三章阶线性微分方程组三阶线性非齐次方程组的般理论

第三讲一阶线性非齐次微分方程组的一般理论(2课时)

一、目的与要求：理解一阶线性非齐次方程组的一般理论，掌握一阶线性非齐次方程组的通

解结构，理解常数变易法.

二、重点：一阶线性非齐次方程组的通解结构，常数变易法.

三、难点：常数变易法.

四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法.

五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合.

六、教学过程：

1.课题引入

本节研究一阶线性非齐次方程组

dY

—=A(X Y+F x ) dx (3.7

)

的通解结构与常数变易法.

2.通解结构

定理3.8如果Y(x)是线性非齐次方程组(3.7)的解，而Y0(x)是其对应齐次方程组(3.8)

的解，则Y0(x) +Y(x)是非齐次方程组(3.7)的解.资料个人收集整理，勿做商业用途

证明这只要直接代入验证即可

定理 3.9线性非齐次方程组(3.7)的任意两个解之差是其对应齐次方程组(3.8)的解.

证明设Y(X)和Y(x)是非齐方程组(3.7)的任意两个解，即有等式

dY-^ =A(x)Y(x)+F(x) ，■dY(x) = A(X)Y(X)+F(X)dx

dx

于是有

知(x)-Y(x)]=皿-如

dx dx dx

=A( x)Y(X)+ F(X)- A(X)Y(X) — F (X)

= A(x)[ Y(X)-Y(X)]

上式说明Y(X)-Y(X)是齐次方程组(3.8)的解.

定理3.10 线性非齐次方程组(3.7)的通解等于其对应的齐次方程组(3.8)的通解与方程

组(3.7)的一个特解之和.即若Y(x)是非齐次方程组(3.7)的一个特解，YdhKx)，川，YJ X)

是对应齐次方程组(3.8)的一个基本解组，则方程组(3.7)的通解为

Y(X)-CMd) +C2Y2(X)+川+C n Y n(x pH Y'(x)资料个人收集整理，勿做商业用途

这里C i,C2,HI,C n是任意常数.

证明首先由定理3.8，不论C i,C2,川，C n是什么常数，(3.16)都是(3.7)的解.其次对于方程组(3.7)的任何一个解Y(x)，由定理3.9知，是Y(X)-Y(X)对应齐次方程组的解.于是

由基资料个人收集整理，勿做商业用途

本定理3.6，存在常数G'G,川,c n使得

Y(x) -Y(X)=CY I(X)+ CY2(X) +川+ CY n(x)

Y(x) = CY I(X)+C Y2(X)+ 川+ CY n(x) + Y(X)

所以(3.16)是(3.7)的通解.定理证毕.

3.拉格朗日常数变易法

在第一章我们介绍了对于一阶线性非齐次方程，可用常数变易法求其通解.现在，对于

线性非齐次方程组，自然要问，是否也有常数变易法求其通解呢？事实上，定理3.10告诉我们，为了求解非齐次方程组(3.7)，只需求出它的一个特解和对应齐次方程组 (3.8)的一个基本解组.而当(3.8)的基本解组已知时，类似于一阶方程式，有下面的常数变易法可以求得(3.7) 的一个特解.资料个人收集整理，勿做商业用途

为了计算简洁，我们定义(3.8)的基本解矩阵如下:

l_yn1 (x) y n2(X)lli y nn (x).

其中每一列均为(3.8)的解Y i (x)(i =1,2,川，n)，且Y ,(X ),Y 2(X )川，Y n (x)是(3.8)的一个基本 解组.因此det ①(X)=W(x) H0.

由定理3.6知，齐次方程组(3.8)的通解可表为

Y(x)=e(x)C ,

其中C 为列向量

「C J

C 2

L Cn J

它的各个分量C i (i =1,2，川，n)为任意常数.现在求(3.7)的形如

Y(x) =6(x)C(x)

的解，其中

「C i (x)「

LC n (x)J

为待定向量函数.将(3.17)代入(3.7)有

①'(x)C(x) +①(x)C'(x) = A(x)①(X)+F(x)

其中

①(x) =

y 2i (x) y 22(x)川 y 2n (x) (3.17)

C(x) = C 2(x)

Ly ni (x) y n2(x)川 y nnW” 因为①(x)是(3.8)的基本解矩阵，所以有 ①'(X)=A(x)①(X).从而，上式变为

①(x)C'(x) =F(x)

由于①(x)是非奇异矩阵，故①」(x)存在，于是

C(x)=①」(x)F(x)

积分得

x

C(x) = f a(t)F(t)dt

x 0

X 0为I 中任一点代入(3.17)得到

Y(x) = J x ①(X)①'(t)F(t)dt

x 0

显然Y(x)是(3.7)的一个特解，于是得到非齐次方程组 (3.7)的通解公式

x

Y(x) =e(x)C + J ①(X)①'(t)F(t)dt

x 0

例1求解方程组x=y —5cost, y=2x + y

解 由3.3节例4知，向量函数组

是对应齐次方程组的基本解组.现在求非齐次方程组形如

的特解，此时(3.18)的纯量形式为

①(x) = y 2i (x) y 22(x)川 y 2n

(x) (3.18) (3.19)