13.7狭义相对论之相对论能量和动量的关系

m = m0
= [v dm + (c − v )dm]
2 2 2
∫
m
m = m0
c 2 dm mc 2 − m0 c 2 =
根据质点的动能定理：合外力所做的功等于动能的增量。 在相对论中物体的动能为 物体静止时动能为零， m0 c 2 2 - m c2 故合外力所做的功全部 − m0 c 2 . T = mc= 0 1 − v2 / c2 转化为物体的动能。
m0 v ⋅ dv m0 d 对质-速关系 dm = d[ = = 2 mv ⋅ 2 v 2 ] c 2 (1 − v 2 / c 2 )3/ 2 c (1 − v / c ) (1 − v ⋅ v / c 2 )1/ 2 求微分得
由此得 mv·dv = (c2– v2)dm
A =
代入功的公式得
∫
m
{范例13.7} 相对论能量和动量的关系
试推导相对动能和能量公式以及动量公式。
= T = mc2 - m0c2 m0 c 2 1 − v2 / c2 − m0 c 2
当v << c时，根据公式(1 + x)n≈ 1 + nx，运动物体的质量为 1 m0 v 2 −1/ 2 v2 = m0 (1 − 2 ) ≈ m0 (1 + 2 ) m= T ≈ m0 v 2 因此 c 2c 2 1 − v2 / c2 可见：在低速情况下，相对论力学过渡到经典力学。 m0是物体的静止质量，m是物体的运动质量。 物体的静止能量为E0 = m0c2， 能量守恒必然导致质量 守恒，反之，质量守恒 也将导致能量守恒。 物体的总能量为 E = mc2， 在相对论中，质量守恒 和能量守恒是统一的， 能量蕴含在质量之中。 这就是质-能方程,是相对论独有的，没有经典项对应。
{范例13.7} 相对论能量和动量的关系
试推导相对动能和能量公式以及动量公式。 [解析]在合外力F的作用下，静止质量为m0 的物体，速度由零变为v，合外力做的功为
v v = 0=
A =
∫
v
F ⋅ d= r
∫
v
v v d(mv ) ⋅ dr = ∫ v ⋅ d(mv )= ∫ (v 2 dm + mv ⋅ dv ) v v = 0= 0 0 dt
{范例13.7} 相对论能量和动量的关系
试推导相对动能和能量公式以及动量公式。 m0 E0 = m0c2， E = mc2， m = 1 − v2 / c2 利用质-速关系可得 2 2 m0 v 2 c 2 m0 c 4 2 = m2v 2c 2 p 2c 2 = = −= E 2 − E02 m0 c 4 2 2 2 2 1− v / c 1− v / c 即E2 = p2c2 + m02c4， 这就是相对论中的能量-动量关系。 能量和动量是双曲线的关系。 如果某种粒子静止质量为零，即m0 = 0，则得E = pc， 比较公式E = mc2，可得p = mc， 该粒子速度就是光速。 光可当作一种静止质量为零的粒子流，对应的粒子称为光子。
物体能量随速度的变化的曲线与质 量随速度的变化的曲线是相同的。
பைடு நூலகம்
当物体的静止质量不为零时，能 量随动量按双曲线的规律变化；
当物体的静止质量为零时， 能量随动量直线变化。