整数规划问题的数学模型
运筹学 第05章 整数规划与分配问题
1
整数规划问题的提出
0 xj 1 表示项目j不被选中 表示项目j被选中 ( j 1,2,3,4,5)
解：决策变量：设
目标函数：期望收益最大
max z 10 x1 8 x 2 7 x3 6 x 4 9 x5
约束条件：投资额限制条件 6x1+4x2+2x3+4x4+5x515 项目A、C、E之间必须且只需选择一项：x1+x3+x5=1 项目B、D之间必须且只需选择一项：x2+x4=1 项目C的实施要以项目D的实施为前提条件： x3 x4 归纳起来，其数学模型为：
n
(i 1,2, , m) ( j 1,2, , n)
2
整数规划问题的分类
根据变量取整数的情况，将整数规划分为：
（1）纯整数规划，所有变量都取整数.
（2）混合整数规划，一部分变量取整数,一部分变量取实数 （3）0-1整数规划 ,所有变量均取0或1
2
整数规划问题的求解思考
1
整数规划问题与其松弛问题
2
匈牙利法
例：用匈牙利法求解下列指派问题，已知效率矩阵分别如下：
任务 A 2 10 9 7 B 15 4 14 8 C 13 14 16 11 D 4 15 13 9
人员
甲 乙 丙 丁
2
匈牙利法
2 10 9 7
15 4 14 8
13 14 16 11
4 15 13 9
例：其中（2，2）（3，1）点为最大值，Z=4。常用的求解整数规划的方法有： 割平面法和
分支定界法，对于0－1规划问题采用隐枚举法和匈牙利法。
3
分派问题与匈牙利法
1
整数线性规划
分枝定界法的理论基础：
1 2 k , i j (1) max cx max (max cx, max cx, , max cx)
x x1 x 2 x k
(2) 若 i j ，则 max cx max cx
xi xi x
分 枝
给定整数规划问题IP max z C T X
若x 的某个分量 xi 不是整数，
0
0
则将 IP分解为两个子问题
max z C X AX b X 0 X为整数向量 xi [ xi0 ]
T max z C X AX b X 0 X为整数向量 xi [ xi0 ] 1
记 z0 z
x1 4, x1 5
将问题B0分解为两个子问题B1和B2(分枝), 分别解B1,B2得 B1: x1=4, x2=2.10, z1=349 B2: x1=5, x2=1.57, z2=341
max z 40 x1 90 x2 max z 40 x1 90 x2 9 x1 7 x2 56 7 x 20 x 70 1 2 x1 4 B1 x1 , x2 0 9 x1 7 x2 56 7 x 20 x 70 1 2 x1 5 B2 x1 , x2 0
4、几点说明 (1)、如果要求目标的最大值
max z cij xij
令
bij M cij
i
j
其中
M max{ cij }
效率矩阵可变为B，将分配问题转换为一个极 小化问题
min z
'
b x
ij i j
ij
(2)、如果分配问题中，人员数 m 不等于工作数 n 时，可以类似于不平衡运输问题建立模型的 方法，增加虚拟人员或虚拟工作。
运筹学整数规划
运筹学整数规划运筹学是研究在资源有限的条件下，如何进行决策和优化的一门学科。
整数规划是运筹学中的一个重要分支，它解决的是决策变量必须为整数的问题。
整数规划在实际问题中具有广泛的应用，如生产计划、设备配置、选址问题等。
整数规划问题的数学模型可以表示为：max/min c^T xs.t. Ax ≤ bx ≥ 0x ∈ Z其中，c是目标函数的系数矩阵，x是决策变量的向量，A是约束条件的系数矩阵，b是约束条件的向量，Z表示整数集合。
整数规划问题与线性规划问题相似，但整数规划问题的约束条件多了一个整数限制，使得问题的解空间变得更为复杂。
由于整数规划问题的NP-hard性质，求解整数规划问题是一项困难的任务。
求解整数规划问题的常用方法有分支定界法、割平面法和启发式算法等。
分支定界法是一种穷举搜索的方法，它通过将整数规划问题不断分割成更小的子问题，从而逐步搜索解空间，直到找到最优解。
分支定界法对于规模较小的问题比较有效，但对于大规模复杂问题，效率较低。
割平面法是一种通过添加新的约束条件来减少解空间的方法。
它利用线性松弛问题（将整数约束条件放宽为线性约束条件）的解来构造有效的割平面，从而逐步缩小解空间，找到最优解。
割平面法通常比分支定界法更有效，但对于某些问题，可能需要添加大量的割平面才能收敛到最优解。
启发式算法是一种基于经验和启发式搜索的方法。
它通过设置初始解、搜索策略和邻域搜索等步骤，来快速找到近似最优解。
常见的启发式算法有遗传算法、模拟退火算法和禁忌搜索算法等。
启发式算法虽然不能保证找到全局最优解，但能够在可接受的时间内找到较优解。
综上所述，整数规划作为运筹学中的重要分支，解决的是决策变量必须为整数的问题。
整数规划问题具有广泛的应用，但由于其NP-hard性质，求解过程较为困难。
常用的求解方法包括分支定界法、割平面法和启发式算法等。
这些方法各有优劣，根据具体问题的特点选择合适的方法进行求解。
运筹学第5章：整数规划
则问题可表示为：
max z c j x j
j 1 n
n a j x j B j 1 x1 x2 0 s.t. x3 x4 1 x x x 2 7 5 6 x j 0或1 j 1,2, , n 【例5-3】工厂A1和A2生产某种物资，由于该种物资供不应 求，故需要再建一家工厂，相应的建厂方案有A3和A4两个。这 种物资的需求地有B1、B2、B3、B4四个。各工厂年生产能力、各 地年需求量、各厂至各需求地的单位物资运费cij(j=1,2,3,4) 见表5-2。
三、割平面法的算法步骤
步骤1：将约束条件系数及右端项化为整数，用单纯形法求 解整数规划问题(ILP)的松弛问题(LP)。设得到最优基B，相应 的基最优解为X*。 步骤2：判别X*的所有分量是否全为整数？如是，则X*即为 (ILP)的最优解，算法终止；若否，则取X*中分数最大的分 量 x * ，引入割平面(5.7)。
表5-2
Ai cij A1 A2 Bj B1 2 8 B2 9 3 B3 3 5 B4 4 7 生产能力 (千吨/年) 400 600
A3
A4 需求量(千吨/年)
7
4 350
6
5 400
1
2 30025 150200200工厂A3或A4开工后，每年的生产费用估计分别为1200万元或 1500万元。现要决定应该建设工厂A3还是A4，才能使今后每年 的总费用(即全部物资运费和新工厂生产费用之和)最少。
一般来说，整数线性规划可分为以下几种类型：
1. 纯整数线性规划(Pure Integer Linear Programming)： 指全部决策变量都必须取整数值的整数线性规划，也称为全整 数规划。 2. 混合整数线性规划(Mixed Integer Linear Programming)：指决策变量中一部分必须取整数值，而另一部 分可以不取整数值的整数线性规划。 3. 0-1整数线性规划(Zero-one Integer Linear Programming)：指决策变量只能取0或1两个值的整数线性规划。
mip数学模型
mip数学模型
MIP（Mixed Integer Programming）是一种数学规划模型，也是最常用的整数规划方法之一。
MIP模型包含了线性约束条件和整数变量，目标是找到最优解来最小化或最大化某个优化函数。
MIP模型可以表示为如下形式：
min/max c^T * x
subject to A * x <= b
x_j为整数变量
x_j >= 0, x_j为非负变量
其中，c是一个n维列向量表示目标函数的系数，x是一个n 维列向量表示决策变量，A是一个m×n维矩阵表示线性约束条件，b是一个m维列向量表示约束条件的右侧常数。
MIP模型可以通过数学规划求解器，如CPLEX、Gurobi等进行求解。
这些求解器使用了一系列特定的算法和技术，在合理的时间内找到最优解或接近最优解。
MIP模型在实际应用中广泛存在，例如生产调度、库存管理、路径优化等问题。
通过使用整数变量，MIP模型可以更好地处理离散决策问题，提供更优的决策方案。
第4章 整数规划
整数规划
整数规划问题的提出
整数规划模型与一般的线性规划模型 的区别仅在于： 的区别仅在于：整数规划的变量要求 部分的或全部的为整数。例如： 部分的或全部的为整数。例如：
m Z = x + x2 ax 1 14 1 x +9x2 ≤ 51 −6x +3x2 ≤1 1 x , x ≥ 0且 整 为 数 1 2
(纯整数规划问题) 纯整数规划问题)
解：设xi为第i天开始上班的人数： 为第i天开始上班的人数： Min： Min：z=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7 s.t. x1 +x4+x5+x6+x7≥17 +x5+x6+x7≥13 x1+x2 x1+x2+x3 +x6+x7≥15 x1+x2+x3+x4+ +x7≥19 x1+x2+x3+x4+x5 ≥14 x2+x3+x4+x5+x6 ≥16 x3+x4+x5+x6+x7≥11 xi≥0 （ i=1,2,…,7） i=1,2,…,7）
例：某市6 例：某市6个区，希望设 置最少消防站以便节省 费用。条件：
必须保证在城区任何地方发 生火警时，消防车能在15 生火警时，消防车能在15分 15分 钟之内赶到现场。各区之间 消防车行驶的时间见右表。
请确定设站方案。
布点问题的数学模型： 0－1规划 布点问题的数学模型：
设0−1为决策变量，当表示i地区设站，表示i 为决策变量，当表示i地区设站，表示i 地区不设站。这样根据消防车15分钟赶到现 地区不设站。这样根据消防车15分钟赶到现 场的限制，可得到如下模型
整数规划
15
16
1、0-1整数规划的应用
¾ 投资分析
关于固定投资的资金预算决策是一个是或否的决 策，其表达形式如下： 每个是或否的决策： 是否应该在固定投资项目上投资？
决策变量
=
⎧1， ⎩⎨0，
是 否
17
¾ 选址
每个可选地点的选择都是一个是或否的决策，其 表达形式如下： 每个是或否的决策： 是否应该选择该地建新设施？
引入N个辅助0-1变量yj。
yj
=
⎧0, ⎩⎨1,
if Constraint j is chosen if Constraint j is not chosen
2、产品互斥的约束以及xj和yj关系的约束 y1+y2≤1 x1 ≤ My1 x2 ≤ My2
3、决策变量的约束
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 且为整数； y1, y2都是0-1变量。
41
42
7
该问题的整数规划模型为：
Max s.t.
z=300x1+500x2 x1≤ 4
2x2 ≤ 12 3x1+2x2 ≤ 18
6
1
每架飞机的年利润 飞机的单位购价 最多购买数量
小型飞机
$100万 $500万
2
大型飞机
$500万 $5000万
−
可获得的资 金总额
$1亿
问题：为了获得最大的利润，公司应该购买多 少飞机，各种型号又该如何组合呢？
7
整数规划模型：
决策变量： S=购买小型机的数量 L=购买大型机的数量
Max Z=S+5L （百万美元） s.t. 5S+50L≤ 100
5
6.1 范例
例1、TBA航空公司
整数规划模型
整数规划模型整数规划模型是一种数学模型，用于解决优化问题。
在整数规划中，决策变量必须是整数。
这种模型广泛应用于工程、科学、运筹学和管理等领域。
整数规划模型的一般形式如下：\[\text{maximize} \quad c^Tx\]\[\text{subject to} \quad Ax \leq b\]\[x_j \text{整数} , j = 1,2,...,n\]其中，c是一个n维向量，表示目标函数的系数；x是n维向量，表示决策变量；A是m×n维矩阵，表示约束条件的系数矩阵；b是一个m维向量，表示约束条件的上界。
整数规划模型的目标是找到一个满足约束条件的决策变量向量x，使得目标函数值最大或最小。
由于决策变量必须是整数，所以整数规划模型要比普通的线性规划模型更复杂。
整数规划模型可以应用于许多实际问题。
例如，一个公司要决定生产哪种产品以最大化利润，但每种产品有一定的生产限制，需要整数规划模型来确定生产量；一个配送中心要决定如何分配物流资源以最小化成本，但每个分配决策都必须是整数，需要整数规划模型来求解。
求解整数规划模型可以使用多种算法。
例如，分支定界算法通过将问题分解为一个个子问题，并通过剪枝策略来减少搜索空间，最终找到最优解；约简与延迟约束算法通过线性松弛将整数规划转化为一个松弛线性规划问题，并通过迭代加入约束条件来逼近整数解。
整数规划模型的求解过程需要注意一些问题。
首先，由于整数规划是一个NP难问题，没有通用的多项式时间算法可以解决所有情况。
其次，整数规划模型可能有多个最优解，求解算法可能只能找到其中一个最优解。
最后，整数规划模型的求解过程可能需要大量的计算资源和时间。
总之，整数规划模型是一种重要的数学模型，可以用于解决各种实际优化问题。
但由于其复杂性和求解困难，需要合理选择算法和求解策略来获得满意的结果。
整数规划
5 2 C = 0 0
0 2 0 3 0 0 0 6 7 8 0 0
步骤3： 若 n ，作最少直线覆盖当前零元素。 已知例12中的系数矩阵为 ⒈变换系数矩阵
4 7 C = 6 6 6
8 7 15 12 9 17 14 7 9 12 6 10 7 14 8 10 9 6 10 8
最多有3个独立0元素！
5 2 C = 0 4
0 2 0 3 0 0 5 6 7 8 0 0
5 2 C = 0 4
0 2 0 3 0 7 5 6 0 8 0 3
至于如何找覆盖零元素的最少直线，通过例子来说明。 例1 现有一个4×4的指派问题，其效率矩阵为：
整数线性规划数学模型的一般形式为：
max(or min) z = ∑ c j x j n ∑ aij x j ≤ (or =, ≥)bi , i = 1, 2,L , m s.t j =1 x j ≥ 0, x j 中部分或全部为整数， = 1, 2,L , n j
j =1
n
整数线性规划类型
B1 B2 B3 B4 B5
C=
A1 4 A2 7 A3 6 A4 6 A5 6
8 7 15 12 9 17 14 10 9 12 8 7 7 14 6 10 9 12 10 6
这是一个标准的指派问题。若设0-1变量
1 xij = 0
例12：某商业公司计划开办五家新商店。为了尽早建成 营业，商业公司决定由5家建筑公司分别承建。已知建筑 公司 Ai (i = 1,2, L ,5) 对新商店B j ( j = 1,2, L,5) 的建造 报价（万元）为 cij (i, j = 1,2, L ,5) , 见矩阵C。商业公 司应当对5家建筑公司怎样分配建筑任务，才能使总的建 筑费用最少？
03整数规划
ⅠⅡⅢⅣⅤⅥ
372600 714400 365800 643700 524300 576200
例、
4人完成5项任务，每人可完成1～2项
任务 人
甲 乙 丙 丁
ABCDE
25 29 31 42 37 39 38 26 20 33 34 27 28 40 32 24 42 36 23 45
7 0 1 0 2
4
3 0 0 0
0 8 3 5 0
11 8 0 0 4
0 4 1 4 3
0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0
最优解为：甲——B，乙——D, 丙——E
n b= 4 < 5 , 未得最优，转入步骤三
三、找出能覆盖非最优阵中所有0元的最少 直线集合
（1）对没有 0 的行打√ （2）对打√的行上所有 0 所在列打 √ （3）对打√的列上所有 0 所在行打 √ （4）重复(2)、(3)，直至找不出新的打√的列 （5）对没打√的行画一横线，对打√的列画
一纵线，得到覆盖所有0元的最小直线数 L
若L<N，转下一步，否则回步骤二重新试探
5 0 2 0 2 2 3 0 0 0 0 10 5 7 2 √ 9 8 0 0 4 0 6 3 6 5 √
√
L= 4 < 5 , 所以转第四步
四、非最优阵的变换——0元的移动
（1）在未被直线覆盖的所有元素中，找出最小元素 （2）在打√的各行中减去这最小元素，在打√的各
min
Z
b ij
x ij
28
ij
A BCDE
甲 12 7 9 7 9 5 0 2 0 2
整数规划
i=1 j=1
整数规划的特点及应用
例1 现有资金总额为B。可供选择的投资项目有n个，项目 j所需投资额和预期收益分别为aj和cj（j＝1,2,..,n），此 外由于种种原因，有三个附加条件： 若选择项目1，就必须同时选择项目2。反之不一定
7
项目3和4中至少选择一个；
项目5,6,7中恰好选择2个。 应该怎样选择投资项目，才能使总预期收益最大。
14
x2
3
⑴
⑵
(3/2,10/3)
标函数值最大，即为Z=4。
3
x1
整数规划的特点及应用
整数规划问题的求解方法： 分支定界法
15
割平面法
匈牙利法（指派问题）
分支定界法
分支定界法的解题步骤：
1）求整数规划的松弛问题最优解； 若松弛问题的最优解满足整数要求，得到整数规划的最优解,否则转下一步； 2）分支与定界： 任意选一个非整数解的变量xi，在松弛问题中加上约束： xi≤[xi] 和 xi≥[xi]+1 组成两个新的松弛问题，称为分枝。 新的松弛问题具有特征：当原问题是求最大值时，目标值是分枝问题的上界；当 原问题是求最小值时，目标值是分枝问题的下界。 3) 检查所有分枝的解及目标函数值，若某分枝的解是整数并且目标函数值大于 （max）等于其它分枝的目标值，则将其它分枝剪去不再计算，若还存在非整数 解并且目标值大于(max)整数解的目标值，需要继续分枝，再检查，直到得到最优 解。
整数规划的特点及应用
min z =
6
邋
4
4
c ij x ij + [1200y 1 + 1500y 2 ]
ì x 11 + x 21 + x 31 + x 41 = 350 ï ï ï ï x 12 + x 22 + x 32 + x 42 = 400 ï ï ï ï x 13 + x 23 + x 33 + x 43 = 300 ï ï ï x 14 + x 24 + x 34 + x 44 = 150 ï ï ï ï ï x 11 + x 12 + x 13 + x 14 = 400 s .t . í ï x 21 + x 22 + x 23 + x 24 = 600 ï ï ï x 31 + x 32 + x 33 + x 34 = 200y 1 ï ï ï ï x 41 + x 42 + x 43 + x 44 = 200y 2 ï ï ï x ij ? 0 (i , j 1, 2, 3, 4) ï ï ï ï y = 0,1 (i = 1, 2) ï ï î i
§5.4 0—1型整数规划模型
§5.4 0—1型整数规划模型1、 0—1型整数规划模型概述整数规划指的是决策变量为非负整数值的一类线性规划，在实际问题的应用中，整数规划模型对应着大量的生产计划或活动安排等决策问题，整数规划的解法主要有分枝定界解法及割平面解法（这里不作介绍，感兴趣的读者可参考相关书籍）。
在整数规划问题中，0—1型整数规划则是其中较为特殊的一类情况，它要求决策变量的取值仅为0或1，在实际问题的讨论中，0—1型整数规划模型也对应着大量的最优决策的活动与安排讨论，我们将列举一些模型范例，以说明这个事实。
0—1型整数规划的的数学模型为：目标函数 n n x c x c x c z M i n M a x+++= 2211)( 约束条件为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==≥≤++=≥≤++=≥≤++1| 0 ) ,() ,() ,(22112222212111212111n m n mn m m n n n n x x x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a , , ,21这里，0 | 1表示0或1。
2、0—1型整数规划模型的解法0—1型整数规划模型的解法一般为穷举法或隐枚举法，穷举法指的是对决策变量n x x x , , ,21 的每一个0或1值，均比较其目标函数值的大小，以从中求出最优解。
这种方法一般适用于决策变量个数n 较小的情况，当n 较大时，由于n 个0、1的可能组合数为n2，故此时即便用计算机进行穷举来求最优解，也几乎是不可能的。
隐枚举法是增加了过滤条件的一类穷举法，该法虽能减少运算次数，但有的问题并不使用。
此时，就只能用穷举法了。
3. 应用实例例1 工程上马的决策问题1）问题的提出某部门三年内有四项工程可以考虑上马，每项工程的期望收益和年度费用（千元）如下表所示：假定每一项已选定的工程要在三年内完成，是确定应该上马哪些工程，方能使该部门可能的期望收益最大。
2）模型分析与变量的假设这是工程上马的决策问题，对任一给定的工程而言，它只有两种可能，要么上马，要么不上马，这两种情况分别对应二进制数中的1、0，大凡这样的实际背景所对应的工程问题，大都可考虑用0—1型整数规划模型建立其相应的模型。
典型的整数线性规划问题
模型求解 整数规划(Integer Programming,简记IP)
Max z 2x1 3x2 4x3
s. t. 1.5x1 3x2 5x3 600 280 x1 250 x2 400 x3 60000
x1, x2 , x3为非负整数
IP 结果输出
IP可用LINDO直接求解
max 2x1+3x2+4x3 st 1.5x1+3x2+5x3<600 280x1+250x2+400x3<60000 end gin 3
(LP)
模型 求解
结果为小数， 怎么办？
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 632.2581
VARIABLE VALUE
REDUCED COST
X1 64.516129
0.000000
X2 167.741928
0.000000
X3 0.000000
0.946237
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
约束 条件
每人最多入选泳姿之一
4
xij 1, i 1,5
j 1
每种泳姿有且只有1人
5
xij 1, j 1,4
i 1
模型求解 输入LINDO求解
MIN 66.8x11+75.6x12+87x13+58.6x14 +… … +67.4x51+71 x52+83.8x53+62.4x54
SUBJECT TO x11+x12+x13+x14 <=1 …… x41+x42+x43+x44 <=1 x11+x21+x31+x41+x51 =1 …… x14+x24+x34+x44+x54 =1
数学建模-整数规划
整数规划
Integer Programming
数信学院 任俊峰
2012-4-15
数学建模之整数规划
整数规划模型（IP）
如果一个数学规划的某些决策变量或全部决策 变量要求必须取整数，则称这样的问题为整数规 划问题，其模型称为整数规划模型。 如果整数规划的目标函数和约束条件都是线性 的，则称此问题为整数线性规划问题.
松弛问题最优解满足整数要求，则该最优解为整数 规划最优解；
数学建模之整数规划
整数线性规划的求解方法
从数学模型上看整数规划似乎是线性规划的 一种特殊形式，求解只需在线性规划的基础上，通 过舍入取整，寻求满足整数要求的解即可。 但实际上两者却有很大的不同，通过舍入得到
的解（整数）也不一定就是最优解，有时甚至不能
1 xj 0
选中第j个项目投资 不 选中第j个项目投资
max Z 160 x 1 210 x 2 60 x 3 80 x 4 180 x 5 210 x 1 300 x 2 150 x 3 130 x 4 260 x 5 600 x x2 x3 1 1 x3 x4 1 x x 1 5 x1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 0 或 1
1 2
14 x1 9 x 2 51 6 x1 3 x 2 1 x1 , x 2 0
数学建模之整数规划
用图解法求出最优解 x1＝3/2, x2 = 10/3 且有 z = 29/6 现求整数解（最优解）： 如用“舍入取整法”可得到4 个点即(1，3) (2，3) (1，4) (2，4)。显然，它们都不可能 是整数规划的最优解。
数学建模之整数规划
例5 固定费用问题
整数规划
√
√ × √
×
√ × ×
√
√ √ √
√
√ √ √ √ 8 8
（二）0－1 整数规划——隐枚举法
首先，找到一个可行解，并计算其目标函数值；然后，以其目标值作为
一个过滤条件，优于其值的再判断约束条件，直到找到最优解。
满足约束条件（是∨ x1 . x2. x3 ( 0. ( 0. 0. 0. 0 ) 1) √ √ (1) √ √ (2) √ √ (3) √ √ 否×） (4)
目标函数： Max z = 2x1 +3 x2 约束条件： 195 x1 + 273 x2 ≤1365 4 x1 + 40 x2 ≤140 x1 ≤4 x1≥3 x2≥3 x1，x2 ≥ 0
无可行解
（四）比较子问题的最优解，判断是否还要继续分枝 因为Z21=14大于Z1=13.90，所以x1=3，x2=2是原 问题的最优整数解
过滤 条件
0 5 -2 3 3
max Z 3 x1 2 x2 5 x3 x1 2 x2 x3 2 (1) x1 4 x2 x3 4 (2) 3 (3) x1 x2 4 x2 x3 6 (4) x1 , x2 , x3 0或1
第五章 整数规划
在整数规划中，如果所有的变量都为非负整数，则 称为纯整数规划问题；如果有一部分变量为负整数，则 称之为混合整数规划问题。在整数规划中，如果变量的 取值只限于0和1，这样的变量我们称之为0-1变量。在 纯整数规划和混合整数规划问题中，如果所有的变量都 为0-1变量，则称之为0-1规划。 求整数解的线性规划问题，不是用四舍五入法或去 尾法对线性规划的非整数解加以处理都能解决的，而要 用整数规划的方法加以解决。
数学建模中的整数规划与线性规划
数学建模中的整数规划与线性规划数学建模是指利用数学方法解决实际问题的过程，其中整数规划和线性规划是常用的数学建模技术。
本文将探讨数学建模中的整数规划和线性规划的基本原理、应用领域以及解决实际问题的方法。
一、整数规划整数规划是指在线性规划的基础上，将决策变量限制为整数的优化问题。
在实际问题中，有些变量只能取整数值，而不能取小数值。
整数规划的数学模型可以表示为：$max\{cx:Ax≤b,x\geq0,x为整数\}$其中，c是目标函数的系数向量，A是约束条件的系数矩阵，b是约束条件的常数向量，x是决策变量。
整数规划的应用非常广泛，比如生产调度、资源配置、旅行商问题等。
整数规划不仅可以帮助企业进行生产计划，还可以优化物流配送路线，解决旅行商的最优路径问题等。
二、线性规划线性规划是指目标函数和约束条件均为线性关系的优化问题。
线性规划的数学模型可以表示为：$max\{cx:Ax≤b,x\geq0\}$线性规划在数学建模中是最常用的优化工具之一，广泛应用于生产计划、资源分配、投资组合等领域。
通过线性规划，可以找到目标函数在约束条件下的最优解，从而为决策提供科学依据。
三、整数规划与线性规划的联系整数规划是线性规划的一个特例，即当决策变量限制为整数时，线性规划就变成了整数规划。
因此，整数规划可以通过线性规划来求解，但是整数规划的求解难度要高于线性规划。
在实际问题中，有时候整数规划难以求解，此时可以采用线性规划来近似求解。
例如，可以将决策变量限制为小数，然后通过计算得到的解来指导实际决策。
当然，这种近似解不一定是最优解，但可以提供一种可行的解决方案。
四、整数规划与线性规划的求解方法针对整数规划和线性规划问题，有多种求解方法。
其中，常用的方法包括暴力搜索、分支定界法、割平面法等。
暴力搜索是一种基础的求解方法，通过枚举所有可能的解来寻找最优解。
这种方法的好处是可以找到全局最优解，但计算时间较长，适用于问题规模较小的情况。
整数规划的数学模型
2018/8/4
求解练习题
L1 求解单纯形表 cj 2 5 4 0 0 CB XB x1 x2 x3 x4 x7 4 x3 1/2 0 1 1 -1/2 5 x2 1/2 1 0 0 1/2 0 x6 3/2 0 0 -5 5/2 0 x7 0 1 0 0 0 σ 基变量系数向量单位化 cj 2 5 4 0 0 CB XB x1 x2 x3 x4 x7 4 x3 1/2 0 1 1 -1/2 5 x2 1/2 1 0 0 1/2 0 x6 3/2 0 0 -5 5/2 0 x7 -1/2 0 0 0 -1/2 -5/2 0 0 -4 -1/2 σ
2018/8/4
用分枝定界法解例5-1
x2
5 4
9x1+7x2=56
3
2 1
7x1+20x2=70
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
x1
L0 : x* = (4.81, 1.82), Z* =356 2018/8/4
用分枝定界法解例5-1
2.将L0分解为L1和L2 L1 ：max z = 40x1 + 90x2 9x1 + 7x2 56 7x1 +20x2 70 x1 4 x1，x2 0
2018/8/4
0 x5 0 0 1 0 0 x5 0 0 1 0 0
0 x6 0 0 0 1 0 x6 0 0 0 1 0 b 9/2 15/2 7/2 -1/2 b 9/2 15/2 7/2 7
求解练习题
线性规划 L1 的最终单纯形表 cj 2 5 4 0 CB XB x1 4 x3 1 5 x2 0 0 x6 -1 0 x5 1 -2 σ L1 有整数最优解 0 0 0 b 5 7 1 1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 0 1 1 0 0 -1 1 0 0 0 0 1 0 0 -5 0 1 5 0 0 0 1 0 -2 0 0 -4 0 0 -1 X* =（0，7，5） ，Z*=55
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❖ 在前面所研究的线性规划问题中，一般问题 的最优解可以是非整数，即为分数或小数．
❖ 但在许多实际问题中，决策变量常常要求必 须取整数，即称为整数解．例如，若问题的 解表示的是安排上班的人数、机器设备的台 数、裁剪钢材的根数等，分数或小数解显然 就不符合实际了．
❖ 整数规划是近几十年来发展起来的规划论的 一个分支，要求全部或部分决策变量取整数 ，包括整数线性规划和整数非线性规划．
52
丙
38
58
35
41
丁
31
56
27
49
指派问题之例
例3.1.3
工作 人
甲 乙 丙 丁
完成每项工作的时间（小时）
A
B
C
D
x3121
x4012
x2813
x4124
x4261
x4232
x3203
x5224
x3831
x5382
35
x 33
41 x 34
x3411
x5462
x2473
x4494
指派问题之例
cij xij
i1 j1
n
xij 1, i 1, 2,..., n
j1
n
s.t. xij 1, j 1, 2,..., n
i1
xij
0或1, (i,
j
1, 2..., n)
(3.1.1) (3.1.2)
一般指派问题的数学模型
可行解的形式：
x11 x12 ... x1n
X
(xij )nn
问题：指派哪个对象完成哪项任务，能使完成各项任务
的总效益最佳？
指派问题之例
例3.1.3
工作 人
完成每项工作的时间（小时）
A
B
C
D
甲
32
40
28
42
乙
46
43
30
52
丙
38
58
35
41
丁
31
56
27
49
指派问题之例
例3.1.3
工作 人
完成每项工作的时间（小时）
A
B
C
D
甲
32
40
28
42
乙
46
43
30
x31
x32
x33
x34
1
x41 x42 x43 x44 1
s.t.
x11
x21
x31
x41
1
x12
x22
x32
x42
1
x13 x23 x33 x43 1
x14
x24
x34
x44
1
xij 0或1, (i, j 1, 2, 3, 4)
一般指派问题的数学模型
nn
min Z
75x1 90x2 100x3 85x4 80x5 95x6 110x7 105x8 120x9 115x10 85x11 75x12 100x13 120x14 95x15 90x16 1000
x1
x2
x3
x4
2
s.t.
x5
x8
x6 x9
x7 x10
1 2
x11
x12
指派问题的特殊形式
例：
任务 I
人
II
III
IV
甲
8
4
6
20
乙
3
9
5
12
丙
6
13
11
18
丁
10
2
8
17
戊
9
7
17
15
指派问题的特殊形式
例：
任务 I
人
II III IV V
甲
8
4
6
20
0
乙
混合整数规划问题：若只要求一部分变量取整 数值，则称为混合整数规划问题．
0－1整数规划问题：若要求全部或部分变量取 值只限于0或1，则称为0－1整数规划问题．
❖ 下面介绍整数规划问题的几个典型实例，通 过这几个问题来了解整数规划问题的数学模 型．
一. 纯整数规划问题的数学模型
例3.1.1 某工厂在一个计划期内，用两种原材料A和B 生产两种产品I和II，有关数据见下表，问工厂应如何
安排生产才能获得最大利润？
产品I（件） 产品II（件）
原材料A(kg)
5
4
原材料B(kg)
6
7
利润（元）
15
12
可供量 39 48
一. 纯整数规划问题的数学模型
max Z 15x1 12x2
5x1 4x2 39
s.t.
6x1
x1
,
x2
7ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx2 0
48
x1, x2为整数
❖ 纯整数线性规划问题数学模型的一般形式为 n max(min) z c j x j
j 1
n
aij x j
(, )bi ,i 1, 2,...m
s.t.
j 1
xj
0,
j
1,
2,...n
x1
,
x2
,
...xn为整数
二.0－1整数规划模型
例3.1.2 令xj=1，选择在地点Bj建立储蓄所； xj=0，不在地点Bj建立储蓄所；
例3.1.2
max z 30x1 42x 2 20x 3 35x 4 40x 5 36x 7 48x 7 38x 8 50x 9 37x10 28x11 30x12 19x13 50x14 32x15 35x16
x21
x22
...
x2n
xn1
xn2
...
xnn
一般指派问题的数学模型
例3.1.3的一个可行解：
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
指派问题的特殊形式
1、对象数和任务数不相等的指派问题 对象数多于任务数：添加虚拟任务，费 用为0； 对象数少于任务数：添加虚拟对象，费 用为0；
aij x j
(, )bi , i
1, 2,...m
xj
0或1,
j
1, 2,...n
三.指派问题
有n项任务交给n个对象去完成，每个对象完成每项
任务的效益如下：
c11 c12 ... c1n
C
(cij
)
c21
c22
...
c2n
cn1
cn2
...
cnn
要求：每人仅能完成一项任务；
每项任务只能一个对象去完成。
例3.1.3 min Z 32x11 40x12 28x13 42x14 46x21 43x22 30x23 52x24
38x31 58x32 35x33 41x34 31x41 56x42 27x43 49x44
x11
x12
x13
x14
1
x21 x22 x23 x24 1
1
x13 x14 x15 x16 3
x
j
0,1;( j
1, 2,...16)
❖ 该问题的决策变量仅限于取0或1两个值，因 此为0－1整数规划问题． 0－1规划可以是线 性的，也可以是非线性的，0－1线性规划的 一般模型为：
n
max(min) Z cj xj j 1
s.t.
n j 1
❖ 由于整数非线性规划尚无一般算法，因此本 章介绍的整数规划仅指整数线性规划．
整数规划问题与线性规划问题的关系
任何一个整数线性规划问题都可以看做是一个线性 规划问题再加上整数约束。将整数规划问题去掉整 数约束得到的线性规划问题称为线性规划问题的松 弛问题。
整数规划问题的分类
纯整数规划问题：在求解实际问题时，若要求 所有的变量都取整数，称为纯整数规划问题．