出切点坐标． [精解详析] (1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上． ∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1， ∴f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13.∴切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32.(2)法一：设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16.又∵直线l 过点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16. 整理得，x 30＝－8，∴x 0＝－2. ∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26.k ＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．法二：设直线l 的方程为y ＝kx ，切点为(x 0，y 0)，则k ＝y 0－0x 0－0＝x 30＋x 0－16x 0，又∵k ＝f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴x 30＋x 0－16x 0＝3x 20＋1.解之得x 0＝－2，∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26.k ＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． (3)∵切线与直线y ＝－x4＋3垂直，∴切线的斜率k ＝4.设切点坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4， ∴x 0＝±1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝－14，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18.即切点为(1，－14)或(－1，－18)．切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18. 即y ＝4x －18或y ＝4x －14. [一点通]利用导数求曲线的切线方程的两种类型及求解过程． (1)求曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线方程：①求导数y ＝f ′(x )，得斜率k ＝f ′(x 0)；②写出点斜式方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)并化简． (2)求过点P (x 1，y 1)的曲线y ＝f (x )的切线方程： ①设切点坐标为(x 0，y 0)；②求导数y ＝f ′(x )得切线斜率k ＝f ′(x 0)； ③写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)； ④代入P 的坐标(x 1，y 1)，求出x 0； ⑤代入切线方程并化简．6．若曲线f (x )＝13x 3＋ax 2＋x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－12]∪[1，＋∞)B ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[0，＋∞)D ．[－12，＋∞)解析：f ′(x )＝x 2＋2ax ＋1， ∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )＝0有解，即x 2＋2ax ＋1＝0有解， ∴Δ＝(2a )2－4≥0， ∴a ≥1或a ≤－1，即a 的取值范围为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．答案：B7．曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，斜率最小的切线方程为________．解析：y ′＝3x 2＋6x ＋6＝3(x ＋1)2＋3，当x ＝－1时，y ′取最小值3.∴点(－1，－14)处的切线斜率最小，切线方程为y ＋14＝3(x ＋1)即3x －y －11＝0. 答案：3x －y －11＝08．若函数f (x )＝ax 2＋2ln x (a ∈R )在点(1，f (1))处的切线l 与圆C ：x 2＋y 2＝1相切，求a 的值及切线l 的方程．解：依题意有f (1)＝a ，f ′( x )＝2ax ＋2x，∴f ′(1)＝2a ＋2.∴直线l 的方程为y －a ＝(2a ＋2)(x －1)，即(2a ＋2)x －y －a －2＝0.(*) ∵l 与圆C 相切，∴|a ＋2|a ＋2＋1＝1，解得a ＝－1或a ＝－13.把a ＝－1或a ＝－13代入(*)式并整理得切线l 的方程为y ＝－1或4x －3y －5＝0.1．运用基本的初等函数的导数公式和求导的运算法则时，要认真分析函数式的结构特点，较复杂的要先化简，再求导，尽量避免使用积或商的求导法则．2．求切线方程．(1)求过点P 的曲线的切线方程时应注意，P 点在曲线上还是在曲线外，两种情况的解法是不同的．(2)解决此类问题应充分利用切点满足的三个关系：一是切点坐标满足曲线方程；二是切点坐标满足对应切线的方程；三是切线的斜率是函数在此切点处的导数值．[对应课时跟踪训练十四1．函数y ＝x 2x ＋3的导数是( )A.x 2＋6x x ＋2B.x 2＋6x x ＋3C.－2x x ＋2D.3x 2＋6x x ＋2解析：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x ＋3′＝x 2x ＋－x 2x ＋x ＋2＝2xx ＋－x2x ＋2＝x 2＋6x x ＋2.答案：A 2．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2解析：∵y ′＝x x ＋－x x ＋x ＋2＝2x ＋2，∴k ＝f ′(－1)＝2－1＋2＝2.∴切线方程为：y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1. 答案：A3．若过函数f (x )＝ln x ＋ax 上的点P 的切线与直线2x －y ＝0平行，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，2)C ．(2，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：设过点P (x 0，y 0)的切线与直线2x －y ＝0平行，因为f ′(x )＝1x＋a ，故f ′(x 0)＝1x 0＋a ＝2，得a ＝2－1x 0，由题意知x 0＞0，所以a ＝2－1x 0＜2.答案：B4．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x (e 为自然对数的底数)，则f ′(e)等于( )A.1e B ．e C ．－1eD ．－e解析：由f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(e)＋1x ，则f ′(e)＝2f ′(e)＋1e⇒f ′(e)＝－1e.答案：C5．函数y ＝sin x －cos x 2cos x 在x ＝π3处的导数为________．解析：y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x －cos x 2cos x ′＝⎝⎛⎭⎪⎫12tan x －12′＝12cos 2x ，∴x ＝π3时，y ′＝12cos2π3＝2.答案：26．若点P 是曲线f (x )＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的距离最小时点P 的坐标为________．解析：过点P 作y ＝x －2的平行直线l ，且与曲线f (x )＝x 2－ln x 相切．设P (x 0，x 20－ln x 0)，则直线l 的斜率k ＝f ′(x 0)＝2x 0－1x 0，∴2x 0－1x 0＝1，∴x 0＝1或x 0＝－12(舍去)，∴点P 的坐标为(1,1)．答案：(1,1)7．求下列函数的导数．(1)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x ；(2)y ＝ln x ＋2xx2； (3)y ＝1－12sin 2x 2.解：(1)∵y ＝＋x 21－x＋－x 21－x＝＋x1－x＝41－x－2, ∴y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫41－x －2′＝－x －－x－x2＝4－x2.(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x 2＋2xx 2′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x 2′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2xx 2′＝1x ·x 2－ln x ·2x x 4＋2x ·ln 2·x 2－2x·2x x4＝1－2ln x x ＋ln 2·x 2－2x ·2xx 4＝1－2ln x ＋ln 2·x －22xx 3.(3)∵y ＝1－12sin 2x 2＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋1－2sin 2x 2＝14(3＋cos x )＝34＋14cos x ，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34＋14cos x ′＝－14sin x .8．已知函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋ln x .(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)当a ≥1时，求证：当x ∈[1，e]时，f ′(x )≥0，其中e 为自然对数的底数．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝x 2－3x ＋ln x ，f ′(x )＝2x －3＋1x，因为f ′(1)＝0，f (1)＝－2，所以切线方程是y ＝－2.(2)证明：函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋ln x 的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝2ax －(a ＋2)＋1x.即f ′(x )＝2ax 2－a ＋x ＋1x＝x －ax －x，当a ≥1时，在x ∈[1，e]上，2x －1＞0，ax －1≥0，可得f ′(x )≥0.对应学生用书P44]一、导数的概念1．导数：f ′(x 0)＝li m Δx →0f x 0＋Δx －f x 0ΔxΔx 是自变量x 在x 0处的改变量，它可正、可负，但不可为零，f ′(x 0)是一个常数． 2．导函数：f ′(x )＝li m Δx →0 f x ＋Δx －f xΔx f ′(x )为f (x )的导函数，是一个函数．二、导数的几何意义1．f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x 0处切线的斜率，这是导数的几何意义． 2．求切线方程：常见的类型有两种：一是函数y ＝f (x )“在点(x 0，f (x 0))处的切线方程”，这种类型中(x 0，f (x 0))是曲线上的点，其切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．二是函数y ＝f (x )“过某点的切线方程”，这种类型中，该点不一定为切点，可先设切点为Q (x 1，y 1)，则切线方程为y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)，再由切线过点P (x 0，y 0)得y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)，又y 1＝f (x 1)，由上面两个方程可解得x 1，y 1的值，即求出了过点P (x 0，y 0)的切线方程．三、导数的运算1．基本初等函数的导数： (1)f (x )＝c ，则f ′(x )＝0； (2)f (x )＝x α，则f ′(x )＝αxα－1；(3)f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，则f ′(x )＝a xln a . (4)f (x )＝log a x ，则f ′(x )＝1x ln a； (5)f (x )＝sin x ，则f ′(x )＝cos x ； (6)f (x )＝cos x ，则f ′(x )＝－sin x ；(7)f (x )＝tan x ，则f ′(x )＝1cos 2x ；(8)f (x )＝cot x ，则f ′(x )＝－1sin 2x .2．导数四则运算法则：(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝fx g x －f x gxg 2x.⎣⎢⎡⎦⎥⎤对应阶段质量检测三见8开试卷 (时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列求导运算正确的是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1＋1x2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(5x )′＝5xlog 5eD ．(x 2cos x )′＝2x sin x解析：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1－1x2；(5x )′＝5x ln 5；(x 2cos x )′＝(x 2)′cos x ＋x 2(cos x )′＝2x ·cos x －x 2sin x ，∴B 选项正确．答案：B2．设函数y ＝－3x ＋2在区间[－4，－2]上的平均变化率为a ，在区间[2,4]上的平均变化率为b ，则下列结论中正确的是( )A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＝bD ．不确定解析：一次函数y ＝kx ＋b 在区间[m ，n ]上的平均变化率都为常数k .∵y ＝－3x ＋2在区间[－4，－2]，[2,4]上的平均变化率都为常数－3，∴a ＝b ＝－3.答案：C3．运动物体的位移s ＝3t 2－2t ＋1，则此物体在t ＝10时的瞬时速度为( ) A ．281 B ．58 C ．85D ．10解析：t ＝10时的瞬时速度即为t ＝10时的导数值，s ′＝6t －2. ∴t ＝10时，s ′＝6×10－2＝58.答案：B4．若曲线f (x )＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－1解析：由f ′(x )＝2x ＋a ，得f ′(0)＝a ＝1，将(0，b )代入切线方程得b ＝1. 答案：A5．曲线f (x )＝x ＋13x 3在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43处的切线和坐标轴围成的三角形的面积为( ) A ．3 B ．2 C.13D.19解析：由题意，f ′(x )＝1＋x 2，故切线的斜率为k ＝f ′(1)＝2，又切线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43，∴切线方程为y －43＝2(x －1)，即y ＝2x －23，切线和x 轴、y 轴交点为(13，0)，(0，－23)．故所求三角形的面积＝12×13×23＝19.答案：D6．曲线f (x )＝2x 3－3x 在点P 处的切线斜率为3，则P 点坐标为( ) A ．(1，－1) B ．(－1，－5) C ．(－1,1)D ．(1，－1)或(－1,1)解析：设切点为(x 0，y 0)，则6x 20－3＝3. ∴x 20＝1，则x 0＝±1.当x 0＝1时，y 0＝－1；x 0＝－1时，y 0＝1，故选D. 答案：D7．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝( ) A ．－2 B ．2 C ．1D ．－4解析：∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)， ∴令x ＝1得，f ′(1)＝2＋2f ′(1)． ∴f ′(1)＝－2，即f (x )＝x 2－4x . ∴f ′(x )＝2x －4， ∴f ′(0)＝－4. 答案：D8．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，x ∈[－3,3]表示的曲线过原点，且在点(1，f (1))和点(－1，f (－1))处的切线斜率均为－2，则f (x )的奇偶性为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数解析：∵f (0)＝0，∴c ＝0，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 得⎩⎪⎨⎪⎧f ＝3＋2a ＋b ＝－2，f－＝3－2a ＋b ＝－2，解得a ＝0，b ＝－5，∴f (x )＝x 3－5x ，x ∈[－3,3]，f (x )为奇函数．答案：A9．(江西高考)若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1,0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．(－1,0)解析：令f ′(x )＝2x －2－4x＝x －x ＋x＞0，利用穿针引线法可解得－1＜x＜0或x ＞2，又x ＞0，所以x ＞2. 答案：C10．若点P 在曲线y ＝x 3－3x 2＋(3－3)x ＋34上移动，点P 处的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，πC.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，πD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3解析：y ′＝3x 2－6x ＋3－3＝3(x －1)2－3≥－3，即tan α≥－3，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)11．设f (x )＝1sin x ＋1cos x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝________.解析：f ′(x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1sin x ＋1cos x ′＝－cos x sin 2x ＋sin x cos 2x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－12⎝⎛⎭⎪⎫322＋32⎝⎛⎭⎪⎫122＝－23＋2 3.答案：－23＋2 312．点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为________．解析：∵y ′＝3x 2－10，设切点P (x 0，y 0)(x 0<0，y 0>0)，则曲线C 在点P 处切线的斜率k ＝3x 20－10＝2，∴x 0＝－2.∴点P 的坐标为(－2,15)．答案：(－2,15)13．设a 为实数，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数为f ′(x )，若f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为________．解析：∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a －3为偶函数，∴a ＝0， ∴f ′(x )＝3x 2－3，f ′(0)＝－3，∴所求切线方程为y ＝－3x . 答案：y ＝－3x14．已知f (x )＝x 3－12x 2＋bx ＋c 的图像存在与直线y ＝1平行的切线，则b 的取值范围是________．解析：由题意知，存在x 使f ′(x )＝3x 2－x ＋b ＝0，故Δ＝1－12b ≥0，得b ≤112.答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，112 三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知某运动着的物体的运动方程为s (t )＝t －1t2＋2t 2(路程单位：m ，时间单位：s)，求s ′(3)，并解释它的实际意义．解：∵s (t )＝t －1t 2＋2t 2＝t t 2－1t 2＋2t 2＝1t －1t 2＋2t 2， ∴s ′(t )＝－1t2＋2·1t3＋4t ， ∴s ′(3)＝－19＋227＋12＝32327，即物体在t ＝3 s 时的瞬时速度为32327m/s.16．(本小题满分12分)求满足下列条件的函数f (x )．(1)f (x )是三次函数，且f (0)＝3，f ′(0)＝0，f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0； (2)f (x )是二次函数，且x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1.解：(1)由题意设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .由已知⎩⎪⎨⎪⎧f ＝d ＝3，f ＝c ＝0，f＝3a ＋2b ＋c ＝－3，f＝12a ＋4b ＋c ＝0，解得a ＝1，b ＝－3，c ＝0，d ＝3. 故f (x )＝x 3－3x 2＋3.(2)由题意设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b .所以x 2(2ax ＋b )－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c )＝1，化简得(a －b )x 2＋(b －2c )x ＋c ＝1，此式对任意x 都成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ，b ＝2c ，c ＝1，得a ＝2，b ＝2，c ＝1，即f (x )＝2x 2＋2x ＋1.17．(本小题满分12分)已知两曲线f (x )＝x 3＋ax 和g (x )＝x 2＋bx ＋c 都经过点P (1,2)，且在点P 处有公切线，试求a ，b ，c 的值．解：∵点P (1,2)在曲线f (x )＝x 3＋ax 上， ∴2＝1＋a ，∴a ＝1，函数f (x )＝x 3＋ax 和g (x )＝x 2＋bx ＋c 的导数分别为f ′(x )＝3x 2＋a 和g ′(x )＝2x ＋b ，且在点P 处有公切线，∴3×12＋a ＝2×1＋b ，得b ＝2，又由点P (1,2)在曲线g (x )＝x 2＋bx ＋c 上可得2＝12＋2×1＋c ，得c ＝－1. 综上，a ＝1，b ＝2，c ＝－1.18．(本小题满分14分)已知直线l 1为曲线f (x )＝x 2＋x －2在点P (1,0)处的切线，l 2为曲线的另一条切线，且l 2⊥l 1.(1)求直线l 2的方程；(2)求直线l 1，l 2与x 轴所围成的三角形的面积S .解：(1)设直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，由题意可知k 1＝f ′(1)＝3，故直线l 1的方程为y ＝3x －3，由l 1⊥l 2，可知直线l 2的斜率为－13，设l 2与曲线相切于点Q (x 0，y 0)，则k 2＝f ′(x 0)＝－13，解得x 0＝－23，代入曲线方程解得y 0＝－209，故直线l 2的方程为y ＋209＝－13⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋23，化简得到3x ＋9y ＋22＝0.(2)直线l 1，l 2与x 轴交点坐标分别为(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，0，联立⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3＝0，3x ＋9y ＋22＝0解得两直线交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫16，－52，故所求三角形的面积S ＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－223－1×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－52＝12512.。

北师大版选修(1-1)3.4《导数的四则运算法则》word学案

§4 导数的四则运算法则一、学习目标：（1）掌握两个函数的和、差、积、商的求导法则（2）能正确运用两个函数的和差积商的求导法则和已有的导数公式求一些简单函数的导数二、问题导学：1．求函数2y x x =+的导数．2．函数2y x x =+的导数与函数2y x =的导数及函数y x =的导数之间有什么关系？3．导数的运算法则：如果(),()f x g x 都有导数且分别为)()(x g x f ''和，那么（1）])()(['±x g x f = ；(2) ])()(['∙x g x f = ；(3) ])(['x cf = ；(4) ])()(['x g x f = 。

三、自学检测：1.32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（） A 319 B 316 C 313 D 3102.曲线3()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（） A (1,0) B (2,8) C (1,0)和(1,4)-- D (2,8)和(1,4)--3. 曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________；4.已知曲线12-=x y 与31x y +=在0x x =处的切线互相垂直，求0x 的值四、典例导学：例1．求下列函数的导数：（1）2()sin f x x x =+；（2）323()622g x x x x =--+．例2．求下列函数的导数：（1）()sin h x x x = （2）y=sin2x (3)2)12(+=x y （4）21()t S t t+= (5) y =x 1·cos x例3：已知函数1()11(),a f x nx ax a R x-=-+-∈当1a =-时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程。

2.4导数的四则运算法则教案(北师大版选修2-2)

§4 导数的四则运算法则4．1导数的加法与减法法则4．2导数的乘法与除法法则(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)引导学生发现两函数和、差、积、商的求导法则；(2)运用两函数和、差、积、商的求导法则计算函数的导数．2．过程与方法通过对特殊的两个函数的和、差、积、商的导数与两函数导数的和、差、积、商的关系的探究学习，培养学生发现数学规律的方法与能力；通过法则的应用，提高学生化归转化的意识和能力．3．情感、态度与价值观(1)通过两函数和、差、积、商的求导法则的探索及推广，经历数学探究活动的过程，体会由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律，培养探究归纳意识和能力；(2)通过法则的应用实践，体会数学中“化繁为简”这一基本的解题策略，体会数学在认识世界、改变世界中的价值．●重点难点重点：和、差、积、商的求导法则的运用．难点：法则的提出与推导．教学时从具体实例出发，引导学生分析实例中函数的结构与基本初等函数的关系，并引导学生提出问题，然后利用导数的定义解决问题，从而从具体问题中化解难点，再通过对法则的适用，突出重点．(教师用书独具)●教学建议本节内容安排在学生学习了导数的定义和基本初等函数的求导公式之后，是对上述知识的应用和升华．因此，通过具体实例的分析和探索，让学生从联系与转化的角度提出问题、解决问题是本节课教学的关键．故本节课宜采用“探究→发现→应用”式教学模式，即在具体实例及教师的引导下，经过学生的探究发现问题，揭示规律并运用规律解决问题．●教学流程比较f′x，g′x与f x±g x，f x·g x，f xg x的导数关系.?通过学生归纳、猜想得出导数四则运算法则.?通过例1及变式训练，巩固导数四则运算法则的运用.?通过例2及变式训练，强化求导法则的应用，增强综合运用知识的能力.?通过例3及变式训练，完善已学知识使之系统.?归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识.?。

导数的四则运算教案

导数的四则运算教案
一、教学目标
1. 理解导数的四则运算，掌握导数的加、减、乘、除运算规则。

2. 能够运用导数的四则运算规则解决一些简单的实际问题。

3. 培养学生的数学逻辑思维和运算能力。

二、教学内容
1. 导数的加法运算规则
2. 导数的减法运算规则
3. 导数的乘法运算规则
4. 导数的除法运算规则
三、教学难点与重点
难点：理解导数的四则运算规则，掌握其应用方法。

重点：导数的加、减、乘、除运算规则。

四、教具和多媒体资源
1. 黑板
2. 投影仪
3. 教学软件：几何画板
五、教学方法
1. 激活学生的前知：回顾导数的定义和性质，为学习导数的四则运算做准备。

2. 教学策略：通过讲解、示范、小组讨论等方式进行教学。

3. 学生活动：进行导数的四则运算练习，解决实际问题。

六、教学过程
1. 导入：通过实际问题导入，例如：速度的变化与加速度的关系，曲线的切线斜率等。

2. 讲授新课：讲解导数的四则运算规则，并举例说明。

3. 巩固练习：给出几个实际问题，让学生运用导数的四则运算规则求解。

4. 归纳小结：总结导数的四则运算规则，强调在实际问题中的应用。

七、评价与反馈
1. 设计评价策略：通过课堂小测验或小组报告的方式评价学生的学习效果。

2. 为学生提供反馈：根据学生的测验或报告结果，为学生提供学习建议和指导。

八、作业布置
1. 完成教材上的相关练习题。

2. 自行寻找一些实际问题，运用导数的四则运算规则求解。

(北师大版)选修1-1课件：第3章-导数的四则运算法则-参考课件(2)

4 3
lnx (3)y＝x· a (a>0)；(4) (x>0)． x
x
解析：
(1)y′＝(x4－x3－x＋3)′
＝(x4)′－(x3)′－(x)′＋3′ ＝4x3－3x2－1.
(2)方法一：∵y＝2· x ＋3· x ， ∴y′＝(2x－2＋3x－3)′ ＝(2x－2)′＋(3x－3)′ －4 －9 4 9 ＝－4x －9x ＝ x3 ＋ x4 ＝－x3－x4.
；
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
；；
(5)若f(x)＝tan
(6)若f(x)＝cot x，则f′(x)＝
axln a
1 2 cos x x，则f′(x )＝ 1 － 2 sin x
；
(7)若f(x)＝ax，则f′(xx)＝
e
1 (8)若f(x)＝ex，则f′(x)＝ xln； a
(a>0)；
(9)若f(x)＝logax，则f′(x)＝且a≠1)；
理由
(3)
利用了导数的除法法则
f′(x)＝(x)′lg x＋x(lg x)′
(4)
1 ＝lg x＋x· xln 10 1 ＝lg x＋ ln 10
利用了导数的乘法法则
1.求下列函数的导数： (1)y＝(2x2＋3)(3x－2)； x－1 (2)y＝； x＋1 (3)y＝x· tanx.
解析： (1)方法一： y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′ ＝4x(3x－2)＋(2x ＋3)· 3＝18x －8x＋9. 方法二：∵y＝(2x2＋3)· (3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6， ∴y′＝18x －8x＋9.
1 (1)y＝2 xsin x＋ cos x； x x4 (2)y＝； 2＋logax 1 1 (3)y＝＋； 1－ x 1＋ x (4)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)．

高中数学北师大版选修11第三章计算导数导word学案

计算导数
学习目标：能够用导数的概念求几个常常利用初等函数的导数。

一、自学、试探、练习忆一忆：
一、函数在一点处导数的概念；
二、导数的几何意义；[
3、导函数的概念；
4、求函数的导数的步骤。

二、参与学习
试一试：
一、你能推导下列函数的导数吗？
（1）()f x c =
（2）()f x x =
（3）2()f x x =
（4）1()f x x =
（5）()f x x =
二、在同一坐标系中画出函数2,3,4y x y x y x ===的图象，并按照导数概念求出它们的导数
（1）从图象看它们的导数别离表示什么；
（2）这三个函数中，哪个增加的最快，哪个增加的最慢；
（3）函数(0)y kx k =≠的导数是什么，它的增减快慢与什么有关。

3、已知曲线x x y 1+
=上一点)25,2(A ，用斜率概念求：
（1）点A 的切线的斜率（2）点A 处的切线方程[
三、达标训练：
1.若是函数()5f x =，则'(1)f =（）
A. 5
B. 1
C. 0
D.不存在
2.曲线
221y x =-+在点（0，1）的切线斜率是（） .0 C D. 不存在
3.曲线212y x =在点1(1,)2处切线的倾斜角为（）
A. 4π-
B. 1
C. 4π
D. 54π 4.求函数
323)(3-+-=x x x f 的导数。

四、课后作业：
1.求双曲线
1y x =
过点1(2,)2的切线方程。

2019-2020年高中数学 3.4 导数的四则运算法则二教案北师大选修1-1

2019-2020年高中数学 3.4 导数的四则运算法则二教案北师大选修1-1 教学过程：一、复习引入：常见函数的导数公式：；(k,b 为常数) ； ()'ln (0,1)且x x a a a a a =>≠ 11(log )'log (0,1)ln 且a a x e a a x x a==>≠ ；二、讲解新课：例1.求的导数.法则 1 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，即 []()()''()'()f x g x f x g x ±=±法则2常数与函数的积的导数，等于常数与函数的积的导数．法则3两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即 []()()''()()()'()f x g x f x g x f x g x =+证明：令，则--+-，+因为在点x 处可导，所以它在点x 处连续，于是当时，，从而+，法则4 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，即'2()'()()()'()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎛⎫-=≠ ⎪⎝⎭三、讲解范例：例1 1、求y =x 2+sin x 的导数.2、求的导数．(两种方法)3、求下列函数的导数 ⑴ ⑵4、y =5x 10sin x －2cos x －9，求y ′5、求y =的导数.变式：(1)求y =在点x =3处的导数.(2) 求y =·cos x 的导数.例2求y =tan x 的导数.例3求满足下列条件的函数 (1) 是三次函数,且(0)3,'(0)0,'(1)3,'(2)0f f f f ===-=(2)是一次函数, 2'()(21)()1x f x x f x --=变式：已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图象过点P(0,2)，且在点M处(-1，f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0，求函数的解析式四、课堂练习：1.求下列函数的导数：(1)y= (2)y= (3)y=五、小结：由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数,商的导数法则()′=(v≠0)，如何综合运用函数的和、差、积、商的导数法则，来求一些复杂函数的导数.要将和、差、积、商的导数法则记住六、课后作业：2019-2020年高中数学 3.4 导数的四则运算法则教案北师大选修1-1教学过程：一．创设情景四种常见函数、、、的导数公式及应用二．新课讲授（一）基本初等函数的导数公式表（2）推论：（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）三．典例分析例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为，物价（单位：元）与时间（单位：年）有如下函数关系，其中为时的物价．假定某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？解：根据基本初等函数导数公式表，有所以'10(10) 1.05ln1.050.08p =≈（元/年）因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨．例2．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．（1）（2）y ＝；（3）y ＝x · sin x · ln x ；（4）y ＝；（5）y ＝．（6）y ＝（2 x 2－5 x ＋1）e x（7） y ＝【点评】① 求导数是在定义域内实行的．② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心．例3日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为时所需费用（单位：元）为5284()(80100)100c x x x=<<- 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）（2）解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．''''252845284(100)5284(100)()()100(100)x x c x x x ⨯--⨯-==-- 20(100)5284(1)(100)x x ⨯--⨯-=- （1）因为'25284(90)52.84(10090)c ==-，所以，纯净度为时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨．（2）因为'25284(98)1321(10090)c ==-，所以，纯净度为时，费用的瞬时变化率是1321元/吨．函数在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，．它表示纯净度为左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为左右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．四．课堂练习1．课本P 92练习2．已知曲线C ：y ＝3 x 4－2 x 3－9 x 2＋4，求曲线C 上横坐标为1的点的切线方程；（y ＝－12 x ＋8）五．回顾总结（1）基本初等函数的导数公式表（2）导数的运算法则六．布置作业。

高中数学北师大版选修1-1第三章《导数的四则法则运算》ppt课件2

求含有和、差、积、商综合运算的函数的
导数；3、能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。4、法则：一般地，
若两个函数 f (x) 和 g(x) 的导数分别是
f (x) 和 g (x) ，我们有
[ f (x)g(x)] f (x)g(x) f (x)g(x)

特别地，当 g(x) k

f (x)

g
(x)

f (x)g(x) f (x)g(x)
g ( x)2
3:求下列函数的导数
(1)y=tanx
y'
( sin x )' cos x
cos2 x sin 2 cos2 x
x

1 cos2
x
(2) y

x3 x2 3
y'

x2 6x (x2 3)2
y
'
x
2
x(2x (2x
1)2 (x 1) 6

1)
2.已知函数y=xlnx (1)求这个函数的导数 (2)求这个函数在点x=1处的切线方程
解：(1) y' x (ln x)' ln x(x)' 1 ln x
(2)切线过点P(1,0) 斜率k 1 ln1 1
切线方程是：y=x-1
3
应用:
1.求下列函数的导数:
(1)y=2xtanx
y'

2
tan
(2) y (x 2)3(3x 1)2
y' 3(x 2)2 (15x2 4x 3)
(3) y 2x ln x y' 2x 2x ln 2 ln x

高中数学北师大版选修1-1课件：第三章 4 导数的四则运算法则

[方法规律总结] 1.导数的应用中，求导数是一个基本解题环节，应仔细分析函数解析式的结构特征，根据导数公式及运算法则求导数，不具备导数运算法则的结构形式时，先恒等变形，然后分析题目特点，探寻条件与结论的联系，选择解题途径．
2．求参数的问题一般依据条件建立参数的方程求解．
变式训练：
直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b的值为( )
第三章变化率与导数
§4 导数的四则运算法则
能利用给出的基本初等函数的导数公式表和导数的四则运算法则求简单函数的导数.
知识点一、导数的运算法则
思维导航我们已经会求幂函数、指数函数、对数函数及 y＝sinx，y ＝cosx，y＝tanx，y＝cotx 的导数，那么怎样求 f(x)与 g(x)的和、差、积、商的导数呢？设 f(x)、g(x)是可导函数， F(x)＝f(x)＋g(x)，G(x)＝f(x)·g(x)，则Fx＋ΔΔxx－Fx
解法二：y＝(x2＋2x＋1)(x－1)＝x3＋x2－x－1， y′＝(x3＋x2－x－1)′＝3x2＋2x－1. (2)y′ ＝ (x2sinx)′ ＝ (x2)′sinx ＋ x2(sinx)′ ＝ 2xsinx ＋ x2cosx. (3)y′＝1x＋x22＋x33′＝(x－1＋2·x－2＋3·x－3)′＝－x－2－ 4x－3－9x－4＝－x12－x43－x94.
A．2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱB．－1
C．1
D．－2
[解析] 由条件知，点A在直线上，∴k＝2，又点A在曲线上， ∴a＋b＋1＝3，∴a＋b＝2.由y＝x3＋ax＋b得y′＝3x2＋a，∴3 ＋a＝k，∴a＝－1，∴b＝3，∴2a＋b＝1.
[答案] C

北师大版数学高二课件 3.4 导数的四则运算法则

12345
解析答案
规律与方法
求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数.在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式.对于不具备导数运算法则结构形式的要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.
则f′(1)等于
A.－3
B.2e
2 C.1－2e
√D.1－32e
解析 ∵f′(x)＝2exf′(1)＋3x，
令x＝1，得f′(1)＝2ef′(1)＋3，
∴f′(1)＝1－32e.
解析答案
命题角度2 与切线有关的问题
例4
(1)设曲线
2－cos y＝ sin x
x在点π2，2处的切线与直线
x＋ay＋1＝0
思考2 若y＝h(x)＝f(x)＋g(x)，I(x)＝f(x)－g(x)，那么h′(x)，I′(x)分
别与f′(x)，g′(x)有什么关系？
答案 ∵Δy＝(x＋Δx)＋x＋1Δx－x＋1x＝Δx＋x－ x＋ΔΔxx， ∴ΔΔyx＝1－xx＋1 Δx.
∴h′(x)＝ lim Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
跟踪训练1 求下列函数的导数： (1)f(x)＝xln x；解 f′(x)＝(xln x)′＝ln x＋x·1x＝ln x＋1.
解答
x－1 (2)y＝x＋1；解方法一 y′＝xx＋－11′＝x＋1x－＋1x－2 1＝x＋212. 方法二 y＝x＋x＋1－1 2＝1－x＋2 1， ∴y′＝1－x＋2 1′＝－x＋2 1′ ＝－2′x＋1x＋－122x＋1′＝x＋212.
A.2 解析
1 B.2

教学设计1：1.2.3 导数的四则运算法则

1.2.3 导数的四则运算法则教学目标：了解复合函数的求导法则，会求某些简单复合函数的导数.教学重点：掌握复合函数导数的求法教学难点：准确识别一个复合函数的复合过程以便准确应用求导法则进行求导. 教学过程：（一）复习引入1. 几种常见函数的导数公式(C )'＝0 (C 为常数)． (x n )'＝nx n －1 (n ∈Q)． ( sin x )'＝cos x ． ( cos x )'＝－sin x ．2．和（或差）的导数 (u ±v )'＝u '±v '．3．积的导数 (uv )'＝u 'v ＋uv '． (Cu )'＝Cu ' ． 4．商的导数 ).0(2≠'-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛v v v u v u v u（二）讲授新课1．复合函数：如 y ＝(3x －2)2由二次函数y ＝u 2 和一次函数u ＝3x －2“复合”而成的．y ＝u 2 ＝(3x －2)2 ．像y ＝(3x －2)2这样由几个函数复合而成的函数，就是复合函数．复合函数的导数一般地，设函数u ＝ϕ(x )在点x 处有导数u'x ＝ϕ'(x )，函数y ＝f (u ) 在点x 的对应点u 处有导数y'u ＝f '(u ) ，则复合函数y ＝f (ϕ(x )) 在点x 处也有导数，且 y'x ＝y'u ·u'x ．或写作 x f '(ϕ(x ))＝f '(u ) ϕ'(x )．复合函数对自变量的求导法则，即复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的函数，乘中间变量对自变量的导数．例题讲解：例1：求y ＝(3x －2)2的导数．解：法1：y'＝[(3x －2)2]' ＝(9x 2－12x ＋4)'＝18x －12．法2：由于y'u ＝2u ，u'x ＝3，因而 y'x ＝y'u ·u'x ＝2u ·3＝2(3x －2)·3＝18x －12．例2：求y ＝(2x ＋1)5的导数．解：设y ＝u 5，u ＝2x ＋1，则 y'x ＝y'u ·u'x ＝(u 5)'u ·(2x ＋1) 'x ＝5u 4·2＝5(2x ＋1)4·2＝10(2x ＋1)4．例3：求下列函数的导数．(1)y ＝2x 2＋3x 3；(2)y ＝x 3·10x ； (3)y ＝cos x ·ln x ；(4)y ＝x 2sin x. 解：(1)y ＝2x 2＋3x 3＝2x －2＋3x －3， y ′＝－4x －3－9x －4.(2)y ′＝(x 3)′·10x ＋x 3·(10x )′＝3x 2·10x ＋x 3·10x ·ln10.(3)y ′＝(cos x )′·ln x ＋cos x ·(ln x )′＝－sin x ·ln x ＋cos x x. (4)y ′＝(x 2)′·sin x －x 2·(sin x )′sin 2x＝2x sin x －x 2cos x sin 2x. 课堂检测：1．函数y ＝(x －a )(x －b )的导数是( )A ．abB ．－a (x －b )C ．－b (x －a )D ．2x －a －b【答案】D【解析】解法一：y ′＝(x －a )′(x －b )＋(x －a )(x －b )′＝x －b ＋x －a ＝2x －a －b . 解法二：∵y ＝(x －a )(x －b )＝x 2－(a ＋b )x ＋ab∴y ′＝(x 2)′－[(a ＋b )x ]′＋(ab )′＝2x －a －b ，故选D.2．函数y ＝12(e x ＋e －x )的导数是( ) A ．12(e x －e －x ) B ．12(e x ＋e －x ) C ．e x －e －xD ．e x ＋e －x【答案】A【解析】y ′＝⎣⎡⎦⎤12(e x ＋e －x )′＝12[(e x )′＋(e －x )′]＝12(e x －e －x )．故选A. 3．函数f (x )＝x 2＋a 2x(a >0)在x ＝x 0处的导数为0，则x 0是( ) A ．aB ．±aC ．－aD ．a 2【答案】B【解析】解法一：f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －(x 2＋a 2)x 2＝x 2－a 2x 2，∴f ′(x 0)＝x 20－a2x 20＝0，得：x 0＝±a .解法二：∵f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x 2＋a 2x ′＝⎝⎛⎭⎫x ＋a2x ′＝1－a 2x 2，∴f ′(x 0)＝1－a 2x 20＝0，即x 20＝a 2，∴x 0＝±a .故选B.4．若函数y ＝sin 2x ，则y ′等于( )A ．sin 2xB ．2sin xC ．sin x cos xD ．cos 2x【答案】A【解析】∵y ＝sin 2x ＝12－12cos 2x∴y ′＝⎝⎛⎭⎫12－12cos2x ′＝sin2x .故选A.5．函数y ＝(x ＋1)2(x －1)在x ＝1处的导数等于() A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】y ′＝[(x ＋1)2]′(x －1)＋(x ＋1)2(x －1)′＝2(x＋1)·(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1，∴y′|x＝1＝4.故选D.（三）课堂小结f'(ϕ(x))＝f '(u) ϕ'(x)．复合函数的导数：x（四）课后作业。