2021中考数学专题复习学案

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中考数学考点知识复习教案

中考数学考点知识复习教案一、复习目标1. 回顾和巩固中考数学考试范围内的重点知识，包括代数、几何、概率统计等模块的核心概念和基本技能。

2. 提高学生的解题能力，通过典型题目的讲解和练习，帮助学生掌握解题方法和技巧。

3. 培养学生的应试策略，提高考试中的时间管理和题目筛选能力。

二、复习内容1. 实数与代数式的复习：包括实数的性质、代数式的运算和化简等。

2. 方程（含不等式）的复习：一元一次方程、一元二次方程、不等式组的解法等。

3. 函数的复习：一次函数、二次函数的图像和性质，以及函数的定义域和值域等。

4. 几何图形的复习：平面几何图形的性质、勾股定理、相似三角形、平行四边形等。

5. 统计与概率的复习：统计量的计算、概率的基本计算公式、随机事件的概率等。

三、教学方法1. 采用讲解与练习相结合的方法，通过教师的详细讲解和学生的同步练习，加深对知识点的理解和记忆。

2. 使用典型题目进行案例分析，引导学生掌握解题的思路和方法。

3. 组织小组讨论和互助学习，鼓励学生之间相互提问和解答，提高学习效果。

4. 定期进行模拟测试，帮助学生熟悉考试环境和题型，提高应试能力。

四、教学评估1. 定期进行课堂提问，检查学生对复习内容的掌握情况。

2. 布置课后作业和练习题，评估学生的解题能力和应用能力。

3. 组织模拟考试，评估学生的考试表现和得分情况。

4. 根据学生的反馈和进步情况，及时调整教学方法和复习内容。

五、教学计划1. 第一周：实数与代数式的复习2. 第二周：方程（含不等式）的复习3. 第三周：函数的复习4. 第四周：几何图形的复习5. 第五周：统计与概率的复习六、复习策略与时间安排1. 制定复习计划：根据学生的学习进度和实际情况，合理分配每个知识点的复习时间和重点。

2. 突出重点和难点：针对中考数学的常见考点和难点，给予学生重点讲解和练习。

3. 合理安排时间：确保每个知识点有足够的复习时间，留出时间进行模拟测试和解答学生的疑问。

2021年中考数学复习第8讲不等式(组)的解法及不等式的应用(教学课件)

由①得，x≥－3，由②得，x＜2，不等式组的解集是－3≤x＜2，它的整数解为：－3，－2，－1，0，1，所以，所有整数解的和为－5.
重点题型
1．(2020·吉林)不等式3x＋1＞7的解集为
3x－2＜x，① 2．(2020·湖州)解不等式组13x＜－2.②
x＞2
3x－2＜x，① 解：13x＜－2.② 解①得 x＜1；解②得 x＜－6. 所以，不等式组的解集为 x＜－6.
(1)求这两种书的单价；
(2)若购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半，且购买两种书的总价不超过1600元．请问有哪几种购买方案？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少元？
重点题型
题题组组训训练练
解：(1)购买《北上》的单价为35元，《牵风记》的单价为30元；
(2)设购买《北上》的数量 n 本，则购买《牵风记》的数量为(50－n)本，
题题组组训训练练
．
重重点点题题型型
题型二应用一元一次不等式(组)解决问题
题组训练
例3.(2020·哈尔滨)昌云中学计划为地理兴趣小组购买大、小两种地球仪，若购买1个大地球仪和3个小地球仪需用136元；若购买 2个大地球仪和1个小地球仪需用132元． (1)求每个大地球仪和每个小地球仪各多少元？ (2)昌云中学决定购买以上两种地球仪共30个，总费用不超过960 元，那么昌云中学最多可以购买多少个大地球仪？
精讲释疑
重重点点题题型型
题组训练
题型一解一元一次不等式(组)
例1.(2020·嘉兴)不等式3(1－x)＞2－4x的解在数轴上表示正确的是( A )
重重点点题题型型
题组训练
4（x＋1）≤7x＋13，
例 2.(2020·枣庄)解不等式组x－4＜x－3 8，

备考2021年九年级数学中考复习专题：全等三角形性质与判定(五)

备考2021年九年级数学中考复习专题：全等三角形性质与判定（五）1．“截长补短法”证明线段的和差问题：先阅读背景材料，猜想结论并填空，然后做问题探究．背景材料：（1）如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．探究的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出的结论是．探索问题：（2）如图2，若四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD 上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立？成立的话，请写出推理过程．2．已知：如图，∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线DG交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．（1）求证：BE＝CF；（2）若AF＝6，△ABC的周长为20，求BC的长．3．如图，已知AB＝DC，AB∥CD，E、F是AC上两点，且AF＝CE．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若∠BCE＝30°，∠CBE＝70°，求∠CFD的度数．4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，点E为CD的中点，过C 作CF∥AB交AE的延长线于点F，连接BF．（1）求证：△ADE≌△FCE；（2）四边形BDCF是怎样的特殊四边形？请加以证明．5．如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC边上的任意一点（除B、C外），以AD为边作等边△ADE，过点C作CF∥DE交AB于点F．求证：EF＝CD．6．如图所示，在四边形ABCD中，AC与BD交于O，AB＝AD，CB＝CD．BE⊥CD于E，BE与AC交于F．CF＝2BO．（1）求证：△BEC是等腰直角三角形；（2）求tan∠ACD的值．7．如图，四边形ABCD是正方形，点E在直线BC上，连接AE．将△ABE沿AE所在直线折叠，点B的对应点是点B′，连接AB′并延长交直线DC于点F．（1）当点F与点C重合时如图（1），易证：DF+BE＝AF（不需证明）；（2）当点F在DC的延长线上时如图（2），当点F在CD的延长线上时如图（3），线段DF、BE、AF有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．8．如图，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上的点，连接BE并作BE⊥EF，交边CD于点F，过点F作FG⊥AC交对角线AC于点G．（1）请在图中找出与BE长度相等的边并加以证明：（2）求的值．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE是过点A的一条直线，且B、C在AE 的两侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E．（1）求证：△ABD≌△CAE；（2）若DE＝3，CE＝2，求BD．10．如图，在△ABC中，AB＝BC，CD⊥AB于点D，CD＝BD，BE平分∠ABC，交AC于E．交CD于F．点H是BC边的中点，连接DH，交BE于点G，连接CG．（1）求证：CE＝BF；（2）判断△ECG的形状，并证明你的结论．°．参考答案1．证明：（1）在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；故答案为：EF＝BE+DF．（2）解：结论EF＝BE+DF仍然成立；理由：延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF．2．（1）证明：连接DB、DC．∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∵DG垂直平分BC，∴DB＝DC，在Rt△BED和Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE＝CF；（2）解：∵∠DAE＝∠DAF，∠AED＝∠AFD＝90°，AD＝AD，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AF＝AE＝6，由（1）得：BE＝CF，∵△ABC的周长＝AB+AC+BC，＝AE+EB+AF﹣CF+BC，＝AE+AF+BC＝20，∴BC＝20﹣12＝8．3．（1）证明：∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠FCD，∵AF＝CE，∴AE＝CF，又∵AB＝CD，∴△ABE≌△CDF（SAS）．（2）解：∵∠BCE＝30°，∠CBE＝70°，∴∠AEB＝∠BCE+∠CBE＝30°+70°＝100°，∵△ABE≌△CDF，∴∠CFD＝∠AEB＝100°．4．证明：（1）∵CF∥AB，∴∠CF A＝∠BAF，∠ADC＝∠FCD，∵点E为CD的中点，∴DE＝CE，∴△ADE≌△FCE（AAS）；（2）解：四边形BDCF是菱形．证明如下：∵△ADE≌△FCE，∴AD＝CF，∵CD是Rt△ABC的中线，∴CD＝AD＝BD，∴CF＝BD，且CF∥AB，∴四边形BDCF是平行四边形，且CD＝BD，∴四边形BDCF是菱形．5．证明：∵△AED是等边三角形，△ABC是等边三角形，∴AD＝AE＝ED，AB＝CA＝BC，∠ADE＝60°，∠B＝∠F AC＝60°，∵ED∥FC，∴∠EDB＝∠FCB，∵∠BDA＝∠ADE+∠EDB＝60°+∠EDB，∠AFC＝∠B+∠FCB＝60°+∠FCB，∴∠BDA＝∠AFC，在△ABD和△CAF中，，∴△ABD≌△CAF（AAS），∴AD＝FC，∵AD＝ED，∴ED＝CF，又∵ED∥CF，∴四边形EDCF是平行四边形，∴EF＝CD．6．证明：（1）∵AB＝AD，CB＝CD，∴AC垂直平分BD，∴BD＝2BO，∵CF＝2BO，∴CF＝BD，∵∠DBE+∠BDE＝90°，∠BDE+∠DCO＝90°，∴∠DBE＝∠FCE，又∵∠BED＝∠CEF，∴△BDE≌△CFE（AAS），∴BE＝CE，又∵BE⊥CD，∴△BEC是等腰直角三角形；（2）如图，连接DF，∵△BDE≌△CFE，∴DE＝EF，∴DF＝EF，∵AC垂直平分BD，∴BF＝DF＝EF，∴BE＝BF+EF＝（+1）EF，∴CE＝（+1）EF，∴tan∠ACD＝＝﹣1．7．解：（1）由折叠可得AB＝AB′，BE＝B′E，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DC＝DF，∠B′CE＝45°，∴B′E＝B′F，∴AF＝AB′+B′F，即DF+BE＝AF；（2）图（2）的结论：DF+BE＝AF；图（3）的结论：BE﹣DF＝AF；图（2）的证明：延长CD到点G，使DG＝BE，连接AG，需证△ABE≌△ADG，∵CB∥AD，∴∠AEB＝∠EAD，∵∠BAE＝∠B′AE，∴∠B′AE＝∠DAG，∴∠GAF＝∠DAE，∴∠AGD＝∠GAF，∴GF＝AF，∴BE+DF＝AF；图（3）的证明：在BC上取点M，使BM＝DF，连接AM，需证△ABM≌△ADF，∵∠BAM＝∠F AD，AF＝AM∵△ABE≌AB′E∴∠BAE＝∠EAB′，∴∠MAE＝∠DAE，∵AD∥BE，∴∠AEM＝∠DAB，∴∠MAE＝∠AEM，∴ME＝MA＝AF，∴BE﹣DF＝AF．8．解：（1）BE＝EF，证明如下：如图1，过P作MN∥AD，交AB于M，交CD于N，∵BE⊥EF，∴∠BEF＝90°，∴∠MEB+∠NEF＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠D＝90°，∵AD∥MN，∴∠BME＝∠BAD＝∠ENF＝∠D＝90°，∴∠MEB+∠MBE＝90°，∴∠NEF＝∠MBE，Rt△ENC中，∠ECN＝45°，∴△ENC是等腰直角三角形，∴EN＝CN，∵∠BME＝∠ENC＝∠ABC＝90°，∴四边形MBCN是矩形，∴BM＝CN，∴BM＝EN，∴△BME≌△ENF（ASA），∴BE＝EF；（2）如图2，设正方形ABCD的中心为点O，连接OB，∵点O是正方形ABCD对角线AC的中点，∴OB⊥AC，∴∠AOB＝90°，∴∠AOB＝∠EGF＝90°，∴∠OBE+∠BEO＝90°，∵∠BEF＝90°，∴∠BEO+∠GEF＝90°，∴∠OBE＝∠GEF，由（1）得：BE＝EF，∴△OBE≌△GEF（AAS），∴OB＝EG，∵∠BAO＝45°，∴，∴．9．（1）证明：∵BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，∠BAC＝90°，∴∠BDA＝∠AEC＝90°，∠DBA+∠BAD＝90°，∠BAD+∠EAC＝90°，∴∠DBA＝∠EAC，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS）；（2）解：由（1）知，△ABD≌△CAE，则BD＝AE，AD＝CE．∵DE＝3，CE＝2∴AE＝AD+DE＝CE+DE＝5．∴BD＝AE＝5．10．证明：（1）∵AB＝BC，BE平分∠ABC，∴BE⊥AC，CE＝AE，∴∠A+∠ACD＝90°，∵CD⊥AB，∴∠A+∠DBF＝90°∴∠ACD＝∠DBF，在△ADC和△FDB中，∠ACD＝∠DFB，CD＝BD，∠ADC＝∠BDF，∴△ADC≌△FDB（ASA）；∴AC＝BF，又∵CE＝AE，∴CE＝BF；（2）△ECG为等腰直角三角形．∵点H是BC边的中点，∴GH垂直平分BC，∴GC＝GB，∵∠DBF＝∠GBC＝∠GCB＝∠ECF，得∠ECG＝45°，又∵BE⊥AC，∴△ECG为等腰直角三角形；。

2021年九年级数学中考复习专题：反比例函数综合(考察坐标、取值范围、面积等)(四)

2021年九年级数学中考复习专题：反比例函数综合（考察坐标、取值范围、面积等）（四）1．如图1，在平面直角坐标系中，已知△ABC，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，顶点A 在第二象限，B，C两点在x轴的负半轴上（点C在点B的右侧），BC＝2，△ACD与△ABC关于AC所在的直线对称．（1）当OC＝2时，求点D的坐标；（2）若点A和点D在同一个反比例函数的图象上，求OC的长；（3）如图2，将第（2）题中的四边形ABCD向左平移，记平移后的四边形为A1B1C1D1，过点D1的反比例函数y＝（k≠0）的图象与BA的延长线交于点P，问：在平移过程中，是否存在这样的k，使得以点P，A1，D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的k的值；若不存在，请说明理由．2．如图1，A（1，0）、B（0，2），双曲线y＝（x＞0）（1）若将线段AB绕A点顺时针旋转90°后B的对应点恰好落在双曲线y＝（x＞0）上①则k的值为；②将直线AB平移与双曲线y＝（x＞0）交于E、F，EF的中点为M（a，b），求的值；（2）将直线AB平移与双曲线y＝（x＞0）交于E、F，连接AE．若AB⊥AE，且EF ＝2AB，如图2，直接写出k的值．3．如图1，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（m为常数，m＞1，x＞0）的图象经过点P（m，1）和Q（1，m），直线PQ与x轴，y轴分别交于C，D两点．（1）求∠OCD的度数；（2）如图2，连接OQ、OP，当∠DOQ＝∠OCD﹣∠POC时，求此时m的值；（3）如图3，点A，点B分别在x轴和y轴正半轴上的动点．再以OA、OB为邻边作矩形OAMB．若点M恰好在函数y＝（m为常数，m＞1，x＞0）的图象上，且四边形BAPQ为平行四边形，求此时OA、OB的长度．4．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝5，AD＝DC＝8，对角线BD＝3+4，点B在y轴上，BD与x轴平行，点C在x轴上．（1）求∠ADC的度数．（2）点P在对角线BD上，点Q在四边形ABCD内且在点P的右边，连接AP、PQ、QC，已知AP＝AQ，∠APQ＝60°，设BP＝m．①求CQ的长（用含m的代数式表示）；②若某一反比例函数图象同时经过点A、Q，求m的值．5．已知一次函数y1＝kx+n（n＜0）和反比例函数y2＝（m＞0，x＞0）．（1）如图1，若n＝﹣2，且函数y1、y2的图象都经过点A（3，4）．①求m，k的值；②直接写出当y1＞y2时x的范围；（2）如图2，过点P（1，0）作y轴的平行线l与函数y2的图象相交于点B，与反比例函数y3＝（x＞0）的图象相交于点C．①若k＝2，直线l与函数y1的图象相交点D．当点B、C、D中的一点到另外两点的距离相等时，求m﹣n的值；②过点B作x轴的平行线与函数y1的图象相交于点E．当m﹣n的值取不大于1的任意实数时，点B、C间的距离与点B、E间的距离之和d始终是一个定值．求此时k的值及定值d．6．如图，四边形OABC为矩形，点B坐标为（4，2），A，C分别在x轴，y轴上，点F 在第一象限内，OF的长度不变，且反比例函数y＝经过点F．（1）如图1，当F在直线y＝x上时，函数图象过点B，求线段OF的长．（2）如图2，若OF从（1）中位置绕点O逆时针旋转，反比例函数图象与BC，AB相交，交点分别为D，E，连结OD，DE，OE．①求证：CD＝2AE．②若AE+CD＝DE，求k．③设点F的坐标为（a，b），当△ODE为等腰三角形时，求（a+b）2的值．7．如图，二次函数与反比例函数的图象有公共点A（﹣2，5），▱ABCD的顶点B（﹣5，p）在双曲线上，C、D两点在抛物线上（点C在y轴负半轴，点D在x轴正半轴）（1）求直线AB的表达式及C、D两点的坐标；（2）第四象限的抛物线上是否存在点E，使得四边形ACED的面积最大，若存在，求出点E的坐标和面积的最大值，不存在，说明理由．8．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，已知点A（﹣6，0）、D（﹣7，3），点B、C在第二象限内．（1）点B的坐标；（2）将正方形ABCD以每秒2个单位的速度沿x轴向右平移t秒，若存在某一时刻t，使在第一象限内点B、D两点的对应点B′、D′正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时t的值以及这个反比例函数的解析式；（3）在（2）的情况下，问是否存在y轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B′、D′四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点P、Q的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，等腰△OAB的边OB与反比例函数y＝（m ＞0）的图象相交于点C，其中OB＝AB，点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为（2，4），过点C作CH⊥x轴于点H．（1）已知一次函数的图象过点O，B，求该一次函数的表达式；（2）若点P是线段AB上的一点，满足OC＝AP，过点P作PQ⊥x轴于点Q，连结OP，记△OPQ的面积为S△OPQ，设AQ＝t，T＝OH2﹣S△OPQ①用t表示T（不需要写出t的取值范围）；②当T取最小值时，求m的值．10．如图，点P在曲线上，PA⊥x轴于点A，点B在y轴正半轴上，PA＝PB，OA、OB的长是方程t2﹣8t+12＝0的两个实数根，且OA＞OB，点C是线段PB延长线上的一个动点，△ABC的外接圆⊙M与y轴的另一个交点是D．（1）填空：OA＝；OB＝；k＝；（2）设点Q是⊙M上一动点，若圆心M在y轴上且点P、Q之间的距离达到最大值，则点Q的坐标是；（3）试问：在点C运动的过程中，BD﹣BC的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请给出合理的解释．参考答案1．解：（1）∵△ADC与△ABC关于AC所在的直线对称，∴CD＝BC＝2，∠ACD＝∠ACB＝30°，如图1，过点D作DE⊥BC于点E，∵∠DCE＝60°，∴，∵OC＝2，∴OE＝3，∴；（2）设OC＝m，则OE＝m+1，OB＝m+2在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，BC＝2，∴，∴，∵A，D在同一反比例函数上，∴，解得：m＝1，∴OC＝1；（3）由（2）得：∴，∵四边形A1B1C1D1由四边形ABCD平移得到，∴，∵D1在反比例函数上，∴同理：，，∴，∴，∵x P＝x A＝﹣3，P在反比例函数上，∴，①若P为直角顶点，则A1P⊥DP，过点P作l1⊥y轴，过点A1作A1F⊥l1，过点D作DG⊥l1，则△A1PF∽△PDG，，解得：；②若D为直角顶点，则A1D⊥DP，过点D作l2⊥x轴，过点A1作A1H⊥l2，则△A1DH∽△DPG，，，解得：k＝0（舍），综上：存在．2．解：（1）设旋转后点B的对应点为点C，过点C作CD⊥x轴于点D，如图所示∵∠BAC＝90°，∴∠BAO+∠CAD＝90°，∵∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠CAD，在△OAB和△DCA中，，∴△OAB≌△DCA（AAS），∴CD＝OA＝1，AD＝OB＝2，∴OD＝OA+AD＝3，∴C（3，1），把C（3，1）代入y＝中，得k＝3，故答案为：3；（2）直线AB表达式中的k值为﹣2，AB∥EF，则直线EF表达式中的k值为﹣2，设点E（m，n），mn＝3，直线EF的表达式为：y＝﹣2x+t，将点E坐标代入上式并解得，直线EF的表达式为y＝﹣2x+2m+n，将直线EF表达式与反比例函数表达式联立并整理得：2x2﹣（2m+n）x+3＝0，x1+x2＝，x1x2＝，则点F（n，），则a＝（），b＝（n+），＝＝＝2；（3）故点E作EH⊥x轴交于点H，由（1）知：△ABO∽△EHA，∴，设EH＝m，则AH＝2m，则点E（2m+1，m），且k＝m（2m+1）＝2m2+m，直线AB表达式中的k值为﹣2，AB∥EF，则直线EF表达式中的k值为﹣2，设直线EF的表达式为：y＝﹣2x+b，将点E坐标代入并求解得：b＝5m+2，故直线EF的表达式为：y＝﹣2x+5m+2，将上式与反比例函数表达式联立并整理得：2x2﹣（5m+2）x+3＝0，用韦达定理解得：x F+x E＝，则x F＝，则点F（m，4m+2），则EF＝＝2AB＝2×，整理得：3m2+4m﹣4＝0，解得：m＝或﹣2（舍去负值），k＝m（2m+1）＝2m2+m＝．3．解：（1）设直线PQ的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴y＝﹣x+m+1，令x＝0，得到y＝m+1，∴D（0，m+1），令y＝0，得到x＝m+1，∴C（m+1，0），∴OC＝OD，∵∠COD＝90°，∴∠OCD＝45°．（2）如图2，过Q作QM⊥y轴于M，过P作PN⊥OC于N，过O作OH⊥CD于H，∵P（m，1）和Q（1，m），∴MQ＝PN＝1，OM＝ON＝m，∵∠OMQ＝∠ONP＝90°，∴△OMQ≌△ONP（SAS），∴OQ＝OP，∠DOQ＝∠POC，∵∠DOQ＝∠OCD﹣∠POC，∠OCD＝45°，∴∠DOQ＝∠POC＝∠QOH＝∠POH＝22.5°，∴MQ＝QH＝PH＝PN＝1，∵∠OCD＝∠ODC＝45°，∴△DMQ和△CNP都是等腰直角三角形，∴DQ＝PC＝，∵OC＝OD＝m+1，∴CD＝OC＝，∵CD＝DQ+PQ+PC，∴＝2+2，∴m＝+1；（3）如图3，∵四边形BAPQ为平行四边形，∴AB∥PQ，AB＝PQ，∴∠OAB＝45°，∵∠AOB＝90°，∴OA＝OB，∴矩形OAMB是正方形，∵点M恰好在函数y＝（m为常数，m＞1，x＞0）的图象上，∴M（，），即OA＝OB＝，∵AB＝PQ，∴，解得：m＝或（舍），∴OA＝OB＝＝＝＝．4．解：（1）连接AC交BD于点H，∵AB＝BC，AD＝DC，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD（SSS），∴∠ABD＝∠CBD，∴BH是等腰三角形ABC的高，即BH⊥AC，即BD是AC的中垂线，设HD＝x，则BH＝4+3﹣x，AH2＝AB2﹣BH2＝AD2﹣DH2，即82﹣x2＝52﹣（3+4﹣x）2，解得：x＝，cos∠ADB＝＝＝，故∠ADB＝30°BD是AC的中垂线，则∠ADB＝30°＝∠CDB，故∠ADC＝2∠ADB＝60°；（2）①连接AQ、QD、PC，∵∠APQ＝60°，AP＝AQ，∴△APQ为等边三角形，故∠PAQ＝60°＝∠PAC+∠HAQ，同理△ACD是边长为8的等边三角形，∴∠CAD＝60°＝∠HAQ+∠QAD，∴∠PAC＝∠QAD，而AP＝AQ，AD＝AC，∴△ACP≌△ADQ（SAS），∵BD是AC的中垂线，故PA＝PC，则△ACP为等腰三角形，∴△AQD也为等腰三角形，即AQ＝QD，而AC＝CD（△ACD为等边三角形），CQ＝CQ，∴△ACQ≌△DCQ（SSS），故∠ACQ＝∠DCQ，在△CAD中，延长CQ交AD于点K，∵AC＝CD，则CK⊥AD，∴∠AKQ＝90°∵∠AKQ＝90°＝∠AHP，∠QAK＝∠PAH，PA＝AQ，∴△AKQ≌△QHP（AAS），∴QK＝PH，过点D作DR⊥x轴交于点R，BD∥x轴，故∠BDC＝∠DCR＝30°，DR＝CD＝8×＝4＝CH＝OB，而BC＝5，故OC＝3＝BH，故点C（3，0），PH＝BH＝BP＝3﹣m＝QK，在等边三角形ACD中，AD边上的高CK＝CD sin∠CDA＝8×sin60°＝4，则CQ＝CK﹣QK＝4﹣3+m；②过点Q分别作x、y轴的垂线，垂足为M、N，∵AK是等边三角形CDA的高，则∠KCD＝30°，而∠DCR＝30°，故∠QCR＝60°，QM＝CQ sin∠QCM＝CQ sin60°＝CQ，CM＝CQ，故点Q（3+CQ，CQ），点C（3，0），CH＝4，故点A（3，8），反比例函数图象同时经过点A、Q，则3×8＝（3+CQ）×CQ，而CQ＝4﹣3+m，即m2+24m+39﹣96＝0，解得：m＝﹣4（不合题意值已舍去）．5．解：（1）①将点A的坐标代入一次函数表达式并解得：k＝2，将点A的坐标代入反比例函数得：m＝3×4＝12；②由图象可以看出x＞3时，y1＞y2；（2）①当x＝1时，点D、B、C的坐标分别为（1，2+n）、（1，m）、（1，n），则BD＝|2+n﹣m|，BC＝m﹣n，DC＝2+n﹣n＝2则BD＝BC或BD＝DC或BC＝CD，即：|2+n﹣m|＝m﹣n或|2+n﹣m|＝2或m﹣n＝2，即：m﹣n＝1或0或2或4，当m﹣n＝0时，m＝n与题意不符，点D不能在C的下方，即BC＝CD也不存在，n+2＞n，当B、D重合时，m﹣n＝2成立，故m﹣n＝1或4或2；②点E的横坐标为：，当点E在点B左侧时，d＝BC+BE＝m﹣n+（1﹣）＝1+（m﹣n）（1﹣），m﹣n的值取不大于1的任意数时，d始终是一个定值，当1﹣＝0时，此时k＝1，从而d＝1．当点E在点B右侧时，同理BC+BE＝（m﹣n）（1+）﹣1，当1+＝0，k＝﹣1时，（不合题意舍去）故k＝1，d＝1．6．解：（1）∵F在直线y＝x上∴设F（m，m）∵y＝经过点B（2，4）．∴k＝8．∵F（m，m）在反比例函数的图象上，∴m2＝8∴m＝2（负值已舍去）．∴由两点间的距离公式可知：OF＝＝4．（2）①∵函数y＝的图象经过点D，E∴OC•CD＝OA•AE＝k．∵OC＝2，OA＝4，∴CD＝2AE．②由①得：CD＝2AE∴可设：CD＝2n，AE＝n∴DE＝CD+AE＝3n，BD＝4﹣2n，BE＝2﹣n在Rt△EBD，由勾股定理得：DE2＝BD2+BE2，∴9n2＝（4﹣2n）2+（2﹣n）2．解得n＝，∴k＝4n＝6﹣10．③CD＝2c，AE＝c当OD＝DE时，22+4c2＝（4﹣2c）2+（2﹣c）2，∴c＝10﹣2，∴k＝4c＝40﹣8．（a+b）2＝a2+b2+2ab＝16+2k＝96﹣16．当若OE＝DE时，16+c2＝（4﹣2c）2+（2﹣c）2，∴c＝．∴k＝4c＝10﹣2．∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝16+2k＝36﹣4．当OE＝OD时，4+4c2＝16+c2，解得c＝2．此时点D与点E重合，故此种情况不存在．综上所述，（a+b）2的值为96﹣16或36﹣4．7．解：（1）设反比例函数的解析式为y＝．∵它图象经过点A（﹣2，5）和点B（﹣5，p），∴5＝，∴k＝﹣10，∴反比例函数的解析式为y＝﹣，∴P＝﹣＝2，∴点B的坐标为（﹣5，2），设直线AB的表达式为y＝mx+n，则，∴，∴直线AB的表达式为y＝x+7．由▱ABCD中，AB∥CD，设CD的表达式为y＝x+c，∴C（0，c），D（﹣c，0），∵CD＝AB，∴CD2＝AB2，∴c2+c2＝（﹣5+2）2+（2﹣5）2，∴c＝﹣3，∴点C、D的坐标分别是（0，﹣3）、（3，0）．（2）设二次函数的解析式为y＝ax2+bx﹣3，，∴，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，假设第四象限的抛物线上存在点E，使得△CDE的面积最大．设E（k，k2﹣2k﹣3），则F（k，k﹣3），过点E作x轴的垂线交CD于点F，则S△CDE＝S△EFC+S△EFD＝•EF•OD＝•[（k﹣3）﹣（k2﹣2k﹣3）]＝﹣（k2﹣3k）＝﹣（k﹣）2+，所以，当k＝时，△CDE的面积最大值为，此时点E的坐标为（，﹣）．∵A（﹣2，5），C（0，﹣3），D（3，0），∴△ACD的面积为定值，∵直线AD的解析式为y＝﹣x+3，∴直线AD交y轴于K（0，3），∴S△ACD＝S△ACK+S△CKD＝×6×2+×6×3＝15，∴四边形ACED的面积的最大值为15+＝．8．解：（1）过点B、D分别作BE⊥x轴、DF⊥x轴交于点E、F，∵∠DAF+∠BAE＝90°，∠DAF+∠FDA＝90°，∴∠FDA＝∠BAE，又∠DFA＝∠AEB＝90°，AD＝AB，∴△DFA≌△AEB（AAS），∴DF＝AE＝3，BE＝AF＝1，∴点B坐标为（﹣3，1），故答案为（﹣3，1）；（2）t秒后，点D′（﹣7+2t，3）、B′（﹣3+2t，1），则k＝（﹣7+2t）×3＝（﹣3+2t）×1，解得：t＝，则k＝6，则点D′（2，3）、B′（6，1）；（3）存在，理由：设：点Q（m，n），点P（0，s），mn＝6，①当BD为平行四边形一条边时，图示平行四边形B′D′QP，点B′向左平移4个单位、向上平移2个单位得到点D′，同理点Q（m，n）向左平移4个单位、向上平移2个单位为（m﹣4，n+2）得到点P （0，s），即：m﹣4＝0，n+2＝s，mn＝6，解得：m＝4，n＝，s＝，故点Q（4，）、点P（0，）；②当BD为平行四边形对角线时，图示平行四边形D′Q′B′P′，B′、D′中点坐标为（4，2），该中点也是P′Q′的中点，即：4＝，＝2，mm＝6，解得：m＝8，n＝，s＝，故点Q′（8，）、P′（0，）；故点Q的坐标为：Q（4，）或（8，），点P的坐标为P（0，）（0，）．9．解：（1）将点O、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx得：4＝2k，解得：k＝2，故一次函数表达式为：y＝2x，（2）①过点B作BM⊥OA，则∠OCH＝∠QPA＝∠OAB＝∠ABM＝α，则tanα＝，sinα＝，∵OB＝AB，则OM＝AM＝2，则点A（4，0），设：AP＝a，则OC＝a，在△APQ中，sin∠APQ＝＝＝sinα＝，同理PQ＝＝2t，则PA＝a＝t，OC＝t，则点C（t，2t），T＝OH2﹣S△OPQ＝（OC•sinα）2﹣×（4﹣t）×2t＝4t2﹣4t，②∵4＞0，∴T有最小值，当t＝时，T取得最小值，而点C（t，2t），故：m＝t×2t＝．10．解：（1）t2﹣8t+12＝0，解得：t＝2或6，∵OA、OB的长是方程t2﹣8t+12＝0的两个实数根，且OA＞OB，即OA＝6，OB＝2，即点A、B的坐标为（﹣6，0）、（0，2），设点P（﹣6，），由PA＝PB得：36+（2+）2＝（）2，解得：k＝﹣60，故点P（﹣6，10），故答案为：6，2，﹣60；（2）当PQ过圆心M时，点P、Q之间的距离达到最大值，tan∠ACO＝，线段AB中点的坐标为（﹣3，1），则过AB的中点与直线AB垂直的直线PQ的表达式为：y＝mx+n＝﹣3x+n，将点（﹣3，1）的坐标代入上式并解得：n＝﹣8，即点M的坐标为（0，﹣8），则圆的半径r＝MB＝2+8＝10＝MQ，过点Q作QG⊥y轴于点G，tan∠QMG＝tan∠HMP＝＝＝，则sin∠QMG＝故GQ＝MQ sin∠QMG＝，MG＝3，故点Q（，﹣8﹣3）；故答案为：（，﹣8﹣3）．（3）是定值，理由：延长PA交圆M于E，过点E作EH⊥BD于H，连接CE，DE，∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA，∵四边形ABCE是圆的内接四边形，∴∠PAB＝∠PCE，∠PBA＝∠PEC，∴∠PEC＝∠PCE，∴PE＝PC，∴AE＝BC，∵AO⊥BD，EH⊥BD，PA⊥OA，∴四边形AOHE是矩形，∴AO＝EH，AE＝OH＝BC，∵PA∥BD，∴＝，∴，∴∠ABD＝∠BDE，且∠AOB＝∠EHD＝90°，AO＝EH，∴△AOB≌△EHD（AAS）∴OB＝DH＝2，∴BD﹣BC＝BD﹣OH＝OB+DH＝4．。

2021年中考数学专题复习-相交线与平行线(学案)

中考数学一轮专题复习学案17 相交线与平行线知识点1：点、线、面、角知识点梳理1．点动成线、线动成面、面动成体．2．角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角．角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．3．度分秒的换算：1周角＝ 2 平角＝ 4 直角＝360°．1°= 60 '，1'=60 ″．4．量角器的使用：量角器的中心和角的顶点对齐，量角器的零刻度线和角的一条边对齐，做到两对齐后看角的另一边与刻度线对应的度数．5. 两角间的关系：（1）余角：如果两个角的和等于90° ，就说这两个角互为余角．同角或等角的余角相等．（2）补角：如果两个角的和等于180° ，就说这两个角互为补角．同角或等角的补角相等．6. 角平分线：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线．典型例题【例1】（2020•重庆B卷2/26）围成下列立体图形的各个面中，每个面都是平的是（）A．长方体B．圆柱体C．球体D．圆锥体【考点】认识立体图形【分析】根据平面与曲面的概念判断即可．【解答】解：A、六个面都是平面，故本选项正确；B、侧面不是平面，故本选项错误；C、球面不是平面，故本选项错误；D、侧面不是平面，故本选项错误；故选：A．【点评】本题考查的是立体图形的认识，掌握平面与曲面的概念是解题的关键．【例2】（2020•陕西2/25）若∠A=23°，则∠A余角的大小是（）A．57°B．67°C．77°D．157°【考点】余角和补角【分析】根据∠A的余角是90°-∠A，代入求出即可．【解答】解：∵∠A =23°，∴∠A的余角是90°-23°=67°．故选：B．【点评】本题考查了互余的应用，注意：如果∠A和∠B互为余角，那么∠A=90°-∠B．知识点2：直线、射线和线段1．直线的概念：一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的．2. 射线的概念：直线上一点和它一旁的部分叫做射线．这个点叫做射线的端点．3. 线段的概念：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段．这两个点叫做线段的端点．4．线段的和差：如下图，在线段AC上取一点B，则有：AB+ BC =AC；AB=AC-BC；BC=AC-AB．5．线段的中点：如下图，点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB，点M叫做线段AB的中点．几何语言：AM=MB=12AB．知识点梳理6. 直线的性质：（1）直线公理：经过两个点有一条直线，并且只有一条直线．它可以简单地说成：过两点有且只有一条直线（两点确定一条直线）．（2）过一点的直线有无数条．（3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小．（4）直线上有无穷多个点．（5）两条不同的直线至多有一个公共点．7. 线段的性质：（1）线段公理：所有连接两点的线中，线段最短．也可简单说成：两点之间线段最短．（2）连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离．（3）线段的中点到两端点的距离相等．（4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的．典型例题【例3】（2019·保定高阳县模拟）“植树时只要定出两棵树的位置，就能确定这一行树所在的直线”，用数学知识解释其道理应是（）A．两点之间，线段最短B．两点确定一条直线C．直线可以向两边延长D．两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离【答案】B．【解答】“植树时只要定出两棵树的位置，就能确定这一行树所在的直线”，用数学知识解释其道理是“两点确定一条直线”．故答案为B．知识点3：相交线知识点梳理1. 相交线中的角:（1）两条直线相交，可以得到四个角，我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点但没有公共边的两个角叫做对顶角．我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做邻补角．（2）邻补角互补，对顶角相等．（3）直线AB，CD与EF相交（或者说两条直线AB，CD被第三条直线EF所截），构成八个角（三线八角）．其中∠1与∠5这两个角分别在AB，CD的上方，并且在EF的同侧，像这样位置相同的一对角叫做同位角；∠3与∠5这两个角都在AB，CD之间，并且在EF的异侧，像这样位置的两个角叫做内错角；∠3与∠6在直线AB，CD之间，并侧在EF的同侧，像这样位置的两个角叫做同旁内角．2. 垂线：（1）两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直．其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”)，读作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）．（2）垂线的性质：性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．简称：垂线段最短．3. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．如下图，点P与直线l上各点连接的所有线段中，PB最短，点P到直线l的距离是PB的长度．4. 线段垂直平分线的性质定理及逆定理：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线．线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等．如下图，若l ⊥AB ，OA=OB ，则AP=BP ．逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 5. 角平分线的性质定理及逆定理：角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．几何语言：如下图，1=2,PE PF PE OA PF OB ∠∠⎫⇒=⎬⊥⊥⎭逆定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．几何语言：如下图，,1=2PE OA PF OB PE PF ⊥⊥⎫⇒∠∠⎬=⎭【例4】（2020•河北1/26）如图，在平面内作已知直线m 的垂线，可作垂线的条数有（）A ．0条B ．1条C ．2条D ．无数条【考点】垂线【分析】根据垂直、垂线的定义，可直接得结论．【解答】解：在同一平面内，与已知直线垂直的直线有无数条，所以作已知直线m 的垂线，可作无数条．故选：D ．【点评】本题考查了垂直和垂线的定义．掌握垂线的定义是解决本题的关键．【例5】（2020•青海5/28）如图，△ABC 中，AB =AC =14 cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于典型例题点D，且△DBC的周长是24 cm，则BC= cm．【考点】线段垂直平分线的性质【分析】由边AB的垂直平分线与AC交于点D，故AD=BD，于是将△DBC的周长转化为BC与边长AC的和来解答．【解答】解：∵C△DBC=24 cm，∴BD+DC+BC=24 cm①，又∵MN垂直平分AB，∴AD=BD②，将②代入①得：AD+DC+BC=24 cm，即AC+BC=24 cm，又∵AC=14 cm，∴BC=24-14=10cm．故填10．【点评】本题考查了垂直平分线的性质；此题将垂直平分线的性质与三角形的周长问题相结合，体现了转化思想在解题时的巨大作用．【例6】（2020•新疆兵团13/23）如图，在x轴，y轴上分别截取OA，OB，使OA=OB，再分别以点A，B为圆心，以大于12AB长为半径画弧，两弧交于点P．若点P的坐标为（a，2a-3），则a的值为．【考点】坐标与图形性质【分析】根据作图方法可知点P在∠BOA的角平分线上，由角平分线的性质可知点P到x 轴和y轴的距离相等，结合点P在第一象限，可得关于a的方程，求解即可．【解答】解：∵OA=OB，分别以点A，B为圆心，以大于12AB长为半径画弧，两弧交于点P，∴点P在∠BOA的角平分线上，∴点P到x轴和y轴的距离相等，又∵点P在第一象限，点P的坐标为（a，2a-3），∴a=2a-3，∴a=3．故答案为：3．【点评】本题考查了角平分线的作法及其性质在坐标与图形性质问题中的应用，明确题中的作图方法及角平分线的性质是解题的关键．知识点4：平行线1. 平行线的概念：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线．平行用符号“∥”表示，如“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”．同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行．2. 平行线公理及其推论：平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．3. 平行线的判定：平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行．简称：同位角相等，两直线平行．平行线的两条判定定理：（1）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行．简称：内错角相等，两直线平行．（2）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行．知识点梳理4. 平行线的性质：（1）两直线平行，同位角相等．（2）两直线平行，内错角相等．（3）两直线平行，同旁内角互补．5. 两平行线间的距离：（1）定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离．（2）性质：两条平行线之间的距离处处相等．【例7】（2019·河北省7/26）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容则回答正确的是（）A．◎代表∠FEC B．@代表同位角C．▲代表∠EFC D．※代表AB【考点】平行线的判定．【分析】根据图形可知※代表CD，即可判断D；根据三角形外角的性质可得◎代表∠EFC，即可判断A；利用等量代换得出▲代表∠EFC，即可判断C；根据图形已经内错角定义可知@代表内错角．【解答】证明：延长BE交CD于点F，则∠BEC＝∠EFC+∠C（三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和）．又∠BEC＝∠B+∠C，得∠B＝∠EFC．故AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．故选：C．【点评】本题考查了平行线的判定，三角形外角的性质，比较简单．典型例题【例8】（2020•海南6/22）如图，已知AB∥CD，直线AC和BD相交于点E，若∠ABE=70°，∠ACD=40°，则∠AEB等于（）A．50°B．60°C．70°D．80°【考点】平行线的性质【分析】利用平行线的性质，得到∠BAE与∠C的关系，再利用三角形的内角和，求出∠AEB．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠BAE=∠C=40°．∵∠AEB +∠EAB +∠EBA =180°，∴∠AEB=70°．故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质、三角形的内角和定理，题目难度较小，利用平行线的性质把要求的角和已知角放在同一个三角形中，是解决本题的关键．知识点5：命题、定理、证明知识点梳理1. 命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题．2. 命题的分类：按正确、错误与否分为：真命题和假命题．所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题．所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题．3．互逆命题：一个命题的条件和结论分别为另一个命题的结论和条件的两个命题，称为互逆命题，如果我们把其中一个命题称为原命题，那么另一个命题就是这个原命题的逆命题．4. 公理：人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理．5. 定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理．6. 互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么这个逆命题也可以称为原定理的逆定理，一个定理和它的逆定理是互逆定理．7. 证明：判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明．【例9】（2019·安徽省12/23）命题“如果a+b＝0，那么a，b互为相反数”的逆命题为．【考点】命题与定理．【分析】根据互逆命题的定义写出逆命题即可．【解答】解：命题“如果a+b＝0，那么a，b互为相反数”的逆命题为：如果a，b互为相反数，那么a+b＝0；故答案为：如果a，b互为相反数，那么a+b＝0．【点评】本题考查的是命题与定理、互逆命题，掌握逆命题的确定方法是解题的关键．【例10】（2019·泰州）命题“三角形的三个内角中至少有两个锐角”是________（填“真命题”或“假命题”）．【答案】真命题．【解答】一个三角形如果是锐角三角形，则三个角都是锐角，如果是直角或钝角三角形，则有两个角是锐角，∴三角形的三个内角中至少有两个锐角是真命题．1.（2020•江西5/23）如图所示，正方体的展开图为()A．B．典型例题巩固训练C ．D ．2.（2019•鄂尔多斯2/24）下面四个图形中，经过折叠能围成如图所示的几何图形的是（）A ．B ．C ．D ．3.（2018·北京市1/28）下列几何体中，是圆柱的为（）A ．B ．C ．D ．4.如图所示，用量角器度量∠AOB ，可以读出∠AOB 的度数为（）A ． 45°B ． 55°C ． 125°D ． 135°5.（2020•通辽4/26）如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使α∠和β∠互余的摆放方式是( )A．B．C．D．6.（2020•通辽13/26）如图，点O在直线AB上，581728∠的度数AOC∠=︒'''．则BOC是．7.若∠A=34°，则∠A的补角为（）A．56°B．146° C．156° D．166°8.（2020•吉林11/26）如图，某单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处．他们的做法是：过点C作CD l⊥于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是．9.如图，OA是北偏东30°方向的一条射线，若射线OB与射线OA垂直，则OB的方位角是（）A．北偏西30°B．北偏西60°C．东偏北30°D．东偏北60°10.（2020•海南15/22）如图，在△ABC中，9BC=，4AC=，分别以点A、B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC边于点D，连接AD，则△ACD的周长为．11.（2020•陕西17/25）如图，已知△ABC，AC AB>，45C∠=︒．请用尺规作图法，在AC 边上求作一点P，使45PBC∠=︒．（保留作图痕迹，不写作法，答案不唯一）12.（2020•宁夏14/26）如图，在△ABC中，84C∠=︒，分别以点A、B为圆心，以大于12 AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M、N，作直线MN交AC点D；以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA、BC于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP，此时射线BP恰好经过点D，则A∠=度．13.（2018·通辽16/26）如图，在△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以点A 和点C 为圆心，以大于12AC 的长为半径作弧，两弧相交于M 、N 两点；②作直线MN 交BC 于点D ，连接AD ．若AB ＝BD ，AB ＝6，∠C ＝30°，则△ACD 的面积为．14.（2020•河北6/26）如图1，已知ABC ∠，用尺规作它的角平分线．如图2，步骤如下，第一步：以B 为圆心，以a 为半径画弧，分别交射线BA ，BC 于点D ，E ；第二步：分别以D ，E 为圆心，以b 为半径画弧，两弧在ABC ∠内部交于点P ；第三步：画射线BP ．射线BP 即为所求．下列正确的是( )A ．a ，b 均无限制B ．0a >，12b DE >的长C ．a 有最小限制，b 无限制D ．0a ，12b DE <的长 15.（2019•包头7/26）如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB 、AC 于点D ，E ，再分别以点D 、E 为圆心，大于12DE 为半径画弧，两弧交于点F ，作射线AF 交边BC 于点G ，若BG ＝1，AC ＝4，则△ACG 的面积是（）A ．1B ．32C ．2D ．5216.（2020•兴安盟•呼伦贝尔6/26）如图，直线AB ∥CD ，AE CE ⊥于点E ，若120EAB ∠=︒，则ECD ∠的度数是( )A ．120︒B ．100︒C ．150︒D ．160︒17.（2020•河南4/23）如图，12//l l ，34//l l ，若170∠=︒，则2∠的度数为（）A ．100︒B ．110︒C ．120︒D ．130︒18.（2020•新疆兵团10/23）如图，若AB ∥CD ，110A ∠=︒，则1∠= ︒．19.（2019·河南省3/23）如图，AB ∥CD ，∠B ＝75°，∠E ＝27°，则∠D 的度数为（）A ．45°B ．48°C ．50°D ．58°20.（2018·兴安盟呼伦贝尔5/26）如图，//AB CD ，70C ∠=︒，40A ∠=︒，则F ∠的度数为( )A．30︒B．35︒C．40︒D．45︒21.（2018·赤峰8/26）已知AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点G、H，∠EGB＝25°，将一个60°角的直角三角尺如图放置（60°角的顶点与H重合），则∠PHG等于（）A．30°B．35°C．40°D．45°22.（2018·通辽12/26）如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝37°45′，在OB边上有一点E，从点E射出一束光线经平面镜反射后，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是．23．（2018·聊城）如图，直线AB∥EF，点C是直线AB上一点，点D是直线AB外一点，若∠BCD＝95°，∠CDE＝25°，则∠DEF的度数是()A．110° B．115° C．120° D．125°24．（2019·南京）结合下图，用符号语言表达定理“同旁内角互补，两直线平行”的推理形式：∵________，∴a∥b．25．（2019·黄冈）如图，直线AB∥CD，直线EC分别与AB，CD相交于点A，点C．AD 平分∠BAC，已知∠ACD＝80°，则∠DAC的度数为________．巩固训练解析1.（2020•江西5/23）如图所示，正方体的展开图为()A．B．C．D．【考点】几何体的展开图【分析】根据正方体的展开与折叠，正方体展开图的形状进行判断即可．【解答】解：根据“相间、Z端是对面”可得选项B不符合题意；再根据“上面 ”符号开口，可以判断选项A符合题意；选项C、D不符合题意；故选：A．【点评】本题考查正方体的展开与折叠，掌握正方体展开图的特征是正确判断的前提．2.（2019•鄂尔多斯2/24）下面四个图形中，经过折叠能围成如图所示的几何图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：三角形图案的顶点应与圆形的图案相对，而选项A与此不符，所以错误；三角形图案所在的面应与正方形的图案所在的面相邻，而选项C与此也不符，三角形图案所在的面应与圆形的图案所在的面相邻，而选项D与此也不符，正确的是B．故选：B．3.（2018·北京市1/28）下列几何体中，是圆柱的为（）A．B．C．D．【考点】认识立体图形．【分析】根据立体图形的定义及其命名规则逐一判断即可．【解答】解：A、此几何体是圆柱体；B、此几何体是圆锥体；C、此几何体是正方体；D、此几何体是四棱锥；故选：A．【点评】本题主要考查立体图形，解题的关键是认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等．能区分立体图形与平面图形，立体图形占有一定空间，各部分不都在同一平面内．4.如图所示，用量角器度量∠AOB，可以读出∠AOB的度数为（）A ． 45°B ． 55°C ． 125°D ． 135°【答案】B【考点】用量角器度量角．【解答】由生活知识可知这个角小于90度，排除C 、D ，又OB 边在50与60之间，所以，度数应为55°．5.（2020•通辽4/26）如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使α∠和β∠互余的摆放方式是( )A ．B ．C ．D ．【考点】余角和补角【分析】根据余角和补角的概念、结合图形进行判断即可．【解答】解：A ．α∠与β∠互余，故本选项正确；B ．αβ∠=∠，故本选项错误；C ．αβ∠=∠，故本选项错误；D ．α∠与β∠互补，故本选项错误，故选：A ．【点评】本题考查了余角和补角，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键．6.（2020•通辽13/26）如图，点O 在直线AB 上，581728AOC ∠=︒'''．则BOC ∠的度数是 1214232︒''' ．【考点】度分秒的换算；角的概念【分析】依据邻补角的定义，即可得到BOC ∠的度数．【解答】解：点O 在直线AB 上，且581728AOC ∠=︒'''，1801805817281214232BOC AOC ∴∠=︒-∠=︒-︒'''=︒'''，故答案为：1214232︒'''．【点评】本题主要考查了邻补角的定义．解题的关键是掌握邻补角的定义：如果两个角互为邻补角，那么它们的和为180︒．7.若∠A =34°，则∠A 的补角为（）A ．56°B ．146°C ．156°D ． 166°【考点】根据互补的两角之和为180°，可得出答案．【分析】余角和补角．【解答】解：∵∠A =34°，∴∠A 的补角=180°﹣34°=146°．故选B ．【点评】本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键是掌握互补的两角之和为180°．8.（2020•吉林11/26）如图，某单位要在河岸l 上建一个水泵房引水到C 处．他们的做法是：过点C 作CD l ⊥于点D ，将水泵房建在了D 处．这样做最节省水管长度，其数学道理是垂线段最短．【考点】垂线段最短【分析】根据垂线段的性质解答即可．【解答】解：过点C作CD l⊥于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是垂线段最短．故答案为：垂线段最短．【点评】本题考查了垂线段的定义和性质．解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决实际问题．9.如图，OA是北偏东30°方向的一条射线，若射线OB与射线OA垂直，则OB的方位角是（）A．北偏西30°B．北偏西60°C．东偏北30°D．东偏北60°【考点】方向角．【分析】根据垂直，可得∠AOB的度数，根据角的和差，可得答案．【解答】解：如下图：若射线OB与射线OA垂直，∴∠AOB=90°，∠1=60°，OB是北偏西60°，故选：B．【点评】本题考查了方向角，方向角的表示方法是北偏东或北偏西，南偏东或南偏西．10.（2020•海南15/22）如图，在△ABC中，9BC=，4AC=，分别以点A、B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC边于点D，连接AD，则△ACD的周长为13．【考点】线段垂直平分线的性质；作图-基本作图【分析】根据作图过程可得，MN是AB的垂直平分线，所以得AD BD=，进而可得△ACD 的周长．【解答】解：根据作图过程可知：MN是AB的垂直平分线，∴AD BD=，∴△ACD的周长9413=++=++=+=+=．AD DC AC BD DC AC BC AC故答案为：13．【点评】本题考查了作图-基本作图、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．11.（2020•陕西17/25）如图，已知△ABC，AC AB∠=︒．请用尺规作图法，在ACC>，45边上求作一点P，使45∠=︒．（保留作图痕迹，不写作法，答案不唯一）PBC【考点】作图-基本作图【分析】根据尺规作图法，作一个角等于已知角，在AC边上求作一点P，使45PBC∠=︒即可，或作BC的垂直平分线交AC于点P【解答】解：如图，点P即为所求．【点评】本题考查了作图-基本作图，解决本题的关键是掌握基本作图方法．12.（2020•宁夏14/26）如图，在△ABC中，84C∠=︒，分别以点A、B为圆心，以大于12 AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M、N，作直线MN交AC点D；以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA、BC于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP，此时射线BP恰好经过点D，则A∠=32度．【考点】线段垂直平分线的性质；作图-复杂作图【分析】由作图可得MN是线段AB的垂直平分线，BD是ABC∠的平分线，根据它们的性质可得A ABD CBD∠=∠=∠，再根据三角形内角和定理即可得解．【解答】解：由作图可得，MN是线段AB的垂直平分线，BD是ABC∠的平分线，AD BD ∴=，12ABD CBD ABC∠=∠=∠，A ABD∴∠=∠，A ABD CBD∴∠=∠=∠，180A ABC C∠+∠+∠=︒，且84C∠=︒，2180A ABD C∴∠+∠=︒-∠，即318084A∠=︒-︒，32A∴∠=︒．故答案为：32．【点评】本题考查了作图-复杂作图，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法和角平分线的作法．13.（2018·通辽16/26）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点A和点C为圆心，以大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；②作直线MN交BC于点D，连接AD．若AB＝BD，AB＝6，∠C＝30°，则△ACD的面积为【考点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；作图—基本作图．【分析】只要证明△ABD是等边三角形，推出BD＝AD＝DC，可得S△ADC＝S△ABD即可解决问题；【解答】解：由作图可知，MN垂直平分线段AC，∴DA＝DC，∴∠C＝∠DAC＝30°，∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝60°，∵AB＝BD，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AD＝DC，∴S△ADC＝S△ABD×62＝故答案为【点评】本题考查作图﹣基本作图，三角形的面积，等边三角形的判定和性质，等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．14.（2020•河北6/26）如图1，已知ABC∠，用尺规作它的角平分线．如图2，步骤如下，第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E；第二步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在ABC∠内部交于点P；第三步：画射线BP．射线BP即为所求．下列正确的是( )A ．a ，b 均无限制B ．0a >，12b DE >的长C ．a 有最小限制，b 无限制D ．0a ，12b DE <的长【考点】作图-基本作图【分析】根据角平分线的画法判断即可．【解答】解：以B 为圆心画弧时，半径a 必须大于0，分别以D ，E 为圆心，以b 为半径画弧时，b 必须大于12DE ，否则没有交点，故选：B ．【点评】本题考查作图-基本作图，解题的关键是熟练掌握作角平分线的方法，属于中考常考题型．15.（2019•包头7/26）如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB 、AC 于点D ，E ，再分别以点D 、E 为圆心，大于12DE 为半径画弧，两弧交于点F ，作射线AF 交边BC 于点G ，若BG ＝1，AC ＝4，则△ACG 的面积是（）A ．1B ．32C ．2D ．52【解答】解：由作法得AG 平分∠BAC ，∴G 点到AC 的距离等于BG 的长，即G 点到AC 的距离为1，所以△ACG 的面积＝12×4×1＝2．故选：C ．16.（2020•兴安盟•呼伦贝尔6/26）如图，直线AB ∥CD ，AE CE ⊥于点E ，若120EAB ∠=︒，则ECD ∠的度数是( )A ．120︒B ．100︒C ．150︒D ．160︒【考点】垂线；平行线的性质【分析】延长AE ，与DC 的延长线交于点F ，根据平行线的性质，求出AFC ∠的度数，再利用外角的性质求出ECF ∠，从而求出ECD ∠．【解答】解：延长AE ，与DC 的延长线交于点F ，//AB CD ，180A AFC ∴∠+∠=︒，120EAB ∠=︒，60AFC ∴∠=︒，AE CE ⊥，90AEC ∴∠=︒，而AEC AFC ECF ∠=∠+∠，30ECF AEC F ∴∠=∠-∠=︒，18030150ECD ∴∠=︒-︒=︒，故选：C ．【点评】本题考查平行线的性质和外角的性质，正确作出辅助线和平行线的性质是解题的关键．17.（2020•河南4/23）如图，12//l l ，34//l l ，若170∠=︒，则2∠的度数为（）A ．100︒B ．110︒C ．120︒D ．130︒【考点】平行线的性质【分析】根据平行线的性质即可得到结论．【解答】解：12//l l ，170∠=︒，3170∴∠=∠=︒，34//l l ， 2180318070110∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，故选：B ．【点评】此题考查了平行线的性质，解题的关键是：熟记两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补．18.（2020•新疆兵团10/23）如图，若AB ∥CD ，110A ∠=︒，则1∠= 70 ︒．【考点】平行线的性质【分析】由//AB CD ，利用“两直线平行，同位角相等”可得出2∠的度数，再结合1∠，2∠互补，即可求出1∠的度数．【解答】解：//AB CD ，2110A ∴∠=∠=︒．又12180∠+∠=︒，∴∠=︒-∠=︒-︒=︒．1180218011070故答案为：70．【点评】本题考查了平行线的性质以及邻补角，牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．19.（2019·河南省3/23）如图，AB∥CD，∠B＝75°，∠E＝27°，则∠D的度数为（）A．45°B．48°C．50°D．58°【考点】平行线的性质．【分析】根据平行线的性质解答即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠B＝∠1，∵∠1＝∠D+∠E，∴∠D＝∠B﹣∠E＝75°﹣27°＝48°，故选：B．【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答．20.（2018·兴安盟呼伦贝尔5/26）如图，//∠的度数∠=︒，则FAAB CD，70∠=︒，40C为()A ．30︒B ．35︒C ．40︒D ．45︒【考点】平行线的性质【分析】先根据平行线的性质求出BEF ∠的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．【解答】解：//AB CD ，70C ∠=︒， 70BEF C ∴∠=∠=︒．40A ∠=︒，704030F ∴∠=︒-︒=︒．故选：A ．【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．21.（2018·赤峰8/26）已知AB ∥CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于点G 、H ，∠EGB ＝25°，将一个60°角的直角三角尺如图放置（60°角的顶点与H 重合），则∠PHG 等于（）A ．30°B ．35°C ．40°D ．45°【考点】平行线的性质．【分析】依据AB ∥CD ，可得∠EHD ＝∠EGB ＝25°，再根据∠PHD ＝60°，即可得到∠PHG ＝60°﹣25°＝35°．【解答】解：∵AB ∥CD ，∴∠EHD ＝∠EGB ＝25°，又∵∠PHD ＝60°，∴∠PHG ＝60°﹣25°＝35°，故选：B ．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．22.（2018·通辽12/26）如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝37°45′，在OB边上有一点E，从点E射出一束光线经平面镜反射后，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是75°30′（或75.5°）．【考点】度分秒的换算；平行线的性质．【分析】首先证明∠EDO＝∠AOB＝37°45′，根据∠DEB＝∠AOB+∠EDO计算即可解决问题；【解答】解：∵CD∥OB，∴∠ADC＝∠AOB，∵∠EDO＝∠CDA，∴∠EDO＝∠AOB＝37°45′，∴∠DEB＝∠AOB+∠EDO＝2×37°45′＝75°30′（或75.5°），故答案为75°30′（或75.5°）．【点评】本题考查平行线的性质、度分秒的换算等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．23．（2018·聊城）如图，直线AB∥EF，点C是直线AB上一点，点D是直线AB外一点，若∠BCD＝95°，∠CDE＝25°，则∠DEF的度数是()A．110° B．115° C．120° D．125°【答案】C．【解析】如下图，延长DE交BC于点G，∵∠BGD是△DCG的外角，∴∠BGD＝∠BCD ＋∠CDE＝95°＋25°＝120°，∵AB∥EF，∴∠DEF＝∠DGB＝120°．。

2021年九年级数学中考复习专题：二次函数综合(考察动点坐标、长度、面积等)(一)

2021年九年级数学中考复习专题：二次函数综合（考察动点坐标、长度、面积等）（一）1．如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与A重合），过点P作PD∥y轴交直线AC于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）△APD能否构成直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点P坐标；若不能，请说明理由．2．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点B坐标为（3，0），点C坐标为（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，点M为该抛物线的顶点，直线MD⊥x轴于点D，在直线MD上是否存在点N，使点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C．已知点D的坐标为（﹣1，0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，连接AP、PC、CD．（1）求这个抛物线的表达式．（2）当四边形ADCP面积等于4时，求点P的坐标．（3）①点M在平面内，当△CDM是以CM为斜边的等腰直角三角形时，直接写出满足条件的所有点M的坐标；②在①的条件下，点N在抛物线对称轴上，当∠MNC＝45°时，直接写出满足条件的所有点N的坐标．4．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，BO＝3AO＝3，过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C，D，BC＝CD．（1）求b，c的值；（2）求直线BD的函数解析式；（3）点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线BA上．当△ABD与△BPQ相似时，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．5．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴相交于点C，M是抛物线的顶点，直线x＝1是抛物线的对称轴，且点C的坐标为（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D．若PD＝m，△PCD的面积为S．①求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；②当S取得最值时，求点P的坐标．（3）在（2）的条件下，在线段MB上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与直线BC交于点D．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使|BM﹣CM|的值最大，求出点M的坐标；（3）点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，直接写出点E的坐标．7．如图1，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A，B两点，其中点A的坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）点D为y轴上一点，如果直线BD与直线BC的夹角为15°，求线段CD的长度；（3）如图2，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO，求点P的坐标．8．已知二次函数图象过点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4）．（1）求二次函数的解析式．（2）如图，当点P为AC的中点时，在线段PB上是否存在点M，使得∠BMC＝90°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点K在抛物线上，点D为AB的中点，直线KD与直线BC的夹角为锐角θ，且tanθ＝，求点K的坐标．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），与x轴交于B（﹣3，0）、C两点（点B在点C的左侧），抛物线的顶点为D．（1）求抛物线的表达式；（2）用配方法求点D的坐标；（3）点P是线段OB上的动点．①过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，若PE＝PC，求点E的坐标；②在①的条件下，点F是坐标轴上的点，且点F到EA和ED的距离相等，请直接写出线段EF的长；③若点Q是射线OA上的动点，且始终满足OQ＝OP，连接AP，DQ，请直接写出AP+DQ的最小值．10．如图1，已知：抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）交x轴于A，C两点，交y轴于点B，且OB ＝2CO．（1）求二次函数解析式；（2）在二次函数图象（如图2）位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使得△ABP为直角三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），∴，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3；（2）令x＝0，则y＝3，∴点C（0，3），则直线AC的解析式为y＝﹣x+3，设点P（x，x2﹣4x+3），∵PD∥y轴，∴点D（x，﹣x+3），∴PD＝（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣）2+，∵a＝﹣1＜0，∴当x＝时，线段PD的长度有最大值；（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，此时，点P（1，0），②∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），∵A（3，0），∴点P为在抛物线顶点时，∠PAD＝45°+45°＝90°，此时，点P（2，﹣1），综上所述，点P（1，0）或（2，﹣1）时，△APD能构成直角三角形．2．解：（1）∵点B（3，0），点C（0，3）在抛物线y＝﹣x2+bx+c图象上，∴，解得：，∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）∵点B（3，0），点C（0，3），∴直线BC解析式为：y＝﹣x+3，如图，过点P作PH⊥x轴于H，交BC于点G，设点P（m，﹣m2+2m+3），则点G（m，﹣m+3），∴PG＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，＝×PG×OB＝×3×（﹣m2+3m）＝﹣（m﹣）2+，∵S△PBC有最大值，∴当m＝时，S△PBC∴点P（，）；（3）存在N满足条件，理由如下：∵抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点，∴点A（﹣1，0），∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点M为（1，4），∵点M为（1，4），点C（0，3），∴直线MC的解析式为：y＝x+3，如图，设直线MC与x轴交于点E，过点N作NQ⊥MC于Q，∴DE＝4＝MD，∴∠NMQ＝45°，∵NQ⊥MC，∴∠NMQ＝∠MNQ＝45°，∴MQ＝NQ，∴MQ＝NQ＝MN，设点N（1，n），∵点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离，∴NQ＝AN，∴NQ2＝AN2，∴（MN）2＝AN2，∴（|4﹣n|）2＝4+n2，∴n2+8n﹣8＝0，∴n＝﹣4±2，∴存在点N满足要求，点N坐标为（1，﹣4+2）或（1，﹣4﹣2）．3．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），∴抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a，即﹣3a＝2，解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣x+2；（2）连接OP，设点P（x，﹣x2﹣x+2），∵抛物线y＝﹣x2﹣x+2交y轴于点C，∵S ＝S 四边形ADCP ＝S △APO +S △CPO ﹣S △ODC ＝×AO ×y P +×OC ×|x P |﹣×CO ×OD ＝4，∴×3×（﹣x 2﹣x +2）+×2×（﹣x ）﹣×1×2＝4，∴x 1＝﹣1，x 2＝﹣2， ∴点P （﹣1，）或（﹣2，2）；（3）①如图2，若点M 在CD 左侧，连接AM ，∵∠MDC ＝90°，∴∠MDA +∠CDO ＝90°，且∠CDO +∠DCO ＝90°， ∴∠MDA ＝∠DCO ，且AD ＝CO ＝2，MD ＝CD ， ∴△MAD ≌△DOC （SAS ）∴AM ＝DO ，∠MAD ＝∠DOC ＝90°， ∴点M 坐标（﹣3，1），若点M 在CD 右侧，同理可求点M '（1，﹣1）； ②如图3，∵抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2﹣x +2＝﹣（x +1）2+；∴对称轴为：直线x ＝﹣1，∴点D在对称轴上，∵MD＝CD＝M'D，∠MDC＝∠M'DC＝90°，∴点D是MM'的中点，∵∠MCD＝∠M'CD＝45°，∴∠MCM'＝90°，∴点M，点C，点M'在以MM'为直径的圆上，当点N在以MM'为直径的圆上时，∠M'NC＝∠M'MC＝45°，符合题意，∵点C（0，2），点D（﹣1，0）∴DC＝，∴DN＝DN'＝，且点N在抛物线对称轴上，∴点N（﹣1，），点N'（﹣1，﹣）延长M'C交对称轴与N''，∵点M'（1，﹣1），点C（0，2），∴直线M'C解析式为：y＝﹣3x+2，∴当x＝﹣1时，y＝5，∴点N''的坐标（﹣1，5），∵点N''的坐标（﹣1，5），点M'（1，﹣1），点C（0，2），∴N''C＝＝M'C，且∠MCM'＝90°，∴MM'＝MN''，∴∠MM'C＝∠MN''C＝45°∴点N''（﹣1，5）符合题意，综上所述：点N的坐标为：（﹣1，）或（﹣1，﹣）或（﹣1，5）．4．解：（1）∵BO＝3AO＝3，∴点B（3，0），点A（﹣1，0），∴抛物线解析式为：y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣x﹣，∴b＝﹣，c＝﹣；（2）如图1，过点D作DE⊥AB于E，∴CO∥DE，∴，∵BC＝CD，BO＝3，∴＝，∴OE＝，∴点D横坐标为﹣，∴点D坐标为（﹣，+1），设直线BD的函数解析式为：y＝kx+b，由题意可得：，解得：，∴直线BD的函数解析式为y＝﹣x+；（3）∵点B（3，0），点A（﹣1，0），点D（﹣，+1），∴AB＝4，AD＝2，BD＝2+2，对称轴为直线x＝1，∵直线BD：y＝﹣x+与y轴交于点C，∴点C（0，），∴OC＝，∵tan∠CBO＝＝，∴∠CBO＝30°，如图2，过点A作AK⊥BD于K，∴AK＝AB＝2，∴DK＝＝＝2，∴DK＝AK，∴∠ADB＝45°，如图，设对称轴与x轴的交点为N，即点N（1，0），若∠CBO＝∠PBO＝30°，∴BN＝PN＝2，BP＝2PN，∴PN＝，BP＝，当△BAD∽△BPQ，∴，∴BQ＝＝2+，∴点Q（1﹣，0）；当△BAD∽△BQP，∴，∴BQ＝＝4﹣，∴点Q（﹣1+，0）；若∠PBO＝∠ADB＝45°，∴BN＝PN＝2，BP＝BN＝2，当△DAB∽△BPQ，∴，∴，∴BQ＝2+2∴点Q（1﹣2，0）；当△BAD∽△PQB，∴，∴BQ＝＝2﹣2，∴点Q（5﹣2，0）；综上所述：满足条件的点Q的坐标为（1﹣，0）或（﹣1+，0）或（1﹣2，0）或（5﹣2，0）．5．解：（1）∵直线x＝1是抛物线的对称轴，且点C的坐标为（0，3），∴c＝3，﹣＝1，∴b＝2，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）①∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴点M（1，4），∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3与x轴相交于A，B两点（点A位于点B的左侧），∴0＝﹣x2+2x+3∴x1＝3，x2＝﹣1，∴点A（﹣1，0），点B（3，0），∵点M（1，4），点B（3，0）∴直线BM解析式为y＝﹣2x+6，∵点P在直线BM上，且PD⊥x轴于点D，PD＝m，∴点P（3﹣，m），∴S△PCD＝×PD×OD＝m×（3﹣）＝﹣m2+m，∵点P在线段BM上，且点M（1，4），点B（3，0），∴0＜m≤4∴S与m之间的函数关系式为S＝﹣m2+m（0＜m≤4）②∵S＝﹣m2+m＝﹣（m﹣3）2+，∴当m＝3时，S有最大值为，∴点P（，3）∵0＜m≤4时，S没有最小值，综上所述：当m＝3时，S有最大值为，此时点P（，3）；（3）存在，若PC＝PD＝m时，∵PD＝m，点P（3﹣，m），点C（0，3），∴（3﹣﹣0）2+（m﹣3）2＝m2，∴m1＝18+6（舍去），m2＝18﹣6，∴点P（﹣6+3，18﹣6）；若DC＝PD＝m时，∴（3﹣﹣0）2+（﹣3）2＝m2，∴m3＝﹣2﹣2（舍去），m4＝﹣2+2，∴点P（4﹣，﹣2+2）；若DC＝PC时，∴（3﹣﹣0）2+（m﹣3）2＝（3﹣﹣0）2+（﹣3）2，∴m5＝0（舍去），m6＝6（舍去）综上所述：当点P的坐标为：（﹣6+3，18﹣6）或（4﹣，﹣2+2）时，使△PCD为等腰三角形．6．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（1，0）、B（3，0）、C（0，3），∴，解得，∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3；（2）∵抛物线对称轴是线段AB的垂直平分线，∴AM＝BM，由三角形的三边关系，|BM﹣CM|＝|AM﹣CM|＜AC，∴点A、C、M三点共线时，|BM﹣CM|最大，设直线AC的解析式为y＝mx+n，则，解得，∴直线AC的解析式为y＝﹣3x+3，又∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝2，∴x＝2时，y＝﹣3×2+3＝﹣3，故，点M的坐标为（2，﹣3）；（3））∵OB＝OC＝3，OB⊥OC，∴△BOC是等腰直角三角形，∵EF∥y轴，直线BC的解析式为y＝﹣x+3，∴△DEF只要是直角三角形即可与△BOC相似，∵D（2，1），A（1，0），B（3，0），∴点D垂直平分AB且到点AB的距离等于AB，∴△ABD是等腰直角三角形，∴∠ADB ＝90°，如图，①点F 是直角顶点时，点F 的纵坐标与点D 的纵坐标相同，是1，∴x 2﹣4x +3＝1，整理得x 2﹣4x +2＝0，解得x ＝2±，当x ＝2﹣时，y ＝﹣（2﹣）+3＝1+，当x ＝2+时，y ＝﹣（2+）+3＝1﹣， ∴点E 1（2﹣，1+）E 2（2+，1﹣）， ②点D 是直角顶点时，易求直线AD 的解析式为y ＝x ﹣1，联立，解得，，当x ＝1时，y ＝﹣1+3＝2，当x ＝4时，y ＝﹣4+3＝﹣1，∴点E 3（1，2），E 4（4，﹣1），综上所述，存在点E 1（2﹣，1+）或E 2（2+，1﹣）或E 3（1，2）或E 4（4，﹣1），使以D 、E 、F 为顶点的三角形与△BCO 相似．7．解：（1）∵抛物线y ＝x 2+bx +c 交x 轴于点A （1，0），与y 轴交于点C （0，﹣3），∴，解得：，∴抛物线解析式为：y＝x2+2x﹣3；（2）∵抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴于A，B两点，∴点B（﹣3，0），∵点B（﹣3，0），点C（0，﹣3），∴OB＝OC＝3，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，如图1，当点D在点C上方时，∵∠DBC＝15°，∴∠OBD＝30°，∴tan∠DBO＝＝，∴OD＝×3＝，∴CD＝3﹣；若点D在点C下方时，∵∠DBC＝15°，∴∠OBD＝60°，∴tan∠DBO＝＝，∴OD＝3，∴DC＝3﹣3，综上所述：线段CD的长度为3﹣或3﹣3；（3）如图2，在BO上截取OE＝OA，连接CE，过点E作EF⊥AC，∵点A（1，0），点C（0，﹣3），∴OA＝1，OC＝3，∴AC＝＝＝，∵OE＝OA，∠COE＝∠COA＝90°，OC＝OC，∴△OCE≌△OCA（SAS），∴∠ACO＝∠ECO，CE＝AC＝，∴∠ECA＝2∠ACO，∵∠PAB＝2∠ACO，∴∠PAB＝∠ECA，＝AE×OC＝AC×EF，∵S△AEC∴EF＝＝，∴CF＝＝＝，∴tan∠ECA＝＝，如图2，当点P在AB的下方时，设AP与y轴交于点N，∵∠PAB＝∠ECA，∴tan∠ECA＝tan∠PAB＝＝，∴ON＝，∴点N（0，﹣），又∵点A（1，0），∴直线AP解析式为：y＝x﹣，联立方程组得：，解得：或，∴点P坐标为：（﹣，﹣），当点P在AB的上方时，同理可求直线AP解析式为：y＝﹣x+，联立方程组得：，解得：或，∴点P坐标为：（﹣，），综上所述：点P的坐标为（﹣，），（﹣，﹣）．8．解：（1）∵二次函数图象过点B（4，0），点A（﹣2，0），∴设二次函数的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），∵二次函数图象过点C（0，4），∴4＝a（0+2）（0﹣4），∴a＝﹣，∴二次函数的解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣4）＝﹣x2+x+4；（2）存在，理由如下：如图1，取BC中点Q，连接MQ，∵点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4），点P是AC中点，点Q是BC中点，∴P（﹣1，2），点Q（2，2），BC＝＝4，设直线BP解析式为：y＝kx+b，由题意可得：，解得：∴直线BP的解析式为：y＝﹣x+，∵∠BMC＝90°∴点M在以BC为直径的圆上，∴设点M（c，﹣c+），∵点Q是Rt△BCM的中点，∴MQ＝BC＝2，∴MQ2＝8，∴（c﹣2）2+（﹣c+﹣2）2＝8，∴c＝4或﹣，当c＝4时，点B，点M重合，即c＝4，不合题意舍去，∴c＝﹣，则点M坐标（﹣，），故线段PB上存在点M（﹣，），使得∠BMC＝90°；（3）如图2，过点D作DE⊥BC于点E，设直线DK与BC交于点N，∵点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4），点D是AB中点，∴点D（1，0），OB＝OC＝4，AB＝6，BD＝3，∴∠OBC＝45°，∵DE⊥BC，∴∠EDB＝∠EBD＝45°，∴DE＝BE＝＝，∵点B（4，0），C（0，4），∴直线BC解析式为：y＝﹣x+4，设点E（n，﹣n+4），∴﹣n+4＝，∴n＝，∴点E（，），在Rt△DNE中，NE＝＝＝，①若DK与射线EC交于点N（m，4﹣m），∵NE＝BN﹣BE，∴＝（4﹣m）﹣，∴m＝，∴点N（，），∴直线DK解析式为：y＝4x﹣4，联立方程组可得：，解得：或，∴点K坐标为（2，4）或（﹣8，﹣36）；②若DK与射线EB交于N（m，4﹣m），∵NE＝BE﹣BN，∴＝﹣（4﹣m），∴m＝，∴点N（，），∴直线DK解析式为：y＝x﹣，联立方程组可得：，解得：或，∴点K坐标为（，）或（，），综上所述：点K的坐标为（2，4）或（﹣8，﹣36）或（，）或（，）．9．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），与x轴交于B（﹣3，0），∴∴∴抛物线解析式为：y＝x2﹣x+2；（2）∵y＝x2﹣x+2＝﹣（x+1）2+，∴顶点D坐标（﹣1，）；（3）①∵抛物线y＝x2﹣x+2与x轴交于B（﹣3，0）、C两点，∴点C（1，0）设点E（m，m2﹣m+2），则点P（m，0），∵PE＝PC，∴m2﹣m+2＝1﹣m，∴m＝1（舍去），m＝﹣，∴点E（﹣，）②如图，连接AE交对称轴于点N，连接DE，作EH⊥DN于H，交y轴于点F，∵点A（0，2），点E（﹣，），∴直线AE解析式为y＝﹣x+2，∴点N坐标（﹣1，）∴DH＝＝，HN＝＝，∴DH＝NH，且EH⊥DN，∴∠DEH＝∠NEH，∴点F到AE，DE的距离相等，∴DN∥y轴，EH⊥DN，∴EH⊥y轴，∴EF＝；③在x轴正半轴取点H，使OH＝OA＝2，∵OH＝OA，∠AOP＝∠QOH＝90°，OP＝OQ，∴△AOP≌△HOQ（SAS）∴AP＝QH，∴AP+DQ＝DQ+QH≥DH，∴点Q在DH上时，DQ+AP有最小值，最小值为DH的长，∴AP+DQ的最小值＝＝．10．解：（1）对于抛物线y＝a（x+1）（x﹣3），令y＝0，得到a（x+1）（x﹣3）＝0，解得x＝﹣1或3，∴C（﹣1，0），A（3，0），∴OC＝1，∵OB＝2OC＝2，∴B（0，2），把B（0，2）代入y＝a（x+1）（x﹣3）中得：2＝﹣3a，a＝﹣∴二次函数解析式为＝；（2）设点M的坐标为（m，），则点N的坐标为（2﹣m，），MN＝m﹣2+m＝2m﹣2，GM＝矩形MNHG的周长C＝2MN+2GM＝2（2m﹣2）+2（）＝＝∴当时，C有最大值，最大值为；（3）∵A（3，0），B（0，2），∴OA＝3，OB＝2，由对称得：抛物线的对称轴是：x＝1，∴AE＝3﹣1＝2，设抛物线的对称轴与x轴相交于点E，当△ABP为直角三角形时，存在以下三种情况：①如图1，当∠BAP＝90°时，点P在AB的下方，∵∠PAE+∠BAO＝∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠PAE＝∠ABO，∵∠AOB＝∠AEP，∴△ABO∽△PAE，∴，即，∴PE＝3，∴P（1，﹣3）；②如图2，当∠PBA＝90°时，点P在AB的上方，过P作PF⊥y轴于F，同理得：△PFB∽△BOA，∴，即，∴BF＝，∴OF＝2+＝，∴P（1，）；③如图3，以AB为直径作圆与对称轴交于P1、P2，则∠AP1B＝∠AP2B＝90°，设P1（1，y），∵AB2＝22+32＝13，由勾股定理得：AB2＝P1B2+P1A2，∴12+（y﹣2）2+（3﹣1）2+y2＝13，解得：y＝1±，∴P（1，1+）或（1，1﹣），综上所述，点P的坐标为（1，﹣3）或（1，）或（1，1+）或（1，1﹣）。

2021年中考数学专题复习-代数式与整式(学案)

中考数学一轮专题复习学案02 代数式与整式代数式：像2(x －1)，abc ，s t，a 2等式子都是代数式，单独一个数或字母也是代数式．【例1】苹果的单价为a 元/千克，香蕉的单价为b 元/千克，买2千克苹果和3千克香蕉共需（）A ．（a +b ）元B ．（3a +2b ）元C ．（2a +3b ）元D ．5（a +b ）元【考点】列代数式．【分析】用单价乘数量得出，买2千克苹果和3千克香蕉的总价，再进一步相加即可．【解答】解：单价为a 元的苹果2千克用去2a 元，单价为b 元的香蕉3千克用去3b 元，共用去：（2a +3b ）元．故选：C ．【点评】此题主要考查了列代数式，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．代数式的值：一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系，计算得出的结果，叫做代数式的值．知识点1：代数式知识点梳理典型例题知识点2：代数式的值知识点梳理【例2】（2020•重庆B 卷5/26）已知a +b =4，则代数式122a b ++的值为（） A ．3B ．1C ．0D ．-1【考点】代数式求值【分析】将a +b 的值代入原式11()2a b =++计算可得．【解答】解：当a +b =4时，原式11()2a b =++ 1142=+⨯ 12=+3=，故选：A ．【点评】本题主要考查代数式求值，解题的关键是得出待求代数式与已知等式间的特点，利用整体代入的办法进行计算．典型例题整式思维导图知识点3：整式的加减知识点梳理1.整式加减的实质：合并同类项2.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项.如3a与a是同类项，3a与a2不是同类项；所有的常数项是同类项3.合并同类项法则：把同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变，如3a+a＝4a，当同类项的系数互为相反数时，合并后的结果为0.4.去括号法则：a+(b+c)=a+ b+c，即括号前是“＋”号时，括号内各项均不变号；a-(b+c)=a- b-c，即括号前是“－”号时，括号内各项均变号.典型例题【例3】（2020•通辽2/26）下列说法不正确的是（）A．2a是2个数a的和B．2a是2和数a的积C．2a是单项式D．2a是偶数【考点】单项式；合并同类项【分析】分别根据乘法的定义，单项式的定义以及偶数的定义逐一判断即可．【解答】解：A、2a = a + a，即2a是2个数a的和，说法正确；B、2a是2和数a的积，说法正确；C、2a是单项式，说法正确；D、2a不一定是偶数，故原说法错误．故选：D．【点评】本题主要考查了单项式的定义，偶数的定义，熟记相关定义是解答本题的关键．【例4】（2020•天津13/25）计算x+7x-5x的结果等于．【考点】合并同类项【分析】根据合并同类项法则求解即可．【解答】解：x+7x-5x=(1+7-5)x=3x．故答案为：3x．【点评】本题考查了合并同类项，解答本题的关键是掌握合并同类项的法则．1.同底数幂乘法：底数不变，指数相加，a m ·a n = a m +n ，如 a 3 ·a -2= a .2.同底数幂除法：底数不变，指数相减，a m ÷a n = a m -n （a ≠0）3.幂的乘方：底数不变，指数相乘，(a m )n = a mn4.积的乘方：各因式乘方的积，(a m b n )p =____a mp b np __，如(-2a 2b )3= -8a 6b 3 ,(-ab )2= a 2b 2【例5】（2020•重庆B 卷3/26）计算a ·a 2结果正确的是（）A ．aB ．a 2C ．a 3D ．a 4【考点】同底数幂的乘法【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可．【解答】解：a ·a 2= a 1+2= a 3．故选：C ．【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．【例6】（2020•河北11/26）若k 为正整数，则()k k kk k k ++⋯+=个（）A ．2k kB ．21k k +C ．2k kD ．2k k +【考点】幂的乘方与积的乘方【分析】根据乘方的定义及幂的运算法则即可求解．【解答】解：22()()()k k k k k kk k k k k k k ++⋯+=⋅==个，故选：A ．【点评】本题考查了幂的乘方．解题的关键掌握幂的乘方的运算法则：底数不变，指数相乘．【例7】（2020•陕西5/25）计算：232()3x y -=（） A ．632x y - B ．63827x y C ．63827x y - D ．54827x y - 【考点】幂的乘方与积的乘方知识点4：幂的运算知识点梳理典型例题【分析】根据积的乘方运算法则计算即可，积的乘方，等于每个因式乘方的积．【解答】解：23323363228()()()3327x y x y x y -=-=-．故选：C ．【点评】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．【例8】（2020•吉林4/26）下列运算正确的是（）A ．a 2·a 3=a 6B ．(a 2)3=a 5C ．(2a )2=2a 2D ．a 3÷a 2=a【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方的运算法则，对各选项计算后利用排除法求解．【解答】解：A 、a 2·a 3=a 5，原计算错误，故此选项不符合题意；B 、(a 2)3=a 6，原计算错误，故此选项不符合题意；C 、(2a )2=4a 2，原计算错误，故此选项不符合题意；D 、a 3÷a 2=a ，原计算正确，故此选项符合题意．故选：D ．【点评】本题考查了整式的运算，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．1.单项式乘以单项式：把系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它们的指数作为积的一个因式，如：2x 3y ·3x 2=2 ·3x 3+2y =6x 5y2.单项式乘以多项式：m (a +b )= ma +mb3.多项式乘以多项式：(m +n )(a +b )= ma +mb +na +nb4.（1）乘法公式：(a +b )(a -b )= a 2-b 2 ；(a +b )2= a 2+2ab +b 2 ；(a -b )2= a 2-2ab +b 2 ；（2）常见的变形有：a 2+b 2=(a +b )2-2ab ；(a -b )2=(a +b )2-4ab ；(-a -b )2=(a +b )2；知识点5：整式的乘除知识点梳理(-a+b)2=(a-b)25.单项式除以单项式：把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．如：(3x)2y÷x= 9xy典型例题【例9】（2020•山西3/23）下列运算正确的是（）A．3a+2a=5a2B．-8a2÷4a=2a C．-(2a2)3=-8a6D．4a3·3a2=12a6【考点】整式的混合运算【分析】直接利用合并同类项法则以及幂的乘方和积的乘方运算法则、整式的乘除运算法则分别计算得出答案．【解答】解：A、3a+2a=5a，故此选项错误；B、-8a2÷4a=-2a，故此选项错误；C、-(2a2)3=-8a6，正确；D、4a3·3a2=12a5，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．【例10】（2020•北京19/28）已知5x2﹣x﹣1＝0，求代数式（3x+2）（3x﹣2）+x（x﹣2）的值．【考点】整式的混合运算—化简求值．【答案】见试题解答内容【分析】直接利用乘法公式以及单项式乘多项式运算法则化简，进而把已知代入得出答案．【解答】解：（3x+2）（3x﹣2）+x（x﹣2）＝9x2﹣4+x2﹣2x＝10x2﹣2x﹣4，∵5x2﹣x﹣1＝0，∴5x2﹣x＝1，∴原式＝2（5x2﹣x）﹣4＝﹣2．【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．1．（2015•云南12/23）一台电视机原价是2500元，现按原价的8折出售，则购买a台这样的电视机需要元．2.（2020•广东12/25）如果单项式3m x y与35nx y-是同类项，那么m n+=．3.（2020•广东14/25）已知5x y=-，2xy=，计算334x y xy+-的值为．4.（2020•山西12/23）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形⋯按此规律摆下去，第n个图案有个三角形（用含n的代数式表示）．5.（2020•呼和浩特15/24）“书法艺术课”开课后，某同学买了一包纸练习软笔书法，且每逢星期几写几张，即每星期一写1张，每星期二写2张，⋯⋯，每星期日写7张，若该同学从某年的5月1日开始练习，到5月30日练习完后累积写完的宣纸总数超过120张，则可算得5月1日到5月28日他共用宣纸张数为，并可推断出5月30日应该是星期几．6.（2020•赤峰18/26）一个电子跳蚤在数轴上做跳跃运动．第一次从原点O起跳，落点为A1，点A1表示的数为1；第二次从点A1起跳，落点为OA1的中点A2，第三次从A2点起跳，落点为OA2的中点A3；如此跳跃下去…最后落点为OA2019的中点A2020，则点A2020表示的数为．7.（2020•重庆A卷4/26）把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，⋯，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个数为()巩固训练A ．10B ．15C ．18D ．218.（2020•重庆B 卷8/26）下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第①个图形一共有5个实心圆点，第②个图形一共有8个实心圆点，第③个图形一共有11个实心圆点，⋯，按此规律排列下去，第⑥个图形中实心圆点的个数为( )A ．18B ．19C ．20D ．219.（2019·天津市13/25）计算x 5•x 的结果等于．10.（2019·安徽省2/23）计算a 3•（﹣a ）的结果是（）A ．a 2B ．﹣a 2C ．a 4D ．﹣a 411.（2020•青海13/28）下面是某同学在一次测试中的计算：①22352m n mn mn -=-；②3262(2)4a b a b a b -=-；③325()a a =；④32()()a a a -÷-=．其中运算正确的个数为( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个12.（2020•江西2/23）下列计算正确的是( )A ．325a a a +=B ．32a a a -=C ．326a a a =D ．32a a a ÷=13.（2020•河北2/26）墨迹覆盖了等式“3x 2(0)x x x =≠”中的运算符号，则覆盖的是( )A ．+B ．-C ．⨯D ．÷14.（2020•宁夏1/26）下列各式中正确的是( )A ．326a a a =B ．321ab ab -=C ．261213a a a +=+D ．2(3)3a a a a -=-15.（2020•新疆兵团3/23）下列运算正确的是( )A ．236x x x =B ．633x x x ÷=C ．3362x x x +=D ．33(2)6x x -=-16.（2020•新疆兵团16/23）计算：20(1)|(3)π-++--17.（2020•重庆A 卷13/26）计算：0(1)|2|π-+-= ．18.（2020•上海7/25）计算：23a ab = ．19.（2020•安徽2/23）计算63()a a -÷的结果是( )A ．3a -B ．2a -C ．3aD ．2a20.（2020•海南17（2）/22）计算：(2)(2)(1)a a a a +--+．21.（2020•兴安盟•呼伦贝尔2/26）下列计算正确的是( )A ．236a a a =B ．222()x y x y +=+C ．5226()a a a ÷=D ．22(3)9xy xy -=22.（2020•通辽14/26）如图，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形⋯，按这样的方法拼成的第(1)n +个正方形比第n 个正方形多个小正方形．23.（2020•鄂尔多斯4/24）下列计算错误的是（）A ．（﹣3ab 2）2＝9a 2b 4B ．﹣6a 3b ÷3ab ＝﹣2a 2C ．（a 2）3﹣（﹣a 3）2＝0D ．（x +1）2＝x 2+124.（2020•吉林15/26）先化简，再求值：2(1)(1)1a a a ++--，其中a25.（2020•江西7/23）计算：2(1)a -= ．26.（2020•广东18/25）先化简，再求值：22()()()2x y x y x y x +++--，其中x =y =．27.（2020•重庆B 卷19（1）/26）计算：2()(3)x y y x y ++-．28.（2020•重庆A 卷19（1）/26）计算：2()(2)x y x x y ++-．1．（2015•云南12/23）一台电视机原价是2500元，现按原价的8折出售，则购买a 台这样的电视机需要元．【考点】列代数式．【分析】本题要从“以8折出售”入手，从而知现价为2500×80%=2000（元），易得购买a 台这样的电视机的费用为a 2000元；所以解题的关键是理解打折问题在实际问题中应用.【解答】解：a a 2000%802500=⨯（元）.故答案：a 2000.2.（2020•广东12/25）如果单项式3m x y 与35n x y -是同类项，那么m n += ．【考点】同类项【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）可得3m =，1n =，再代入代数式计算即可．【解答】解：单项式3m x y 与35n x y -是同类项，3m ∴=，1n =，314m n ∴+=+=．故答案为：4．【点评】本题考查同类项的定义，正确根据同类项的定义得到m ，n 的值是解题的关键．3.（2020•广东14/25）已知5x y =-，2xy =，计算334x y xy +-的值为．【考点】代数式求值【分析】由5x y =-得出5x y +=，再将5x y +=、2xy =代入原式3()4x y xy =+-计算可得．【解答】解：5x y =-，5x y ∴+=，当5x y +=，2xy =时，原式3()4x y xy =+-3542=⨯-⨯ 巩固训练解析=-158=，7故答案为：7．【点评】本题主要考查代数式求值，解题的关键是能观察到待求代数式的特点，得到其中包含式子x y+、xy及整体代入思想的运用．4.（2020•山西12/23）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形⋯按此规律摆下去，第n个图案有个三角形（用含n的代数式表示）．【考点】列代数式；规律型：图形的变化类【分析】根据图形的变化发现规律，即可用含n的代数式表示．【解答】解：第1个图案有4个三角形，即4311=⨯+第2个图案有7个三角形，即7321=⨯+第3个图案有10个三角形，即10331=⨯+⋯按此规律摆下去，第n个图案有(31)n+个三角形．故答案为：(31)n+．【点评】本题考查了规律型-图形的变化类、列代数式，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律．5.（2020•呼和浩特15/24）“书法艺术课”开课后，某同学买了一包纸练习软笔书法，且每逢星期几写几张，即每星期一写1张，每星期二写2张，⋯⋯，每星期日写7张，若该同学从某年的5月1日开始练习，到5月30日练习完后累积写完的宣纸总数超过120张，则可算得5月1日到5月28日他共用宣纸张数为，并可推断出5月30日应该是星期几．【考点】规律型：数字的变化类【分析】首先得出5月1日~5月30日，包括四个完整的星期，分别分析5月30日分别为星期一到星期天时所有的可能，进而得出答案．【解答】解：5月1日~5月30日共30天，包括四个完整的星期，5∴月1日~5月28日写的张数为：7(17)41122⨯+⨯=，若5月30日为星期一，所写张数为11271120++=，若5月30日为星期二，所写张数为11212120++<，若5月30日为星期三，所写张数为11223120++<，若5月30日为星期四，所写张数为11234120++<，若5月30日为星期五，所写张数为11245120++>，若5月30日为星期六，所写张数为11256120++>，若5月30日为星期日，所写张数为11267120++>，故5月30日可能为星期五、六、日．故答案为：112；五、六、日．【点评】此题主要考查了规律型：数字的变化类和推理与论证，根据题意分别得出5月30日时所有的可能是解题关键．6.（2020•赤峰18/26）一个电子跳蚤在数轴上做跳跃运动．第一次从原点O 起跳，落点为A 1，点A 1表示的数为1；第二次从点A 1起跳，落点为OA 1的中点A 2，第三次从A 2点起跳，落点为OA 2的中点A 3；如此跳跃下去…最后落点为OA 2019的中点A 2020，则点A 2020表示的数为．【考点】数轴；规律型：图形的变化类．【答案】201912．【分析】根据题意，得第一次跳动到A 1处，离原点为1个单位，第二次跳到OA 1的中点A 2处，即在离原点12个单位处，第三次从A 2点跳动到A 3处，即距离原点（12）2处，依此即可求解．【解答】解：第一次落点为A 1处，点A 1表示的数为1；第二次落点为OA 1的中点A 2，点A 2表示的数为12；第三次落点为OA 2的中点A 3，点A 3表示的数为（12）2； …则点A 2020表示的数为（12）2019，即点A 2020表示的数为201912；故答案为：201912．【点评】本题考查了数轴，是一道找规律的题目，本题注意根据线段中点的定义表示出各个点表示的数的规律．7.（2020•重庆A 卷4/26）把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，⋯，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个数为( )A ．10B ．15C ．18D ．21【考点】规律型：图形的变化类【分析】根据前三个图案中黑色三角形的个数得出第n 个图案中黑色三角形的个数为1234n ++++⋯⋯+，据此可得第⑤个图案中黑色三角形的个数．【解答】解：第①个图案中黑色三角形的个数为1，第②个图案中黑色三角形的个数312=+，第③个图案中黑色三角形的个数6123=++，⋯⋯∴第⑤个图案中黑色三角形的个数为1234515++++=，故选：B ．【点评】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出规律：第n 个图案中黑色三角形的个数为1234n ++++⋯⋯+．8.（2020•重庆B 卷8/26）下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第①个图形一共有5个实心圆点，第②个图形一共有8个实心圆点，第③个图形一共有11个实心圆点，⋯，按此规律排列下去，第⑥个图形中实心圆点的个数为( )A．18B．19C．20D．21【考点】规律型：图形的变化类【分析】根据已知图形中实心圆点的个数得出规律：第n个图形中实心圆点的个数为++，据此求解可得．n n22【解答】解：第①个图形中实心圆点的个数5213=⨯+，第②个图形中实心圆点的个数8224=⨯+，第③个图形中实心圆点的个数11235=⨯+，⋯⋯∴第⑥个图形中实心圆点的个数为26820⨯+=，故选：C．【点评】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出第n个图形中实心圆点的个数为22++的规律．n n9.（2019·天津市13/25）计算x5•x的结果等于．【考点】同底数幂的乘法．【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即可解答．【解答】解：x5•x＝x6．故答案为：x6【点评】本题考查了同底数幂的乘法，解决本题的关键是熟记同底数幂相乘，底数不变，指数相加．10.（2019·安徽省2/23）计算a3•（﹣a）的结果是（）A．a2 B．﹣a2C．a4D．﹣a4【考点】同底数幂的乘法；单项式乘单项式．【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则求出答案．【解答】解：a3•（﹣a）＝﹣a3•a＝﹣a4．故选：D．【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．同底数幂相乘，底数不变，指数相加．11.（2020•青海13/28）下面是某同学在一次测试中的计算：①22352m n mn mn -=-；②3262(2)4a b a b a b -=-；③325()a a =；④32()()a a a -÷-=．其中运算正确的个数为( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【考点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方【分析】根据合并同类项法则、单项式乘单项式的运算法则、幂的乘方法则、同底数幂的除法法则计算，判断即可．【解答】解：①23m n 与25mn 不是同类项，不能合并，计算错误；②32522(2)4a b a b a b -=-，计算错误；③32326()a a a ⨯==，计算错误；④3312()()()a a a a --÷-=-=，计算正确；故选：D ．【点评】本题考查的是单项式乘单项式、合并同类项、幂的乘方、同底数幂的除法，掌握它们的运算法则是解题的关键．12.（2020•江西2/23）下列计算正确的是( )A ．325a a a +=B ．32a a a -=C ．326a a a =D ．32a a a ÷=【考点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项【分析】根据同类项定义；同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A 、2a 与3a 不是同类项，不能合并，故本选项错误；B 、3a 与2a 不是同类项，不能合并，故本选项错误；C 、应为325a a a =，故本选项错误；D 、32a a a ÷=，正确．故选：D ．【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质是解题的关键，不是同类项的一定不能合并．13.（2020•河北2/26）墨迹覆盖了等式“3x 2(0)x x x =≠”中的运算符号，则覆盖的是( )A ．+B ．-C ．⨯D ．÷ 【考点】同底数幂的除法【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案．【解答】解：3x 2(0)x x x =≠，∴覆盖的是：÷．故选：D ．【点评】此题主要考查了同底数幂的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．14.（2020•宁夏1/26）下列各式中正确的是( )A ．326a a a =B ．321ab ab -=C ．261213a a a +=+D ．2(3)3a a a a -=-【考点】合并同类项；同底数幂的乘法；单项式乘多项式【分析】利用整式的计算法则对四个选项一一验证即可得出答案．【解答】解：A 、325a a a =，所以A 错误；B 、32ab ab ab -=，所以B 错误；C 、2611233a a a a+=+，所以C 错误； D 、2(3)3a a a a -=-，所以D 正确；故选：D ．【点评】本题考查整式乘除法的简单计算，注意区分同底合并同类项的时候字母部分不变，系数进行计算，只有当系数计算结果为0时，整体为0．数幂相乘，底数不变，指数相加，而幂的乘方是底数不变，指数相乘，这两个要区分清楚；15.（2020•新疆兵团3/23）下列运算正确的是( )A ．236x x x =B ．633x x x ÷=C ．3362x x x +=D ．33(2)6x x -=-【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法；合并同类项；同底数幂的除法【分析】根据同底数幂的乘法、除法和积的乘方以及合并同类项进行判断即可．【解答】解：A 、235x x x =，选项错误．不符合题意；B 、633x x x ÷=，选项正确，符合题意；C 、3332x x x +=，选项错误，不符合题意；D 、33(2)8x x -=-，选项错误，不符合题意；故选：B ．【点评】此题考查同底数幂的乘法、除法和积的乘方以及合并同类项，关键是根据法则解答．16.（2020•新疆兵团16/23）计算：20(1)|(3)π-++-【考点】零指数幂；实数的运算；绝对值【分析】原式先计算乘方运算，再算加减运算即可得到结果．【解答】解：20(1)|(3)112π-++-+-=【点评】此题考查了实数的运算，绝对值、零指数幂、熟练掌握运算法则是解本题的关键．17.（2020•重庆A 卷13/26）计算：0(1)|2|π-+-= ．【考点】绝对值；零指数幂【分析】根据零次幂和绝对值的意义，进行计算即可．【解答】解：0(1)|2|123π-+-=+=，故答案为：3．【点评】本题考查零次幂和绝对值的性质，掌握零次幂和绝对值的性质是正确计算的前提．18.（2020•上海7/25）计算：23a ab = ．【考点】单项式乘单项式【分析】根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可．【解答】解：2236a ab a b =．故答案为：26a b ．【点评】本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键．19.（2020•安徽2/23）计算63()a a -÷的结果是( )A ．3a -B ．2a -C ．3aD ．2a【考点】同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案．【解答】解：原式633a a a =÷=．故选：C ．【点评】此题主要考查了同底数幂的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．20.（2020•海南17（2）/22）计算：(2)(2)(1)a a a a +--+．【考点】平方差公式；单项式乘多项式【分析】根据平方差公式、单项式乘以多项式的计算方法计算即可．【解答】解：(2)(2)(1)a a a a +--+224a a a =---4a =--．【点评】本题考查平方差公式、单项式乘以多项式的计算方法，掌握运算方法和平方差公式的结构特征是正确计算的前提．21.（2020•兴安盟•呼伦贝尔2/26）下列计算正确的是( )A ．236a a a =B ．222()x y x y +=+C ．5226()a a a ÷=D ．22(3)9xy xy -=【考点】完全平方公式；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法【分析】根据同底数幂的乘法，完全平方公式，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方法则逐项判断即可．【解答】解：A 、235a a a =，故选项错误；B 、222()2x y x y xy +=++，故选项错误；C 、5226()a a a ÷=，故选项正确；D 、22(3)9xy xy -=，故选项错误；故选：C ．【点评】本题考查了同底数幂的乘法，完全平方公式，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，掌握运算法则是解题的关键．22.（2020•通辽14/26）如图，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形⋯，按这样的方法拼成的第(1)n +个正方形比第n 个正方形多个小正方形．【考点】规律型：图形的变化类【分析】观察不难发现，所需要的小正方形的个数都是平方数，然后根据相应的序数与正方形的个数的关系找出规律解答即可．【解答】解：第1个正方形需要4个小正方形，242=，第2个正方形需要9个小正方形，293=，第3个正方形需要16个小正方形，2164=，⋯，∴第1n +个正方形有2(11)n ++个小正方形，第n 个正方形有2(1)n +个小正方形，故拼成的第1n +个正方形比第n 个正方形多22(2)(1)23n n n +-+=+个小正方形．故答案为：23n +．【点评】此题考查的知识点是图形数字的变化类问题，关键是通过图形找出规律，按规律求解．23.（2020•鄂尔多斯4/24）下列计算错误的是（）A ．（﹣3ab 2）2＝9a 2b 4B ．﹣6a 3b ÷3ab ＝﹣2a 2C ．（a 2）3﹣（﹣a 3）2＝0D ．（x +1）2＝x 2+1【考点】整式的混合运算．【答案】D【分析】直接利用积的乘方运算法则以及整式的除法运算法则、完全平方公式分别化简得出答案．【解答】解：A 、（﹣3ab 2）2＝9a 2b 4，原式计算正确，不合题意；B 、﹣6a 3b ÷3ab ＝﹣2a 2，原式计算正确，不合题意；C 、（a 2）3﹣（﹣a 3）2＝0，原式计算正确，不合题意；D 、（x +1）2＝x 2+2x +1，原式计算错误，符合题意．故选：D ．【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．24.（2020•吉林15/26）先化简，再求值：2(1)(1)1a a a ++--，其中a【考点】整式的混合运算-化简求值【分析】根据整式的混合运算顺序进行化简，再代入值即可．【解答】解：原式22211a a a a =+++--3a =．当a =原式=【点评】本题考查了整式的混合运算-化简求值，解决本题的关键是先进行整式的化简，再代入值．25.（2020•江西7/23）计算：2(1)a -= ．【考点】完全平方公式【分析】直接利用完全平方公式计算即可解答．【解答】解：22(1)21a a a -=-+．故答案为：221a a -+．【点评】本题考查了完全平方公式，熟记公式是解题的关键．完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+．26.（2020•广东18/25）先化简，再求值：22()()()2x y x y x y x +++--，其中x =y =．【考点】整式的混合运算-化简求值【分析】根据整式的混合运算过程，先化简，再代入值求解即可．【解答】解：22()()()2x y x y x y x +++--2222222x xy y x y x =+++--2xy =，当x y =原式2==【点评】本题考查了整式的混合运算-化简求值，解决本题的关键是先化简，再代入值求解．27.（2020•重庆B 卷19（1）/26）计算：2()(3)x y y x y ++-．【考点】单项式乘多项式；完全平方公式【分析】利用完全平方公式和多项式的乘法，进行计算即可；【解答】解：2()(3)x y y x y ++-22223x xy y xy y =+++-，25x xy =+．【点评】本题考查整式的四则运算，掌握计算法则是正确计算的前提．28.（2020•重庆A 卷19（1）/26）计算：2()(2)x y x x y ++-．【考点】完全平方公式；单项式乘多项式【分析】根据整式的四则运算的法则进行计算即可；【解答】解：2()(2)x y x x y ++-22222x xy y x xy =+++-，222x y =+．【点评】考查整式的四则混合运算，掌握计算法则是正确计算的前提．。

2021年九年级数学中考复习——专题：找规律之数字变化类(三)

2021年九年级数学中考复习——专题：找规律之数字变化类（三）1．阅读下列材料，然后回答问题：已知a＞0，S1＝，S2＝﹣S1﹣1，S3＝，S4＝﹣S3﹣1，S5＝，…．当n为大于1的奇数时，S n＝；当n为大于1的偶数时，S n＝﹣S n﹣1﹣1．直接写出S2020＝（用含a的代数式表示）；计算：S1+S2+S3+…+S2022＝．2．定义一种关于整数n的“F”运算：（1）当n是奇数时，结果为3n+5；（2）当n是偶数时，结果是（其中k是使是奇数的正整数），并且运算重复进行．例如：取n＝58，第一次经F运算是29，第二次经F运算是92，第三次经F运算是23，第四次经F运算是74…；若n＝72，则第2019次运算结果是．3．观察下面的变化规律：＝1﹣，＝﹣，＝﹣，＝﹣，…根据上面的规律计算：＝．4．一组按规律排列的式子：，﹣，，﹣，…（ab≠0），其中第10个式子是．5．按下面一组数的排列规律，在横线上填上适当的数：，，，，，．6．下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，请你仔细观察，找出规律，根据这种规律计算可知：m的值为．7．观察多项式：8x﹣16x2+32x3﹣64x4+128x5…，以此规律，第n项为．8．如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，…，第n个数记为a n，则a6＝，a200＝．9．观察下列式子：2＝22×，3＝32×，4＝42×，…．你发现它们之间存在的规律是．（用含n的式子表示出来，n表示大于等于2整数）10．给定一列按规律排列的数：，1，，，…，根据前4个数的规律，第2020个数是．11．小磊想编一个循环“插数”程序，对有序的数列：﹣2，0进行有规律的“插数”：对任意两个相邻的数，都用右边的数减去左边的数之差“插”在这相邻的两个数之间，产生一个个新数列．如：第1次“插数”产生的一个新数列是﹣2，2，0；第2次“插数”产生的一个新数列是﹣2，4，2，﹣2，0；第3次“插数”产生的一个新数列是﹣2，6，4，﹣2，2，﹣4，﹣2，2，0；……，第2019次插数产生的一个新数列的所有数之和是．12．观察下列一组数，按规律在横线上填写适当的数，﹣，，﹣，，……，第7个数是．13．在一列数a1，a2，a3，a4，…a n中，已知a1＝2，a2＝，a3＝，a4＝，…a n＝，则a＝．202014．按照一定规律排列的一组数：，，，，…，，，…（其中a，b 为正整数），则a﹣b＝．15．已知一列数的和x1+x2+……+x2019＝×（1+2+…+2019），|x1﹣3x2+1|＝|x2﹣3x3+2|＝…＝|x2018﹣3x2019+2018|＝|x2019﹣3x1+2019|，则x1﹣2x2﹣3x3＝．16．如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律，当m＝99时，则M的值为．17．按一定规律排列的一列数依次为，﹣，，﹣，，﹣，…，按此规律排列下去，这列数中第8个数是，第n个数是（n为正整数）．18．一个盒子里装有不多于200颗糖，如果每次2颗，3颗，4颗或6颗的取出，最终盒内都只剩下一颗糖，如果每次以11颗的取出，那么正好取完，则盒子里共有颗糖．19．观察这一列数：﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，﹣7，…，若将这列数排成如图所示的形式，按照这个规律排下去，那么第10行从左边起第8个数是．20．按一定顺序排列的一列数叫做数列，如数列：，，，，…，则这个数列前2018个数的和为．参考答案1．解：∵S1＝，S＝﹣S1﹣1＝，2S＝＝，3S＝﹣S3﹣1＝，4S＝＝﹣a﹣1，5S＝﹣S5﹣1＝a，6S＝＝，7…．当n为大于1的奇数时，S n＝；当n为大于1的偶数时，S n＝﹣S n﹣1﹣1．发现规律：每6个结果为一个循环，所以2020÷6＝336…4，所以S2020＝；因为2022÷6＝337，所以S1+S2+S3+…+S2022＝337（+++﹣a﹣1+a）＝337（﹣1﹣1﹣1）＝﹣1011．故答案为：，﹣1011．2．解：由题意n＝72时，第一次经F运算是9，第二次经F运算是32，第三次经F运算是1，第四次经F运算是8，第五次经F运算是1…以后出现1、8循环，奇数次是1，偶数次是8，∴第2019次运算结果1，故答案为：1．3．解：由题干信息可抽象出一般规律：（a，b均为奇数，且b＝a+2）．故＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝．故答案：．4．解：分子为b，其指数为2，5，8，11，…，其规律为3n﹣1，分母为a，其指数为1，2，3，4，…，其规律为n，分数符号为+、﹣，+，﹣，…，其规律为（﹣1）n+1，…第n个式子是（﹣1）n+1．所以，第10个式子是﹣．故答案是：﹣．5．解：∵，，，，…，∴这列数的第n个数为：，∴当n＝5时，＝，故答案为：．6．解：由表格可得，左上角的数字是一些连续的奇数，从大到小排列，从3开始，左下角的数字比左上角的数字大2，右上角的数字比左下角的数字大2，右下角的数字等于左下角与右下角的数字的乘积，∴当左上角的数字为﹣3时，左下角的数字为﹣3+2＝﹣1，右上角的数字为﹣1+2＝1，右下角的数字为（﹣1）×1＝﹣1，∴m＝﹣1，故答案为：﹣1．7．解：根据分析的规律，得第n项为（﹣1）n+12n+2x n．（n≥1的自然数）．故答案为：（﹣1）n+12n+2x n（n≥1的自然数）．8．解：由题意可得，a＝1，1a＝1+2＝3，2a＝1+2+3＝6，3a＝1+2+3+4＝10，4a＝1+2+3+4+5＝15，5…，∴a n＝1+2+3+…+n＝，∴当n＝6时，a6＝＝21，当n＝200时，a200＝＝20100，故答案为：21，20100．9．解：2＝22×，3＝32×，4＝42×，…∴用含n（n表示大于等于2整数）的代数式表示出来为：n+．故答案为n+．10．解：观察这列数发现，奇数项是负数，偶数项是正数；分子分别为3，5，7，9，…；分母分别为12+1，22+1，32+1，…，∴该列数的第n项是（﹣1）n，∴第2020个数是＝，故答案为．11．解：∵第一次操作增加数字：2，第二次操作增加数字：4，2，﹣2，第三次操作增加数字：6，4，﹣2，2，﹣4，﹣2，2，∴第一次操作增加2，第二次操作增加4+2﹣2＝4，第三次操作增加6+4﹣2+2﹣4﹣2+2＝6，…，即，每次操作加2，第2019次操作后所有数之和为﹣2+0+2019×2＝4036．故答案为：4036．12．解：观察一组数，﹣，，﹣，，……，发现规律：第n个数是（﹣1）n，所以第7个数是﹣．故答案为：﹣．13．解：∵a1＝2，∴a2＝＝﹣1；a＝＝；3a＝＝2；4…，发现规律：每3个数一个循环，所以2020÷3＝673…1，则a2020＝a1＝2．故答案为：2．14．解：∵一组数：，，，，…，，，…（其中a，b为正整数），∴这组数是：，，，，…，，，，…，∴a＝15×16＝240，b＝17×18＝306，∴a﹣b＝240﹣306＝﹣66，故答案为：﹣66．15．解：因为x1﹣3x2+1+x2﹣3x3+2+...+x2018﹣3x2019+2018+x2019﹣3x1+2019 ＝x1+x2+......+x2019﹣3（x1+x2+......+x2019）+（1+2+3+ (2019)＝×（1+2+...+2019）﹣3××（1+2+...+2019）+（1+2+ (2019)＝0．所以绝对值内的2019个式子相加等于0，且它们的绝对值相等，所以|x1﹣3x2+1|＝|x2﹣3x3+2|＝…＝|x2018﹣3x2019+2018|＝|x2019﹣3x1+2019|＝0，所以x2＝3x3﹣2，所以x1＝3x2﹣1＝3（3x3﹣2）﹣1＝9x3﹣7，所以x1﹣2x2﹣3x3＝9x3﹣7﹣2（3x3﹣2）﹣3x3＝﹣3．故答案为：﹣3．16．解：∵3＝2×1+1，15＝4×3+3，35＝6×5+5，∴M＝mn+m，且n＝m+1，当m＝99时，M＝99×100+99＝9999，故答案为：9999．17．解：根据分析可知：一列数依次为：，﹣，，﹣，，﹣，…，按此规律排列下去，则这列数中的第8个数是﹣，所以第n个数是：（﹣1）n+1（n是正整数）．故答案为：﹣；（﹣1）n+1．18．解：已知如果每次11颗地取出正好取完，则盒子内糖数必为11的倍数．又知盒子里装有不多于200颗糖，则盒子内糖数可能为11、22、33、44、55、66、77、88、99、110、121、132、143、154、165、176、187、198．又已知如果每次2颗，3颗，4颗或6颗地取出，最终盒内都只剩一颗糖，则盒子内糖数为12的倍数+1．又知盒子里装有不多于200颗糖则盒子内糖数可能为13，25，37，49，61，73，85，97，109，121，133，145，157，169，181，193．取上面两组数的交集可得121，故盒子里共有121颗糖．故答案为：121．19．解：∵第n行左边第一个数的绝对值为（n﹣1）2+1，奇数为负，偶数为正，∴第10行从左边数第1个数绝对值为82，即这个数为82，∴从左边数第8个数等于﹣89．故答案为：﹣89．20．解：由数列知第n个数为，则前2018个数的和为++++…+＝++++…+＝1﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝，故答案为：．。

2021年河北省中考复习数学《相似三角形》专题复习(人教版)(Word版附答案)

节相似三角形1．若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B的度数相比（）A．增加了10% B．减少了10%C．增加了(1＋10%) D．没有改变2．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3，4，5的三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似．图①乙：将邻边为3和5的矩形按图②的方式向外扩张，得到新矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．图②A．两人都对 B．两人都不对C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对3．如图，△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）4．(2020·河北中考)在如图所示的网格中，以点O 为位似中心，四边形 ABCD 的位似图形是（）A ．四边形NPMQB ．四边形NPMRC ．四边形NHMQD ．四边形NHMR5.在平面直角坐标系中，已知点A (－4，2)，B (－6，－4)，以原点O 为位似中心，相似比为12 ，把△ABO 缩小，则点B 的对应点B ′的坐标是（）A ．(－3，－2)B ．(－12，－8)C ．(－3，－2)或(3，2)D ．(－12，－8)或(12，8)6.如图，AD ∥BE ∥CF ，直线l 1，l 2与这三条平行线分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F .已知AB ＝1，BC ＝3，DE ＝1.2，则DF 的长为（）A ．3.6B ．4.8C ．5D ．5.2 7.如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE ∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（）A.ABAE＝AGAD B．DFCF＝DGADC．FGAC＝EGBD D．AEBE＝CFDF8.(2020·邯郸丛台区三模)如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且BD＝2AD，CE＝2AE.(1)求证：△ADE∽△ABC；(2)若DF＝2，求FC的长度．9．(2020·温州中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q.若QH＝2PE，PQ＝15，则CR的长为（）A.14B．15C．83D．6510．(2020·黔东南中考)如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，E为CD 的中点，连接AE，BD交于点P，过点P作PQ⊥BC于点Q，则PQ＝．11.如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－1，2)，B(2，1)，C(4，5).(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；(2)以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且相似比为2，并求出△A2B2C2的面积．12．如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，以下说法中错误的是（）A.△ABC∽△A′B′C′B．点C，O，C′三点在同一直线上C．AO∶AA′＝1∶2D．AB∥A′B′13．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知点O，A，B均为网格线的交点．(1)在给定的网格中，以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段A1B1(点A，B的对应点分别为A1，B1)，画出线段A1B1；(2)将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1，画出线段A2B1；(3)以A，A1，B1，A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积是个平方单位．节相似三角形1．若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B的度数相比(D)A．增加了10% B．减少了10%C．增加了(1＋10%) D．没有改变2．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3，4，5的三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似．图①乙：将邻边为3和5的矩形按图②的方式向外扩张，得到新矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．图②A．两人都对 B．两人都不对C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对3．如图，△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(C)4．(2020·河北中考)在如图所示的网格中，以点O 为位似中心，四边形 ABCD 的位似图形是(A )A ．四边形NPMQB ．四边形NPMRC ．四边形NHMQD ．四边形NHMR5.在平面直角坐标系中，已知点A (－4，2)，B (－6，－4)，以原点O 为位似中心，相似比为12 ，把△ABO 缩小，则点B 的对应点B ′的坐标是(C )A ．(－3，－2)B ．(－12，－8)C ．(－3，－2)或(3，2)D ．(－12，－8)或(12，8)6.如图，AD ∥BE ∥CF ，直线l 1，l 2与这三条平行线分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F .已知AB ＝1，BC ＝3，DE ＝1.2，则DF 的长为(B )A ．3.6B ．4.8C ．5D ．5.2 7.如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE ∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是(D)A.ABAE＝AGAD B．DFCF＝DGADC．FGAC＝EGBD D．AEBE＝CFDF8.(2020·邯郸丛台区三模)如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且BD＝2AD，CE＝2AE.(1)求证：△ADE∽△ABC；(2)若DF＝2，求FC的长度．【解答】(1)证明：∵BD＝2AD，CE＝2AE，∴ADAB＝AEAC＝13.又∵∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC；(2)解：∵△ADE∽△ABC，∴DEBC＝ADAB＝13，∠ADE＝∠ABC.∴DE∥BC.∴△DEF∽△CBF.∴DFCF＝DECB，即2CF＝13.∴FC＝6.9．(2020·温州中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q.若QH＝2PE，PQ＝15，则CR的长为(A)A.14B．15C．83D．6510．(2020·黔东南中考)如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，E为CD的中点，连接AE，BD交于点P，过点P作PQ⊥BC于点Q，则PQ＝4 3．11.如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－1，2)，B(2，1)，C(4，5).(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；(2)以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且相似比为2，并求出△A2B2C2的面积．解：(1)如图，△A1B1C1即为所求作的三角形；(2)如图，△A2B2C2即为所求作的三角形．分别过点A2，C2作y轴的平行线，过点B2作x轴的平行线．∵A(－1，2)，B(2，1)，C(4，5)，△A2B2C2与△ABC位似，且相似比为2，∴A 2(－2，4)，B 2(4，2)，C 2(8，10).∴S △A 2B 2C 2＝（2＋8）×102－12 ×2×6－12 ×4×8＝28., 12．如图，以点O 为位似中心，把△ABC 放大为原图形的2倍得到△A ′B ′C ′，以下说法中错误的是(C )A.△ABC ∽△A ′B ′C ′B ．点C ，O ，C ′三点在同一直线上 C ．AO ∶AA ′＝1∶2D ．AB ∥A ′B ′13．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知点O ，A ，B 均为网格线的交点．(1)在给定的网格中，以点O 为位似中心，将线段AB 放大为原来的2倍，得到线段A 1B 1(点A ，B 的对应点分别为A 1，B 1)，画出线段A 1B 1；(2)将线段A 1B 1绕点B 1逆时针旋转90°得到线段A 2B 1，画出线段A 2B 1； (3)以A ，A 1，B 1，A 2为顶点的四边形AA 1B 1A 2的面积是个平方单位．解：(1)如图，线段A 1B 1即为所求； (2)如图，线段A 2B 1即为所求；(3)20.[由图可得，四边形AA 1B 1A 2为正方形， ∴四边形AA 1B 1A 2的面积是(22＋42 )2＝20.]。

2021年中考数学复习专题6 新定义与阅读理解型问题(教学课件)

(1)特例感知：如图(一)，已知边长为 2 的等边△ABC 的重心为点 O，求△OBC 与△ABC 的面积． (2)性质探究：如图(二)，已知△ABC 的重心为点 O，请判断OODA ，
S△OBC 是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值；如果不是， S△ABC 请说明理由．
重点题型
题题组组训训练练
9≥2x＋4，4x≥13，∴x≥143 ，∴x 的取值范围为 x≥143 .
重重点点题题型型
题组训练
例2.(2020·益阳)定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．
根据以上定义，解决下列问题： (1)如图1，正方形ABCD中，E是CD上的点，将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形 BEDF为“直等补”四边形，为什么？ (2)如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝5， CD＝1，AD＞AB，点B到直线AD的距离为BE. ①求BE的长； ②若M，N分别是AB，AD边上的动点，求△MNC周长的最小值．
设函数 y＝x＋ax (a＞0，x＞0)，由上述结论可知：当 x＝ a 时，
该函数有最小值为 2 a .
应用举例
已知函数为 y1＝x(x＞0)与函数 y2＝4x (x＞0)，则当 x＝ 4 ＝2 时，
y1＋y2＝x＋4x 有最小值为 2 4 ＝4.
重点题型
题题组组训训练练
解决问题 (1)已知函数为 y1＝x＋3(x＞－3)与函数 y2＝(x＋3)2＋9(x＞－3)，当 x 取何值时，yy21 有最小值？最小值是多少？ (2)已知某设备租赁使用成本包含以下三部分：一是设备的安装调试费用，共 490 元；二是设备的租赁使用费用，每天 200 元；三是设备的折旧费用，它与使用天数的平方成正比，比例系数为 0.001.若设该设备的租赁使用天数为 x 天，则当 x 取何值时，该设备平均每天的租赁使用成本最低？最低是多少元？

2021年中考数学专题复习-二元一次方程组(学案)

中考数学一轮专题复习学案07 二元一次方程组1．二元一次方程：含有 2 个未知数（元），并且未知项的次数都是 1 的整式方程，叫做二元一次方程．二元一次方程的一般形式： ax +by +c =0(a ，b ，c 为常数，且a ≠0，b ≠0) ．必须满足以下三个条件：（1）等号两边的式子都是整式；（2）有且只有两个未知数；（3）含有未知数的项的次数都是1． 2．二元一次方程组：由两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量，其一般形式为111222==a x b y c a x b y c +⎧⎨+⎩，其解一般写成x my n =⎧⎨=⎩的形式．3．二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解，一个二元一次方程有无数个解． 4．二元一次方程组的解：使二元一次方程组两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．检验一对数值是否是某个二元一次方程组的解，常用的方法是将这对数值分别代入方程组中的每个方程．只有当这对数值同时满足所有方程时，才能说这对数值是此方程组的解；如果这对数值不满足其中的某个方程，那么它就不是此方程组的解．【例1】下列方程组中是二元一次方程组的是（）知识点1：二元一次方程（组）的有关概念知识点梳理典型例题A ．12xy x y =⎧⎨+=⎩B ．52313x y y x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩C ．20135x z x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩D ．91632x x y=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 【分析】对照二元一次方程及二元一次方程组的定义，逐项判断即可．【答案】D ．【例2】按如图的运算程序，能使输出结果为3的x ，y 的值是（）A ．x =5，y =﹣2B ．x =3，y =﹣3C ．x =﹣4，y =2D ．x =﹣3，y =﹣9 【考点】代数式求值；二元一次方程的解．【专题】计算题．【分析】根据运算程序列出方程，再根据二元一次方程的解的定义对各选项分析判断利用排除法求解．【解答】解：由题意得，2x ﹣y =3， A 、x =5时，y =7，故A 选项错误； B 、x =3时，y =3，故B 选项错误； C 、x =﹣4时，y =﹣11，故C 选项错误； D 、x =﹣3时，y =﹣9，故D 选项正确．故选：D ．【点评】本题考查了代数式求值，主要利用了二元一次方程的解，理解运算程序列出方程是解题的关键．1．解二元一次方程组的方法：思想：二元一次方程组−−−→消元转化一元一次方程．消元是解二元一次方程组的基本思路，知识点2：二元一次方程组的解法知识点梳理方法有代入消元法和加减消元法两种．2．代入法：适用于有一个方程中某个未知数的系数为1或-1的情况．代入消元法的一般步骤：①变形：从方程组中选一个未知数的系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来．②代入：将变形后的方程代入没变形的方程，得到一个一元一次方程．③解方程：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值．④求值：将求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解．3．加减法：在方程两边同乘以一个数,将两个方程中同一个未知数的系数变为相同的数（或互为相反数），再将方程两边分别相减（或相加）．加减消元法的一般步骤：①变形：先观察系数特点，将同一个未知数的系数化为相等的数或相反数．②加减：用加减法消去系数互为相反数或系数相等的同一未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程．③解方程：解一元一次方程，求出一个未知数的值．④求值：将求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解．【例3】（2020•天津7/25）方程组241x yx y+=⎧⎨-=-⎩的解是（）A．12xy=⎧⎨=⎩B．32xy=-⎧⎨=-⎩C．2xy=⎧⎨=⎩D．31xy=⎧⎨=-⎩【考点】解二元一次方程组【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：241x yx y+=⎧⎨-=-⎩①②，①+②得：3x=3，解得：x=1，把x=1代入①得：y=2，典型例题则方程组的解为12x y =⎧⎨=⎩．故选：A ．【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．【例4】解方程组：355223x y x y -=⎧⎨+=⎩【答案】解法一：①×②得：6x －2y ＝10 ③， ②＋③得：11x ＝33，∴x ＝3．把x ＝3 代入①得：9－y ＝5．∴y ＝4 所以34x y =⎧⎨=⎩．解法二：由①得：y ＝3x －5 ③ 把③代入②得：5x ＋2(3x －5)＝23，11x ＝33，∴x ＝3．把x ＝3代入③得：y ＝4．所以34x y =⎧⎨=⎩．1．列二元一次方程组解应用题：审题→找出相等关系 →列出二元一次方程组→解二元一次方程组→写出答案． 2．列二元一次方程组解应用题的具体步骤：①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系； ②找：找出应用题中的相等关系；③设：设未知数（一般求什么，就设什么）； ④列：根据相等关系列出两个方程，组成方程组； ⑤解：解所列的方程组，求出未知数的值；⑥验：检验所得未知数的值是否符合实际意义及题意；知识点3：二元一次方程组的实际应用知识点梳理⑦答：写出答案（包括单位名称）．【例5】（2020•海南18/22）某村经济合作社决定把22吨竹笋加工后再上市销售，刚开始每天加工3吨，后来在乡村振兴工作队的指导下改进加工方法，每天加工5吨，前后共用6天完成全部加工任务，问该合作社改进加工方法前后各用了多少天？【考点】二元一次方程组的应用【分析】设改进加工方法前用了x天，改进加工方法后用了y天，根据6天共加工竹笋22吨，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【解答】解：设改进加工方法前用了x天，改进加工方法后用了y天，依题意，得：6 3522x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：42xy=⎧⎨=⎩．答：该合作社改进加工方法前用了4天，改进加工方法后用了2天．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．【例6】（2020•重庆A卷24/26）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为优选品种，提高产量，某农业科技小组对A，B两个小麦品种进行种植对比实验研究．去年A，B 两个品种各种植了10亩．收获后A，B两个品种的售价均为2.4元/kg，且B的平均亩产量比A的平均亩产量高100 kg，A，B两个品种全部售出后总收入为21600元．（1）请求出A，B两个品种去年平均亩产量分别是多少？（2）今年，科技小组加大了小麦种植的科研力度，在A，B种植亩数不变的情况下，预计A，B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%．由于B品种深受市场的欢迎，预计每千克价格将在去年的基础上上涨a%，而A品种的售价不变．A，B两个品种全部售出后总收入将在去年的基础上增加20%9a．求a的值．【考点】二元一次方程组的应用【分析】（1）设A、B两个品种去年平均亩产量分别是x千克和y千克；根据题意列方程组即可得到结论；典型例题（2）根据题意列方程即可得到结论．【解答】解：（1）设A、B两个品种去年平均亩产量分别是x千克和y千克；根据题意得：10010 2.4()21600y xx y-=⎧⎨⨯+=⎩，解得：400500xy=⎧⎨=⎩，答：A、B两个品种去年平均亩产量分别是400千克和500千克；（2）202.440010(1%) 2.4(1%)50010(12%)21600(1%)9a a a a⨯⨯+++⨯⨯+=+，解得：a=10，答：a的值为10．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，二元一次方程组的应用，正确的理解题意是解题的关键．1．二元一次方程x－2y＝1有无数多个解，下列四组值中不是．．该方程的解的是（）A．12xy=⎧⎪⎨=-⎪⎩B．11xy=⎧⎨=⎩C．1xy=⎧⎨=⎩D．11xy=-⎧⎨=-⎩2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（）A．3235x yx y-=⎧⎨+=⎩B．2024x yx y k++=⎧⎨-=⎩C．3010x yxy-+=⎧⎨+=⎩D．2135x yxy+=⎧⎪⎨+=⎪⎩3．已知21xy=⎧⎨=⎩是二元一次方程组71ax byax by+=⎧⎨-=⎩的解，则a－b的值为（）A．－1B．1C．2D．34．若关于x，y的二元一次方程组3133x y ax y+=+⎧⎨+=⎩的解满足x＋y＜2，则a的取值范围为_________．5．已知x、y满足方程组2524x yx y+=⎧⎨+=⎩则x－y的值为________．巩固训练A．12xy=⎧⎨=⎩B．31xy=⎧⎨=⎩C．2xy=⎧⎨=-⎩D．2xy=⎧⎨=⎩8.（2020•北京12/28）方程组1 37 x yx y-=⎧⎨+=⎩的解为．9.解方程组：3126x yx y-=⎧⎨+=⎩①②．10.解方程组224422x yy⎧+=⎪+=．11.解二元一次方程组：⎩⎨⎧=+=-2372yxyx．12.（2018·北京市3/28）方程组33814x yx y-=⎧⎨-=⎩的解为（）A．12xy=-⎧⎨=⎩B．12xy=⎧⎨=-⎩C．21xy=-⎧⎨=⎩D．21xy=⎧⎨=-⎩13.（2018·包头13/26）若a﹣3b＝2，3a﹣b＝6，则b﹣a的值为．14.（2019·天津市9/25）方程组3276211x yx y+=⎧⎨-=⎩的解是（）A．15xy=-⎧⎨=⎩B．12xy=⎧⎨=⎩C．31xy=⎧⎨=-⎩D．212xy=⎧⎪⎨=⎪⎩15.（2019·重庆市7/26）《九章算术》中有这样一个题：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？其意思为：今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的数为50；而甲把其23的钱给乙，则乙的钱数也为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为x，乙的钱数为y，则可建立方程组为（）A．15022503x yx y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩B．15022503x yx y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩C．15022503x yx y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩D．15022503x yx y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩16.某班为奖励在校运会上取得较好成绩的运动员，花了400元钱购买甲、乙两种奖品共30件，其中甲种奖品每件16元，乙种奖品每件12元，求甲乙两种奖品各买多少件？该问题中，若设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，则方程组正确的是()A．301216400x yx y+=⎧⎨+=⎩B．301612400x yx y+=⎧⎨+=⎩C．121630400x yx y+=⎧⎨+=⎩D．161230400x yx y+=⎧⎨+=⎩17.（2020•江西17/23）放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本，这种笔芯每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元．小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花费19元；小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元．（1）求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格；（2）小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有小贤还剩2元钱．他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品，请通过运算说明．1．二元一次方程x－2y＝1有无数多个解，下列四组值中不是．．该方程的解的是（）A．12xy=⎧⎪⎨=-⎪⎩B．11xy=⎧⎨=⎩C．1xy=⎧⎨=⎩D．11xy=-⎧⎨=-⎩【答案】B．【分析】把各选项中的x、y值代入原方程，判断左右两边是否相等即可．【解答】解：把A选项代入原方程，左边=右边，此项不符合题意；把B选项代入原方程，左边≠右边，此项符合题意；把C选项代入原方程，左边=右边，此项不符合题意；巩固训练解析把D选项代入原方程，左边=右边，此项不符合题意；故答案为：B．2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（）A．3235x yx y-=⎧⎨+=⎩B．2024x yx y k++=⎧⎨-=⎩C．3010x yxy-+=⎧⎨+=⎩D．2135x yxy+=⎧⎪⎨+=⎪⎩【答案】A．【分析】根据二元一次方程组的定义逐项判断即可．【解答】解：根据二元一次方程组的定义逐项判断，是二元一次方程组的是3 235 x yx y-=⎧⎨+=⎩，故答案为：A．3．已知21xy=⎧⎨=⎩是二元一次方程组71ax byax by+=⎧⎨-=⎩的解，则a－b的值为（）A．－1B．1C．2D．3【答案】A．【分析】把21xy=⎧⎨=⎩代入71ax byax by+=⎧⎨-=⎩中得到关于a、b的方程组，解该方程组，进而求解即可．【解答】解：把21xy=⎧⎨=⎩代入71ax byax by+=⎧⎨-=⎩中，得：27 21a ba b+=⎧⎨-=⎩，解得：23ab=⎧⎨=⎩，∴a－b=-1，故答案为：A．4．若关于x，y的二元一次方程组3133x y ax y+=+⎧⎨+=⎩的解满足x＋y＜2，则a的取值范围为_________．【答案】a<4．【分析】方程组中两个方程相加，得到4x+4y=4+a，再根据x＋y＜2进而求出a的取值范围即可．【解答】解：3133x y ax y+=+⎧⎨+=⎩①②，①+②得：4x+4y=4+a，∴44ax y++=，【答案】1．【分析】方程组中两个方程相减，得到x-y=1即可．【解答】解：2524x yx y+=⎧⎨+=⎩①②，①-②得：x-y=1．故答案为：1．7.方程组224x yx y-=⎧⎨+=⎩的解是()A．12xy=⎧⎨=⎩B．31xy=⎧⎨=⎩C．2xy=⎧⎨=-⎩D．2xy=⎧⎨=⎩【分析】可解此方程组，也可把四个选项依次代入原方程组验证．【答案】D．8.（2020•北京12/28）方程组137x yx y-=⎧⎨+=⎩的解为．【考点】解二元一次方程组．【答案】见试题解答内容【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：137x yx y-=⎧⎨+=⎩①②，①+②得：4x＝8，解得：x＝2，把x＝2代入①得：y＝1，则方程组的解为21xy=⎧⎨=⎩．故答案为：21xy=⎧⎨=⎩．【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．9.解方程组：3126x yx y-=⎧⎨+=⎩①②．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：②﹣①得：5y=5，即y=1，将y=1代入①得：x=4，则方程组的解为41 xy=⎧⎨=⎩．【点评】此题考查了解二元一次方程组．10.解方程组224422x y y ⎧+=⎪+=．【考点】高次方程．【分析】由②得22443y x =-+③，把③代入①解答即可．【解答】解：224422x y y ⎧+=⎪+=①②，由②得22443y x =-+③，把③代入①得：20x =，解得：10x =，2x =，当x 1=0时，y 1=1；当2x =时，212y =-，所以方程组的解是1101x y =⎧⎨=⎩，2212x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩．【点评】此题考查高次方程问题，关键是把高次方程化为一般方程再解答．11.解二元一次方程组：⎩⎨⎧=+=-02372y x y x ．【考点】解二元一次方程组．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：27320x y x y -=⎧⎨+=⎩①②， ①×2+②得：7x =14，即x =2，把x =2代入①得：y =﹣3，则方程组的解为23x y =⎧⎨=-⎩．【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．12.（2018·北京市3/28）方程组33814x y x y -=⎧⎨-=⎩的解为（）A．12xy=-⎧⎨=⎩B．12xy=⎧⎨=-⎩C．21xy=-⎧⎨=⎩D．21xy=⎧⎨=-⎩【考点】解二元一次方程组．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可；【解答】解：33814x yx y-=⎧⎨-=⎩①②，①×3﹣②得：5y＝﹣5，即y＝﹣1，将y＝﹣1代入①得：x＝2，则方程组的解为21 xy=⎧⎨=-⎩．故选：D．【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．13.（2018·包头13/26）若a﹣3b＝2，3a﹣b＝6，则b﹣a的值为．【考点】解二元一次方程组．【分析】将两方程相加可得4a﹣4b＝8，再两边都除以2得出a﹣b的值，继而由相反数定义或等式的性质即可得出答案．【解答】解：由题意知3236a ba b-=⎧⎨-=⎩①②，①+②，得：4a﹣4b＝8，则a﹣b＝2，∴b﹣a＝﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查解二元一次方程组，解题的关键是掌握等式的基本性质的灵活运用及两方程未知数系数与待求代数式间的特点．14.（2019·天津市9/25）方程组3276211x yx y+=⎧⎨-=⎩的解是（）A．15xy=-⎧⎨=⎩B．12xy=⎧⎨=⎩C．31xy=⎧⎨=-⎩D．212xy=⎧⎪⎨=⎪⎩【考点】解二元一次方程组．【分析】运用加减消元法解答即可．【解答】解：3276211x yx y+=⎧⎨-=⎩①②，①+②得，x＝2，把x＝2代入①得，6+2y＝7，解得12y=，故原方程组的解为：212xy=⎧⎪⎨=⎪⎩．故选：D．【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的基本解法是解答本题的关键．15.（2019·重庆市7/26）《九章算术》中有这样一个题：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？其意思为：今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的数为50；而甲把其23的钱给乙，则乙的钱数也为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为x，乙的钱数为y，则可建立方程组为（）A．15022503x yx y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩B．15022503x yx y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩C．15022503x yx y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩D．15022503x yx y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．【分析】设甲的钱数为x，人数为y，根据“若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其23的钱给乙，则乙的钱数也能为50”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：设甲的钱数为x，乙的钱数为y，依题意，得：15022503x yx y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩．故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．16.某班为奖励在校运会上取得较好成绩的运动员，花了400元钱购买甲、乙两种奖品共30件，其中甲种奖品每件16元，乙种奖品每件12元，求甲乙两种奖品各买多少件？该问题中，若设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，则方程组正确的是()A．301216400x yx y+=⎧⎨+=⎩B．301612400x yx y+=⎧⎨+=⎩C．121630400x yx y+=⎧⎨+=⎩D．161230400x yx y+=⎧⎨+=⎩【分析】列方程组解应用题的关键是找出实际问题中的等量关系．本题中存在两个等量关系：甲种奖品的件数＋乙种奖品的件数＝30；买甲种奖品的钱数＋买乙种奖品的钱数＝400．【答案】B．17.（2020•江西17/23）放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本，这种笔芯每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元．小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花费19元；小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元．（1）求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格；（2）小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有小贤还剩2元钱．他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品，请通过运算说明．【考点】一元一次方程的应用；二元一次方程组的应用【分析】（1）设笔记本的单价为x元，单独购买一支笔芯的价格为y元，根据“小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花费19元；小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）先求两人带的总钱数，再求出两人合在一起买文具所需费用，由二者的差大于2个小工艺品所需钱数，可找出：他们合在一起购买，才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品．【解答】解：（1）设笔记本的单价为x元，单独购买一支笔芯的价格为y元，依题意，得：2319726x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：53xy=⎧⎨=⎩．答：笔记本的单价为5元，单独购买一支笔芯的价格为3元．（2）小贤和小艺带的总钱数为1922647++=（元)．两人合在一起购买所需费用为5(21)(30.5)1040⨯++-⨯=（元)．47407-=（元)，326⨯=（元)，76>，∴他们合在一起购买，才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．。

2021年九年级数学中考复习专题：二次函数综合(考察动点坐标、长度、面积等)(四)

2021年九年级数学中考复习专题：二次函数综合（考察动点坐标、长度、面积等）（四）1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，其中A（﹣4，0），B（2，0），C（0，﹣4）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P为直线AC下方抛物线上一点，PD⊥AC，当线段PD的长度最大时，求点P的坐标；（3）将△BOC沿直线BC平移，平移后的三角形为△B'O'C'（其中点O'与点O不重合），点S是坐标平面内一点，若以A，C，O'，S为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的点O'的坐标．2．如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A （1，0）和点B （﹣3，0），与y 轴交于点C ，且OC ＝OB ．（1）求点C 的坐标和此抛物线的解析式；（2）若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE ，CE ，BC ，求△BCE 面积的最大值；（3）点P 在抛物线的对称轴上，若线段PA 绕点P 逆时针旋转90°后，点A 的对应点A ′恰好也落在此抛物线上，求点P 的坐标．3．抛物线y ＝ax 2+bx ﹣5的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点A 坐标为（﹣1，0），一次函数y ＝x +k 的图象经过点B 、C ．（1）试求二次函数及一次函数的解析式；（2）如图1，点D （2，0）为x 轴上一点，P 为抛物线上的动点，过点P 、D 作直线PD 交线段CB 于点Q ，连接PC 、DC ，若S △CPD ＝3S △CQD ，求点P 的坐标；（3）如图2，点E 为抛物线位于直线BC 下方图象上的一个动点，过点E 作直线EG ⊥x 轴于点G ，交直线BC 于点F ，当EF +CF 的值最大时，求点E 的坐标．4．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点C．点P（m，0）是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．（1）求这个二次函数的表达式；（2）①若点P仅在线段AO上运动，如图，求线段MN的最大值；②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，已知抛物线y＝ax2过点A（﹣3，）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知直线l过点A，M（，0）且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：MC2＝MA•MB；（3）若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标．6．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线y ＝ax 2+bx +c 的顶点是A （1，3），将OA 绕点O 顺时针旋转90°后得到OB ，点B 恰好在抛物线上，OB 与抛物线的对称轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）P 是线段AC 上一动点，且不与点A ，C 重合，过点P 作平行于x 轴的直线，与△OAB 的边分别交于M ，N 两点，将△AMN 以直线MN 为对称轴翻折，得到△A ′MN ，设点P 的纵坐标为m ．①当△A ′MN 在△OAB 内部时，求m 的取值范围； ②是否存在点P ，使S △A ′MN ＝S △OA ′B ，若存在，求出满足条件m 的值；若不存在，请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y ＝﹣（x ﹣m ）2+4图象的顶点为A ，与y轴交于点B ，异于顶点A 的点C （1，n ）在该函数图象上．（1）当m ＝5时，求n 的值．（2）当n ＝2时，若点A 在第一象限内，结合图象，求当y ≥2时，自变量x 的取值范围．（3）作直线AC 与y 轴相交于点D ．当点B 在x 轴上方，且在线段OD 上时，求m 的取值范围．8．已知二次函数y＝ax2+2x+c（a≠0）的图象与x轴的交于A、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），（1）求二次函数的表达式及A点坐标；（2）D是二次函数图象上位于第三象限内的点，求点D到直线AC的距离取得最大值时点D的坐标；（3）M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N，使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N的坐标（不写求解过程）．9．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数解析式；（2）若直线l：线y＝﹣x+m与该抛物线交于D、E两点，如图．①连接CD、CE、BE，当S△BCE ＝3S△CDE时，求m的值；②是否存在m的值，使得原点O关于直线l的对称点P刚好落在该抛物线上？如果存在，请直接写出m的值；如果不存在，请说明理由．10．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，OC＝3．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；（3）若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ+QC是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．参考答案1．解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+4）（x﹣2），∵抛物线过C（0，﹣4），∴﹣8a＝﹣4，∴，∴此抛物线解析式为；（2）过点P作PE∥y轴交AC于点E，如下图所示，∵A（﹣4，0），C（0，﹣4），∴AC解析式为y＝﹣x﹣4，设P（），E（m，﹣m﹣4），则PE＝，∵，∴当时，PE最大，此时PD最大，∴P（﹣2，﹣4）；（3）∵A（﹣4，0），C（0，﹣4），O′（a，2a），∴AC2＝32，CO'2＝5a2+16a+16，AO'2＝5a2+8a+16，①CA2＝CO′2即5a2+16a+16＝32，∴，∴O′（﹣4，﹣8），，1②AC2＝AO′2即5a2+8a+16＝32，∴，∴，，③CO'2＝AO'2即5a2+8a+16＝5a2+16a+16，∴a＝0，∴O5′（0，0）（舍），综上所述，满足条件的点O'坐标有O1′（﹣4，﹣8），，，．答：（1）此抛物线解析式为；（2）P（﹣2，﹣4）；（3）点O'坐标有O1′（﹣4，﹣8），，，．2．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），∴OB＝3，∵OC＝OB，∴OC＝3，∴c＝3，∴，解得：，∴所求抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，C（0，3）．（2）如图2，连接BC，过点E作EF⊥x轴于点F，设E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0），∴EF＝﹣a2﹣2a+3，BF＝a+3，OF＝﹣a，∴S△BEC ＝S四边形BOCE﹣S△BOC＝BF•EF+（OC+EF）•OF﹣•OB•OC＝（a+3）•（﹣a2﹣2a+3）+（﹣a2﹣2a+6）•（﹣a）﹣＝﹣a2﹣a＝﹣（a +）2+，∴当a ＝﹣时，S △BEC 最大，且最大值为．（3）∵抛物线y ＝﹣x 2﹣2x +3的对称轴为x ＝﹣1，点P 在抛物线的对称轴上， ∴设P （﹣1，m ），∵线段PA 绕点P 逆时针旋转90°后，点A 的对应点A 1恰好也落在此抛物线上， ①当m ≥0时，∴PA ＝PA 1，∠APA 1＝90°，如图3，过A 1作A 1N ⊥对称轴于N ，设对称轴于x 轴交于点M ， ∴∠NPA 1+∠MPA ＝∠NA 1P +∠NPA 1＝90°， ∴∠NA 1P ＝∠NPA ，在△A 1NP 与△PMA 中，，∴△A 1NP ≌△PMA （AAS ）， ∴A 1N ＝PM ＝m ，PN ＝AM ＝2， ∴A 1（m ﹣1，m +2），代入y ＝﹣x 2﹣2x +3得：m +2＝﹣（m ﹣1）2﹣2（m ﹣1）+3，解得：m ＝1，m ＝﹣2（舍去），②当m ＜0时，要使P 2A ＝P 2A 2，由图可知A 2点与B 点重合， ∵∠AP 2A 2＝90°， ∴MP 2＝MA ＝2， ∴P 2（﹣1，﹣2），∴满足条件的点P 的坐标为P （﹣1，1）或（﹣1，﹣2）．3．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣5的图象与y轴交于点C，∴C（0，﹣5），∵一次函数y＝x+k的图象经过点B、C，∴k＝﹣5，∴B（5，0），设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5）＝ax2﹣4ax﹣5a，∴﹣5a＝﹣5，∴a＝1，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣4x﹣5，一次函数的解析式为y＝x﹣5．（2）①当点P在直线BC的上方时，如图2﹣1中，作DH∥BC交y轴于H，过点D作直线DT交y轴于T，交BC于K，作PT∥BC交抛物线于P，直线PD交抛物线于Q．∵S△CPD ＝3S△CQD，∴PD＝3DQ，∵PT∥DH∥BC，∴＝＝＝3，∵D（2，0），B（5，0），C（﹣5，0），∴OA＝OB＝5，OD＝OH＝2，∴HC＝3，∴TH＝9，OT＝7，∴直线PT的解析式为y＝x+7，由，解得或，∴P（，）或（，），②当点P在直线BC的下方时，如图2﹣2中，当点P与抛物线的顶点（2，﹣9）重合时，PD＝9．DQ＝3，∴PQ＝3DQ，∴S△CPD ＝3S△CQD，过点P作PP′∥BC，此时点P′也满足条件，∵直线PP′的解析式为y＝x﹣11，由，解得或，∴P′（3，﹣8），综上所述，满足条件的点P的坐标为（，）或（，）或（2，﹣9）或（3，﹣8）．（3）设E（m，m2﹣4m﹣5），则F（m，m﹣5），∴EF＝（m﹣5）﹣（m2﹣4m﹣5）＝5m﹣m2，CF＝m，∴EF+CF＝﹣m2+6m＝﹣（m﹣3）2+9，∵﹣1＜0，∴m＝3时，EF+CF的值最大，此时E（3，﹣8）．4．解：（1）把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝x2+bx+c中，得，解得，∴y＝x2+2x﹣3．（2）①设直线AC的表达式为y＝kx+b，把A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入y＝kx+b．得，解得，∴y＝﹣x﹣3，∵点P（m，0）是x轴上的一动点，且PM⊥x轴．∴M（m，﹣m﹣3），N（m，m2+2m﹣3），∴MN＝（﹣m﹣3）﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，∵a＝﹣1＜0，∴此函数有最大值．又∵点P在线段OA上运动，且﹣3＜﹣＜0，∴当m＝﹣时，MN有最大值．②如图2﹣1中，当点M在线段AC上，MN＝MC，四边形MNQC是菱形时．∵MN＝﹣m2﹣3m，MC＝﹣m，∴﹣m2﹣3m＝﹣m，解得m＝﹣3+或0（舍弃）∴MN＝3﹣2，∴CQ＝MN＝3﹣2，∴OQ＝3+1，∴Q（0，﹣3﹣1）．如图2﹣2中，当MC是菱形的对角线时，四边形MNCQ是正方形，此时CN＝MN＝CQ＝2，可得Q（0，﹣1）．如图2﹣3中，当点M在CA延长线上时，MN＝CM，四边形MNQC是菱形时，则有，m 2+3m ＝﹣m ，解得m ＝﹣3﹣或0（舍弃）， ∴MN ＝CQ ＝3+2，∴OQ ＝CQ ﹣OC ＝3﹣1， ∴Q （0，3﹣1）．综上所述，满足条件的点Q 的坐标为（0，﹣3﹣1）或（0，﹣1）或（0，3﹣1）． 5．解：（1）把点A （﹣3，）代入y ＝ax 2，得到＝9a ， ∴a ＝， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2．（2）设直线l 的解析式为y ＝kx +b ，则有，解得，∴直线l 的解析式为y ＝﹣x +，令x ＝0，得到y ＝， ∴C （0，），由，解得或，∴B （1，），如图1中，过点A 作AA 1⊥x 轴于A 1，过B 作BB 1⊥x 轴于B 1，则BB 1∥OC ∥AA 1，∴＝＝＝，＝＝＝，∴＝，即MC2＝MA•MB．（3）如图2中，设P（t，t2）∵OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，∴PD∥OC，PD＝OC，∴D（t，﹣t+），∴|t2﹣（﹣t+）|＝，整理得：t2+2t﹣6＝0或t2+2t＝0，解得t＝﹣1﹣或﹣1+或﹣2或0（舍弃），∴P（﹣1﹣，2+）或（﹣1+，2﹣）或（﹣2，1）．6．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点是A（1，3），∴抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+3，∵OA绕点O顺时针旋转90°后得到OB，∴B（3，﹣1），把B（3，﹣1）代入y＝a（x﹣1）2+3可得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+3，即y＝﹣x2+2x+2，（2）①如图1中，连接OA′，A′B．∵B（3，﹣1），∴直线OB的解析式为y＝﹣x，∵A（1，3），∴C（1，﹣），∵P（1，m），AP＝PA′，∴A′（1，2m﹣3），由题意3＞2m﹣3＞﹣，∴3＞m＞．②当点P在x轴上方时，∵直线OA的解析式为y＝3x，直线AB的解析式为y＝﹣2x+5，∵P（1，m），∴M（，m），N（，m），∴MN＝﹣＝，∵S△A′MN ＝S△OA′B，∴•（m﹣2m+3）•＝××|2m﹣3+|×3，整理得m2﹣6m+9＝|6m﹣8|解得m＝6+（舍去）或6﹣，当点P在x轴下方时，同法可得•（3﹣m）•（+3m）＝××[﹣﹣（2m﹣3）]×3，整理得：3m2﹣12m﹣1＝0，解得m＝或（舍去），∴满足条件的m的值为6﹣或．7．解：（1）当m＝5时，y＝﹣（x﹣5）2+4，当x＝1时，n＝﹣×42+4＝﹣4．（2）当n＝2时，将C（1，2）代入函数表达式y＝﹣（x﹣m）2+4，得2＝﹣（1﹣m）2+4，解得m＝3或﹣1（舍去），∴此时抛物线的对称轴x＝3，根据抛物线的对称性可知，当y＝2时，x＝1或5，∴x的取值范围为1≤x≤5．（3）∵点A与点C不重合，∴m≠1，∵抛物线的顶点A的坐标是（m，4），∴抛物线的顶点在直线y＝4上，当x＝0时，y＝﹣m2+4，∴点B的坐标为（0，﹣m2+4），抛物线从图1的位置向左平移到图2的位置前，m逐渐减小，点B沿y轴向上移动，当点B与O重合时，﹣m2+4＝0，解得m＝2或﹣2（不合题意舍去），当点B与点D重合时，如图2，顶点A也与B，D重合，点B到达最高点，∴点B（0，4），∴﹣m2+4＝4，解得m＝0，当抛物线从图2的位置继续向左平移时，如图3点B不在线段OD上，∴B点在线段OD上时，m的取值范围是：0≤m＜1或1＜m＜2．8．解：（1）把B（1，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+2x+c 则有，解得，∴二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3，令y＝0，得到x2+2x﹣3＝0，解得x＝﹣3或1，∴A（﹣3，0）．（2）如图1中连接AD，CD．∵点D到直线AC的距离取得最大，∴此时△DAC的面积最大，设直线AC解析式为：y＝kx+b，∵A（﹣3，0），C（0，﹣3），∴，解得，，∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，过点D作x轴的垂线交AC于点G，设点D的坐标为（x，x2+2x﹣3），则G（x，﹣x﹣3），∵点D在第三象限，∴DG＝﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x﹣3﹣x2﹣2x+3＝﹣x2﹣3x，∴S＝•DG•OA＝（﹣x2﹣3x）×3＝﹣x2﹣x＝﹣（x+）2+，△ACD＝，点D（﹣，﹣），∴当x＝﹣时，S最大∴点D到直线AC的距离取得最大时，D（﹣，﹣）．（3如图2中，当OB是平行四边形的边时，OB＝MN＝1，OB∥MN，可得N（﹣2，﹣3）或N′（0，﹣3），当OB为对角线时，点N″的横坐标为2，x＝2时，y＝4+4﹣3＝5，∴N″（2，5）．综上所述，满足条件的点N的坐标为（﹣2，﹣3）或（0，﹣3）或（2，5）．9．解：（1）把A（﹣1，0）、B（3，0）两点代入y＝﹣x2+bx+c可得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+．（2）①如图1中，对于y═﹣x2+x+，令x＝0，可得y＝，∴C（0，），∵B（3，0），∴OC＝，OB＝3，∴tan∠CBO＝，∴∠CBO＝30°，∵直线l：y＝﹣x+m与x轴交于N（m，0）与y轴交于M（0，m），∴tan∠MNO＝＝，∴∠MNO＝30°＝∠CBO，∴l∥BC，∵S△BCE ＝3S△CDE，∴BC＝3DE，∴直线l应该在BC的上方，在BC上取一点F，使得BC＝3BF，∴BF＝DE，∴四边形BEDF是平行四边形，∵C（0，），B（3，0），BC＝3BF，∴F（2，），设D（n，﹣n+m），则E（n+1，﹣（n+1）+m），将它们代入抛物线的解析式得到：，解得，∴m的值为．②如图2中，过点O作OM⊥BC交抛物线于M或M′．则直线OM的解析式为y＝x，由，解得或，∴M（，），M′（，），由题意直线l经过OM或OM′的中点，∴＝﹣×+m或＝﹣×+m，解得m＝．10．解：（1）函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3），即：3a＝3，解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3，则顶点D（2，﹣1）．（2）将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得：直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，过点P作y轴的平行线交BC于点H，设点P（x，x2﹣4x+3），则点H（x，﹣x+3），＝•PH×OB＝（﹣x+3﹣x2+4x﹣3）＝（﹣x2+3x），则S△PBC∵﹣＜0，故S有最大值，此时x＝，△PBC故点P（，﹣）．（3）存在，理由：如上图，过点C作与y轴夹角为30°的直线CH，作QH⊥CH，垂足为H，则HQ＝CQ，AQ+QC最小值＝AQ+HQ＝AH，直线HC所在表达式中的k值为，直线HC的表达式为：y＝x+3…①，则直线AH所在表达式中的k值为﹣，则直线AH的表达式为：y＝﹣x+s，将点A的坐标代入y＝﹣x+s并解得：s＝，则直线AH的表达式为：y＝﹣x+…②，联立①②并解得：x＝，故点H（，），而点A（1，0），则AH＝，即：AQ+QC的最小值为．。

2021年中考数学总复习第三章函数微专题二次函数的交点问题

(3)抛物线y＝(x－h)2＋1的对称轴为直线__x_=_h__，顶点坐标为__(_h_,_1_) __，顶点在直线 ___y_=_1___上，在平面直角坐标系中画出草图；
例1题图③ຫໍສະໝຸດ 例1题解图③微专题二次函数的交点问题
(4)抛物线y＝(x－t)(x－t－4)与x轴的交点坐标是___(t_,0_)_和__(_4_+_t_,0_)_，在x轴上截得的线段长度为____4____，对称轴为直线__x_=_2_+_t__，顶点在直线__y_=_-4____上，在平面直角坐标系中画出草图；
切记题目求的是所有c的整数．
微专题二次函数的交点问题
针对训练
3. 已知二次函数y＝－x2＋x＋6及一次函数y＝－x＋m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数(如图所示)，当直线y＝－x＋m与新图象有4个交点时，m的取值范围是( D )
A. 25 m 3
例3题图
微专题二次函数的交点问题
(3)过点A的双曲线
y=
k x
的解析式为__y____2x__，点(－5，y1)和点(－1，y2)在反比例函
2
数的图象上，则y1＝___5___，y2＝___2___，当二次函数y＝(x－h)2－1经过点(－5，y1)
时，h＝__53_5__5_或_-__53_5__5_，经过点(－1，y2)时，h＝_3__1_或__-__3__1，若二次函数y＝(x－
5
5
例3解图③
微专题二次函数的交点问题
类型一线段与抛物线的交点问题
例4
(2020万唯河北大模考)对于题目：在平面直角坐标系中，直线 y
-4 x 5
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专题03 因式分解(学案)

2021年中考数学一轮专题复习学案03 因式分解知识点1：因式分解的概念知识点梳理因式分解的定义:把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的变形叫做这个多项式的因式分解．典型例题【例1】（2020•河北3/26）对于①x-3xy = x(1-3y)，②(x+3)(x-1) = x2+2x-3，从左到右的变形，表述正确的是（）A．都是因式分解B．都是乘法运算C．①是因式分解，②是乘法运算D．①是乘法运算，②是因式分解【考点】因式分解—提公因式法；因式分解的意义；多项式乘多项式【分析】根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式积的形式，叫因式分解，也叫分解因式）判断即可．【解答】解：①x-3xy = x(1-3y)，从左到右的变形是因式分解；②(x+3)(x-1) = x2+2x-3，从左到右的变形是整式的乘法，不是因式分解；所以①是因式分解，②是乘法运算．故选：C．【点评】此题考查了因式分解．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．【例2】下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（）A．x（a–b）＝ax–bx B．x2–1+y2＝（x–1）（x+1）+y2C．x2–1＝（x+1）（x–1）D．ax+bx+c＝x（a+b+c）【分析】A．等号右边不是几个整式乘积的形式，故不是因式分解；B．等号右边不是几个整式乘积的形式，故不是因式分解；C．等号右边是几个整式乘积的形式，且变形正确，左右两边相等，故是因式分解；D．左右两边不相等，故不是因式分解.【答案】C．知识点2：因式分解的方法与步骤知识点梳理1.一般方法：（1）提公因式法：用字母表示：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)．公因式的确定：取各项系数的最大公约数，取各项相同的因式及其最低次幂．（2）运用公式法：①a2－b2＝(a＋b)(a－b)；②a2±2ab＋b2＝(a±b)2．（3）十字相乘法：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)．（4）分组分解法：先分组，再提公因式或运用公式．2.一般步骤：一提（提公因式）；二套（套公式）；三验（检验是否分解彻底）．典型例题利用提公因式法分解因式【例3】（2020•海南13/22）因式分解：x2-2x =．【考点】因式分解—提公因式法【分析】原式提取x即可得到结果．【解答】解：原式= x(x-2)，故答案为：x(x-2)【点评】此题考查了因式分解—提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．【例4】把–6x3y2–3x2y2+8x2y3因式分解时，应提的公因式是（）A．–3x2y2B．–2x2y2C．6x2y2D．–x2y2【分析】–6x3y2–3x2y2+8x2y3＝–x2y2（6x+3–8y）．故把–6x3y2–3x2y2+8x2y3因式分解时，应提的公因式是：–x2y2．故选D．【答案】D【例5】分解因式：（2x+y）2–（x+2y）2．【解答】解：原式＝（2x+y+x+2y）（2x+y–x–2y）＝（3x+3y）（x–y）＝3（x+y）（x–y）．【答案】3（x+y）（x–y）．【例7】已知二次三项式x2+bx+c分解因式为（x–3）（x+1），则b+c的值为（）A．1 B．–1 C．–5 D．5【分析】∵二次三项式x2+bx+c分解因式为（x–3）（x+1），∴x2+bx+c＝（x–3）（x+1）＝x2–2x–3，∴b＝–2，c＝–3，故b+c＝–5．故选C．【答案】C．【例8】分解因式：x2–2x–24= ．【分析】x2–2x–24＝（x–6）（x+4）．【答案】（x–6）（x+4）．【例9】因式分解：x2 – y2 –2x+2y【分析】利用分组分解法分解，先分别分解前两项和后两项，再提取公因式x–y即可.【答案】x2 – y2–2x+2y = (x2 – y2 )–( 2x–2y )= ( x+y ) ( x –y ) –2 ( x–y )= ( x–y ) ( x+y–2 ) ．几种方法的综合运用【例10】（2020•宁夏9/26）分解因式：3a2-6a+3= ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】首先提取公因式3，进而利用完全平方公式分解因式得出答案．【解答】解：原式=3(a2-2a+1)=3(a-1)2．故答案为：3(a-1)2．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．【例11】（2020•新疆兵团11/23）分解因式：am2-an2 =．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式= a(m2-n2 )= a(m+n)(m-n)，故答案为：a(m+n)(m-n)【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．1.（2020•广东11/25）分解因式：xy x-=．2.（2020•吉林7/26）分解因式：2a ab-=．3.分因式分解：a2﹣2a= ．4.分因式分解：3a2﹣6a= ．5.分解因式：2a2－6a=．6.若a=2，a－2b=3，则2a2－4ab的值为．7.（2020•兴安盟•呼伦贝尔14/26）分解因式：234a b b-=．8.（2020•青海2/28）分解因式：2222ax ay-+=；不等式组24030xx-⎧⎨-+>⎩的整数解为．9.（2020•安徽12/23）分解因式：2ab a-=．10.（2019•赤峰15/26）因式分解：x3﹣2x2y+xy2＝．11.（2019·安徽9/23）已知三个实数a，b，c满足a﹣2b+c＝0，a+2b+c＜0，则（）A．b＞0，b2﹣ac≤0B．b＜0，b2﹣ac≤0C．b＞0，b2﹣ac≥0D．b＜0，b2﹣ac≥0巩固训练12.（2019•呼和浩特11/25）因式分解：x 2y ﹣4y 3＝． 13.（2018·呼和浩特11/25）分解因式：a 2b ﹣9b ＝．14.（2018·兴安盟·呼伦贝尔13/26）分解因式：a 3 (x -3)+(3-x ) a= ． 15.（2018·赤峰13/26）分解因式：2a 2﹣8b 2＝． 16.（2018·巴彦淖尔11/24）分解因式：8a 2﹣8a 3﹣2a ＝． 17.分解因式：3x 2－27 = ．18.分解因式：x 3y －2x 2y +xy = ． 19.分解因式：ma 2－mb 2= ． 20.分解因式：3x 2－12= ． 21.分解因式：x 3－x = . 22.因式分解： x 3y －xy = ． 23.分解因式：224)(b b a --= ． 24.a ﹣4ab 2分解因式结果是．1.（2020•广东11/25）分解因式：xy x -= (1)x y - ．【考点】因式分解—提公因式法【分析】直接提取公因式x ，进而分解因式得出答案．【解答】解：(1)xy x x y -=-．故答案为：(1)x y -．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 2.（2020•吉林7/26）分解因式：2a ab -= ()a a b - ．【考点】因式分解-提公因式法【分析】直接把公因式a 提出来即可．【解答】解：2()a ab a a b -=-．【点评】本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是a 是解题的关键． 3.分因式分解：a 2﹣2a = ．【考点】因式分解-提公因式法．【专题】因式分解．【分析】先确定公因式是a ，然后提取公因式即可．巩固训练解析【解答】解：a 2﹣2a =a （a ﹣2）．故答案为：a （a ﹣2）．【点评】本题考查因式分解，较为简单，找准公因式即可． 4.分因式分解：3a 2﹣6a = ．【考点】因式分解-提公因式法．【分析】直接提取公因式3a ，进而分解因式即可．【解答】解：3a 2﹣6a =3a （a ﹣2）．故答案为：3a （a ﹣2）．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确得出公因式是解题关键． 5.分解因式：2a 2－6a = ．【考点】因式分解-提公因式法．【分析】观察原式，找到公因式2a ，提出即可得出答案．【解答】解：2a 2－6a =2a （a －3）．故答案为：2a （a －3）．【点评】此题主要考查了因式分解的基本方法一——提公因式法．本题只要将原式的公因式2a 提出即可．6.若a =2，a －2b =3，则2a 2－4ab 的值为．【考点】因式分解-提公因式法．【分析】首先提取公因式2a ，进而将已知代入求出即可．【解答】解：∵a =2，a ﹣2b =3， ∴2a 2﹣4ab =2a （a ﹣2b ）=2×2×3=12．故答案为：12．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键． 7.（2020•兴安盟•呼伦贝尔14/26）分解因式：234a b b -= (2)(2)b a b a b +- ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】先提取公因式b ，再根据平方差公式进行二次分解．平方差公式：22()()a b a b a b -=+-．【解答】解：234a b b -22(4)b a b =- (2)(2)b a b a b =+-．故答案为(2)(2)b a b a b +-．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．8.（2020•青海2/28）分解因式：2222ax ay -+= 2()()a x y x y --+或2()()a y x y x +- ；不等式组24030x x -⎧⎨-+>⎩的整数解为．【考点】一元一次不等式组的整数解；提公因式法与公式法的综合运用【分析】直接提取公因式2a -，进而利用平方差公式分解因式即可；分别解不等式，进而得出不等式组的解集．【解答】解：2222222()ax ay a x y -+=-- 2()()a x y x y =--+；或原式2()()a y x y x =+-； 24030x x -⎧⎨-+>⎩①②，解①得：2x ，解②得：3x <，23x ∴<，∴不等式的整数解为：2．故答案为：2()()a x y x y --+或2()()a y x y x +-；2．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式和不等式组的解法，正确解不等式组是解题关键．9.（2020•安徽12/23）分解因式：2ab a -= (1)(1)a b b +- ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】原式提取a ，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式2(1)(1)(1)a b a b b =-=+-，故答案为：(1)(1)a b b +-【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 10.（2019•赤峰15/26）因式分解：x 3﹣2x 2y +xy 2＝ x （x ﹣y ）2 ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝x （x 2﹣2xy +y 2）＝x （x ﹣y ）2，故答案为：x （x ﹣y ）2【点评】此题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 11.（2019·安徽9/23）已知三个实数a ，b ，c 满足a ﹣2b +c ＝0，a +2b +c ＜0，则（） A ．b ＞0，b 2﹣ac ≤0 B ．b ＜0，b 2﹣ac ≤0 C ．b ＞0，b 2﹣ac ≥0D ．b ＜0，b 2﹣ac ≥0【考点】因式分解的应用；不等式的性质．【分析】根据a ﹣2b +c ＝0，a +2b +c ＜0，可以得到b 与a 、c 的关系，从而可以判断b 的正负和b 2﹣ac 的正负情况，本题得以解决．【解答】解：∵a ﹣2b +c ＝0，a +2b +c ＜0， ∴a +c ＝2b ，b ＝2a c+， ∴a +2b +c ＝（a +c ）+2b ＝4b ＜0， ∴b ＜0，∴b 2-ac ＝22a c +⎛⎫ ⎪⎝⎭-ac ＝22+24a ac c +-ac ＝2224a ac c -+＝22a c -⎛⎫ ⎪⎝⎭≥0，即b ＜0，b 2﹣ac ≥0，故选：D ．【点评】本题考查因式分解的应用、不等式的性质，解答本题的关键是明确题意，判断出b 和b 2﹣ac 的正负情况．12.（2019•呼和浩特11/25）因式分解：x 2y ﹣4y 3＝．【解答】解：原式＝y （x 2﹣4y 2）＝y （x ﹣2y ）（x +2y ）．故答案为：y （x ﹣2y ）（x +2y ）．13.（2018·呼和浩特11/25）分解因式：a 2b ﹣9b ＝ b （a +3）（a ﹣3）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】首先提取公因式b ，进而利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：a 2b ﹣9b ＝b （a 2﹣9）＝b （a +3）（a ﹣3）．故答案为：b （a +3）（a ﹣3）．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题关键． 14.（2018·兴安盟·呼伦贝尔13/26）分解因式：a 3 (x -3)+(3-x ) a= (3)(1)(1)a x a a -+-．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】直接提取公因式(3)a x -，进而利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：3(3)(3)a x x a -+-2(3)(1)a x a =-- (3)(1)(1)a x a a =-+-．故答案为：(3)(1)(1)a x a a -+-．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键． 15.（2018·赤峰13/26）分解因式：2a 2﹣8b 2＝ 2（a ﹣2b ）（a +2b ）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：2a 2﹣8b 2，＝2（a 2﹣4b 2），＝2（a +2b ）（a ﹣2b ）．故答案为：2（a +2b ）（a ﹣2b ）．【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次分解因式．16.（2018·巴彦淖尔11/24）分解因式：8a 2﹣8a 3﹣2a ＝ ﹣2a （2a ﹣1）2 ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】首先提取公因式﹣2a ，进而利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：8a 2﹣8a 3﹣2a ＝﹣2a （4a 2﹣4a +1）＝﹣2a （2a ﹣1）2．故答案为：﹣2a （2a ﹣1）2．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键． 17.分解因式：3x 2－27 = ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【专题】因式分解．【分析】观察原式3x 2﹣27，找到公因式3，提出公因式后发现x 2﹣9符合平方差公式，利用平方差公式继续分解．【解答】解：3x 2﹣27， =3（x 2﹣9）， =3（x +3）（x ﹣3）．故答案为：3（x+3）（x﹣3）．【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次分解因式．18.分解因式：x3y－2x2y+xy =．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【专题】计算题．【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式=xy（x2﹣2x+1）=xy（x﹣1）2．故答案为：xy（x﹣1）2【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．19.分解因式：ma2－mb2= ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】应先提取公因式m，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：ma2﹣mb2，=m（a2﹣b2），=m（a+b）（a﹣b）．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后继续利用平方差公式进行因式分解．20.分解因式：3x2－12= ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】原式提取3，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式=3（x2﹣4）=3（x+2）（x﹣2）．故答案为：3（x+2）（x﹣2）．【点评】本题考查因式分解．因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．公式包括平方差公式与完全平方公式，要能用公式法分解必须有平方项，如果是平方差就用平方差公式来分解，如果是平方和需要看还有没有两数乘积的2倍，如果没有两数乘积的2倍还不能分解．解答这类题时一些学生往往因分解因式的步骤、方法掌握不熟练，对一些乘法公式的特点记不准确而误选其它选项．要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式．21.分解因式：x3－x = .【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【专题】因式分解．【分析】本题可先提公因式x ，分解成x （x 2﹣1），而x 2﹣1可利用平方差公式分解．【解答】解：x 3﹣x ，=x （x 2﹣1），=x （x +1）（x ﹣1）．故答案为：x （x +1）（x ﹣1）．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，先提取公因式后再利用平方差公式继续进行因式分解，分解因式一定要彻底．22.因式分解： x 3y －xy = ．【解析】试题分析：首先提取公因式xy ，再运用平方差公式进行二次分解．3x y ﹣xy =xy （2x ﹣1）=xy （x +1）（x ﹣1）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用23.分解因式：224)(b b a --= ．【考点】因式分解-运用公式法．【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可．【解答】解：（a ﹣b ）2﹣4b 2=（a ﹣b +2b ）（a ﹣b ﹣2b ）=（a +b ）（a ﹣3b ）．故答案为：（a +b ）（a ﹣3b ）．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．24.a ﹣4ab 2分解因式结果是．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】首先提取公因式a ，再利用平方差公式进行二次分解即可．【解答】解：原式=a （1﹣4b 2）=a （1﹣2b ）（1+2b ），故答案为：a （1﹣2b ）（1+2b ）．【点评】此题主要考查了提公因式法和公式法分解因式，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．。

中考数学复习教案七篇

中考数学复习教案七篇中考数学复习教案七篇中考数学复习教案都有哪些？教学设计，激发求知欲和学习兴趣，锻炼积极探索、发现新知识、总结规律的能力，解题时养成归纳总结的良好习惯。

下面是小编为大家带来的中考数学复习教案七篇，希望大家能够喜欢！中考数学复习教案【篇1】【教学目标】知识与技能：了解并掌握数据收集的基本方法。

过程与方法：在调查的过程中，要有认真的态度，积极参与。

情感、态度与价值观：体会统计调查在解决实际问题中的作用，逐步养成用数据说话的良好习惯。

【教学重难点】重点：掌握统计调查的基本方法。

难点：能根据实际情况合理地选择调查方法。

【教学过程】讲授新课像前面提到的收集数据的活动中，全班同学是我们要考察的对象，我们采用问卷对全体同学作了逐一调查，像这样对全体对象进行的调查叫做全面调查。

调查、试验如采用普查可以收集到较全面、准确的数据，但普查的工作量比较大，有时受客观条件(人力、财力等)的限制难以进行，有时由于调查具有破坏性，不允许采用。

在这些情况下，常常采用抽样调查，即从被考察的全体对象中抽出一部分对象进行考察的调查方式。

在一个统计问题中，我们把所要考察对象的全体叫做总体，其中的每一个考察对象叫做个体，从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本(sample)，样本中个体的数目叫做样本容量。

例如，在通过试验考察500只新工艺生产的灯泡的使用寿命时，从中抽取50只进行试验。

这500只灯泡的使用寿命的全体是总体，其中每只灯泡的使用寿命是个体，抽取的50只灯泡的使用寿命是一个样本，50是这个样本的样本容量。

为了使抽取的50只灯泡能很好地反映500只灯泡的情况，抽取时要使每只灯泡逐一进行编号，再把编号写在小纸片上，将小纸片揉成团，放在一个不透明的容器内，充分搅拌后，从中一个个地抽取50个号签。

上面抽取样本的过程中，总体中的各个个体都有相等的机会被抽到，像这样的抽样方法是一种简单随机抽样。

师：以“你知道父母的生日吗”为题在班级进行调查，请设计一张问卷调查表。

专题11 平面直角坐标系(学案)

2021年中考数学一轮专题复习学案11 平面直角坐标系1．平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系．其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面．为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限．【注意】x轴和y轴上的点，不属于任何象限．2．关键点：坐标平面内任意一点M与有序实数对（x，y）的关系是一一对应的．【例1】（2019•白银）中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点（0，–2），“马”位于点（4，–2），则“兵”位于点___________．【分析】如图所示，根据“帅”和“马”的位置，可得原点位置，则“兵”位于（–1，1）．故答案为（–1，1）．【答案】（–1，1）．知识点1：平面直角坐标系知识点梳理典型例题【例2】（2019•台湾）如图的坐标平面上有原点O与A、B、C、D四点，若有一直线l通过点（–3，4）且与y轴垂直，则l也会通过下列哪一点？（）A．A B．B C．C D．D 【分析】如图所示：有一直线L通过点（–3，4）且与y轴垂直，则L也会通过D点．故选D．【答案】D．知识点2：点的坐标及不同位置的特征知识点梳理1. 点的坐标的概念：点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间用“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒．平面内点的坐标是有序实数对，当a≠b时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标．2. 各象限内点的坐标的特征：点P（x，y）在第一象限⇔x＞0，y＞0．点P（x，y）在第二象限⇔x＜0，y＞0．点P（x，y）在第三象限⇔x＜0，y＜0．点P（x，y）在第四象限⇔x＞0，y＜0．3. 坐标轴上的点的特征：点P（x，y）在x轴上⇔y=0，x为任意实数．点P（x，y）在y轴上⇔x=0，y为任意实数．点P（x，y）既在x轴上，又在y轴上⇔x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）．4. 两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征：点P（x，y）在第一、三象限夹角平分线上⇔x与y相等．点P（x，y）在第二、四象限夹角平分线上⇔x与y互为相反数．5. 与坐标轴平行的直线上点的坐标的特征：位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同．位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同．6. 关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征：点P与点P′关于x轴对称⇔横坐标相等，纵坐标互为相反数．点P与点P′关于y轴对称⇔纵坐标相等，横坐标互为相反数．点P与点P′关于原点对称⇔横、纵坐标均互为相反数．7. 点到坐标轴及原点的距离：点P（x，y）到x轴的距离等于|y|．点P（x，y）到y轴的距离等于|x|．点P（x，y8. 点平移后的坐标特征：点P（x，y）向右平移a个单位长度⇔P′（x+a，y）．点P（x，y）向左平移a个单位长度⇔P′（x–a，y）．点P（x，y）向上平移b个单位长度⇔P′（x，y+b）．点P（x，y）向下平移b个单位长度⇔P′（x，y–b）．【例3】（2020•广东3/25）在平面直角坐标系中，点（3，2）关于x轴对称的点的坐标为（）A．（-3，2）B．（-2，3）C．（2，-3）D．（3，-2）【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可．【解答】解：点（3，2）关于x轴对称的点的坐标为（3，-2）．故选：D．【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．【例4】（2019·河南省10/23）如图，在△OAB中，顶点O（0，0），A（﹣3，4），B（3，4），将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D的坐标为（）A．（10，3）B．（﹣3，10）C．（10，﹣3）D．（3，﹣10）【考点】规律型：点的坐标；坐标与图形变化﹣旋转．【分析】先求出AB＝6，再利用正方形的性质确定D（﹣3，10），由于70＝4×17+2，所以第70次旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，每次旋转90°，此时旋转前后的点D关于原点对称，于是利用关于原点对称的点的坐标特征可出旋转后的点D的坐标．【解答】解：∵A（﹣3，4），B（3，4），∴AB＝3+3＝6，典型例题∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝AB＝6，∴D（﹣3，10），∵70＝4×17+2，∴每4次一个循环，第70次旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O 顺时针旋转2次，每次旋转90°，∴点D的坐标为（3，﹣10）．故选：D．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．【例5】（2018·鄂尔多斯14/24）在平面直角坐标系中，对于点P（a，b），我们把Q（﹣b+1，a+1）叫做点P的伴随点，已知A1的伴随点为A2，A2的伴随点为A3，…，这样依次下去得到A1，A2，A3，…，A n，若A1的坐标为（3，1），则A2018的坐标为．【考点】规律型：点的坐标．【分析】根据题意可以分别写出A1的坐标为（3，1）时对应的点A2，A3，A4，A5，从而可以发现其中的规律，进而得到A2018的坐标，本题得以解决．【解答】解：∵点A1的坐标为（3，1），∴A2的坐标为（0，4），A3的坐标为（﹣3，1），A4的坐标为（0，﹣2），A5的坐标为（3，1），∴每连续的四个点一个循环，∵2018÷4＝504…2，∴A2018的坐标为（0，4），故答案为：（0，4）．【点评】本题考查规律型：点的坐标，解答本题的关键是明确题意，发现题目中点的变化规律，求出相应的点的坐标．1.（2019•株洲）在平面直角坐标系中，点A（2，–3）位于哪个象限？（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．在平面直角坐标系中，点P（m–3，4–2m）不可能在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（2019•湘西州）在平面直角坐标系中，将点（2，1）向右平移3个单位长度，则所得的点的坐标是（）A．（0，5）B．（5，1）C．（2，4）D．（4，2）4.（2019•呼伦贝尔•兴安盟3/26）点(4,2)A-关于x轴的对称点的坐标为() A．(4，2)B．(4,2)-C．(4,2)--D．(2,4)-5．（2019•海南）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，1），点B（3，–1），平移线段AB，使点A落在点A1（–2，2）处，则点B的对应点B1的坐标为（）A．（–1，–1）B．（1，0） C．（–1，0）D．（3，0）6.（2019•枣庄）在平面直角坐标系中，将点A（1，–2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，则点A′的坐标是（）A．（–1，1）B．（–1，–2）C．（–1，2）D．（1，2）7．在平面直角坐标系的第二象限内有一点M，点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点M的坐标是（）A．（3，–4）B．（4，–3）C．（–4，3）D．（–3，4）8．已知坐标平面内，线段AB∥x轴，点A（–2，4），AB=1，则B点坐标为（）A．（–1，4）B．（–3，4）C．（–1，4）或（–3，4）D．（–2，3）或（–2，5）9．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，0），判断在M、N、P、Q四点中，满足到点O和点A的距离小于2的点是（）巩固训练A．点P和Q B．点P和M C．点P和N D．点M和N 10.（2019•济宁）已知点P（x，y）位于第四象限，并且x≤y+4（x，y为整数），写出一个符合上述条件的点P的坐标___________．11.（2019•菏泽）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A1，第二次移动到点A2……第n次移动到点A n，则点A2019的坐标是（）A．（1010，0）B．（1010，1）C．（1009，0）D．（1009，1）12.（2019•呼和浩特9/25）已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点A、B、C、D按逆时针依次排列，若A点的坐标为（2B点与D点的坐标分别为（）A．（﹣22）B22）C，2），（2）D．（13．（2019•绥化）在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按图中的规律摆放．点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“OA1→A1A2→A2A3→A3A4→A4A5…”的路线运动，设第n秒运动到点P n（n为正整数），则点P2019的坐标是___________．14．已知点P（2m–6，m+2）．（1）若点P在y轴上，P点的坐标为___________；（2）若点P的纵坐标比横坐标大6，求点P在第几象限？（3）若点Q在过A（2，3）点且与x轴平行的直线上，AQ=3，求Q点的坐标．15．如图，学校植物园的护栏是由两种大小不等的正方形间隔排列组成，将护栏的图案放在平面直角坐标系中，已知小正方形的边长为1米，则A1的坐标为（2，2），A2的坐标为（5，2）．（1）A3的坐标为___________，A n的坐标（用含n的代数式表示）为___________；（2）2020米长的护栏，需要两种正方形各多少个？16.（2018·北京市16/28）2017年，部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情况如图所示，中国创新综合排名全球第22，创新效率排名全球第．17.如图，直线m⊥n,在某平面直角坐标系中，x轴∥m，y轴∥n，点A的坐标为（－4，2），点B的坐标为（2，－4），则坐标原点为（）A ．O 1B ．O 2C ．O 3D ．O 418.（2018·兴安盟·呼伦贝尔8/26）在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(1,3)，以原点O 为中心，将点A 顺时针旋转60︒得到点A '，则点A '的坐标为( )A ．(0,3)B ．(1,3)-C ．(1,3)-D ．(2,0)19.在直角坐标系中，将点（－2，3）关于原点的对称点向左平移2个单位长度得到的点的坐标是（）A ．（4，－3）B ．（－4，3）C ．（0，－3）D ．（0，3）20.在平面直角坐标系中，把点P （－5，3）向右平移8个单位得到点P 1，再将点P 1绕原点旋转90°得到点P 2，则点P 2的坐标是（）A ．（ 3，－3）B ．（－3，3）C ．（3，3）或（－3，－3）D ．（3，－3）或（－3，3）21.如图，△ABC 三个顶点的坐标分别为A （1，1），B （4，2），C （3，4）．（1）请画出△ABC 向左平移5个单位长度后得到的△A 1B 1C 1；（2）请画出△ABC 关于原点对称的△A 2B 2C 2；（3）在x 轴上求作一点P ，使△PAB 的周小最小，请画出△PAB ，并直接写出P 的坐标．1.（2019•株洲）在平面直角坐标系中，点A （2，–3）位于哪个象限？（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】点A 坐标为（2，–3），则它位于第四象限．故选D ．【答案】D ．2．在平面直角坐标系中，点P （m –3，4–2m ）不可能在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】①当m –3＞0，即m ＞3时，–2m ＜–6，4–2m ＜–2．巩固训练解析所以点P（m–3，4–2m）在第四象限，不可能在第一象限；②当m–3＜0，即m＜3时，–2m＞–6，4–2m＞–2．所以点P（m–3，4–2m）可以在第二或三象限．综上所述，点P不可能在第一象限．故选A．【答案】A．3．（2019•湘西州）在平面直角坐标系中，将点（2，1）向右平移3个单位长度，则所得的点的坐标是（）A．（0，5）B．（5，1）C．（2，4）D．（4，2）【分析】将点（2，1）向右平移3个单位长度，则所得的点的坐标是（5，1）．故选B．【答案】B．4.（2019•呼伦贝尔•兴安盟3/26）点(4,2)A-关于x轴的对称点的坐标为() A．(4，2)B．(4,2)--C．(4,2)--D．(2,4)【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标【分析】直接利用关于x轴对称点的性质，横坐标相等，纵坐标互为相反数，进而得出答案．【解答】解：点(4,2)A-关于x轴的对称点为(4,2)．故选：A．【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，利用横纵坐标关系得出是解题关键．5．（2019•海南）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，1），点B（3，–1），平移线段AB，使点A落在点A1（–2，2）处，则点B的对应点B1的坐标为（）A．（–1，–1）B．（1，0） C．（–1，0）D．（3，0）【分析】由点A（2，1）平移后A1（–2，2）可得坐标的变化规律是：左移4个单位，上移1个单位．∴点B的对应点B1的坐标为（–1，0）．故选C．【答案】C．6.（2019•枣庄）在平面直角坐标系中，将点A（1，–2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，则点A′的坐标是（）A．（–1，1）B．（–1，–2）C．（–1，2）D．（1，2）【分析】∵将点A（1，–2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，∴点A′的横坐标为1–2＝–1，纵坐标为–2+3＝1．∴A′的坐标为（–1，1）．故选A．【答案】A．7．在平面直角坐标系的第二象限内有一点M，点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点M的坐标是（）A．（3，–4）B．（4，–3）C．（–4，3）D．（–3，4）【分析】由题意，得x=–4，y=3，即M点的坐标是（–4，3）．故选C．【答案】C．8．已知坐标平面内，线段AB∥x轴，点A（–2，4），AB=1，则B点坐标为（）A．（–1，4）B．（–3，4）C．（–1，4）或（–3，4）D．（–2，3）或（–2，5）【分析】∵坐标平面内，线段AB∥x轴，∴点B与点A的纵坐标相等．∵点A（–2，4），AB=1，∴点B的坐标为（–1，4）或（–3，4）．故选C．【答案】C．9．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，0），判断在M、N、P、Q四点中，满足到点O和点A的距离小于2的点是（）A．点P和Q B．点P和M C．点P和N D．点M和N 【分析】如图，分别以点O和点A为圆心，2为半径画圆，可得满足到点O和点A的距离都小于2的点是点M和N．故选D．【答案】D．10.（2019•济宁）已知点P（x，y）位于第四象限，并且x≤y+4（x，y为整数），写出一个符合上述条件的点P的坐标___________．【分析】∵点P（x，y）位于第四象限，并且x≤y+4（x，y为整数），∴x＞0，y＜0．∴当x＝1时，1≤y+4，解得0＞y≥–3．∴y可以为：–2．∴写一个符合上述条件的点P的坐标可以为：（1，–2）（答案不唯一）．故答案为（1，–2）（答案不唯一）．【答案】（1，–2）（答案不唯一）．11.（2019•菏泽）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A1，第二次移动到点A2……第n次移动到点A n，则点A2019的坐标是（）A．（1010，0）B．（1010，1）C．（1009，0）D．（1009，1）【解析】A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），A5（2，1），A6（3，1），…，2019÷4＝504…3，所以A2019的坐标为（504×2+1，0），则A2019的坐标是（1009，0）．故选C．【答案】C．12.（2019•呼和浩特9/25）已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点A、B、C、D按逆时针依次排列，若A点的坐标为（2B点与D点的坐标分别为（）A．（﹣22B22）C2），（2D．（【解答】解：如图，连接OA、OD，过点A作AF⊥x轴于点F，过点D作DE⊥x轴于点E，易证△AFO ≌△OED （AAS ），∴OE ＝AF DE ＝OF ＝2，∴D 2），∵B 、D 关于原点对称，∴B 2），故选：B ．13．（2019•绥化）在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按图中的规律摆放．点P 从原点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“OA 1→A 1A 2→A 2A 3→A 3A 4→A 4A 5…”的路线运动，设第n 秒运动到点P n （n 为正整数），则点P 2019的坐标是___________．【分析】由题意知，A 1（12，A 2（1，0），A 3（32，A 4（2，0），A 5（52，–，A 6（3，0），A 7（72，…由上可知，每个点的横坐标为序号的一半，纵坐标每6个点依次为：2，0，2，0，–0这样循环，∴A 2019（20192）．故答案为：（20192．【答案】（20192，2）． 14．已知点P （2m –6，m +2）．（1）若点P 在y 轴上，P 点的坐标为___________；（2）若点P 的纵坐标比横坐标大6，求点P 在第几象限？（3）若点Q 在过A （2，3）点且与x 轴平行的直线上，AQ =3，求Q 点的坐标．【分析】（1）∵点P 在y 轴上，点P （2m –6，m +2），∴2m –6=0，解得m =3．∴P 点的坐标为（0，5）．故答案为（0，5）；（2）根据题意得2m –6+6=m +2，解得m =2．∴P 点的坐标为（–2，4）．∴点P 在第二象限；（3）∵点Q 在过A （2，3）点且与x 轴平行的直线上，∴点Q 的纵坐标为3．∵AQ =3，∴点Q 的横坐标为–1或5．∴点Q 的坐标为（–1，3）或（5，3）．【答案】（1）（0，5）；（2）二；（3）（–1，3）或（5，3）．15．如图，学校植物园的护栏是由两种大小不等的正方形间隔排列组成，将护栏的图案放在平面直角坐标系中，已知小正方形的边长为1米，则A 1的坐标为（2，2），A 2的坐标为（5，2）．（1）A 3的坐标为___________，A n 的坐标（用含n 的代数式表示）为___________；（2）2020米长的护栏，需要两种正方形各多少个？【分析】（1）∵A 1的坐标为（2，2），A 2的坐标为（5，2），∴A 1，A 2，A 3，…，A n 各点的纵坐标均为2．∵小正方形的边长为1，∴A 1，A 2，A 3，…，A n 各点的横坐标依次大3．∴A3（5+3，2），A n（3n–1，2）．故答案为（8，2），（3n–1，2）；（2）∵2020÷3=673……1，∴需要小正方形674个，大正方形673个．【答案】（1）（8，2），（3n–1，2）；（2）小正方形674个，大正方形673个．16.（2018·北京市16/28）2017年，部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情况如图所示，中国创新综合排名全球第22，创新效率排名全球第．【考点】点的坐标．【分析】两个排名表相互结合即可得到答案．【解答】解：根据中国创新综合排名全球第22，在坐标系中找到对应的中国创新产出排名为第11，再根据中国创新产出排名为第11在另一排名中找到创新效率排名为第3故答案为：3【点评】本题考查平面直角坐标系中点的坐标确定问题，解答时注意根据具体题意确定点的位置和坐标．17.如图，直线m⊥n,在某平面直角坐标系中，x轴∥m，y轴∥n，点A的坐标为（－4，2），点B的坐标为（2，－4），则坐标原点为（）A．O1 B．O2 C．O3 D．O4【答案】A【考点】平面直角坐标系【解析】方法一：因为A点坐标为（－4，2），所以，原点在点A的右边，也在点A的下边2个单位处，从点B来看，B（2，－4），所以，原点在点B的左边，且在点B的上边4个单位处. 如下图，O1符合.方法二：解：设过A、B的直线的解析式为y=kx+b，∵点A的坐标为（－4，2），点B的坐标为（2，－4），∴2442k bk b=-+⎧⎨-=+⎩，解得：12 kb=-⎧⎨=-⎩.∴直线AB为y= -x -2，∴直线AB经过第二、三、四象限.如图，连接AB，则原点在AB的右上方，∴坐标原点为O 1.故选A.【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，解决问题的关键是掌握待定系数法以及一次函数图象与系数的关系，在一次函数y=kx+b 中，k 决定了直线的方向，b 决定了直线与y 轴的交点位置.已知A 、B 的坐标求得直线AB 的解析式，再判断直线AB 在坐标平面内的位置，最后得出原点的位置.18.（2018·兴安盟·呼伦贝尔8/26）在平面直角坐标系中，点A 的坐标为，以原点O 为中心，将点A 顺时针旋转60︒得到点A '，则点A '的坐标为( )A ．B ．(1,C ．(-D ．(2,0)【考点】坐标与图形变化-旋转【分析】作AB x ⊥轴于点B ，由AB =、1OB =可得30AOy ∠=︒，进而利用旋转解答即可．【解答】解：如图所示：过A 作AB x ⊥轴，点A 的坐标为，1OB ∴=，AB =，2OA ∴=，60AOB ∠=︒，∴将点A 顺时针旋转60︒得到点A '，A '(2,0)，故选：D．【点评】本题考查了坐标与图形的变化-旋转，根据点A的坐标求出60∠=︒，再根据AOB旋转变换只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小确定出点B在OA'上是解题的关键．19.在直角坐标系中，将点（－2，3）关于原点的对称点向左平移2个单位长度得到的点的坐标是（）A．（4，－3）B．（－4，3）C．（0，－3）D．（0，3）【考点】关于原点对称的点的坐标；坐标与图形变化-平移．【分析】根据关于原点的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得关于原点的对称点，根据点的坐标向左平移减，可得答案．【解答】解：在直角坐标系中，将点（﹣2，3）关于原点的对称点是（2，﹣3），再向左平移2个单位长度得到的点的坐标是（0，﹣3），故选：C．【点评】本题考查了点的坐标，关于原点的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数；点的坐标向左平移减，向右平移加，向上平移加，向下平移减．20.在平面直角坐标系中，把点P（－5，3）向右平移8个单位得到点P1，再将点P1绕原点旋转90°得到点P2，则点P2的坐标是（）A．（3，－3）B．（－3，3）C．（3，3）或（－3，－3）D．（3，－3）或（－3，3）【考点】坐标与图形变化-旋转；坐标与图形变化-平移．【专题】分类讨论．分析：首先利用平移的性质得出点P1的坐标，再利用旋转的性质得出符合题意的答案．【解答】解：∵把点P（﹣5，3）向右平移8个单位得到点P1，∴点P1的坐标为：（3，3），如图所示：将点P1绕原点逆时针旋转90°得到点P2，则其坐标为：（﹣3，3），将点P1绕原点顺时针旋转90°得到点P3，则其坐标为：（3，﹣3），故符合题意的点的坐标为：（3，﹣3）或（﹣3，3）．故选：D．【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化，正确利用图形分类讨论得出是解题关键．21.如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．（1）请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；（2）请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2；（3）在x轴上求作一点P，使△PAB的周小最小，请画出△PAB，并直接写出P的坐标．【考点】作图-旋转变换；轴对称-最短路线问题；作图-平移变换．【专题】作图题．【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；（2）根据网格结构找出点A、B、C关于原点的对称点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；（3）找出点A关于x轴的对称点A′，连接A′B与x轴相交于一点，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为所求的点P的位置，然后连接AP、BP并根据图象写出点P的坐标即可．【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示；（2）△A2B2C2如图所示；（3）△P AB如图所示，P（2，0）．【点评】本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，轴对称确定最短路线问题，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．。

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2021中考数学专题复习学案Ⅰ、专题精讲：数学思想是数学内容的进一步提炼和概括，是对数学内容的种本质认识，数学方法是实施有关数学思想的一种方式、途径、手段，数学思想方法是数学发觉、发明的关键和动力．抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力全然之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所表达的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．初中数学的要紧数学思想是化归思想、分类讨论思想、数形结合思想等．本专题专门复习化归思想．所谓化归思想确实是化未知为已知、化繁为简、化难为易．如将分式方程化为整式方程，将代数问题化为几何问题，将四边形问题转化为三角形问题等．实现这种转化的方法有：待定系数法、配方法、整体代人法以及化动为静、由抽象到具体等． Ⅱ、典型例题剖析【例1】（嘉峪关，8 分）如图3－1－1，反比例函数y=－8x 与一次函数y=－x+2的图象交于A 、B 两点．（1）求 A 、B 两点的坐标；（2）求△AOB 的面积．解：⑴解方程组82y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=-+⎩ 得121242;24x x y y ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩ 因此A 、B 两点的坐标分别为A （－2，4）B(4，－2（2）因为直线y=－x+2与y 轴交点D 坐标是(0， 2），因此11222,24422AOD BOD S S ∆∆=⨯⨯==⨯⨯= 因此246AOB S ∆=+=点拨：两个函数的图象相交，说明交点处的横坐标和纵坐标，既适合于第一个函数，又适合于第二个函数，因此依照题意能够将函数问题转化为方程组的问题，从而求出交点坐标．【例2】（自贡，5分）解方程：22(1)5(1)20x x ---+=解：令y= x —1，则2 y 2—5 y +2=0．因此y 1=2或y 2=12 ，即x —1＝2或x —1=12 ．因此x ＝3或x=32 故原方程的解为x ＝3或x=32点拨：专门明显，此为解关于x －1的一元二次方程．假如把方程展开化简后再求解会专门苦恼，因此可依照方程的特点，含未·知项的差不多上含有（x —1）因此可将设为y ，如此原方程就能够利用换元法转化为含有y 的一元二次方程，问题就简单化了．【例3】（达川模拟，6分）如图 3－1－2，梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，对角线AC 、BD 相交于O 点，且AC ⊥BD ，AD=3,BC=5，求AC 的长．解：过 D 作DE ⊥AC 交BC 的延长线于E ，则得AD=CE 、AC=DE ．因此BE=BC+CE=8．因为 AC ⊥BD ，因此BD ⊥DE ．因为 AB=CD ，因此AC ＝BD ．因此GD=DE ．在Rt △BDE 中，BD 2＋DE 2=BE 2因此BD 2BE=4 2 ，即AC=4 2 . 点拨：此题是依照梯形对角线互相垂直的特点通过平移对角线将等腰梯形转化为直角三角形和平行四边形，使问题得以解决．【例4】（新泰模拟，5分）已知△ABC 的三边为a ，b ，c ，且222a b c ab ac bc ++=++，试判定△ABC 的形状．解：因为222a b c ab ac bc ++=++，因此222222222a b c ab ac bc ++=++，即：222()()()0a b b c a c -+-+-= 因此a=b ，a=c ， b=c 因此△ABC 为等边三角形．点拨：此题将几何问题转化为代数问题，利用凑完全平方式解决问题．【例5】（临沂，10分）△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ．若90C ∠=︒，如图l ，依照勾股定理，则222a b c +=。

若△ABC 不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想22a b +与c 2的关系，并证明你的结论．证明：过B 作BD ⊥AC ，交AC 的延长线于D 。

设CD 为x ，则有222BD a x =- 依照勾股定理，得2222()b x a x c ++-=．即2222a b bx c ++=。

∵0,0b x >>，∴20bx >，∴222a b c +<。

点拨：勾股定理是我们专门熟悉的几何知识，关于直角三角形三边具有：222a b c +=的关系，那么锐角三角形、钝角三角形的三边又是如何样的关系呢？我们能够通过作高这条辅助线，将一样三角形转化为直角三角形来确定三边的关系. Ⅲ、同步跟踪配套试题：（60分 45分钟）一、选择题（每题 3分，共 18分） 1．已知|x+y|+（x －2y ）2=0，则（） 1. 1x A y =-⎧⎨=-⎩ 2 . 1x B y =-⎧⎨=-⎩ 2. 1x C y =⎧⎨=⎩ 1.2x D y =⎧⎨=⎩2．一次函数y=kx ＋b 的图象通过点A （0，－2）和B （－3，6）两点，那么该函数的表达式是（）8.2 6 .23A y x B y x =-+=-- 8.8 6 .23C y xD y x =--=--3．设一个三角形的三边长为3，l －2m ，8，则m 的取值范畴是（）A ．0＜m ＜12 B. －5＜m － 2 C ．－2＜m ＜5 D ．－72 ＜m ＜－l4．已知11553x xy yx y x xy y+--=--，则的值为（）A 、72B 、－72C 、27D 、－275．若24(2)16x m x +-+是完全平方式，则m=（） A ．6 B ．4 C ．0 D ．4或06．假如表示a 、b 为两个实数的点在数轴上的位置如图3－l －8所示，那么化简2||()a b a b -++的结果等于（），A ．2aB ．2bC ．－2aD ．－2b 二、填空题（每题2分，共u 分）7．已知抛物线2y ax bx c =++的对称轴为直线x=2，且通过点（5，4）和点（1,4）则该抛物线的解析式为____________．8．用配方法把二次函数 y=x 2＋3x ＋l 写成 y=（x+m ）2＋n 的形式，则y=____________。

9．若分式293x x -+的值为零，则x=________。

10函数y=21x x +-中自变量x 的取值范畴是_______. 11假如长度分别为5、3、x 的三条线段能组成一个三角形，那么x 的范畴是_______. 12 点（1，6）在双曲线y= kx 上，则k=______．三、解答题（l 题12分，其余每题6分，共30分） 13．解下歹方程（组）：（1）2x+123611x x +=--; (2) 3x 6401(1)x x x x -+-=--(3) x+y=10 2x-y=-1⎧⎨⎩ (4) 215x y x y -=-⎧⎨-+=⎩14．已知2286250,x y x y ++++=求代数式 224442y xx xy y x y--+++2x 的值。

15．如图3－l －9，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，∠B=60○，AD=8，BC=14，求梯形ABCD 的周长．16．求直线y=3x ＋1与y=1－5x 的交点坐标。

Ⅳ、同步跟踪巩固试题（100分 80分钟）一、选择题（每题3分，共30分）1．若2440y y ++=，则xy 值等于（） A ．－6 B ．－2 C ．2 D ．6 2．二元一次方程组224x y x y -=⎧⎨+=⎩的解是（）1. 6x A y =⎧⎨=⎩ 2. 2x B y =⎧⎨=⎩ 3 . 2x C y =-⎧⎨=⎩ 3.2x D y =⎧⎨=⎩3．已知214237m n x y --+=-是关于x 的二元一次方程，则m 、n 的值是（） 2. 1m A n =⎧⎨=⎩ 1 . 32m B n =⎧⎪⎨=-⎪⎩ 1. 32m C n =⎧⎪⎨=⎪⎩ 1.52m D n =⎧⎪⎨=⎪⎩ 4．下列各组数中既是方程x —2y=4，又是方程2x+2y =1的解的是（） A. 21x y =⎧⎨=⎩ B. 112x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩ C. 0 2x y =⎧⎨=-⎩ D. 132x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩5．函数y x 的取值范畴是（）A ．x ≥2B ．x ≥0C ．x ≥－2D ．x ≤26．若分式22||2x xx +-值为零，则x 的值是（）A ．0或－2B ．－2C ．0D ．2或－2 7. 运算:20032004=( )..C D 8.已知 x,y2690y y -+=，axy-3x=y,则a=( ) 1177A. . . .4444B C D --9. 已知y=kx+b,x=1时,y=1；x=2,y=-2, 则k 与b 的值为（）k=-1111A. . . .b=1024k k k B C D b b b =-==⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨===-⎩⎩⎩⎩ 10 若2117x ax by y bx ay =+=⎧⎧⎨⎨=+=⎩⎩是方程组的解，则（a ＋b ）（a －b ）的值为（） 3535. .33A B -C ．－16D ．16 二、填空题（每题 3分，共21分）422 ______y m n -=32m n+m 11若7x y 与5x 是同类二次根式，则12若22(25)|41|0x y -++=,则x+ 2 y=______．13两根木棒的长分别为7cm 和10cm ，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形框架，那么，第三根木棒长x(cm ）的范畴是___________;14 若2x-3|+(x-y+1)=02224y x y xy ++15 若点(,5)B(1,3)P a b a b +--与点关于原点对称，则关于x 的二次三项式222b x ax --能够分解为=____________________.16已知点(3,0)(0,3)(1,)A B C m -，，在同一条直线上，则m=____________.17 如图3－1－10，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为12 的矩形，接着把面积为12的矩形等分成两个面积为14 的正方形，再把面积为14 的正方形等分成两个面积为18 的矩形，如此进行下去……试利用图形揭示的规律运算：11111111+++++++=_____248163264128256. 三、解答题（18、19题各10分，20、21 题各8分，22题13分，共49分）18已知：如图3－1－11所示，现有一六边形铁板 ABCDEF ，其中∠A ＝∠D ＝∠C ＝∠D ＝∠E ＝∠F=120°，AB=10cm ，BC=70cm ，CD=20cm ，DE=4 0cm ，求A F 和EF 的长．19已知：如图3-1－12所示，在△ABC 中，E 是BC 的中点，D 在AC 边上，若AC=1且 ∠BAC=60°，∠ABC ＝100°，∠DEC=80°，求ABC CDES +2S∆.20 如图 3－1－13所示，正方形边长为山以各边为直径在正方形内画半圆．求所围成图形（阴影部分）的面积。