经典一元二次方程教案

第二十二章一元二次方程

课时划分

本单元教学时间约需16课时，具体分配如下：

22．1 一元二次方程 2课时

22．2 降次──解一元二次方程 7课时

22．3 实际问题与一元二次方程 5课时

发现一元二次方程根与系数的关系 2课时

第1课时 22．1 一元二次方程

（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）•都有等号，是方程．

方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．

一个一元二次方程经过整理化成a x2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b 是一次项系数；c是常数项．

注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.

补充练习:判断下列方程是否为一元二次方程？

(1)3x+2=5y-3 (2) x2=4 (3) 3x2-5

x

=0 (4) x2-4=(x+2) 2(5) a x2+bx+c=0

四、应用拓展

例3．求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．

分析：要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2-8m+17•≠0即可．

证明：m2-8m+17=（m-4）2+1

∵（m-4）2≥0

∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0

∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．

•练习:1.方程（2a—4）x2—2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？

2.当m为何值时,方程(m+1)x／4m／-4+27mx+5=0是关于的一元二次方程

第2课时 22．1 一元二次方程

一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．

．例1．下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？

-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．

分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可．

解：将上面的这些数代入后，只有-2和-3满足方程的等式，所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根．

例2.若x=1是关于x的一元二次方程a x2+bx+c=0(a≠0)的一个根,求代数式2007(a+b+c)的值

练习:关于x的一元二次方程(a-1) x2+x+a 2-1=0的一个根为0,则求a的值

点拨:如果一个数是方程的根,那么把该数代入方程,一定能使左右两边相等,这种解决问题的思维方法经常用到,同学们要深刻理解.

例3．你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？

（1）x2-64=0 （2）3x2-6=0 （3）x2-3x=0

分析：要求出方程的根，就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平方根的意义．

解：略

三、巩固练习

教材P33思考题练习1、2．

四、应用拓展

例3．要剪一块面积为150c m 2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm ，•这块铁片应该怎样剪？ 设长为xcm ，则宽为（x-5）cm 列方程x （x-5）=150，即x 2-5x-150=0 请根据列方程回答以下问题：

（1）x 可能小于5吗？可能等于10吗？说说你的理由．

（2）完成下表：

（3）你知道铁片的长x 是多少吗？

分析：x 2-5x-150=0与上面两道例题明显不同，不能用平方根的意义和八年级上册的整式中的分解因式的方法去求根，•但是我们可以用一种新的方法──“夹逼”方法求出该方程的根． 解：（1）x 不可能小于5．理由：如果x<5，则宽（x-5）<0，不合题意． x 不可能等于10．理由：如果x=10，则面积x 2-5x-150=-100，也不可能．

（2）

（3）铁片长x=15cm

五、归纳小结（1）一元二次方程根的概念； （2）要会判断一个数是否是一元二次方程的根；

（3）要会用一些方法求一元二次方程的根．(“夹逼”方法; 平方根的意义)

第3课时 22.2.1 直接开平方法

一、复习引入

学生活动：请同学们完成下列各题 问题1．填空

（1）x 2-8x+______=（x-______）2；（2）9x 2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x 2+px+_____=（x+______）2． 问题1：根据完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（

2p ）2 2

p

． 问题2：目前我们都学过哪些方程?二元怎样转化成一元？一元二次方程于一元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？ 二、探索新知

上面我们已经讲了x 2=9，根据平方根的意义，直接开平方得x=±3，如果x 换元为2t+1，即（2t+1）2=9，能否也用直接开平方的方法求解呢？ （学生分组讨论）

老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x ，那么2t+1=±3 即2t+1=3，2t+1=-3 方程的两根为t 1=1，t 2=--2

例1：解方程：(1)(2x-1) 2=5 (2)x 2+6x+9=2 (3)x 2-2x+4=-1

例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m 2

提高到14.4m ，求每年人均住房面积增长率．

解一元二次方程 共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．•我们把这种思想称为“降次转化思想”． 三、巩固练习

教材P 36 练习．

补充题：如图，在△ABC 中，∠B=90°，点P 从点B 开始，沿AB 边向点B 以1cm/s•的速度移动，点Q 从点B