高一数学教案：向量的加法与减法(1)
高中数学向量的加法教案
高中数学向量的加法教案教学目标：1. 理解向量的概念，掌握向量的性质和运算法则。
2. 掌握向量的加法法则和减法法则。
3. 能够通过例题熟练运用向量的加法和减法。
教学重点：1. 向量的加法法则和减法法则的理解与应用。
2. 解题方法的掌握与灵活运用。
教学难点：1. 多个向量的加法和减法。
2. 向量的坐标表示和分解。
教学准备：1. 教学课件、教学板书。
2. 向量的范例题目和练习题。
3. 制作向量的几何图形展示。
教学过程：一、引入：通过一个生活中的例子引出向量的概念，引导学生了解向量的意义和性质。
二、向量的定义与表示：1. 向量的定义：向量是具有大小和方向的量。
2. 向量的表示：以有向线段表示，常表示为AB（→），A和B分别为向量的起点和终点。
3. 向量的性质：平移、长度和方向都相同的向量相等。
三、向量的加法法则：1. 平行四边形法则：两个向量相加，结果向量的始点为第一个向量的始点，终点为第二个向量的终点，即C = A + B。
2. 共点法则：两个向量相加，结果向量为他们的和向量，即C = A + B。
四、向量的减法法则：向量的减法等价于加上对应向量的相反向量，即A - B = A + (-B)。
五、例题练习：1. 讲解范例题目，带领学生理解向量的加法和减法法则。
2. 练习学生独立解题，加深对向量运算的掌握和应用。
六、课堂小结：复习向量的加法和减法法则，梳理思路和方法。
七、作业布置：布置相关的练习题，巩固所学知识。
教学反思：通过向量的加法教学，让学生掌握向量的基本运算法则，提高学生的运算能力和解题思维。
扩充应用向量知识，拓展学生的问题解决能力。
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引言（二）
问题：学习一种新的运算，一般要解决那些方面的问题？ ——运算的定义； ——运算的法则；
——运算律．
【学习指导】这一段引言，目的有二，一是引导 你在自己的知识（或数学活动经验）的仓库里， 检索与之有关的内容；这是因为，人们解决未知 的问题，总是要用到已有的知识或经验．二是开 始研究时，就对问题有一个整体上的概念
知识结构
一、向量加法的概念
【学习指导】如果你的计算机中装有《几何画板》软件，可 以在计算机中进行上述操作；而且，你可以在“变换”的下 拉菜单中见有“标记向量”的功能，这说明向量在软件中亦 有广泛的应用． 【学习指导】向量加法的定义，似乎“一看就明白”了．上 述过程从“无疑”处“生疑” ．向量加法的概念是基于向 量和的概念的．那么，什么是向量的和呢？上述设计力图使 你体会到：（1）数学是来源于实践的，抽象概括形成数学 知识及蕴涵其中的思想方法，反过来又用数学知识解决实践 中的问题，为实践服务；（2）数学与物理学科有相通之处， 也有不同之处：物理学科是实验科学，在大量实验事实的基 础上形成物理知识；数学学科则是对实践进行抽象概括，形 成数学知识及自身特有的一些思想方法．
二、向量的加法法则
启示：数学与物理是互相联系的，之所以如此， 是因为它们均源于实践，只是从不同的角度予以 解释而已． 上述举例，就向量的代数表示形式，通过“智力 图象”加以操作，概括一般规律（形式化，不作 出向量，也可以对表示向量的字母加以“操作”， 进行向量的加法运算），训练抽象思维能力． 注意：举例（4）为下面定义相反向量打下伏 笔．
《§5.2 向量的加法 和减法(1) 》
教学目标
1．掌握向量的加法的定义，会用向量加法的三角形 法则和向量加法的平行四边形法则作两个向量的和向 量；掌握向量的减法，会作两个向量的差向量．掌握 向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计 算． 2．经历用数学符号、图形描述现实世界的过程，发 展合情推理和演绎推理能力，注意领悟数学知识发生 与发展过程中的数学思想方法（公理化思想、分类思 想、形数结合的思想等）． 3．感受数学与现实世界的联系、数学内部“形”与 “数”的联系，培养尊重客观事实的态度，以及独立 思考与合作交流的习惯．
高一数学向量 向量的加法和减法教案
向量【复习】1．在下面给出的量中：①长度②面积③体积④时间⑤温度⑥密度⑦质量⑧速度⑨加速度⑩位移功动能动量角，可以用一个实数（正数、负数或零）完全确定下来的量是_____；仅凭数值的大小是不能完全决定的，还必须指出它们的方向的量是_____．2．（1）判断正误：①向量的大小就是有向线段的数量．（）②任何零向量都相等．（）③单位向量就是长度为1的向量．（）④任意两个相等的非零向量与表示它们的有向线段的起点有关．（）（2）下列各式不正确的是（）A．AB＝BA B．m与n共线，则m∥nC．0∥a D．|e|＝1向量概念人们在长期的实践中，发现一些量在规定的单位下，都可以用一个数来表示．如长度、质量、面积等，这些量就是数量．但也有一些量不能单纯用一个数来表示，如力、速度、加速度等，它们不仅有大小，而且还有方向．这种既有大小又有方向的量就叫做向量．大小与方向是向量的两要素．判别向量的标准就是看一个量是否同时有大小和方向．2．向量的表示（1）向量的几何表示法：我们把带有方向的线段叫有向线段．有向线段有三要素：起点、长度、方向．从向量的定义看，向量具有两个特征，即大小与方向，而具备这两个特征的最简单的几何图形是有向线段，于是向量就可以用有向线段来表示．我们用带有箭头的有向线段表示向量．如，一物体受到2牛顿的力的作用，我们就可用如图5－1－1所示有向线段表示．（2）向量的字母表示：①在书上，印刷用小写字母的黑体表示，如a、b等．一旦手写，一定要表示出“箭头”如ba,．②用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如AB、CD等．但必须注意：起点字母在前，终点字母在后．AB和BA表示两个不同的向量，它们的方向恰好相反．3．向量的长度（或称模）向量的大小就叫向量的长度（模）．向量AB的长度记作|AB|．向量a的长度记作|a|．如图5－1－1中的向量长度为2，即|AB|＝2．向量的长度是一个数量．因此向量的长度可比较大小．如若|a|＝3，|b|＝2，则|a|＞|b|．4．几种特定条件的向量（1）零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0，即|0|＝0．零向量没有确定的方向，注意，不是没有方向！由于它的长度为0，所以表示它的有向线段的起点和终点重合，即成为一个点，因此，零向量的方向是任意的．零向量和数零是有差异的，因为前者有方向，后者没有方向．在读书时要注意0的黑体与白体的不同含义，一个表示零向量，一个表示数零．课本复习参考题五A组第1题，就是考查0是白体还是黑体，应引起重视．（2）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫单位向量，在统一的单位长度下，所有的单位向量的长度均相等，但方向不一定相同．因此不能说所有单位向量都相等．5．平行向量（或共线向量）（1）方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．我们规定零向量与任一向量平行．由此可知，零向量与零向量也是平行的．若a与b平行，记作a∥b．a为任一向量，则a∥0．（2）因为平行向量可平移到同一直线上，所以我们称平行向量为共线向量．注意向量平行和线段平行的差异：线段平行，则它们不能在一直线上，而向量平行，表示它们的有向线段可以在一直线上．6．相等向量长度相等且方向相同的向量叫相等向量．我们规定，零向量与零向量相等，两个相等的向量可用同一有向线段表示．因此，表示一个向量的有向线段的起点的选取是任意的，即表示向量的有向线段可任意平行移动，这样的向量叫自由向量．向量与数量、向量与力有什么区别？数量只有大小，用正数、负数、零来表示，它是代数量，可进行代数运算，它们之间可以比较大小．向量既有大小又有方向，因为方向不能比较大小，所以向量不能比较大小，不能用一个数表示向量，向量的运算也是不同于代数运算的全新的运算．从符号的意义来看，－a表示a的相反向量，－a表示a的相反数，|a|表示a 的长度（模），|a|表示a的绝对值．向量与力的比较见下表两个向量之间可能有什么样的关系？我们已知道两向量之间没有“大于”或“小于”的关系．但从向量的大小和方向考查存在以下的关系：零向量与任一向量平行（共线）．两非零的平行向量有如下分类：怎样正确地理解向量？［例1］对下列各命题的真假作出判断（1）物理学中的作用力与反作用力是一对方向相反，大小相等的向量．（2）温度有零上温度和零下温度，所以温度是向量．（3）直角坐标系中的x轴和y轴都是向量．（4）线段不是向量，而有向线段是向量．分析：以上四个命题均为向量的判断问题，因此需严格对照向量的定义逐个作出判断．解：（1）真命题．因为作用力与反作用力是作用于同一点，且大小相等方向相反的两个力，故（1）是真命题．（2）假命题．虽然温度有零上和零下，但这并不是方向，故温度不是向量．（3）假命题．由于x轴和y轴虽然有方向，但是无大小，故x轴和y轴都不是向量．（4）真命题．由于线段无方向，故它不是向量；而有向线段既有大小又有方向，故有向线段是向量．若a与b是平行向量，b与c是平行向量，则a与c也是平行向量吗？［例2］试判定命题：“若a∥b，b∥c，则a∥c”的真假，若该命题为真，则给出证明；若该命题为假，则举出反例．解：该命题是假命题．例如，当a、c为两非零向量，且a∥c，而b＝0时，由于零向量与任何向量均平行，所以当b＝0时，a∥b，b∥c，但推不出a∥c．点评：（1）如果我们在本例的条件中增加条件：向量a、b、c 为非零向量，则命题：“若a∥b，b∥c，则a∥c”为真命题．（2）若向量a对任何向量b，均有a∥b，则必有a＝0．一、选择题1．下列各量中是向量的是（）A．密度B．功C．风速D．比热2．下列命题中正确的是（）A．若|a|＝0，则a＝0B．若|a|＝|b|，则a＝bC．若|a|＝|b|，则a与b是平行向量D．若a∥b，则a＝b3．下列说法中正确的是（）A．零向量没有方向B．单位向量都相等C．与非零向量a平行且不相等的向量有2个D．a、b为非零向量，且a∥b，则表示a和b的有向线段平行或重合二、填空题4．a、b不共线，则a、b一定都是_____．5．已知a0是a的一个单位向量，则a0＝_____a．三、解答题6．判断下列各命题是否正确？并说明理由．（1）若点O是正三角形ABC的中心，则向量OA、OB、OC均相等．（2）在四边形ABCD中，若AB与CD共线且|AD|≠|BC|，则四边形ABCD 是梯形．（3）在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于O ，若AO ＝OC ，BO ＝OD ，则该四边形是平行四边形． （4）在四边形ABCD 中，“AB ＝DC 且|AC |＝|BD |”是四边形ABCD 为矩形的充要条件．参考答案【课前复习】1．①②③④⑤⑥⑦；⑧⑨⑩2．（1）①× ②√ ③× ④× （2）A一、1．C 因风速既有大小又有方向．2．A 因模为0的向量只有零向量．3．D 零向量有方向；单位向量的方向不一定相同；与a 平行的向量有无数个．二、4．非零向量 因为零向量与任何向量共线．5．±||1a 注意需考虑方向． 三、6．（1）不正确．因为它们的方向各不相同．（2）正确，由于AB ∥CD ，故AB ∥CD ．再由于|AD |≠|BC |，所以AD ≠BC ，故四边形ABCD 是梯形．（3）正确．由条件知四边形ABCD 的对角线互相平分，所以四边形ABCD 是平行四边形．（4）正确．由条件AB ＝DC 可知：AB DC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，又∵|AC |＝|BD |，即□ABCD 的对角线相等，所以四边形ABCD是矩形；反过来，若四边形ABCD是矩形，则它的对边平行且相等，对角线长也相等，所以AB＝DC，且|AC|＝|BD|．向量的加法与减法（第一课时）【课前复习】1．会做了，学习新课才能有保障．（1）实数的运算律，是实数进行运算的依据，实数的加法交换律是_____，加法结合律是_____．（2）已知力F1与F2的夹角是直角，在图5－2－1中作出合力F．图5－2－12．先看书，再来做一做．（1）在平行四边形ABCD中，AB＋CA＋BD等于（）A．AB B．BCC．CD D．BA（2）一架飞机从A城向北飞行到达B城，后改变航向向西飞行到达C城，若用向量AB、BC分别表示第一次、第二次飞行的位移，则两次飞行的效果，就相当于从A城直接飞行到C城，即位移AC．这一事实让我们感受到应该有等式（向量式）_____．【学习目标】（1）掌握向量的加法的定义，会用向量加法的三角形法则和向量加法的平行四边形法则作两个向量的和向量．（2）掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算．【基础知识精讲】本课时内容是向量的加法，向量加法的三角形法则，平行四边形法则，向量加法的交换律和结合律．重点是向量加法的定义，和向量的作法，加法运算律．难点是对向量加法定义的理解．1．向量的加法向量的加法是以物理中速度的合成，合力与分力（力的分解与合成）为背景的．课本首先通过几何作图作出两个向量的和向量，然后给出向量加法的定义．作两个向量和的几何方法有两种：一种是三角形法则，另一种是平行四边形法则．（1）向量加法的三角形法则：已知向量a、b，在平面内任取一点A，作AB＝a，BC＝b，则向量AC叫做a与b的和向量，记作a＋b，即a＋b＝AB＋BC＝AC．这种作和向量的方法叫向量加法的三角形法则．图5－2－2（2）向量加法的平行四边形法则：已知向量a、b，在平面内任取一点A，作AB＝a，AC＝b，以AB、AC为邻边作平行四边形ABDC，则AD是a、b的和向量，即AD＝a＋b．这种作和向量的办法，叫做平行四边形法则．求两个向量和的运算，叫向量的加法．课本对向量加法是采用三角形法则来定义的，这种定义，对两向量共线时同样适用，而当两向量共线时，平行四边形法则就不适用了，但在处理某些问题时，平行四边形法则有它一定的优越性．因此两个法则都应熟练掌握．对向量的加法要注意下列几点：①向量和与数量和的区别．两向量的和仍为向量，它既有大小，又有方向．而数量和没有方向，数量不能与向量相加．②对任意向量a和b，有|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|．③零向量与任一向量的和向量还是这个向量，即a＋0＝a．④在用三角形法则作和向量时，第二个向量的起点要与第一个向量的终点重合，和向量的起点是第一个向量的起点，和向量的终点是第二个向量的终点．如果没有图示，用向量的起点终点表示向量时，也应该注意到“尾首相接”的要求．例如，AB＋CA＝CA＋AB＝CB．2．向量加法的运算律向量加法与实数加法具有相同的运算律，即对于任意三个向量a、b、c，有交换律a＋b＝b＋a结合律（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）通过作图（也就是运用定义）可以验证向量加法的交换律和结合律．3．相反向量与向量a长度相等，方向相反的向量叫a的相反向量，记作－a ．规定零向量的相反向量还是零向量．由定义可知AB 与BA 是互为相反的向量，即AB ＝－BA ．（1）一个向量的相反向量的相反向量就是它本身，即－（－a ）＝a ．（2）a 、b 是互为相反向量的充要条件是a ＋b ＝0．（3）互为相反向量的两个向量的长度相等，即|a |＝|－a |． 学习本课时时，下面三个问题需要注意．怎样理解向量加法定义？首先，要结合高一上学期物理中力的合成有关知识，联想对照，验证定义的科学性．其次，要联系实际，通过自身生活感受，理解定义的合理性．设想一个物体连续作两次直线移动，先从点P 1移动到点P 2，得到一个向量21P P ，再从点P 2移动到点P 3，又得到一个向量32P P ，而两次移动的实际效果就相当于从点P 1直接移动到点P 3，即得到向量31P P ．如图5－2－3示，这一事实让我们感受到应该有等式：21P P ＋32P P ＝31P P ．这样，我们就能很自然地从感性上认可向量加法的定义．另外，要对定义所能包含的各种情况全面认识，力求把握定义的外延和本质．图5－2－3怎样证明｜｜a ｜－｜b ｜｜≤｜a ＋b ｜≤｜a ｜＋｜b ｜? 若a 、b 中有一个为0时，则不等式显见成立；若a 、b 都不是0时，作OA ＝a ，AB ＝b ，则OB ＝a ＋b ．(1) 当a 、b 不共线时，如图5－2－4（1）所示，则｜｜OA ｜－｜AB｜｜＜｜OB｜＜｜OA｜＋｜AB｜，即｜｜a｜－｜b｜｜＜｜a＋b｜＜｜a｜＋｜b｜．（1）（2）（3）图5－2－4（2）当a、b共线时，若a、b同向，如图5－2－4（2）所示，｜OB｜＝｜OA｜＋｜AB｜，即｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜；若a、b反向，如图5－2－4（3）所示，｜｜OA｜－｜OB｜｜＝｜AB｜，即｜｜a｜－｜b｜｜＝｜a＋b｜．综上所述可知，｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a＋b｜≤｜a｜＋｜b｜怎样证明向量加法的交换律和结合律？先证交换律：（1）当a、b不共线时，如图5－2－5，作□ABCD，使AB＝a，AD＝b，则DC＝a，BC＝b，图5－2－5∵a＋b＝AB＋BC＝AC，b＋a＝AD＋DC＝AC∴a＋b＝b＋a．（2）当a、b共线时，应考虑三种情况：①若a、b两向量中，至少有一个为0，则a＋b＝b＋a成立；②若a，b不为0，且a、b同向时，则由于｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜，｜b＋a｜＝｜b｜＋｜a｜＝｜a｜＋｜b｜∴｜a＋b｜＝｜b＋a｜又∵a＋b与a同向，b＋a也与a同向，∴a＋b与b＋a同方向，∴有a＋b＝b＋a．③若a、b反向，且a、b不为0时，则｜a＋b｜＝｜｜a｜－｜b｜｜，｜b＋a｜＝｜｜b｜－｜a｜｜＝｜｜a｜－｜b｜｜∴｜a＋b｜＝｜b＋a｜．又∵a＋b及b＋a均与a、b中模较大的同方向，∴a＋b与b ＋a同方向，∴有a＋b＝b＋a．综上可知，对任意向量a、b，均有a＋b＝b＋a．再证结合律：如图5－2－6所示，设AB＝a，BC＝b，CD＝c，则AC＝a＋b，BD＝b＋c图5－2－6于是（a＋b）＋c＝AC＋CD＝AD，a＋（b＋c）＝AB＋BD＝AD∴（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）．【学习方法指导】怎样运用向量加法运算律简化向量式？［例1］化简AB＋DF＋CD＋BC＋FA．分析：根据向量加法的交换律使各向量首尾相连，再运用向量加法的结合律调整向量顺序相加．解：∵AB ＋DF ＋CD ＋BC ＋FA ＝AB ＋BC ＋CD ＋DF ＋FA （利用交换律） ＝AC ＋CF ＋FA （利用结合律） ＝AF ＋FA （利用结合律） ＝AA ＝0． ∴AB ＋DF ＋CD ＋BC ＋FA ＝0．如何利用向量方法证明对角线互相平分的四边形是平行四边形？［例2］已知：如图5－2－7，ABCD 是四边形，对角线AC 与BD 交于O ，且AO ＝OC ，DO ＝OB ．求证：ABCD 是平行四边形．图5－2－7证明：由向量的加法法则，有AB ＝AO ＋OB ，DC ＝DO ＋OC ，又AO ＝OC ，DO ＝OB ，∴AB ＝DC ．这说明AB 与DC 平行且相等，故ABCD 为平行四边形．点评：要证四边形是平行四边形，只要证明其一组对边平行且相等，由相等向量的意义可知，只须证明其一组对边对应向量相等．【知识拓展】1．向量加法的多边形法则：向量加法的三角形法则，可推广到一般情况．要作向量a 1，a 2，…，a n 的和向量，只需作21A A ＝a 1，32A A ＝a 2，…，1+n n A A ＝a n ， 则11+n A A ＝a 1＋a 2＋…＋a n ．图5－2－8是n ＝4的情形．图5－2－82．闭折线定理：在向量加法的多边形法则中，如果最后一个向量的终点与第一个向量的起点相重合，则所求的和为一个零向量，即对于一组闭折线A 1A 2A 3…A n A 1，总有3221A A A A +＋…＋11A A A A n n n +-＝0．课本第一册（下）第103页习题5．2第6题中“化简AB ＋BC ＋CA ”是该定理的特殊情形．该题用向量加法的三角形法则，不难得到结果：AB ＋BC ＋CA ＝0．该结论称为“三闭折线定理”．【同步达纲训练】一、选择题1．如图5－2－9，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则下列等式中正确的是（ ）图5－2－9A ．FD ＋DA ＝FAB ．FD ＋FE DE +＝0C ．EB DA DE =+D ．DE DA +＝FD2．已知正方形ABCD 的边长为1，AB ＝a ，AC ＝c ，BC ＝b ，则｜a ＋b ＋c ｜为（ ）A ．0B ．3C ．2D ．223．已知P 为△ABC 所在平面内的一点，当PC PB PA =+成立时，点P 位于（ ）A．△ABC的AB边上B．△ABC的BC边上C．△ABC的内部D．△ABC的外部二、填空题4．MQ+PQ++＝_____．OMQO5．向量a、b满足｜a｜＝8，｜b｜＝12，则｜a＋b｜的最大值和最小值分别是_____．三、解答题6．设平面内有四边形ABCD和点O，OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，若a＋c＝b＋d，试判断四边形ABCD的形状．参考答案【课前复习】1．（1）a＋b＝b＋a（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）（2）2．（1）C AB＋CA＋BD＝（AB＋BD）＋CA＝AD＋CA＝CA ＋AD＝CD．（2）AB＋BC＝AC．【同步达纲训练】一、1．A 根据向量加法的三角形法则，易知选A．2．D |a＋b＋c|＝|c＋c|＝2|c|＝22．3．D 四边形PBCA是平行四边形．二、4．PQ PQ＋OM＋QO＋)OM+）=＋（MQ(QOPQMQ+＝PQ+．PO=OQ5．20和4 根据||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|可得．三、6．由a＋c＝b＋d，得OA＋OC＝OB＋OD，OA＋OC－OB －OD＝0，OA＋BO＋OC＋DO＝0，BA＋DC＝0，AB＝DC．这说明四边形ABCD是平行四边形．向量的加法与减法（第二课时）【课前复习】1．会做了，学习新课才能有保障．（1）与a_____的向量，叫做a的相反向量．（2）－（－a）＝_____，a＋（－a）＝_____；（－a）＋a＝_____．2．先看书，再来做一做．（1）化简：OA－OB＝_____，OPPB －OB＝_____．（2）在△ABC中，BC＝a，CA＝b，则AB＝_____．【学习目标】（1）会用相反向量说出向量减法的意义．（2）能准确作出两个向量的差向量，并知道确定差向量的起点和终点的规律．（3）能结合图形进行向量计算，知道向量的减法运算可以转化为向量的加法运算．【基础知识精讲】向量的减法与向量的加法一样，也是全章的重点内容之一．本课时的重点是向量减法的定义．难点是如何作两个向量的差向量．1．向量减法的定义a与b的相反向量的和，叫做a与b的差，记作a－b．即a－b＝a＋（－b）．求两向量差的运算，叫做向量的减法．2．差向量的作法（1）为了作出差向量a－b，不妨设a－b＝x，则b＋x＝b＋（a－b）＝a＋b＋（－b）＝a．如图5－2－10所示，由加法的作图方法，可以得到：将a、b的起点重合于点A，端点B、C相连，方向指向被减向量a的终点．也就是说，差向量总是以减向量终点为始点，被减向量终点为终点的有向线段．图5－2－10 图5－2－11（2）当a∥b时，若a，b同向且|a|＞|b|，a－b与a、b方向相同；|a|＜|b|时，a－b与a、b反向，且|a－b|＝||a|－|b||．若a、b反向，a－b与a同向，且|a－b|＝|a|＋|b|．（3）对两向量的差还有：①0－a＝－b；②a－0＝a．3．关于向量差的模的不等式．对于两任意向量a与b差的长度不大于两向量长度之和，且又不小于两向量长度差的绝对值，即||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|．事实上，只需将||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中的b换作－b，即可得到．在本课时学习过程中，容易产生下面的问题：向量的加减法与数量的加减法有什么异同？两者的比较如下表所示：在向量式中，去括号法则仍然适用吗？下面以向量a、b为例，验证－（a＋b）＝－a－b成立．（1）当a、b中至少有一个为0时，不妨设a＝0，则－（a＋b）＝－（0＋b）＝－b，－a－b＝0－b＝－b．等式成立；当a＝b ＝0时，显然成立．（2）当a、b均不为0时，①若a、b共线，此时，若a、b同向，作OA＝a，AB＝b，则OB＝a＋b，BO＝－（a＋b），而－a－b ＝（－a）＋（－b）＝AO＋BA＝BO，等式成立（图5－2－12）．若a、b反向．当|a|＝|b|时，a、b互为相反向量，－a、－b 也是互为相反向量，故－（a＋b）＝－a－b＝0．当|a|＞|b|时，作OA＝a，AB＝b，则OB＝a＋b，BO＝－（a＋b），而AO＝－a，BA＝－b，BA＋AO＝BO＝－a－b，等式成立．同理可得|a|＜|b|时，等式成立（图5－2－13）．图5－2－12 图5－2－13②a、b不共线时，作OA＝a，OB＝b．以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则OC＝a＋b，CO＝－（a＋b），而CB＝－a，CA ＝－b，∴－a－b＝（－a）＋（－b）＝CO，等式也成立（图5－2－14）．图5－2－14综上所述，等式永远成立．这说明，向量运算和实数运算一样，也有去括号法则：a－（b＋c）＝a－b－c．【学习方法指导】怎样进行向量的加减法运算？［例1］化简（AB－CD）－（AC－BD）．分析：公式OA－OB＝BA可以直接运用，也可以逆向运用，还可以利用－AB＝BA将加、减法统一成加法进行计算．解法一：（统一成加法）（AB－CD）－（AC－BD）＝AB－CD－AC＋BD＝AB＋DC＋CA＋BD＝（AB＋BD）＋（DC＋CA）＝AD＋DA＝0解法二：（利用OA－OB＝BA）（AB－CD）－（AC－BD）＝AB－CD－AC＋BD＝（AB－AC）＋（DBDC ）＝CB＋BC＝0．由|a＋b|＝|a－b|，能判定向量a与b互相垂直吗？［例2］已知两个向量a与b，求证|a＋b|＝|a－b|的充要条件是：a的方向与b的方向垂直．分析：分充分性和必要性两个部分来证明．证明：当a、b中至少有一个为0时，命题显然成立．当a、b都是非零向量时，如图5－2－15示．图5－2－15（1）充分性设OA＝a，OB＝b，使OA⊥OB．以OA、OB为邻边作矩形OBCA，则|a＋b|＝|OC|，|a－b|＝|BA|．∵四边形OBCA为矩形，∴|OC|＝|BA|，∴|a＋b|＝|a－b|（2）必要性设OA＝a，OB＝b，以OA、OB为邻边作平行四边形，则|a＋b|＝|OC|，|a－b|＝|BA|，∵|a＋b|＝|a－b|，∴|OC|＝|BA|又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形OBCA为矩形∴a的方向与b的方向垂直．怎样利用向量a、b、a＋b、a－b之间的关系解题？当a、b不共线时，a、b、a＋b、a－b分别为一平行四边形的两邻边和两条对角线．我们可以利用这一特定关系解答一些问题．［例3］已知|a|＝6，|b|＝8，|a－b|＝10，求|a＋b|．解：由|a|＋|b|＝14，||a|－|b||＝2，知|a－b|≠|a|＋|b|，且|a－b|≠||a|－|b||，所以a、b不共线．设OA＝a，OB＝b．以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则OC＝a＋b，BA＝a－b∴|OA|＝6，|OB|＝8，|AB|＝10，∴|OA|2＋|OB|2＝|BA|2∴△AOB是直角三角形，∴OACB是矩形∴|OC|＝|BA|＝10，即|a＋b|＝10．【知识拓展】向量减法除了课本给出的作图法（根据定义作），还有其他作图法．1．根据减法是加法的逆运算作．设x＝a－b，则x＋b＝a．要作出a－b，只要作出x即可．以OA、AB为邻边作平行四边形OABC，使OA＝a，AB＝b，则平行四边形OABC的另一条对角线CA＝a－b，如图5－2－16．图5－2－162．根据相反向量的意义，由减法转化为加法来作．作OC＝－b，OA＝a，则CA＝CO＋OA＝（－b）＋a＝a－b．比较几种作法，容易看出，课本上给出的作法是最简捷的作法．【同步达纲训练】一、选择题1．若向量a与b反向，且|a|＝|b|＝1，则|a－b|等于（）A．0 B．1C．2D．22．a∥b是|a－b|＝||a|－|b||的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．下列各式中不能化简为AD的是（）A．（AB－DC）－CBB．AD－（CD＋DC）C．－（CD＋MC）－（DMDA+）D．－MBDA-BM+二、填空题4．当不等式中||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|中前后两个等号都成立时，|a|·|b|＝_____．5．已知向量a、b、c的模分别为3、4、5，则|a－b－c|的最小值为_____，最大值为_____．三、解答题6．已知非零向量a和b不共线，求作向量c，使c＝a－b，表示向量a、b、c的有向线段能构成三角形吗？参考答案【课前复习】1．（1）长度相等方向相反（2）a；0；02．（1）BA0（2）－a－b【同步达纲训练】一、1．D 由题意，b＝－a，|a－b|＝2|a|＝2．2．B 当b＝－a时，|a－b|＝2|a|．而||a|－|b||＝0．a≠0时，|a－b|≠||a|－|b||，所以不是充分条件．但当|a－b|＝||a|－|b||时，必然有a与b同向，∴a∥b．3．D ∵（AB－DC）－CB＝AB＋CD＋BC＝AB＋BD＝AD；DA+）AD－（CD＋DC）＝AD－0＝AD；－（CD＋MC）－（DM＝－DM+=-＝AD．-MD-DADMADDM－MB++=-++=BM2DAADADMBMBMB二、4．0 当左边等号成立时，a、b同向或至少有一个为0．当右边等号成立时，a、b异向或至少有一个为0．当两个等号都成立时，只能是a、b中至少一个为0．∴|a|·|b|＝0．5．0 12 当a与b垂直，且a－b与c同向时，则|a－b－c|＝|c－c|＝0；当b、c同向，且与a反向时，|a－b－c|＝|a|＋|b|＋|c|＝12．三、6．解：能如图示，作OA＝a，OB＝b，则BA＝a－b＝c．显然OAB的三边是a，b，a－b．。
最新高教版数学教案——向量的加、减法
向量的加、减法教学目的1、使学生进一步掌握、理解向量加减法的概念及运算法则；2、培养学生分析问题、解决问题的能力，树立辩证唯物主义的认识观。
教学重点与难点：向量加、减法中的三角形法则和平行四边形法则。
难点：向量加减定义的理解 教学过程：一、复习：1、向量加法定义；2、相反向量，向量减法定义；3、三角形法则；4、平行四边形法则。
二、基础训练题：1、设表示“向东走3km ” ，表示“向北走3km ”，则+表示_____________2、已知四边形ABCD 是平行四边形，那么下列等式中恒成立的是 ( )A 、+=B 、-=C 、BA CB AC +=D 、AD AB AC -=3、已知P 为ABC ∆所在平面内一点，当=+成立时，点P 位于（） A 、ABC ∆的AB 边上 B 、ABC ∆的BC 边上C 、ABC ∆的内部D 、ABC ∆的外部4、已知非零向量,满足关系式：||||-=+，那么向量，应满足的条件是（ ）Ａ、方向相同 Ｂ、方向相反 Ｃ、模相等 Ｄ、互相垂直 ５、已知10||,8||,6||=-==，则=+||_______________-三、例题讲解：例１、判断下列命题是否正确：（１） 若==则|,|||（２）若Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ是不共线的四点，则=是四边形ABCD为平行四边形的充要条件。
（３）若=，=，则=（４）若//,//,//则（５）||||=是=的必要不充分条件。
例2、已知一点O到平行四边形三个顶点A，B，C的向量分别为,,，求例3、如图所示，O是四边形ABCD内任一点，试根据图中给出的向量，确定DCdcABba=-=+,，并画出+-和例4、如图，在直角坐标系中，向量的长度为5个单位，方向与x轴的正方向成︒60角，向量的长度为4个单位，方向与x轴的负方向相同，试求+的长度和方向。
四、小结：1、理解向量加、减的定义；2、相反向量的概念；3、如何确定差向量的起点、终点五、布置作业：1、若O是线段的中点，则BCAC+为（）A、ABB、BAC、D、以上均不正确2、在ABCD 中，++等于 （ ）A 、B 、C 、D 、3、已知正方形ABCD 的边长为1，AB =，=，=，则||++等于（ ）A 、 0B 、 3C 、 2D 、 224、下列等式中一定能成立的是 （ ）A 、=+B 、=-C 、=+D 、=-5、已知a OA =,b OB =,,3||||==b a ,600=∠AOB 则||b a +=___________ 6、已知向量,的模分别为3,4,则||-的取值范围是________________7、如图，在矩形ABCD 中，O 是对角线AC 与的交点，若=,=,= 试证明：-=+-)(8、有一艘在静水中的速度为10km/h 的船，沿与河岸成︒60角的方向向河的上游行驶时，由于受水流的影响，结果在垂直于河岸的方向上驶达对岸，设两岸平行，流速均匀。
高中数学教案：向量的运算
高中数学教案：向量的运算向量的运算一、引言向量是高中数学中的重要内容之一，它具有方向和大小，并且可以进行各种运算。
向量的运算包括向量的加法、向量的减法、数量与向量的乘法等。
本教案将详细介绍向量的运算方法和相关性质。
二、向量的加法1. 定义向量的加法是指两个向量相加得到一个新的向量的操作。
具体来说，设有向量A和向量B，它们的和记作A＋B，可以通过以下方法进行计算：A＋B＝(Ax＋Bx, Ay＋By)其中，Ax表示向量A在x轴上的分量，Ay表示向量A在y轴上的分量；Bx 表示向量B在x轴上的分量，By表示向量B在y轴上的分量。
2. 性质向量的加法具有以下性质：(1) 交换律：A＋B＝B＋A(2) 结合律：(A＋B)＋C＝A＋(B＋C)，其中C为另一个向量三、向量的减法1. 定义向量的减法是指一个向量减去另一个向量得到一个新的向量的操作。
具体来说，设有向量A和向量B，它们的差记作A－B，可以通过以下方法进行计算：A－B＝(Ax－Bx, Ay－By)其中，Ax表示向量A在x轴上的分量，Ay表示向量A在y轴上的分量；Bx表示向量B在x轴上的分量，By表示向量B在y轴上的分量。
2. 性质向量的减法具有以下性质：(1) 减法的定义：A－B＝A＋(－B)(2) 减法的运算规则：A－B＝A＋（－B）＝A＋（－1）B＝A－B四、数量与向量的乘法1. 向量的数量乘法给定一个向量A和一个实数k，向量A与实数k的乘积记作kA，它是一个新的向量，计算方法为：kA＝(kAx, kAy)其中，kAx表示向量A在x轴上的分量乘以实数k，kAy表示向量A在y轴上的分量乘以实数k。
2. 向量的点乘向量的点乘又称为数量积，给定两个向量A和B，它们的点乘记作A·B或者AB，计算方法为：A·B＝|A||B|cosθ其中，|A|表示向量A的模长，|B|表示向量B的模长，θ表示A和B的夹角。
3. 向量的叉乘向量的叉乘又称为向量积，给定两个向量A和B，它们的叉乘记作A×B或者AXB，计算方法为：A×B＝|(AyBz－AzBy)i＋(AzBx－AxBz)j＋(AxBx－AyBx)k|其中，i、j、k分别是坐标轴上的单位向量。
【课件】向量的加法运算 向量的减法运算课件高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
6.2.1 向量的加法运算 6.2.2 向量的减法运算
教学目标
借助实例和平面向量的几何意义，掌握平面向量
1
的加法、减法运算及其运算规律.
2 理解平面向量的加法、减法运算的几何意义.
（1）向量的加法：求两个向量和的运算， 叫做向量的加法.
对于零向量与任意向量a ，规定a+0 0 a a .
本节课学习了平面向量的加法、减 法运算.
解析：由题意和图形可知 BAC 90 ，因为| AB | 300 ，| BC | 300 2 ，
所以| AC | 300 ，因为 ABC 45 ，A 地在 B 地南偏东 30°的方向处. 所以 C 地在 B 地南偏东 75°的方向处. 故飞机从 B 地向 C 地飞行的方向为南偏东 75°.
9.化简下列各式： （1） ( AB MB) (OB MO) . （2） AB AD DC .
B a-b
b Oa A
例 1 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运 输.如图，一艘船从长江南岸 A 地出发，垂直于对岸航行， 航行速度的大小为 15 km/h，同时江水的速度为向东 6 km/h. （1）用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； （2）求船实际航行的速度的大小（结果保留小数点后一位）与方向（用与江水速度 间的夹角表示，精确到 1°）.
（2）向量加法的三角形法则：已知非零向量a，b ，在平面内
任取一点 A ，作 AB a ， BC b ，则向量 AC 叫做a 与b 的和，
记作 a b ，即 a b AB BC AC .如图.
C
b a+b
Aa
B
（3）向量加法的平行四边形法则：已知两个不共线向量a，b ， 作 AB a ， AD b ，以 AB ， AD 为邻边作 ABCD ，则对角线 上的向量 AC a b .如图.
《向量的加法和减法》 说课稿
《向量的加法和减法》说课稿尊敬的各位评委、老师：大家好！今天我说课的内容是《向量的加法和减法》。
下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程、板书设计这几个方面来展开我的说课。
一、教材分析“向量的加法和减法”是高中数学必修 4 第二章平面向量中的重要内容。
向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，是沟通代数、几何与三角函数的一种工具。
向量的加法和减法是向量运算的基础，后续的向量数乘运算以及向量的数量积运算都建立在加法和减法的基础之上。
同时，向量的加法和减法在物理学、工程学等领域也有广泛的应用。
本节课的内容在教材中起着承上启下的作用，通过对向量加法和减法的学习，学生能够进一步理解向量的概念，为后续的学习打下坚实的基础。
二、学情分析授课对象是高一年级的学生，他们在之前的学习中已经掌握了平面几何的相关知识，具备了一定的逻辑思维能力和抽象概括能力。
但是，向量对于学生来说是一个全新的概念，学生在理解向量的加法和减法的几何意义时可能会存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要通过直观的图形和实例，帮助学生理解向量的加法和减法的运算规律。
三、教学目标1、知识与技能目标（1）理解向量加法和减法的定义。
（2）掌握向量加法和减法的三角形法则和平行四边形法则。
（3）能够熟练进行向量的加法和减法运算。
2、过程与方法目标（1）通过实例，经历向量加法和减法概念的形成过程，培养学生的观察、分析和抽象概括能力。
（2）通过向量加法和减法的作图，体会数形结合的数学思想方法。
3、情感态度与价值观目标（1）在向量加法和减法的探究过程中，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。
（2）通过合作学习，培养学生的团队合作意识。
四、教学重难点1、教学重点（1）向量加法和减法的定义及运算法则。
（2）向量加法和减法的几何意义。
2、教学难点（1）对向量加法和减法的几何意义的理解。
（2）灵活运用向量加法和减法的运算法则解决实际问题。
向量的加法与减法优质课教案
向量的加法与减法课题：教案目的：⑴掌握向量加法的定义⑵会用向量加法的三角形法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和向量⑶掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算. 教案重点：用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量教案难点：向量的加法和减法的定义的理解授课类型：新授课1课时课时安排：教具：多媒体、实物投影仪教案过程：一、复习引入：向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量1.ｂａ、①用有向线段表示；②用字母等表示；2.向量的表示方法：AB；③用有向线段的起点与终点字母：ABAB|④向量的大小――长度称为向量的模，记作|.3.零向量、单位向量概念：00的向量叫零向量，记作①长度为0的方向是任意的零向量、单位向量的定义都是只限制大.②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.小，不确定方向平行向量定义：4.①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；ｃｂｃａａｂ. 平行，记作∥②我们规定0与任一向量平行.向量∥、、 5.相等向量定义：. 长度相等且方向相同的向量叫相等向量ｂａａｂ 1（）向量＝与；相等，记作（2）零向量与零向量相等；来表示，并（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段. 且与有向线段的起点无关．．．．．．．．．． 6.共线向量与平行向量关系：. 平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（1. 2（）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系 7.对向量概念的理解AB：起的字母是有顺序的，起点在前终点在后，所以我们说有向线段有三个要素向量.二个要素点、方向、长度；既有大小又有方向的量，我们叫做向量，有：大小、方向.不能比较大小；实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘；与起点无关：两个要素向量与有向线段的区别：向量是自由向量，只有大小和方向三个只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向1 / 8，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段要素二、讲解新课：1求两个向量和的运算，叫做向量的加法．向量的加法：三角形法则几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的课本中采用了平行四边形法则（对于两个向量共线不适应））（“首尾相接，首尾连”和三角形法则来定义，这种定义，对两向量共线时同样适用，当向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的a b ACbAB?aBC?A叫做、，则向量在平面内任取一点如图，已知向量，，作a bab?AC?a?b?AB?BC，即与的和，记作CCbaa+bBa+bBDaabb三角形法则平行四边形法则A(1)A特殊情况：aa bbba?ba?BAA CC B)3()2(a a?0?a?0?a对于零向量与任一向量，有）两相向量的和仍是一个向量；1探究：（bbabaaba与。
高中数学 向量的减法教案 新人教A版必修1
第三教时教材：向量的减法目的：要求学生掌握向量减法的意义与几何运算，并清楚向量减法与加法的关系。
过程： 一、 复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则向量加法的运算定律：例：在四边形中，=++BA BA CB CD解：=++=++ 二、 提出课题：向量的减法1． 用“相反向量”定义向量的减法 1︒“相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量。
记作 -a 2︒规定：零向量的相反向量仍是零向量。
-(-a ) = a任一向量与它的相反向量的和是零向量。
a + (-a ) = 0如果a 、b 互为相反向量，则a = -b , b = -a , a + b = 0 3︒向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差。
即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。
2． 用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算：若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b 3． 求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量 ∵(a -b ) + b = a + (-b ) + b = a + 0 = a作法：在平面内取一点O ， 作= a , = b则= a - b 即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量。
注意：1︒表示a - b 。
强调：差向量“箭头”指向被减数 2︒用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b )显然，此法作图较繁，但最后作图可统一。
4． a ∥b ∥c a - b = a + (-b ) a - b三、 例题：例一、（P101 例三）已知向量a、b 、c 、d ，求作向量a -b 、c -d 。
解：在平面上取一点O ，作OA = a , OB = b , OC = c , OD = d ,作BA , DC , 则BA = a -b , DC = c -d例二、平行四边形中，，用表示向量，解：由平行四边形法则得： AC = a + b, DB = AD AB - = a -b变式一：当a , b 满足什么条件时，a +b 与a -b 垂直？（|a | = |b |） 变式二：当a , b 满足什么条件时，|a +b | = |a -b |？（a , b 互相垂直） 变式三：a +b 与a -b 可能是相当向量吗？（不可能，∵ 对角线方向不同） 四、 小结：向量减法的定义、作图法| 五、 作业： P102 练习P103 习题5.2 4—8O ABa B’b-b b Ba + (-b )a b O a bB a ba -bA BD C A B C b a d c D O a -bA B B’ a -b a a b bO A O B a -b BA O-b。
高一数学教案：向量的加法与减法(1)
课题：向量的加法与减法（1）教学目的：⑴掌握向量加法的定义⑵会用向量加法的三角形法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和向量⑶掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算教学重点：用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量.教学难点：向量的加法和减法的定义的理解授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ等表示；③用有向线段的起点与终点字母：；④向量的大小――长度称为向量的模，记作||.3.零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作的方向是任意的②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.4.平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.5.相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．．．．．．．．．．.6.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上.（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.7.对向量概念的理解的字母是有顺序的，起点在前终点在后，所以我们说有向线段有三个要素：起点、方向、长度；既有大小又有方向的量，我们叫做向量，有二个要素：大小、方向.向量不能比较大小；实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘.向量与有向线段的区别：向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段 二、讲解新课：1． 向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）课本中采用了三角形法则来定义，这种定义，对两向量共线时同样适用，当向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的如图，已知向量a 、b 在平面内任取一点A ，作a =，b =，则向量叫做a 与b 的和，记作b a +，即 b a =+=+特殊情况：(1)BBAabba +AABC C )2()3(对于零向量与任一向量a ，有 a a a =+=+00 探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |;（3）当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |,当a 与b 反向时，若||>||,则+的方向与相同，且|+|=||-||;若||<||,则+的方向与相同，且|+b|=||-||.（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n 个向量连加2．向量加法的交换律：+=+3．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c )证：如图：使=, =, = 则(+) +==++ (+) ==+∴(a +b ) +c =a + (b +c )从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行 三、讲解范例：例1如图，一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为h km /2，求船的实际航行的速度的大小与方向(用与流速间的夹角表示).解：设表示船垂直于对岸行驶的速度，表示水流的速度，以AD,AB 为邻边作平行四边形ABCD ，则就是船的实际航行的速度.在ABC Rt ∆中，2||=，32||=所以4|AC |==因为tan CAB CAB 60∠==∠=︒ 答：船的实际航行的速度的大小为h /km 4，方向与水流速间的夹角为60 四、课堂练习：1、一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速度的大小为h km /4，求水流的速度2、一艘船距对岸，以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程为8km ，求河水的流速3、一艘船从A 点出发以1v 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2v ，船的实际航行的速度的大小为h km /4，方向与水流间的夹角是60︒，求1v 和2v4、一艘船以5km/h 的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h ，则船的实际航行速度大小最大是km/h ，最小是km/h五、小结 1︒向量加法的几何法则；2︒交换律和结合律； 3︒注意：|a +b | ≤ |a | + |b |，当且仅当方向相同时取等号六、课后作业：2、已知两个力F1,F2的夹角是直角，且已知它们的合力F与F1的夹角是60 ，|F|=10N求F1和F2的大小3、用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形七、板书设计（略）八、课后记：。
高一数学向量的加法与减法一 教案
高一数学向量的加法与减法一课题： 5.2向量的加法与减法（一） 目标：⑴掌握向量的加法的定义；能熟练运用三角形法则和平行四边形法则做几个向量的和向量；能准确表述向量加法的交换律和结合律，并能熟练运用它们进行向量计算。
⑵培养发现问题和提出问题的能力，学会分析问题和创造地解决问题；培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力，培养善于独立思考的习惯⑶激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神重点：向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量难点：对向量加法的定义的理解.过程:一、复习引入物理中怎样求两个力的合力，遵循什么法则？（平行四边形法则） 如果两个力在同一直线上呢？ 二、新课：由以上引出向量的加法的定义（求两个向量和的运算），与向量求和的平行四边形法则 1．平行四边形法则：由同一点A 为起点的两个已知向量b a ,为邻边作平行四边形ABCD ，则以A 为起点的向量AC 就是向量ba,的和。
这种作两个向量和的方法叫做平行四边形法则，如右图 注意：平行四边形法则对于两个向量共线时不适用。
由以上“两个力在同一直线上的合力”及“飞机从A 到B ，再改变方向从B到C ，则两次位移的和→→+BC AB 应该是”引出：2．向量和的定义：已知向量b a ,，在平面内任取一点A ，作b BC a AB==,，则向量AC 叫做向量b a ,的和。
记作：b a +;即AC BC AB b a =+=+这种求两个向量的和向量的作法称为向量加法的三角形法则:两个向量相加时，把一个向量的终点作为另一个向量的起点，这时前一个向量的起点到后一个向量终点的向量就是这两个向量的和向量，AC BC AB =+（两个向量“首尾”相接）注意：1°三角形法则对于两个向量共线时也适用；推广：①可将向量加法的三角形法则推广为多个向量相加的多边形法则：②任何一个向量均可以写成两个任意向量之和，只要注意到这个向量的起点、终点便可，如：OB AO AB +=练习：课本99页1、2、3、4.由练习1让学生讨论和向量与原向量间的关系：（方向与模） 3.两向量的和向量与原向量之间的关系⑴ a a a=+=+00⑵ AB +BA =0⑶ 当向量b a ,不共线时，b a +的方向与b a ,不同向，且||||||b a b a+<+⑷当向量b a ,同向时，b a +的方向与b a,同向，且||||||b a b a +=+当向量b a ,反向时，若||||b a >，则b a +的方向与,a同向，且||||||b a b a -=+；若||||b a <，则b a +的方向与,a反向，且||||||a b b a -=+；4．向量的运算律：⑴交换律：a b b a+=+证明：当向量b a,不共线时,如上图，作平行四边形ABCD ，使a AB =，b AD =则b BC =,a DC =因为b a BC AB AC+=+=，a b DC AD AC +=+=所以a b b a +=+当向量b a ,共线时，若a 与b同向，由向量加法的定义知： b a +与a同向，且||||||b a b a +=+a b +与a 同向，且||||||a b a b+=+，所以a b b a +=+ 若a 与b反向，不妨设||||b a >，同样由向量加法的定义知： b a +与a 同向，且||||||b a b a-=+a b + 与a同向，且||||||b a b a -=+，所以a b b a +=+ 综上，a b b a +=+⑵结合律：)()(c b a c b a++=++学生自己验证。
高一数学优质教案向量的加法与减法
教学过程 〔教学环 节、教学流 程或者者教 学步骤〕
II.讲授新课
我们先给出向量加法的定
1.向量加法的定义:求两个向量的和的运算叫向量的加法
C
如右图，a+b=AB+BC=AC
a
b
A
a+b
B
2.向量加法的三角形法那么: 定义中所给出的求向量和的方法，就是向量加法的三角形法那么，运用这一法那么 要特别注意“首尾相接〞. 3 .向量加法的向量加法的三角形法那么::在平面内过同一点 A 作 AB=a,AD=b,那么 以 AB,AD 为边构造平行四边形 ABCD,那么以 A 为起点的对角线向量 AC 即 a 与 b 的和, 这种方法即为向量加法的平行四边形法那么. 4.向量加法所满足的运算律 交换律：a+b=b+a 结合律：(a+b)+c=(a+b)+c 下面通过例题来进一步熟悉向量加法的三角形法那么和向量加法的平行四边形法那 么.
要 目的 量；
求
2.理解向量加法满足交换律和结合律,表述两个运算律的几何意义.
情感 1 .培养学生详细问题详细分析的才能；
目的 2 .培养学生的精神。
1. 向量加法的定义:求两个向量的和的运算叫向量的加法
2. 向量加法的三角形法那么:定义中所给出的求向量和的方法.运用这一法那么要特
别注意“首尾相接〞.
教材分析
3. 向量加法的平行四边形法那么:在平面内过同一点 A 作 AB=a,AD=b,那么以 AB,AD 为
邻边构造平行四边形 ABCD,那么以 A 为起点的对角线向量 AC 即 a 与 b 的和,这种方
法即为
向量加法的平行四边形法那么
高中数学向量加法教案
高中数学向量加法教案教学内容：向量的加法教学目标：1. 了解向量的概念，掌握向量的表示方法；2. 掌握向量的相加和减法规则；3. 能够解决利用向量相加解决实际问题。
教学重点：1. 向量的概念；2. 向量的表示方法；3. 向量的相加和减法规则。
教学难点：1. 向量的加法和减法规则；2. 解决实际问题的能力。
教学准备：1. PowerPoint课件；2. 向量之间相加和减法的实例题目；3. 教师准备的板书内容。
教学过程：一、导入（5分钟）教师向学生简单介绍数学向量的概念及其应用，并解释为什么学习向量的加法是重要的。
二、概念讲解（10分钟）1. 介绍向量的定义和性质；2. 向量的表示方法：以坐标表示和以有向线段表示；3. 向量的模长和方向。
三、向量的相加和减法规则（15分钟）1. 向量相加的几何法和表示法；2. 向量相减的方法；3. 向量的几何和坐标表示。
四、练习与讲解（20分钟）教师提供一些向量相加和减法的例题，让学生进行练习并解答，随后进行讲解。
五、小组讨论与巩固（10分钟）学生分组讨论解决实际问题时如何应用向量相加的方法，并进行演示和讨论。
六、课堂总结（5分钟）教师对本节课内容进行总结，并重点强调学生需要掌握的知识和技能。
七、作业布置（5分钟）教师布置相应的作业，以巩固学生对向量加法的理解和应用能力。
教学反馈：在下节课开始前，教师对学生的作业进行批改，并根据学生的表现进行必要的反馈和指导。
教学延伸：教师可以进一步讲解向量的数量积和叉乘，以及向量的应用于几何和物理等领域。
教学结束。
向量的加减法教案
向量的加减法教案第一章：向量简介1.1 向量的定义向量的概念：具有大小和方向的量向量的表示方法：用箭头表示，例如→a 或<a, b>1.2 向量的性质向量的大小：向量的长度或模向量的方向：向量的起点到终点的线段单位向量：大小为1的向量1.3 向量的坐标表示二维空间中的向量：用(x, y) 表示三维空间中的向量：用(x, y, z) 表示第二章：向量的加法2.1 向量加法的定义向量加法：将两个向量的对应分量相加得到新的向量2.2 向量加法的几何意义向量加法：起点相同的两个向量，终点相加得到一个新的向量2.3 向量加法的坐标表示二维空间中的向量加法：(a, b) + (c, d) = (a+c, b+d)三维空间中的向量加法：(a, b, c) + (d, e, f) = (a+d, b+e, c+f) 第三章：向量的减法3.1 向量减法的定义向量减法：将两个向量的对应分量相减得到新的向量3.2 向量减法的几何意义向量减法：起点相同的两个向量，终点相减得到一个新的向量3.3 向量减法的坐标表示二维空间中的向量减法：(a, b) (c, d) = (a-c, b-d)三维空间中的向量减法：(a, b, c) (d, e, f) = (a-d, b-e, c-f)第四章：向量的数乘4.1 向量数乘的定义向量数乘：将一个向量与一个实数相乘得到新的向量4.2 向量数乘的几何意义向量数乘：将向量的大小乘以实数，方向不变4.3 向量数乘的坐标表示二维空间中的向量数乘：(a, b) c = (ac, bc)三维空间中的向量数乘：(a, b, c) c = (ac, bc, cc)第五章：向量加减法的应用5.1 向量加减法的几何应用向量加减法在几何图形中的应用，例如计算向量位移、速度等5.2 向量加减法的物理应用向量加减法在物理学中的应用，例如计算力的合成和分解5.3 向量加减法的实际应用向量加减法在计算机图形学中的应用，例如计算图像的位移和旋转第六章：向量加减法的运算律6.1 向量加法的运算律交换律：向量a + 向量b = 向量b + 向量a结合律：(向量a + 向量b) + 向量c = 向量a + (向量b + 向量c)6.2 向量减法的运算律减法与加法的关联：向量a 向量b = 向量a + (-向量b)结合律：(向量a 向量b) 向量c = 向量a (向量b + 向量c)第七章：向量的数乘运算7.1 向量数乘的运算律分配律：向量a (向量b + 向量c) = (向量a 向量b) + (向量a 向量c) 结合律：向量a (向量b 向量c) = (向量a 向量b) 向量c7.2 标量与向量的运算标量与向量相乘：标量向量= 向量标量第八章：向量加减法的应用举例8.1 二维空间中的向量加减法应用例题：计算物体在两个力的作用下的位移8.2 三维空间中的向量加减法应用例题：计算飞机在两个推力的作用下的位移第九章：向量的数乘应用举例9.1 二维空间中的向量数乘应用例题：计算物体在力的大小变化后的加速度9.2 三维空间中的向量数乘应用例题：计算飞机在推力大小变化后的加速度向量加减法的基本概念、运算律及应用10.2 向量加减法的拓展向量加减法在其他领域的应用，例如生物学、经济学等10.3 向量加减法的练习题及解答提供一些向量加减法的练习题，帮助学生巩固所学知识重点和难点解析一、向量简介1.1 向量的定义与表示方法：理解向量的基本概念，以及向量的大小和方向。
高一数学教案[苏教版]向量的加法与减法
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第二课时 向量的加法教学目标：掌握向量加法概念，结合物理学实际理解向量加法的意义，能熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能作出已知两向量的和向量，理解向量加法满足交换律和结合律，表述两个运算律的几何意义，掌握有特殊位置关系的两个向量的和，比如共线向量、共起点向量、共终点向量等.教学重点：向量加法的平行四边形法则与三角形法则.教学难点：对向量加法定义的理解.教学过程：Ⅰ.复习回顾上一节，我们一起学习了向量的有关概念，明确了向量的表示方法，了解了零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并接触了这些概念的辨析判断.另外，向量和我们熟悉的数一样可以进行加减运算，这一节，我们先学习向量的加法. Ⅰ.讲授新课我们先给出向量加法的定义1.向量加法的定义已知a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，则向量AC →叫做a 与b 的和，记作a ＋b .即a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →.求两个向量和的运算叫向量的加法.2.向量加法的三角形法则在定义中所给出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法则，运用这一法则时要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量.3.向量加法的平行四边形法则如图，由于平行四边形对边平行且相等，则可把向量b 的起点由B 移到A ，即AD →＝ BC →＝b ，则：AC →＝AB →＋BC →＝AB →＋AD →即：在平面内过同一点A 作AB →＝a ，AD →＝b ，则以AB 、AD 为邻边构造平行四边形ABCD ，则以A 为起点的对角线向量AC →即a 与b 的和，这种方法即为向量加法的平行四边形法则.说明：上述两种方法实质相同，但应用各有特色，三角形法则适合于首尾相接的两向量求和，而平行四边形法则适合于同起点的两向量求和，但两共线向量求和时，则三角形法则较为合适.4.向量加法所满足的运算律交换律：a ＋b ＝b ＋a结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )说明：运算律验证引导学生完成.下面我们通过例题来进一步熟悉向量加法的三角形法则与平行四边形法则.［例1］如图，已知向量a ，b ，求作向量a ＋b .分析：此题可以应用三角形法则也可应用平行四边形法则求解，但应注意两种法则的适用前提不同，若用三角形法则，则应平移为两向量首尾相接；若用平行四边形法则，则应平移为两向量同起点情形.作法一：设a ＝AB →，b ＝CD →，过点B 作BE →＝CD →＝b ，则根据向量加法的三角形法则可得AE →＝AB →＋BE →＝a ＋b作法二：过A 作AE →＝CD →＝b ，然后根据向量加法的平行四边形法则，以AB 、AC 作出的平行四边形的对角线AF →＝a ＋b .评述：在求作两已知向量的和向量时，对于向量加法的三角形法则和平行四边形法则，学生可根据具体情况灵活运用.［例2］一艘船从A 点出发以2 3 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2 km/h ，求船实际航行速度的大小与方向(用与流速间的夹角表示).分析：速度是一个既有大小又有方向的量，所以可以用向量表示，速度的合成也就是向量的加法.解：如图，设AD →表示船向垂直于对岸行驶的速度，AB →表示水流的速度，以AD 、AB 作邻边作ABCD ，则AC →就是船实际航行的速度.在Rt ⅠABC 中，｜AB →｜＝2，｜BC →｜＝2 3 ，Ⅰ｜AC →｜＝｜AB →｜2＋｜BC →｜2＝22＋（2 3 ）2 ＝4Ⅰtan CAB ＝232＝ 3 ，ⅠⅠCAB ＝60° 答：船实际航行速度的大小为4 km/h ，方向与流速间的夹角为60°.评述：此题说明在物理学中有关速度合成等问题可以运用向量的知识来解决.［例3］试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.分析：要证明四边形是平行四边形，只要证明其中一组对边平行且相等，由向量相等的定义可知，只需证明其中一组对边对应的向量相等.解析：已知ABCD 是四边形，对角线AC 与BD 交于O ，AO =OC ，DO =OB .求证：ABCD 是平行四边形.证明：如图，由向量的加法法则，有AB →＝AO →＋OB →，DC →＝DO →＋OC →.又已知AO →＝OC →，DO →＝OB →. ⅠAB →＝DC →.这说明AB 与DC 平行且相等.故ABCD 是平行四边形.Ⅰ.课堂练习课本P 63练习1，2，3，4.Ⅰ.课时小结通过本节学习，要求大家在理解向量加法定义的基础上，掌握向量加法的三角形法则与平行四边形法则，并了解向量加法在物理学中的应用.Ⅰ.课后作业课本P 68习题 1，2，3。
向量的加减法教案
向量的加减法教案教案名称：向量的加减法课时数：2课时教学目标：1.知识目标：了解向量的加法和减法的定义；掌握向量的加法和减法的计算方法；2.能力目标：能够应用向量的加法和减法解决实际问题；3.情感目标：培养学生乐于探究数学问题的兴趣，培养学生团队合作意识。
教学重点：1.向量的加法和减法的定义；2.向量的加法和减法的计算方法；3.向量的加法和减法的应用。
教学难点：1.复杂问题的向量相加或相减；2.向量相减的组合应用。
教学方法：1.情境教学法：通过启发引导和情境模拟的方式，提高学生的学习兴趣和动手能力；2.合作学习法：通过小组合作讨论和交流思考，培养学生的团队合作意识。
教学准备：1.教师准备：课件、多媒体设备、小黑板等；2.学生准备：课本、作业本、笔、尺等。
教学过程：Step 1 引入新知1.教师出示两个有向线段，并提问：“什么是向量？”学生回答后，教师进一步引导：“向量有哪些表示方法？”2.学生回答后，教师出示标准向量和单位向量，并让学生描述它们的特点。
Step 2 向量的加法1.教师出示两个向量，分别是AB和CD，然后分析向量相加的方法。
2.教师引导学生进行手工测量，并计算向量相加的过程，然后用标准向量和单位向量进行验证。
3.学生进行小组讨论，总结出向量相加的规律，并将规律记录在笔记中。
Step 3 向量的减法1.教师出示两个向量，分别是AB和CD，然后分析向量相减的方法。
2.教师引导学生进行手工测量，并计算向量相减的过程，然后用标准向量和单位向量进行验证。
3.学生进行小组讨论，总结出向量相减的规律，并将规律记录在笔记中。
Step 4 综合应用1.教师设计一个实际问题，如：将物品从A点搬运到B点，再从B点搬运到C点，学生根据问题提供的向量情况，计算运动过程中的位移向量和总位移向量。
2.学生进行小组讨论，解决实际问题，并将答案写在白板上。
3.教师选择几组答案进行讲解，并与学生讨论是否存在其他解法。
高一数学教案-下学期5.2向量的加法与减法1
下学期 5.2向量的加法与减法1（第一课时）一．教学目标（1）掌握向量的加法的定义，会用向量加法的三角形法则和会用向量加法的平行四边形法则作两个向量的和向量；（2）掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行计算；（3）启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；（4）培养学生化归的数学思想．二．教学重点：向量的加法的定义，向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量；教学难点：对向量加法定义的理解．三．教具：多媒体、实物投影仪四．教学过程1．设置情境请同学看这样一个问题：（投影）（1）由于大陆和台湾没有直航，因此2003年春节探亲，要先从台北到香港，再从香港到上海，这两次位移之和时什么？（2）如图（2），飞机从到，再改变方向从到，则两次位移的和是，应该是_____________．（3）如图（3），船的速度是，水流速度是则两个速度的和是应该是___________．生：（1）这人两次的位移的和是从台北到上海；（2）飞机两次位移的和是；（3）两个速度的和是．师：很好！两人向量的和仍是一个向量．本节课就来研究两个向量的和（板书课题：向量的加法）．2．探索研究（1）向量的加法的定义：已知向量，在平面内任取一点A，作，则向量叫做向量的和。
记作：即零向量与任意向量，有（2）两个向量的和向量的作法：①三角形法则:两个向量“首尾”相接注意：1°三角形法则对于两个向量共线时也适用；2°两个向量的和向量仍是一个向量例1．已知向量，求作向量作法：在平面内任取一点O，作，则②平行四边形法则：由同一点A为起点的两个已知向量为邻边作平行四边形BCD，则以A为起点的向量就是向量的和。
这种作两个向量和的方法叫做平行四边形法则注意：平行四边形法则对于两个向量共线时不适用3．向量和与数量和的区别：①当向量不共线时，的方向与不同向，且②当向量同向时，的方向与同向，且当向量反向时，若，则的方向与同向，且；若，则的方向与反向，且；4．向量的运算律：①交换律：证明：当向量不共线时,如上图，作平行四边形ABCD，使，则 ,因为，所以当向量共线时，若与同向，由向量加法的定义知：与同向，且与同向，且，所以若与反向，不妨设，同样由向量加法的定义知：与同向，且与同向，且，所以综上，②结合律：学生自己验证。
高中第一册(下)数学向量、 向量的加法与减法
高中第一册(下)数学向量、 向量的加法与减法目标：（1）理解向量、零向量、单位向量、相等向量的概念；掌握向量的几何表示，会用字母表示向量；了解平行向量的概念和表示法，了解共线向量的概念，进一步提高阅读理解能力，运用数学概念、思想和方法辨明数学关系的思维能力，形成运用数学的意识和良好的思维品质。
（2）掌握向量的加法的定义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量；掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算；掌握向量的减法，会作两个向量的差向量，培养学生的理解能力，代数与几何的综合运用能力以及作图能力，提高学生的运算能力，分析问题和解决问题的能力，渗透数形结合的思想以及分类讨论思想。
二. 重点、难点： 重点：1. 向量的概念，相等向量的概念，向量的几何表示；2. 向量的加法法则和减法法则 难点：1. 向量的概念2. 对向量的加法和减法的定义的理解。
［学法指导］第一节知识是本章知识的基础。
向量的概念既是重点也是难点，学习时可借助于力、速度、加速度等物理概念帮助理解。
向量不同于一般的数量，它是既有大小又有方向的量，而方向不能比较大小，故对于向量和，是没有意义的。
为了透彻理解向量的a b a b →→→>→概念，还应对零向量、单位向量、相等向量等概念加以掌握，并弄清向量的两种表示方法，了解平行向量及其表示法，了解共线向量的概念。
向量可以用一条有向线段来表示（几何表示法），有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向。
向量也可用一个字母表示，如、、等，也可用两个字母表示，如、a b c AB MN →→→→→等（字母表示法）。
向量的大小（长度）叫做向量的模，的模记作，的模为。
AB AB a a →→→→||||在向量中，虽然没有意义，但是有意义的。
a b a b →>→→>→||||长度为零的向量叫做零向量，记作，长度为的向量叫做单位向量；01→方向相同或相反的向量叫做平行向量，规定与任何向量平行。
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课题：向量的加法与减法（1）
教学目的：
⑴掌握向量加法的定义
⑵会用向量加法的三角形法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和向量
⑶掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算
教学重点：用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量.
教学难点：向量的加法和减法的定义的理解
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量
2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ等表示；
③用有向线段的起点与终点字母：AB；
④向量AB的大小――长度称为向量的模，记作|AB|.
3.零向量、单位向量概念：
①长度为0的向量叫零向量，记作00的方向是任意的
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.
4.平行向量定义：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；
②我们规定0与任一向量平行.向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.
5.相等向量定义：
长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；
（2）零向量与零向量相等；
（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关
．．．．．．．．．．.
6.共线向量与平行向量关系：
平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上.
（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；
（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
7.对向量概念的理解
AB的字母是有顺序的，起点在前终点在后，所以我们说有向线段有三个要素：起点、方向、长度；既有大小又有方向的量，我们叫做向量，有二个要素：大小、方向.向量不能比较大小；实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘.
向量与有向线段的区别：向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素，
起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段 二、讲解新课：
1． 向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法
几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）角形法则来定义，这种定义，对两向量共线时同样适用，当向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的
如图，已知向量a 、b 在平面内任取一点A ，作a =，b =，则向量叫做
a 与
b 的和，记作b a
+，即 AC BC AB b a =+=+
特殊情况：
a
b
b
a +A
A
B
C C
)
2()
3(
对于零向量与任一向量a
，有 a a a =+=+00 探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；
（2）当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |;
（3）当与同向时，则+、、同向，且|+|=||+||,当与反向时，若||>||,则+的方向与相同，且|+|=||-||;若||<||,则+的方向与相同，且|+b|=||-||.
（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到
n 个向量连加
2．向量加法的交换律：+=+
(1)
B
B
A
3．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c ) 证：如图：使a AB =, b BC =, c CD = 则(a +b ) +c =AD CD AC =+
a + (
b +
c ) =AD BD AB =+
∴(a +b ) +c =a + (b +c )
从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行
三、讲解范例：
例1如图，一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为h km /2，求船的实际航行的速度的大小与方向(用与流速间的夹角表示).
解：设AD 表示船垂直于对岸行驶的速度，AB 表示水流的速度，以AD,AB 为邻边作平行四边形ABCD ，则AC 就是船的实际航行
的速度.
在ABC Rt ∆中，2||=AB ，32|BC |= 所以4|BC ||AB ||AC |2
2
=+= 因为23
tan CAB 3CAB 60∠=
=⇒∠=︒ 答：船的实际航行的速度的大小为h /km 4，方向与水流速间的夹角为 60 四、课堂练习：
1、一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速度的大小为h km /4，求水流的速度
2、一艘船距对岸43km ，以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程为8km ，求河水的流速
3、一艘船从A 点出发以1v 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2v ，船的实际航行的速度的大小为h km /4，方向与水流间的夹角是60︒，求1v 和2v
4、一艘船以5km/h 的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h ，则船的实际航行速度大小最大是
km/h ，最小是
km/h
五、小结 1︒向量加法的几何法则；2︒交换律和结合律； 3︒注意：|a +b | ≤ |a | + |b |，当且仅当方向相同时取等号
六、课后作业：2、已知两个力F1,F2的夹角是直角，且已知它们的合力F与F1的夹角是
60 ，|F|=10N求F1和F2的大小
3、用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
七、板书设计（略）
八、课后记：。