整数规划问题的数学模型

指派问题的特殊形式
例：
任务 I
人
II
III
IV
甲
8
4
6
20
乙
3
9
5
12
丙
6
13
11
18
丁
10
2
8
17
戊
9
7
17
15
指派问题的特殊形式
例：
任务 I
人
II III IV V
甲
8
4
6
20
0
乙
1
x13 x14 x15 x16 3
x
j
0,1;( j
1, 2,...16)
❖ 该问题的决策变量仅限于取0或1两个值，因 此为0－1整数规划问题． 0－1规划可以是线 性的，也可以是非线性的，0－1线性规划的 一般模型为：
n
max(min) Z cj xj j 1
s.t.
n j 1
x31
x32
x33
x34
1
x41 x42 x43 x44 1
s.t.
x11
x21
x31
x41
1
x12
x22
x32
x42
1
x13 x23 x33 x43 1
x14
x24
x34
x44
1
xij 0或1, (i, j 1, 2, 3, 4)
一般指派问题的数学模型
nn
min Z
问题：指派哪个对象完成哪项任务，能使完成各项任务
的总效益最佳？
指派问题之例
例3.1.3
工作 人
完成每项工作的时间（小时）
A
B
C
D
甲
32
40
28
42
乙
46
43
30
52
丙
38
58
35
41
丁
31
56
27
49
指派问题之例
例3.1.3
工作 人
完成每项工作的时间（小时）
A
B
C
D
甲
32
40
28
ຫໍສະໝຸດ Baidu
42
乙
46
43
30
混合整数规划问题：若只要求一部分变量取整 数值，则称为混合整数规划问题．
0－1整数规划问题：若要求全部或部分变量取 值只限于0或1，则称为0－1整数规划问题．
❖ 下面介绍整数规划问题的几个典型实例，通 过这几个问题来了解整数规划问题的数学模 型．
一. 纯整数规划问题的数学模型
例3.1.1 某工厂在一个计划期内，用两种原材料A和B 生产两种产品I和II，有关数据见下表，问工厂应如何
x21
x22
...
x2n
xn1
xn2
...
xnn
一般指派问题的数学模型
例3.1.3的一个可行解：
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
指派问题的特殊形式
1、对象数和任务数不相等的指派问题 对象数多于任务数：添加虚拟任务，费 用为0； 对象数少于任务数：添加虚拟对象，费 用为0；
75x1 90x2 100x3 85x4 80x5 95x6 110x7 105x8 120x9 115x10 85x11 75x12 100x13 120x14 95x15 90x16 1000
x1
x2
x3
x4
2
s.t.
x5
x8
x6 x9
x7 x10
1 2
x11
x12
3.1 整数规划问题的数学模型
❖ 在前面所研究的线性规划问题中，一般问题 的最优解可以是非整数，即为分数或小数．
❖ 但在许多实际问题中，决策变量常常要求必 须取整数，即称为整数解．例如，若问题的 解表示的是安排上班的人数、机器设备的台 数、裁剪钢材的根数等，分数或小数解显然 就不符合实际了．
❖ 整数规划是近几十年来发展起来的规划论的 一个分支，要求全部或部分决策变量取整数 ，包括整数线性规划和整数非线性规划．
例3.1.3 min Z 32x11 40x12 28x13 42x14 46x21 43x22 30x23 52x24
38x31 58x32 35x33 41x34 31x41 56x42 27x43 49x44
x11
x12
x13
x14
1
x21 x22 x23 x24 1
安排生产才能获得最大利润？
产品I（件） 产品II（件）
原材料A(kg)
5
4
原材料B(kg)
6
7
利润（元）
15
12
可供量 39 48
一. 纯整数规划问题的数学模型
max Z 15x1 12x2
5x1 4x2 39
s.t.
6x1
x1
,
x2
7 x2 0
48
x1, x2为整数
❖ 纯整数线性规划问题数学模型的一般形式为 n max(min) z c j x j
❖ 由于整数非线性规划尚无一般算法，因此本 章介绍的整数规划仅指整数线性规划．
整数规划问题与线性规划问题的关系
任何一个整数线性规划问题都可以看做是一个线性 规划问题再加上整数约束。将整数规划问题去掉整 数约束得到的线性规划问题称为线性规划问题的松 弛问题。
整数规划问题的分类
纯整数规划问题：在求解实际问题时，若要求 所有的变量都取整数，称为纯整数规划问题．
aij x j
(, )bi , i
1, 2,...m
xj
0或1,
j
1, 2,...n
三.指派问题
有n项任务交给n个对象去完成，每个对象完成每项
任务的效益如下：
c11 c12 ... c1n
C
(cij
)
c21
c22
...
c2n
cn1
cn2
...
cnn
要求：每人仅能完成一项任务；
每项任务只能一个对象去完成。
52
丙
38
58
35
41
丁
31
56
27
49
指派问题之例
例3.1.3
工作 人
甲 乙 丙 丁
完成每项工作的时间（小时）
A
B
C
D
x3121
x4012
x2813
x4124
x4261
x4232
x3203
x5224
x3831
x5382
35
x 33
41 x 34
x3411
x5462
x2473
x4494
指派问题之例
cij xij
i1 j1
n
xij 1, i 1, 2,..., n
j1
n
s.t. xij 1, j 1, 2,..., n
i1
xij
0或1, (i,
j
1, 2..., n)
(3.1.1) (3.1.2)
一般指派问题的数学模型
可行解的形式：
x11 x12 ... x1n
X
(xij )nn
j 1
n
aij x j
(, )bi ,i 1, 2,...m
s.t.
j 1
xj
0,
j
1,
2,...n
x1
,
x2
,
...xn为整数
二.0－1整数规划模型
例3.1.2 令xj=1，选择在地点Bj建立储蓄所； xj=0，不在地点Bj建立储蓄所；
例3.1.2
max z 30x1 42x 2 20x 3 35x 4 40x 5 36x 7 48x 7 38x 8 50x 9 37x10 28x11 30x12 19x13 50x14 32x15 35x16