反证法与放缩法 课件

,求证 : 2n
b1
b2
bn
2n
3n N*.
【解析】
1.A 1 1 1 1 1 1 1 n n.
123
n nn
nn
答案：A n
共n项
2.
bn
an a n1
a n1 an
n n2
n2 n
n N*,
n n2. n2 n
bn
n
n
2
n
n
2＞2
n n2 2 n2 n
b1 b2 bn 2n.
仅给出一个已知条件：a3+b3=2
假设a+b＞2，则a＞2-b
∵2=a3+b3，又a＞2-b， ∴2＞(2-b)3+b3 2＞8-12b+6b2 即(b-1)2＜0，这是不可能的 故a+b≤2
用反证法证“至多”“至少”型问题
“至多”“至少”型问题的证明方法 在证明中含有“至多”“至少”“最多”等字眼时，若正面难 以找到解题的突破口,可转换视角,用反证法证明.在用反证法 证明的过程中,由于作出了与结论相反的假设,相当于增加了题 设条件,因此在证明过程中必须使用这个增加的条件,否则将无 法推出矛盾.
(2)如何进行放缩？对 n(n 放1)大或缩小.
【规范答题】 n n 1＞ n2 n, n n 1＜ (n 1)2 2n 1,
2
2
n＜ n n 1…＜…2n…1…, ………………………4分
2
1
2
3
n＜a n＜3
5
2
2n
1
1 3 5 2n 1 ,8分
2
n
n 2
1
＜a
n＜
n
12
2
12分
2
2
= 32(x+y+z)………………………………………12分
【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解 题启示总结如下：(此处的①见规范解答过程)
【规范训练】(12分)设 an 1 2 23 3 4
n n 1 n N .
求证：
n
n 2
1
＜a
n＜
n
12
2
.
【解题设问】(1)本题适用什么方法证明？放缩法.
反证法与放缩法
1.反证法 先假设__要__证__的__命__题__不__成__立__，以此为出发点，结合已知条件， 应用_公__理__、__定__义__、__定__理__、__性__质___等，进行正确的推理，得到和 _命__题__的__条__件___(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛 盾的结论，以说明假设不正确，从而证明_原__命__题__成__立___，我们 把它称为反证法.
用反证法证明不等式
1.用反证法证明不等式应注意的问题 (1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能要逐一 论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的. (2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进 行论证；否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证， 就不是反证法.
2.用反证法证明的一般步骤 (1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立. 假设结论反面成立. (2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾. 正确推理导出矛盾. (3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.否定假 设肯定结论.
2
②
1 k2
＜
k
1 k
1
,
1 k2
＞
k
1 k
1
,
1＜ k
2, k k 1
1＞ k
k 2 k 1 (以上k＞1且k N ).
【典例训练】
1. A 1
1 2
1 3
1与 n
n (n N ) 的大小关系是_______.
2.已知数列{an}的通项公式为
an
n n 1
2
,若
bn
an a n1
a n1 an
1.常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设
对某些数学语言的否定假设要准确，以免造成原则性的错误， 有时在使用反证法时，对假设的否定也可以举一定的特例来说 明矛盾，尤其在一些选择题中，更是如此.
2.放缩法证明不等式的理论依据 (1)不等式的传递性； (2)等量加不等量为不等量； (3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较.
2
3
6
=(x2-2x)+(y2-2y)+(z2-2z)+π
=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3
∴a+b+c＞0.这与a+b+c≤0矛盾，
故a,b,c中至少有一个大于0.
【想一想】反证法的使用情形有哪些？另外证明题2时常会出 现什么错误？ 提示：(1)难于直接使用已知条件导出结论的命题、唯一性命 题、“至多”或“至少”性命题、否定性或肯定性命题，常使 用反证法. (2)常会出现反设错误，而不能正确地证明.
【典例训练】
1.若二次函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间［-1，1］内
至少有一个值c,使 f(c)＞0，则实数p的取值范围是______.
2.若a, b,c均为实数，且a x2 2y , b y2 2z ,
2
3
c z2 2x .求证：a, b,c中至少有一个大于0. 6
2
2
2
同理可证 y2 yz z2 y z，
2
x2 xz z2……z …x…………………………8分
2
由于x,y,z不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，所
以三式累加得：
x2 xy y2 y2 yz z2 z2 zx x2＞
（x y ）（y z ） (z x )
2
又
bn
n
n 2
n
2 n
n
22 n2
1
2 n
2 2 2 , n n2
b1
b2
bn
2n
［2 (1
1) 3
(1 2
1) 4
(1 3
1) 5
(
1 n
n
1
2
)］
2n 3 2 2 2n 3 n 2 n 1
综上, 2n b1 b2 bn 2n 3 n N* .
放缩法证明不等式
2.放缩法 证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值_放__大__或_缩__ _小__，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称 为放缩法.
1.用反证法证明时，导出矛盾有哪几种可能？ 提示：(1)与原命题的条件矛盾； (2)与假设矛盾； (3)与定义、公理、定理、性质矛盾； (4)与客观事实矛盾.
【解析】1.假设在［-1，1］内没有点满足f(c)＞0,
p p
1 或p 1, 2
3或p 3 , 2
则
f f
1 1
0, 0,
p 3或p 3，取补集为 3＜p＜3 .
答案：(3, 3) 2
2
2
2.假设a,b,c都不大于0，即a≤0,b≤0,c≤0,
∴a+b+c≤0.
而a b c (x2 2y ) (y2 2z ) (z2 2x )
【典例】(12分)已知实数x，y，z不全为零，求证：
x2 xy y2 y2 yz z2 z2 zx x2＞3 x y z.
2
【解题指导】
【规范解答】 x2 xy y2 （x y ）2 3 y2 （x y ）2 ｜x y｜
x y…①，………………………………2 ……4 5分
【典例训练】
1.用反证法证明：如果a＞b＞0,那么 a＞ b. 2.若a3+b3=2，求证a+b≤2.
【证明】1.假设 a＞不b成立，则 若 a 则b，a=b,与已知a＞b矛盾， 若 a＜则b，a＜b,与已知a＞b矛盾，
a b
故假设不成立，结论 a＞成b立.
2.解题流程： 审题 反设 归谬
结论
2.若要证明“a,b至少有一个为正数”，用反证法证明时，正 确的假设应为__________. 【解析】“至少有一个”的否定假设为“一个也没有”. 答案：a,b全为非正数.
3.设a,b是两个实数，给出下列条件： (1)a+b＞1；(2)a+b=2；(3)a+b＞2；(4)a2+b2＞2； (5)ab＞1，其中能推出“a,b中至少有一个大于1”的条件是 ________(填序号). 【解析】(1)可取a=0.5,b=0.6,故不正确；(2)a+b=2，可取 a=1,b=1,故不正确；(3)a+b>2,则a,b中至少有一个大于1， 正确；(4)a2+b2>2,可取a=-2,b=-1，故不正确；(5)ab>1, 可取a=-2,b=-明不等式的技巧 放缩法就是将不等式的一边放大或缩小，寻找一个中间量，如 将A放大成C，即A＜C，后证C＜B.常用的放缩技巧有： (1)舍掉(或加进)一些项； (2)在分式中放大或缩小分子或分母；
(3)应用基本不等式进行放缩，如：
①(a 1)2 3＞(a 1)2；
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