二次根式的乘除法和加减法

中科教育学科教师辅导讲义

讲义编号： ZK_guoshanshan

学员编号： 年 级：九 课 时 数：2

学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：郭姗姗 课 题

二次根式 授课日期及时段 2015 年 月 日 :00 — :00

教学目的 1、掌握二次根式的乘、除法运算法则，会进行简单的二次根式的乘除运算；

2，会利用积的算术平方根的性质，商的算术平方根的性质对二次根式进行化

简；

3、掌握将二次根式化为最简二次根式的一般方法

教学内容

知识点一 二次根式的乘法

★二次根式的乘法法则：)0,0(≥≥=⋅b a ab b a

★二次根式的乘法法则的拓展：)0,0,0(≥≥≥=⋅⋅c b a abc c b a

例1 计算：（1）2334⨯- （2）

51121231⨯⨯ （3）y

xy 14⋅

知识点二 积的算术平方根（即二次根式乘法法则的逆用）

★把)0,0(≥≥=⋅b a ab b a 反过来，就得到)0,0(≥≥⋅=b a b a ab ，也就是说，积的算术平方根等于各因式算术平方根的积

注意：（1）化简时要把所有能开得尽方的因数（或因式）移到根号外面；

（2）在利用)0,0(≥≥⋅=b a b a ab 时，要特别注意满足条件0,0≥≥b a 。

例2 计算与化简，使被开方数不含完全平方的因式（或因数）

（1）300 （2）48a （3）)6(32-⨯- （4）)4()36(-⨯- （5）43b a

知识点三 二次根式的除法

★二次根式的除法法则：)0,0(≥≥=b a b a b

a 注意：（1）由于二次根式的被开方数必须是非负数，又因为分母不能是0，所以公式中分子的被开方数 要大于或者等于0，分母的被开方数要大于0，即公式要满足条件0≥a 0,>b

（2）当二次根式前面有系数时，可类比单项式与单项式相除的法则，把系数和被开方数分别相除 作为积的因式，即)0,0()(>≥=

÷b a b a n m b n a m 例3 计算：（1）633x x ÷ （2）)82

1(322÷ （3）b

ab 3272

（4）61)31(21÷-÷

知识点四 商的算术平方根（即二次根式除法法则的逆用）

★商的算术平方根用式子可表示为：

)0,0(>≥=b a b a b a ，也就是说，商的算术平方根，等于两个算术平方根的商

注意：（1）商的算术平方根的性质的限制条件是0,0>≥b a ，它与积的算术平方根的限制条件类似，但 也有区别，因为分母不能为0，即除式b 不能为0，所以除式b 必须是正数

（2）)0,0(>≥=b a b

a b a 中的字母可以是数，也可以是代数式，无论是数还是代数式，只有满 足0,0>≥b a ，才能用此性质进行计算

例4 化简：（1）92 （2）100211 （3）4

79-⨯- （4）2327b a 知识点五 最简二次根式

★被开方数中不含分母，并且被开方数中所有因数（或因式）的幂的指数都小于2，像这样的二次根式称为最简二次根式

注意：最简二次根式要从以下两点来解释

（1）根号下是整数或整式；

（2）被开方数中不含能开的尽的因数或因式，也就是每个因数或因式的指数都是1

例5 下列各式中属于最简二次根式的是（ ）

A 、3

x B 、a 8 C 、36x D 、13+x 知识点六 化二次根式为最简二次根式

★化简二次根式，就是把二次根式化为最简二次根式

★把一个二次根式化为最简二次根式的一般步骤：

（1）把根号下的带分数化为假分数，把绝对值小于1的小数化为分数；

（2）把被开方数中的多项式进行因式分解；

（3）使被开方数中不含分母；

（4）把被开方数中能开的尽方的因数或者因式利用公式)0(2≥=a a a 去掉根号；

（5）化去分母中的根号；

（6）约分

例6 把下列各式化为最简二次根式：

（1）18 （2）12

53

（3）)0,0(832≥≥y x y x （4）)0,0(2442≥≥+y x y x y x

知识点七 分母有理化

★把分母中的根号化去的过程，叫做分母有理化

（1）在计算二次根式除法时，当分母中的被开方数不能开的尽方时，常用分母有理化的方法化简

（2） 分母有理化的依据是：分数（或分式）的基本性质和二次根式的性质)0(2≥=a a a ，)0()(2≥=a a a ★分母有理化的方法是：将分子和分母都乘一个恰当的二次根式（即分母的有理化因式），化去分母中的根号

如果被开方数是分数或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成两个算术平方根的形式，然后将分子、分母同乘一个恰当的因式进行化简，如555

5555a a a a =⋅==，也可以根据分式的基本性质，

将分子、分母都乘同一个不为零的整式，将分母化成完全平方式，然后利用商的算术平方根的性质化简，如5

55555555522a a a a a ===⨯= 注意：（1）a 的有理化因式是a ，)0(≠m a m 的有理化因式是a ；

（2）如果已知二次根式不是最简二次根式，要先把它化为最简二次根式后，再确定其有理化因式

例7 化简：（1）21 （2）7

324- （3）xy y x 6433

例8 化简：

2

31+

知识点八 同类二次根式（重点）

★ 与整式中同类项相类似，我们像a 3、a 2-与a 4这样的几个二次根式，称为同类二

次根式，33与32-也是同类二次根式；

★ 几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，则这几个二次根式是同类二

次根式

【注意】（1）判断两个二次根式是否为同类二次根式，应先将各个二次根式化为最简二次

根式；再观察每个最简二次根式的被开方数，若被开方数相同，则称它们为同类二

次根式

（2）几个二次根式是不是同类二次根式，只与被开方数和根指数有关，而与根号

外面的因数（或因式）无关

例1 在二次根式27,32,23,12中，与3是同类二次根式的是（ ） A 、32,

12 B 、32,23 C 、27,12 D 、27,3

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