高二数学矩阵的运算

240 1 F= D = 3 3 210 3
225 3
255 3 235 3
265 3
75 = 80 70
85 75 78.33 85 83.33 85
(2)求三位同学的学期总评对应的矩阵G
80 90 70 A= 90 80 80 60 80 90
80 90 70 A = 90 80 80
60
80
90
75 85 75 70 80 80 B 70 80 90 C 80 75 85 70 95 85 80 90 80
80 90 70 70 80 80 A 90 80 80 B 70 80 90 60 80 90 80 90 80
850.3+85 075 .380+0.3 900.3+80 70+0.4 75 75 0.4 80 78 75 70 89 85

数与矩阵的乘法满足： 1. 分配律 结合律 k(A+B)=kA+kB (kl)A=k(lA)=l(kA) A-B=A+(-1)B (k+l)A=kA+lA
月份 4月 5月 6月 单价（元） 1.03 0.90 0.61 1.05 用水（m3） 排水（m3） 电（千瓦时） 煤气（m3）
用矩阵运算求： (1)按月计算去第二季度4、5、6月份水、电、煤气的开支费用； (2)分别计算第二季度水、电、煤气的开支费用； (3)计算第二季度水、电、煤气总开支费用。
a1 b1 c1 解：（1）原方程组可以表示为：x a y b c 2 2 2 a1 b1 （2）当向量 a 与 不平行时， 2 b2
由平面向量分解定理知，存在唯一实数
平时 期中 期末 平时 期中 期末 平时 期中 期末
（1）如何用矩阵表示三位同学各科在平时、 期中、期末的成绩？ （2）如何得到这三位同学在平时、期中、期末时， 语文、数学、英语三门课的总成绩？ （3）如何得到这三位同学在期中、期末各科成绩 的增幅？
（4）如何求三位同学的总评成绩？
1. 可用A=(aij)表示矩阵
75 85 75 C 80 75 85 70 95 85
平时、期中、期末总成绩用矩阵D表示，期中、 期末成绩的增幅用矩阵E表示，求矩阵D和E。
225 D=A+B+C= 240 210
255 225 235 255 265 255
甲同学在期末考试中， 语文和数学成绩都有提高， 英语成绩有所下降。
上海八中 许颖 龙春朝 2009年12月9日
为了公平合理真实地反映学生在校学习情况，将平时成 绩的30%，期中考试的30%，期末考试的40%相加生成学 期总评记入学生学习档案。有甲、乙、丙三位同学的语文、 数学、英语三门功课的期中、期末成绩如下表所示： 语文 甲 乙 丙 80 90 60 70 70 80 75 80 70 90 80 80 数学 80 80 90 85 75 95 70 80 90 英语 80 90 80 75 85 85
a1 x,y，使 x a 2 b1 c1 y b c ，即 2 2
方程组有唯一解。
a1 当向量 a 与 2
b1 b 平行时， 2
a1 对任意的x,y，a x a 2
我们把m行n列矩阵的第i行第j列元素用圆括号 括起来表示矩阵，记为A=(aij) 2. 同阶矩阵 若矩阵A和矩阵B的行数与列数分别相等， 则A和B叫做同阶矩阵。
3. 矩阵的相等 若A=(aij)和B=(bij)是同阶矩阵，且矩阵A中每 一个元素与矩阵B中相同位置的元素都相等， 即aij=bij，则称两矩阵相等，记做A=B。
ka1n ka2n kamn
ka11 ka21 kA ( kaij ) ka m1
问题三：(1)计算甲、乙、丙三位同学平时、期中、 期末各科平均成绩对应的矩阵F。
80 A= 90 60
90 70 80 80 80 90
2. 数与矩阵的积 设k为任意实数，把矩阵A的所有元素与k相乘 得到的矩阵叫做矩阵A与实数k的乘积矩阵. 记作：kA （kA=(kaij)）
A (a ij ) mn a11 a 21 a m1 a12 a 22 am 2
ka12 ka22 kam 2
a1n a 2n a mn
问题一：已知A22=
x 6
4 ，B22= y
1 u v 3 ，
若A=B，求x、y、u、v. 解： ∵A=B ∴x=1, y=3, u=4, v=6.
1. 矩阵的和与差 当两个矩阵A，B的行数和列数分别相等时， 将它们对应位置上的元素相加 c =a +b ij ij ij i=1,2,…,m；j=1,2,…,n （相减cij=aijbij） 所得到的矩阵cij称为矩阵A,B的和（差），
7 6 4 6 3、选做题：已知4A+2B= 1 4 5 7 , 2 1 4 1
1 1 2 4 AB= 1 2 1 2 ， 0 4 1 2
(1)求A和B；(2)求7A+5B.
sunb33 sunbet官方网 sunbet www.sunb33.com sunbet sunbet 官方网 sunb33 jor159fhl 了。然而，有些事情不是我们能左右的，就像一辆火车，除非到站，否则不会因为你一个人而停下来。2古宅|突然四周 开始摇晃起来，刚开始只是轻微的摇晃后来越摇越厉害，感觉房子都快倒了山神赶紧跑出去，我也紧跟在后面，站在集 市上，周围顿时都安静下来所有人都抬头看着，云层流动的很快，云层刚开始是白的，后来逐渐变红，再到后面直接变 成了深红色四周都是鲜红的血色太阳和月亮同时出现在天空之中，大地还在持续的晃动，只见周围的房屋由四周向我们 靠拢，不知道是不是错觉我问山神：“你有没有发现周围的房屋在向我们靠拢啊”山神看着四周紧张的说：“是那栋古 宅出事了，他也就是说古宅自身开始进化了，以前出现过一次，那栋古宅自身可以向着更高级的方向进化，这就是它虽 然在我的管辖范围内，却不受我控制，那古宅可能比我还要“高级”的多，现在我们必须马上出去，进入古宅内，才能 知道古宅究竟是怎么回事。”说完，山神就拉着我一顿狂奔，脚下的水的内部开始起了旋涡，周围的鱼也开始四处逃窜， 旋涡从水底带上来许多红色的杂质，水面也涟漪阵阵，看来这里的水有很多层并且很深，可以看到里面有比鲸鱼还有大 的生物，看到一个庞然大物就在自己脚下，当时腿都软了，我们在水面上开始快速的奔跑。山神拽着我，那速度，我几 乎可以感觉到自己在飞了，看着周围陌生的景物我发现已经不是来时的那条路了，我说：“为什么不是来时的那条路了” 山神奔跑的速度更加快了说：“来时的太慢了，那时只是为了让你看看这里的风景，现在没必要了，而且也来不及了”。 听到这里，我脸微微有些发烫。我们跑的这条路越往里越加寒冷，看着四周这里竟是由玉石挖出的道路，颜色是透明到 半透明，翠绿的颜色，而且纯度很高，这应该是很昂贵的翡翠，要是能挖一块也发财了啊我心里想着，我问山神：“这 里竟然有这么多翡翠”。山神回头看来我一眼笑笑说：“这是一条玉脉，滇西是玉石的大量场地，而这里的玉脉是滇西 最好的一块，没有任何杂质，而且即使外表不加油脂也非常温润通透，油亮水润。”我激动地说：“那么厉害，岂不是 发财了”。山神白了我一眼：“那么好的玉，至今都没人敢碰，你以为这很正常吗”。我不甘心地说：“难道是有鬼 啊”。山神说：“是比鬼还可怕的东西”。不知道为什么我居然信了，还起了一层鸡皮疙瘩。终于看到远处有了亮光， 山神的速度很快几乎是飞了，可我一点也没感觉，明明自己也在动啊。我们来到了离宅子不远的地方，看着整个宅子冒 着红光还有白色的烟从里面飘出来，而且那房子居然在上下扭动，且它在长高和长胖，是的，房子自己在生长，那房子 好像很痛苦，一直在扭个不停，也许就是这个原因造成了上体内部的摇晃，房子比原先大了
加法与减法的互化 2. 移项法则
A+B=CA=C-B或B=C-A
a1 x b1 y c1 问题4：已知二元一次方程组 a 2 x b2 y c 2
（1）将二元一次方程组 运算来表示； （2）讨论方程组存在唯一解的条件。
a1 x b1 y c1 用矩阵的 a x b y c 2 2 2
已知
3 1 2 0 7 5 2 4 A 1 5 7 9 , B 5 1 9 7 , 2 4 6 8 3 2 1 6
且A+2X=B，求X。 解：由A+2X=B X 1 ( B A)
2
3 2 2 4 6 4 4 2 1 2 2 1 1 4 4 2 2 = X= 1 1 7 2 1 1 1 7 2 2 2 2
记作:A+B（A-B）
上述运算叫做矩阵的加法（减法）.
问题二：
语文 甲 80 70 75 90 数学 80 85 70 英语 80 75 平时 期中 期末 平时 期中 期末 平时 期中 期末
乙 丙
90 60
70 80
80 70
ຫໍສະໝຸດ Baidu
80 80
80 90
75 95
80 90
90 80
85 85
各科平时成绩用矩阵A表示，期中成绩用矩阵B表示， 期末成绩用矩阵C表示。
70 80 80 B 70 80 90 80 90 80
255 225 235 255 265 255
225 3 255 3 255 3
75 85 75 C 80 75 85 70 95 85
225 240 D = A+B+C = 210
1. 两个同阶矩阵对应位置上的元素相同， 则说这两个矩阵相等。 2. 两个同为m行n列的矩阵加减运算， 是其对应位置的元素相加减。 3. 数与矩阵相乘，是数与其每个元素相乘。
4. 由矩阵的加减法、数乘的定义决定了实数 加减法和乘法的运算律仍适合于矩阵。
1、必做题：练习册：P46/2，P48/5(1)，P49/1 2、思考题：统计你家今年第二季度水、电、煤气使用情况：
70 80 80 B 70 80 90 80 90 80
75 85 75 C 80 75 85 70 95 85
由平时成绩的30%，期中考试的30%，期末考试的40% 相加生成学期总评成绩。 G= 0.3A 0.3B 0.4C =
b1 y b 2
a1 b1 都与 a 或 b 2 2
平行，
c1 若c ，则方程组有无穷多解； c 与a平 行 2 c1 若c ，则方程组无解。 c 与a不 平 行 2
5 E= C-B= 10 -10
5 -5 -5 -5 5 5
1. 只有同阶矩阵的加、减才有意义； 2. 两同阶矩阵的加、减是它们对应位置的元素 相加减； 3. 由实数的加法有交换律和结合律， 可类比得到同阶矩阵的加法满足： 加法的交换律 加法的结合律 A+B=B+A (A+B)+C=A+(B+C)