必修52303等差数列的前n项和的最值问题
等差数列的最值问题
解析（1）设数列{ }的公差为d，则由2009 = 0得20091 +
= 0，
2
1
2009−
即1 + 1004 = 0，则 = −
1 ,所以1 + =
1 ,所以 = (1 +
1004
1004
2
2009−
) = ⋅
1 = 1 ⋅ (2009 − 2 ).因为1 < 0, ∈ ∗ ,所以当 = 1004或
由 S5＝S12 得 5a1＋10d＝12a1＋66d，
d＝－ a1<0.
8
1
－ a1
n（n－1）
n（n－1）
1
则 Sn ＝ na1 ＋
d ＝ na1 ＋
· 8 ＝ － a1(n2 － 17n) ＝ －
16
2
2
17
n－
1
2 289
a1
2 ＋
a1，因为 a1>0，n∈N*，所以当 n＝8 或 9 时，Sn 有最大值．
2
1004
2008
1005
= 1005时， 取得最小值，最小值为
1 .
2
1005−
1
1005−
2
（2）由（1）得 =
1 . 由 ≤ , 得
(2009 − ) ≤
1 .
1004
2008
1004
因为 1 < 0, 所以 2 − 2011 + 2010 ≤ 0, 即 ( − 1)( − 2010) ≤ 0 ，解得 1 ≤
≤ 2010 .故所求 的取值集合为 {|1 ≤ ≤ 2010, ∈ ∗ } .
2015-2016年最新审定人教A版高中数学必修五：2.3.2 等差数列前n项和的性质(优秀课件)
2．等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S2＝2，S4＝10，则
S6＝( C )
A．12 B．18 C．24 D．42
题型 2 等差数列前 n 项和的最值问题 【例 2】 在等差数列{an}中，若 a1＝25，S17＝S9，则 Sn 的 最大值为________． 思维突破：利用前 n 项和公式和二次函数性质求解．
Байду номын сангаас
和 Sn＝An2＋Bn(A，B 为常数)看作二次函数，根据二次函数的
性质求最值．
【变式与拓展】
3．数列{an}是首项为 23，公差为整数的等差数列，且第 6
项为正，第 7 项为负． (1)求数列的公差； (2)求前 n 项和 Sn 的最大值； (3)当 Sn＞0 时，求 n 的最大值．
解：(1)由已知，得a6＝a1＋5d＝23＋5d＞0，
解析：方法一：由 S17＝S9，得 17 9 25×17＋ 2 (17－1)d＝25×9＋2(9－1)d. 解得 d＝－2. n ∴Sn＝25n＋2(n－1)· (－2)＝－(n－13)2＋169. 由二次函数性质，知：当 n＝13 时，Sn 有最大值 169.
方法二：先求出 d＝－2.∵a1＝25>0， 1 n≤132， a ＝ 25 － 2 n － 1 ≥ 0 ， n 由 得 an＋1＝25－2n≤0， n≥121. 2 ∴当n＝13时，Sn有最大值169.
等差数列前n项和的最值问题(精品文档)
等差数列前n 项和的最值问题问题引入：已知数列{},n a 的前n 项和212n S n n =+,求这个数列的通项公式.数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么? 解:当n>1时:1122n n n a s s n -=-==-当n=1时:211131122a s ==+⨯= 综上:122na n =-,其中:132a =,2d =探究1:一般地,如果一个数列{}n a 的前n 项和为:2,ns pn qn r =++其中:p.q.r 为常数,且p ≠0,那么这个数列一定是等差数列吗?如果是,它的首项和公差分别是什么?结论:当r=0时为等差,当r ≠0时不是一、 应用二次函数图象求解最值 例1：等差数列{}n a 中， 1490,a S S >=，则n 的取值为多少时？n S 最大分析：等差数列的前n 项和n S 是关于n 的二次函数，因此可从二次函数的图象的角度来求解。
解析：由条件1490,a S S >=可知，d<0，且211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-， 其图象是开口向下的抛物线，所以在对称轴处取得最大值，且对称轴为496.52n +==，而n N *∈，且6.5介于6与7的中点，从而6n =或7n =时n S 最大。
1.已知等差数列{n a }中1a =13且3S =11S ,那么n 取何值时,n S 取最大值.解析：设公差为d ，由3S =11S 得：3×13+3×2d/2=11×13+11×10d/2 d= -2,n a =13-2(n-1), n a =15-2n,由⎩⎨⎧≤≥+0a 0a 1n n 即⎩⎨⎧≤+-≥-0)1n (2150n 215得：6.5≤n ≤7.5,所以n=7时,n S 取最大值.2.已知a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，若S 10=0，求数列a n 前 5 项和取得最大值．结合二次函数的图象，得到二次函数图象的开口向下，根据图象关于对称轴对称的特点，得到函数在对称轴处取到最大值，，注意对称轴对应的自变量应该是整数或离对称轴最近的整数．a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，S 10=0，根据二次函数的图象特点得到图象开口向下，且在n=错误!未找到引用源。
等差数列前n项和的最值问题精编版
等差数列前n 项和的最值问题问题引入：已知数列{},n a 的前n 项和212n S n n =+,求这个数列的通项公式.数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么?解:当n>1时:1122n n n a s s n -=-==-L 当n=1时:211131122a s ==+⨯= 综上:122na n =-,其中:132a =,2d =探究1:一般地,如果一个数列{}n a 的前n 项和为:2,ns pn qn r =++其中:p.q.r 为常数,且p ≠0,那么这个数列一定是等差数列吗?如果是,它的首项和公差分别是什么?结论:当r=0时为等差,当r ≠0时不是一、 应用二次函数图象求解最值 例1：等差数列{}n a 中， 1490,a S S >=，则n 的取值为多少时？n S 最大分析：等差数列的前n 项和n S 是关于n 的二次函数，因此可从二次函数的图象的角度来求解。
解析：由条件1490,a S S >=可知，d<0，且211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-， 其图象是开口向下的抛物线，所以在对称轴处取得最大值，且对称轴为496.52n +==，而n N *∈，且6.5介于6与7的中点，从而6n =或7n =时n S 最大。
1.已知等差数列{n a }中1a =13且3S =11S ,那么n 取何值时,n S 取最大值.解析：设公差为d ，由3S =11S 得：3×13+3×2d/2=11×13+11×10d/2 d= -2, n a =13-2(n-1), n a =15-2n,由⎩⎨⎧≤≥+0a 0a 1n n 即⎩⎨⎧≤+-≥-0)1n (2150n 215得：6.5≤n ≤7.5,所以n=7时,n S 取最大值.2.已知a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，若S 10=0，求数列a n 前 5 项和取得最大值．结合二次函数的图象，得到二次函数图象的开口向下，根据图象关于对称轴对称的特点，得到函数在对称轴处取到最大值，，注意对称轴对应的自变量应该是整数或离对称轴最近的整数．a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，S 10=0，根据二次函数的图象特点得到图象开口向下，且在n=错误!未找到引用源。
求等差数列前n项和的最值问题的两种常用解法
求等差数列前n 项和的最值问题的两种常用解法【必备方法】1.函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式bn an S n +=2，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解，一定注意n 是正整数。
2.邻项变号法：①0,01<>d a 时，满足⎩⎨⎧≤≥+001n n a a 的项数m 使得n S 取得最大值为m S ； ②当0,01><d a 时，满足⎩⎨⎧≥≤+001n n a a 的项数m 使得n S 取得最小值为m S . 【典例示范】例1、等差数列}{n a 前n 项和为n S ，已知1131,13S S a ==，当n S 最大时，n 的值是( )(A)5 (B)6 (C)7 (D)8解：方法一：由113S S =得01154=+++a a a ，根据等差数列性质可得087=+a a ，根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到0,087<>a a ，故n=7 时，n S 最大.方法二：由113S S =可得d a d a 55113311+=+，把131=a 代入得2-=d ，故n n n n n S n 14)1(132+-=--=，根据二次函数性质，当n=7时，n S 最大. 方法三：根据131=a ,113S S =，知这个数列的公差不等于零.由于113S S =说明这个数列的和先是单调递增的然后又单调递减.根据公差不为零的等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数，以及二次函数图象的对称性，当113S S =时，只有72113=+=n 时，n S 取得最大值. 答案：C练习：1.已知在等差数列}{n a 中，311=a ，n S 是它的前n 项的和，2210S S =.（1）求n S ；（2）这个数列前多少项的和最大，并求出这个最大值. 解析：（1）∵102110a a a S ++= ，222122a a a S ++= ，又2210S S =， ∴0221211=++a a a ，则031212211=+=+d a a a ，又311=a ，2-=∴d ，∴21322)1(n n d n n na S n -=-+=。
等差数列前n项和的最值问题
等差数列前n项和的最值问题数列（二）一、数列的最大与最小项和最值问题1．直接求函数)(n f a n =的最大值或最小值，根据)(n f 的类型，并作出相应的变换，运用配方、重要不等式性质或根据)(n f 本身的性质求出)(n f 的最值。
2．研究数列)(n f a n =的正数与负数项的情况，这是求数列}{n a 的前n 项和n S 的最大值或最小值的一种重要方法.二、数列的求和1．拆项求和法：将一个数列拆成若干个简单数列（如等差数列、等比数列、常数数列等等），然后分别求和. 2．并项求和法：将数列的相邻的两项（或若干项）并成一项（或一组）得到一个新的且更容易求和的数列. 3．裂项求和法：将数列的每一项拆（裂开）成两项之差，使得正负项能互相抵消，剩下首尾若干项. 4．错位求和法：将一个数列的每一项都作相同的变换，然后将得到的新数列错动一个位置与原数列的各项相减，这是仿照推导等比数列前n 项和公式的方法. 三、数列其他知识 1．(1) {}{}成等比数列成等差数列na n ba ?{}2n n n a a a n b S A n B n ?=+?=+成等差数列（2）{}{}成等比数列成等比数列kn n a a ? {}{}成等差数列成等比数列n ba n a a n log>2．递推数列：(1)能根据递推公式写出数列的前n 项(2)由n n n n S a a S f ,,0),(求= 解题思路：利用)2(,1≥-=-n S S a n n n 变化（1）已知0),(11=--n n a S f (2)已知0),(1=--n n n S S S f 四、例题解析例1（1）已知n a =，则 n S =___________。
（2）从盛满a 升酒精的容器里倒出b 升，然后再用水加满，再倒出b 升，再用水加满；这样倒了n 次，则容器中有纯酒精_________升。
（3）3571013{}3224n a a a a a a ++++=在等差数列中，（）（），则此数列的前13项之和等于_______。
等差数列前n项和最值问题
等差数列前n项和最值问题Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT等差数列前n 项和的最值问题问题引入：已知数列{},n a 的前n 项和212n S n n =+,求这个数列的通项公式.数列是等差数列吗如果是,它的首项与公差分别是什么 解:当n>1时:1122n n n a s s n -=-==-当n=1时:211131122a s ==+⨯= 综上:122na n =-,其中:132a =,2d = 探究1:一般地,如果一个数列{}n a 的前n 项和为:2,n s pn qn r =++≠0,那么这个数列一定是等差数列吗如果是,它的首项和公差分别是什么结论:当r=0时为等差,当r ≠0时不是一、 应用二次函数图象求解最值 例1：等差数列{}n a 中， 1490,a S S >=，则n 的取值为多少时n S 最大分析：等差数列的前n 项和n S 是关于n 的二次函数，因此可从二次函数的图象的角度来求解。
解析：由条件1490,a S S >=可知，d<0，且211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-， 其图象是开口向下的抛物线，所以在对称轴处取得最大值，且对称轴为496.52n +==，而n N *∈，且介于6与7的中点，从而6n =或7n =时n S 最大。
1.已知等差数列{n a }中1a =13且3S =11S ,那么n 取何值时,n S 取最大值.解析：设公差为d ，由3S =11S 得：3×13+3×2d/2=11×13+11×10d/2 d= -2, n a =13-2(n-1), n a =15-2n,由⎩⎨⎧≤≥+0a 0a 1n n 即⎩⎨⎧≤+-≥-0)1n (2150n 215得：≤n ≤,所以n=7时,n S 取最大值.2.已知a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，若S 10=0，求数列a n 前 5 项和取得最大值．结合二次函数的图象，得到二次函数图象的开口向下，根据图象关于对称轴对称的特点，得到函数在对称轴处取到最大值，，注意对称轴对应的自变量应该是整数或离对称轴最近的整数．a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，S 10=0，根据二次函数的图象特点得到图象开口向下，且在n==5时，数列a n 前5项和取得最大值．二、转化为求二次函数求最值例2、在等差数列{n a }中, 4a ＝－14, 公差d ＝3, 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值 分析：利用条件转化为二次函数，通过配方写成顶点式易求解。
等差数列前n项和的最值问题
总结规律
3
最后我们回到开始的问题： 最后我们回到开始的问题：在等差数列 中， 到开始的问题
1.若首项负，公差正，则前 1.若首项负，公差正，则前 n 项和有最
值
2.若首项正，公差负，则前 2.若首项正，公差负，则前 n 项和有最
值 环节 7： 理解思考 跃跃欲试 首尾呼应
3.若首项正，公差也正，则前 3.若首项正，公差也正，则前 n 项和有最
5.设等差数列 已知， 5.设等差数列 {a n } 的前 项和为 S n ，已知， a1 > 0 ，
3a 4 = 7a 7 ，求当 为何值时， S n 最大。 为何值时， 最大。
请一位同学总结本课的内容： 请一位同学总结本课的内容： 总结： 总结： 1.知识上： 知识上： 知识上 2.规律上： 2.规律上： 规律上 3.思想方法上： 3.思想方法上： 思想方法上 环节 6： 听总结
课题： 项和的最值问题（ 徐春生） 课题：等差数列前 n 项和的最值问题（海外 徐春生） 教学目标 使学生能进一步掌握等差数列的基本公式 基本公式。 1. 使学生能进一步掌握等差数列的基本公式。 2. 使学生能用函数思想处理数列问题，使学生进一步巩固数形结合思想方法，增强 使学生能用函数思想处理数列问题，使学生进一步巩固数形结合思想方法， 解决数列综合问题的能力。 解决数列综合问题的能力。 通过及时反思，总结经验，并加以应用，使学生获得成功的体验， 3. 通过及时反思，总结经验，并加以应用，使学生获得成功的体验，从而提高学习 积极性。 积极性。 教学重点 使学生能用函数思想处理数列问题。 使学生能用函数思想处理数列问题。 教学难点 函数思想在数列中的应用 教学方法 启发式, 启发式,探究式数学 教具准备 多媒体 教学过程: 教学过程: 复习： 学生在卷子上回答前三题） I.复习： 学生在卷子上回答前三题） （ 等差数列通项公式： 1. 等差数列通项公式： 等差数列性质： 2. 等差数列性质：如果 m+n=p+q 则 3. S n = （对称形式） ； 对称形式） （对称形式 = （函数形式） ； 函数形式） （函数形式 环节 1： ： 填写答案 纠正错误 为本课顺 利进行提供 知识保障 学生活动 设计意图及 说明
微课课件等差数列前n项和的最值问题
等差数列前n项和的最值问题
复习顾
等差数列的前n项和公式：
Sn na1 n(n 1)d 2
Sn An2 Bn
d 2 d n (a1 )n 2 2
Sn 当 A 0（即 d 0 ）时，
是关于n的二次函数（常 数项为0）
5 40 解法二：由题知，an a1 (n 1)d n , an 1 5 n 5. 7 7 7 40 5 an 0 n 0 n 8 由 也就是说，a8 0, a9 7 7 可得 a 0, n 1 5 n 7.
①、a1 0, d 0, {an }单调递减，Sn有最大值。
an 0 由 求出n的值. an 1 0
Sn有最小值。 ②、a1 0, d 0, {an }单调递增，
an 0 由 求出n的值. an 1 0
小结归纳：
3、a1 0, d 0,{an }单调递增，Sn有最小值为a1.
n 5 0, 7
0.
因此，和是从第9项开始减少的.而第8项为0对和的大小
不产生影响.因此，前7项或前8项和最大.
小结归纳：
等差数列前n项和的最值问题方法总结：
1、利用Sn：Sn
d 2 d n (a1 )n， 转化为二次函数最值问题； 2 2
2、利用an：借助通项公式an的正负情况研究Sn的变化情况.
设
d d A , B a1 2 2
结论： 非“常数列”的等差数列的前n项和公式是关 于n的二次函数，且没有常数项。
典例剖析 2 4 例：已知等差数列 5, 4 ,3 ,L 的前n项和 Sn ， 7 7
等差数列最值的求法
等差数列前n 项和最值问题求法等差数列的前n 项和最值问题反映了数的变化过程，体现了一种从量的积累到质的变化，揭示了数之间的关联，其最值的求法通常可从函数与不等式来考察，下面通过几个例题从不同的侧面来小议其求法。
一、应用二次函数图象求解最值例1：等差数列{}n a 中， 1490,a S S >=，则n 的取值为多少时？n S 最大分析：等差数列的前n 项和n S 是关于n 的二次函数，因此可从二次函数的图象的角度来求解。
解析：由条件1490,a S S >=可知，d<0，且211(1)()222n n n d d S na d n a n -=+=+-， 其图象是开口向下的抛物线，所以在对称轴处取得最大值，且对称轴为49 6.52n +==， 而n N *∈，且6.5介于6与7的中点，从而6n =或7n =时n S 最大。
点评：利用二次函数图象的开口方向、对称性等、数形结合求解其最值简单易行，但要注意对称轴是介于两个整数的中点，此时应有两个n 的取值。
二、转化为求二次函数求最值例3、在等差数列{n a }中, 4a ＝－14, 公差d ＝3, 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值 分析：利用条件转化为二次函数，通过配方写成顶点式易求解。
解析：∵4a ＝1a ＋3d, ∴ －14＝1a ＋9, 1a ＝－23, ∴ n S ＝－23n ＋2)1(3-n n ＝23[(n －496)2－24936], ∴ 当n=496最小时，n S 最小， 但由于n N *∈，496介于8与9之间， 8100S =-，999S =- 即有且89S S >，故当n ＝8 8S ＝－100最小.点评：通过条件求出1a ，从而将n S 转化为关于n 的二次函数，然后配方求解，但要注意的是此处496介于8与9之间，但并不能取两个整数，判断的标准是对称轴是否处于两个整数中点，否则只有一个取值。
等差数列前n项和的最值求解方法
等差数列前n项和的最值求解方法例1设等差数列｛a n｝的前n项和为S n ,已知a3=12, s,2>0, S13 0 ,(1)求公差d的取值范围；(2)指出S2,…，&2中哪一个值最大，并说明理由.解析(1)由a3=12,得：a1+2d=12，即a1=12-2d,, 一12*11 ♦一一24由S12>0,得：12&+ ---------d 0 ,所以d>———,2 7, 一一13*12 . _ ~ .由s13 0,得：13 a l+ ------d 0,所以d<-3,2因此，d的取值范围为(-24 ,-3 ).7(2)解法一：a n a1 (n 1)d=12-2d+(n-1)d =12+(n-3)d由(1)知: 一13所以，—2 24<d<-3,7123—7,d令a n 0,得：n<3- 12,d一 * ...... .................... .又n N，故由等差数列的单调性可知：当n 6时，a n 0；当n>6时，a n 0 ,因此，s6最大.解法二：由题意可得：S n=n a1 + n(n 1) d =n(12-2d)+22n nd 25(12 2d)n 显然d 0, &是关于自变量n的二次函数,由(1)知：d<0,二次函数的图像抛物线的对称轴为, 「24由(1)知：——d 3 , n=5这2 d72 2_. 、* * 又因为n N, 故当n=6时，S n 最大, 即%最大.* 1 2 1例2已知等差数列｛a n ｝, a n N , S n = - a n 2)2.若b n -a n 30,求数列｛ b n ｝的前n 8 2 项和的最小值.分析：①由S n 与a n 的关系，可写出s n 1与a n 1之间的关系，两式作差，即可得出a n1与a n 间 的关系；②｛b n ｝的前n 项和最小，估计｛b n ｝的前n 项均为负值，后面均为正值，所有负值之和为最 小..一 1 c 1 C 解 a n1 = S n1-S n = - ( 1 1 2)2-1 ( [ 2)2, 8 8即 8a n 1= ( a n 1+2)2- ( a n +2)2, 所以(a n 1 -2 ) - ( a n +2)=0,即(a n 1 +a n) ( a n 1- a n -4) =0, *因为 a n N ,所以 a n 1 +a n 0,即 a n 1 - a n -4=0 , 所以 a n 1- a n =4,因此等差数列｛ a n ｝的公差大于0.12 a [ =& = 一 (a 2),斛信 a 1 二2.8 1所以 a n =4n-2,贝U b n —a n 30=2n-31.2即数列｛ b n ｝也为等差数列且公差为 2.2n 31 0 2931{2(n 1) 31 0，解得——n 一,E 、， . . * .一 5 所以6< — 2 12 13 不〈万,因为n N ,所以n=15,故｛>｝的前15项为负值，因此s]5最小，可知b1 =-29 , d=2,所以数列｛b n｝的前n项和的最小值为15( 29 2 15 31)sl5 = 2 =-225.小结：若｛a n｝是等差数列，求前n项和的最值时:a n 0①若a1 >0,d<0,当满足｛a n 1 0时，前n项和S n最大；a n 0② 若a1<0,d>0,当满足｛a n 1 0时，前n项和S n最小；除以上方法外，还可将｛a n｝的前n项和的最值问题看作S n关于n的二次函数问题，利用二次函数的图象或配方法求解，另外还可利用S n与n的函数关系，进行求导数求最值.。
等差数列前n项和的最值问题
当 ， 时，n为使 成立的最大的自然数时， 最大，这是因为：当 时， ，即 递增；已知等差数列{an}，a1＞0，d＜0，Sn存在最大值，
若am使Sn取得最大值，则am满足：成立的最大自然数n时， 最大
当 时， ，即 递减。类似地，当 ， 时，若am使Sn取得最小值，则am满足：成立的最大自然数n时， 最小。
解：在等差数列{an}中，因为a1＋a12＞0，
所以a6＋a7＞0,又因为a1＜0且a6a7＜0，所以所以当Sn最小时的n为6
例题2：已知等差数列{an}的通项公式an＝3n－20，当n取何值时，Sn取得最小值，并求此最小值.
我们分析数列为：
－17，－14，－11，－8，－5，－2，1，4，…
问题1：从数列中可以发现，数列在第几项时，Sn取得最小值？
问题2：使数列Sn取得最小值的项具备什么特征呢？
结论：若am使Sn取得最小值，则am满足：
解法一：若am使Sn取得最小值，则am满足：
即
解得≤n≤，因为n∈N*，所以n＝6．
所以当n取6时，Sn取得最小值，最小值为－57.
解法二：Sn＝n×（—17）＋×3＝n2－n，
其对称轴为n＝，所以离对称轴最近的整数为6．
所以当n取6时，Sn取得最小值，最小值为－57.
练习：
1、已知等差数列 的通项为 ，则使得 最大的 的值是？
又 ，∴ 的前10项或前11项的和最小。
说明：此处虽说是用图像法，但不一定要画出图像，而是利用图像的性质去解题。
练习1：等差数列 中， ， ，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。
速解： 抛物线对称轴方程为 ，则可设 ，
由
等差数列前n项和的最值问题课件
2.3等差救列的前n项和的最值问题求等差数列前项和Sn的最值问题有两种方法:解法一：求出Sn,用配方法(结合图像)解法二：求出a。
,用单调性当d > 0H寸,Sn有最小值；当d < 0时,Sn有最大值.(1)若可<0,d>0,则数列的前面若干项a n <0, 所以将这些项相加即得Sn的最小值；<a2 <a3<•-<a n<0<a“日…）(2)若a】vO,dvO,则a】是Sn的最大值.(Q > > a2 > a3 > • • • > a n > a tl+} > ・・・)⑶若们> 0,d > 0,贝是Sn的最小值；(% <a2 <a3<•・•<0<a n+1<---)(4)若们>0,d<0,则数列的前面若干项a。
>0, 所以将这些项相加即得Sn的最大值；(q >a2 >角 >..・>4 2 0之%+1 >-.)1、已知等差数列角｝的前〃项和为S〃，角=24, S17=S10 问数列｛%｝的前多少项之和最大，并求此最大值。
(氽3).89_瞰蚂«6I }-K 嘴甦展4(3———(会6)(导S g — H (v )x ^^ +寺的S奮(夸----斐。
"1規骥解法二：由勿]=24,S]7=S IO,得17x16 10x9 ,17x24 ----------- x d = 10x24 + --------- x d2 2解得d=_W13.皿=24 + （〃-l）x（-当=-当+ 丝主“13 13 13令｛:：岂，解得｛成，即13＜心14 故当〃=13或〃 =14时,S〃取得最大值,其值是168.等差数列｛aj中,a1=255S17=S95问数列前多少r<项之和最大，并求此最大值.解法一：(% =25，[Su=S9.湄ir I7xl6 9x8得17a〔 + - d = 9a f + ------ d,2 2解得 d = -2.・•・ S n = 25n + "("T)(-2) = 一(n -13)2 +169.故前13项之和最大，且最大值％是169.解法二:由微=25-2（〃-1）20I an +i = 25 - 2w < 0% = 25,由［s ；=S9.得皿+ 解得 d= -2.5 = 212解法二:•：E N*.••当n = m,S n有最大值169.% = 25, 由｛，得17虬+[517 = S9. 1解得 d = -2.17=‘9，/.a10+a11+---+a17=0...a10+a17=a11+ a16= …=&13相14=0.•.•31=25>05(1<0/.a13>0,a14<0.W6d = 9~122・・・S[3最大撮大值为169.课堂小结解法一：求出Sn,用配方法（结合图像） 解法二：求出a 「,用单调性求等差数列前项和Sn 的最值问题有两种方法: SII求等差数列前项和Sn的最值问题有两种方法:(1)求出S n=f(n),用配方法(结合图像)(2)求出an=g(n),用单调性当d > 0时,Sn有最小值;当d V 0时,Sn有最大值.(1)若可<0,d>0,则数列的前面若干项a。
等差数列的前n项和Sn的最值问题
等差数列的前n项和S的最值问题数列是一种特殊的函数，因此高考题中常常会出现研究数列的单调性、最值等问题．其例题：设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a3＝24，S11＝0.(1)求a n；(2)求数列{a n}的前n项和S n；(3)当n为何值时，S n最大，并求S n的最大值．变式1等差数列{a n}的前n项和为S n，且公差d<0，若S9＝S23，则数列{a n}的前多少项的和最大？变式2等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且公差d<0，若S 10＝S 23，则数列{a n }的前多少项的和最大？串讲1已知数列{a n }的通项公式a n ＝40－5n7，记T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a n ＋6，当|T n |取最小值时，n 的值为多少？串讲2已知数列{a n }的通项公式a n ＝40－5n7，记T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a n ＋5，当|T n |取最小值时，n 的值为多少？(2018·全国Ⅱ卷改编)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15.求S n ，并求S n 的最小值．(2018·苏州第一学期期初调研)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n －S n ＝n 2－16n ＋15(n ≥2，n ∈N *)．若对任意的n ∈N *，总有S n ≤S k ，求正整数k 的值．答案：k ＝7.解法1因为a n －S n ＝n 2－16n ＋15(n ≥2，n ∈N *)，所以⎩⎨⎧a 2－S 2＝－13，a 3－S 3＝－24，也即⎩⎨⎧a 1＝13，a 1＋a 2＝24， 解得a 1＝13，a 2＝11，所以d ＝a 2－a 1＝－2，故a n ＝－2n ＋15，5分令⎩⎨⎧a n ≥0，a n ＋1<0，得⎩⎨⎧－2n ＋15≥0，－2n ＋13<0，所以132<n ≤152，9分又n ∈N *，所以n ＝7，即数列{a n }的前7项和为S 7最大，所以k ＝7.14分解法2因为a n －S n ＝n 2－16n ＋15(n ≥2，n ∈N *)，所以⎩⎨⎧a 2－S 2＝13，a 3－S 3＝－24，也即⎩⎨⎧a 1＝13，a 1＋a 2＝24，解得a 1＝13，a 2＝11，7分所以d ＝a 2－a 1＝－2，故a n ＝－2n ＋15，9分S n ＝13n ＋n （n －1）2×(－2)＝－n 2＋14n ＝－(n －7)2＋49，12分所以数列{a n }的前7项和为S 7最大，故k ＝7.14分说明：通过以上两种解法的比较，可以发现“解法1”采用了“邻项变号法”，解题思路、过程比较简洁方便，这是因为这种解法紧紧抓住了等差数列的项a n 对和S n 的影响规律，因而过程相对简洁精炼．例题答案：(1)a n ＝48－8n ；(2)S n ＝－4n 2＋44n ；(3)n ＝5或6时，S n 最大，S n ＝120. 解析：(1)因为a 3＝24，S 11＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝24，11a 1＋11×102d ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝40，d ＝－8，所以a n ＝48－8n.(2)由(1)知，a 1＝40，a n ＝48－8n ，所以S n ＝（a 1＋a n ）n 2＝（40＋48－8n ）n 2＝－4n 2＋44n.(3)解法1：由(2)有，S n ＝－4n 2＋44n ＝－4(n －112)2＋121，故当n ＝5或n ＝6时，S n 最大，且S n 的最大值为120.解法2 ：由a n ＝48－8n ，⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1<0，即⎩⎪⎨⎪⎧48－8n≥0，48－8（n ＋1）<0，得5<n≤6，又n∈N *，所以n ＝6，即该数列前5项都是正数，第6项为0，所以前5项和、前6项的和同为最大值，最大值为120.说明：等差数列的前n 项和S n 最值问题的研究有两种主要思路：其一，利用S n ＝an 2＋bn 具有的二次函数的性质，结合单调性或抛物线图象来研究；其二，是利用“邻项变号法”研究，即由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1<0，求得S n 取得最大值时n的条件，同样由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1>0，求得S n 取得最小值时n 的条件．变式联想变式1 答案：16. 解析：由S 9＝S 23，得a 10＋a 11＋…＋a 23＝0，即a 16＋a 17＝0，又因为d<0，所以a 16>0，a 17<0，所以，数列{a n }的前16项的和最大．变式2答案：16或17.解析：由S 10＝S 23，得a 11＋a 12＋…＋a 23＝0，即a 17＝0，又因为d<0，所以a 16>0，a 18<0，所以，数列{a n }的前16项或17的和最大．说明：上述两个“变式”题的不同之处在于，“变式1”中不含为0的项，因此前n 项和S n 取得最值时，n 的值只有一解，“变式2”中含有数值为0的项，因此前n 项和S n 取得最值时，n 的值有两解！请同学们仔细体会其中的差别．串讲激活串讲1答案：n ＝5. 解析：由a n ＝40－5n7，知{a n }递减且a 8＝0，又T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a n ＋6＝7a n ＋3，考虑到|T n |≥0，且由n ＋3＝8，得n ＝5，即满足|T n |取得最小值的正整数n ＝5.串讲2答案：n ＝5或6.解析：由a n ＝40－5n7，知{a n }递减且a 8＝0，又T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a n ＋5，式子右边有6项，结合等差数列的对称性知，当下标n ＋(n ＋5)＝2×8±1，即就是n ＝5或6时，|T n |取得最小值．新题在线答案：－16. 解析：设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1＋3d ＝－15.由a 1＝－7得d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9.所以S n ＝n 2－8n ＝(n －4)2－16.所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16.。
等差数列前n项和的最值课件 微课精品PPT课件 百度文库
若 p＋q＝r＋s，则
ap＋aq＝ar＋as.
结论：
数学思想： 一题多解！
判断相邻两项的符号，
求出Sn的最值。
解 由 S17＝S9，得
25×17＋127×(17－1)d＝25×9＋92×(9－1)d， 解得 d＝－2，
所以 Sn＝25n＋n2(n－1)(－2) ＝－(n－13)2＋169，
当 n＝13 时，Sn 有最大值 169.
例.已知等差数列{an}中,a1=25且S17=S9, 求n取何值时,Sn取最大值？
求n取何值时,Sn取最大值？
方法2：邻项变号法
解 因为 a1＝25>0，
变式： a1<0,d>0
由 S17=S9，得出 d＝－2，
呢？
令aann＝ ＋1＝252－5－22nn－≤10≥，0，
所以当 n＝13 时，Sn 有最大值． S13＝169.
例.已知等差数列{an}中,a1=25且S17=S9, 求n取何值时,Sn取最大值？
等差数列前n项和的最值
一个具有天才的禀赋的人，绝不遵循常人
的思维途径。
——司汤达
知识回顾
等差数列前n项和的公式：
①Sn
n(a1 2
an )
令an a1 n 1 d
②Sn
na1
n(n 1) 2
d
典例剖析
例.已知等差数列{an}中,a1=25且S17=S9,
求n取何值时,Sn取最大值？
分析： S n
na1Βιβλιοθήκη n(n 1)d 2Sn
d 2
n2
(a1
d )n 2
当d≠0时, Sn是二次函数（且常数项为0）
当d > 0时，图像开口向上，Sn有最小值， 当d < 0时，图像开口向下, Sn有最大值.
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∴a7>0,a8<0
∴当n=7时,Sn取最大值49.
等差数列的前n项的最值问题 变式题:等差数列{an}中,首项a1>０,S3 = S11, 问:这个数列的前几项的和最大？
解: 由S3=S11得 d<0,则d/2＜0
则Sn的图象开口向下,如图 Sn 所示 又S3=S11
解法2 由S3=S11得 d=－2<0
则Sn的图象如图所示
Sn
又S3=S11
所以图象的对称轴为
n 3 11 7 2
n
3 7 11
∴当n=7时,Sn取最大值49.
等差数列的前n项的最值问题
例.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n 取何值时,Sn取最大值.
解法3 由S3=S11得 d=－2
等差数列的前n项的最值问题
例1 已知等差数列5,
42, 7
34, 7
L 的前n项和为Sn，求使
得Sn最大的序号n的பைடு நூலகம்.
分析:等差数列的前n项和公式
Sn
na1
n(n 1) 2
d
d 2
n2
(a1
d )n 2
Sn可以看成关于n的函数,即在二次函数
y
d 2
x2
(a1
d )x 2
的自变量 x 取正整数时的函数值.
∴ an=13+(n-1) ×(-2)=－2n+15
由
aann1
0
0
得
n n
15 2 13 2
∴当n=7时,Sn取最大值49.
等差数列的前n项的最值问题
例.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n 取何值时,Sn取最大值.
解法4 由S3=S11得
a4+a5+a6+……+a11=0 而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8
解:由题意知:等差数列的首项a1=5,公差为
5
d
7
所以
Sn
5n
n(n 1) 2
(
5) 7
5 n2 75 n
配方
14 14
5 (n 15)2 1125
14 2 56
所以,当n取与7.5最近的整数即7或8时,Sn取最大值.
求等差数列前项和Sn的最值问题有两种方法:
方法1:由Sn
d 2
313 1 3 2 d 1113 1 1110 d
2
2
∴ d=－2
1 Sn 13n 2 n(n 1) (2)
n2 14n (n 7)2 49
∴当n=7时,Sn取最大值49.
等差数列的前n项的最值问题
例.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n 取何值时,Sn取最大值.
n2
(a1
d )n利用二次函 2
数的对称轴求得最值及取得最值时的n的值.
方法二:求出an, 用单调性
当d 0时,Sn有最小值; 当d 0时,Sn有最大值.
一、Sn An2 Bn,配方，看对称轴
二、a1 若a1 0, d
00,,d则数 列0,的S前n有面若最干项大an值 0,aann100
所以图象的对称轴为
n 3 11 7 2
n
3 7 11
∴当n=7时,Sn取最大值49.
(0 a1 a2 a3 L an an1 L )
(2)若a1 0, d 0,则a1是Sn的最小值;
（a1 a2 a3 L an 0 a n1 L )
等差数列的前n项的最值问题
例.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n 取何值时,Sn取最大值.
解法1 由S3=S11得
所以将这些项相加即得Sn的最大值;
（a1 a2 a3 L an 0 an1 L ）
a1
若a1 0,
0,
d
d 0, Sn有最小值
0,则数列的前面若干项an 0,
aann100
所以将这些项相加即得Sn的最小值;
（a1 a2 a3 L an 0 a n1 L ）
两个特例 (1)若a1 0, d 0,则a1是Sn的最大值.