克莱姆法则及证明
1.3 克莱姆法则(1)
教学要求
1 2 3 了解克莱姆法则的条件和结论； 认识范得蒙行列式； 熟悉掌握计算行列式的几种常用方法。
教学过程
一、克莱姆法则 条件：1）必须是 n 个方程，n 个未知数； 2）系数行列式 D 一定不等于零。 结论：1）线性方程组有唯一解； 2）唯一解为 x1
D1 D , x2 2 , D D
n 1 x2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱn 1 x3
n 1 xn
Dn ( x j xi )
i 1 j i 1
n
n
3 掌握范德蒙行列式的计算方法。 从第 n 行开始，后行减去前行的 x1 倍，再用行列式按行展开定理，提出每列元素的公 因式，找出递推规律，以此类推。 练习：书 P26 6 题（4） ，8 题（3） 。
a1n xn ann xn
a1n ann
D1 D , x2 2 , D D
由克莱姆法则，得到课本上第 24 页的定理 4、定理 5。 注意： 1）克莱姆法则的作用是为我们推导线性方程组的求解理论提供理论依据； 2）求解线性方程组时，我们很少用克莱姆法则； 3）在第一章讲克莱姆法则，告诉我们，行列式在求解线性方程组时的应用。
齐次线性方程组有非零解的充要条件 非齐次线性方程组有唯一解、无解和有无穷多解的充要条件
大连海事大学数学系 1
练习：书 P28
10 题、11 题、12 题。
二、范德蒙行列式 1 认识范德蒙行列式；
1 x1 Dn x
2 1
1 x2 x
2 2
1 x3 x
2 3
1 xn
2 xn
x1n 1
2 知道范德蒙行列式的结果；
大连海事大学数学系
克莱姆法则的证明及应用
克莱姆法则的证明及应用克莱姆法则（Cramer's rule）是线性代数中的一个重要定理，它提供了一种求解线性方程组的方法。
克莱姆法则的证明可以通过矩阵的行列式理论进行推导，并且可以应用于求解n个未知数的n个线性方程组。
下面我们将详细介绍克莱姆法则的证明以及其应用。
证明：假设有一个n个未知数的线性方程组，可以表示为Ax=b，其中A为一个n阶方阵，x为未知数向量，b为常数向量。
1.首先，我们求解方阵A的逆矩阵A^-12.接下来，我们用行列式的形式表示方程组的解x_i。
(1)当i=1时，我们将方程组的第i列替换为常数列b，得到矩阵A_i。
(2) 计算矩阵A_i的行列式det(A_i)，并用方程组的解x_i表示为x_i=det(A_i)/det(A)。
3.重复步骤2，直到求解出n个方程的解x_1,x_2,...,x_n。
通过上述步骤，我们证明了克莱姆法则。
应用：1.求解2x2线性方程组：当线性方程组只包含两个未知数时，可以直接应用克莱姆法则求解。
例如，对于方程组：a₁x+b₁y=c₁a₂x+b₂y=c₂其中a₁、b₁、c₁、a₂、b₂、c₂为已知常数，求解x和y的值可以通过下面的公式计算：x=(c₁b₂-b₁c₂)/(a₁b₂-b₁a₂)y=(a₁c₂-c₁a₂)/(a₁b₂-b₁a₂)2.求解3x3线性方程组：对于包含三个未知数的线性方程组，同样可以利用克莱姆法则进行求解。
例如，对于方程组：a₁x+b₁y+c₁z=d₁a₂x+b₂y+c₂z=d₂a₃x+b₃y+c₃z=d₃其中a₁、b₁、c₁、d₁等为已知常数，可以通过克莱姆法则计算x、y、z 的值。
3.求解特殊矩阵的逆矩阵：4.分析线性方程组的可解性：总结：克莱姆法则是一种求解线性方程组的有效方法，其基本思想是通过行列式运算推导出方程组的解。
克莱姆法则的证明可以通过矩阵的行列式理论进行推导，其应用范围广泛，可以用于求解不同数量未知数的线性方程组，也可以应用于求解特殊矩阵的逆矩阵和判断线性方程组的可解性。
《线性代数》1.5第五节 克莱姆法则
按第一行展开. 由于第一行第 j 1 列的元素 aij 的代数 余子式为
b1 A1 j 1 1
1 j 1
a11 a21 an1
a1 j 1 a2 j 1 anj 1
a1 j 1 a2 j 1 anj 1
a1n a2 n ann
b2 bn
把 A1 j 1 的第1列依次与第2列、第3列、…、第j列 互换，有 所以有
现在验证（2）式是方程组（1）的解，也就是要证明
ai1
D1 D D ai 2 2 ain n bi , D D D
(i 1,2, , ,n)
即 ai1 D1 ai 2 D2 ain Dn bi D 考虑有两行相同的 n 1 阶行列式
bi b1 B b2 bn ai1 a11 a21 an1 ain a1n a2 n 0, ann (i 1, 2, , n)
D1
2 4 1 4 1 2 3 1
1 0 2 2 1 0 2 2
1 2 1 4 1 1 2 4 1 4 0 2 2 4 0 2
＝ 2，D2＝
1 2 3 1 1 2 3
2 4 1 4 1 0 2 2 1 1 1
1 2 1 4 1 1 2 4 1 0 2
线 性 代 数
(第二版)
第五节 克莱姆法则
现在，我们应用 n阶行列式来解含有n个未知量的 n 个线性方程的方程组. 一、克莱姆（Cramer）法则 定理1.5.1（克莱姆法则）若线性方程组
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 an1 x1 an 2 x2 a1n xn b1 , a2 n xn b2 , ann xn bn .
克莱姆 法则
b1 ，b2 ， ，bn 全为零，则此方程组称为 n 元齐次线性方程组，即
a11x1 a12 x2 a21x1 a22 x2 an1x1 an2 x2
a1n xn 0 ， a2n xn 0 ，
ann xn 0 ．
（ 1-16 ）
相关概念
方程组（1-15）的系数 aij 构成的行列式
2 8 5 1
9 D1 5
3 2
0 1
6 2
81 ， D2
1 0
9 5
0 1
6 108 ， 2
0 4 7 6
1 0 7 6
2 18 1
2 1 5 8
1 D3 0
3 2
9 5
6 2
27 ， D4
1 0
3 2
0 1
9 27 ， 5
140 6
1 4 7 0
所以， x1
D1 D
81 27
3 ， x2
根，则 f (x) 是一个零多项式。 证明：设 a1 ，a2 ， ，an1 是 f (x) 的 n 1 个不同的根，即
c0 c0
c1a1 c1a2
c2a12 c2a22
cna1n 0 ， cna2n 0 ，
c0
c1an1
c2
a2 n1
cn
an n 1
0，
这是以 c0 ，c1 ， ，cn 为未知数的齐次线性方程组，其系数行列式为
．
1 a1 a12 1 a2 a22
a1n
11
1
a2n
a1 a2
an1
D 1 a3 a32
a3n a12 a22
a2 n 1
1 an1
a2 n 1
an n 1
行列式克莱姆法则
利用克莱姆法则，可以将一个行列式表示为一个数值，通过计算该数值即可得到行列式的值。这种方法适用于系 数行列式不为零的情况，可以简化行列式的计算过程。
实例三：解的唯一性验证
总结词
克莱姆法则可以用于验证线性方程组解的唯一性。
详细描述
通过计算系数矩阵的行列式，利用克莱姆法则判断解的唯一性。如果行列式不为零，则线性方程组有 唯一解；如果行列式为零，则线性方程组可能无解或有无穷多解。这种方法可以用于判断线性方程组 解的情况，为求解问题提供依据。
03 适用范围
研究克莱姆法则的适用范围，探索其在更广泛领 域的应用可能性。
应用领域的拓展
数值分析
将行列式克莱姆法则应用于数值分析中，解决 大规模线性方程组的求解问题。
科学计算
将克莱姆法则与其他科学计算方法相结合，提 高计算效率和精度。
工程领域
将克莱姆法则应用于工程领域，解决实际工程问题，如结构分析、流体动力学 等。
线性方程组解的唯一性条件是克莱姆法则应用的 重要前提之一，它确保了线性方程组的解是唯一 的，从而使得行列式中的每个子式可以代表一个 唯一的解向量。
03
克莱姆法则的推导过程
推导步骤一：行列式的计算
计算行列式的值
根据行列式的定义，按照行或列展开，计算得到行列 式的值。
展开方式的选择
选择合适的展开方式，使得计算过程简化，提高计算 效率。
计算方法的改进
算法优化
优化克莱姆法则的计算方法，提高计算效率，减少计算量。
并行计算
利用并行计算技术，实现克莱姆法则的高效计算，处理大规模数 据。
软件实现
开发适用于克莱姆法则的软件或库，方便用户进行实际应用和计 算。
THANKS
线性代数课件1-5克莱姆法则
线性方程组的解的个数
有唯一解
当系数矩阵的行列式不为零时，线性方 程组有唯一解。
VS
无解或多解
当系数矩阵的行列式为零时，线性方程组 可能无解或多解，此时克莱姆法则不适用 。
03
克莱姆法则的证明过程
系数矩阵的行列式的性质
系数矩阵的行列式不为零
克莱姆法则的前提条件是系数矩阵的行列式 不为零，这是保证线性方程组有唯一解的重 要条件。
线性方程组解的个数的判断
总结词
克莱姆法则可以用于判断线性方程组解的个数。
详细描述
通过计算系数矩阵的行列式值和各列的代数余子式，可 以确定线性方程组的解的个数。如果行列式值不为零， 则线性方程组有唯一解；如果行列式值为零且系数矩阵 的秩等于增广矩阵的秩，则线性方程组有无穷多解；如 果行列式值为零且系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩， 则线性方程组无解。
Ax=b，其中A是系数矩阵，x是未知数矩阵，b是常数矩阵。
特殊形式
当系数矩阵A为方阵时，即行数和列数相等的矩阵，克莱姆法则适用。
系数矩阵的行列式
非零行列式
克莱姆法则的前提是系数矩阵的行列式不为零，即|A|≠0。
行列式的计算
行列式的值是通过其对应元素的代数余子式计算得出的，即|A|=Σ(-1)^(i+j)a_{ij}，其中a_{ij}是A的元 素。
解的唯一性
除了证明解的存在性，还需要证明解是唯一 的。这可以通过利用系数矩阵的行列式不为 零的条件和线性方程组的解的性质来证明。
克莱姆法则的证明
证明过程
克莱姆法则的证明过程涉及多个步骤，包括利用代数余子式计算系数矩阵的行列式、将 线性方程组的解表示为系数矩阵的行列式的值等。这个过程需要仔细推导和计算，确保
第三次课(2—克莱姆法则)
证明 用D中第j列元素的代数余子式A1j , A2j , …, Anj
依次乘方程组(1)的n个方程,得
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn A1 j b1 A1 j a x a x ... a x A b A 21 1 22 2 2n n 2j 2 2j .......... .......... ........ an1 x1 an 2 x2 ... ann xn Anj bn Anj
方程是否有解取决于b1和b2的取值, 如果b1=b2, 则头两个方程完全一样, 方程的解不止一个, 而 如b1b2, 方程无解.
齐次线性方程组的相关定理
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn 0 a x a x ... a x 0 21 1 22 2 2n n .......... .......... .......... an1 x1 an 2 x2 ... ann xn 0
3与方程组 1
等价, 故
Dn D1 D2 D2 x1 , x2 , x3 , ... , xn . D D D D
也是方程组的 1 解.
证毕
内容小结
1. 克莱姆法则
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 (1) 若线性方程组 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn 的系数行列式 D 0, 则方程组(1)有且仅有唯 x j D j / D, ( j 1,2, , n) 一解
有非零解，则它的(当且仅当)系 数行列式必为零。
定理3’为定理3的逆否命题，故显然成立。
克莱姆法则的证明及应用
克莱姆法则的证明及应用a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1,a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2,...a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + ... + a_{nn}x_n = b_n.我们将系数矩阵记作A，未知数向量记作X，常数向量记作B，则上述线性方程组可以写成矩阵形式为AX=B。
根据矩阵的乘法，可以将AX表示为列向量的线性组合：AX=x_1A_1+x_2A_2+...+x_nA_n其中A_1，A_2，...，A_n分别是A的列向量。
现在我们假设A_1，A_2，...，A_{i-1}，B，A_{i+1}，...，A_n都不变，而将A_i替换成B。
则记新的系数矩阵为A'。
原方程组可以写成AX=B，新的方程组可以写成A'X=B。
根据线性方程组的解唯一性定理，在方程组有解时，系数矩阵A和B之间存在一个可逆矩阵C，使得AX=B等价于CAX=CB。
即X=C^-1B。
而根据矩阵乘法的结合性，CAX=CB可以改写为ACX=CB。
我们可以将AC视为n个列向量A_1，A_2，...，A_{i-1}，C，A_{i+1}，...，A_n组成的矩阵形式。
同样，我们可以将CB视为n个列向量A_1，A_2，...，A_{i-1}，B，A_{i+1}，...，A_n组成的矩阵形式。
则ACX=CB可以写成AX=B的形式。
由于X=C^-1B，所以原方程组的解为X=C^-1B。
同理，新方程组的解为X'=(AC)^-1CB。
我们可以通过计算矩阵(AC)^-1和AC，然后使用矩阵乘法运算得出X'。
将X'中位于第i行的元素记作x'_i。
则根据X'=(AC)^-1CB得出x'_i=，AC_i，/，A，其中，X，表示矩阵X的行列式。
克莱姆法则的应用可以用于求解n个方程和n个未知数的线性方程组。
克莱姆法则的证明及应用
克莱姆法则及其应用前 言克莱姆法则是瑞士数学家克莱姆经过证明的出的，克莱姆 （Cramer,Gabriel,1704-1752）,瑞士数学家。
生于瑞士，卒于法国。
在巴塞尔时与与约翰·伯努利、欧拉多人学习交流，并成为挚友，，曾任教学和哲学教授，克莱姆对数学的贡献主要指在高等代数和解析几何方面。
克莱姆法则是高等代数的重点内容之一，以及克莱姆法则在理论上和应用上都有着十分重要的意义。
例如计算行列式，在生活中也有很多地方用到了克莱姆法则。
1. 预备知识若想学习克莱姆法则，必须知道什么是系数行列式。
现在就给介绍一下系数行列式。
设含有n 个未知量n 个方程的111122112212222212n n n n nn n a x a x a b a x a x a b a a a b +++=+++=+++=（1-1）其系数构成的行列式111212122212n nn n nna a a a a a D a a a =称为方程组（1-1）的系数行列式。
1. 克莱姆法则的定义克莱姆法则（Cramer Rule ）：一个含有n 个未知量n 个方程的线性方程组（1-1)当它的系数行列式0D ≠时，有且仅有一个解：1212,,,.n n D D D x x x D D D === （1-2）期中JD 是将D 的第j 列换成常数项21,,,nb b b 而其余列不变的行列式。
即111,111,11212,122,121,1,1j j n j j n j n n j n n j nna ab a a a a b a a D a a b a a −+−+−+=1122,(1,2,).j j n nj b A b A b A j n =+++=2. 克莱姆法则的证明方法克莱姆法则有多种证明方法，在此我中立出三种证明方法，分别是2.1克莱姆法则的一般证明方法2.1.1 克莱姆法则的一般证明方法在给 在第一节中已经给出克莱姆法则的定义，再次就不在家赘述。
线性代数—克莱姆法则
D 0,则(2)必有非零解.
8
例2 问 取何值时，齐次线性方程组
x1 x 2 x 3 0
x1
x2
x3
0
x1 x2 x3 0
有非零解？
解 1 1 2 1 1
11 1
D 1 1 2 1 ( 2) 1 1
3 2
0 1
9 27,
5
14 0 6
1 4 7 0
x1
D1 D
81 27
3,
x2
D2 D
108 27
4,
x3
D3 D
27 27
1,
x4
D4 D
27 27
1.
7
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0
称方程组 a21x1a22x2a2nxn 0
D 27,
8 1 5 1
2 8 5 1
9 D1 5
3 2
0 1
6
1
2 81, D2 0
9 5
0 1
6 108,
2
0 4 7 6
1 0 7 6
21 8 1
2 1 5 8
1 D3 0
3 2
9 5
6 2
27, D4
1)
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
的系数行列式不等于零，即
a11 a12 a1n
D a21 a22 a2n
0,
an1 an2 ann
关于克莱姆法则推论的证明补充
关于克莱姆法则推论的证明补充
克莱姆法则也称为克莱米法则，它原本是一种量子物理的定理，表示粒子在同一时间点中
的状态不会改变。
但是，它也被拓展到非物理领域，比如传播学、组织管理等，进而变成
一种推论原则。
在克莱姆法则下，如果对一个系统进行了动力学模型建模，那么这个系统
会处于一种恒定的状态，即势能是恒定的，即大小不会发生改变。
克莱姆法则的推论原理提供了无限多的用途。
简而言之，它主要是建立在动能定律的基础
上的，意思是某一当前状态中，一切不变量、势能、运动量等任何不能发生变化的对象都
是恒定不变的。
换句话说，它针对的是在系统中没有任何外力或是刺激作用，自身状态不
变的情况，强调量子系统不能自己波动或变化。
证明克莱姆法则推论原理的关键是概括它所涉及的动力学概念，即系统的势能不会改变。
根据牛顿的动力学第三定律，“当物体作用于某物上的力之和为零，动能不会改变”，即
动能是恒定的，没有发生任何变化，所以，可以证明某些特定情况下，量子状态不会改变，也就是克莱米法则。
克莱姆法则不仅涉及动力学定律，而且在有条件的情况下可以实际应用到传播学、组织管
理等领域，对于满足条件的系统的行为进行预测，即处于恒定状态。
如果物体能改变它自
身的动能，即表现出不稳定的状态，这是很难有结论的。
证明克莱米法则推论的完整性要
求认真地研究大量的数学等公式，以便满足外界的一致性要求，说明克莱米法则中所涉及
的假设系统条件。
行列式性质计算克莱姆法则
问题：当aij与Akj的脚标不一样时，
ai1Ak1+ai2Ak2+...+ainAkn=？
☺ 恰好 A 中第 k 行用第 i 行代替！
克莱姆法则
当 i=k 时，
ai1Ak1+ai2Ak2+...+ainAkn=det A
当 i≠k 时，
ai1Ak1+ai2Ak2+...+ainAkn=0
若按列展开，有类似的结论
行列式的性质和计算
行初等变换
交换矩阵 A 第 i、j 行（ri rj ）
第 i 行乘数 k （kri）
第 j 行乘 k 加到第 i 行（ri+krj ）
行初等变换
交换矩阵 A 第 i、j 行（ri rj ）
第 i 行乘数 k （kri）
第 j 行乘 k 加到第 i 行（ri+krj ）
=(-1)n det A 由于 n 为奇数，det A=0
例4 求 det D
a b b b a b D b b b
b b a
例4 求 det D
a b b b a b D b b b
b b a
注意 D 的行之间具有“循环”性质 将其他行加到第一行，第一行相等
A21 A22 A2 n
An1 An 2 Ann
则 AA*=det A En ，称A*伴随矩阵 1 1 若 A 可逆，则 A A* det A
克莱姆法则
对于线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn
线性代数 克莱姆(Cramer)法则
其中 b j 称为右端项 (或常数项)；
a11 a 21 D a n1 a12 a1n a 22 a 2 n a n 2 a nn
简记为
ai j x j bi ,
j 1
n
i 1 , 2 , , n .
称为系数行列式 .
2
§1.3 克莱姆(Cramer)法则 第 二、克莱姆(Cramer)法则 一 a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 , 章 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 , 定理 考虑线性方程组 行 列 P 18 a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n bn . 定理 式 1.3 若系数行列式 D 0 ，则方程组有惟一解
再将 n 个方程相加，得
n n n n ak 1 Ak 1 x1 ak 2 Ak 1 x2 ak n Ak 1 xn bk Ak 1 . k 1 k 1 k 1 k 1
4
§1.3 克莱姆(Cramer)法则 第 一 章 行 列 式
6
§1.3 克莱姆(Cramer)法则 第 三、齐次与非齐次线性方程组 一 a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 , 章 a x a x a x b , 21 1 22 2 2n n 2 行 定义 设线性方程组为 列 P 21 a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n bn . 式 (1) 若常数项 b1 , b2 , , bn 不全为零， 则称此方程组为非齐次线性方程组; (2) 若常数项 b1 , b2 , , bn 全为零， 则称此方程组为齐次线性方程组; 注 通常还称齐次线性方程组为它所对应的非齐次线性 方程组的导出(方程)组. 7
克莱姆法则的简易证明
克莱姆法则的简易证明
假设每个人在做出决策或行动时都会追求自己的最大利益，亚当·斯密的凯莱姆法则认为，如果这样的决策是最大利益的最佳选择，则所有人都会采取相同的决策。
证明：假设有N个人，每个人做出同一决定。
设它们中的每个人都有一个最大利益的选择。
设xi为第i个人最大利益的选择，显然，存在一个x使x1=x2=...=xn。
证明我们要证明x是最优选择。
假设存在一个x*不是最优选择，即存在一个i满足x*>xi。
但根据假设，每个人都会追求最大利益，第i个人就会选择xi，而不是x*，这与假设矛盾，因此有x=x1=x2=…=xn=x*，即x是最优选择。
以上就是证明亚当·斯密的凯莱姆法则的简易证明。
05 第五节 克莱姆法则
第五节 克莱姆法则内容要点.克莱姆法则定理1 (克莱姆法则) 若线性方程组(1)的系数行列式0≠D , 则线性方程组(1)有唯一解,其解为),,2,1(n j D D x jj == (3)其中),,2,1(n j D j =是把D 中第j 列元素nj j j a a a ,,,21 对应地换成常数项,,,,21n b b b 而其余各列保持不变所得到的行列式.一般来说，用克莱姆法则求线性方程组的解时，计算量是比较大的. 对具体的数字线性方程组，当未知数较多时往往可用计算机来求解.克莱姆法则在一定条件下给出了线性方程组解的存在性、唯一性，与其在计算方面的作用相比，克莱姆法则更具有重大的理论价值. 撇开求解公式(3),克莱姆法则可叙述为下面的定理.定理2 如果线性方程组(1)的系数行列式,0≠D 则(1)一定 有解,且解是唯一的.在解题或证明中，常用到定理2的逆否定理:定理2' 如果线性方程组(1)无解或有两个不同的解, 则它的系数行列式必为零.对齐次线性方程组(2), 易见021====n x x x 一定该方程组的解, 称其为齐次线性方程组(2)的零解. 把定理2应用于齐次线性方程组(2)，可得到下列结论.定理3 如果齐次线性方程组(2)的系数行列式,0≠D 则齐次线性方程组(2)只有零解. 定理3' 如果齐次方程组(2)有非零解,则它的系数行列式.0=D注: 在第三章中还将进一步证明,如果齐次线性方程组的系数行列式,0=D 则齐次线性方程组(2)有非零解.例题选讲例1用克莱姆法则求解线性方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=++4535225323221321x x x x x x x 解 530021532=D 31r r - ,205225302253002102=⨯⨯==5340255321=D 31r r -,2052)2(534025002-=⨯⨯-=- 5400515222=D 212r r -54051580-21r r ↔,605458540580051=--=--4305212323=D 212r r -43521810--21r r ↔.204381430810521-=---=---由克莱姆法则,.1,3,1332211-====-==DD x D Dx D D x例2用克莱姆法则解方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-+-=--=+-+.0674,522,963,85243214324214321x x x x x x x x x x x x x x解 6741212060311512-----=D21242r r r r --12772121357127702120603113570----=-----212322c c c c ++.272733277010353=---=-------,8167402125603915181=------=D ,10867012150609115822=-----=D,2760412520693118123-=---=D ,2707415120903185124=-----=D,3278111===∴D D x ,42710822-=-==D D x,1272733-=-==D D x .1272744===D D x例3 问λ为何值时, 齐次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ有非零解?解D =λλλ----111132421=λλλλ--+--101112431)3)(1(2)1(4)3()1(3λλλλλ+------+-=3)1(2)1(23-+-+-=λλλ),3)(2(λλλ--=齐次线性方程组有非零解，则,0=D 所以,0=λ 2=λ或3=λ时齐次线性方程组有非零解.例4 设方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++++=++++=++abc abz cay bcx c b a cz by ax c b a z y x 3222试问c b a ,,满足什么条件时, 方程组有惟一解, 并求出惟一解.解 abca bc c b aD 111= 3221c c c c -- abb c a a b c c c b ba )()(100----)()(21c b c b a c -÷-÷))()((11))((111))((a c c b b a ac c b b a aba c c cb b a ---=----=----显然,当c b a ,,互不相等时,,0≠D 该方程组有唯一解. 又abca abcc b c b a cb a D 3112221++++=321cc bc c -- abca abc c baa211ac ÷1 .111aD abca bc c b aa = 同理可得,,32cD D bD D ==于是 .,,321c DD z b D Dy a D D x ======。
克莱姆法则
+ a12 ( b1 A12 + b2 A22 + L + bn An 2 )
+ LL +
+ (b1 A1n + b2 A2 n + L + bn Ann ) ]
+ b2 (a11 A21 + a12 A22 + L + a1n A2 n )
+ bn (a11 An1 + a12 An 2 + L + a1n Ann )] 1 满足第1个方程 满足第 个方程 = × b1 D = b1 D
D, ( j = t ) a1 j A1t + a 2 j A2 t + L + anj Ant = 0, ( j ≠ t )
证 1° 将 Dj 按第 j 列展开 °
D j = b1 A1 j + b2 A2 j + L + bn Anj
将
( j = 1,2, L , n)
Dj D
代入第1个方程的左端 代入第 个方程的左端
a11x1 A1j +a12x2 A1j +…+ a1nxn A1j =b1 A1j a21x1 A2j +a22x2 A2j +…+ a2nxn A2j =b2 A2j …… an1x1 Anj +an2x2 Anj +…+ annxn Anj =bn Anj
x1 (a11 A1 j + a21 A2 j + L + a n1 Anj )
x1 (a11 A1 j + a21 A2 j + L + a n1 Anj )
克莱姆(cramer)法则的两种证明方法
克莱姆(cramer)法则的两种证明方法
克莱姆法则是线性代数中的一个定理，用于求解n元线性方程组的解。
它有两种证明方法：代数法证明和几何法证明。
1. 代数法证明：
- 首先，假设有一个n元线性方程组Ax=b，其中A是一个
n×n的矩阵，x和b是n维列向量。
- 根据克莱姆法则，如果A是可逆矩阵，即det(A)≠0，那么方程组有唯一解，解为x=A⁻¹b，其中A⁻¹是A的逆矩阵。
- 现在我们使用线性代数的定理，在矩阵A的逆矩阵存在的条件下，通过线性方程组的变换可以得出唯一解的表达式。
- 我们可以通过对Ax=b两边同时左乘A的逆矩阵A⁻¹，得到x=A⁻¹b。
- 这样就证明了克莱姆法则成立。
2. 几何法证明：
- 首先，我们将n元线性方程组转化为矩阵形式Ax=b，并将其视为方程组的几何表示。
- 根据几何直观，如果矩阵A是可逆的，即行向量或列向量的线性组合不为零，那么方程组有唯一解。
- 当A是可逆矩阵时，矩阵A的行向量或列向量构成一个n维的空间，称为列空间或行空间。
- 如果矩阵A是可逆的，那么由于列空间或行空间的维数等于n，所以方程组有唯一解。
- 因此，几何上的直观理解也证明了克莱姆法则的成立。
这些证明方法都是基于线性代数的基本原理和定理，可以通过严谨的推导和数学推理来证明克莱姆法则的正确性。
克莱姆法则及证明
第7节克莱姆（Cramer）法则一、线性方程组元线性方程组是指形式为：（1）的方程组，其中代表个未知量，是方程的个数，， ; 称为方程组的系数，称为常数项。
线性方程组的一个解是指由个数组成的有序数组，当个未知量分别用代入后，式（1）中每个等式都成为恒等式。
方程组（1）的解的全体称为它的解集合，如果两个线性方程组有相同的解集合，就称它们是同解方程组。
为了求解一个线性方程组，必须讨论以下一些问题：(1).这个方程组有没有解？(2).如果这个方程组有解，有多少个解？(3).在方程组有解时,解之间的关系,并求出全部解。
本节讨论方程的个数与未知量的个数相等(即)的情形。
二、克莱姆法则定理1（克莱姆法则）如果线性方程组（2）的系数行列式：那么这个方程组有解，并且解是唯一的，这个解可表示成：（3）其中是把中第列换成常数项所得的行列式，即。
分析：定理一共有3个结论：方程组有解；解是唯一的；解由公式（3）给出。
因此证明的步骤是：第一，把代入方程组，验证它确实是解。
这样就证明了方程组有解，并且（3）是一个解，即证明了结论与。
第二，证明如果是方程组（２）的一个解，那么一定有。
这就证明了解的唯一性，即证明了结论。
证明：先回忆行列式的一个性质，设阶行列式，则有：接下来证明定理。
首先，证明（3）确实是（2）的解。
将行列式按第列展开得：，其中是行列式中元素的代数余子式。
现把代入第个方程的左端，得：这说明将（3）代入第个方程后，得到了一个恒等式，所以（3）是（2）的一个解。
其次，设是方程组（2）的一个解，那么，将代入（2）后，得到个恒等式：（4）用系数行列式的第列的代数余子式依次去乘（4）中个恒等式，得到：将此个等式相加，得：从而有：。
这就是说，如果是方程组（2）的一个解，那么一定有，所以方程组只有一个解。
三、齐次线性方程组在线性方程组中，有一种特殊的线性方程组，即常数项全为零的方程组，称为齐次线性方程组。
显然，齐次线性方程组总是有解的，因为就是它的解，这个解称为零解；其他的，即不全为零的解（如果还有的话），称为非零解。
克莱姆法则及证明
第７节克莱姆(Cｒamｅr）法则一、线性方程组元线性方程组就是指形式为：（1）得方程组,其中代表个未知量,就是方程得个数，,；称为方程组得系数,称为常数项.线性方程组得一个解就是指由个数组成得有序数组，当个未知量分别用代入后,式（１）中每个等式都成为恒等式.方程组(1）得解得全体称为它得解集合,如果两个线性方程组有相同得解集合，就称它们就是同解方程组.ﻫ为了求解一个线性方程组,必须讨论以下一些问题：(1）、这个方程组有没有解?ﻫ (2）、如果这个方程组有解，有多少个解?（３）、在方程组有解时,解之间得关系，并求出全部解.本节讨论方程得个数与未知量得个数相等（即）得情形。
二、克莱姆法则ﻫ定理1（克莱姆法则)如果线性方程组(2）得系数行列式：那么这个方程组有解,并且解就是唯一得，这个解可表示成:(3)其中就是把中第列换成常数项所得得行列式，即。
分析：定理一共有３个结论：方程组有解；解就是唯一得；解由公式（3）给出.因此证明得步骤就是：第一,把代入方程组，验证它确实就是解。
这样就证明了方程组有解，并且(3)就是一个解,即证明了结论与。
第二，证明如果就是方程组（２）得一个解，那么一定有.这就证明了解得唯一性，即证明了结论。
证明：先回忆行列式得一个性质,设阶行列式,则有：接下来证明定理.首先,证明(3）确实就是（2)得解。
将行列式按第列展开得：，其中就是行列式中元素得代数余子式。
现把代入第个方程得左端，得：这说明将（3)代入第个方程后,得到了一个恒等式，所以(３)就是（2）得一个解。
其次，设就是方程组(2）得一个解,那么，将代入(2）后,得到个恒等式：（4)用系数行列式得第列得代数余子式依次去乘(4）中个恒等式,得到：将此个等式相加，得：从而有:。
这就就是说，如果就是方程组（2)得一个解，那么一定有，所以方程组只有一个解。
三、齐次线性方程组在线性方程组中，有一种特殊得线性方程组，即常数项全为零得方程组，称为齐次线性方程组。
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第7节克莱姆（Cramer）法则
一、线性方程组
元线性方程组是指形式为：
（1）
的方程组，其中代表个未知量，是方程的个数，， ;
称为方程组的系数，称为常数项。
线性方程组的一个解是指由个数组成的有序数组，当个
未知量分别用代入后，式（1）中每个等式都成为恒等式。
方程组（1）
的解的全体称为它的解集合，如果两个线性方程组有相同的解集合，就称它们是同解方程组。
为了求解一个线性方程组，必须讨论以下一些问题：
(1).这个方程组有没有解？
(2).如果这个方程组有解，有多少个解？
(3).在方程组有解时,解之间的关系,并求出全部解。
本节讨论方程的个数与未知量的个数相等(即)的情形。
二、克莱姆法则
定理1（克莱姆法则）如果线性方程组
（2）
的系数行列式：
那么这个方程组有解，并且解是唯一的，这个解可表示成：
（3）
其中是把中第列换成常数项所得的行列式，即。
分析：定理一共有3个结论：方程组有解；解是唯一的；解由公式（3）给出。
因此证明的步骤是：
第一，把代入方程组，验证它确实是解。
这样就证明了方程组有解，并且（3）是一个解，即证明了结论与。
第二，证明如果是方程组（２）的一个解，那么一定有。
这就证明了解的唯一性，即证明了结论。
证明：先回忆行列式的一个性质，设阶行列式，则有：
接下来证明定理。
首先，证明（3）确实是（2）的解。
将行列式按第列展开得：
，
其中是行列式中元素的代数余子式。
现把
代入第个方程的左端，得：
这说明将（3）代入第个方程后，得到了一个恒等式，所以（3）是（2）的一个解。
其次，设是方程组（2）的一个解，那么，将代入（2）后，得到个恒等式：
（4）
用系数行列式的第列的代数余子式依次去乘（4）中个恒等式，得到：
将此个等式相加，得：
从而有：。
这就是说，如果是方程组（2）的
一个解，那么一定有，所以方程组只有一个解。
三、齐次线性方程组
在线性方程组中，有一种特殊的线性方程组，即常数项全为零的方程组，称为齐次线性方程组。
显然，齐次线性方程组总是有解的，因为就是它的解，这个解
称为零解；其他的，即不全为零的解（如果还有的话），称为非零解。
所以，对于齐次线性方程组，需要讨论的问题，不是有没有解，而是有没有非零解。
这个问题与齐次线性方程组解的个数是有密切关系的。
如果一个齐次线性方程组只有零解，那么这个方程组就只有唯一解；反之，如果某个齐次线性方程组有唯一解，那么由于零解是一个解，所以这个方程组不可能有非零解。
对于方程个数与未知量个数相同的齐次线性方程组，应用克莱姆法则，有
推论1 如果齐次线性方程组
（5）
的系数行列式不等于零，那么（5）只有零解。
推论2 齐次线性方程组
有非零解的必要条件是它的系数行列式等于零。
四、例子
例1解线性方程组
解：方程组的系数行列式：
所以根据克莱姆法则，这个线性方程组有唯一解。
又因
所以这个线性方程组的唯一解为：
例2解线性方程组
解：方程组的系数行列式：
所以根据克莱姆法则，这个线性方程组有唯一解。
又因
所以这个线性方和组的唯一解为：
例3已知三次曲线在四个点处的值分别为：，试求其系数。
解：将三次曲线在4点处的值代入其方程，得到关于的线性方程组：
它的系数行列式是范德蒙行列式：
所以根据克莱姆法则，这个线性方程组有唯一解。
又因
所以，即所求的三次曲线方程为。
例4如果齐次线性方程组
有非零解，那么必须满足什么条件？
解：由克莱姆法则知，齐次线性方程组有非零解的必要条件是其系数行列式等于零，因此有
又由：，从而必须满足的条件为。
注用克莱姆法则求解系数行列式不等于零的元非齐次线性方程组，需要计算
个阶行列式，它的计算工作量很大。
实际上关于数字系数的线性方程组（包括系数行列式等于零及方程个数和未知量个数不相同的线性方程组）的解法，一般都采用后续章节介绍的方法来求解。
克莱姆法则主要是在理论上具有重要的意义，特别是它明确地揭示了方程组的解和系数之间的关系。
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