信号与系统第三章ppt课件
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第3章 周期信号的傅里叶级数表示
Fourier Series Representation of Periodic Signals
Ⅰ. 周期信号的频域分析 Ⅱ. LTI系统的频域分析 Ⅲ. 傅立叶级数的性质
精品课件
3.0 引言 Introduction
时域分析方法的基础： 信号在时域的分解；LTI系统：满足线性、时不变性
k
y(n) akH(Zk)Zkn
k
例： y(t)x(t3) ❖ 系统输入为 x(t) ej2t
系统 H(s) ? y(t) ?
H(s) h(t)estdt
❖ 系统输入为 x(t)cos(4t)cos(7t)
系统 y(t) ?
精品课件
*问题：究竟有多大范围的信号可以用复指数信号的 线性组合来表示？
1 2
为相应
精品课件
例2： x(t)co s 0 t 2co s3 0 t
利用齐次性与可加性，有
x ( t ) y ( t ) a 1 H ( s 1 ) e s 1 t a 2 H ( s 2 ) e s 2 t a 3 H ( s 3 ) e s 3 t
即： x(t) akeskt
k
同理： x(n) akZkn
k 精品课件
y(t) akH(sk)eskt
精品课件
傅立叶 1768-1830 (Fourier, Jean Baptiste Joseph) 法国数学家、物理学家
•最早使用定积分符号 •改进符号法则、根数判别方法 •傅立叶级数创始人
➢1807 《热的传播》 ➢1822 《热的分析理论》 ➢傅立叶级数、分析等理论
精品课件
傅里叶的两个最重要的贡献——
从分解信号的角度出发，基本信号单元必须满足：
➢本身简单，且LTI系统对它的响应能简便得到。 ➢具有普遍性，能够用以构成相当广泛的信号。
傅立叶分析方法：
➢出发点：将信号表示成一组基本信号的线性组合； ➢基本信号为复指数信号； ➢信号表示为连续时间和离散时间的傅立叶级数与傅立叶变换。
精品课件
3.1 历史的回顾 （A Historical
Perspective）
任何科学理论, 科学方法的建立都是经过许多 人不懈的努力而得来的, 其中有争论, 还有人为 之献出了生命。 历史的经验告诉我们, 要想在 科学的领域有所建树，必须倾心尽力为之奋斗。 今天我们将要学习的傅立叶分析法，也经历了曲 折漫长的发展过程，刚刚发布这一理论时，有人 反对，也有人认为不可思议。但在今天，这一分 析方法在许多领域已发挥了巨大的作用。
y (n ) zn kh (k ) zn h (k )z k H (z)zn
k
k
结论：复指数函数是一切LTI系统的特征函数 精品课件
离散时间LTI系统的单位脉冲响应 时不变性
[n] LTI
[n k]
齐次性
x[k][nk]
LTI
可加性
x[k][n k]
LTI
k
h[n ] h[n k]
1965年 Cooley & Tukey (IBM) 发明FFT 算法
精品课件
3.2 LTI系统对复指数信号的响应
பைடு நூலகம்
❖ 考查LTI系统对复指数信号e s t z n和
e st
h (t)
y(t) z n
h (n )
y (n )
的响
由时域分析方法有，
y ( t) e s ( t ) h () d e s t h () e s d H ( s ) e s t
成谐波关系的复指数信号集合
基波周期为
第k次谐波 e jk 0 t
T0
2 0
的周期T为k
2 k 0
精品课件
成谐波关系的复指数信号之和
x(t) akejk0t k
傅里叶级数表示
信号周期为
T 2 0
傅里叶级数系数
精品课件
例1：
x(t)cos0t
1ej0t 2
1ej0t 2
该信号中，有两个谐波分量，a 1 分量的加权因子。
x[k]h[nk]
x[k]h[n k]
k
精品课件
对时域的任何一个信号 x ( t ) 或者 x ( n ),若能将其
表示为下列形式： x(t) a 1 es1 t a 2 es2 t a 3 es3 t
由于 es1t H(s1)es1t
es2t H(s2)es2t
es3t H(s3)es3t
• “周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信 号的加权和”——傅里叶的第一个主要论点
• “非周期信号都可以用正弦信号的加权积分来 表示”——傅里叶的第二个主要论点
精品课件
傅立叶分析方法的历史
古巴比伦人
“三角函数和” 体运动
描述周期性过程、预测天
1748年 欧拉 振动弦的形状是振荡模的线性组合
1753年 D·伯努利
弦的实际运动可用标准振荡模的线性组合来表 示
1759年 拉格朗日
精品课件
不能用三角级数来表示具有间断点的函数
1822年 傅立叶 “热的分析理论” 中提出并证明周期函数的正弦
级数展开原理，奠定了傅立叶级数的理论基础
1829年 P.L狄里赫利 周期信号傅立叶级数表示的若干精确条件
19-20世纪 两种傅立叶分析方法--连续与离散
精品课件
系统对某一输入信号的响应：一个常数×输入信号
y(t)H(s)est
系统的特征值
系统的特征函数
y(n)H(z)zn
精品课件
❖ 系统的特征值
H(s) h(t)estdt
H(z) h(n)zn
k
y ( t) e s ( t ) h () d e s t h () e s d H ( s ) e s t
精品课件
3.3 连续时间周期信号的傅里叶级数表示
一. 连续时间傅里叶级数 回顾：连续复指数信号的周期
对一个复指数信号e jt ，要成为具有周T期0 为
的周期信号的必要条件：
ejT0 1
定义 有
2k T0
0
2 T0
(k0,1,2)
k0 精品课件
成谐波关系的复指数信号
基波频率
k(t)ejk0t , k0,1,2
y (n ) zn kh (k ) zn h (k )z k H (z)zn
k
k
易求LTI系统对复指数信号的响应
这说明 e s t z 和n
符合对单元信号的第一项
精品课件
特征函数与特征值
❖ 如果系统对某一输入信号的响应只是该输入信 号乘以一个常数，则称该输入信号是这个系统的特 征函数，该常数称为与该信号有关(相对应)的特征 值
Fourier Series Representation of Periodic Signals
Ⅰ. 周期信号的频域分析 Ⅱ. LTI系统的频域分析 Ⅲ. 傅立叶级数的性质
精品课件
3.0 引言 Introduction
时域分析方法的基础： 信号在时域的分解；LTI系统：满足线性、时不变性
k
y(n) akH(Zk)Zkn
k
例： y(t)x(t3) ❖ 系统输入为 x(t) ej2t
系统 H(s) ? y(t) ?
H(s) h(t)estdt
❖ 系统输入为 x(t)cos(4t)cos(7t)
系统 y(t) ?
精品课件
*问题：究竟有多大范围的信号可以用复指数信号的 线性组合来表示？
1 2
为相应
精品课件
例2： x(t)co s 0 t 2co s3 0 t
利用齐次性与可加性，有
x ( t ) y ( t ) a 1 H ( s 1 ) e s 1 t a 2 H ( s 2 ) e s 2 t a 3 H ( s 3 ) e s 3 t
即： x(t) akeskt
k
同理： x(n) akZkn
k 精品课件
y(t) akH(sk)eskt
精品课件
傅立叶 1768-1830 (Fourier, Jean Baptiste Joseph) 法国数学家、物理学家
•最早使用定积分符号 •改进符号法则、根数判别方法 •傅立叶级数创始人
➢1807 《热的传播》 ➢1822 《热的分析理论》 ➢傅立叶级数、分析等理论
精品课件
傅里叶的两个最重要的贡献——
从分解信号的角度出发，基本信号单元必须满足：
➢本身简单，且LTI系统对它的响应能简便得到。 ➢具有普遍性，能够用以构成相当广泛的信号。
傅立叶分析方法：
➢出发点：将信号表示成一组基本信号的线性组合； ➢基本信号为复指数信号； ➢信号表示为连续时间和离散时间的傅立叶级数与傅立叶变换。
精品课件
3.1 历史的回顾 （A Historical
Perspective）
任何科学理论, 科学方法的建立都是经过许多 人不懈的努力而得来的, 其中有争论, 还有人为 之献出了生命。 历史的经验告诉我们, 要想在 科学的领域有所建树，必须倾心尽力为之奋斗。 今天我们将要学习的傅立叶分析法，也经历了曲 折漫长的发展过程，刚刚发布这一理论时，有人 反对，也有人认为不可思议。但在今天，这一分 析方法在许多领域已发挥了巨大的作用。
y (n ) zn kh (k ) zn h (k )z k H (z)zn
k
k
结论：复指数函数是一切LTI系统的特征函数 精品课件
离散时间LTI系统的单位脉冲响应 时不变性
[n] LTI
[n k]
齐次性
x[k][nk]
LTI
可加性
x[k][n k]
LTI
k
h[n ] h[n k]
1965年 Cooley & Tukey (IBM) 发明FFT 算法
精品课件
3.2 LTI系统对复指数信号的响应
பைடு நூலகம்
❖ 考查LTI系统对复指数信号e s t z n和
e st
h (t)
y(t) z n
h (n )
y (n )
的响
由时域分析方法有，
y ( t) e s ( t ) h () d e s t h () e s d H ( s ) e s t
成谐波关系的复指数信号集合
基波周期为
第k次谐波 e jk 0 t
T0
2 0
的周期T为k
2 k 0
精品课件
成谐波关系的复指数信号之和
x(t) akejk0t k
傅里叶级数表示
信号周期为
T 2 0
傅里叶级数系数
精品课件
例1：
x(t)cos0t
1ej0t 2
1ej0t 2
该信号中，有两个谐波分量，a 1 分量的加权因子。
x[k]h[nk]
x[k]h[n k]
k
精品课件
对时域的任何一个信号 x ( t ) 或者 x ( n ),若能将其
表示为下列形式： x(t) a 1 es1 t a 2 es2 t a 3 es3 t
由于 es1t H(s1)es1t
es2t H(s2)es2t
es3t H(s3)es3t
• “周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信 号的加权和”——傅里叶的第一个主要论点
• “非周期信号都可以用正弦信号的加权积分来 表示”——傅里叶的第二个主要论点
精品课件
傅立叶分析方法的历史
古巴比伦人
“三角函数和” 体运动
描述周期性过程、预测天
1748年 欧拉 振动弦的形状是振荡模的线性组合
1753年 D·伯努利
弦的实际运动可用标准振荡模的线性组合来表 示
1759年 拉格朗日
精品课件
不能用三角级数来表示具有间断点的函数
1822年 傅立叶 “热的分析理论” 中提出并证明周期函数的正弦
级数展开原理，奠定了傅立叶级数的理论基础
1829年 P.L狄里赫利 周期信号傅立叶级数表示的若干精确条件
19-20世纪 两种傅立叶分析方法--连续与离散
精品课件
系统对某一输入信号的响应：一个常数×输入信号
y(t)H(s)est
系统的特征值
系统的特征函数
y(n)H(z)zn
精品课件
❖ 系统的特征值
H(s) h(t)estdt
H(z) h(n)zn
k
y ( t) e s ( t ) h () d e s t h () e s d H ( s ) e s t
精品课件
3.3 连续时间周期信号的傅里叶级数表示
一. 连续时间傅里叶级数 回顾：连续复指数信号的周期
对一个复指数信号e jt ，要成为具有周T期0 为
的周期信号的必要条件：
ejT0 1
定义 有
2k T0
0
2 T0
(k0,1,2)
k0 精品课件
成谐波关系的复指数信号
基波频率
k(t)ejk0t , k0,1,2
y (n ) zn kh (k ) zn h (k )z k H (z)zn
k
k
易求LTI系统对复指数信号的响应
这说明 e s t z 和n
符合对单元信号的第一项
精品课件
特征函数与特征值
❖ 如果系统对某一输入信号的响应只是该输入信 号乘以一个常数，则称该输入信号是这个系统的特 征函数，该常数称为与该信号有关(相对应)的特征 值