河南省郑州市2019届高三上入学考试数学试题(理)含答案

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河南省2019届高三上学期阶段性检测(三)数学(理)试卷含答案

河南省2018〜2019年度高三年级阶段性检测(三)数学（文科）考生注意：1.本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟。

2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：高考全部内容第I 卷―、选择题:本题共12小题,每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 若复数z 满足(2+i)z=3-i ，则z 的虚部为A.iB.-iC.1D.-12.已知集合 A={3<|x N x ∈}，B={0|2≤-x x x }，则=B AA. {0,1}B. {1}C.[0,1]D. (0,1] 3.某公司新研发了甲、乙两种不同型号的手机，公司统计了消费者对这两种型号手机的评分情况，作出如下的雷达图，则下列说法不正确的是A.甲型号手机在外观方面比较好B.甲、乙两型号的系统评分相同C.甲型号手机在性能方面比较好D.乙型号手机在拍照方面比较好4.已知正项等比数列{n a }满足= 20,1653582=+=a a a a a ,则公比=qA.-2B.2C. ±2D.45.已知△ABC 是边长为1的等边三角形，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，则=⋅A. 43-B. 43C. 83-D. 836.已知)(x f 是偶函数，且当x>0时，222)(-+=x ex x f ，则曲线)(x f y =在点（一l ，)1(-f )处的切线方程为A. 024=++y xB. 013=++y xC. 064=+-y xD. 01=-+y x7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A. 12211++π B. 1)26(++π C. 212211++π D. 21)26(++π 8.设抛物线C: px y 22= (p>0)的焦点为F ，过点F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若316||=AB ，则=p A. 1 B. 2 C.3 D. 410.有一种“三角形”能够像圆一样，当作轮子用.这种神奇的三角形，就是以19世纪德国工程师勒洛的名字命名的勒洛三角形.这种三角形常出现在制造业中(例如图1中的扫地机器人)。

河南郑州2019高三上第一次质量检测-数学(理)

河南郑州2019高三上第一次质量检测-数学（理）理科数学第I 卷【一】选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的、1.假设集合},2,1,0{x A =，A B A x B =⋃=},,1{2，那么满足条件的实数x 的个数有 A 、个B 2个C 、3个D 4个2.假设复数i z -=2，那么zz 10+等于 A.i -2 B.i +2 C.i 24+ D.i 36+3.直线1+=kx y 与曲线b ax x y ++=3相切于点)3,1(A ，那么b a +2的值等于 A.2B 、1-C 、D 、2-4.我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰截机起降飞行训练中，有5架歼15-飞机预备着舰假如甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法 A.12B.18C.24D.485.执行如下图的程序框图，假设输入2=x ，那么输出y 的值为 A 、5B.9C.14D.416.图中阴影部分的面积S 是h 的函数(H h ≤≤0)，那么该函数的大致图象是7.双曲线)0,0(12222>>=-b a bx a y 的离心率为3，那么双曲线的渐近线方程为 A.x y 22±= B.x y 2±= C.x y 2±= D.x y 21±=8.把70个面包分5份给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的61是较小的两份之和，问最小的份为A.2B.8C.14D.209.在三棱锥BCD A -中，侧棱AD AC AB ,,两两垂直，ADB ACD ABC ∆∆∆,,的面积分别为26,23,22，那么该三棱锥外接球的表面积为 A.π2 B.π6 C.π64 D.π2410.设函数x x x f cos sin )(+=，把)(x f 的图象按向量)0)(0,(>=m m a 平移后的图象恰好为函数)('x f y =的图象，那么m 的最小值为A.4πB.3πC.2πD.32π 11.抛物线y x 42=上有一条长为6的动弦AB ，那么AB 中点到x 轴的最短距离为A.43B.23C.D.2 12.设函数xx x f 1)(-=，对任意),1[+∞∈x ,⋅<+0)(2)2(x mf mx f 恒成立，那么实数m 的取值范围是A.)21,(--∞B.)0,21(-C.)21,21(-D.)21,0( 第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。

河南省郑州市高三上学期入学考试数学(理)试题Word版含答案

河南省郑州市高三上学期入学考试数学（理）试题Word 版含答案理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{ln 0}A x x =≤，5{,,}2B x R z x i z i =∈=+≥是虚部单位，A B =I （） A ．11(,][,1]22-∞-U B ．1[,1]2C ．(0,1]D ．[1,)+∞2.已知向量,a b r r 均为单位向量，若它们的夹角为060，则3a b +r r 等于（）A ．7B ．10C ．13D ．43.若二项式22()n x x-展开式的二项式系数之和为8，则该展开式的系数之和为（） A ．-1 B ．1 C ．27 D ．-27 4.将函数()f x 的图象向左平移6π个单位后得到函数()g x 的图象如图所示，则函数()f x 的解析式是（）A ．()sin(2)6f x x π=-（x R ∈）B ．()sin(2)6f x x π=+（x R ∈） C. ()sin(2)3f x x π=-（x R ∈） D ．()sin(2)3f x x π=+（x R ∈） 5.已知两条不重合的直线,m n 和两个不重合的平面,αβ，若m α⊥，n β⊂，则下列四个命题：①若//αβ，则m n ⊥；②若m n ⊥，则//αβ； ③若//m n ，则αβ⊥；④若αβ⊥，则//m n其中正确命题的个数是（）A ．0B ．1 C.2 D ．3 6.阅读下面程序框图，输出的结果s 的值为（）A ．32-B ．0 C. 32D 37.已知圆22()1x a y -+=与直线y x =相切于第三象限，则a 的值是（） A 2 B ．2- C. 2±．2-8.若变量,x y 满足条件106010x y x y x --≤⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则xy 的取值范围是（）A ．[0,5]B ．35[5,]4 C. 35[0,]4D ．[0,9] 9.在ABC ∆中，060A =，1b =，3ABC S ∆=sin cC=（）A ．8381B ．393 C. 33 D ．2710.设m N ∈，若函数()21010f x x m x =--存在整数零点，则符合条件的m 的取值个数为（）A ．2B ．3 C. 4 D ．511.已知双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的左、右两个焦点分别为12,F F ，以线段12F F 为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M ，若122MF MF b -=，该双曲线的离心率为e，则2e=（）A．2 B．21+C.322+D．51+12.数学上称函数y kx b=+（,k b R∈，0k≠）为线性函数，对于非线性可导函数()f x，在点x附近一点x的函数值()f x，可以用如下方法求其近似代替值：'000()()()()f x f x f x x x≈+-，利用这一方法， 4.001m=的近似代替值（）A．大于m B．小于m C.等于m D．与m的大小关系无法确定第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设函数2()f x ax b=+（0a≠），若3()3()f x dx f x=⎰，00x>，则x=．14.由数学2，0，1，7组成没有重复数字的四位偶数的个数为．15.下图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图均是高为2，底边长为22的等腰三角形，俯视图是边长为2的正方形，则该几何体的外接球的体积是．16.已知函数22cos[(1)sin[(1)]44()45x xf xx xππ--+-=++（40x-≤≤），则()f x的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 等差数列{}na中，已知35a=，且123,,a a a为递增的等比数列.（1）求数列{}na的通项公式；（2）若数列{}n b 的通项公式1212,212,2n n na n kb n k +-=-⎧⎪=⎨⎪=⎩（*k N ∈），求数列{}n b 的前n 项和n S .18. 河南多地遭遇跨年霾，很多学校调整元旦放假时间，提前放假让学生们在家躲霾，郑州市根据《郑州市人民政府办公厅关于将重污染天气黄色预警升级为红色预警的通知》，自12月29日12时将黄色预警升级为红色预警，12月30日0时启动I 级响应，明确要求“幼儿园、中小学等教育机构停课，停课不停学”学生和家长对停课这一举措褒贬不一，有为了健康赞成的，有怕耽误学习不赞成的，某调查机构为了了解公众对该举措的态度，随机调查采访了50人，将调查情况整理汇总成下表：年龄（岁） [15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75]频数 5 10 15 10 5 5 赞成人数469634（1）请在图中完成被调查人员年龄的频率分布直方图；（2）若从年龄在[25,35)，[65,75]两组采访对象中各随机选取2人进行深度跟踪调查，选中4人中不赞成这项举措的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.19. 如图所示的多面体中，ABCD 是平行四边形，BDEF 是矩形，BD ⊥面ABCD ，6ABD π∠=，2AB AD =.（1）求证：平面BDEF ⊥平面ADE ；（2）若ED BD =，求AF 与平面AEC 所成角的正弦值.20. 已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的离心率为32，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为8.（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，斜率为12的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，点(2,1)P 在直线l 的左上方，若090APB ∠=，且直线,PA PB 分别与y 轴交于,M N 点，求线段MN 的长度21. 已知函数ln ()xf x x a=+（a R ∈），曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线10x y ++=垂直.（1）试比较20172016与20162017的大小，并说明理由；（2）若函数()()g x f x k =-有两个不同的零点12,x x ，证明：212x x e •>.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩，（t 为参数，[0,)απ∈），以原点O 为极点，以x 轴正关轴为极轴，与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=.（1）设(,)M x y 为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围；（2）若直线l 与曲线C 交于两点,A B ，求AB 的最小值. 23.选修4-5：不等式选讲已知()215f x x ax =-+-（05a <<）（1）当1a =时，求不等式()9f x ≥的解集；（2）如果函数()y f x =的最小值为4，求实数a 的值.试卷答案一、选择题1-5: BCAAC 6-10:CBDBC 11、12：DA二、填空题13.16. 2三、解答题17.解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，由题意2333(2)(2)()a d a d a d -+=-，即220d d -=，解之得2d =或0d =（舍去），所以3(3)21n a a n d n =+-=-，即21n a n =-，*n N ∈为所求（2）当2n k =，*k N ∈时，121321242n n k k S b b b b b b b b b -=+++=+++++++L L L 01112(222)k k a a a -=+++++++L L2(121)1221212kk k k k +--=+=+--22214nn =+-；当21n k =-，*k N ∈时，12n k +=11122122211(1)23212244n n n n n n n n n S S b ++--++++-=-=+--=+综上，2212221,24232,214nn n n n k S n n n k -⎧+-=⎪⎪=⎨+-⎪+=-⎪⎩，（*k N ∈）18.解：（1）补全频率分布直方图如图年示：（2）X 的所有可能的取值为0，1，2，3，2264225109015(0)45075C C P X C C ==•==， 2111264644222251051020434(1)45075C C C C C P X C C C C •==•+•==， 1112246444222251051013222(2)45075C C C C C P X C C C C ==•+•==， 124422510244(3)45075C C P X C C ==•==X0 1 2 3P1575 34752275 475()0123 1.275757575E X =⨯+⨯+⨯+⨯=所以X 的数学期望为() 1.2E X =.19.（1）证明：在平行四边形ABCD 中，6ABD π∠=，2AB AD =，由余弦定理，得BD =，从而222BD AD AB +=，故BD AD ⊥. 可得ABD ∆为直角三角形且090ADB ∠=，又由DE ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，得DE BD ⊥ 又AD DE D =I ，所以BD ⊥平面ADE .由BD ⊂平面BDEF ，得平面BDEF ⊥平面ADE ，（2）解：由（1）可得在Rt ABD ∆中，3BAD π∠=，BD =，又由ED BD =设1AD =，BD ED ==DE ⊥平面ABCD ，BD AD ⊥，建立以D 为坐标原点，以射线,,DA DB DE 分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向的空间直角坐标系，如图所示：得(1,0,0)A，(C -，E，F设平面AEC 的法向量为(,,)n x y z =r ，得00n AE n AC ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩r u u u rr u u u r，所以020x x ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩令1z =，得2,1)n =r又因为(AF =-u u u r ，所以cos ,n AF n AF n AF•==•r u u u rr u u u r r u u u r 所以直线AF 与平面AEC所成角的正弦值为14.20.解：（1）由题意知222328c a ab a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解之得：28a =，22b =所以椭圆C 的方程为22182x y += （2）设直线1:2l y x m =+，11(,)A x y ，22(,)B x y 将12y x m =+代入22182x y +=中，化简整理，得222240x mx m ++-= 22(2)4(24)0m m ∆=-->，得22m -<<于是有122x x m +=-，21224x x m =-，1112PA y k x -=-，2212PB y k x -=-，注意到121221121211(1)(2)(1)(2)22(2)(2)PA PB y y y x y x k k x x x x ----+--+=+=---- 上式中，分子122111(1)(2)(1)(2)22x m x x m x =+--++--1212(2)()4(1)x x m x x m =+-+-- 224(2)(2)4(1)0m m m m =-+----=从而，0PA PB k k +=，由090APB ∠=，可知1,1PA PB k k ==-所以PMN ∆是等腰直角三角形，24P MN x ==即为所求.21.解：（1）依题意得'2ln ()()x a x x f x x a +-=+，所以'211()(1)1a f x a a +==++，又由切线方程可得'(1)1f =，即111a=+，解得0a = 此时ln ()x f x x =，'21ln ()x f x x -=，令'()0f x >，即1ln 0x ->，解得0x e <<；令'()0f x <，即1ln 0x -<，解得x e >所以()f x 的增区间为(0,)e ，减区间为(,)e +∞所以(2016)(2017)f f >，即ln 2016ln 201720162017>， 2017ln 20162016ln 2017>，2017201620162017>.（2）证明：不妨设120x x >>因为12()()0g x g x ==所以化简得11ln 0x kx -=，22ln 0x kx -=可得1212ln ln ()x x k x x +=+，1212ln ln ()x x k x x -=-.要证明212x x e >，即证明12ln ln 2x x +>，也就是12()2k x x +> 因为1212ln ln x x k x x -=-，所以即证121212ln ln 2x x x x x x ->-+ 即112212ln x x x x x x ->+，令12x t x =，则1t >，即证2(1)ln 1t t t ->+. 令2(1)()ln 1t h t t t -=-+（1t >），由2'2214(1)()0(1)(1)t h t t t t t -=-=>++ 故函数()h t 在(1,)+∞是增函数，所以()(1)0h t h >=，即2(1)ln 1t t t ->+得证.所以212x x e >.22.解：（1）将曲线C 的极坐标方程2cos 4sin ρθθ=，化为直角坐标方程为24x y = ∵(,)M x y 为曲线C 上任意一点，∴2211(2)144x y x x x +=+=+- ∴x y +的取值范围是[1,)-+∞. （2）将cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩，代入24x y =整理得22cos 4sin 40t t αα--=， ∴2216sin 16cos 160αα∆=+=>，设方程22cos 4sin 40t t αα--=的两根为12,t t 所以12244cos AB t t α=-=≥，当0α=时AB 取得最小值4.23.解：（1）当1a =时，()215f x x x =-+- 所以1()92639x f x x ⎧<⎪≥⇔⎨⎪-≥⎩或15249x x ⎧≤<⎪⎨⎪+≥⎩或5369x x ≥⎧⎨-≥⎩ 解之，得1x ≤-或5x ≥，即所求不等式的解集为(,1][5,)-∞-+∞U（2）∵05a <<，∴51a >，则1(2)6,215()(2)4,25(2)6,a x x f x a x x a a x x a ⎧-++<⎪⎪⎪=-+≤≤⎨⎪⎪+->⎪⎩，注意到12x <时()f x 单调递减，5x a>时()f x 单调递增，故()f x 的是小值在152x a ≤≤时取到，即min 021()()42a f x f <≤⎧⎪⎨==⎪⎩，或min 255()()4a f x f a <≤⎧⎪⎨==⎪⎩，解之，得2a =.。

河南省郑州市第一中学2019届高三上学期入学摸底测试数学(文)试题(解析版)

19届（高三）上期入学摸底测试文科数学试题附参考数据与参考公式：一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分别解绝对值不等式和分式不等式得集合A，B，再根据集合的运算法则计算．【详解】由题意，由得，则或，∴，∴．故选A．【点睛】本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素，然后再根据集合运算的定义求解．在解分式不等式时要注意分母不为0．2.欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位.特别是当时，被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】根据定义把写出复数的代数形式，再写出对应点坐标．【详解】由题意，对应点为，在第二象限．故选B．【点睛】本题考查复数的指数形式与代数形式的转化，考查复数的几何意义．解题关键是依定义把复数的指数形式化为代数形式．本题考查数学文化，使学生认识到数学美．3.已知向量，条件，条件，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】求出两向量平行的充要条件，再判断．【详解】，即，∴是的必要不充分条件．故选B．【点睛】向量，则，．4.函数的一个对称中心是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】把函数化为形式，结合正弦函数的对称性求解．【详解】由题意，由得，因此是一个零点，是一个对称中心．故选D．【点睛】对函数，由，，即对称中心为（），由，，即对称轴为（）．5.《九章算术》中的玉石问题：“今有玉方一寸，重七两：石方一寸，重六两.今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（即176两），问玉、石重各几何？”其意思为：“宝石1立方寸重7两，石料1立方寸重6两，现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体，棱长是3寸，质量是11斤（即176两），问这个正方体中的宝玉和石料各多少两？”如图所示的程序框图给出了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的分别为（）A. 90，86B. 94，82C. 98，78D. 102，74【答案】C【解析】执行程序：,故输出的分别为故选：C6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由三视图还原出原几何体，再计算体积．【详解】原几何体是一个圆柱与半个圆锥的组合体，体积为．故选C．【点睛】本题考查三视图，考查组合体的体积．解题关键是由三视图还原出原几何体．7.已知满足约束条件，若的最小值为，则（）A. B. C. 1 D. 2【答案】A【解析】【分析】最值一定在可行域的顶点处取得，作出直线，作出可行域．分析最小值点的位置．【详解】由不等式组知可行域只能是图中内部（含边界），作直线，平移直线，只有当过点时，取得最小值，易知，∴，解得．故选A．【点睛】本题考查简单和线性规划问题，解题关键是作出可行域，分析最优解在何处．可通过目标函数对应的直线分析可行域的形状、位置．8.函数y=sin2x的图象可能是A. B.C. D.【答案】D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.详解：令，因为，所以为奇函数，排除选项A,B;因为时，，所以排除选项C，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．9.设，函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】要使最小，则为函数的最小正周期．【详解】由题意，．故选A．【点睛】本题考查的图象与性质．考虑到此函数的周期性，因此图象向左（或右）平移的单位为一个周期或周期的整数倍，则所得图象与原图象重合．此类题常常与正弦函数的性质联系得解．10.函数与其导函数的图象如图，则满足的的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据导函数与原函数的关系可知，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，由图象可知，当时，函数的图象在图像的下方，满足；当时，函数的图象在图像的下方，满足；所以满足的解集为或，故选D.11.已知点都在函数的图象上，则与的大小关系为（）A. B. C. D. 与的大小与有关【答案】D【解析】【分析】求出，利用对数函数的性质比较与的大小．【详解】由题意，∴，，显然，∴当时，，当时，．故选D．【点睛】本题考查对数函数的性质，特别是对数函数的单调性．对数函数，在时为增函数，在时为减函数．因此当两个对数的底数是参数时，需要分类讲座都才能比较大小．12.点为双曲线的右支上一点，分别是圆和圆上的点，则的最大值为（）A. 8B. 9C. 10D. 7【答案】B【解析】试题分析：在双曲线中，为双曲线的右支上一点，所以分别是圆和上的点，则则所以最大值为9.考点：双曲线的定义的应用.二、填空题：本大题共4题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13.我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值线一.凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为，则，当时，__________．【答案】30【解析】【分析】由和表示（凑配）出．【详解】∵，∴，∴．故答案为30．【点睛】本题考查不定方程中解的问题，在有三元方程组中，只有两个方程时，如果一个未知数已知，则此方程变为二元一次方程组，从而可出，再求值，也可用整体凑配法求解．14.设正三棱锥的高为，且此棱锥的内切球的半径，，则__________．【答案】【解析】【分析】作出过侧棱PA和内切圆圆心O的截面三角形，在三角形中求解．【详解】如图，是棱锥的过侧棱PA和内切圆圆心O的截面三角形，是棱锥的高，是内切圆圆心，，由已知，，则，由得，∴，∴，，∴．故答案为．【点睛】本题考查正棱锥的外接球与内切球问题，解题关键是过球心作截面，球心一定在正棱锥的高上，高与底面的交点是底面正三角形的中心．抓住这些性质变可以解决问题．15.抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，且不在直线上，则周长的最小值为__________．【答案】13【解析】由抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离PF等于这点到准线的距离d,即FP=d.所以周长，填13.【点睛】解距离和及差最值问题常需要用到距离的转化及对称变换等。

河南省郑州市第一中学2019届高三上学期入学摸底测试数学(文)试题有答案

19届高三上期入学摸底测试文科数学试题注意事项：1.考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

附参考数据与参考公式：―、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知全集U = R ，集合 A = {1<1||-x x }，B= {1152|≥--x x x }，则I A ð=B U A.{2<1|x x ≤} B. {2<1|≤x x } C.{2<<1|x x } D.{4<1|x x ≤}2.欧拉公式x i x e ix sin cos += (i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，特别是当π=x 时，01=+ix e 被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”。

根据欧拉公式可知，e 2i表示的复数在复平面中位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.己知向量)2,4(),2,(m b m a -=-=，条件a p : //b ，条件2:=m q ，则 p 是q 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.函数x x x x f cos sin 32cos 21)(+=的一个对称中心是 A. )0,3(πB. )0,6(πC. )0,6(π-D. )0,12(π- 5.《九章算术》中的玉石问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两。

今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（即176两），问玉、石重各几何？ ”其意思为：“宝玉1立方寸重7两，石料1立方寸重6两，现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体，棱长是3寸，质量是11斤（即176两），问这个正方体中的宝玉和石料各多少两？ ”如图所示的程序框图给出了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的x ，分别为A. 90，86B. 94，82C. 98， 78D. 102， 746.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A. π)223(+ B. π)423(+ C. π)263(+ D. π)233(+ 7.已知a > 0，y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥)3(31x a y y x x ，若yx z +=2的最小值为23，则=a A.41 B. 21C.1D. 2 ( ) 8.函数x y x 2sin 2||=的图象可能是9.设ω> 0 ,函数1)3sin(2++=πωx y 的图象向右平移34π个单位后与原图象重合，则 A.23 B. 32 C. 34 D. 4310.函数)(x f 与其导函数)('x f 的图象如图，则满足)('x f <)(x f 的x 的取值范围为A.（0，4）B. )4,1(),(⋃-∞oC. )43,1( D. ),4()1,0(+∞⋃11.已知点))(,(+∈N n a n A n n 都在函数x x f a log )(=(a > 0且a≠1)的图象上，则73a a +与52a 的大小关系为A. 5732a a a =+B. 5732<a a a +C. 5732>a a a +D. 73a a +与52a 的大小与a 有关12.点P 为双曲线12222=-by a x 的右支上一点，M,N 分别是圆4)5(22=++y x 和圆1)5(22=+-y x 上的点，则||||PN PM -的最大值为 A. 8B. 9C. 10D. 7二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019届河南省郑州市高三第三次质量检测数学(理)试题(解析版)

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9．已知函数 f x A sin x ， A 0, 0, 则使 f a x f a x 0 成立的 a 的最小正值为（
的部分图象如图所示，
2
）
第 5 页共 22 页
A． 12
【答案】 B
B． 6
C．
4
D． 3
【解析】先由图像，求出 A, , ，可得函数 f (x) 的解析式，再由题
f a x f a x 0 易知 f ( x) 关于 x a对称，即可求得 a 的值 .
,2 ，若 a b / / a b ，则
__________ ．
第 9 页共 22 页
【答案】 2 .
【解析】由题意，先求得向量 a b, a b 的坐标，再根据共线向量的运算求得
的值
即可 . 【详解】
因为向量 a 1, ， b
,2 ，
所以 a b (1 ,2 ), a b (1 , 2)
又因为 a b / / a b
题.
6．等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若
S2 n 4 a1 a3
A ． 81
【答案】 C
a2n 1 BD PD B． 24
2
(6 2) 2
6 ， a1a2 a3
27 则 a5 （）
C． 81
D ． 24
【解析】由题，等比数列及其性质，易求出 a2 3 ，再取 n 1 ，求得 a1，即可求得
也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数
x4
fx
x 的图象大致是
41
（）
A．
B．
C．
D．
【答案】 D
【解析】先有函数的奇偶性，可排除 A 、B 选项，再取特值求得 f (3), f (4) ，根据函数

河南省郑州市第一中学2019届高三上学期入学摸底测试数学(文)试题(优质解析)

河南省六市2019届高三第一次联考数学(理)试题(解析版)

河南省六市2019届高三第一次联考数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得：，，则，故选C.2.设复数，则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】把代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】解：，．故选：D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】4.我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》……《缉古算经》等10部专著，有着丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选的2部名著中至少有1部是魏晋南北朝时期的名著的概率为( )A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：根据古典概型概率公式求解．详解：从10部专著中选择2部的所有结果有种．设“所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著”为事件A，则A包含的基本事件个数为．由古典概型概率公式可得．故选A．点睛：解答古典概型概率问题时要注意两点：一是对概率类型的判定；二是准确求出所有的基本事件个数和事件A 包含的基本事件的个数，然后按照公式求解．5.已知函数，，则“”是“函数为奇函数”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据函数奇偶性的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：若，则，则，则，即是奇函数，即充分性成立，若函数是奇函数，则满足，即，则，即必要性成立，则“”是“函数为奇函数”的充要条件，故选：C．【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断以及充分条件和必要条件的判断，利用函数奇偶性的定义以及对数函数的运算性质是解决本题的关键．6.某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的表面积为A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据三视图知该几何体是棱长为4的正方体截去一个圆柱体，结合图中数据求出它的表面积．【详解】解：根据三视图知，该几何体是棱长为4的正方体，截去一个圆柱体，如图所示；结合图中数据，计算该几何体的表面积为．故选：D．【点睛】本题考查了利用三视图求简单组合体的表面积应用问题，是基础题．7.若，，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先跟别判断出所在的范围，然后再比较大小．详解：∵，∴．∴，∴．故选A．点睛：比较幂和对数的大小时，由于面对的是两类不同的数，因此比较时可先判定出数所在的范围，从而可得大小关系；若仍无法比较，则选取适当的中间量（如0或1），根据各数与中间量的大小关系得到所求结论．8.将函数图象向左平移个单位后，得到函数的图象关于点对称，则函数在上的最小值是A. B. C. D.【答案】D【解析】将函数向左平移个单位后，得到函数解析式为：图象关于点对称则对称中心在函数图象上，可得：解得，，，则函数在上的最小值为故选9.已知变量x、t满足约束条件，则目标函数的最大值是A. B. C. D. 6【答案】D【解析】【分析】先画出满足条件的平面区域，由得，结合图象得到直线过时z最大，求出z的最大值即可．【详解】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由得，显然直线过时z最大，z的最大值是6，故选：D．【点睛】本题考察了简单的线性规划问题，考察数形结合思想，是一道中档题．10.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积的最大值为（）A. B. C. 2 D.【答案】A【解析】【分析】由已知式子和正弦定理可得B，再由余弦定理和基本不等式可得ac≤16，代入三角形的面积公式可得最大值．【详解】∵在△ABC中，∴（2a﹣c）cos B＝b cos C，∴（2sin A﹣sin C）cos B＝sin B cos C，∴2sin A cos B＝sin C cos B+sin B cos C＝sin（B+C）＝sin A，约掉sin A可得cos B＝，即B＝，由余弦定理可得16＝a2+c2﹣2ac cos B＝a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac，∴ac≤16，当且仅当a＝c时取等号，∴△ABC的面积S＝ac sin B＝ac≤故选：A．【点睛】本题考查解三角形，涉及正余弦定理和基本不等式以及三角形的面积公式，属中档题．11.抛物线的焦点为，设，是抛物线上的两个动点，，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由抛物线定义得所以由得,因此所以，选D.点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦AB的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．12.函数是定义在上的可导函数，为其导函数，若，且，则不等式的解集为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】构造函数，，利用导函数的单调性，转化求解不等式的解集即可．【详解】解：函数是定义在上的可导函数，为其导函数，令，则，可知当时，是单调减函数，并且，即，时，函数是单调增函数，，则，则不等式的解集就是的解集，即，故不等式的解集为：．故选：C．【点睛】本题考查函数的单调性的应用，不等式的解法，考查转化思想以及计算能力．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，，与的夹角为，若，，则在方向上的投影为______．【答案】【解析】【分析】根据的坐标可求出，进而求出，从而可求出，从而得出在方向上的投影为．【详解】解：，的夹角为；；；，且；在方向上的投影为：．故答案为：．【点睛】考查向量数量积的运算及计算公式，一个向量在另一个向量方向上投影的计算公式，以及向量夹角的余弦公式．14.在的展开式中，常数项为__________．【答案】【解析】由二项展开式的通项公式得：，显然时可能有常数项，当时，，有常数项，当，的展开式中含，故常数项为，当，常数项为1，所以展开式中的常数项．15.已知双曲线，焦距为2c，直线l经过点和，若到直线l的距离为，则离心率为______．【答案】或【解析】【分析】求出直线的方程，运用点到直线的距离公式，得到方程，结合a，b，c的关系和离心率公式，化简整理即可得到，解方程即可得到离心率，注意条件，则有，注意取舍．【详解】解：直线l的方程为，即为，，到直线l的距离为，可得：，即有，即，即，，由于，则，解得，或．由于，即，即有，即有，则或．故答案为：或．【点睛】本题考查双曲线的性质：离心率的求法，同时考查直线的方程和点到直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．16.如图，是等腰直角三角形，斜边，D为直角边BC上一点不含端点，将沿直线AD折叠至的位置，使得在平面ABD外，若在平面ABD上的射影H恰好在线段AB上，则AH的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】推导出，，，，，平面ABC，从而，当时，B与D重合，，当时，，由此能求出AH的取值范围．【详解】解：在等腰中，斜边，D为直角边BC上的一点，，，将沿直AD折叠至的位置，使得点在平面ABD外，且点在平面ABD上的射影H在线段AB上，设，，，，平面ABC，，当时，B与D重合，，当时，，为直角边BC上的一点，，的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查线段长的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.设数列前n项和为，且满足，．Ⅰ试确定r的值，使为等比数列，并求数列的通项公式；Ⅱ在Ⅰ的条件下，设，求数列的前n项和．【答案】（Ⅰ）；；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知令n=1即可求得；当n≥2时，，与已知式作差得，即从而可知欲使{a n}为等比数列，则，从而可求出r的值，进而可写出数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，从而，按n小于6和大于等于6讨论可求出数列的前n项和T n．试题解析：（Ⅰ）解：当n = 1时，1分当n≥2时，，与已知式作差得，即欲使{a n}为等比数列，则，又，∴5分故数列{a n}是以为首项，2为公比的等比数列，所以6分（Ⅱ）解：，若，9分若,，∴12分考点：1．等比数列的概念及通项公式；2．等差数列的前n项和.18.已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为32，48，现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．Ⅰ应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？Ⅱ若抽出的7人中有3人睡眠不足，4人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的数学期望和方差；设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．【答案】（Ⅰ）甲、乙、丙三个部门分别抽取2、3、2人；（Ⅱ）详见解析；．【解析】【分析】Ⅰ利用用分层抽样的性质能求出应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人．Ⅱ由题意得X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列、数学期望和方差．基本事件总数，事件A包含的基本事件个数，由此能求出事件A发生的概率．【详解】解：Ⅰ某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为32，48，32．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．应从甲部门的员工中抽取：人，乙部门的员工中抽取：人，丙部门的员工中抽取：人．Ⅱ由题意得X的可能取值为0，1，2，3，，，，，随机变量X的分布列为：，．抽出的7人中有3人睡眠不足，4人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．基本事件总数，A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，则事件A包含的基本事件个数，事件A发生的概率．【点睛】本题考查分层抽样的应用，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差、概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.已知五边形ABECD有一个直角梯形ABCD与一个等边三角形BCE构成，如图1所示，，且，将梯形ABCD沿着BC折起，形成如图2所示的几何体，且平面BEC．求证：平面平面ADE；求二面角的平面角的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2）．【解析】【分析】延长AD，BC相交于F，连接EF，证明面ABE，即可证明平面平面ADE；根据二面角平面角的定义作出二面角的平面角，即可求二面角的平面角的余弦值．【详解】证明：直角梯形ABCD中，延长AD，BC相交于F，则，连接EF，三角形BCE为等边三角形，是直角三角形，则，平面，平面BEC.．，面ABE，面ADF，平面平面ADE；由知面ABE，则，则是二面角的平面角，，设，则，，，则，即二面角的平面角的余弦值是．【点睛】本题主要考查空间面面垂直的证明以及二面角的求解，根据面面垂直的判定定理，以及二面角的平面角的定义作出二面角的平面角是解决本题的关键．20.已知椭圆C：的两个焦点分别为，，点P是椭圆上的任意一点，且的最大值为4，椭圆C的离心率与双曲线的离心率互为倒数．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ设点，过点P作两条直线，与圆相切且分别交椭圆于M，N，求证：直线MN的斜率为定值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.【解析】【分析】Ⅰ利用椭圆的离心率，以及基本不等式和椭圆的定义，求出a，b，然后求解椭圆方程．Ⅱ直线，的斜率存在，设为，，，，直线，与圆相切，则有，直线的方程为直线的方程为，与椭圆方程联立，求出，同理，当与椭圆相交时，然后求解直线的斜率即可．【详解】解：Ⅰ双曲线的离心率为，可得椭圆C 的离心率为，设椭圆的半焦距为c ，，，，，又椭圆方程为；Ⅱ证明：显然两直线，的斜率存在，设为，，，，由于直线，与圆相切，则有，直线的方程为，联立椭圆方程，消去y ，得，，M 为直线与椭圆的交点，所以，同理，当与椭圆相交时，，，而，直线MN 的斜率．【点睛】本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公式和基本量的关系，考查直线和椭圆的位置关系，注意联立椭圆方程和直线方程，运用韦达定理，注意运用基本不等式，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 21.已知函数．Ⅰ判断的单调性；Ⅱ求函数的零点的个数；Ⅲ令，若函数在内有极值，求实数a 的取值范围．【答案】（1）单调递增;（2）2；（3）【解析】试题分析：（Ⅰ）判断零点的个数问题，一般利用函数的单调性，然后判断极大值、极小值的正负情况，从而判断出个数；当在给定区间上单调递增或单调递减时，常利用零点的存在性定理判断有无零点，此时最多一个．（Ⅱ）函数在某区间上有极值即导数等于零在区间上存在变号零点，从而转化为方程有解问题或函数图像与x轴的交点问题．试题解析：（Ⅰ）∵，∴为的一个零点．当时，，设，∴在单调递增．又，，故在内有唯一零点．因此在有且仅有2个零点．（Ⅱ）定义域是则设，要使函数在内有极值，则有两个不同的根∴，得或，且一根在，不妨设，又，∴，由于，则只需，即．解得．考点：•函数零点个数的判断问题；‚由函数有极值作为条件求参数范围．【方法点睛】对于函数在某区间内有极值求参数范围题目，首先应做好等价转化，如本题转化为有两不等根．接下来有两种思路：（1）把参数移到一边转化为形如的形式，则问题等价于直线与曲线有两个交点，利用数形结合去求解；（2）不移项，利用一元二次方程根的分布去求解，但当不是一元二次函数时，问题复杂，可能要讨论．22.在平面直角坐标系中，曲线，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线，的极坐标方程；（2）在极坐标系中，射线．．与曲线，分别交于，两点（异于极点），定点，求的面积【答案】（1），；（2）【解析】试题分析：（1）第（1）问，先把参数方程化成普通方程，再利用极坐标的公式把普通方程化成极坐标方程. (2) 先利用极坐标求出弦长|AB|,再求高，最后求的面积．试题解析：（1）曲线的极坐标方程为：，因为曲线的普通方程为：，曲线的极坐标方程为．（2）由（1）得：点的极坐标为，点的极坐标为点到射线的距离为的面积为.23.已知函数．Ⅰ解不等式：；Ⅱ当时时，函数恒为正值，求实数m 的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】【分析】Ⅰ由分类讨论，解不等式可得所求解集；Ⅱ求得的最小值，解不等式可得所求范围．【详解】解：Ⅰ等价于或或，解得或或，综上所述，不等式的解集为；Ⅱ当时，则，只需，不可能当时，，要使函数恒为正值，则，可得，当时，恒成立，只需要，可得，综上所述，实数m的取值范围是．【点睛】本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立的解法，考查运算能力，属于基础题．。

河南省六市2019届高三第一次联考试题数学(理) Word版含答案

2019年河南省六市高三第一次联考试题数学(理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。

考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题，23题为选考题，其它题为必考题。

考试结束后，将答题卡交回。

注意事项:1.答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.选择题必须用2B 铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀。

第I 卷(选择题共60分）一、选择题:本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1.已知集合 A = {032|2≤--x x x }，B = {)2ln(|x y x -=}，则=B A A.(l,3) B.(l,3] C.[-1,2) D.(-1,2)2.设复数i z +=1,则=+25z zA. 225i +-B. 225i --C. 225i +D. 225i -3. 040sin 200cos 50sin 70cos -的值为 A. 23-B. 23C. 21-D. 21 4.我国古代有着辉煌的数学研究成果.《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、 ……、《辑古算经》等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献。

这10部专著中有1部产生于魏晋南北朝时期。

某中学拟从这10部专著中选择2部作为 “数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著的概率为 A.1514 B. 151 C. 92 D. 97 5.已知函数R x a x x x f x x ∈++++=-),77()1ln(3)(2，则“a=0”是“函数)(x f 为奇函数的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 6.某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的表面积为A. π264-B. π264+C. π280-D. π280+ 7.若x xe c b x a e x ln ln 1,)21(,ln ),1,(===∈-，则A. b >c >aB. c > b > aC. b > a > cD. a > b >c8.若将函数πϕϕϕ<<0)2cos(3)2sin()(+++=x x x f 的图象向左平移4π个单位长度，平移后的图象关于点)0,2(π对称，则函数)cos()(ϕ+=x x g 在]6,2[ππ-上的最小值是 A. 21-B. 23-C. 21D.229.已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤+≥+144222y x y x y x ，则目标函数y x z -=3的最大值是A. -6B. 23- C. -1 D.610. 在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4,cos cos 2==-b BCb c a ，则△ABC 的面积的最大值A. 34B. 32C. 33D. 311. 抛物线x y 82=的焦点为F ，设（11,y x )，B(22,y x )是抛物线上的两个动点，若||332421AB x x =++，则∠AFB 的最大值为 A.3π B. 43π C. 65π D.32π12.函数)(x f 是定义在（1，+∞)上的可导函数，)('x f 为其导函数，若)2()(')1()(2-=-+x x x f x x f ,则不等式)(2e f <0的解集为A. (0,1)B. (0,2)C. (1,2)D. (2, +∞)第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。

理)试题金卷10套：(百强校) 河南省郑州市第一中学网校2019届高三上学期入学测试理数试题解析(解析版)

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知全集U R =，集合{}2|ln 1,|sin tan ,0,4P x x Q y y x x x π⎧⎫⎡⎤=≤==+∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，则P Q ⋃为（）A ．⎛⎝ B ．⎛ ⎝ C ．⎛ ⎝D ．(【答案】B考点：1.集合并集；2.三角函数值域.【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系.2.复数12,z z 在复平面内对应的点关于直线y x =对称，且132z i =+，则12z z =（） A ．13i B ．13i - C ．1312i + D ．1213i + 【答案】A 【解析】试题分析：123z i =+，()()12233213z z i i i ⋅=++=.考点：复数概念及运算.3.甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都空座，则有多少种坐法（）A ．10B ．16C ．20D ．24【答案】C 【解析】试题分析：（1）甲在前，乙在后：若甲在第2位，则有4种方法，若甲在第3位，则有3种方法，若甲在第4位，则有2种方法，若甲在第5位，则有1种方法，共计10种方法.（2）同理，乙在前，甲在后，也有10种方法.故一共有20种方法. 考点：排列组合.4.已知公差不为0的等差数列{}n a 满足134,,a a a 成等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则3253S S S S --的值为（）A ．-2B ．-3C ．2D ．3 【答案】C考点：数列的基本概念.5.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器———商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x 为（）A ．1.2B ．1.6C ．1.8D ．2.4 【答案】B 【解析】试题分析：这是一个圆柱和一个长方体，体积为()1 5.43116.4 2.2512.6, 1.64x x x x π⋅+-⋅⋅=-==.考点：三视图.6.过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点2,P F 为右焦点，若01260F PF ∠=，则椭圆的离心率为（）A ．12 B C ．13D 【答案】D考点：直线与圆锥曲线位置关系. 7.函数sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭与2cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象关于直线x a =对称，则a 可能是（）A ．24πB ．12πC ．8πD ．1124π【答案】A 【解析】试题分析：图象关于直线x a =对称，则有()(),2f x f a x -关于直线x a =对称，()2sin 423f a x a x π⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，22cos 2sin 2sin 23326x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即4,3624a a πππ-=-=.考点：三角函数图象变换.8.按右图所示的程序框图，若输入110011a =，则输出的b =（）A ．45B ．47C ．49D ．51 【答案】D 【解析】试题分析：程序框图的效果是将二进制的数转化为十进制的数，即5410110011222251=+++=.考点：算法与程序框图.9.已知函数())20162016log 20162x x f x x -=++-+，则关于x 的不等式()()314f x f x ++>的解集为（）A ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ C ．()0,+∞D ．(),0-∞ 【答案】A考点：函数的单调性.10.已知实数,x y 满足26002x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，若目标函数z mx y =-+的最大值为210m -+，最小值为22m --，则实数m 的取值范围是（）A ．[]2,1-B ．[]1,3-C ．[]1,2-D ．[]2,3 【答案】C考点：线性规划.11.过双曲线22115y x -=的右支上一点P ，分别向圆()221:44C x y ++=和圆()222:41C x y -+=作切线，切点分别为,M N ，则22PMPN -的最小值为（）A ．10B ．13C ．16D ．19 【答案】B 【解析】试题分析：如图所示，根据切线，可有22221241PMPN PO PO -=--+()()()121212323PO PO POPO PO PO =+--=+-，12128PO PO O O +≥=，所以22PM PN -最小值为15.考点：圆与双曲线的位置关系.【思路点晴】本题考查双曲线的定义，直线与圆的位置关系，直线与圆锥曲线位置关系，考查数形结合的数学思想，考查划归与转化的数学思想.我们首先根据题意画出图象，然后根据半径垂直于切线，将题目中的,PM PN 转化为12,PO PO ，这样，再结合图象，能够知道，12,,P O O 三点共线时12PO PO +取得最小值为8.12.已知函数()xaf x x e =-存有单调递减区间，且()y f x =的图象在0x =处的切线l 与曲线x y e =相切，符合情况的切线l （）A ．有3条B ．有2条C ．有1条D ．不存有【答案】D 【解析】试题分析：()'1x ae fx a=-，依题意，()'0f x <在R 上有解.当0a <时，()'0f x <在R 上无解，不符合题意；当0a >时，()'0,,ln x afx a ex a a <<>符合题意，故0a >.易知曲线()y f x =在0x =处的切线为111y x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.假设该直线与x y e =相切，设切点为()00,x y ，即有0011111xe x a a ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，消去a 化简得0001x x e x e =-，分别画出,1x xe xe -的图像，观察可知它们交点横坐标01x >，0x e e >，这与111a-<矛盾，故不存有. 考点：导数与切线.【思路点晴】本题考查导数的使用：求切线的方程和单调区间，考察直线方程的使用和构造函数法，以及函数方程的转化思想的使用.求出()f x 的导数，由题意可知()'0fx <在R 上有解.讨论0,0a a <>可得0a >成立，求得切线方程，再假设切线与曲线xy e =相切，设出切点()00,x y ，利用切线的斜率相等构建方程，利用图象判断出切点不存有.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知0sin a xdx π=⎰，则二项式51a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x -的系数为____________．【答案】80-考点：1.定积分；2.二项式定理.14.12,F F 分别为椭圆2213627x y +=的左、右焦点，A 为椭圆上一点，且()()1211,22OB OA OF OC OA OF =+=+，则OB OC +=__________．【答案】6 【解析】试题分析：依题意有2111//,//22OB AF OC AF ，故6OB OC a +==. 考点：向量运算.15.过球O 表面上一点A 引三条长度相等的弦AB AC AD 、、，且两两夹角都为60°，若球半径为R ，求弦AB 的长度___________．【答案】a =考点：球的内接几何体.【思路点晴】对棱相等的三棱锥,设三对棱长分别为,,a b c ,如下图所示三棱锥''A B CD -,请同学们推导其外接球半径R 公式22228a b c R ++=,特别地,若一个正四面体边长为a ,其外接球半径公式为：238a . 设几何体底面外接圆半径为x ,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求;而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.2.若长方体长宽高分别为,,ab c则其体对角线长为;长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法：过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心.D'C'B'A'ADCB16.设数列{}n a 是首项为0的递增数列，()()[]*11sin,,,n n n n f x x a x a a n N n+=-∈∈，满足：对于任意的[)()0,1,n b f x b ∈=总有两个不同的根，则{}n a 的通项公式为___________．【答案】()12n n n a π-= 【解析】试题分析：10a =，当1n =时，()(]112sin()sin ,0,f x x a x x a =-=∈，又因为对于任意的[)()0,1,n b f x b ∈=总有两个不同的根，所以2a π=，所以()[]12sin ,0,,f x x x a ππ=∈=，又()()()[]223111sinsin cos ,,222f x x a x x x a ππ=-=-=∈，对于任意的[)()0,1,n b f x b ∈=总有两个不同的根，所以33a π=，由此可知1n n a a n π+-=，用累加法求得()12n n n a π-=. 考点：数列求通项.【思路点晴】本题考查数列与三角函数的结合问题，考查学生分析解决问题的水平，具有一定的综合性.考查合情推理与演绎推理.形如()1n n a a f n +-=的递推公式，我们能够采用累加法来求通项，即112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+来求解.形如()1n na f n a +=的递推公式，我们能够采用累乘法类求通项.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本题满分10分）已知()2cos cos f x x x x =+．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在锐角ABC ∆的三个角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()1f C =，求222a b c ab++的取值范围．【答案】（1）,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）；（2）[)3,4.由正弦定理得：2sin sin 113,2sin sin 22A b B a A A π⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭===+∈ ⎪⎝⎭，∴[)2223,4a b c ab++∈．考点：1.三角函数图象与性质；2.解三角形. 18.（本题满分12分）如图所示，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是梯形，//AD BC ，侧面11ABB A 为菱形，1DAB DAA ∠=∠．（1）求证：1A B AD ⊥；（2）若012,A 60AD AB BC AB ==∠=，点D 在平面11ABB A 上的射影恰为线段1A B 的中点，求平面11DCC D 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2.（2）设线段1A B 的中点为O ，连接1DO AB 、，由题意知DO ⊥平面 11ABB A ，因为侧面11ABB A 为菱形，所以11AB A B ⊥，故可分别以射线OB 、射线1OB 、射线OD 为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分考点：空间向量证明垂直与求二面角. 19.（本小题满分12分）近年来我国电子商务行业迎来篷布发展的新机遇，2019年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价实行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．（1）是否能够犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评相关？（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上实行的5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X ：①求对商品和服务全好评的次数X 的分布列（概率用组合数算式表示）； ②求X 的数学期望和方差．()()()()()22,n ad bc K n a b c d a b c d a c b d ⎛⎫-==+++ ⎪ ⎪++++⎝⎭其中【答案】（1）犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评相关；（2）①分布列见解析；②2，65. 试题解析：（1）由题意可得关于商品和服务评价的22⨯列联表：()222008010407011.11110.8281505012080K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，能够在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评相关．．．．．．．．．．．6分（2）每次购物时，对商品和服务都好评的概率为25，且X 的取值能够是0，1，2，3，4，5．其中()()()54231255323230;1;255555P X P X C P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； ()()()324153455232323;4;555555P X C P X C P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ X 的分布列为：因为25,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则2525EX =⨯=；22651555DX ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：1.独立性检验；2.二项分布. 20.（本题满分12分）已知点C 为圆()2218x y ++=的圆心，P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且有点()1,0A 和AP上的点M ，满足0,2MQ AP AP AM ==．（1）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程；（2）若斜率为k 的直线l 与圆221x y +=相切，与（1）中所求点Q 的轨迹交于不同的两点,,F H O 是坐标原点，且3445OF OH ≤≤时，求k 的取值范围．【答案】（1）2212x y +=；（2）k k ≤≤≤≤.（2）设直线()()1122:,,,,l y kx b F x y H x y =+，考点：直线与圆锥曲线位置关系.【方法点晴】求轨迹方程的常用方法有定义法和向观点法.本题是定义法.根据题意，动点满足椭圆的定义，也即动点到两个定点的距离之和等于常数，并且这个常数大于这两个定点的距离.在求解出椭圆方程后，要验证是否椭圆方程的每个点是否都在图象上，因为有时候有些点是不符合题意的，比如有时候斜率不存有的点可能要舍去. 21.（本小题满分12分）已知函数()()22ln f x x a x a x =-++，其中常数0a >．（1）当2a >时，求函数()f x 的单调递增区间；（2）设定义在D 上的函数()y h x =在点()()00,P x h x 处的切线方程为():l y g x =，若()()0h x g x x x ->-在D 内恒成立，则称P 为函数()y h x =的“类对称点”，当4a =时，试问()y f x =是否存有“类对称点”，若存有，请至少求出一个“类对称点”的横坐标；若不存有，请说明理由．【答案】（1）()0,1,,2a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭；（2）存有，0x =（2）当4a =时，()2264x x f x x-+'=，所以在点P 处的切线方程为()()22000000026464ln x x g x x x x x x x -+=-+-+，若函数()264ln f x x x x =-+存有“类对称点”()()00,P x f x ，则等价于当00x x <<时，()()f x g x <，当0x x >时，()()f x g x >恒成立，①当00x x <<时，()()f x g x <恒成立，等价于()222000000026464ln 64ln x x x x x x x x x x x -+-+<-+-+恒成立，即当00x x <<时，()2230000000244ln 44ln 0x x x x x x x x x x -++++-<恒成立，令()()2230000000244ln 44ln x x x x x x x x x x x ϕ=-++++-，则()00x ϕ=，要使()00x ϕ<在00x x <<恒成立，只要()x ϕ在()00,x 单调递增即可．又∵()()()()002200224224x x x x x x x x x x x ϕ--'=-++=，∴002x x ≤，即00x <≤. ②当0x x >时，()()f x g x >恒成立时，0x ≥0x =，所以()y f x =存有“类对称点”．考点：函数导数与不等式.【方法点晴】解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：(1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．(2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理．求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时，方法是不同的．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不但要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分12分）选修4-1：几何证明选讲如图，已知圆O 是ABC ∆的外接圆，,AB BC AD =是BC 边上的高，AE 是圆O 的直径，过点C 作圆O的切线交BA 的延长线于点F ．（1）求证：AC BC AD AE =；（2）若2,AF CF ==AE 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）AE =.（2）因为FC 是圆O 的切线，所以2FC FA FB =，又2,AF CF ==所以4,2BF AB BF AF ==-=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分因为ACF FBC ∠=∠，又CFB AFC ∠=∠，所以AFCCFB ∆∆．所以AF AC FC BC=，得2,cos AF BC AC ACD CF ==∠=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分所以sin AB AE AEB ==∠．考点：几何证明选讲.23.（本小题满分12分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=-，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）．（1）判断直线l 与曲线 C 的位置关系，并说明理由；（2）若直线l 和曲线C 相交于,A B 两点，且AB =，求直线l 的斜率．【答案】（1）相交；（2）1±.考点：坐标系与参数方程.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()()()2,2,f x x g x m x m R =-=-∈．（1）解关于x 的不等式()3f x >；（2）若不等式()()f x g x ≥对任意x R ∈恒成立，求m 的取值范围．【答案】（1）{}|15x x x <->或；（2）(],1-∞.考点：不等式选讲.。

河南省郑州市第一中学2019届高三上学期入学摸底测试数学(理)(含答案)

河南省郑州市第一中学2019届高三上学期入学摸底测试数学（理）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}6|24,,=|1,1xA x x NB x x Z x ⎧⎫=≤∈>∈⎨⎬+⎩⎭，则满足条件A C B ⊆⊆集合C 的个数为（）A ． 4B ． 3C ． 2D ．1 2. 已知:p “2,33x R x ∀∈+≥”，则p ⌝是（） A ．2,33x R x ∀∈+< B ．2,33x R x ∃∈+≤ C ．2,33x R x ∃∈+< D ．2,33x R x ∃∈+≥ 3. 下列命题中正确命题的个数是（1）对分类变量X 与Y 的随机变量2K 的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握越大；（2）若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则样本的方差不变；（3）在残差图，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；（4）设随机变量ξ服从正态分布()0,1N ；若()1P p ξ>=，则()1102P p ξ-<<=-（） A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 14. 《张丘建算经》卷上第22 题为：“今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织多少尺布？（）A ． 18B ． 20 C. 21 D ．255. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体最长的一条棱长为（）A ．26．25．22 6. 设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且1111,n n n a a S S ++=-=，则10S =（） A ．110 B ． 110- C. 10 D ．-10 7.设0sin a xdx π=⎰，则()622a x xx ⎛+ ⎝的展开式中常数项是（）A ． 332B ．-332 C. 320 D ．-3208. 设0sin 390a =，函数()0log 0x a a x f x x x ⎧<=⎨≥⎩，则211log 108f f ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值等于（）A ． 9B ． 10 C. 11 D ．129. 现有一个不透明的口袋中装有标号为1，2，2，3的四个小球，他们除数字外完全相同，现从中随机取出一球记下号码后放回，均匀搅拌后再随机取出一球，则两次取出小球所标号码不同的概率为（） A ．16 B ．56 C. 38 D ．5810. 已知定义在区间,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的函数()y f x =的图像关于直线4x π=对称，当4x π≥时，()sin f x x =，如果关于x 的方程()f x a =有解，记所有解的和为S ，则S 不可能为（）A ． 34π B ．2πC. π D ．2π 11. 已知直线l 与双曲线2214x y -=相切于点,P l 与双曲线两条渐近线交于,M N 两点，则OM ON =的值为（）A ．3B ． 4 C. 5 D ．与P 的位置有关 12.设()()210n n f x x x x x =++++>，其中,2n N n ∈≥，则函数()()2n n G x f x =-在1,12n ⎛⎫⎪⎝⎭内的零点个数是（）A ． 0B ． 1 C. 2 D ．与n 有关二、填空题：本大题共4题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13.已知复数1z i =+，则221z zz -=- ． 14.从抛物线214y x =上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且5PM =.设抛物线的焦点为F ，则MPF ∆的面积为．15.过平面区域202020x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩内一点P 作圆22:1O x y +=的两条切线，切点分别为,A B ，记APB α∠=，当α最大时，点P 坐标为．16.设()3f x x x =-，过下列点()()()()3230,0,0,2,2,1,,2,039A B C D E ⎛---⎝⎭分别作曲线()f x 的切线，其中存在三条直线与曲线()y f x =相切的点是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在平面直角坐标系xoy 中，已知向量sin ,cos ,cos ,sin 44m x x n x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设()f x m n =.（1）求()f x 的最小正周期；（2）在锐角三角形ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若0,12C f c ⎛⎫== ⎪⎝⎭，求ABC ∆面积的最大值.18.郑州一中社团为调查学生学习围棋的情况，随机抽取了100名学生进行调查.根据调查结果绘制的学生日均学习围棋时间的频率分布直方图：将日均学习围棋时间不低于40分钟的学生称为“围棋迷”.（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“围棋迷”与性别有关？非围棋迷围棋迷合计男女 10 55 合计（2）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量学生中，采用随机抽样方法每次抽取1名学生，抽取3次，记被抽取的3名学生中的“围棋迷”人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列，期望附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++,()2P k χ≥0.05 0.01 k3.8416.63519. 如图1，在直角梯形ABCD 中，090,//,2,1,ADC CD AB AB AD CD M ∠====为线段AB的中点.将ADC ∆沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体D ABC -，如图2所示. （1）求证：平面DBC ⊥平面ACD ；（2）求二面角B CD M --的余弦值.20.已知椭圆2222:1x y C a b +=的离心率为121,2F F 是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上任意一点，且12PF F ∆的周长是6.（1）求椭圆C 的方程；（2）设圆：()224:9T x t y -+=，过椭圆的上顶点作圆T 的两条切线交椭圆于E F 、两点，当圆心在x 轴上移动且()0,1t ∈时，求EF 的斜率的取值范围.21. 已知函数()ln f x x x =-. （1）证明：()ln xf x x>；（2）设0m n >>，比较()()()f m m f n n m n+-+-与22mm n+的大小，并说明理由. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程：1cos sin x t y t θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），曲线C 的参数方程：3sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），且直线交曲线C 于,A B 两点.（1）将曲线C 的参数方程化为普通方程，并求3πθ=时，AB 的长度；（2）已知点()1,0P ，求当直线倾斜角θ变化时，PA PB 的范围. 23.选修4-5：不等式选讲已知实数0,0a b >>，且228a b +=，若a b m +≤恒成立. （1）求实数m 的最小值；（2）若21x x a b -+≥+对任意的,a b 恒成立，求实数x 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: ACBCA 6-10:BBCDD 11、12：BB 二、填空题13. 2i 14. 10 15. ()1,1-- 16. CE 三、解答题 17.（1）()sin cos sin cos sin cos sin cos 44442f x m n x x x x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+-+=+--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1cos 2sin 212sin cos sin sin sin 2x 44222x x x x x x πππ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=---=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 的最小正周期T π=；（2）1sin 022C f C ⎛⎫=-=⎪⎝⎭又三角形为锐角三角形，故11,sin 6264C S ab ab ππ===， (22212cos23236c a b ab ab ab ab π==+-≥=，∴23ab ≤+∴1123sin 264S ab ab π-==≤. 18.解：（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“围棋迷”有25人，从而2×2列联表如下：非围棋迷围棋迷合计男 30 15 45 女 45 10 55 合计7525100将2×2列联表中的数据代入公式计算，得：()()22111212212121210030104515100 3.0307525455533n n n n n n n n n χ++++-⨯⨯-⨯===≈⨯⨯⨯，因为3.030 3.841<，所以没有理由认为“围棋迷”与性别有关；（2）由频率分布直方图知抽到“围棋迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“围棋迷”的概率为1 4 .由题意13,3X B⎛⎫⎪⎝⎭，从而X的分布列为X0 1 2 3 P27642764964164 ()344E X np==⨯=.19.解：（1）在图1中，可得2AC BC==，从而222AC BC AB+=，故AC BC⊥，取AC中点O连结DO,则DO AC⊥，又面ADE⊥面ABC，面ADE面,ABC AC DO=⊂面ACD，从而OD⊥平面ABC，∴OD BC⊥，又,AC BC AC OD O⊥=，∴BC⊥平面ACD，故平面DBC⊥平面ACD；（2）建立空间直角坐标系O xyz-如图所示，则2220,,,0,0,222M C D⎛⎫⎛⎫⎛⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2222,,0,,0,2222CM CD⎛⎫⎛==⎪⎪⎝⎭⎝⎭，设()1,,n x y z=为面CDM的法向量，则11n CMn CD⎧=⎪⎨=⎪⎩即220220xx z+==，解得y xz x=-⎧⎨=-⎩，令1x=-，可得()11,1,1n=-，又()20,1,0n=为面ACD的一个法向量，∴1212123cos,33n nn nn n===，∴二面角B CD M--的余弦值为33-.20.解：（1）由12e =，可知2a c =，因为12PF F ∆的周长是6，所以226a c +=，所以2,1a c ==，所求椭圆方程为22143x y +=；（2）椭圆的上顶点为(3M ，设过点M 与圆T 相切的直线方程为3y kx =+，由直线1y kx =+与T ()22232,9418323031kt t k tk k +=-++=+， ∴12122218323,9494t k k k k t t +=-=--，由1223143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得()221134830k x k x ++=，∴1218334E k x k =-+，同理2228334F k x k =-+， ((121233E F E F E F EFE F E F E Fk x k x y y k x k x k x x x x x x +-+--===---， ()1212354334k k tk k +=- 当01t <<时，()543tf t =为增函数，故EF 的斜率的范围为543⎛ ⎝⎭. 21.解：（1）因为()1xf x x-'=，故()f x 在()0,1上是增加的，在()1,+∞上是减少的， ()()()max min 1ln111,1f x f f x ==-=-=，设()ln x G x x =，则()21ln xG x x -'=，故()G x 在()0,e 上是增加的，在(),e +∞上是减少的，故()()max 11G x G e e==<，()()max min G x f x <，所以()ln xf x x>对任意()0,x ∈+∞恒成立；（2）()()22lnln ln 111,1mf m f n m n m n m n m n m m n m n n m n n n m n -+--==⨯=⨯--+-+， ∵0m n >>，∴10m n ->，故只需比较ln m n 与1m n n m m n-+的大小令()1mt t n =>，设()()211ln ln 11t t t G t t t t t t--=-=-++， ()()()()()3243222222111211111t t t t t t t t G t t t t t t t -+++--++'=-==+++，因为1t >，所以()0G t '>，所以函数()G t 在()1,+∞上是增加的，故()()10G t G >=，所以()0G t >对任意1t >恒成立，即1ln mmn n m n m n ->+，从而有()()()22f m m f n n m m n m n +-+>-+. 22.解析：（1）曲线C 的普通方程为2213x y +=；当3πθ=时，直线l 的参数方程：11232x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），将l 的参数方程代入2213x y +=，得220t t +-=，解得122,1t t =-=，所以123AB t t =-=.（2）直线l 参数方程代入得()222cos 3sin 2cos 20t t θθθ++-=，1222221cos 3sin 12sin PA PB t t θθθ=-==++，210sin 1,13PA PB θ≤≤≤≤，所以PA PB 的范围是1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦.23.解析：（1）∵222a b ab +≥，∴()22222a b a b +≥+，∴()216a b +≤， ∴()4a b +≤故4m ≥；（2）由21x x a b -+≥+恒成立，故只需214x x -+≥，解的实数x 的取值范围是2|23x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或.。

2019 年河南省郑州市高考数学一模试卷(理科)

2019年河南省郑州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的1．（5分）若复数（a∈R）的实部和虚部相等，则实数a的值为（）A．1B．﹣1C．D．﹣2．（5分）已知集合M＝{x|﹣3≤x＜4}，N＝{x|x2﹣2x﹣8≤0}，则（）A．M∪N＝R B．M∪N＝{x|﹣3≤x＜4}C．M∩N＝{x|﹣2≤x≤4}D．M∩N＝{x|﹣2≤x＜4}3．（5分）已知矩形ABCD中，BC＝2AB＝4，现向矩形ABCD内随机投掷质点M，则满足•≥0的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）下列函数既是奇函数，又在[﹣1，1]上单调递增的是（）A．f（x）＝|sin x|B．f（x）＝lnC．f（x）＝（e x﹣e﹣x）D．f（x）＝ln（﹣x）5．（5分）在△ABC中，三边长分别为a，a+2，a+4，最小角的余弦值为，则这个三角形的面积为（）A．B．C．D．6．（5分）如图，在△ABC中，＝，P是BN上一点，若＝t+，则实数t 的值为（）A．B．C．D．7．（5分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，实轴长为6，渐近线方程为y＝±x，动点M在双曲线左支上，点N为圆E：x2+（y+）2＝1上一点，则|MN|+|MF2|的最小值为（）A．8B．9C．10D．118．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+θ）（ω＞0，﹣）的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，若将函数f（x）的图象向左平移后得到偶函数g（x）的图象，则函数f（x）的一个单调递减区间为（）A．[﹣]B．[]C．[0，]D．[] 9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．16+（32+16+16）πB．16+（16+16+16）πC．16+（32+32+32）πD．16+（16+32+32）π10．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中的底面为等腰直角三角形，AB⊥AC，点M，N 分别是边AB1，A1C上动点，若直线MN∥平面BCC1B1，点Q为线段MN的中点，则Q 点的轨迹为（）A．双曲线的一支（一部分）B．圆弧（一部分）C．线段（去掉一个端点）D．抛物线的一部分11．（5分）抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝60°，过弦AB的中点C作该抛物线准线的垂线CD，垂足为D，则的最小值为（）A．B．1C．D．212．（5分）已知函数f（x）＝，设A＝{x∈Z|x（f（x）﹣a）≥0，若A中有且仅有4个元素，则满足条件的整数a的个数为（）A．31B．32C．33D．34二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的13．（5分）已知（）n的展开式的各项系数和为64，则展开式中x3的系数为14．（5分）已知变量x，y满足，则z＝的取值范围是15．（5分）《中国诗词大会》（第三季）亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味，若《沁园春•长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐•六盘山排在后六场，且《蜀道难》排在《游子吟》的前面，《沁园春•长沙》与《清平乐•六盘山》不相邻且均不排在最后，则六场的排法有种．（用数字作答）．16．（5分）如图放置的边长为1的正方形P ABC沿x轴滚动，点B恰好经过原点．设顶点P （x，y）的轨迹方程是y＝f（x），则对函数y＝f（x）有下列判断：①函数y＝f（x）是偶函数；②对任意的x∈R，都有f（x+2）＝f（x﹣2）③函数y＝f（x）在区间[2，3]上单调递减；④函数y＝f（x）的值域是[0，1]；⑤f（x）dx＝．其中判断正确的序号是．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个考生都必须作答第223题为选考题，考生根据要求作答本小题满分60分17．（12分）已知数列{a n}为等比数列，首项a1＝4，数列{b n}满足b n＝log2a n，且b1+b2+b3＝12．（I）求数列{a n}的通项公式（Ⅱ）令c n＝+a n，求数列{c n}的前n项和S n．18．（12分）已知四棱锥中P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，P A⊥平面ABCD，E、M分别是BC、PD上的中点，直线EM与平面P AD所成角的正弦值为，点F在PC上移动．（Ⅰ）证明：无论点F在PC上如何移动，都有平面AEF⊥平面P AD．（Ⅱ）求点F恰为PC的中点时，二面角C﹣AF﹣E的余弦值．19．（12分）2012年12月18日，作为全国首批开展空气质量新标准监测的74个城市之一，郑州市正式发布PM2.5数据．资料表明，近几年来，郑州市雾霾治理取得了很大成效，空气质量与前几年相比得到了很大改善，郑州市设有9个监测站点监测空气质量指数（AQI），其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2，5，2个监测站点，以9个站点测得的AQI的平均值为依据，播报我市的空气质量．（Ⅰ）若某日播报的AQI为118，已知轻度污染区AQI的平均值为74，中度污染区AQ 的平均值为114，求重度污染区AQI的平均值；（Ⅱ）如图是2018年11月的30天中AQI的分布，11月份仅有一天AQI在[170，180）内．组数分组天数第一组[50，80）3第二组[80，110）4第三组[110，140）4第四组[140，170）6第五组[170，200）5第六组[200，230）4第七组[230，260）3第八组[260，290）1①郑州市某中学利用每周日的时间进行社会实践活动，以公布的AQI为标准，如果AQI小于180，则去进行社会实践活动．以统计数据中的频率为概率，求该校周日去进行社会实践活动的概率；②在“创建文明城市”活动中，验收小组把郑州市的空气质量作为一个评价指标，从当月的空气质量监测数据中抽取3天的数据进行评价，设抽取到的AQI不小于180的天数为X，求X的分布列及数学期望．20．（12分）设M点为圆C：x2+y2＝4上的动点，点M在x轴上的投影为N．动点P满足2＝，动点P的轨迹为E．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设E的左顶点为D，若直线l：y＝kx+m与曲线E交于两点A，B（A，B不是左右顶点），且满足||＝||，求证：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣8x+alnx（a∈R）．（I）当x＝1时，f（x）取得极值，求a的值并判断x＝1是极大值点还是极小值点；（Ⅱ）当函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），且x1≠1时，总有＞t（4+3x1﹣x）成立，求t的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C1：x2+（y﹣3）2＝9，A是曲线C1上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中心，将点A绕点O逆时针旋转90°得到点B，设点B的轨迹方程为曲线C2．（Ⅰ）求曲线C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）射线θ＝（ρ＞0）与曲线C1，C2分别交于P，Q两点，定点M（﹣4，0），求△MPQ的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|3x﹣2a|+|2x﹣2|（a∈R）．（Ⅰ）当a＝时，解不等式f（x）＞6；（Ⅱ）若对任意x0∈R，不等式f（x0）+3x0＞4+|2x0﹣2|都成立，求a的取值范围．2019年河南省郑州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的1．（5分）若复数（a∈R）的实部和虚部相等，则实数a的值为（）A．1B．﹣1C．D．﹣【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再结合已知条件即可求出实数a的值．【解答】解：∵复数＝的实部和虚部相等，∴，解得a＝．故选：C．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．（5分）已知集合M＝{x|﹣3≤x＜4}，N＝{x|x2﹣2x﹣8≤0}，则（）A．M∪N＝R B．M∪N＝{x|﹣3≤x＜4}C．M∩N＝{x|﹣2≤x≤4}D．M∩N＝{x|﹣2≤x＜4}【分析】先分别求出集合M，N，由此能求出M∪N和M∩N．【解答】解：∵集合M＝{x|﹣3≤x＜4}，N＝{x|x2﹣2x﹣8≤0}＝{x|﹣2≤x≤4}，∴M∪N＝{x|﹣3≤x≤4}，M∩N＝{x|﹣2≤x＜4}．故选：D．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．（5分）已知矩形ABCD中，BC＝2AB＝4，现向矩形ABCD内随机投掷质点M，则满足•≥0的概率是（）A．B．C．D．【分析】建立以点B为坐标原点，BC，BA所在直线为x轴，y轴的直角坐标系得：B（0，0），C（4，0），A（0，2），D（4，2）设M（x，y），则＝（﹣x，﹣y），＝（4﹣x，﹣y），由•≥0得：（x﹣2）2+y2≥4，由其几何意义和几何概型可得解【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，则B（0，0），C（4，0），A（0，2），D（4，2）设M（x，y），则＝（﹣x，﹣y），＝（4﹣x，﹣y），由•≥0得：（x﹣2）2+y2≥4，由几何概型可得：p＝＝1﹣＝，故选：B．【点评】本题考查了向量的数量积运算及几何概型，属中档题4．（5分）下列函数既是奇函数，又在[﹣1，1]上单调递增的是（）A．f（x）＝|sin x|B．f（x）＝lnC．f（x）＝（e x﹣e﹣x）D．f（x）＝ln（﹣x）【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性以及（﹣1，1）上的单调性，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）＝|sin x|，为偶函数，不符合题意；对于B，f（x）＝ln，其定义域为（﹣e，e），有f（﹣x）＝ln＝﹣ln＝﹣f （x），为奇函数，设t＝＝﹣1+，在（﹣e，e）上为减函数，而y＝lnt为增函数，则f（x）＝ln在（﹣e，e）上为减函数，不符合题意；对于C，f（x）＝（e x﹣e﹣x），有f（﹣x）＝（e﹣x﹣e x）＝﹣（e x﹣e﹣x）＝﹣f（x），为奇函数，且f′（x）＝（e x+e﹣x）＞0，在R上为增函数，符合题意；对于D，f（x）＝ln（﹣x），其定义域为R，f（﹣x）＝ln（+x）＝﹣ln（﹣x）＝﹣f（x），为奇函数，设t＝﹣x＝，y＝lnt，t在R上为减函数，而y＝lnt为增函数，则f（x）＝ln（﹣x）在R上为减函数，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．5．（5分）在△ABC中，三边长分别为a，a+2，a+4，最小角的余弦值为，则这个三角形的面积为（）A．B．C．D．【分析】设最小角为α，故α对应的边长为a，然后利用余弦定理化简求解即可得a的值，再由三角形面积公式求解即可．【解答】解：设最小角为α，故α对应的边长为a，则cosα＝＝，解得a＝3．∵最小角α的余弦值为，∴＝．∴＝．故选：A．【点评】本题考查余弦定理，考查三角形面积公式的应用，是基础题．6．（5分）如图，在△ABC中，＝，P是BN上一点，若＝t+，则实数t 的值为（）A．B．C．D．【分析】由题意，可根据向量运算法则得到＝+（1﹣m），从而由向量分解的唯一性得出关于t的方程，求出t的值【解答】解：由题意及图，＝，又，＝，所以＝，∴＝+（1﹣m），又＝t+，所以，解得m＝，t＝，故选：C．【点评】本题考查平面向量基本定理，根据分解的唯一性得到所求参数的方程是解答本题的关键，本题属于基础题难度较低，7．（5分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，实轴长为6，渐近线方程为y＝±x，动点M在双曲线左支上，点N为圆E：x2+（y+）2＝1上一点，则|MN|+|MF2|的最小值为（）A．8B．9C．10D．11【分析】求得双曲线的a，b，可得双曲线方程，求得焦点坐标，运用双曲线的定义和三点共线取得最小值，连接EF1，交双曲线于M，圆于N，计算可得所求最小值．【解答】解：由题意可得2a＝6，即a＝3，渐近线方程为y＝±x，即有＝，即b＝1，可得双曲线方程为﹣y2＝1，焦点为F1（﹣，0），F2，（，0），由双曲线的定义可得|MF2|＝2a+|MF1|＝6+|MF1|，由圆E：x2+（y+）2＝1可得E（0，﹣），半径r＝1，|MN|+|MF2|＝6+|MN|+|MF1|，连接EF1，交双曲线于M，圆于N，可得|MN|+|MF1|取得最小值，且为|EF1|＝＝4，则则|MN|+|MF2|的最小值为6+4﹣1＝9．故选：B．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查圆的方程的运用，以及三点共线取得最值，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题．8．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+θ）（ω＞0，﹣）的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，若将函数f（x）的图象向左平移后得到偶函数g（x）的图象，则函数f（x）的一个单调递减区间为（）A．[﹣]B．[]C．[0，]D．[]【分析】首先利用函数的图象确定函数的关系式，进一步求出函数的单调区间，再根据所求的区间的子集关系确定结果．【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+θ）（ω＞0，﹣）的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，则：T＝π，所以：ω＝2将函数f（x）的图象向左平移后，得到g（x）＝sin（2x++θ）是偶函数，故：（k∈Z），解得：（k∈Z），由于：，所以：当k＝0时．则，令：（k∈Z），解得：（k∈Z），当k＝0时，单调递减区间为：[]，由于[]⊂[]，故选：B．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的性质周期性和单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．16+（32+16+16）πB．16+（16+16+16）πC．16+（32+32+32）πD．16+（16+32+32）π【分析】首先把三视图进行复原，进一步求出各个几何体的表面积，最后确定总面积．【解答】解：根据几何体的三视图得到：该几何体是由：上面是一个长方体，下面是由两个倒扣的圆锥构成，故：上面的正方体的表面积为：，设中间的圆锥展开面的圆心角为n，所以：，解得：n＝，所以圆锥的展开面的面积为S＝，所以：中间的圆锥的表面积为，同理得：下面的圆锥的表面积为，所以总面积为：S＝，故选：A．【点评】本题考查的知识要点：三视图的应用，主要考查几何体的体积公式的应用和运算能力的应用，属于中档题．10．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中的底面为等腰直角三角形，AB⊥AC，点M，N 分别是边AB1，A1C上动点，若直线MN∥平面BCC1B1，点Q为线段MN的中点，则Q 点的轨迹为（）A．双曲线的一支（一部分）B．圆弧（一部分）C．线段（去掉一个端点）D．抛物线的一部分【分析】画出图形，利用直线与平面平行以及垂直关系，然后推出Q点的轨迹为线段．【解答】解：如图当N与C重合，M与B1重合时，MN⊂平面BCC1B1，MN的中点为O；当N与A1重合，M与A重合时，MN∥平面BCC1B1，MN的中点为H；一般情况，如平面PQRK∥平面BCC1B1，可得点M，N，取MN的中点D，作DE⊥KR于E，NF⊥KR于F，易知，E为KR中点，且D在OH上，故选：C．【点评】本题考查直线与平面的位置关系的应用，轨迹方程的求法，考查转化思想以及计算能力．11．（5分）抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝60°，过弦AB的中点C作该抛物线准线的垂线CD，垂足为D，则的最小值为（）A．B．1C．D．2【分析】设|AF|＝a，|BF|＝b，连接AF、BF．由抛物线定义得2|CD|＝a+b，由余弦定理可得|AB|2＝（a+b）2﹣3ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案．【解答】解：设|AF|＝a，|BF|＝b，由抛物线定义，得|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|在梯形ABPQ中，∴2|CD|＝|AQ|+|BP|＝a+b．由余弦定理得，|AB|2＝a2+b2﹣2ab cos60°＝a2+b2﹣ab配方得，|AB|2＝（a+b）2﹣3ab，又∵ab≤（）2，∴（a+b）2﹣3ab≥（a+b）2﹣（a+b）2＝（a+b）2得到|AB|≥（a+b）＝|CD|．∴≥1，即的最小值为1．故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，利用抛物线的定义和余弦定理求的最值，着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识，属于中档题．12．（5分）已知函数f（x）＝，设A＝{x∈Z|x（f（x）﹣a）≥0，若A中有且仅有4个元素，则满足条件的整数a的个数为（）A．31B．32C．33D．34【分析】由x＝0∈A，画出函数图象，x（f（x）﹣a）≥0等价于当x＞0时，f（x）≥a；当x＜0时，a≥f（x），平移y＝a，符合条件的整数根，除零外有三个即可，由此能求出满足条件的整数a的个数．【解答】解：∵x＝0∈A，符合条件的整数根，除零外有且只有三个即可．画出f（x）的图象如下图：当x＞0时，f（x）≥a；当x＜0时，a≥f（x）．即y轴左侧的图象在y＝a下面，y轴右侧的图象在y＝a上面，∵f（3）＝﹣3×9+18＝﹣9，f（4）＝﹣3×16+24＝﹣24，f（﹣3）＝﹣（﹣3）3﹣3×（﹣3）2+4＝4，f（﹣4）＝﹣（﹣4）3﹣3×（﹣4）2+4＝20，平移y＝a，由图可知：当﹣24＜a≤﹣9时，A＝{1，2，3}，符合题意；a＝0时，A＝{﹣1，1，2}，符合题意；2≤a≤3时，A＝{1，﹣1，﹣2}，符合题意；4≤a＜20时，A＝{﹣1，﹣2，﹣3}，符合题意；∴整数a的值为﹣23，﹣22，﹣21，﹣20，﹣19，﹣18，﹣17，﹣16，﹣15，﹣14，﹣13，﹣12，﹣11，﹣10，﹣9，0，2，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，共34个．故选：D．【点评】本题考查不等式的整数解的个数的求示，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的13．（5分）已知（）n的展开式的各项系数和为64，则展开式中x3的系数为20【分析】先利用二项式系数的性质求得n＝6，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于，3，求出r的值，即可求得展开式中x3的系数．【解答】解：令x＝1，可得（）n的展开式的各项系数和为2n＝64，∴n＝6，故（）n＝（）6的展开式的通项公式为T r+1＝•x3r﹣6，令3r﹣6＝3，可得r＝3，故展开式中x3的系数为＝20，故答案为：20．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14．（5分）已知变量x，y满足，则z＝的取值范围是[﹣13，﹣4]【分析】由约束条件作出可行域，再由z＝的几何意义求解得答案．【解答】解：由变量x，y满足作出可行域如图：A（2，3），解得B（，），z＝的几何意义为可行域内动点与定点D（3，﹣1）连线的斜率．∵k DA＝＝﹣4，k DB＝＝﹣13．∴z＝的取值范围是[﹣13，﹣4]．故答案为：[﹣13，﹣4]．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．15．（5分）《中国诗词大会》（第三季）亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味，若《沁园春•长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐•六盘山排在后六场，且《蜀道难》排在《游子吟》的前面，《沁园春•长沙》与《清平乐•六盘山》不相邻且均不排在最后，则六场的排法有144种．（用数字作答）．【分析】由特殊位置优先处理，先排最后一个节目，共＝4（种），相邻问题由捆绑法求解即剩余五个节目按A与F不相邻排序，共＝72（种）排法，定序问题用倍缩法求解即可B排在D的前面，只需除以即可，【解答】解：《沁园春•长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐•六盘山》，分别记为A，B，C，D，E，F，由已知有B排在D的前面，A与F不相邻且不排在最后．第一步：在B，C，D，E中选一个排在最后，共＝4（种）选法第二步：将剩余五个节目按A与F不相邻排序，共＝72（种）排法，第三步：在前两步中B排在D的前面与后面机会相等，则B排在D的前面，只需除以＝2即可，即六场的排法有4×72÷2＝144（种）故答案为：144．【点评】本题考查了排列、组合及简单的计数原理，属中档题．16．（5分）如图放置的边长为1的正方形P ABC沿x轴滚动，点B恰好经过原点．设顶点P （x，y）的轨迹方程是y＝f（x），则对函数y＝f（x）有下列判断：①函数y＝f（x）是偶函数；②对任意的x∈R，都有f（x+2）＝f（x﹣2）③函数y＝f（x）在区间[2，3]上单调递减；④函数y＝f（x）的值域是[0，1]；⑤f（x）dx＝．其中判断正确的序号是①②⑤．【分析】根据正方形的运动，得到点P的轨迹方程，然后根据函数的图象和性质分别进行判断即可．【解答】解：当﹣2≤x≤﹣1，P的轨迹是以A为圆心，半径为1的圆，当﹣1≤x≤1时，P的轨迹是以B为圆心，半径为的圆，当1≤x≤2时，P的轨迹是以C为圆心，半径为1的圆，当3≤x≤4时，P的轨迹是以A为圆心，半径为1的圆，∴函数的周期是4．因此最终构成图象如下：①，根据图象的对称性可知函数y＝f（x）是偶函数，故①正确；②，由图象即分析可知函数的周期是4．即f（x+4）＝f（x），即f（x+2）＝f（x﹣2），故②正确；③，函数y＝f（x）在区间[2，3]上单调递增，故③错误；④，由图象可得f（x）的值域为[0，]，故④错误；⑤，根据积分的几何意义可知f（x）dx＝π•（）2+×1×1+π×12＝+，故⑤正确．故答案为：①②⑤．【点评】本题考查的知识点是函数图象的变化，其中根据已知画出正方形转动过程中的一个周期内的图象，利用数形结合的思想对本题进行分析是解答本题的关键．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个考生都必须作答第223题为选考题，考生根据要求作答本小题满分60分17．（12分）已知数列{a n}为等比数列，首项a1＝4，数列{b n}满足b n＝log2a n，且b1+b2+b3＝12．（I）求数列{a n}的通项公式（Ⅱ）令c n＝+a n，求数列{c n}的前n项和S n．【分析】（I）设等比数列的公比为q，运用对数的运算性质和等比数列的通项公式，解方程即可得到公比，可得所求通项公式；（Ⅱ）b n＝log2a n＝log24n＝2n，c n＝+a n＝+4n＝﹣+4n，运用分组求和和裂项相消求和，化简可得所求和．【解答】解：（I）数列{a n}为等比数列，首项a1＝4，公比设为q，数列{b n}满足b n＝log2a n，且b1+b2+b3＝12，即有log2a1+log2a2+log2a3＝12，log2（a1a2a3）＝12，即a23＝212，即有a2＝16，q＝4，则a n＝4n；（Ⅱ）b n＝log2a n＝log24n＝2n，c n＝+a n＝+4n＝﹣+4n，前n项和S n＝（1﹣+﹣+…+﹣）+（4+16+…+4n）＝1﹣+＝+．【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和和裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．18．（12分）已知四棱锥中P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，P A⊥平面ABCD，E、M分别是BC、PD上的中点，直线EM与平面P AD所成角的正弦值为，点F在PC上移动．（Ⅰ）证明：无论点F在PC上如何移动，都有平面AEF⊥平面P AD．（Ⅱ）求点F恰为PC的中点时，二面角C﹣AF﹣E的余弦值．【分析】（Ⅰ）推导出AE⊥P A，AE⊥AD，从而AE⊥平面P AD，由此能证明无论点F在PC上如何移动，都有平面AEF⊥平面P AD．（Ⅱ）以A为原点，AE为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C﹣AF﹣E的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵四棱锥中P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，P A⊥平面ABCD，E、M分别是BC、PD上的中点，∴AE⊥P A，AE⊥AD，∵P A∩AD＝A，∴AE⊥平面P AD，∵点F在PC上移动，∴AE⊂平面AEF，∴无论点F在PC上如何移动，都有平面AEF⊥平面P AD．解：（Ⅱ）直线EM与平面P AD所成角的正弦值为，点F恰为PC的中点时，以A为原点，AE为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，设AB＝2，AP＝x，则E（，0，0），M（0，1，），＝（），平面P AD的法向量＝（1，0，0），∴|cos＜＞|＝＝＝，解得x＝AP＝2，C（，1，0），A（0，0，0），P（0，0，2），E（，0，0），F（），＝（），＝（），＝（），设平面ACF的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，﹣，0），设平面AEF的法向量＝（x，y，z），则，取y＝2，得＝（0，2，﹣1），设二面角C﹣AF﹣E的平面角为θ，则cosθ＝＝＝．∴二面角C﹣AF﹣E的余弦值为．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19．（12分）2012年12月18日，作为全国首批开展空气质量新标准监测的74个城市之一，郑州市正式发布PM2.5数据．资料表明，近几年来，郑州市雾霾治理取得了很大成效，空气质量与前几年相比得到了很大改善，郑州市设有9个监测站点监测空气质量指数（AQI），其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2，5，2个监测站点，以9个站点测得的AQI的平均值为依据，播报我市的空气质量．（Ⅰ）若某日播报的AQI为118，已知轻度污染区AQI的平均值为74，中度污染区AQ 的平均值为114，求重度污染区AQI的平均值；（Ⅱ）如图是2018年11月的30天中AQI的分布，11月份仅有一天AQI在[170，180）内．组数分组天数第一组[50，80）3第二组[80，110）4第三组[110，140）4第四组[140，170）6第五组[170，200）5第六组[200，230）4第七组[230，260）3第八组[260，290）1①郑州市某中学利用每周日的时间进行社会实践活动，以公布的AQI为标准，如果AQI 小于180，则去进行社会实践活动．以统计数据中的频率为概率，求该校周日去进行社会实践活动的概率；②在“创建文明城市”活动中，验收小组把郑州市的空气质量作为一个评价指标，从当月的空气质量监测数据中抽取3天的数据进行评价，设抽取到的AQI不小于180的天数为X，求X的分布列及数学期望．【分析】（Ⅰ）设重度污染区AQI的平均值为x，利用加权平均数求出x的值；（Ⅱ）①由题意知11月份AQI小于180的天数，计算所求的概率即可；②由题意知随机变量X的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值．【解答】解：（Ⅰ）设重度污染区AQI的平均值为x，则74×2+114×5+2x＝118×9，解得x＝172；（Ⅱ）①11月份仅有一天AQI在[170，180）内，则AQI小于180的天数为18天，则该校周日去进行社会实践活动的概率为P＝＝；②由题意知，随机变量X的可能取值为0，1，2，3；计算P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，∴X的分布列为：X0123P数学期望为E（X）＝0×+1×+2×+3×＝．【点评】本题考查了平均数与离散型随机变量的分布列和数学期望计算问题，是基础题．20．（12分）设M点为圆C：x2+y2＝4上的动点，点M在x轴上的投影为N．动点P满足2＝，动点P的轨迹为E．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设E的左顶点为D，若直线l：y＝kx+m与曲线E交于两点A，B（A，B不是左右顶点），且满足||＝||，求证：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标．【分析】（Ⅰ）设P（x，y），M（x0，y0），由已知条件建立二者之间的关系，利用坐标转移法可得轨迹方程；（2）由向量条件结合矩形对角线相等可得DA，DB垂直，斜率之积为﹣1，再联立直线与椭圆方程，得根于系数关系，逐步求解得证．【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），M（x0，y0），则N（x0，0），∴，，∵，∴x0＝x，，代入圆的方程得，，即，故动点P的轨迹为E的方程为：；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，D（﹣2，0），∵，∴DA⊥DB，设A（x1，y1），B（x2，y2），由消去y得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，∴，，…①∴y1y2＝（kx1+m）（kx2+m）＝，…②由DA⊥DB得：，即﹣y1y2＝x1x2+2（x1+x2）+4，…③由②③得：＝0，…④把①代入④并整理得：7m2﹣16km+4k2＝0，得：（7m﹣2k）（m﹣2k）＝0，即m＝或m＝2k，故直线l的方程为y＝k（x+），或y＝k（x+2），当直线l的方程为y＝k（x+）时，l过定点（﹣）；当直线l的方程为y＝k（x+2）时，l过定点（﹣2，0），这与A，B不是左顶点矛盾．故直线l的方程为y＝k（x+），过定点（﹣）．【点评】此题考查了轨迹方程的求法，直线与圆锥曲线的综合，难度较大．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣8x+alnx（a∈R）．（I）当x＝1时，f（x）取得极值，求a的值并判断x＝1是极大值点还是极小值点；（Ⅱ）当函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），且x1≠1时，总有＞t（4+3x1﹣x）成立，求t的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，求出a的值，得到函数的单调区间，求出函数的极值点即可；（Ⅱ）求出函数极值点，问题转化为[2lnx1+]＞0，根据0＜x1＜1时，＞0.1＜x1＜2时，＜0．即h（x）＝2lnx+（0＜x＜2），通过讨论t的范围求出函数的单调性，从而确定t的范围即可．【解答】解：（I）f′（x）＝2x﹣8+，（x＞0），∵当x＝1时，f（x）取得极值，∴f′（1）＝2﹣8+a＝0，解得a＝6，此时，f（x）＝x2﹣8+6lnx，f′（x）＝2x﹣8+＝，令f′（x）＞0，解得：x＞3或x＜1，令f′（x）＜0，解得：1＜x＜3，故f（x）在（0，1）递增，在（1，3）递减，在（3，+∞）递增，故x＝1是极大值点；（II）当函数f（x）在（0，+∞）内有两个极值点x1，x2（x1＜x2）且x1≠1时，则u（x）＝2x2﹣8x+a＝0在（0，+∞）上有两个不等正根．∴，∴0＜a＜8．∴x1+x2＝4，x1x2＝，0＜x1＜x2，∴x2＝4﹣x1，a＝2x1x2＝2x1（4﹣x1），可得0＜x1＜2．∴＞t（4+3x1﹣x）成立，即＞t（4﹣x1）（x1+1），即＞t（x1+1），即﹣t（x1+1）＞0，即[2lnx1+]＞0，且0＜x1＜1时，＞0．1＜x1＜2时，＜0．即h（x）＝2lnx+（0＜x＜2）．h′（x）＝（0＜x＜2），①t＝0时，h′（x）＝＞0．∴h（x）在（0，2）上为增函数，且h（1）＝0，∴x∈（1，2）时，h（x）＞0，不合题意舍去．②t＞0时，h′（x）＞0．同①不合题意舍去．③t＜0时，（i）△≤0时，解得t≤﹣1，h′（x）≤0，在（0，2）内函数h（x）为减函数，且h（1）＝0，可得：0＜x＜1时，h（x）＞0．1＜x＜2时，h（x）＜0，∴[2lnx+]＞0成立．（ii）△＞0时，﹣1＜t＜0，h′（x）分子中的二次函数对称轴x＝﹣＞1，开口向下，且函数值＝2（t+1）＞0，即a＝min{﹣，2}，则x∈（1，a）时，h′（x）＞0，h（x）为增函数，h（1）＝0，h（x）＞0，故舍去．综上可得：t的取值范围是t≤﹣1．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C1：x2+（y﹣3）2＝9，A是曲线C1上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中心，将点A绕点O逆时针旋转90°得到点B，设点B的轨迹方程为曲线C2．（Ⅰ）求曲线C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）射线θ＝（ρ＞0）与曲线C1，C2分别交于P，Q两点，定点M（﹣4，0），求△MPQ的面积．【分析】（Ⅰ）直接利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换和图象的旋转问题求出结果．（Ⅱ）利用极径的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．【解答】1解：（Ⅰ）知曲线C1：x2+（y﹣3）2＝9，整理得：x2+y2﹣6y+9＝9，转换为极坐标方程为：ρ＝6sinθ，A是曲线C1上的动点，以极点O为中心，将点A绕点O逆时针旋转90°得到点B，设点B的轨迹方程为曲线C2．所以得到的直角坐标方程为：（x+3）2+y2＝9，转换为极坐标方程为：ρ＝﹣6cosθ．（Ⅱ）由于射线θ＝（ρ＞0）与曲线C1，C2分别交于P，Q两点，则：|OQ|＝，|OP|＝，所以：，，所以：S△MPQ＝S△MOQ﹣S△MOP＝3．【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变变换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|3x﹣2a|+|2x﹣2|（a∈R）．（Ⅰ）当a＝时，解不等式f（x）＞6；（Ⅱ）若对任意x0∈R，不等式f（x0）+3x0＞4+|2x0﹣2|都成立，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）代入a的值，得到关于x的不等式组，解出即可；（Ⅱ）问题转化为|3x0﹣2a|+3x0＞4恒成立，故x0≥a时，6x0＞2a+4恒成立，x0＜a时，2a＞4，求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）a＝时，|3x﹣1|+|2x﹣2|＞6，故或或，解得：x＞或x＜﹣，故不等式的解集是（﹣∞，﹣）∪（，+∞）；（Ⅱ）若对任意x0∈R，不等式f（x0）+3x0＞4+|2x0﹣2|都成立，则|3x0﹣2a|+3x0＞4恒成立，故x0≥a时，6x0＞2a+4恒成立，故6×a＞2a+4，解得：a＞2，x0＜a时，2a＞4，解得：a＞2，综上，a∈（2，+∞）．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，函数恒成立问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．。

河南省郑州市第一中学2019届高三上学期入学摸底测试数学(文)试题含答案(pdf版)

1．已知全集U R ，集合 A
x
x1 1
，B

x
2x 5 x 1

1

，则
A ðU B
（
）
A．{x |1 x 2} B．{x |1 x 2} C．{x |1 x 2} D． x 1 x 4
2．欧拉公式 eix cos x i sin x （ i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将
a3 a7 与 2a5 的大小关系为（）
A． a3 a7 2a5
B． a3 a7 2a5
C． a3 a7 2a5
D． a3 a7 与 2a5 的大小与 a 有关
12．点 P 为双曲线 x2 y2 1的右支上一点， M , N 分别是圆 (x 5)2 y 2 4 和圆 9 16
(x 5)2 y2 1 上的点，则 PM PN 的最大值为（）
A． 8
B． 9
C．10
D． 7
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，
高三文科数学第 3页（共 6 页）
值钱三；鸡雏三，值钱一。凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，
D．第四象限

3．已知向量 a (m, 2) ，b (4, 2m) ，条件 p : a // b ，条件 q : m 2 ，则 p 是 q 的（）
高三文科数学第 1页（共 6 页）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

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ABD ， AB 2 AD . 6
（1）求证：平面 BDEF 平面 ADE ；
（2）若 ED BD ，求 AF 与平面 AEC 所成角的正弦值 .
x2 20. 已知椭圆 C : a 2
y2 b2 1 （ a b 0 ）的离心率为
3 ，以椭圆的四个顶点为顶点的 2
四边形的面积为 8.
（1）求椭圆 C 的方程；
D ． f (x) sin(2 x ) （ x R ） 3
5. 已知两条不重合的直线 m, n 和两个不重合的平面 , ，若 m
，n
，则下列四个
命题：
①若 // ，则 m n ；②若 m n ，则 // ；
③若 m // n ，则
；④若
其中正确命题的个数是（
）
，则 m // n
A． 0 B ． 1 C.2 D
．
15. 下图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图均是高为
2，底边长为 2 2 的等腰三
角形，俯视图是边长为 2 的正方形，则该几何体的外接球的体积是
．
16. 已知函数 f ( x)
为
．
2 cos[ (1 x) sin[ (1 x)]
4
4
（4
x2 4x 5
x 0 ），则 f ( x) 的最大值
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . ）
．3
ห้องสมุดไป่ตู้
6. 阅读下面程序框图，输出的结果 s的值为（）
A． 3 2
B ．0 C.
3
D ．3
2
7. 已知圆 ( x a )2 y2 1 与直线 y x 相切于第三象限，则 a 的值是（）
A． 2
B ． 2 C.
2 D ．2
x y1 0 8. 若变量 x, y 满足条件 x y 6 0 ，则 xy 的取值范围是（）
市根据《郑州市人民政府办公厅关于将重污染天气黄色预警升级为红色预警的通知》
，自 12
月 29 日 12 时将黄色预警升级为红色预警， 12 月 30 日 0 时启动 I 级响应，明确要求“幼儿
园、中小学等教育机构停课，停课不停学”学生和家长对停课这一举措褒贬不一，
有为了健
康赞成的，有怕耽误学习不赞成的，某调查机构为了了解公众对该举措的态度，随机调查采
B
． 2 1 C.
2
3 22 2
D
． 51
2
12. 数学上称函数 y kx b （ k, b R ， k 0 ）为线性函数，对于非线性可导函数
f ( x) ，
在点 x0 附近一点 x 的函数值 f ( x) ，可以用如下方法求其近似代替值：
f ( x) f ( x0 ) f ' (x0)( x x0) ，利用这一方法， m 4.001 的近似代替值（
} ，A
B（
）
2
A． (
11 , ] [ ,1]
B
1 ． [ ,1]
C ． (0,1]
D ． [1, )
22
2
2. 已知向量 a ,b 均为单位向量，若它们的夹角为 600 ，则 a 3b 等于（）
A． 7
B ． 10 C ． 13 D ． 4
3. 若二项式 ( x2 2 )n 展开式的二项式系数之和为 8，则该展开式的系数之和为（
x1 0
A． [0,5]
B
9. 在 ABC 中， A
． [5, 35 ] 4
600 ， b
35
C.
[0, ] D
4
1， S ABC
c 3 ，则
sin C
． [0,9]
（）
A． 8 3 81
B
． 2 39
C.
3
26 3 3
D ．2 7
10. 设 m N ，若函数 f (x) 2x m 10 x 10 存在整数零点，则符合条件的 m 的取值
访了 50 人，将调查情况整理汇总成下表：
年龄（岁） [15, 25)
[25,35)
[35,45)
[45,55)
[55,65)
[65,75]
频数
5
10
15
10
5
5
赞成人数
4
6
9
6
3
4
（1）请在图中完成被调查人员年龄的频率分布直方图；
（2）若从年龄在 [25,35) ，[65,75] 两组采访对象中各随机选取 2 人进行深度跟踪调查，选中 4 人中不赞成这项举措的人数为 X ，求随机变量 X 的分布列和数学期望 . 19. 如图所示的多面体中， ABCD 是平行四边形， BDEF 是矩形， BD 面 ABCD ，
）
A．大于 m
B ．小于 m C. 等于 m
D ．与 m 的大小关系无法确定
第Ⅱ卷（共 90 分）
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13. 设函数 f (x)
ax2
b（ a
3
0 ），若 f ( x) dx 0
3 f (x0 ) ， x0
0 ，则 x0
．
14. 由数学 2， 0， 1， 7 组成没有重复数字的四位偶数的个数为
）
x
A． -1 B
． 1 C ． 27 D ．-27
4. 将函数 f ( x) 的图象向左平移
解析式是（）
个单位后得到函数
6
g( x) 的图象如图所示，则函数 f (x) 的
A． f ( x) sin(2 x ) （ x R） 6
B ． f (x) sin(2 x ) （ x R ） 6
C. f ( x) sin(2 x ) （ x R） 3
（2）如图，斜率为 1 的直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点，点 P(2,1) 在直线 l 的左上方，若 2
个数为（）
A． 2 B ． 3 C. 4 D
．5
11. 已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1（ a
0, b
0 ）的左、右两个焦点分别为
F1 , F2 ，以线段 F1F2 为
直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为
M ，若 MF1 MF2 2b ，该双曲线的离
心率为 e ，则 e2 （）
A． 2
17. 等差数列 { an } 中，已知 a3 5 ，且 a1, a2 , a3 为递增的等比数列 .
（1）求数列 { a n} 的通项公式；
（2）若数列 { bn} 的通项公式 bn
an 1,n 2k 1
2
（k
n
1
22 , n 2k
N * ），求数列 {bn} 的前 n 项和 Sn .
18. 河南多地遭遇跨年霾，很多学校调整元旦放假时间，提前放假让学生们在家躲霾，郑州
郑州 2017-2018 上期高三入学测试
理科数学
第Ⅰ卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题 , 每小题 5 分 , 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .
1. 已知集合 A { x ln x 0} ， B { x R z x i, z
5 , i是虚部单位