勾股定理单元 易错题难题自检题检测试题

一、选择题

1．如图，ABC 中，有一点P 在AC 上移动．若56AB AC BC ===，，则AP BP CP ++的最小值为( )

A ．8

B ．8.8

C ．9.8

D ．10

2．在△ABC 中，∠BCA=90°,AC=6,BC=8,D 是AB 的中点，将△ACD 沿直线CD 折叠得到△ECD ，连接BE ，则线段BE 的长等于（ ）

A ．5

B ．75

C ．

145

D ．

365

3．如图，AB ＝AC ，∠CAB ＝90°，∠ADC=45°，AD ＝1，CD ＝3，则BD 的长为（ ）

A ．3

B 11

C ．3

D ．4

4．棱长分别为86cm cm ，的两个正方体如图放置，点A ，B ，E 在同一直线上，顶点G 在棱BC 上，点P 是棱11E F 的中点.一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点A 爬到点P ，它爬行的最短距离是( )

A ．(3510)cm +

B ．513cm

C ．277cm

D ．(2583)cm +

5．如图所示，用四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4.用，表示直角三角形的两直角边（），请仔细观

察图案.下列关系式中不正确的是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

6．如图，□ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，∠AEB=45°，BD=2，将△ABC 沿AC 所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内，若点B 的落点记为B′，则DB′的长为（ ）

A ．1

B ．2

C ．

32

D ．3

7．如图是一块长、宽、高分别为6cm 、4cm 、3cm 的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A 处，沿着长方体的表面到长方体上和A 相对的顶点B 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ）

A ．cm

B ．

cm

C ．

cm

D ．9cm

8．如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =∠ACB =∠ADC =45?，若AD =4，CD =2，则BD 的长为

（ ）

A ．6

B ．27

C ．5

D ．25 9．下列四组数中不能构成直角三角形的一组是（ ） A ．1，2，6

B ．3，5，4

C ．5，12，13

D ．3，2，13

10．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE=10，BE=24，则EF 的长是（ ）

A ．14

B ．13

C ．143

D ．142 二、填空题

11．如图，在△中，

，∠

90°，是

边的中点，是

边上一动

点，则

的最小值是__________．

12．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=?，4AC =，2BC =，以AB 为边向外作等腰直角三角形ABD ，则CD 的长可以是__________．

13．如图，等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，1AB DC ==，BD 平分ABC ∠，

BD CD ⊥，则AD BC +等于_________.

14．在△ABC 中，AB=15，AC=13，高AD=12，则ABC ?的周长为_______________． 15．如图是“赵爽弦图”，△ABH 、△BCG 、△CDF 和△DAE 是四个全等的直角三角形，四边形ABCD 和EFGH 都是正方形．如果AB ＝13，EF ＝7，那么AH 等于_____．

16．如图，在ABC △中8,4,AB AC BC AD BC ===⊥于点D ，点P 是线段AD 上一个动点，过点P 作PE AB ⊥于点E ，连接PB ，则PB PE +的最小值为________.

17．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，BC=CD=10，AC=17，AD=9，则AB=_____.

18．如图，在Rt ABC ?中，90ABC ∠=，DE 垂直平分AC ，垂足为F ，//AD BC ，且3AB =，4BC =，则AD 的长为______．

19．如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的边长分别为5和12，则b 的面积为_________________.

20．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，BD是高，则点BD的长为_____．

三、解答题

21．如图，在△ABC中，AB＝30 cm，BC＝35 cm，∠B＝60°，有一动点M自A向B以1 cm/s的速度运动，动点N自B向C以2 cm/s的速度运动，若M，N同时分别从A，B出发．

(1)经过多少秒，△BMN为等边三角形；

(2)经过多少秒，△BMN为直角三角形．

22．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=10，E为CD边上一点，将△ADE沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．

（1）求BF的长；

（2）求CE的长．

23．定义：如图1，平面上两条直线AB、CD相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线AB、CD的距离分别为p、q，则称有序实数对(p，q)是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”为（0，0）的点有1个，即点O．

（1）“距离坐标”为(1，0)的点有个；

（2）如图2，若点M在过点O且与直线AB垂直的直线l上时，点M的“距离坐标”为(p，q)，且∠BOD = 150?，请写出p、q的关系式并证明；

（3）如图3，点M的“距离坐标”为3)，且∠DOB = 30?，求OM的长．

24．已知a ，b ，c 满足88a a -+-＝|c ﹣17|+b 2﹣30b +225，

（1）求a ，b ，c 的值；

（2）试问以a ，b ，c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长和面积；若不能构成三角形，请说明理由．

25．Rt ABC ?中，90CAB ∠=，4AC =，8AB =，M N 、分别是边AB 和CB 上的动点，在图中画出AN MN +值最小时的图形，并直接写出AN MN +的最小值为 .

26．如图，ABC ?是等边三角形，,D E 为AC 上两点，且AE CD =，延长BC 至点F ，使CF CD =，连接BD ．

（1）如图1，当,D E 两点重合时，求证：BD DF =； （2）延长BD 与EF 交于点G ． ①如图2，求证：60BGE ∠=?；

②如图3，连接,BE CG ，若30,4EBD BG ∠=?=，则BCG ?的面积为______________．

27．已知ABC ?中，AB AC =.

（1）如图1，在ADE ?中，AD AE =，连接BD 、CE ，若DAE BAC ∠=∠，求证：

BD CE =

（2）如图2，在ADE ?中，AD AE =，连接BE 、CE ，若60DAE BAC ∠=∠=，

CE AD ⊥于点F ，4AE =，5EC =，求BE 的长；

（3）如图3，在BCD ?中，45CBD CDB ∠=∠=，连接AD ，若45CAB ∠=，求

AD

AB

的值.

28．菱形ABCD中，∠BAD＝60°，BD是对角线，点E、F分别是边AB、AD上两个点，且满足AE＝DF，连接BF与DE相交于点G．

（1）如图1，求∠BGD的度数；

（2）如图2，作CH⊥BG于H点，求证：2GH＝GB+DG；

（3）在满足（2）的条件下，且点H在菱形内部，若GB＝6，CH＝43，求菱形ABCD的面积．

29．阅读下列材料，并解答其后的问题：

我国古代南宋数学家秦九韶在其所著书《数学九章》中，利用“三斜求积术”十分巧妙的解决了已知三角形三边求其面积的问题，这与西方著名的“海伦公式”是完全等价的．我们也称这个公式为“海伦?秦九韶公式”，该公式是：设△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的

边分别为a、b、c，△ABC的面积为S＝()()()()

a b c a b c a c b b c a

+++-+-+-

．

（1）（举例应用）已知△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且a＝4，b ＝5，c＝7，则△ABC的面积为；

（2）（实际应用）有一块四边形的草地如图所示，现测得AB＝（26+42）m，BC＝5m，CD＝7m，AD＝46m，∠A＝60°，求该块草地的面积．

30．已知ABC 是等边三角形，点D 是BC 边上一动点，连结AD

()1如图1，若2BD =，4DC =，求AD 的长；

()2如图2，以AD 为边作60ADE ADF ∠=∠=，分别交AB ，AC 于点E ，F ．

①小明通过观察、实验，提出猜想：在点D 运动的过程中，始终有AE AF =，小明把这

个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法

想法1：利用AD 是EDF ∠的角平分线，构造角平分线的性质定理的基本图形，然后通过全等三角形的相关知识获证．

想法2：利用AD 是EDF ∠的角平分线，构造ADF 的全等三角形，然后通过等腰三角形的相关知识获证．

请你参考上面的想法，帮助小明证明.(AE AF =一种方法即可)

②小聪在小明的基础上继续进行思考，发现：四边形AEDF 的面积与AD 长存在很好的关

系.若用S 表示四边形AEDF 的面积，x 表示AD 的长，请你直接写出S 与x 之间的关系式．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．C 解析：C 【分析】

由AP+CP=AC 得到AP BP CP ++=BP+AC ，即计算当BP 最小时即可，此时BP ⊥AC ，根据三角形面积公式求出BP 即可得到答案. 【详解】 ∵AP+CP=AC ，

∴AP BP CP ++=BP+AC ，

∴BP ⊥AC 时，AP BP CP ++有最小值， 设AH ⊥BC ，

∵56AB AC BC ===， ∴BH=3， ∴224AH AB BH =

-=,

∵11

22

ABC

S BC AH AC BP =

?=?， ∴

11

64522

BP ??=?, ∴BP=4.8，

∴AP BP CP ++=AC+BP=5+4.8=9.8， 故选：C.

【点睛】

此题考查等腰三角形的三线合一的性质，勾股定理，最短路径问题，正确理解AP BP CP ++时点P 的位置是解题的关键.

2．C

解析：C 【分析】

根据勾股定理及直角三角形的中线、翻折得CD=DE=BD=5，CE=AC=6，作DH ⊥BE 于H ，EG ⊥CD 于G ，证明△DHE ≌△EGD ，利用勾股定理求出7

5

EH DG ==，即可得到BE. 【详解】

∵∠BCA=90°，AC=6，BC=8， ∴22226810AB

AC BC ，

∵D 是AB 的中点， ∴AD=BD=CD=5，

由翻折得：DE=AD=5，∠EDC=∠ADC ，CE=AC=6， ∴BD=DE ，

作DH ⊥BE 于H ，EG ⊥CD 于G ， ∴∠DHE=∠EGD=90?，∠EDH=

12∠BDE=1

2

（180?-2∠EDC ）=90?-∠EDC ， ∴∠DEB= 90?-∠EDH=90?-(90?-∠EDC)=∠EDC ， ∵DE=DE ， ∴△DHE ≌△EGD ， ∴DH=EG ，EH=DG ， 设DG=x ，则CG=5-x ，

∵2EG =2222DE DG CE CG -=-， ∴2

2

2

2

56(5)x x -=--，

∴

7

5

x=，

∴

7

5 EH DG

==，

∴BE=2EH=14

5

，

故选：C.

【点睛】

此题考查翻折的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，将求BE转换为求其一半的长度的想法是关键，由此作垂线，证明△DHE≌△EGD，由此求出BE的长度.

3．B

解析：B

【分析】

过点A作AE⊥AD交CD于E，连接BE，利用SAS可证明△BAE≌△CAD，利用全等的性质证得∠BED=90°，最后根据勾股定理即可求出BD.

【详解】

解：如图，过点A作AE⊥AD交CD于E，连接BE.

∵∠DAE=90°，∠ADE=45°，

∴∠ADE=∠AED=45°，

∴AE=AD=1，

∴在Rt△ADE中，22

112

+=

∵∠DAE=∠BAC=90°，

∴∠DAE+∠EAC=∠BAC+∠EAC，即∠CAD=∠BAE，

又∵AB=AC,

∴△BAE≌△CAD(SAS)，

∴CD=BE=3，∠AEB=∠ADC=45°， ∴∠BED=90°，

∴在Rt △BED 中， BD=()

2

22232

11BE DE +=+=.

故选B. 【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键.

4．C

解析：C 【分析】

当E 1F 1在直线EE 1上时，，得到AE=14，PE=9，由勾股定理求得AP 的长；当E 1F 1在直线B 2E 1上时，两直角边分别为17和6，再利用勾股定理求AP 的长,两者进行比较即可确定答案 【详解】

① 当展开方法如图1时，AE=8+6=14cm ，PE=6+3=9cm ， 由勾股定理得2222149277AP AE PE cm =

+=+=

② 当展开方法如图2时，AP 1=8+6+3=17cm ，PP 1=6cm ， 由勾股定理得222211176325AP AP PP cm =+=+=

∵277<

325

∴蚂蚁爬行的最短距离是277cm

,

【点睛】

此题考察正方体的展开图及最短路径，注意将正方体沿着不同棱线剪开时得到不同的平面图形，路径结果是不同的

5．D

解析：D 【解析】 【分析】

利用勾股定理和正方形的面积公式，对公式进行合适的变形即可判断各个选项是否争取. 【详解】

A中，根据勾股定理等于大正方形边长的平方，它就是正方形的面积，故正确；

B中，根据小正方形的边长是2它等于三角形较长的直角边减较短的直角边即可得到，正确；

C中，根据四个直角三角形的面积和加上小正方形的面积即可得到，正确；

D中,根据A可得，C可得，结合完全平方公式可以求得

，错误.

故选D.

【点睛】

本题考查勾股定理.在A、B、C选项的等式中需理解等式的各个部分表示的几何意义，对于D选项是由A、C选项联立得出的.

6．B

解析：B

【解析】

【分析】

如图，连接BB′．根据折叠的性质知△BB′E是等腰直角三角形，则BB′=2BE．又B′E是BD 的中垂线，则DB′=BB′．

【详解】

∵四边形ABCD是平行四边形，BD=2，

∴BE=1

2

BD=1．

如图2，连接BB′．

根据折叠的性质知，∠AEB=∠AEB′=45°，BE=B′E．

∴∠BEB′=90°，

∴△BB′E是等腰直角三角形，则BB′=2BE=2,

又∵BE=DE，B′E⊥BD，

∴DB′=BB′=2．

故选B．

【点睛】

考查了平行四边形的性质以及等腰直角三角形性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．

7．C

解析：C

【解析】

【分析】

本题中蚂蚁要跑的路径有三种情况，知道当蚂蚁爬的是一条直线时，路径才会最短．蚂蚁爬的是一个长方形的对角线．展开成平面图形，根据两点之间线段最短，可求出解．

【详解】

解：如图1，当爬的长方形的长是(4+6)=10，宽是3时，需要爬行的路径的长

==cm；

如图2，当爬的长方形的长是(3+6)=9，宽是4时，需要爬行的路径的长

==cm；

如图3，爬的长方形的长是(3+4)=7时，宽是6时，需要爬行的路径的长==cm.

所以要爬行的最短路径的长cm.

故选C.

【点睛】

本题考查平面展开路径问题，本题关键知道蚂蚁爬行的路线不同，求出的值就不同，有三种情况，可求出值找到最短路线.

8．A

解析：A

【解析】

【分析】作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，根据等式的性质，可得∠BAD与∠CAD′的关系，根据SAS，可得△BAD与△CAD′的关系，根据全等三角形的性质，可得BD与CD′的关系，根据勾股定理，可得答案．

【详解】作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，

则有∠AD′D=∠D′AD=45 ，

∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，

即∠BAD=∠CAD′，

在△BAD 与△CAD′中，''BC CA BAD CAD AD AD =??

∠=∠??=?

，

∴△BAD ≌△CAD′（SAS ）， ∴BD=CD′，

∠DAD′=90°，由勾股定理得DD′=

22'

AD AD +＝42，

∠D′DA+∠ADC=90°，由勾股定理得 C D′=2

2

DC DD +'=

()

2

2422+=6，

故选A.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，勾股定理，添加辅助线作出全等图形是解题关键．

9．A

解析：A 【解析】

A. 12+226)2，不能构成直角三角形，故此选项符合题意；

B. 32+42=52，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；

C. 52+122=132，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；

D. 32+22132，能构成直角三角形，故此选项不符合题意； 故选A.

10．D

解析：D 【分析】

24和10为两条直角边长时，求出小正方形的边长14，即可利用勾股定理得出EF 的长． 【详解】

解：∵AE=10，BE=24，即24和10为两条直角边长时， 小正方形的边长=24-10=14， ∴221414142+= 故选D ． 【点睛】

本题考查了勾股定理、正方形的性质；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．

二、填空题

11．

【解析】如图，过点作⊥

于点，延长

到点

，使

，连接

，交

于点

，连接

，此时

的值最小．连接，由对称性可知∠

45°，

，∴ ∠

90°.根据勾股定理可得

．

12．210或213或32 【分析】

在ABC 中计算AB ，情况一：作AE CE ⊥于E ，计算AE ，DE ，CE ，可得CD ；情况二：作BE CE ⊥于E ，计算BE ，CE ，DE ，可得CD ；情况三：作DE CE ''⊥，计算

,,DF DE CE ''，可得CD ．

【详解】

∵90ACB ?∠=，4,2AC BC ==， ∴25AB =，

情况一：当25AD AB ==时，作AE CE ⊥于E ∴

1122BC AC AB AE ?=?，即45AE =，145DE = ∴2285

5

CE AC AE =

-=

∴22213CD CE DE =+=

情况二：当25BD AB ==时，作BE CE ⊥于E ， ∴

1122BC AC AB BE ?=?，即45BE =，145DE = ∴2225

CE BC BE =

-=

∴22210CD CE DE =+=

情况三：当AD BD =时，作DE CE ''⊥，作BE CE ⊥于E ∴

11

22

BC AC AB BE ?=?， ∴55

BE =

35

CE ∴=

∵ABD △为等腰直角三角形 ∴1

52

BF DF AB ==

=∴95

5

DE DF E F DF BE ''=+=+=

2535

555

CE EE CE BF CE ''=-=-==

∴2232CD CE E D ''=+=

故答案为：1021332【点睛】

本题考查了等腰直角三角形的探索，勾股定理的计算等，熟知以上知识是解题的关键． 13．3 【分析】

由//AD BC ，BD 平分ABC ∠，易证得ABD ?是等腰三角形，即可求得1AD AB ==，又由四边形ABCD 是等腰梯形，易证得2C DBC ∠=∠，然后由BD CD ⊥，根据直角三角形的两锐角互余，即可求得30DBC ∠=?，则可求得BC 的值，继而求得AD BC +的值. 【详解】

解：∵//AD BC ，AB DC =， ∴C ABC ∠=∠，ADB DBC ∠=∠， ∵BD 平分ABC ∠，

∴2ABC DBC ∠=∠，ABD DBC ∠=∠， ∴ABD ADB ∠=∠， ∴1AD AB ==， ∴2C DBC ∠=∠， ∵BD CD ⊥， ∴90BDC ∠=?， ∵三角形内角和为180°， ∴90DBC C ∠+∠=?， ∴260C DBC ∠=∠=?， ∴2212BC CD ==?=， ∴123AD BC +=+=. 故答案为：3． 【点睛】

本题主要考查对勾股定理，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰梯形的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键． 14．32或42

【分析】

根据题意画出图形，分两种情况：△ABC是钝角三角形或锐角三角形，分别求出边BC，即可得到答案

【详解】

当△ABC是钝角三角形时，

∵∠D=90°，AC=13，AD=12，

∴2222

=-=-=,

CD AC AD

13125

∵∠D=90°，AB=15，AD=12，

∴2222

=-=-=,

15129

BD AB AD

∴BC=BD-CD=9-5=4，

∴△ABC的周长=4+15+13=32；

当△ABC是锐角三角形时，

∵∠ADC=90°，AC=13，AD=12，

∴2222

=-=-=，

CD AC AD

13125

∵∠ADB=90°，AB=15，AD=12，

∴2222

=-=-=，

15129

BD AB AD

∴BC=BD-CD=9+5=14，

∴△ABC的周长=14+15+13=42；

综上，△ABC的周长是32或42，

故答案为：32或42.

【点睛】

此题考查勾股定理的实际应用，能依据题意正确画出图形分类讨论是解题的关键.

15．【分析】

根据面积的差得出a+b 的值，再利用a-b=7，解得a ，b 的值代入即可． 【详解】

∵AB ＝13，EF ＝7，

∴大正方形的面积是169，小正方形的面积是49，

∴四个直角三角形面积和为169﹣49＝120，设AE 为a ，DE 为b ，即1

41202

ab ?=， ∴2ab ＝120，a 2+b 2＝169，

∴（a +b ）2＝a 2+b 2+2ab ＝169+120＝289， ∴a +b ＝17， ∵a ﹣b ＝7， 解得：a ＝12，b ＝5， ∴AE ＝12，DE ＝5， ∴AH ＝12﹣7＝5． 故答案为：5． 【点睛】

此题考查勾股定理的证明，关键是应用直角三角形中勾股定理的运用解得ab 的值．

16【分析】

根据题意点B 与点C 关于AD 对称，所以过点C 作AB 的垂线，与AD 的交点即点P ，求出CE 即可得到答案 【详解】

∵8,AB AC AD BC ==⊥ ∴点B 与点C 关于AD 对称

过点C 作CE ⊥AB 于一点即为点P ，此时PB PE +最小 ∵8,4,AB AC BC AD BC ===⊥ ∴BD=2

在Rt △A BC 中， AD ==∵S △ABC=

11

22

BC AD AB CE ??=??

∴48CE ?=

得CE =

【点睛】

此题考察最短路径，根据题意找到对称点，作直角三角形，利用勾股定理解决问题 17．21 【分析】

在AB 上截取AE=AD ，连接CE ，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，先证明△ADC ≌△AEC ，得出AE=AD=9，CE=CD=BC ＝10的长度，再设EF=BF=x ，在Rt △CFB 和Rt △CFA 中，由勾股定理求出x ，再根据AB=AE+EF+FB 求得AB 的长度． 【详解】

如图所示，在AB 上截取AE=AD ，连接CE ，过点C 作CF ⊥AB 于点F ， ∵AC 平分∠BAD ， ∴∠DAC=∠EAC ． 在△AEC 和△ADC 中，

AE AD DAC EAC AC AC ??

∠∠???

＝＝＝

∴△ADC ≌△AEC （SAS ）， ∴AE=AD=9，CE=CD=BC =10， 又∵CF ⊥AB ， ∴EF=BF ， 设EF=BF=x ．

∵在Rt △CFB 中，∠CFB=90°， ∴CF 2=CB 2-BF 2=102-x 2， ∵在Rt △CFA 中，∠CFA=90°，

∴CF 2=AC 2-AF 2=172-（9+x ）2，即102-x 2=172-（9+x ）2， ∴x=6，

∴AB=AE+EF+FB=9+6+6=21， ∴AB 的长为21．