解析几何中恒过定点问题的解题策略学案
微专题25解析几何中的定点与定值问题(教学案)
微专题25 解析几何中的定点与定值问题1．通过设点处理强化坐标运算，整体运算，合理消元手段．2．熟悉定点问题的常见处理方法，掌握解决恒等问题的基本方法，培养学生的合理运算能力．3．深刻体会方程思想、转化思想的运用及强化学生对解题流程的分析及把控能力．考题导航1．已知A ，B ，P 是椭圆x a 2＋y b2＝1上不同的三点，且A ，B 连线经过坐标原点，若直线P A ，PB 的斜率乘积k PA ·k PB ＝－23，则该椭圆离心率为________．2．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆T 的方程为x 22＋y 2＝1．设A ，B ，M 是椭圆T 上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角θ，使OM →＝cos θOA →＋sin θOB →． (1)求证：直线OA 与OB 的斜率之积为定值；(2)求OA 2＋OB 2的值．1．已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1．P 是椭圆C 上异于点M ，N (点M ，N 在椭圆上且关于y 轴对称)的任意一点，且直线MP ，NP 分别与y 轴交于点S ，R ，O 为坐标原点，求证：OR →·OS →为定值．1．已知椭圆C ：x 8＋y 4＝1，M (0，2)是椭圆的一个顶点，过点M 分别作直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，设两直线的斜率分别为k 1，k 2，且k 1＋k 2＝8，求出直线AB 恒过定点的坐标．1．已知椭圆x 216＋y 24＝1的左顶点为A ，过点A 作两条弦AM 、AN 分别交椭圆于M 、N 两点，直线AM 、AN 的斜率分别记为k 1、k 2，且满足k 1·k 2＝－2，则直线MN 经过x 轴上的定点为________．1．已知椭圆E ：x 2＋y 2＝1 ，过点(1，0)作直线l 交椭圆E 于P 、Q 两点，试问：在x 轴上是否存在一个定点M ，使得MP →·MQ →为定值？若存在，求出这个定点M 的坐标；若不存在，请说明理由．1．已知圆O ：x 2＋y 2＝1，点P 在直线l ：2x ＋y －3＝0上，M 为直线y ＝x 与直线l 的交点，若在平面内存在定点N (不同于点M )，满足：对于圆O 上任意一点Q ，都有QN QM为定值，则定点N 的坐标为________，定值为________．冲刺强化训练(25) 1．已知圆C ：x 2＋y 2－2tx －2ty ＋4t －4＝0(t ∈R )，当t 变动时，圆C 过定点__________．2．设M 为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)上的任意一点，则M 到双曲线的两条渐近线的距离之积为____． 3．已知AC 、BD 为圆O ：x 2＋y 2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M (1，2)，则AC 2＋BD 2＝_______．4．过直线x ＝4上动点P 作圆O ：x 2＋y 2＝4的切线P A 、PB ，则两切点所在直线AB 恒过一定点，此定点的坐标为________．5．已知P 是椭圆x 212＋y 24＝1上不同于左顶点A 、右顶点B 的任意一点，记直线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2的值为________．6．已知圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝4，O 为坐标原点，A 为平面内一定点，在圆C 上任取一点P ，都有P A ＝2PO ，则点A 的坐标为________．7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝12，A ，B 是椭圆的左，右顶点，P 为椭圆上不同于A ，B 的动点，直线P A ，PB 的倾斜角分别为α，β，则cos(α＋β)cos(α－β)＝________．8．如图，已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，在椭圆C 上任取不同的两点A ，B ，点A 关于x 轴的对称点为A ′，当点A ，B 变化时，若直线AB 经过x 轴上的定点T (1，0)，则直线A ′B 经过x 轴上的定点为________．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F ′、F ，圆F ：(x －3)2＋y 2＝5．若P 为椭圆上任意一点，以点P 为圆心，OP 为半径的圆P 与圆F 的公共弦为QT ，证明：点F 到直线QT 的距离FH 为定值．10．在直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 218＋y 29＝1，过点M (0，－1)的动直线l 与椭圆C 交于 A ，B 两点，试判断以AB 为直径的圆是否恒过定点，并说明理由．11．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左顶点为A ，P ，Q 是椭圆C 上的两个动点． (1)如图，当P ，O ，Q 三点共线时，直线P A ，QA 分别与y 轴交于M ，N 两点，求证：AM →·AN →为定值；(2)设直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，当k 1·k 2＝－1时，求证：直线PQ 经过定点R ．。
恒过定点问题的解题策略
宜兴市丁蜀高级中学高三理科二轮复习微专题恒过定点问题的解题策略一课前热身：1.动直线(2)(34)210()a x a y a a R ++-+-=∈过定点 .2.动圆22(2)(4)440()x y a x a y a a R ++++---=∈过定点 .3.在平面直角坐标系xOy 中,设抛物线x y 42=的焦点为F ,准线为P l ,为抛物线上一点,以P 为圆心的圆与直线l 相切，则圆过定点4.如图，已知圆224x y +=，直线:4l x =，圆O 与x 轴交A ，B 两点， M 是圆O 上异于A ，B 的任意一点，直线AM 交直线l 于点P ，直线BM 交直线l 于点Q .求证：以PQ 为直径的圆C 过定点，并求出定点坐标.二 例题讲评例1. 1.已知椭圆22221(0)xy a b a b +=>>过点3(1,)2，离心率为32．过椭圆右顶点A 的两条斜率乘积为14-的直线分别交椭圆C 于,M N 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）直线MN 是否过定点D ？若过定点D ，求出点D 的坐标；若不过，请说明理由.例2.已知圆M 的方程；4)4(22=+-y x ，点C )0,1(，设P 是圆M 上一动点，在x 轴上是否存在异于C 的定点B ，使得PBPC 恒为定值λ？若存在，求出定点B 的坐标，并求λ的值；若不存在，说明理由.x y O M A B P Q三巩固训练1.已知椭圆22:142x y C +=的上顶点为A ，过A 点引两条直线分别交椭圆于,P Q 两点，设直线,AP AQ 的斜率分别为12,k k .若121k k =-时，问直线PQ 是否过定点2.已知点P 是椭圆C 上任意一点，点P 到直线的距离为，到点的距离为，且.直线与椭圆C 交于不同的两点A,B （A,B 都在轴的上方），且.（1）求椭圆C 的方程；（2）当A 为椭圆与轴正半轴的交点时，求直线的方程；（3）对于动直线，是否存在一个定点，无论如何变化，直线总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，说明理由.1:2l x =-1d ()1,0F -2d 212d d l x 180OFA OFB ∠+∠=y l l OFA ∠l。
[推荐学习]高考数学二轮复习 解析几何 5.8 定值、定点问题学案 理
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§5.8 定值、定点问题【学习目标】1、理解直线与曲线的位置关系；2、能解决直线或曲线中的定值和定点问题。
【学法指导】1.先认真阅读教材和一轮复习笔记，处理好知识网络构建，构建知识体系，形成系统的认识；2.限时30分钟独立、规范完成探究部分，并总结规律方法；3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑；4.重点理解的内容：定值和定点的具体求法。
【高考方向】1. 直线与曲线的位置关系的判断；2. 直线或曲线中的定值和定点问题。
【课前预习】： 一、知识网络构建 1. 如何理解直线过定点？二、高考真题再现(05安徽)已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OB OA +与)1,3(-=a 共线． （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M 为椭圆上任意一点，且),( R OB OA OM ∈+=μλμλ，证明22μλ+为定值．三、基本概念检测1、椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的左、右焦点分别是12,F F ,,过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点,连接12,PF PF ,设12F PF ∠的角平分线PM 交C 的长轴于点(,0)M m ,求m 的取值范围;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过P 点作斜率为k 的直线l ,使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点,设直线12,PF PF 的斜率分别为12,k k ,若0k ≠,试证明1211kk kk +为定值,并求出这个定值.【课中研讨】：例1、已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1经过点(0，3)，离心率为12，直线l 经过椭圆C 的右焦点F 交椭圆A 、B 两点，点A 、F 、B 在直线x ＝4上的射影依次为D 、K 、E .(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 交y 轴于点M ，且MA →＝λAF →，MB →＝μBF →，当直线l 的倾斜角变化时，探求λ＋μ的值是否为定值？若是，求出λ＋μ的值；否则，说明理由；(3)连接AE 、BD ，试探索当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 是否相交于定点？例2、已知动直线l 与椭圆C: 12322=+y x 交于P 11(,)x y 、Q 22(,)x y 两不同点，且△OPQ 的面积OPQ S ∆=其中O 为坐标原点. （Ⅰ）证明2212x x +和2212y y +均为定值;（Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求||||OM PQ ⋅的最大值；（Ⅲ）椭圆C 上是否存在点D,E,G ，使得ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===若存在，判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由.【课后巩固】1、已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明：直线l 过定点．2、如图，已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为22，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点21,F F 为顶点的三角形的周长为)12(4+，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于项点的任一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为A 、B 和C 、D. （Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明：121=⋅k k ；（Ⅲ）是否存在常数λ，使得CD AB CD AB ⋅=+λ恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.3、椭圆的中心为原点O，离心率2e =，一条准线的方程为x = （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）设动点P 满足：OP OM ON =+2uu u r uuu r uuu r，其中,M N 是椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为1-2，问：是否存在两个定点,F F 12，使得PF PF 12+为定值？若存在，求,F F 12的坐标；若不存在，说明理由．【反思与疑惑】：请同学们将其集中在典型题集中。
解析几何中的定点、定值问题教案(定稿)
解析几何中一类定点和定值的问题【教学目标】(l)通过圆的直径的一个简单性质类比到椭圆，学生能通过自主探究得到椭圆的直径的一个性质；(2)会从不同视角证明这个性质；(3)能证明性质成立的充要条件，并能利用性质解决相关问题；(4)通过问题解决领悟其中蕴涵的数学思想方法，在探究与发现中体验数学之美．【教学难、重点】解题思路的优化．【教学方法】探究式、讨论式【教学过程】一、回归问题背景，追溯题根本质。
选修2-1课本（人教版）第41页上例3的一个问题：设点A ，B 的坐标分别为（-5，0）(5，0)，直线,AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为94-，求点M 的轨迹方程。
（斜率之积为94，则为教材55页探究问题） 请同学们思考：问题1 设点A ，B 的坐标分别为（-2，0）(2，0)，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为41-（或41），求点M 的轨迹方程。
答案1422=+y x （y ≠0）（第41页例2）（或1-422=y x （y ≠0）） 你本题采用直接法求轨迹方程，最终发现动点M 的轨迹是双曲线，而且注意到斜率这样一个条件，因此要剔除x 轴上的点，非常好！请同学们继续思考，如果将直线,AM 、BM 的斜率乘积改为-1，则定点M 的轨迹如何？ （为了了解学生对此方法的掌握情况，教师指定一名学生回答）变式：设点A ，B 的坐标分别为（-2，0）(2，0)，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为-1，求点M 的轨迹方程。
答案422=+y x （y ≠0）（可用几何法）通过以上问题，你有什么发现？学生讨论交流后提出了发现：设点A ，B 的坐标分别为（-2，0）(2，0)，直线,AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为k ，求点M 的轨迹方程。
的轨迹可以是直线、圆、椭圆、双曲线等等（剔除某些点）设计意图 作为本节课的引入，问题直接源自课本，入口浅，能有效激发学生兴趣，为后续学习奠定情感基础；另一方面也统领本节课，为接下来的学习埋下伏笔，留下悬念，有利于学生主动去探索研究，可谓寓意深刻值得一提的是，问题提问注意了差异性教学，有些问题鼓励学生自己回答(素质教好学生)；有些问题则指定学生回答（如一名中等生，学困生）二、 提出目标 明确任务什么是定值问题：在变化过程中存在不变量的问题，今天研究解析几何中的定值问题．思考一问题1.设点A ，B 的坐标分别为（-2，0）(2，0)，M （与A,B 不重合）为圆422=+y x 的任意一点，则直线AM 、BM 的斜率之积是不是定值，如果是定值求出定值？问题2.点A,B 为椭圆1422=+y x 长轴上的两个顶点．M （与A,B 不重合）为椭圆的任意一点，则直线AM 、BM 的斜率之积是不是定值，如果是定值求出定值？问题3.点A,B 为双曲线1-422=y x 实轴上的两个顶点．M （与A,B 不重合）为双曲线的任意一点，则直线AM 、BM 的斜率之积是不是定值，如果是定值求出定值？通过几何画板探究结论，要求学生观察完后进行证明。
定值定点问题导学案 (专题三教师版)
定值定点问题导学案一.学习目标：1.掌握圆锥曲线中定点、定值问题的两种常用解题思路。
2.培养数形结合及由特殊到一般的思想。
二.重点难点：在几何问题中，有些几何量的大小和代数表达式不随参数的变化而变化，就构成定值问题；如果满足一定条件的曲线系恒过某些定点，就构成了定点问题。
这一大类问题的解决对运算和恒等变形能力以及数形结合的能力有较高要求。
三.基础训练：1.动直线()()0312=+-++m y m x m ，无论m 取何值时，该直线都过定点A ，则A 点坐标是(-1,-2)2.已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆1322=+y x 上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的 另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是4 33.过抛物线m ：2y ax =(a ＞0)的焦点F 作直线l 交抛物线于,P Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别为,p q ，则11p q --+的值必等于( C ) A ．2a B ．12a C ．4a D ．4a四.典例分析1.已知圆有这样的性质：圆上任取一定点O ，取圆上两动点A,B 满足OA ⊥OB ，那么直线AB 必过圆心。
如图所示，对抛物线24y x =上两个不同的动点A, B 满足OA ⊥OB ，试探究直线AB 是否会恒过定点？解:(法1)设1122(,),(,)A x y B x y ,将直线AB 方程：(0)x my b b =+≠代入24y x =整理得：2440y my b --=12124,4y y m y y b ∴+==- (同类坐标变换——韦达定理)121200OA OB OA OB x x y y ⊥∴⋅=+=即12121212()()x x y y my b my b y y +=+++而………………①2221212(1)()40m y y mb y y b b b =++++=-+= (同点纵、横坐标变换)04AB 4b b x my ≠∴=∴=+直线：恒过定点(4,0)注：在①中若12,x x 的计算不是代入直线方程，而是代入抛物线方程则可得1216y y =-从而4b =(法2)设直线OA 方程: (0)y kx k =≠,直线OB 方程: 1y x k=-xy OAB由24y x y kx⎧=⎨=⎩得244(,)A k k ，同理可得2(4,4)B k k -①1k ≠±当时，直线AB 方程：22222444(4)4(4)414kk k y k x k y k x k k k k++=-∴+=--- 2(4)0k y k x y ∴+-+=可知直线恒过定点(4,0)②1k =±当时，直线AB 方程：4x =也过(4,0) 综上：直线AB 恒过定点(4,0)(法3)设点22(4,4),(4,4),,0A a a B b b a b a b ≠≠且220444401OA OB OA OB a b a b ab ⊥∴⋅=⋅+⋅=∴=-即①a b ≠-当时，直线AB 方程：22224414(4)4(4)44a b y a x a y a x a a b a b--=-∴-=--+ ()4()4a b y x ab a b y x ∴+=+∴+=-AB ∴直线恒过定点(4,0)②a b ≠-当时，则21a =，直线AB 方程：4x =也过(4,0) 综上：直线AB 恒过定点(4,0)(法4)由抛物线的对称性可知定点在x 轴上，取直线OA ：y x =可得直线AB 方程为4x =, 猜测定点为(4,0).下证明直线AB 恒过定点M (4,0), 只需证 AM BM k k =221212121212001616y y OA OB OA OB x x y y y y y y ⊥∴⋅=+=+=∴=-即1212211212(4)(4)44(4)(4)AM BM y y y x y x k k x x x x ----=-=---- 2212121212211212(4)(4)()(1)()0444y y y y y yy x y x y y y y ---=---=--=0AM BM k k ∴-=，所以直线AB 恒过定点M (4,0)思考1：你能否猜出定点的大致位置么,理由是：由抛物线的对称性可得思考2：对于一般的抛物线y 2=2px(p ＞0) ，你可以得到: 对抛物线y 2=2px 上两个不同的动点A, B 满足OA ⊥OB ，直线AB 恒过定点(2p ，0)变式1：若直线过点M(4,0)与抛物线24y x =交于A, B 两点，试问AOB ∠是定值么？ 解：同例1中的法1，令b=4，2121240OA OB x x y y b b ∴⋅=+=-+=cos 02OA OB AOB AOB OA OBπ⋅∴∠==∴∠=⋅变式2：若直线过点M(4,0)与抛物线24y x =交于A, B 两点。
高考数学专题解析几何中的定点与定值问题备考策略与方法
高考数学专题解析几何中的定点与定值问题备考策略与方法定点与定值问题是解析几何中的高频考点，在近几年的考题中层出不穷.圆锥曲线的有关定点、定值等综合性问题涉及圆锥曲线的定义、几何性质、直线与圆锥曲线位置关系等知识，同时又与函数、不等式、方程、平面向量等代数知识紧密联系.求解这类问题时，需要有较强的代数运算能力和图形识别能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算，合理猜想并仔细推理论证，对熟练运用所学知识分析问题、解决问题的能力要求较高，较大部分学生对此类问题望而生畏.定点问题主要是曲线系(直线系)过定点的问题，反映的是数学对象的本质属性，如圆锥曲线的某些特有性质，因此，常见某些具有圆锥曲线的性质背景的题目(如蒙日圆、阿基米德三角形等).定值问题主要涉及面积、面积比、斜率、长度、角度等几何量的定值，也涉及动点运动轨迹中的某些不变因素.处理这两大类问题时可以直接推理求出定点、定值，也可以从特殊情形、极限状态、图形的对称性等方面入手猜测结论，再证明这个点(值)与变量无关，通过特殊值法探求定点、定值能达到事半功倍的效果.同时，要设定合理的变量，准确把握各变量的数量关系，要善于捕捉题目信息，合理变形、消元，并注意整体思想的熟练应用.1定点问题曲线系(直线系)过定点的问题是一类常考题型，这类问题以直线和圆锥曲线为载体，结合其他条件探究或证明直线、曲线过定点或动点在定直线上等问题.试题条件中一般含有两个参数，解题过程就是利用条件消参的过程，因此，此类问题的求解往往伴随着一定的计算. 具体来讲，若是证明直线过定点，可将直线设为斜截式，然后消掉一个参数，即得直线所过的定点；证明圆过定点时，常利用直径所对圆周角为直角转化为向量的数量积恒为零处理；证明其他曲线过定点的问题时，经常将曲线中的参变量集中在一起，令其系数等于零，解得定点.总结起来，应注意如下几点:首先，仔细研究题干，认清问题本质，找准思路，预计求解过程中遇到的各种情况，也就是要想得明白，思路通畅可操作；其次，找准主元，引入参数，建立各个量间的数量关系，运用消元变形、推理运算等手段证明定点、定值问题；再次，要努力突破计算关、心理关，认真仔细计算、准确规范，随时检查，树立信心，只要方向正确就一算到底；最后，必须树立数形结合意识，善于把握问题的特定信息，运用对称性、特殊性猜想定点、定值，然后证明，要仔细分析图中的点、线等关系，挖掘隐含条件，往往能取得出奇制胜的效果.2定值问题定值问题与最值问题属同一类问题，都是在一个运动变化过程中，由某个变量的变化引起另一个量的变化或不变的问题.此类问题的求解的一种思路是找准变化的主元，设为参数，建立参变量与其他量的关系(如函数关系、方程关系、不等式关系等)，探求目标式，通过代数运算将目标式用参变量表示出来，这一步是求解的难点也是关键所在，然后再恒等变形得到定值.另一种思路是通过特殊值或极端情形探索出定值是多少，然后进行一般性计算或证明，探索出的定值也可以作为检验结果正确与否的试金石.模拟题结束语高三数学复习的目的之一就是总结解题规律和方法，同时创新性地预见并解决未来可能面临的问题.本文介绍的复习方法与策略，就是试图解决“对于高考中出现的新问题如何进行有效备考”的问题，并通过问题及其变式，培养学生的创新思维.。
解析几何中的定点、定值问题教案
解析几何中的定点和定值问题【教学目标】学会合理选择参数（坐标、斜率等）表示动态几何对象和几何量，探究、证明动态图形中的不变性质(定点、定值等)，体会“设而不求”、“整体代换”在简化运算中作用．【教学难、重点】解题思路的优化．【教学方法】讨论式【教学过程】一、基础练习1、过直线4x =上动点P 作圆224O x y +=：的切线PA PB 、，则两切点所在直线AB 恒过一定点．此定点的坐标为_____________________．2、已知PQ 是过椭圆22:21C x y +=中心的任一弦，A 是椭圆C 上异于P Q 、的任意一点．若AP AQ 、 分别有斜率12k k 、 ，则12k k ⋅=______________．3，过右焦点F 作不垂直于x 轴的直线交椭圆于A 、B 两点， 的垂直平分线交x 轴于N ，则_______.4，F A ,是其左顶点和左焦点，P 是圆222b y x =+ 上的动点，若PF=常数，则此椭圆的离心率是 . 二、典型例题例１、如图，椭圆C ： 22142x y +=的左顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线PA ，QA 分别与y 轴交于M ，N 两点． 试问以MN 为直径的圆是否经过定点（与直线PQ 的斜率无关）？请证明你的结论．例2、已知离心率为e 的椭圆C (1)e ，和()20，. (1) 求椭圆C 的方程；(2) 已知AB MN 、为椭圆C 上的两动弦，其中M N 、关于原点O 对称，AB 过动点(,0),(22)E m m -<<，且AB MN 、斜率互为相反数. 试问：直线AM BN 、的斜率之和是否为定值？证明你的结论.例3、已知椭圆E 的中心在原点,焦点在x 轴上,1,离心率为e. ﹙1﹚求椭圆E 的方程.﹙2﹚过点(1,0)作直线l 交E 于P 、Q 两点,试问：在x 轴上是否存在一个定点M ,使MP MQ 为定值?若存在,求出这个定点M 的坐标；若不存在,请说明理由.三、回顾反思1A 、B 是其左、右顶点，动点M 满足MB ⊥AB ，连结AM 交椭圆于点P ，在A 、B 的定点Q ，以MP 为直径的圆经过直线BP 、MQ 的交点，则点Q 的坐标为____________．2、已知P B 的任意一点，记直线P A ，PB 3是椭圆的左右顶点，P 为椭圆上不同于AB 的动点，直线PA,PB 的倾斜角分别为,αβ，则= .4、如图所示，已知椭圆C C 上任取不同两点A ，B ，点A 关于x 轴的对称点为'A ，当A ，B AB 经过x 轴上的定点T (1，0)，则直线'A B直线交椭圆于于,M N 两点，令 6、已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为()120F -，，点(B 在椭圆C 上，直线()0y kx k =≠与椭圆C 交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）以MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．7、已知椭圆C: 2222x y a b+=1（a >0，b >0A (1在椭圆C 上． (I)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O 为圆心的圆，满 足此圆与l 相交于两点P 1，P 2（两点均不在坐标轴上），且使得直线OP 1，OP 2的斜率之 积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由．8、已知椭圆C 1：22221(0)y x a b a b+=>>，且过定点M (1． (1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线l ：1()3y kx k =-∈R 与椭圆C 交于A 、B 两点，试问在y 轴上是否存在定点P ，使得以弦AB 为直径的圆恒过P 点？若存在，求出P 点的坐标，若不存在，说明理由．。
解析几何定点问题解法全解析
解：直接设MN直线方程为 x my n
设M(x1,y1),N(x2,y2),P(t,4)
解法三：直接用两个参数写出直线方程，再研究两个参数之间的关系得出定点
解：直接设MN直线方程为 x my n 因为M,A,P三点共线得 kMA kPA
设M(x1,y1),N(x2,y2),P(t,4)
即 2 y1 2
t
x1
解法三：直接用两个参数写出直线方程，再研究两个参数之间的关系得出定点
解：直接设MN直线方程为 x my n 因为M,A,P三点共线得 kMA kPA 同理N,B,P三点共线得 kNB kPB
设M(x1,y1),N(x2,y2),P(t,4)
即 2 y1 2
x2 1
x2 2
9( y1 2)2 ( y2 2)2
4
y2 1
4
y2 2
9(2 y1) 2 y2 2 y1 2 y2
即 2 y1 2
t
x1
即 6 y2 2
t
x2
解法三：直接用两个参数写出直线方程，再研究两个参数之间的关系得出定点
解：直接设MN直线方程为 x my n
设M(x1,y1),N(x2,y2),P(t,4)
因为M,A,P三点共线得 kMA kPA
即 2 y1 2
t
x1
t
x1
即 6 y2 2
t
x2
解法三：直接用两个参数写出直线方程，再研究两个参数之间的关系得出定点
解：直接设MN直线方程为 x my n 因为M,A,P三点共线得 kMA kPA
同理N,B,P三点共线得 kNB kPB
高中数学解析几何中的求过定点问题解题技巧
解析几何中的求过定点问题解题技巧一、引理：过原点两直线与二次曲线一条直线与一个二次曲线交于两点A ﹑B,如图； 设直线AB 方程为mkx y += ① 曲线方程为fey dx cxy by ax +++++22=0 ②必含有xy 项，即0≠c ）将①化为mkxy -=1, ②化为22⋅+++dx cxy by ax 将mkx y -=10)(222=-⋅+-⋅+-⋅+++mkx y f m kx y ey m kx y dx cxy by ax ④显然④是一个二次齐次式，且一定可化为022=++Cx Bxy Ay即：0)()(2=++C xy B x y A ⑤⑤中x y的几何意义为A 、B 两点（即AB 直线与曲线的交点）与原点连线的斜率，即OA 、OB 的斜率，设为 21,k k 。
由韦达定理知从而，能通过最初的二次曲线和直线AB 相交，得出OA 、OB 的性质。
倒过来，我们也可以通过OA 和OB 的性质与二次曲线得出直线AB 的性质。
下面谈一谈的这个引理的应用，先从简单的例1开始，因为简单的问题往往蕴含了最基本的方法。
二、应用举例例1.抛物线px y 22=,过原点的两条垂直的直线OA ，OB 交抛物线于A 、B 。
,21A B k k -=+A Ck k =⋅21。
求证：直线AB 过x 轴上一定点。
分析：知道OA 与OB 的一个性质：垂直，从而可以从它得出AB 的性质，进而得出定点。
解：设AB ：n my x +=( 显然AB 不能横着） ① 抛物线：px y 22= ②①化为n myx -=1代入②（目的化为二次齐次式）得 n my x px y -⋅=22 即022=-⋅-nmyx px y ③ ③可化为022=++Cx Bxy Ay0)()(2=++C xy B x y A 其中1=A n pC 2-=∴ npA C k k OB OA 2-==⋅ 又1-=⋅OB OA k k （因OA 与OB 垂直） ∴p n 2=， ∴ AB 恒过点（2p ．0)说明：没有必要求出B 值，因为目标与B 值无关，从而减少了运算量！ 下面的这个例子是过一点引两直线，但此点不在原点的。
初中定点问题解题技巧教案
初中定点问题解题技巧教案教学目标：1. 理解定点问题的概念和特点；2. 学会运用图形和几何性质解决定点问题；3. 掌握定点问题的解题方法和技巧；4. 能够独立解决初中数学中的定点问题。
教学重点：1. 定点问题的概念和特点；2. 运用图形和几何性质解决定点问题；3. 定点问题的解题方法和技巧。
教学难点：1. 理解定点问题的几何性质；2. 灵活运用解题方法和技巧。
教学准备：1. 教师准备相关定点问题的例题和练习题；2. 学生准备笔记本和文具。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾平面几何的基本概念，如点、线、角等；2. 提问：什么是定点问题？请大家举例说明。
二、讲解定点问题的概念和特点（10分钟）1. 解释定点问题的定义：在平面几何中，定点问题是指在给定的条件下，求解某个点的坐标或位置的问题；2. 分析定点问题的特点：定点问题通常涉及到点的运动和变化，需要运用动态思维和几何性质进行解决；3. 强调定点问题的解题关键是理解和运用几何性质。
三、讲解定点问题的解题方法和技巧（15分钟）1. 方法一：图形法a. 画出题目中给定的图形；b. 根据题目条件，分析图形的性质和变化；c. 通过图形的变化，找出解题的突破口，得出答案。
2. 方法二：方程法a. 根据题目条件，建立适当的方程；b. 解方程，得出答案；c. 验证答案是否符合题意。
3. 方法三：代入法a. 根据题目条件，假设某个点的坐标或位置；b. 将假设的坐标或位置代入题目中的方程或条件；c. 验证假设的坐标或位置是否符合题意。
四、经典例题讲解（15分钟）1. 出示经典例题，引导学生独立思考和解答；2. 讲解例题的解题思路和技巧；3. 引导学生总结例题的解题规律。
五、练习巩固（10分钟）1. 出示练习题，让学生独立解答；2. 引导学生运用所学的解题方法和技巧；3. 讲解练习题的答案和解题思路。
六、总结和反思（5分钟）1. 让学生回顾本节课所学的内容和解题技巧；2. 提问：你们在解题过程中遇到了哪些困难和问题？如何解决？3. 引导学生总结解题经验和教训。
新课标版高考数学二轮复习难点2.10解析几何中的定值定点和定线问题教学案理
解析几何中的定值、定点和定线问题解析几何中的定值、定点、定线问题仍是高考考试的重点与难点，该类问题知识综合性强,方法灵活,对运算能力和推理能力要求较高,因而成为了高中数学学习的重点和难点.主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考查定值、定点、定线问题，试题难度较大．定点、定值、定线问题都是探求"变中有不变的量".因此要用全面的、联系的、发展的观点看待并处理此类问题.从整体上把握问题给出的综合信息,并注意挖掘问题中各个量之间的相互关系,恰当适时地运用函数与方程、转化与化归、数形结合、分类讨论、特殊到一般、相关点法、设而不求、换元、消元等基本思想方法. 在解答这类问题过程中，既有探索性的历程，又有严密的逻辑推理及复杂的运算，成为考查学生逻辑思维能力、知识迁移能力和运算求证能力的一道亮丽的风景线，真正体现了考试大纲中“重知识，更重能力”的指导思想．复习时不能把目标仅仅定位在知识的掌握上，要在解题方法、解题思想上深入下去.解析几何中基本的解题方法是使用代数方程的方法研究直线、曲线的某些几何性质，代数方程是解题的桥梁，要掌握一些解方程(组)的方法，掌握一元二次方程的知识在解析几何中的应用，掌握使用韦达定理进行整体代入的解题方法；其次注意分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想等的应用．1解析几何中的定值问题在解析几何中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题时，要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，一种思路是进行一般计算推理求出其结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法等导出所求定值关系所需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果；另一种思路是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值，揭开神秘的面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口，将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三角形式，证明该式是恒定的.同时有许多定值问题，通过特殊探索法不但能够确定出定值，还可以为我们提供解题的线索.如果试题是客观题形式出现，特珠化方法往往比较奏效.例1【百校联盟2018届一月联考】已知点，过点且与轴垂直的直线为，轴，交于点，直线垂直平分，交于点.（1）求点的轨迹方程；（2）记点的轨迹为曲线，直线与曲线交于不同两点，且（为常数），直线与平行，且与曲线相切，切点为，试问的面积是否为定值.若为定值，求出的面积；若不是定值，说明理由.思路分析：（1）根据抛物线的定义可得点M的轨迹，根据待定系数法可得轨迹方程．（2）设直线的方程为，与抛物线方程联立消元后可得中点．同样设出切线方程，与抛物线方程联立消元后可得切点的坐标为，故得轴．于是，由此通过计算可证得的面积为定值．点评：圆锥曲线中求定值问题常见的方法(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)由题意得到目标函数，直接通过推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到目标函数的取值与变量无关，从而证得定值．定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.定值问题同证明问题类似，在求定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定值显现. 定值问题的主要处理方法是函数方法，首先，选择适当的量为变量，然后把证明为定值的量表示为上述变量的函数（可能含多元），最后把得到的函数解析式化简，消去变量得到定值.消去变量的过程中，经常要用到点在曲线上进行坐标代换消元.有时先从特殊情形入手，求出定值，再对一般情形进行证明，这样可使问题的方向更加明确.另外。
2021版高考数学一轮复习第八章平面解析几何8.8圆锥曲线中的定点、定值问题教学案苏教版
第八节 圆锥曲线中的定点、定值问题[最新考纲] 会证明与曲线上动点有关的定值问题，会处理动曲线(含直线)过定点的问题．考点1 定点问题直线过定点1.动直线l 过定点问题的基本思路设动直线方程(斜率存在)为y ＝kx ＋t ，由题设条件将t 用k 表示为t ＝mk ，得y ＝k (x ＋m )，故动直线过定点(－m,0)．2．动直线l 过定点问题的解题步骤第一步：设AB 直线y ＝kx ＋m ，联立曲线方程得根与系数关系，Δ求出参数范围； 第二步：由AP 与BP 关系(如k AP ·k BP ＝－1)，得一次函数k ＝f (m )或者m ＝f (k )； 第三步：将k ＝f (m )或者m ＝f (k )代入y ＝kx ＋m ，得y ＝k (x －x 定)＋y 定．(2017·全国卷Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，四点P 1(1,1)，P 2(0,1)，P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，P 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上．(1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．[解](1)由于P 3，P 4两点关于y 轴对称，故由题设知椭圆C 经过P 3，P 4两点． 又由1a 2＋1b 2＞1a 2＋34b 2知，椭圆C 不经过点P 1，所以点P 2在椭圆C 上． 因此⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2.如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t |＜2，可得A ，B 的坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫t ，4－t 22，⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－4－t 22，则k 1＋k 2＝4－t 2－22t －4－t 2＋22t ＝－1，得t ＝2，不符合题设．从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1)．将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2 ＝2kx 1x 2＋m －1x 1＋x 2x 1x 2.由题设k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0. 即(2k ＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km 4k 2＋1＝0，解得k ＝－m ＋12.当且仅当m ＞－1时，Δ＞0，于是l ：y ＝－m ＋12x ＋m ，即y ＋1＝－m ＋12(x －2)，所以l 过定点(2，－1)．本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0a 2－b2a 2＋b 2，y 0b 2－a 2a 2＋b 2.本题还可以拓展为“手电筒”模型：只要任意一个限定AP 与BP 条件(如k AP ·k BP ＝定值，k AP ＋k BP ＝定值)，直线AB 依然会过定点．[教师备选例题]过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 且斜率为k 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，且|AB |＝8. (1)求l 的方程；(2)若A 关于x 轴的对称点为D ，求证：直线BD 过定点，并求出该点的坐标． [解](1)易知点F 的坐标为(1,0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，由题意知k ≠0，且Δ＝[－(2k 2＋4)]2－4k 2·k 2＝16(k 2＋1)＞0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k2，x 1x 2＝1，由抛物线的定义知|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8， ∴2k 2＋4k2＝6，∴k 2＝1，即k ＝±1， ∴直线l 的方程为y ＝±(x －1)．(2)由抛物线的对称性知，D 点的坐标为(x 1，－y 1)，直线BD 的斜率k BD ＝y 2＋y 1x 2－x 1＝y 2＋y 1y 224－y 214＝4y 2－y 1， ∴直线BD 的方程为y ＋y 1＝4y 2－y 1(x －x 1)， 即(y 2－y 1)y ＋y 2y 1－y 21＝4x －4x 1，∵y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，x 1x 2＝1，∴(y 1y 2)2＝16x 1x 2＝16，即y 1y 2＝－4(y 1，y 2异号)， ∴直线BD 的方程为4(x ＋1)＋(y 1－y 2)y ＝0，恒过点(－1,0)．1.已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点A (1,2)为抛物线C 上一点．(1)求抛物线C 的方程；(2)若点B (1，－2)在抛物线C 上，过点B 作抛物线C 的两条弦BP 与BQ ，如k BP ·k BQ ＝－2，求证：直线PQ 过定点．[解](1)若抛物线的焦点在x 轴上，设抛物线方程为y 2＝ax ，代入点A (1,2)，可得a ＝4，所以抛物线方程为y 2＝4x .若抛物线的焦点在y 轴上，设抛物线方程为x 2＝my ，代入点A (1,2)，可得m ＝12，所以抛物线方程为x 2＝12y .综上所述，抛物线C 的方程是y 2＝4x 或x 2＝12y .(2)证明：因为点B (1，－2)在抛物线C 上，所以由(1)可得抛物线C 的方程是y 2＝4x . 易知直线BP ，BQ 的斜率均存在，设直线BP 的方程为y ＋2＝k (x －1)， 将直线BP 的方程代入y 2＝4x ，消去y ，得k 2x 2－(2k 2＋4k ＋4)x ＋(k ＋2)2＝0.设P (x 1，y 1)，则x 1＝k ＋22k 2，所以P ⎝⎛⎭⎪⎫k ＋22k 2，2k ＋4k .用－2k替换点P 坐标中的k ，可得Q ((k －1)2,2－2k )，从而直线PQ 的斜率为2k ＋4k－2＋2kk ＋22k 2－k －12＝2k 3＋4k －k 4＋2k 3＋4k ＋4 ＝2k－k 2＋2k ＋2，故直线PQ 的方程是y －2＋2k ＝2k －k 2＋2k ＋2·[x －(k －1)2]．在上述方程中，令x ＝3，解得y ＝2， 所以直线PQ 恒过定点(3,2)．2．已知圆x 2＋y 2＝4经过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点和两个顶点，点A (0,4)，M ，N 是椭圆C 上的两点，它们在y 轴两侧，且∠MAN 的平分线在y 轴上，|AM |≠|AN |.(1)求椭圆C 的方程； (2)证明：直线MN 过定点．[解](1)圆x 2＋y 2＝4与x 轴交于点(±2,0)，即为椭圆的焦点，圆x 2＋y 2＝4与y 轴交于点(0，±2)， 即为椭圆的上下两顶点，所以c ＝2，b ＝2. 从而a ＝22，因此椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明：设直线MN 的方程为y ＝kx ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 28＋y24＝1，消去y 得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4km 2k 2＋1，x 1x 2＝2m 2－82k 2＋1.直线AM 的斜率k 1＝y 1－4x 1＝k ＋m －4x 1； 直线AN 的斜率k 2＝y 2－4x 2＝k ＋m －4x 2. k 1＋k 2＝2k ＋m －4x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋m －4－4km 2m 2－8＝16k m －12m 2－8. 由∠MAN 的平分线在y 轴上，得k 1＋k 2＝0. 又因为|AM |≠|AN |，所以k ≠0，所以m ＝1. 因此，直线MN 过定点(0,1)．动圆过定点动圆过定点问题求解时可以先取特殊值或者极值，找出这个定点，再用向量法证明用直径所对圆周角为直角．(2019·北京高考)已知抛物线C ：x 2＝－2py 经过点(2，－1)．(1)求抛物线C 的方程及其准线方程；(2)设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y ＝－1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．[解](1)由抛物线C ：x 2＝－2py 经过点(2，－1)，得p ＝2. 所以抛物线C 的方程为x 2＝－4y ，其准线方程为y ＝1.(2)抛物线C 的焦点为F (0，－1)，设直线l 的方程为y ＝kx －1(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2＝－4y 得x 2＋4kx －4＝0.设M ()x 1，y 1，N ()x 2，y 2，则x 1x 2＝－4. 直线OM 的方程为y ＝y 1x 1x .令y ＝－1，得点A 的横坐标x A ＝－x 1y 1. 同理得点B 的横坐标x B ＝－x 2y 2. 设点D (0，n )，则DA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 1y 1，－1－n ，DB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2y 2，－1－n ，DA →·DB →＝x 1x 2y 1y 2＋(n ＋1)2＝x 1x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 214⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 224＋(n ＋1)2 ＝16x 1x 2＋(n ＋1)2＝－4＋(n ＋1)2.令DA →·DB →＝0，即－4＋(n ＋1)2＝0，则n ＝1或n ＝－3. 综上，以AB 为直径的圆经过y 轴上的定点(0,1)和(0，－3)．动圆过定点问题本质上是向量垂直的问题.(2019·苏州二模)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，焦点到相应准线的距离为33.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)如图，已知P (t,0)为椭圆E 外一动点，过点P 分别作直线l 1和l 2，直线l 1和l 2分别交椭圆E 于点A ，B 和点C ，D ，且l 1和l 2的斜率分别为定值k 1和k 2，求证：PA ·PBPC ·PD为定值．[解](1)设椭圆的半焦距为c ，由已知得，c a ＝32，a 2c －c ＝33，c 2＝a 2－b 2， 解得a ＝2，c ＝3，b ＝1， ∴椭圆E 的标准方程是x 24＋y 2＝1.(2)由题意，得直线l 1的方程为y ＝k 1(x －t )，代入椭圆E 的方程中， 并化简得，(1＋4k 21)x 2－8k 21tx ＋4k 21t 2－4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1,2＝4k 21t ±24k 21－k 21t 2＋11＋4k 21. x 1＋x 2＝8k 21t 1＋4k 21，x 1x 2＝4k 21t 2－41＋4k 21.因为PA ＝1＋k 21|x 1－t |，PB ＝1＋k 21|x 2－t |，所以PA ·PB ＝(1＋k 21)|x 1－t ||x 2－t |＝(1＋k 21)|t 2－(x 1＋x 2)t ＋x 1x 2|＝(1＋k 21)⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 2－8k 21t 21＋4k 21＋4k 21t 2－41＋4k 21＝1＋k 21|t 2－4|1＋4k 21， 同理，PC ·PD ＝1＋k 22|t 2－4|1＋4k 22. 因为k 1，k 2为定值，所以PA ·PB PC ·PD ＝1＋k 211＋4k 221＋k 221＋4k 21为定值． 考点2 定值问题圆锥曲线中定值问题的2大解法(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； (2)引起变量法：其解题流程为在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)是椭圆C 上两个动点，直线OP ，OQ 的斜率分别为k 1，k 2，若m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12，y 1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，y 2，m·n＝0.(1)求证：k 1·k 2＝－14；(2)试探求△OPQ 的面积S 是否为定值，并说明理由． [解](1)证明：∵k 1，k 2均存在，∴x 1x 2≠0. 又m·n ＝0，∴x 1x 24＋y 1y 2＝0，即x 1x 24＝－y 1y 2，∴k 1·k 2＝y 1y 2x 1x 2＝－14. (2)①当直线PQ 的斜率不存在，即x 1＝x 2，y 1＝－y 2时，由y 1y 2x 1x 2＝－14，得x 214－y 21＝0.又∵点P (x 1，y 1)在椭圆上，∴x 214＋y 21＝1，∴|x 1|＝2，|y 1|＝22.∴S △POQ ＝12|x 1||y 1－y 2|＝1. ②当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋b .联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 24＋y 2＝1，消去y 并整理得(4k 2＋1)x 2＋8kbx ＋4b 2－4＝0，其中Δ＝(8kb )2－4(4k 2＋1)(4b 2－4)＝16(1＋4k 2－b 2)>0，即b 2<1＋4k 2. ∴x 1＋x 2＝－8kb 4k 2＋1，x 1x 2＝4b 2－44k 2＋1.∵x 1x 24＋y 1y 2＝0，∴x 1x 24＋(kx 1＋b )(kx 2＋b )＝0，得2b 2－4k 2＝1(满足Δ>0)．∴S △POQ ＝12|b |1＋k 2|PQ |＝12|b |x 1＋x 22－4x 1x 2＝2|b |4k 2＋1－b24k 2＋1＝1.综合①②知△POQ 的面积S 为定值1.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值；(2)求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．[教师备选例题]已知动圆P 经过点N (1,0)，并且与圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝16相切． (1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)设G (m,0) 为轨迹C 内的一个动点，过点G 且斜率为k 的直线l 交轨迹C 于A ，B 两点，当k 为何值时，ω＝|GA |2＋|GB |2是与m 无关的定值？并求出该定值．[解](1)由题意，设动圆P 的半径为r ，则|PM |＝4－r ，|PN |＝r ，可得|PM |＋|PN |＝4－r ＋r ＝4，∴点P 的轨迹C 是以M ，N 为焦点的椭圆，∴2a ＝4,2c ＝2，∴b ＝a 2－c 2＝3，∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.即点P 的轨迹C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知－2＜m ＜2，直线l ：y ＝k (x －m )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －m ，x 24＋y23＝1，得(3＋4k 2)x 2－8k 2mx ＋4k 2m 2－12＝0，∴x 1＋x 2＝8mk 24k 2＋3，x 1x 2＝4m 2k 2－124k 2＋3， ∴y 1＋y 2＝k (x 1－m )＋k (x 2－m )＝k (x 1＋x 2)－2km ＝－6mk4k 2＋3，y 1y 2＝k 2(x 1－m )(x 2－m )＝k 2x 1x 2－k 2m (x 1＋x 2)＋k 2m 2＝3k2m 2－44k 2＋3， ∴|GA |2＋|GB |2＝(x 1－m )2＋y 21＋(x 2－m )2＋y 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2－2m (x 1＋x 2)＋2m 2＋(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝(k 2＋1)[－6m24k 2－3＋243＋4k2]4k 2＋32.要使ω＝|GA |2＋|GB |2的值与m 无关，需使4k 2－3＝0， 解得k ＝±32，此时ω＝|GA |2＋|GB |2＝7. 1.已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (1,2)，过点Q (0,1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N .(1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)设O 为原点，QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，求证：1λ＋1μ为定值．[解](1)因为抛物线y 2＝2px 过点(1,2)， 所以2p ＝4，即p ＝2. 故抛物线C 的方程为y 2＝4x .由题意知，直线l 的斜率存在且不为0. 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋1，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.依题意Δ＝(2k －4)2－4×k 2×1＞0， 解得k ＜0或0＜k ＜1.又PA ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点(1，－2)． 从而k ≠－3.所以直线l 斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3,0)∪(0,1)． (2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由(1)知x 1＋x 2＝－2k －4k 2，x 1x 2＝1k2.直线PA 的方程为y －2＝y 1－2x 1－1(x －1)． 令x ＝0，得点M 的纵坐标为y M ＝－y 1＋2x 1－1＋2＝－kx 1＋1x 1－1＋2.同理得点N 的纵坐标为y N ＝－kx 2＋1x 2－1＋2.由QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，得λ＝1－y M ，μ＝1－y N . 所以1λ＋1μ＝11－y M ＋11－y N＝x 1－1k －1x 1＋x 2－1k －1x 2＝1k －1·2x 1x 2－x 1＋x 2x 1x 2＝1k －1·2k 2＋2k －4k 21k 2＝2.所以1λ＋1μ为定值．2．(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)．当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值． [解](1)不能出现AC ⊥BC 的情况．理由如下： 设A (x 1,0)，B (x 2,0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0， 所以x 1x 2＝－2. 又点C 的坐标为(0,1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC 的情况.(2)证明：BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，12，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22.由(1)可得x 1＋x 2＝－m ， 所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m 2y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22，又x 22＋mx 2－2＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m 2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，－12，半径r ＝m 2＋92.故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．。
曲线恒过定点问题的研究的教学设计(颜福进)
曲线恒过定点问题的研究张家港市沙洲中学颜福进开场白：同学们，定点问题是解析几何中十分重要的内容，蕴含着动、静依存的辩证关系，深刻体现了数学的魅力，那么我们今天就一起来对曲线恒过定点问题做一些研究，开启我们今天的思维之旅。
课前，同学们进行了简单的预习，现请同学来交流一下课本习题改编的基础题。
一.课本回归1．（课本必修2P128）无论k取任何实数，直线(14)(23)(214)0k x k y k+--+-=必经过一个定点，则这个定点的坐标为。
2．（课本必修2P111改编）已知曲线22:4220200C x y mx my m+-++-=，对于任意的实数m，曲线C 恒过定点。
3．（课本2-1P67习题2改编）已知直线:l1y kx=+与焦点在x轴的椭圆C:222x my+=恒有公共点，则实数m的取值范围是参考答案：1.（2,2） 2.（4，-2） 3.[1,2）小结：从第1和第2小题，可以总结为（板书）：(),,(,)0k R f x y kg x y∀∈+=成立，则(,)0(,)0f x yg x y=⎧⎨=⎩第3小题，体现了曲线恒过定点的简单运用。
定点问题蕴含着动静关系，它潜伏在很多的数学问题当中，让我们开始正式的探究。
教师读题，分析题意，确立解题目标。
解法1：假设存在这样的点B(t，0)，使得PBPA为常数λ，则PB2＝λ2PA2．所以(x－t)2＋y2＝λ2[(x＋5)2＋y2]，将y2＝9－x2代入得，x2－2xt＋t2＋9－x2＝λ2(x2＋10x＋25＋9－x2)，即2(5λ2＋t)x＋34λ2－t2－9＝0对x∈[－3，3]恒成立，二．例题精讲例1已知圆O：x2＋y2＝9.点A(－5，0)，在直线OA上(O为坐标原点)存在定点B(不同于点A)，满足对于圆O上任一点P，都有PBPA为一常数，试求所有满足条件的点B的坐标．所以⎩⎨⎧5λ2＋t ＝0，34λ2－t 2－9＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝35，t ＝－95，或⎩⎨⎧λ＝1，t ＝－5，(舍去)，所以存在点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，0对于圆O 上任一点P ，都有PB PA 为常数35解法2:如图,假设存在这样的点B(t ，0)，当P 为圆O 与x 轴左交点(－3，0)时，PB PA ＝|t ＋3|2；当P 为圆O 与x 轴右交点(3，0)时，PB PA ＝|t －3|8，依题意，|t ＋3|2＝|t －3|8，解得：t ＝－5(舍去)或t ＝－95.下面证明：点B ⎝⎛⎭⎫－95，0对于圆O 上任一点P ，都有PBPA 为一常数．设P(x ，y)，则y 2＝9－x 2， 所以PB 2PA 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋952＋y 2（x ＋5）2＋y 2＝x 2＋185x ＋8125＋9－x 2x 2＋10x ＋25＋9－x 2＝1825（5x ＋17）2（5x ＋17）＝925，从而PB PA ＝35为常数． 小结（多媒体打出）：曲线中定点问题处理方法：(1) 引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研 究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2) 特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关。
破解解析几何中一类过定点或定值问题的策略
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在探 索 性 例 、 习题 ， 我们 课 堂 教学 中 开展 局 部 探 究 为
性 学 习 提 供 了 丰 富 的 素 材 ． 谓 局 部探 究 ， 的 是 根 所 指 据 教 学 内 容 ， 绕某 个 问题 ， 课 堂 上 组 织 学 生 开 展 围 在 探 究 性 学 习． 面 以 苏教 版 教材 中 的 两道 习题 为 例 ． 下
圆Ｃ 和圆 Ｃ 相 交 ， 且直 线 ｚ 被 Ｃ 截得 的 弦长 与
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量 ， 过分 离 常数法 实现 了 ｍ与 ｋ的“ 离” 要使 通 分 ， 得 代数 式 为常数 （ ｋ 关 ） 即只要而 且必 须要 ４ 与 无 ，
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点 Ｍ ， 是 右准 线上 的两个 Ｎ 动点 ， Ｆ Ｍ ・ ＝ ０ 试 且 ＦＮ ＝ ． ＝ 探 究 ： ＭＮ 为直 径 的圆 Ｃ 以 是 否 过 定点 ？ 如 过 定 点 ， 求
例谈解析几何中定点和定值问题的解法
众所周知，解析几何中定值和定点问题的难度较大，常以压轴题的形式出现在各类试题中.解答解析几何中的定值和定点问题，需结合题目中所给的信息，灵活运用所学的知识，找出题目中各个参变量之间的等量关系，以消去变量；或证明定点、定值与变量无关.这类题目的综合性较强，需要灵活运用一些数学思想，如数形结合思想、函数思想、方程思想、分类讨论思想、设而不求思想、一般与特殊思想等来辅助解题.接下来，通过几个例题，介绍一下这两类问题的解法.一、定点问题定点问题一般是有关动直线或动圆的问题.解答这类问题的一般步骤为：（1）选取并设出合适的变量、参数，如动直线的斜率、截距，动圆方程中的参数等；（2）根据题目中给出的信息列方程，通过推理、运算得到关于定点的方程；（3）根据方程ax=b有任意实数解的充要条件a=0、b=0，建立关系式，求得定点的坐标.例1.已知四点P1(1,1),P2(0,1),P3P4中恰有三点在椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上.（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l不经过P2点，且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1，证明：直线l过定点.解：(1)椭圆C的方程为：x24+y2=1（过程略）；(2)设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1、k2；若直线l与x轴垂直，则l：x=t,t≠0，且|t|<2，此时Aæèççøt,Bæèççøt,，由k1+k2=-1,得t=2（不满足题意，舍去），设l:y=kx+m(m≠1),将其代入x24+y2=1中，得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0，又直线l与椭圆C相交于A，B两点，所以Δ=16(4k2-m2+1)>0,设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1+x2=-8km4k2+1,x1x2=4m2-44k2+1所以k1+k2=y1-1x1+y2-1x2=2kx1x2+(m-1)(x1+x2)x1x2=-1，可得k=-m+12，当m>-1时，Δ>0,则l:y=-m+12x+m，即y+1=-m+12(x-2)，可知直线l过定点(2,-1).我们只需设出直线的方程，将其与椭圆的方程联立，构造一元二次方程，便可根据判别式Δ>0和韦达定理，建立关系式，求得k的值，进而确定直线l的方程.最后将直线的方程化为点斜式，根据一元一次方程有任意实数解，即可求得定点的坐标.二、定值问题定值问题主要是一些几何变量，例如面积、线段的比值、斜率、距离等为定值的问题.要证明这些几何变量为定值，就需先求得目标式，然后证明该式不随某些量的变化而变化.解答定值问题，可以用特殊与一般思想，先从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关；还可以直接设出变量，通过推理、计算，消去变量，得到定值.例2.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点A(0,-1),且离心率为.（1）求椭圆E的方程；（2）经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于P,Q两点(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.解：(1)椭圆E的方程为：x22+y2=1（过程略）；(2)设直线PQ的方程为：y=k(x-1)+1(k≠2)，将其代入椭圆的方程中得(1+2k2)x2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0，设P(x1,y1),Q(x2y2)，且x1x2≠0，则x1+x2=4k(k-1)2k2+1,x1x2=2k(k-2)2k2+1，可得k AP+k AQ=y1+1x1+y2+1x2=2k+(2-k)4k(k-1)2k(k-2)=2k-2(k-1)=2，则直线AP与AQ的斜率之和为2.先联立椭圆和直线的方程，再根据韦达定理得到交点的坐标的关系式，进而通过恒等变换，消去参数k，得到定值.对于这类有关直线与圆锥曲线的定值问题，都需通过联立圆锥曲线与直线的方程，根据韦达定理进行化简，才能得到定值.求解解析几何中的定值或者定点问题，都要在动点、动直线、动曲线变化的过程中寻找到不变的量，我们要根据已知信息，尽量找到更多的等量关系，以消去变量，得到定值.（作者单位：江苏省沭阳高级中学）探索探索与与研研究究55。
“动中求定”的八大策略——探索解析几何中求解定点、定值、定向、定线等问题的策略
“动中求定”的八大策略——探索解析几何中求解定点、定值、定向、定线等问题的策略注意到A∈[÷,2],可得所求为[2,÷].JJ点评:求参数的取值范围,一直是数学中的经典问题.解题的关键是如何构造出关于参数的表达式或不等式,转化为求函数的值域或解不等式问题.本例是直接利用题设的A的范围,求出值域,属简单题.而一些较复杂的题,往往要用以下一些条件和方法:圆锥曲线的范围,几何图形的性质,变量的取值范围(如sinO,cosO●徐素琴舒林军''的范围),判别式法,基本不等式法,分离参数法等.以上五类问题是解析几何中的重点题型,一定要掌握求解的通法,在解题实践中不断对各种解法加以比较,总结,提高自己择优解题的能力,使解析几何解答题成为你的得分点,从而在高考中获得数学卷的高分0-动中求定"的八大策略探索解析几何中求解定点,定值,定向,定线等问题的策略在解析几何中常常出现求定点,定值,定向,定线等问题,它已经成为当前各省高考试题中的热点.本文对此类问题加以探究,得出一些行之有效的方法策略,供以参考.策略一:提取参数对于某些含参数的曲线方程,如果可以把参数与x,y分离,则提出参数后,再根据恒等式的性质,即可以解得x,y的值,得到定点的坐标.例?1已知动直线(2+k)x一(1+k)一2(3+2k)=0,求证:点P(一2,2)到该动直线的距离d≤4.证明:把直线方程化为.i}(一),一4)+(2x—Y一6)=0,知J.一),一4=o,L2x一),一6=0.解得=2,Y=一2,即动直线过定点(2,一2).连,则点P(一2,2)到该动直线的距离d≤lPI=~/(一2—2)+(2+2)=4.'策略二:观察巧代?2O?充分利用已知式的结构特征,经过观察分析,只要找出满足条件的,y的值,就是定点的坐标.例2(1)已知实数17/.,n满足三+=l,则动直线羔+上:l必过定点的坐标为——;(2)已知实数p,g满足p+2q—l=0,则动直线+3y+q=0恒过定点M的坐标为略解:(1)只要令=2,,,=l,即得定点(2,1);(2)已知式化为号一下1+q=0,只要令=寺一IM(1,一吉).策略三:设参分离根据题意,设立参数,建立方程,分离参数,即可以求得定点.例3已知抛物线C:y=8x,焦点为F,定点P(2,4),动点A,B是抛物线C上的两个点, 且满足后?keB=8,试问AB所在的直线是否过定点,若是,求出该定点的坐标;否则说明理由.解:设A(8t;,8t1),B(8t,8t2)(t1≠t2),则】.1PA,kpB'fl+一2f2+一2因为J}?后雎=8,所以8t1t2=一1—4(tl+t2).①因为Ij}仙,所以A曰的方程:),一8tt:(一8￡;)?再利用①化简即得(一1)一(t1+t2)(),+4)=0.可见直线AB过定点(1,一4).策略四:巧"特"结论有两种情形:一种利用特殊值探求结论,再验证其充分性;另一种是也先用特殊值探求结论,后作一般性探求...2.2.例4已知椭圆等+=1,过左焦点作不垂直于轴的弦交椭圆于A,两点,AB的垂直平分线交轴于点,则IFI:IABl的值为()(A1(B1(c了2(D)}解:本题为选择题,即知此比值为定值,故可用特殊值法.设AB与轴重合时,就是原点,则AB长为6,MF的长为2,故IMFl:IABI =1,答案为(B).如果不用特殊法解,本题就是一个较难的解答题,同学们不妨一试.若用极坐标方程解较方便一些.可见在解选择题时,用特殊值法来判断和寻找答案尤为重要.2例5已知椭圆方程+=1,过点s(o,一÷)的动直线f交该椭圆于A,B两点,试问:在坐标平面内是否存在一个定点,使得以AB为直径的圆恒过定点,若存在求出T的坐标;若不存在,请说明理由.解:假设满足条件的定点存在.当直线Z与轴平行时,以AB为直径的圆方程为2+-y')=;当直线Z与),轴重合时,以AB为直径的圆方程为+),=1.以上两圆方程联立解得』=o,即r(0,1)ty=1,是满足条件的必要条件.下面证明其充分性: 若存在v(o,1),对过点S不与坐标轴平行的直线设为y=kx一÷(Il}≠0),把它代人椭圆方程得到(1+2)2一一=o.设A(,y.),B(,y),则有『+=吾_,116【la;:一'因为H=(l,y1—1),TB=(2,y2一1),7?TB=X12+(),1—1)(,,2—1)=(1):一争(+一16(1+)4,12k16——18k9一一一3—}8k9+一9++=0.所以上船,即以AB为直径的圆恒过定点其定点的坐标为(O,1).例6已知椭圆+:1(n>b>o)上任意一点,B,B:是椭圆短轴的两个端点,作直线MB1,MB2分别交轴于P,()两点,求证: lOP1.IDQI为定值,并求出定值.分析:当动点在长轴的端点时,则P,Q重合于长轴的端点,因此IOPI?loQI=a.?2l?再作一般证明即可得IOP1.IOQI为定值为0.策略五:设参消参为了求得定值,往往需要设立一个或两个参数,如直线的斜率,动点的坐标等,然后根据条件,寻找所求的定值,最后经过消参得到所求的定值.例6已知A(1,1)是椭圆x+=1(口>b>0)上的一点,F,F2是椭圆的两个焦点, 且满足lAFI+IAF,I=4.(1)求椭圆的方程;(2)设点B,C是椭圆上的两个动点,且直线AB,AC的倾斜角互补,试判断直线BC的斜率是否为定值?并说明理由.解:(1)易知口=2.再把点A坐标代人椭圆方程得b.=÷,所以椭圆方程为等2+等(2)由条件可以得到直线AB,AC的斜率存在且不为0,故设直线AB的方程为Y=(一1)+1,代人椭圆方程得(1+3k)+6(1一k)kx+3一6k一1=0.因为XA=1,XAXB=所以.①又设直线AC的方程为Y=一k(一1)+1,同理得到.②因此得到,口一YcJ}(B+Xc)一2k%c■'把①②代人得k.=下1,所以直线BC的斜率为定值.策略六:巧用定义结合圆锥曲线的定义,在运动变化中寻求?22?符合定义的不变量.'2,2例7已知P是双曲线一号=1(口>0,b>0)右支上不同于顶点的任意一点,,是双曲线的左右两个焦点,试问:三角形PFF2 的内心,是否在一定直线上,若存在,求出直线方程;若不存在,请说明理由.解:设三角形PFF2的内切圆与轴的切点为,则由双曲线的定义及切线长定理可知: IPF1I—IPF2l=IMF1I-IMF2I=2a,所以也在双曲线上,即M为双曲线右顶点.又IM上轴,所以三角形PF的内心,在一定直线=口上.例8以抛物线(Y+1)=g(一2)上任意一点P为圆心,作与Y轴相切的圆,则这些动圆必经过定点的坐标为一解:不难求得Y轴是抛物线的准线.由抛物线的定义可知,这些圆必经过抛物线的焦点可以求得F(4,一1),所以这些动圆必经过定点的坐标为(4,一1).策略七:结合平面几何有些求定值问题往往可以与平面几何的一些性质相结合,可以达到事半功倍的效果,如上面的例7就是运用了切线长定理.例9已知圆(一3)+(Y+4)=4,过原点0的动直线2:y=kx交圆于P,Q两点,则IoPIlOQl的值为一解:设OB切圆于点,则JOPIIOQI=IDBl=10I一r2:25—4=21.,22例10已知是双曲线一各=1(口>0,b>0)过焦点F1的任意一条弦,以AB为直径的圆被与相应的准线截得圆,求证:MN的度数为定值.解:设AB的中点为P,P,A,B到相应的准线距离分别为d,d,d,则.:,',d1+d2IF1AI+IF1BIlABId—一——■～=(r为以AB为直径的圆的半径),所以c.sPⅣ::,二,e即删的度数为定值,其定值为2arccos.策略八:极坐标法关于长度计算的某些问题,用极坐标法会来得很方便.先要根据条件建立恰当的极坐标系,然后给动点设出极坐标,极角之间的关系往往是解决问题的关键.例11椭圆x+=1(口>b>o)上有aD两个动点A,B满足OA上OB(0为坐标原点), 求证:+广为定值?解:设以原点为极点,轴为极轴,建立极坐标系.则有lpcosO,代人椭圆方程得到椭ty:psin0.圆的极坐标方程●赵小龙r+r?设椭圆上动点A(p,),因为上OB,则动点B(p:,0+),因此1COS0sin—丁十—一,PlnD1c.s(+詈).sin2(+詈)2一口2.bP2口sin20cos0r+.两式相加得P+=+,l111ap2D即击+=1+古为定值.以上的八大策略,提供同学们在解决此类问题的方法.对求定点,定值等问题往往先用特殊值法探求出结论,这样解题的方向就明确了, 然后在运算过程中心中有数,达到事半功倍的效果.1l.洙高毒中的五粪热燕题型思维能力是数学能力的核心,新课标的高考是通过数学基本能力与数学综合能力来考查数学思维的.针对高考对能力的考查,笔者认为临近高考时要努力达到下述目标:如果一个问题有多种数学思维方法,那么通过自身的思维应尽力发现其中大多数通法,并能靠自己丰富的解题实践择其优者实施.为此,只有平时对如下五类热点题型有思维模式的积淀,才能在应试中形成灵活的解题思维一,立体几何中的条件探索题此类题型是高考命题改革的先进成果,已被各省市的高考命题所大量采用,对考查新课标规定的数学基本能力中的空间想象能力,推理论证能力均大有裨益.抓住结论采到逆向探索,灵活转移,直观想象等思维方式,常可发现或猜出条件,进而给出充分性的证明.这是此类题型的一般思维模式.例1如图1,四棱锥P—ABCD中,M是棱船的中点;在底面四边形ABCD中,AB//CD, AB=4DC.在棱PC上找一点Ⅳ,使DⅣ∥平面?23?。
2012 年高考解析几何恒过定点问题
2012 年高考 解析几何恒过定点问题（2012湖南理科）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的点均在C 2：（x-5）2＋y 2=9外，且对C 1上任意一点M ，M 到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C 2上点的距离的最小值.（Ⅰ）求曲线C 1的方程；（Ⅱ）设P(x 0,y 0)（y 0≠±3）为圆C 2外一点，过P 作圆C 2的两条切线，分别与曲线C 1相交于点A ，B 和C ，D.证明：当P 在直线x=﹣4上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值.【解析】（Ⅰ）解法1 ：设M 的坐标为(,)x y ，由已知得23x +=，易知圆2C 上的点位于直线2x =-的右侧.于是20x +>，所以5x =+.化简得曲线1C 的方程为220y x =.解法2 ：由题设知，曲线1C 上任意一点M 到圆心2C (5,0)的距离等于它到直线5x =-的距离，因此，曲线1C 是以(5,0)为焦点，直线5x =-为准线的抛物线，故其方程为220y x =.（Ⅱ）当点P 在直线4x =-上运动时，P 的坐标为0(4,)y -，又03y ≠±，则过P 且与圆 2C 相切得直线的斜率k 存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为0(4),y y k x -=+0即kx-y+y +4k=0.于是3.=整理得 2200721890.k y k y ++-= ①设过P 所作的两条切线,PA PC 的斜率分别为12,k k ，则12,k k 是方程①的两个实根，故001218.724y y k k +=-=- ②由101240,20,k x y y k y x -++=⎧⎨=⎩得21012020(4)0.k y y y k -++= ③ 设四点A,B,C,D 的纵坐标分别为1234,,,y y y y ，则是方程③的两个实根，所以0112120(4).y k y y k +⋅=④ 同理可得 0234220(4).y k y y k +⋅=⑤ 于是由②，④，⑤三式得 010*******400(4)(4)y k y k y y y y k k ++= 2012012124004()16y k k y k k k k ⎡⎤+++⎣⎦= 22001212400166400y y k k k k ⎡⎤-+⎣⎦=.所以，当P 在直线4x =-上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值6400.【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问用直接法或定义法求出曲线的方程；第二问设出切线方程，把直线与曲线方程联立，由一元二次方程根与系数的关系得到,,,A B C D 四点纵坐标之积为定值，体现“设而不求”思想.2拓展1定理1在平面直角坐标系中xoy ，动点P 在直线h x =上，过点P 能作定圆Ω:)0()(222>=+-r r y p x 的两条不同切线（切线的斜率存在 ），且分别与定抛物线)0(4:2>=Γp px y 交于点A ，B 和C,D(这四个点互不相同)，则这四个点的纵坐标之积为定值的充要条件是222h r p +=，且定值为1622h p 。
2021高考数学一轮复习第九章平面解析几何高考专题突破五第2课时定点与定值问题教学案理新人教A版
第2课时 定点与定值问题定点问题例1 (2019·北京)已知抛物线C ：x 2＝－2py 经过点(2，－1). (1)求抛物线C 的方程及其准线方程；(2)设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y ＝－1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点. (1)解 由抛物线C ：x 2＝－2py 经过点(2，－1)，得p ＝2. 所以抛物线C 的方程为x 2＝－4y ，其准线方程为y ＝1. (2)证明 抛物线C 的焦点为F (0，－1). 设直线l 的方程为y ＝kx －1(k ≠0). 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2＝－4y ，得x 2＋4kx －4＝0.Δ＝16k 2＋16>0恒成立.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1x 2＝－4. 直线OM 的方程为y ＝y 1x 1x .令y ＝－1，得点A 的横坐标x A ＝－x 1y 1. 同理得点B 的横坐标x B ＝－x 2y 2.设点D (0，n )，则DA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 1y 1，－1－n ，DB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2y 2，－1－n ， DA →·DB →＝x 1x 2y 1y 2＋(n ＋1)2＝x 1x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 214⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 224＋(n ＋1)2＝16x 1x 2＋(n ＋1)2＝－4＋(n ＋1)2.令DA →·DB →＝0，即－4＋(n ＋1)2＝0，得n ＝1或n ＝－3. 综上，以AB 为直径的圆经过y 轴上的定点(0,1)和(0，－3). 思维升华 圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 跟踪训练1 (2019·全国Ⅲ)已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B . (1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.(1)证明 设D ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－12，A (x 1，y 1)，则x 21＝2y 1.由y ′＝x ，所以切线DA 的斜率为x 1，故y 1＋12x 1－t＝x 1.整理得2tx 1－2y 1＋1＝0.设B (x 2，y 2)，同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0. 故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0.所以直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. (2)解 由(1)得直线AB 的方程为y ＝tx ＋12.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝tx ＋12，y ＝x22，可得x 2－2tx －1＝0，Δ＝4t 2＋4>0，于是x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝－1，y 1＋y 2＝t (x 1＋x 2)＋1＝2t 2＋1，|AB |＝1＋t 2|x 1－x 2| ＝1＋t 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝2(t 2＋1).设d 1，d 2分别为点D ，E 到直线AB 的距离， 则d 1＝t 2＋1，d 2＝2t 2＋1，因此，四边形ADBE 的面积S ＝12|AB |(d 1＋d 2)＝(t 2＋3)t 2＋1.设M 为线段AB 的中点，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，t 2＋12. 因为EM →⊥AB →，而EM →＝(t ，t 2－2)，AB →与向量(1，t )平行，所以t ＋(t 2－2)t ＝0，解得t ＝0或t ＝±1.当t ＝0时，S ＝3；当t ＝±1时，S ＝4 2. 因此，四边形ADBE 的面积为3或4 2.定值问题例2 (2020·河南八市重点高中联考)已知O 为坐标原点，过点M (1,0)的直线l 与抛物线C ：y 2＝2px (p >0)交于A ，B 两点，且OA →·OB →＝－3.(1)求抛物线C 的方程；(2)过点M 作直线l ′⊥l 交抛物线C 于P ，Q 两点，记△OAB ，△OPQ 的面积分别为S 1，S 2，证明：1S 21＋1S 22为定值.(1)解 设直线l ：x ＝my ＋1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝2px ，消x 得，y 2－2pmy －2p ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－2p ， 又因为OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(my 1＋1)(my 2＋1)＋y 1y 2 ＝(1＋m 2)y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＋1＝(1＋m 2)(－2p )＋2pm 2＋1＝－2p ＋1＝－3. 解得p ＝2.所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)证明 由(1)知M (1,0)是抛物线C 的焦点， 所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝my 1＋my 2＋2＋p ＝4m 2＋4. 原点到直线l 的距离d ＝11＋m2，所以S 1＝12×11＋m 2×4(m 2＋1)＝21＋m 2. 因为直线l ′过点(1,0)且l ′⊥l ， 所以S 2＝21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1m 2＝21＋m2m 2.所以1S 21＋1S 22＝141＋m 2＋m 241＋m2＝14.即1S 21＋1S 22为定值14. 思维升华 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值.依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值.(2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得.(3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.跟踪训练2 (2018·北京)已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (1,2)，过点Q (0,1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N . (1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)设O 为原点，QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，求证：1λ＋1μ为定值.(1)解 因为抛物线y 2＝2px 过点(1,2)， 所以2p ＝4，即p ＝2. 故抛物线C 的方程为y 2＝4x .由题意知，直线l 的斜率存在且不为0. 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋1，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.依题意知Δ＝(2k －4)2－4×k 2×1>0， 解得k <0或0<k <1.又PA ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点(1，－2). 从而k ≠－3.所以直线l 的斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3,0)∪(0,1). (2)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由(1)知x 1＋x 2＝－2k －4k 2，x 1x 2＝1k2.直线PA 的方程为y －2＝y 1－2x 1－1(x －1)， 令x ＝0，得点M 的纵坐标为y M ＝－y 1＋2x 1－1＋2＝－kx 1＋1x 1－1＋2.同理得点N 的纵坐标为y N ＝－kx 2＋1x 2－1＋2.由QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，得λ＝1－y M ，μ＝1－y N .所以1λ＋1μ＝11－y M ＋11－y N＝x 1－1k －1x 1＋x 2－1k －1x 2＝1k －1·2x 1x 2－x 1＋x 2x 1x 2＝1k －1·2k 2＋2k －4k 21k 2＝2. 所以1λ＋1μ为定值.1.(2020·成都模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，且经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点B (4,0)作一条斜率不为0的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，记点P 关于x 轴对称的点为P ′.证明：直线P ′Q 经过x 轴上一定点D ，并求出定点D 的坐标. (1)解 由椭圆的定义，可知 2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12＝4. 解得a ＝2.又b 2＝a 2－(3)2＝1.∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)证明 由题意，设直线l 的方程为x ＝my ＋4(m ≠0). 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则P ′(x 1，－y 1).由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋4，x 24＋y 2＝1，消去x ，可得(m 2＋4)y 2＋8my ＋12＝0.∵Δ＝16(m 2－12)>0，∴m 2>12.∴y 1＋y 2＝－8m m 2＋4，y 1y 2＝12m 2＋4. ∵k P ′Q ＝y 2＋y 1x 2－x 1＝y 2＋y 1m y 2－y 1. ∴直线P ′Q 的方程为y ＋y 1＝y 2＋y 1m y 2－y 1(x －x 1).令y ＝0，可得x ＝m y 2－y 1y 1y 1＋y 2＋my 1＋4.∴x ＝2my 1y 2y 1＋y 2＋4＝2m ·12m 2＋4－8m m 2＋4＋4＝24m－8m＋4＝1.∴D (1,0).∴直线P ′Q 经过x 轴上定点D ，其坐标为(1,0).2.(2020·西安模拟)设F 1，F 2为椭圆C ：x 24＋y 2b2＝1(b >0)的左、右焦点，M 为椭圆上一点，满足MF 1⊥MF 2，已知△MF 1F 2的面积为1. (1)求椭圆C 的方程；(2)设C 的上顶点为H ，过点(2，－1)的直线与椭圆交于R ，S 两点(异于H )，求证：直线HR 和HS 的斜率之和为定值，并求出这个定值. 解 (1)由椭圆定义得|MF 1|＋|MF 2|＝4，① 由MF 1⊥MF 2得|MF 1|2＋|MF 2|2＝|F 1F 2|2＝4(4－b 2)，② 由题意得12MF F S △＝12|MF 1|·|MF 2|＝1，③由①②③，可得b 2＝1， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)依题意，H (0,1)，显然直线RS 的斜率存在且不为0， 设直线RS 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，代入椭圆方程并化简得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 由题意知，Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0， 设R (x 1，y 1)，S (x 2，y 2)，x 1x 2≠0， 故x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.k HR ＋k HS ＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2k ＋(m －1)x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(m －1)－8km4m 2－4＝2k －2km m ＋1＝2k m ＋1. ∵直线RS 过点(2，－1)，∴2k ＋m ＝－1， ∴k HR ＋k HS ＝－1. 故k HR ＋k HS 为定值－1.3.(2020·太原模拟)已知动圆E 经过定点D (1,0)，且与直线x ＝－1相切，设动圆圆心E 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)设过点P (1,2)的直线l 1，l 2分别与曲线C 交于A ，B 两点，直线l 1，l 2的斜率存在，且倾斜角互补，证明：直线AB 的斜率为定值.(1)解 由已知，动点E 到定点D (1,0)的距离等于E 到直线x ＝－1的距离，由抛物线的定义知E 点的轨迹是以D (1,0)为焦点，以x ＝－1为准线的抛物线，故曲线C 的方程为y 2＝4x . (2)证明 由题意直线l 1，l 2的斜率存在，倾斜角互补，得l 1，l 2的斜率互为相反数，且不等于零.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 1的方程为y ＝k (x －1)＋2，k ≠0. 直线l 2的方程为y ＝－k (x －1)＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1＋2，y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2－4k ＋4)x ＋(k －2)2＝0，Δ＝16(k －1)2>0，已知此方程一个根为1，∴x 1×1＝k －22k 2＝k 2－4k ＋4k 2，即x 1＝k 2－4k ＋4k 2，同理x 2＝－k2－4－k ＋4－k 2＝k 2＋4k ＋4k 2， ∴x 1＋x 2＝2k 2＋8k 2，x 1－x 2＝－8k k 2＝－8k，∴y 1－y 2＝[k (x 1－1)＋2]－[－k (x 2－1)＋2] ＝k (x 1＋x 2)－2k ＝k ·2k 2＋8k 2－2k ＝8k，∴k AB＝y1－y2 x1－x2＝8k－8k＝－1，∴直线AB的斜率为定值－1.4.(2019·邯郸模拟)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)过点(0,1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q，P，与椭圆分别交于点M，N，各点均不重合且满足PM→＝λ1MQ→，PN→＝λ2NQ→.(1)求椭圆的标准方程；(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明直线l过定点，并求此定点.解(1)设椭圆的焦距为2c，由题意知b＝1，且(2a)2＋(2b)2＝2(2c)2，又a2＝b2＋c2，∴a2＝3.∴椭圆的方程为x23＋y2＝1.(2)由题意设P(0，m)，Q(x0，0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，设l的方程为x＝t(y－m)，由PM→＝λ1MQ→知(x1，y1－m)＝λ1(x0－x1，－y1)，∴y1－m＝－y1λ1，由题意y1≠0，∴λ1＝my1－1.同理由PN→＝λ2NQ→知λ2＝my2－1.∵λ1＋λ2＝－3，∴my1－1＋my2－1＋3＝0，即y1y2＋m(y1＋y2)＝0，①联立⎩⎪⎨⎪⎧x2＋3y2＝3，x＝t y－m得(t2＋3)y2－2mt2y＋t2m2－3＝0，∴Δ＝4m2t4－4(t2＋3)(t2m2－3)>0，②且有y1＋y2＝2mt2t2＋3，y1y2＝t2m2－3t2＋3，③③代入①得t2m2－3＋2m2t2＝0，∴(mt)2＝1，由题意mt<0，∴mt＝－1，满足②，得直线l的方程为x＝ty＋1，过定点(1,0)，即Q为定点.5.(2020·华中师大附中月考)如图，已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，上、下顶点分别为B 1，B 2，记四边形A 1B 1A 2B 2的内切圆为圆C 2.(1)求圆C 2的标准方程；(2)已知圆C 2的一条不与坐标轴平行的切线l 交椭圆C 1于P ，M 两点. (ⅰ)求证：OP ⊥OM ；(ⅱ)试探究1|OP |2＋1|OM |2是否为定值.(1)解 因为A 2，B 1分别为椭圆C 1：x 24＋y 2＝1的右顶点和上顶点，则A 2，B 1的坐标分别为(2,0)，(0,1)，可得直线A 2B 1的方程为x ＋2y ＝2. 则原点O 到直线A 2B 1的距离为d ＝21＋22＝25，则圆C 2的半径r ＝d ＝25， 故圆C 2的标准方程为x 2＋y 2＝45.(2)(ⅰ)证明 可设切线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)，P (x 1，y 1)，M (x 2，y 2)，将直线l 的方程代入椭圆C 1可得⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋k 2x 2＋2kbx ＋b 2－1＝0，由根与系数的关系得，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2kb14＋k 2，x 1x 2＝b 2－114＋k2，则y 1y 2＝(kx 1＋b )(kx 2＋b )＝k 2x 1x 2＋kb (x 1＋x 2)＋b 2＝－k 2＋14b214＋k 2，又l 与圆C 2相切，可知原点O 到l 的距离d ＝|b |k 2＋12＝25，整理得k 2＝54b 2－1，则y 1y 2＝1－b 214＋k 2，所以OP →·OM →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0，故OP ⊥OM .(ⅱ)解 由(ⅰ)知OP ⊥OM ，①当直线OP 的斜率不存在时，显然|OP |＝1，|OM |＝2，此时1|OP |2＋1|OM |2＝54；②当直线OP 的斜率存在时，设直线OP 的方程为y ＝k 1x ， 代入椭圆方程可得x 24＋k 21x 2＝1，则x 2＝41＋4k 21，故|OP |2＝x 2＋y 2＝(1＋k 21)x 2＝41＋k 211＋4k 21，同理|OM |2＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k 121＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k 12＝4k 21＋1k 21＋4， 则1|OP |2＋1|OM |2＝1＋4k 214()1＋k 21＋k 21＋441＋k 21＝54. 综上可知，1|OP |2＋1|OM |2＝54为定值.。
高考数学解析几何专题讲义第16讲--定点问题
3 3
x2
ty2
1
②
由①②知 AB 的方程为 3 x ty 1 ，即 x 3(1 ty)
③
3
易知右焦点 F ( 3, 0) 满足③ 故直线 AB 恒过定点 F ( 3, 0)
（2）略
【例 2-2】（2019 全国Ⅲ文 21）已知曲线 C ： y x2 ，D 为直线 y = - 1 上的动点，过 D 作 C 的两条切线， 切
【解法一】 F (1, 0), k (a2 , 0) ，先探索，当 m 0 时，直线 l ox 轴，则 ABED 为矩形，由对称性知，AE 与
BD 交于定点 N ( a2 1, 0) ， 2
证明：设 A(x1, y1)B(x2 , y2 )E(a2 , y1) ，当 m 变化时首先 AE 过定点 N
2 2
+ +
(y + y2 =
1)2 3 1
=
(4)2 3Þ
ìïx = 0 ïî y = 1
即两圆的公共点为(0，1)
因此所求点 T 如果存在，只能是(0，1)，事实上.点(0，1)就是所求点，证明如下 当 l 与 x 轴垂直时，以 AB 为直径的圆过 T(0，1)
当 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l ： y = kx - 1 3
且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点。求证：直线 l 过定点，并求出该定点坐标．
y kx m
【解析】设
A(x1,
y1), B(x2 ,
y2 ) ，由 3x2
4y2
得 12
(3 4k 2 )x2 8mkx 4(m2 3) 0
64m2k 2 16(3 4k 2 )(m2 3) 0
2
2
点分别为 A，B.
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恒过定点问题的解题策略一、复习要点：1.恒过定点问题的解题策略和方法；2.体验以动态的观点研究解析几何问题的思维方式，掌握类比探究、转化与化归等思想方法.二、课前热身：1.动直线(2)(34)210()a x a y a a R ++-+-=∈过定点 . 整理得：(32)2410x y a x y +++--=对任意实数a 恒成立.定点11(,)22-- 2.动圆22(2)(4)440()x y a x a y a a R ++++---=∈过定点 . 整理得：22(4)2440x y a x y x y --++++-=.定点(2,2),(1,5)---3.如图，已知圆224x y +=，直线:4l x =，圆O 与x 轴交A ，B 两点， M 是圆O 上异于A ，B 的任意一点，直线AM 交直线l 于点P ，直线BM 交直线l 于点Q . 求证：以PQ 为直径的圆C 过定点，并求出定点坐标. 解法一：设000(,)(0)M x y y ≠，则直线00:(2)2y AM y x x =++，006(4,)2y P x ∴+则直线00:(2)2y BM y x x =--，002(4,)2y Q x ∴-圆C ：2000062(4)()()022y y x y y x x -+--=+-，整理得：22008(1)(4)120x x y y y --++-= 由22(4)1200x y y ⎧-+-=⎨=⎩得定点为(4±.解法二：设直线:(2)(0)AM y k x k =+≠，(4,6)P k ∴，1AM BM k k =-Q所以直线1:(2)BM y x k =--，2(4,)Q k∴- 圆C ：22(4)(6)()0x y k y k -+-+=，整理得：222(4)(6)120x y k y k-++--=由22(4)1200x y y ⎧-+-=⎨=⎩得定点为(4±.三、例题精讲例1．如图，已知椭圆2214x y +=，直线l ：4x =，A ，B 是长轴的两端点，M 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，设直线AM 交直线l 于点P ，直线BM 交直线l 于点Q ． 求证：以PQ 为直径的圆C 经过定点，并求出该定点坐标．(4,0) 解法一：设000(,)(0)M x y y ≠， 圆C 方程：22002(1)(4)30x x y y y --++-= 解法二：设直线:(2)(0)AM y k x k =+≠，则直线1:(2)4B M y x k =--，1(4,6),(4,)2P k Q k∴- 圆C ：21(4)(6)()02x y k y k -+-+=，整理得：221(4)(6)302x y k y k -++--= 由22(4)30x y y ⎧-+-=⎨=⎩得定点为(4.例2．过椭圆2214x y +=的左顶点A 作互相垂直的直线分别交椭圆于M ，N 两点.求证：直线MN 过定点，并求出该定点坐标． 证明：设直线:(2)(0)AM y k x k =+≠，则直线1:(2)AM y x k=-+ 222222(2)(14)16164014y k x k x k x k x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩ 222221642842,,141414M M Mk k kx x y k k k ---=∴==+++Q 所以点222284(,)1414k k M k k -++，同理：点222284(,)44k kN k k --++ 222222244514428284(1)144MNk kk k k k k k k k k +++∴==----++，直线22224528:,()144(1)14k k k MN y x k k k--=-+-+ 令0y =得2222222816(1)6(14)6145(14)5(14)5k k k x k k k ---+=-==-+++，所以直线MN 过定点6(,0)5-. 或解：（考查极端位置、特殊位置确定出定点，从而转化为一般性证明题）令2222228281144k k k k k --=⇒=++，此时22286145k k -=-+，所以直线MN 过定点6(,0)5-. 当2222245141,2864(1)145CMk k k k k k k k +≠==--++，22224542864(1)45CNkk k k k k k -+==--++. ,,,CM CN k k M N C ∴=∴三点共线，即：直线MN 过定点6(,0)5-.解法二：设1122(,),(,)M x y N x y ，直线:MN y kx m =+.22222(14)844014y kx m k x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩21212228440,1414km m x x x x k k -->+==++V 则且，1212122y y AM AN x x ⊥⋅=-++由得 221212(1)(2)()40k x x km x x m ++++++=22222448(1)(2)401414m km k km m k k--+++++=++， 化简得：222516120,05()16120m mm km k k k k-+=≠∴-+=Q 解得：625m mk k==或（舍） 直线6:()5MN y k x =+，过定点6(,0)5-.例1变式：连接PB 并延长交椭圆于点N .直线MN 是否过定点？若过定点，请给出证明. 学生方案1 设000(,)(0)M x y y ≠则直线00:(2)2y AM y x x =++，006(4,)2y P x ∴+ 则直线003:(2)2y BM y x x =-+，02222220002220023(2)299(2)1(2)14(2)(2)414y y x x y y x x x x x x x y ⎧=-⎪+⎪⇒+-=⇒-=-⎨++⎪+=⎪⎩ 从而求出00000000853853,,(,)52255225N N x y x y x y N x x x x --==∴----学生方案2 设(4,)P t ，则:(2),:(2)62t tAM y x BN y x =+=-分别联立求解得 2222221826222(,),(,)9911t t t t M N t t t t ---++++，令2222218222391t t t t t--=⇒=++四、课堂小结：五、课后巩固：1.已知椭圆22:142x y C +=的上顶点为A ，直线:l y kx m =+交椭圆于,P Q 两点，设直线,AP AQ 的斜率分别为12,k k . （1）若0m =时，求12k k 的值；（2）若121k k =-时，证明：直线:l y kx m =+过定点. 解：（1）设00(,)P x y ，则00(,)Q x y --2000122000212y y y k k x x x --=⋅==-- （2）设11(,)P x y ，22(,)Q x y121222121212()(1k k k x x k m x x m x x ⋅=+-++-==-22222(21)424024y kx m k x kmx m x y =+⎧⇒+++-=⎨+=⎩222222244(1)((02121320m kmk k m m k k m --+++-=++⇒--=所以m m == 直线:l y kx m =+过定点(0,2.如图，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F （c ，0），c 为正数，过F 作两条互相垂直的弦AB ，CD ，设AB ，CD 中点分别为M ，N ．（1）若C 为椭圆的上顶点，B 为椭圆的下顶点，且此时FBC ∆的面积为2，求椭圆的方程；（2）证明线段MN 必过一定点，并求出定点坐标． 解（1）22142x y+= （2）定点坐标222(,0)a ca b + 3.已知圆M 的方程；4)4(22=+-y x ，点C )0,1(，设P 是圆M 上一动点，在x 轴上是否存在异于C 的定点B ，使得PBPC恒为定值λ？若存在，求出定点B 的坐标，并求λ的值；若不存在，说明理由.解：设222(,0),B m PC PB λ=⋅Q2222200002222200022(1)[()]2210(1)11x y x m y m m x x y λλλλλλ∴-+=-+-⋅-⇒+⋅++=≠--即228120x x y -++=22222228813311221m m m λλλλλ⎧-⎧=-=⎪⎪⎪⎪-⇒⎨⎨⋅-⎪⎪==⎪⎪⎩-⎩ 4.（2010江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22195x y +=的左右顶点为A ，B ，右焦点为F .设过点T （t ，m ）的直线TA ，TB 与此椭圆分别交于点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），其中m >0，y 1>0，y 2<0.设t =9，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）. 定点坐标(1,0)。