16-17版 第1部分 专题4 突破点11 空间中的平行与垂直关系

突破点11 空间中的平行与垂直关系

提炼1 异面直线的性质

(1)面内的两条直线或平面内的一条直线与平面外的一条直线．

(2)异面直线所成角的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，所以空间中两条直线垂直可能为异面垂直或相交垂直．

(3)求异面直线所成角的一般步骤为：①找出(或作出)适合题设的角——用平移法；②求——转化为在三角形中求解；③结论——由②所求得的角或其补角即为所求. 提炼2 平面与平面平行的常用性质

(1)(2)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．

(3)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．

(4)两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面. 提炼3 证明线面位置关系的方法

(1)平行的性质定理；③面面平行的性质定理；④线面垂直的性质定理．

(2)证明线面平行的方法：①寻找线线平行，利用线面平行的判定定理；②寻找面面平行，利用面面平行的性质．

(3)证明线面垂直的方法：①线面垂直的定义，需要说明直线与平面内的所有直线都垂直；②线面垂直的判定定理；③面面垂直的性质定理．

(4)证明面面垂直的方法：①定义法，即证明两个平面所成的二面角为直二面角；②面面垂直的判定定理，即证明一个平面经过另一个平面的一条垂线．

回访1异面直线的性质

1．(2016·全国乙卷)平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为()

A.

3

2 B.

2

2

C.

3

3 D.

1

3

A[设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1.

∵平面α∥平面CB1D1，∴m1∥m.

又平面ABCD∥平面A1B1C1D1，

且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，

∴B1D1∥m1.∴B1D1∥m.

∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1，

且平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1，

同理可证CD1∥n.

因此直线m与n所成的角即直线B1D1与CD1所成的角．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，△CB1D1是正三角形，

故直线B1D1与CD1所成角为60°，其正弦值为

3 2.]

2．(2015·广东高考)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是()

A．l与l1，l2都不相交

B．l与l1，l2都相交

C．l至多与l1，l2中的一条相交

D．l至少与l1，l2中的一条相交

D[由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交．]

回访2面面平行的性质与线面位置关系的判断

3．(2013·全国卷Ⅱ)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l

满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则()

A．α∥β且l∥α

B．α⊥β且l⊥β

C．α与β相交，且交线垂直于l

D．α与β相交，且交线平行于l

D[根据所给的已知条件作图，如图所示．

由图可知α与β相交，且交线平行于l，故选D.]

4．(2016·全国甲卷)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：

①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.

②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.

③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β.

④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．

其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)

②③④[对于①，α，β可以平行，也可以相交但不垂直，故错误．

对于②，由线面平行的性质定理知存在直线l⊂α，n∥l，又m⊥α，所以m ⊥l，所以m⊥n，故正确．

对于③，因为α∥β，所以α，β没有公共点．又m⊂α，所以m，β没有公共点，由线面平行的定义可知m∥β，故正确．

对于④，因为m∥n，所以m与α所成的角和n与α所成的角相等．因为α∥β，所以n与α所成的角和n与β所成的角相等，所以m与α所成的角和n与β所成的角相等，故正确．]

热点题型1空间位置关系的判断与证明

题型分析：此类题目综合体现了相关判定定理和性质定理的考查，同时也考查了学生的空间想象能力及转化与化归的思想.

(1)(2016·兰州三模)α，β是两平面，AB，CD是两条线段，已知α∩β

＝EF，AB⊥α于点B，CD⊥α于点D，若增加一个条件，就能得出BD⊥EF.现有下列条件：

①AC⊥β；②AC与α，β所成的角相等；③AC与CD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF.

其中能成为增加条件的序号是________．

【导学号：85952040】

①③[若AC⊥β，且EF⊂β，则AC⊥EF，又AB⊥α，且EF⊂α，则AB⊥EF，AB和AC是平面ACDB上的两条相交直线，则EF⊥平面ACDB，则EF⊥BD，①可以成为增加的条件；AC与α，β所成的角相等，AC和EF不一定垂直，可以相交、平行，所以EF与平面ACDB不一定垂直，所以推不出EF与BD垂直，②不能成为增加的条件；由CD⊥α，EF⊂α，得EF⊥CD，所以EF与CD 在β内的射影垂直，又AC与CD在β内的射影在同一直线上，所以EF⊥AC，CD和AC是平面ACDB上的两条相交直线，则EF⊥平面ACDB，则EF⊥BD，

③可以成为增加的条件；若AC∥EF，则AC∥α，则BD∥AC，所以BD∥EF，

④不能成为增加的条件，故能成为增加条件的序号是①③.]

图11-1

(2)(2016·全国乙卷)如图11-1，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，P A＝6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面P AB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G.

①证明：G是AB的中点；

②在图中作出点E在平面P AC内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体PDEF的体积．

[解题指导](2)①正投影D，E→AB⊥PD，AB⊥DE→AB⊥平面PED →AB⊥PG

②P A⊥PB

PB⊥PC→

过点E作EF∥PB

交P A于点F→证明EF⊥平面P AC→点D在CG上