理论力学之核心概念-动力学篇

本篇接着阐述理论力学动力学中的核心观念。阐述的方式依旧是回答几个问题。

问题1：动力学的基本问题是什么？

答案：虽然书上有关于动力学问题的许多说法，但是就实际应用而言，对于我们机械专业而言，我们所遇到的最常见的动力学问题是，在一个机构上的原动件受到了力（偶），我们要得到机构上各构件的速度和加速度。或者已知了速度和加速度，要反推这个力（偶）是多少。

下图就是这样一个例子。在OA杆上施加一个驱动力偶，各个杆件都有重力，我们要计算此时各约束处的约束力的大小，还需要计算CD杆的速度和加速度。

该问题中，力与运动交织在一起，这就是机构的动力学问题，也是机械中经常遇到的问题。

问题2：如何求解动力学问题？

答案：

解决动力徐问题的方法很多。我们只要谈两种方法：第一种是通用解法，第二种是动静法（达朗伯原理）。

通用解法，是指面对一个动力学问题，我们总是有一套很程序化的思路来求解它，这套思路中，我们会使用刚体平面运动的微分方程。使用这种方法，我们几乎不用思考，就可以列出所有的方程，解决所有的未知数。例如，对上面这个问题，如果它已知M，要求CD杆的加速度。则使用通用解法，我们可以同时求出AB杆，BE,CD杆的加速度，也可以求出A,B,C,D,E 处所有的约束力。使用通用解法，我们几乎不用关注题目要求什么，而总是可以求出所有的未知数。

动静法，是说把这个动力学问题从形式上变成静力学问题，然后再借用静力学的求解方法来计算所需要的未知数。动静法之所以能够把动力学问题变成静力学问题，是因为它把加速度变成了惯性力，然后对于系统中的每一个构件，形成了一个力系平衡的问题。而我们之所以使用动静法，是因为对于静力学问题，我们有很多解题技巧，例如取整体为对象，或者取某几个构件一起为对象，或者对任何一个点取力矩，这些优越性，都是刚体平面运动微分方程所不具备的。

问题3：如何使用通用解法求解动力学问题？

答案：使用通用解法求解动力学问题的步骤如下：

（1）绘制受力图，并标出每个物体质心的加速度和构件的角加速度。

（2）确定未知数。在（1）中出现的所有未知力，以及加速度都是未知数，计算这些未知数的数目，设为M。

（3）问题分析。首先对每个物体列出刚体平面运动微分方程3个，从而确定可以列的所有动力学方程，设为N。那么需要追加的方程数目是M-N.这些方程应该来自于运动学或者滑动摩擦定律。

（4）列出所有动力学方程。

（5）补充方程。

如果问题中有摩擦，且发生了相对滑动，则需要补充滑动摩擦定律；

其次，追加加速度的关系式。凡是两个相互连接的物体之间都有加速度的关系式，要分辨两个物体之间是绳传动？是铰链连接？是移动副？是高副？根据不同情况增加不同的加速度关系式。

此外，如果一个物体在做平面运动，一般需要用基点法给出上面两个特殊点的加速度关系式。

（6）联立上述方程组求解。

问题4：如何使用达朗伯原理求解动力学问题？

答案：

使用达朗伯原理求解动力学问题的步骤如下：

（1）对物系中的每个物体绘制受力图。此时每个物体受到主动力和约束力，绘制受力图的方法就是在静力学中使用的方法。

（2）在（1）所绘制的受力图上，对每个物体标注质心的加速度和刚体的角加速度。

（3）在（2）的基础上，在每个加速度的反方向上施加惯性力或者惯性力偶。到此为止，每个物体的受力图就是完整的。

（4）对于（3）给定的完整的受力图（包含了主动力，约束力，惯性力（偶）的图形），鉴别需要求解的未知数是哪几个力，然后确定如何用静力学的方法取研究对象，列方程。

（5）一般而言，需要追加加速度的关系方程，然后联立（4）的力系平衡方程一起求解。将达朗伯原理用到上述问题上（为方便起见，将上图重抄如下），其解题思路如下：

首先，分别绘制出OA,AB,BE,CD,滑块C的受力图。

其次，对OA,AB,BE,CD,滑块C分别标出其质心的加速度，并对OA,BE杆标出角加速度。

再次，在上述加速度的反方向上绘制出惯性力和惯性力偶。

然后，确定如何用静力学的方法求解上述CD杆的水平惯性力（它代表着CD杆的加速度）？然后，追加各个杆件质心的加速度及杆件的角加速度的关系，补充方程。

最后，联立上述方程组求解。

问题5：上述两种求解方法各有什么优缺点？

答案：

尽量使用通用解法。

对于达朗伯原理，理论上很容易，其实不然。它需要解题人对惯性力的施加很清楚，也需要熟练掌握静力学的解题技巧（否则，该方法意义就不大），此外，仍旧需要增加加速度的关系式。使用该原理，解题人需要对思路非常清晰，否则，绕来绕去，都不知道自己要做什么了。