3.1.3-空间向量的数量积运算教案。
3.1.3空间向量的数量积运算课件人教新课标5
1 ·
所以 cos<1 , >=
|1 |||
=
1
2× 2
1
2
= .
因为<1 , >∈[0°,180°],
所以<1 , >=60°,所以向量1 与 的夹角为 60°.
3.1.3
问题导学
空间向量的数量积运算
课前预习导学
且|cos<a,b>|≤1,所以 D 正确.
3.1.3
问题导学
空间向量的数量积运算
课前预习导学
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
当堂检测
2.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AA1=2,AD=4,E 为侧面
AB1 的中心,F 为 A1D1 的中点.
2.有关数量积的运算应注意的问题:
(1)与数乘运算区分开,数乘运算的结果仍是向量,数量积的结果为
数量;
(2)书写规范:不能写成 a×b,也不能写成 ab.
3.1.3
问题导学
空间向量的数量积运算
课前预习导学
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
当堂检测
=|c|2-|a|2=0.
3.1.3
问题导学
空间向量的数量积运算
当堂检测
(3) ·1 =
1
1
(-) +
2
2
1
+
2
1
2
1
1
=- |a|2+ |b|2=2.
2
空间向量的数量积运算教案
3.1.3 空间向量的数量积运算【课标要求】1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法,掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途,会用它解决立体几何中一些简单的问题. 【核心扫描】1.空间向量的数量积运算.(重点)2.利用空间向量的数量积求夹角及距离.(难点) 3.空间向量数量积的运算律.(易错点)自学导引1.空间向量的夹角定义 已知两个非零向量a ,b ,在空间中任取一点O ,作OA →=a ,OB →=b ,则∠AOB 叫做向量a ,b 的夹角记法 〈a ,b 〉范围[0,π].当〈a ,b 〉=π2时,a ⊥b提示 〈a ,b 〉=〈b ,a 〉,〈a ,-b 〉=π-〈a ,b 〉. 2.空间向量的数量积(1)定义:已知两个非零向量a ,b ,则|a||b|cos 〈a ,b 〉叫做a ,b 的数量积,记作a·b . (2)数量积的运算律数乘向量与向量 数量积的结合律(λa )·b =λ(a·b ) 交换律 a·b =b·a 分配律a·(b +c )=a·b +a·c(3)两个向量数量积的性质 (1)若a ,b 是非零向量,则a ⊥b ⇔a·b =0.(2)若a 与b 同向,则a·b =|a|·|b|;提示数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|·cos θ的乘积.名师点睛1.空间向量夹角的理解(1)任意两个空间向量均是共面的,故空间向量夹角范围同两平面向量夹角范围一样,即[0,π];(2)空间向量的夹角在[0,π]之间,但空间两异面直线夹角在(0,π2]内,利用向量求两异面直线夹角时注意转化,两异面直线的夹角余弦值一定为非负数.2.平面向量与空间向量数量积的关系由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量,所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号、向量的模的概念和表示符号、以及运算律等都与平面向量相同.3.空间向量数量积的应用由于空间向量的数量积与向量的模和夹角有关,所以立体几何中的许多问题,如距离、夹角、垂直等问题的求解,都可借助于向量的数量积运算解决.(1)a·b=|a||b|cos〈a,b〉,则cos〈a,b〉=a·b|a||b|,可用来求两个向量的夹角.(2)a⊥b⇔a·b=0,用于判断两个向量的垂直.(3)|a|2=a·a,用于对向量模的计算,求两点间的距离或线段的长度.注意:①数量积运算不满足消去律若a,b,c(b≠0)为实数,则ab=bc⇒a=c;但对于向量就不正确,即a·b=b·c(b≠0)⇒/ a=c.②数量积运算不满足结合律数量积的运算只适合交换律,分配律及数乘结合律,但不适合乘法结合律,即(a·b)·c不一定等于a·(b·c).这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量,而a·(b·c)表示一个与a共线的向量,而c 与a不一定共线.问题一:利用数量积求两点间的距离例1已知向量b a ⊥,向量c 与b a ,的夹角都是60,且,3,2,1===c b a 试求 (1)b a+ (2)2)(c b a -+思路:利用向量的平方等于模长的平方求解,老师先复习平面向量的基本知识,然后引导学生这两个例题,第一个稍微对下答案,第二个引导学生如何将三个向量的平方展开,中心思想就是将前面两个看成一个数,然后利用完全平方和展开.变式练习如图所示,平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1中,AB =1,AD =2,AA 1=3,∠BAD =90°,∠BAA 1=∠DAA 1=60°,求AC 1的长.(学生上黑板演练,老师公布答案)[思路探索] 利用|AC 1→|2=AC 1→2=(AB →+AD →+AA 1→)2求解. 解 因为AC 1→=AB →+AD →+AA 1→, 所以AC 1→2=(AB →+AD →+AA 1→)2=AB →2+AD →2+AA 1→2+2(AB →·AD →+AB →·AA 1→+AD →·AA 1→). 因为∠BAD =90°,∠BAA 1=∠DAA 1=60°,所以〈AB →,AD →〉=90°,〈AB →,AA 1→〉=〈AD →,AA 1→〉=60° 所以AC 1→2=1+4+9+2(1×3×cos 60°+2×3×cos 60°)=23. 因为AC 1→2=|AC 1→|2,所以|AC 1→|2=23,|AC 1→|=23,即AC 1=23.规律方法 利用向量的数量积求两点间的距离,可以转化为求向量的模的问题,其基本思路是先选择以两点为端点的向量,将此向量表示为几个已知向量的和的形式,求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模,利用公式|a |=a·a 求解即可.问题二:求数量积例2:如图所示,已知正四面体O-ABC 的棱长为 1,求OB OA ⋅、AB ·OC .(第一个请学生回答,第二个引导学生发现直接找两个向量的夹角是行不通的,所以要将两个向量用其他向量表示,将未知向量转化成已知向量,最好是化成同起点的已知向量,更能方表找到夹角)解:2160cos ==⋅OB OA OB OA ,OA OB AB -=0)(=⋅-=⋅∴OC OA OB OC AB变式变式练习:已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB =AA 1=2,AD =4,F 为A 1D 1的中点,试计算:BD · AF (学生自主完成,喊通学生黑板演练,适当讲评,总结一般在六面体中其他向量基本装化成同起点的三条棱为基本向量)探究:利用数量积求夹角如图所示,已知S 是边长为1的正三角形ABC 所在平面外一点,且SA =SB =SC =1,M 、N 分别是AB 、SC 的中点,求异面直线SM 与BN 所成角的余弦值.(学生自主探究,引导学生发现求夹角可以转化成求数量积和求模长两个问题)解 设SA →=a ,SB →=b ,SC →=c ,则|a |=|b |=|c |=1,且a ,b ,c 三个向量两两夹角均为60°, ∴a·b =b·c =a·c =12.∵SM →·BN →=12(SA →+SB →)·(SN →-SB →)=12(a +b )·(12c -b ) =12(12a·c -a·b +12b ·c -b 2) =12(12×12-12+12×12-1)=-12. ∴cos 〈SM →,BN →〉=SM →·BN →|SM →|·|BN →|=-1232·32=-23.所以,异面直线SM 与BN 所成角的余弦值为23.思路探索] 可先求向量OA →与BC →的夹角,再根据异面直线的夹角与向量的夹角之间的关系得出最后结果.规律方法 在异面直线上取两个向量,则两异面直线所成角的问题可转化为两向量的夹角问题.需注意的是:转化前后的两个角的关系可能相等也可能互补六.小结(1)夹角、空间向量数量积、运算律(2)夹角、距离的求法 (五)课后巩固:1.已知空间四边形ABCD ,求AB →·CD →+BC →·AD →+CA →·BD →的值.2.空间四边形OABC 中,OB =OC ,∠AOB =∠AOC =π3,则cos 〈OA ,BC 〉的值为( ).A .12B .22C .-12 D .03 如图所示,在平行四边形ABCD 中,AB =AC =1,∠ACD =90°,将它沿对角线AC 折起,使AB 与CD 成60°角,求B 、D 间的距离.。
§3.1.3空间向量的数量积运算教学设计
§3.1.3 空间向量的数量积运算一.教学目标1.知识与技能(幻灯片2)(1)通过类比平面向量数量积的运算,掌握空间向量数量积的概念、性质和运算律; (2)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体 几何问题转化为向量问题;(3)通过向量的运算,研究空间中点、线、面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题。
2.过程与方法引导学生注重知识间的联系,不断地与平面向量和立体几何知识进行类比,做到温故而知新,并且经历向量及其运算由平面到空间的推广过程,使学生的思维过程螺旋上升。
3.情感态度与价值观通过本节课的学习,使学生对于以往的知识有一个全新的认识,培养学生积极探索数学的本质,提高学生的数学素养。
二.教学重点空间向量数量积的概念以及实际应用。
三.教学难点建立空间向量与空间图形的内在联系; 四.教学过程 教学环节教学过程设计意图新 课 引入同学们,你们还记得平面向量数量积的定义吗?你能类比平面向量所成夹角说一说什么是空间中两条向量夹角及范围吗?注重了与旧知识的联系,使学生对知识的理解更为透彻。
学生容易对向量夹角和两直线夹角产生混淆,这里要对范围进行明确。
(幻灯片4) 讲 授 新 课零向量与任何向量的数量积为0。
性质1:这个性质是证明两向量垂直的依据;性质2: 这个性质是求向量模的依据。
思考:类比平面向量,你能说出空间向量数量积的几何意义吗?(幻灯片9)空间向量数量积和平面向量数量积相似,在教学中可采用类比的方法,并且还要向学生再次强调数量积的结果为常数,而不是向量。
空间向量数量积的几何意义同平面向量数量积是一样的。
只要让同学们理解空间中任意两个向量都是共面向量,此时就可以把空间向量的数量积转化为平面向量上来了。
(幻灯片5--8)(幻灯片10)=空间向量数量积的概念:已知两个非零向量a,,则a cos a,叫做a,的数量积.记作,即a cos a,.b b b b a b a b b b 22cos ,a a a a a a a a === cos 的几何意义:数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积。
高中数学新人教版A版精品教案《3.1.3 空间向量的数量积运算》
(2)显然有 ;
(3) ,那么 与 同向; ,那么 与 反向
(4) ,则称 与 互相垂直,记作: ;
思考:面直线及所成的角的范围
2、空间向量的数量积:
已知向量 ,则 叫做 的数量积,记作 ,即 .
注:①两个向量的数量积是数量,而不是向量
②规定:零向量与任意向量的数量积等于零
3、两个向量的数量积的几何意义
4、 空间两个向量的数量积性质
5、空间向量的数量积满足的运算律
;
;
思考:
1、若 ,是否有 成立?
2、若 ,是否有 ,或 成立?
3、向量数量积是否有结合律 成立?
例题讲解:
例1:已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a,如图所示,点E、F分别是AB、AD的中点,求1 · ;2 · ;
例3:如图,在平行六面体ABCD-A’B’C’D’中,AB=4,AD=3,AA’=5, BAD= , BAA’= DAA’= ,求对角线A’C的长
二、教学重点:空间向量的数量积运算
三、教学难点:空间向量的数量积运算在解决立体几何中的应用
四、教学方法:类比教学
五、教具准备:制作课件
六、课时安排:1课时
七、教学过程:
复习:
1、平面向量的夹角:
2、平面向量的数量积:
讲授新课:
1.空间向量的夹角:
已知两非零向量 ,在空间任取一点 ,作 ,则 叫做向量 与 的夹角,记作 ;
解:
练习3、如图,线段AB,BD在平
面 内,BD AB,线段AC ,且AB=a,BD=b,AC=c,求C,D间的距离。
小结:
作业:习题A组3、4、10
八、教学反思:
本节课把平面向量数量积运算推广到空间向量数量积运算学生已有了空间的线、面平行和面、面平行概念,这种推广对学生学习已无困难但仍要一步步地进行,学生要时刻牢记,现在研究的范围已由平面扩大到空间一个向量已是空间的一个平移,要让学生在空间上一步步地验证向量的数量积运算这样做,一方面复习了平面向量、学习了空间向量,另一方面可加深学生的空间观念
教学设计4:3.1.3 空间向量的数量积运算
3.1.3 空间向量的数量积运算一、课题:空间向量的数量积二、教学目标:1.巩固空间向量数量积的概念;2.熟练应用空间向量数量积解决立体几何中的一些简单问题。
三、教学重、难点:应用空间向量数量积解决问题. 四、教学过程: (一)复习:1.空间向量夹角的概念和范围; 2.空间向量数量积的概念;3.向量AB 在e 方向上的射影:|||||cos ,|A B AB AB e ''=⋅<>. (二)新课讲解:例1.已知线段,AB BD 在平面α内,BD AB ⊥,线段AC α⊥,若,,AB a BD b AC c ===, 求,C D 间的距离.例2.已知平行六面体ABCD A B C D ''''-中,4,3,5,90AB AD AA BAD '===∠=, 60BAA DAA ''∠=∠=,求AC '的长.例3.已知S 是边长为1的正三角形所在平面外一点,且1SA SB SC ===,,M N 分别是AB ,SC 的中点,求异面直线SM 与BN 所成角的余弦值.例4.如图,长方体1111ABCD A B C D -中,4AB BC ==,E 为11AC 与11B D 的交点,F 为1BC 与1B C 的交点,又AF BE ⊥,求:长方体的高1BB .五、课堂练习:课本第35页第1、5题. 六、课堂小结:空间向量数量积的应用. 七、补充作业:1.对于向量a 、b 、c 和实数λ,下列命题中的真命题是( ).A .若a ·b =0,则a =0或b =0B .若λa =0,则λ=0或a =0C .若a 2=b 2,则a =b 或a =-b D .若a ·b =a ·c ,则b =c2.如图,已知空间四边形每条边和对角线长都等于a ,点E 、F 、G分别是AB 、AD 、DC 的中点,则下列向量的数量积等于a 2的是 ( ). A .2BA →·AC → B .2AD →·DB → C .2FG →·AC → D .2EF →·CB →3.空间四边形OABC 中,OB =OC ,∠AOB =∠AOC =π3,则cos 〈OA →,BC →〉的值为 ( ).A.12B.22 C .-12D .0 4.已知a ,b 是空间两个向量,若|a |=2,|b |=2,|a -b |=7,则cos 〈a ,b 〉=________. 解析 将|a -b |=7化为(a -b )2=7,求得a ·b =12,再由a ·b =|a ||b |cos 〈a ,b 〉求得cos 〈a ,b 〉=18.5.已知空间向量a ,b ,c 满足a +b +c =0,|a |=3,|b |=1,|c |=4,则a·b +b·c +c·a 的值为________.6.已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB =AA 1=2,AD =4,E 为侧面AA 1B 1B 的中心,F 为A 1D 1的中点.求下列向量的数量积: (1)BC →·ED 1→;(2)BF →·AB 1→答 案例1.【答案】解:(方法一)连结AD , ∵,AC AD αα⊥⊂,∴AC AD ⊥,在ABD ∆中∵BD AB ⊥, ∴22222AD AB BD a b =+=+,在ACD ∆中∵AC AD ⊥,所以,CD(方法二):22||()CD CA AB BD =++222||||||222CA AB BD CA AB CA BD AB BD =+++⋅+⋅+⋅又∵,,AC AB BD ααα⊥⊂⊂,∴,AC BD AC AB ⊥⊥,又∵AB BD ⊥,∴BD AB ⊥,∴0,0,0CA AB AB BD CA BD ⋅=⋅=⋅=,∴2||CD =222222||||||CA AB BD a b c =++=++,所以,||CD例2.【答案】解:22||()AC AB AD AA ''=++222||||||222AB AD AA AB AD AB AA AD AA '''=+++⋅+⋅+⋅222435243cos90245cos60235cos60=+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯169250201585=+++++=所以,||85AC '=例3.【解析】要求异面直线SM 与BN 所成角的余弦值,只要求SM 与BN 所成的角的余弦值,因此就要求SM BN ⋅以及||||SM BN ⋅,然后再用向量夹角公式求解.【答案】解:设SA a =,SB b =,SC c =,∴12a b b c a c ⋅=⋅=⋅=,∵1()()2SM BN SA SB SN SB ⋅=+⋅-11()()22a b c b =+⋅- 2111()222a c a b b c b =⋅-⋅+⋅-1111111(1)2222222=⨯-+⨯-=-∴12cos ,3||||3SM BN SM BN SM BN -⋅<>===-⋅, 所以,异面直线SM 与BN 所成角的余弦值为23.【说明】设出空间的一个基底后,求数量积SM BN ⋅的时候目标就更加明确了,只要将SM与BN 都化为用基向量表示就可以了。
空间向量的数量积运算》教学设计
空间向量的数量积运算》教学设计教学设计3.1.3 空间向量的数量积运算整体设计本节课在平面向量的夹角和向量长度的概念的基础上,引入了空间向量的夹角和向量长度的概念和表示方法,介绍了空间两个向量数量积的概念、计算方法、性质和运算律,并举例说明利用向量的数量积解决问题的基本方法。
传统的解立体几何题需要有较强的空间想象能力、逻辑推理能力以及作图能力,学生往往由于这些能力的不足造成解题困难。
用向量处理立体几何问题,可使学生克服空间想象力的障碍而顺利解题,为研究立体几何提供了新的思想方法和工具,具有相当大的优越性;而且,在丰富学生思维结构的同时,应用数学的能力也得到了锻炼和提高。
课时分配:1课时教学目标知识与技能:1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法;2.掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律;3.掌握两个向量数量积的主要用途,会用它解决立体几何中的一些简单问题。
过程与方法:1.运用类比方法,经历向量的数量积运算由平面向空间推广的过程;2.引导学生借助空间几何体理解空间向量数量积运算的意义。
情感、态度与价值观:1.培养学生的类比思想、转化思想,培养探究、研讨、综合自学应用能力;2.培养学生空间向量的应用意识。
重点难点教学重点:1.空间向量的数量积运算及其运算律、几何意义;2.空间向量的数量积运算及其变形在空间几何体中的应用。
教学难点:1.空间想象能力的培养,思想方法的理解和应用;2.空间向量的数量积运算及其几何应用和理解。
教学过程引入新课提出问题:已知在正方体ABCD—A′B′C′D′中,E为AA′的中点,点F在线段D′C′上,D′F=FC′,如何确定BE,FD的夹角?活动设计:教师设问:平面向量的夹角问题是如何求得的?是否可将平面内求得两向量的夹角公式推广到空间?公式的形式是否会有所变化?学生活动:回顾平面向量数量积、向量夹角公式;类比猜想空间向量夹角公式的形式。
设计意图:问题的给出,一时之间可能会使学生感到突然,但预计应该会联想到平面向量的夹角公式,由此作一番类比猜想,起到温故知新的作用。
《3.1.3空间向量的数量积运算》教学设计
《3.1.3空间向量的数量积运算》教学设计教学目标:知识与技能目标:知识:1.掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法;2.掌握两个向量的数量积的计算方法,并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题.技能:将立体几何问题转化为向量的计算问题过程与方法目标:1.培养类比等探索性思维,提高学生的创新能力.2.培养学生把空间立体几何问题转化为向量的计算问题的思想.情感与态度目标:1. 获得成功的体验,激发学生学习数学的热情;2. 学习向量在空间立体几何中的应用,感受到数学的无穷魅力.教学重点:两个向量的数量积的计算方法及其应用.教学难点:将立体几何问题转化为向量的计算问题.教辅工具:多媒体课件教学程序设计:一、几个概念1)两个非零向量的夹角的定义0,,,a b a b b a π≤〈〉≤〈〉〈〉规定:这样,两个向量的夹角就被唯一确定了,并且=ba b a b a ⊥=〉〈互相垂直,并记作:与则称如果,2,π,,,,,a b O OA a OB b a AOB a b b ∠〈〉==如图,已知两个非零向量在空间任取一点,作则角叫做向量与的夹角,记作:bABC思考:正三角形ABC 中,,______AB BC 〈〉=度120aOABab2)两个向量的数量积〉〈=⋅⋅〉〈b a b a b a b a b a b a b a b a ,cos ,,,cos ,即记作:的数量积,叫做向量,则已知空间两个非零向量几何意义: a与b的数量积b a⋅等于a 的长度|a |与b 在a的方向上的投影|b |cos ,a b 〈〉的乘积.A BO 1B cos ,b a b 〈〉A BO 1B cos ,b a b 〈〉A BO 1B cos ,b a b 〈〉大于0等于0小于0类比平面向量,说说的几何意义。
a b ⋅①两个向量的数量积是数量,而不是向量.〉〈=⋅⋅〉〈b a b a b a b a b a b a b a b a ,cos ,,,cos ,即记作:的数量积,叫做向量,则已知空间两个非零向量③非零向量④⑤cos ,a b a b a b⋅〈〉=2)两个向量的数量积a b ⊥0a b ⇔⋅=2a a =几个重要结论:②规定:00a ⋅=3)空间向量的数量积满足的运算律1)()()a b a b λλ⋅=⋅3()(a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅)分配律)2)(a b b a ⋅=⋅交换律)量的数量积定义及几何意义等.对个的结论主让例题与练习分析二、课堂练习.________,2,22,22.1所夹的角为则已知bababa-=⋅==2.10,0,0()2)()()()3)()4)()a b ca b a ba b c a b ca b a c b cka b k ba⋅===⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅=⋅==对于空间中任意向量,和,请判断下列说法的对错:)若则若,则若,则135××××ADFCBEACEFDCEFBDEFBAEFADABFEABCD⋅⋅⋅⋅)4()3()2(11 .3)(计算:的中点。
人教版高中数学《空间向量的数量积运算》 公开课教案
§3.1.3空间向量的数量积运算公开课教案教学目标: 知识目标:①掌握空间向量的数量积公式及向量的夹角公式;②运用公式解决立体几何中的有关问题。
能力目标:①比较平面、空间向量,培养学生观察、分析、类比转化的能力;②探究空间几何图形,将几何问题代数化,提高分析问题、解决问题的能力。
情感目标:①通过师生的合作与交流,体现教师为主导、学生为主体的教学模式;②通过空间向量在立体几何中的应用,提高学生的空间想象力,培养学生探索精神和创新意识,让学生感受数学,体会数学美的魅力,激发学生学数学、用数学的热情。
教学重点:空间向量数量积公式及其应用。
教学难点:如何将立体几何问题等价转化为向量问题;在此基础上,通过向量运算解决立体几何问题。
教学方法:采取启发引导、形数转化、反馈评价等方式;学生学法:体现自主探索、观察发现、类比猜想等形式。
授课过程:1.引入:”夹角与长度是两个最基本的几何量,而数量积公式是解决这两个问题的主要工具”.现在,请你类比平面向量的数量积公式,归纳出与空间向量的数量积的相关知识,完成下表。
2.新知归纳:(学生分小组自行探索填表,教师总结)OABaab b(1).两个空间向量数量积的定义:因为空间任意的两个向量总是共面的,所以对于两个非零向量,a b,总可以在空间中任取一点O ,,,OA a OB b ==使从而可知AOB a b ∠ 角为向量与的夹角,,a b 〈〉 记作:, 0,a b π≤〈〉≤范围:,,a b b a 〈〉〈〉=, ,,2a b a b a b π〈〉=⊥ 特别的:时则称与互相垂直,并记作:注意:,,,OA OB OA OB OA OB π<->=<->=-<>而cos ,,,cos ,a b a b a b a b a b a b a b 〈〉⋅⋅=〈〉叫做空间两向量的数量积,记作:即(2)空间向量的数量积的几何意义:c o s ,.a ba ab a b a b ⋅〈〉数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积 (3)空间向量的数量积的主要性质:设,a b是两个非零向量①0a b a b ⊥⇔⋅=数量积为零是判定两非零向量垂直的充要条件②,;,a ba b a b a b a b a b ⋅=⋅⋅=-⋅当与同向时当向量与反向时2,a a a a ⋅== 特别地或用于计算向量的模③cos ,a ba b a b⋅〈〉=⋅用于计算向量的夹角(4)空间向量数量积满足的运算律①交换律:a b b a ⋅=⋅ ; ②对数乘的结合律:()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅③分配律:()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅注意:数量积不满足结合律,即:()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅αlAO P3.巩固与应用:22222.10,0,0()2),()3)()()4),()5)()a b a b a b a c b c p q p q k a b k a b p q p q p q ⋅===⋅=⋅=⋅=⋅⋅==+⋅-=- 练习 1判断下列命题真假:)若则则则2.,,2,________.a b a b a b ==⋅=已知则所夹的角为4,3,5,90,60,(1),,;(2)(3)例1.已知在平行六面体中,表示求的长;求异面直线与所成角的余弦值.ABCD A B C D AB AD AA BAD BAA DAA AB AD AA AC AC AC BA ''''-=='''=∠=︒∠=∠=︒'''''[析]:明确应用向量方法解决空间问题的基本方法。
3.1.3 空间向量的数量积运算
=13
������������
+
1 3
������������
+
1 3
������������ .
∴������������·(������������ + ������������ + ������������)=
1 3
������������
+
1 3
������������
+
1 3
������������
思路分析求出每个向量的模及其夹角,然后按照数量积的定义求 解,必要时,对向量进行分解.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
解(1)������������ ·������������=|������������||������������|cos <������������, ������������>
例 2 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,求向量������������1与������������的夹角 的大小.
思路分析求两个向量的夹角,可以把其中一个向量平移到与另一
个向量的起点重合,从而转化为求平面角的大小;也可以用两个向
量的数量积定义a·b=|a||b|cos
<a,b>,求出cos
因 所为 以△向D量1A������C������1为与等���������边���的三夹角角形为,所π3.以∠D1AC=π3,即<������������1, ������������>=π3. (方法 2)设正方体的棱长为 1,
则������������1 ·������������=(������������ + ������������1)·(������������ + ������������)
3.1.3空间向量的数量积运算(优秀经典公开课比赛教案)
3.1.3空间向量的数量积运算一、教材分析:“3.1空间向量及其运算”包括空间向量的定义、空间向量的加减运算、空间向量的数乘运算、空间向量的数量积运算、空间向量的正交分解及其坐标表示、空间向量运算的坐标表示等内容。
在学生掌握了空间向量加法运算的基础上,学习空间向量的数乘运算应无困难。
教科书在本小节首先类比平面向量的数乘运算引入空间向量的数乘运算以及数乘运算的分配律和结合律。
进而分别给出了空间向量共线和共面的定义,并进一步研究了空间向量共线和共面的问题。
二、教学目标:1、掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法;2、掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律;3、掌握两个向量数量积的主要用途,会用它解决立体几何中的一些简单问题.三、教学重点:两个向量的数量积的计算方法及其应用.四、教学难点:向量运算在几何证明与计算中的应用.五、教学准备1、课时安排:1课时2、学情分析:3、教具选择:六、教学方法:七、教学过程1、自主导学:2、合作探究(一)、复习引入1.复习平面向量数量积定义:2. 平面向量中有两个平面向量的数量积,与其类似,空间两个向量也有数量积.(二)、新课讲授1. 两个非零向量夹角的概念:已知两个非零向量a 与b ,在空间中任取一点O ,作OA =a ,OB =b ,则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角,记作<a ,b >.说明:⑴规定:0≤<a ,b >π≤. 当<a 、b >=0时,a 与b同向; 当<a 、b >=π时,a 与b 反向;当<a 、b >=2π时,称a 与b 垂直,记a ⊥b . ⑵ 两个向量的夹角唯一确定且<a ,b >=<b ,a>.⑶ 注意:①在两向量的夹角定义中,两向量必须是同起点的.②<a ,b >≠(a ,b )2. 两个向量的数量积:已知空间两个向量a 与b ,|a ||b |cos <a 、b >叫做向量a 、b 的数量积,记作a ·b ,即 a ·b =|a ||b |cos <a ,b >. 说明:⑴零向量与任一向量的数量积为0,即0·a =0;⑵符号“· ”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替. 几何意义:已知向量AB =a 和轴l ,e 是l 上和l 同方向的单位向量.作点A 在l 上的射影A ′,点B 在l 上的射影B ′,则''A B 叫做向量AB 在轴l 上或在e 方向上的正射影,简称射影.可以证明:''A B =|AB |cos <a ,e >=a ·e .说明:一个向量在轴上的投影的概念,就是a ·e 的几何意义.3. 空间数量积的性质:根据定义,空间向量的数量积和平面向量的数量积一样,具有以下性质:⑴a ·e =|a |·cos <a ,e >; ⑵a ⊥b ⇔a ·b =0⑶当a 与b 同向时,a ·b =|a |·|b |; 当a 与b 反向时,a ·b =-|a |·|b |.特别地,a ·a =|a |2或|a |=2a a a ⋅=.⑷cos <a ,b >=a ba b ⋅⋅; ⑸|a ·b |≤|a |·|b |.4. 空间向量数量积的运算律:与平面向量的数量积一样,空间向量的数量积有如下运算律:⑴(λa )·b =λ(a ·b )=a ·(λb ) (数乘结合律); ⑵ a ·b =b ·a (交换律);⑶a ·(b +c )=a ·b +a ·c (分配律)说明:⑴(a ·b )c ≠a (b ·с);⑵有如下常用性质:a 2=|a |2,(a +b )2=a 2+2a ·b +b 2例题讲解:课本91页:例2、例33、巩固训练:课本92页:练习4、拓展延伸:5、师生合作总结:(1)空间向量夹角和模的概念及表示方法(2)两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律;八、课外作业:课本97页:习题3.1 A组 4九、板书设计:。
教学设计1:3.1.3 空间向量的数量积运算
3.1.3空间向量的数量积运算教学目标:1.掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法;2.掌握两个向量的数量积的计算方法,并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题。
教学重、难点:空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化。
教具准备:与教材内容相关的资料。
教学设想:激发学生的学习热情,激发学生的求知欲,培养严谨的学习态度,培养积极进取的精神.教学过程一.复习引入平面向量的数量积及运算律.二.思考分析2008年5月12日,四川汶川发生特大地震.为了帮助地震灾区重建家园,某施工队需要移动一个大型的均匀的正三角形面的钢筋混凝土构件.已知它的质量为5 000 kg,在它的顶点处分别受大小相同的力F1,F2,F3并且每两个力之间的夹角都是60°(其中g=10 N/kg).问题1:向量F1和-F2夹角为多少?提示:120°.问题2:每个力最小为多少时,才能提起这块混凝土构件?提示:每个力大小为|F0|,合力为|F|,∴|F|2=(F1+F2+F3)·(F1+F2+F3)=(F1+F2+F3)2=6|F0|2,∴|F|=6|F0|,∴|F0|=5 00066×10=2 50063×10=25 00063(N).三.抽象概括1.空间向量的夹角2.空间向量的数量积定义已知两个非零向量a,b,则|a|·|b|·cos〈a,b〉叫做a,b的数量积,记作a·b运算律数乘向量与向量数量积的结合律(λa)·b=λ(a·b)交换律a·b=b·a分配律a·(b+c)=a·b+a·c两个向量数量积的性质(1)若a,b是非零向量,则a⊥b⇔a·b=0(2)若a与b同向,则a·b=|a|·|b|若反向,则a·b=-|a|·|b|特别地:a·a=|a|2或|a|=a·a(3)若θ为a,b的夹角,则cos θ=a·b|a|·|b|(4)|a·b|≤|a|·|b|应用(1)可以求向量的模或夹角,进而求两点间的距离或两直线所成角(2)可证明两非零向量垂直,进而证明两直线垂直1.两个非零向量才有夹角,当两个非零向量同向共线时,夹角为0,反向共线时,夹角为π.2.两个向量的数量积是数量,它可正、可负、可为零.3.数量积a·b的几何意义是:a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积.四.例题分析及练习[例1]如图所示,已知正四面体OABC的棱长为1,点E,F分别是OA,OC的中点.求下列向量的数量积:(1) OA·OB;(2) EF·BC;(3)( OA+OB)·(CA+CB).[思路点拨]根据数量积的定义进行计算,求出每组向量中每个向量的模以及它们的夹角,注意充分结合正四面体的特征.[精解详析](1)正四面体的棱长为1,则|OA|=|OB|=1.△OAB为等边三角形,∠AOB =60°,于是:OA·OB=|OA||OB|cos〈OA,OB〉=|OA||OB|cos∠AOB=1×1×cos 60°=1 2.(2)因为E,F分别是OA,OC的中点,所以EF 平行且等于12AC ,于是E EF ·BC =|EF ||BC |cos 〈EF ,BC 〉 =12|CA |·|BC |cos 〈AC ,BC 〉 =12×1×1×cos 〈CA ,CB 〉 =12×1×1×cos 60°=14. (3)( OA +OB )·(CA +CB )=(OA +OB )·(OA -OC +OB -OC ) =(OA +OB )·(OA +OB -2OC )=OA 2+OA ·OB -2OA ·OC +OB ·OA +OB 2-2OB ·OC =1+12-2×12+12+1-2×12=1.[感悟体会] 在几何体中进行向量的数量积运算,要充分利用几何体的性质,把待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进行运算. 训练题组11.如图,已知空间四边形每条边和对角线长都等于a ,点E ,F ,G 分别是AB ,AD ,DC 的中点,则下列向量的数量积等于a 2的是( )A .2BA ·ACB .2AD ·BDC .2FG ·CAD .2EF ·CB解析:2BA ·AC =-2 AB ·AC =-2a 2cos 60°=-a 2,2 AD ·BD =2DA ·DB =2a 2cos 60°=a 2,2FG ·CA =AC ·CA =-a 2,2EF ·CB =BD ·CB =-BD ·BC =-12a 2.答案:B2.已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB =AA 1=2,AD =4,E 为侧面AA 1B 1B 的中心,F 为A 1D 1的中点.求下列向量的数量积:(1) BC ·1ED ; (2) BF ·1AB .解:如图所示,设AB =a ,AD =b ,1AA =c , 则|a |=|c |=2,|b |=4,a ·b =b ·c =c ·a =0.(1) BC ·1ED =BC ·(1EA +11A D )=b ·[12(c -a )+b ]=|b |2=42=16. (2) BF ·1AB =(1BA +1A F )·(AB +1AA )=(c -a +12b )·(a +c )=|c |2-|a |2=22-22=0.[例2] 如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,∠ABC =90°,AB =BC =1,AA 1=2,求异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值.[思路点拨] 先求1BA ·AC ,再由夹角公式求cos 〈1BA ,AC 〉,并由此确定异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值.[精解详析] ∵1BA =BA +1AA =BA +1BB ,AC =BC -BA ,且BA ·BC =1BB ·BA =1BB ·BC =0,∴1BA ·AC =-2BA =-1.又|AC |=2,|1BA |=1+2=3, ∴cos 〈1BA ,AC 〉=1BA ·AC|1BA ||AC |=-16=-66,则异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值为66. [感悟体会] 利用数量积求异面直线所成角的余弦值的方法:训练题组23.已知a ,b 是异面直线,A ∈a ,B ∈a ,C ∈b ,D ∈b ,AC ⊥b ,BD ⊥b ,且AB =2,CD =1,则a 与b 所成的角是( )A .30°B .45°C .60°D .90°解析:设〈AB ,CD 〉=θ,∵AB ·CD =(AC +CD +DB )·CD =|CD |2=1,∴cos θ=AB ·CD |AB ||CD |=12.又θ∈[0,π],∴θ=60°.答案:C4.已知空间四边形OABC 各边及对角线长相等,E ,F 分别为AB ,OC 的中点,求OE 与BF 所成角的余弦值.解:如图,设OA =a ,OB =b ,OC =c ,且|a |=|b |=|c |=1,易知∠AOB =∠BOC =∠AOC =π3,则a ·b =b ·c =c ·a =12.因为OE =12(a +b ),BF =12c -b ,|OE |=|BF |=32,∴OE ·BF =12(a +b )·(12c -b )=14a ·c +14b ·c -12a ·b -12|b |2=-12.∴cos 〈OE ,BF 〉=OE ·BF |OE |·|BF |=-23.∵异面直线所成的角为直角或锐角,∴异面直线OE 与BF 所成角的余弦值为23.[例3] 如图所示,平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,从同一顶点出发的三条棱的长都等于1,且彼此的夹角都是60°,求对角线AC 1和BD 1的长.[思路点拨] 把向量AC 1和BD 1用已知向量AB ,AD ,AA 1 表示出来,再用数量积的定义运算.[精解详析] ∵AC 1=AB +AD +AA 1,∴|AC 1|2=AC 12=(AB +AD +AA 1)2 =AB 2+AD 2+AA 12+2(AB ·AD +AB ·AA 1+AD ·AA 1)=1+1+1+2(cos 60°+cos 60°+cos 60°)=6.∴|AC 1|=6,即对角线AC 1的长为 6. 同理,|BD 1|2=BD 12=(AD +AA 1-AB )2=AD 2+AA 12+AB 2+2(AD ·AA 1-AB ·AA 1-AD ·AB )=1+1+1+2(cos 60°-cos 60°-cos 60°)=2.∴|1BD |=2,即对角线BD 1的长为 2.[感悟体会] 求两点间的距离或某条线段的长度的方法:先将此线段用向量表示,然后用其他已知夹角和模的向量表示此向量,最后利用|a |2=a ·a ,通过向量运算去求|a |,即得所求距离. 训练题组35.如图,已知P A ⊥平面ABC ,∠ABC =120°,P A =AB =BC =6,则PC 等于( ) A .6 2B .6C .12D .144解析:∵PC =PA +AB +BC ,∴PC 2=PA 2+AB 2+BC 2+2AB ·BC +2PA ·AB +2PA ·BC =36+36+36+2×6×6×cos 60°+2×6×6×cos 90°+2×6×6×cos 90°=144, ∴|PC |=12. 答案:C6.在平行四边形ABCD 中,AB =AC =1,∠ACD =90°,将它沿对角线AC 折起,使AB 与CD 成60°角,求B ,D 间的距离.解:∵∠ACD =90°,∴AC ·CD =0,同理,AC ·BA =0. ∵AB 与CD 成60°角,∴〈BA ,CD 〉=60°或120°.又BD =BA +AC +CD ,∴BD ·BD =|BA |2+|AC |2+|CD |2+2BA ·AC +2BA ·CD+2AC ·CD =3+2×1×1×cos 〈BA ,CD 〉=⎩⎨⎧4 〈BA ,CD 〉=60°,2〈BA ,CD 〉=120°,∴|BD |=2或2,即B ,D 间距离为2或 2.[例4] 已知空间四边形ABCD 中,AB ⊥CD ,AC ⊥BD ,求证:AD ⊥BC .[思路点拨] 先将已知条件转化为AB ·CD =0,AC ·BD =0,再证明AD ·BC =0.[精解详析]∵AB ⊥CD ,AC ⊥BD , ∴AB ·CD =0,AC ·BD =0. ∴AD ·BC =(AB +BD )·(AC -AB ) =AB ·AC +BD ·AC -AB 2-AB ·BD =AB ·AC -AB 2-AB ·BD=AB ·(AC -AB -BD )=AB ·DC =0. ∴AD ⊥BC ,从而AD ⊥BC .[感悟体会] 用向量法证明垂直的方法:把未知向量用已知向量来表示,然后通过向量运算进行计算或证明. 训练题组47.已知向量a ,b 是平面α内两个不相等的非零向量,非零向量c 在直线l 上,则c ·a =0,且c ·b =0是l ⊥α的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件 解析:若l ⊥平面α,则c ⊥a ,c ·a =0,c ⊥b ,c ·b =0; 反之,若a ∥b ,则c ⊥a ,c ⊥b ,并不能保证l ⊥平面α. 答案:B8.已知空间四边形OABC 中,∠AOB =∠BOC =∠AOC ,且OA =OB =OC ,M ,N 分别是OA ,BC 的中点,G 是MN 的中点. 求证:OG ⊥BC .证明:连接ON ,设∠AOB =∠BOC =∠AOC =θ,又设OA =a ,OB =b ,OC =c ,则|a |=|b |=|c |.又OG =12(OM +ON )=12[12OA +12(OB +OC )]=14(a +b +c ),BC =c -b ,∴OG ·BC =14(a +b +c )·(c -b )=14·(a ·c -a ·b +b ·c -b 2+c 2-b ·c )=14(|a |2·cos θ-|a |2·cos θ-|a |2+|a |2)=0. ∴OG ⊥BC ,即OG ⊥BC . 五.课堂小结与归纳1.求两向量的数量积时,关键是搞清楚两个向量的夹角.在求两个向量的夹角时,可用平移向量的方法,把一个向量平移到与另一个向量的起点相同.2.利用向量的数量积求两点间的距离,可以转化为求向量的模的问题.其基本思路是将此向量表示为几个已知向量的和的形式,求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模,利用公式|a |=a ·a 求解即可.3.利用空间向量的数量积解决几何中的夹角垂直关系,其思路是将直线的方向向量用已知向量表示,然后进行数量积的运算. 六.当堂训练1.已知向量a 和b 的夹角为120°,且|a |=2,|b |=5,则(2a -b )·a =( ) A .12 B .8+13 C .4 D .13解析:(2a -b )·a =2a 2-b ·a =2|a |2-|a ||b |cos 120°=2×4-2×5×(-12)=13.答案:D2.已知|a |=1,|b |=2,且a -b 与a 垂直,则a 与b 的夹角为( ) A .60°B .30°C .135°D .45°解析:∵a -b 与a 垂直,∴(a -b )·a =0,∴a ·a -a ·b =|a |2-|a |·|b |·cos 〈a ,b 〉=1-1·2·cos 〈a ,b 〉=0, ∴cos 〈a ,b 〉=22.∵0°≤〈a ,b 〉≤180°,∴〈a ,b 〉=45°. 答案:D3.已知a ,b 是异面直线,a ⊥b ,e 1,e 2分别为取自直线a ,b 上的单位向量,且a =2e 1+3e 2,b =ke 1-4e 2,a ⊥b ,则实数k 的值为( ) A .-6B .6C .3D .-3解析:由a ⊥b ,得a ·b =0,∴(2e 1+3e 2)·(ke 1-4e 2)=0. ∵e 1·e 2=0,∴2k -12=0,∴k =6. 答案:B4.设A ,B ,C ,D 是空间不共面的四点,且满足AB ·AC =0,AC ·AD =0,AB ·AD =0,则△BCD 是( ) A .钝角三角形B .锐角三角形C .直角三角形D .不确定解析:BC ·BD =(AC -AB )·(AD -AB )=AC ·AD -AC ·AB -AB ·AD +AB 2=AB 2>0.同理,可证CB ·CD >0,DB ·DC >0. ∴三角形的三个内角均为锐角. 答案:B5.已知|a |=13,|b |=19,|a +b |=24,则|a -b |=________.解析:|a +b |2=a 2+2a ·b +b 2=132+2a ·b +192=242,∴2a ·b =46,|a -b |2=a 2-2a ·b +b 2=530-46=484,故|a -b |=22. 答案:226.如图,在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB =4,AD =3,AA 1=5,∠BAD =90°,∠BAA 1=∠DAA 1=60°,则对角线AC 1的长度等于________.解析:1AC 2=(AB +AD +1AA )2=AB 2+AD 2+1AA 2+2AB ·AD +2AB ·1AA +2AD ·1AA =16+9+25+2×4×3×cos 90°+2×4×5×cos 60°+2×3×5×cos 60° =50+20+15=85, ∴|1AC |=85. 答案:857.如图,正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,底面边长为 2.(1)设侧棱长为1,求证:AB 1⊥BC 1; (2)设AB 1与BC 1的夹角为π3,求侧棱的长.解:(1) 1AB =AB +1BB ,1BC =1BB +BC .∵BB 1⊥平面ABC ,∴1BB ·AB =0,1BB ·BC =0.又△ABC 为正三角形, ∴〈AB ·BC 〉=π-〈BA ·BC 〉=π-π3=2π3.∵1AB ·1BC =(AB +1BB )·(1BB +BC )=AB ·1BB +AB ·BC +1BB 2+1BB ·BC =|AB |·|BC |·cos 〈AB ,BC 〉+1BB 2 =-1+1=0, ∴AB 1⊥BC 1.(2)结合(1)知1AB ·1BC =|AB |·|BC |·cos 〈AB ,BC 〉+1BB 2=1BB 2-1. 又|1AB |=AB 2+1BB 2=2+1BB 2=|1BC |,∴cos 〈1AB ,1BC 〉=1BB 2-12+1BB 2=12,∴|1BB |=2,即侧棱长为2.8.在棱长为1的正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中,E ,F 分别是D ′D ,DB 的中点,G 在棱CD 上,CG =14CD ,H 为C ′G 的中点.(1)求EF ,C ′G 所成角的余弦值; (2)求FH 的长.解:设AB =a ,AD =b ,AA '=c , 则a·b =b·c =c·a =0,|a |2=a 2=1,|b |2=b 2=1,|c |2=c 2=1.(1)∵EF =ED +DF -12c +12(a -b )=12(a -b -c ),'C G ='C C +CG =-c -14a ,∴EF ·'C G =12(a -b -c )·(-c -14a )=12(-14a 2+c 2)=38,|EF |2=14(a -b -c )2=14(a 2+b 2+c 2)=34,|'C G |2=(-c -14a )2=c 2+116a 2=1716,∴|EF |=32,|'C G |=174,cos 〈EF ,'C G 〉=EF ·'C G |EF ||'C G |=5117, 所以EF ,C ′G 所成角的余弦值为5117. (2)∵FH =FB +BC +'CC +'C H =12(a -b )+b +c +12'C G=12(a -b )+b +c +12(-c -14a ) =38a +12b +12c , ∴|FH ―→|2=(38a +12b +12c )2=964a 2+14b 2+14c 2=4164, ∴FH 的长为418.。
《3.1.3 空间向量的数量积运算(2)》教学案5
《3.1.3 空间向量的数量积运算(2)》教学案5一、教学目标①向量的数量积运算②利用向量的数量积运算判定垂直、求模、求角二、教学重点①向量的数量积运算②利用向量的数量积运算判定垂直、求模、求角三、教学方法练习法,纠错法,归纳法四、教学过程:考点一:向量的数量积运算(一)、知识要点:1)定义:① 设<,a b r r >=θ,则a b =r r g (θ的范围为 )②设11(,)a x y =r ,22(,)b x y =r 则a b =r r g 。
注:①a b r r g 不能写成ab r r ,或a b ⨯r r ②a b r r g 的结果为一个数值。
2)投影:b r 在a r 方向上的投影为 。
3)向量数量积运算律:①a b b a =r r r r gg ②()()()a b a b a b λλλ==r r r r r r g g g ③()a b c a c b c +=+r r r r r r r g g g注:①没有结合律()()a b c a b c =r r r r r r g g g g二)例题讲练1、下列命题:①若0a b =r r g ,则a r ,b r 中至少一个为0r ②若a r 0≠r 且a b ac =r r r r gg ,则b c =r r ③()()a b c a b c =r r r r r r g g g g ④22(32)(32)94a b a b a b +-=-r r r r r r g中正确有个数为( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2、已知ABC ∆中,A ,B ,C 所对的边为a,b,c ,且a=3,b=1,C=30°,则BC CA u u u r u u u r g= 。
3、若a r ,b r ,c r 满足0a b c ++=r r r r ,且3,1,4a b c ===r r r ,则a b b c a c ++r r r r r r g g g = 。
高中数学《3.1.3 空间向量的数量积(1)》教案 新人教A版选修2-1
向量的数量积(2)一、教学目标:①向量的数量积运算②利用向量的数量积运算判定垂直、求模、求角二、教学重点:①向量的数量积运算②利用向量的数量积运算判定垂直、求模、求角三、教学方法:练习法,纠错法,归纳法四、教学过程:考点一:向量的数量积运算(一)、知识要点:1)定义:① 设<,a b >=θ,则a b = (θ的范围为 )②设11(,)a x y =,22(,)b x y =则a b = 。
注:①a b 不能写成ab ,或a b ⨯ ②a b 的结果为一个数值。
2)投影:b 在a 方向上的投影为 。
3)向量数量积运算律:①a b b a = ②()()()a b a b a b λλλ== ③()a b c a c b c +=+注:①没有结合律()()a b c a b c =二)例题讲练1、下列命题:①若0a b =,则a ,b 中至少一个为0②若a 0≠且a b a c =,则b c = ③()()a b c a b c =④22(32)(32)94a b a b a b +-=-中正确有个数为 ( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2、已知ABC ∆中,A ,B ,C 所对的边为a,b,c ,且a=3,b=1,C=30°,则BC CA = 。
3、若a ,b ,c 满足0a b c ++=,且3,1,4a b c ===,则a b b c ++= 。
4、已知2a b ==,且a 与b 的夹角为3π,则a b +在a 上的投影为 。
考点二:向量数量积性质应用一)、知识要点: ①0a b a b ⊥⇔=(用于判定垂直问题)②2a a =(用于求模运算问题) ③cos a ba b θ=(用于求角运算问题)二)例题讲练 1、已知2a =,3b =,且a 与b 的夹角为2π,32c a b =+,d ma b =-,求当m 为何值时c d ⊥ 2、已知1a =,1b =,323a b -=,则3a b += 。
3.1.3空间向量的数量积运算教学设计
通过学习, 我们可以利用向量数量积解决立体几何中的以下问题:
1、证明两直线垂直;
2、求两点之间的距离或线段长度;
3、求两直线所成角.
必做题:P92 练习1、2、3
选做题: A组 1、2、3、4
学生口答
类比平面向量的数量积的有关概念、计算方法和运算律推导出空间向量的数量积的有关概念、计算方法和运算律
旧时衙门里草拟文牍、掌管档案的幕僚,其地位比一般属吏高。《老残游记》第四回:"像你老这样抚台央出文案老爷来请进去谈谈,这面子有多大!"夏衍《秋瑾传》序幕:"将这阮财富带回衙门去,要文案给他补一份状子。"
文案音译
文案英文:copywriter、copy、copywriting
文案拼音:wénàn
现代文案的概念:
以问题的形式引导学生回顾复习前面所学的平面向量的相关知识,为学习好空间向量做好铺垫。
明确空间向量夹角的概念
让学生对空间向量数量积有更深的理解
力求改变单一、被动的学习方式,让学生成为学习的主人,给他们提供一个自主探索学习的机会.
让学生对两个问题进行对比分析,强化对空间向量的数量积运算的理解.有助于教学目标的实现,
教学重点
空间向量数量积运算
教学难点
如何将立体几何问题等价转化为向量问题
板
书
设
计
§3.1.3空间向量的数量积运算
1.两个向量的夹角
3.数量积的性质
例题解答
2.两个向量的数量积
4.数量积满足的运算律
教学反思
舒兰一中构建高效课堂教学设计案
教学环节及时间分配
教师活动
(教学内容的呈现及教学方法)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
3.1.3-空间向量的数量积运算教案。
高二年级数学学
科
课题§3.1.3空间向量的数量积运算
授课时间2012 年 12月 24日第 1 课时授课类型新授课
教学目标知识与技能:①掌握空间向量的数量积公式及向量的夹角公式;
②运用公式解决立体几何中的有关问题。
过程与方法:①比较平面、空间向量,培养学生观察、分析、类比转
化的能力;
②探究空间几何图形,将几何问题代数化,提高分析问题、
解决问题的能力。
情感态度与价值观:①通过师生的合作与交流,体现教师为主导、学生为主
体的教学模式;
②通过空间向量在立体几何中的应用,
提高学生的空间想象力,培养学生探索
精神和创新意识,让学生感受数学,体
会数学美的魅力,激发学生学数学、用
数学的热情。
教学重点空间向量数量积公式及其应用
教学难点
如何将立体几何问题等价转化为向量问题;在此基础上,通过向量运算解决立体几何问题。
板书设计§3.1.3空间向量的数量积运算
1. 两个向量
的夹角
3.数量积的
性质
例
题解答2. 两个向量
的数量积
4.数量积满
足的运算律
教学反思
教学
环节及时间分配
教学过程
(教学内容的呈现及教学方法)
学生活动
(学习活动的设
计)
设计意
图
复习引入3分
合作探究8分
一、回顾平面向量数量积的相关内容:
①平面向量的夹角;
②空间向量的数量积;
二、讲授新课
1)两个向量的夹角的定义
2)两个向量的数量积
>
<
=
⋅
⋅
>
<
b,a
cos
b
a
b
a
.b
a
b,a
b,a
cos
b
a
,b,a
即:
记作
的数量积,
叫做
则
已知两个非零向量
注意:
①两个向量的数量积是数量,而不是向量;
②零向量与任意向量的数量积等于零;
思考:类比平面向量的几何意义,空间中
的几何意思是什么?
答:空间中的几何意义是a的长度|a|与
在b的方向上的投影|b|cos θ的乘积.
学生
口答
类比
平面
向量
的数
量积
的有
关概
念、
计算
方法
和运
算律
推导
出空
间向
以问
题的
形式
引导
学生
回顾
复习
前面
所学
的平
面向
量的
相关
知
识,
为学
习好
空间
向量
做好
铺
垫。
明确
空间
向量
O
A
B
a
a
b b
〉
〈
∠
=
=
b
a
b
a
AOB
b
OB
a
OA
O
b
a
,
,
,
.
,
记作:
的夹角,
与
叫做向量
则角
作
,
在空间任取一点
量
如图,已知两个非零向
〉
〈
〉
〈
≤
〉
〈
≤
a
b
b
a
b
a
,
,
,
=
被唯一确定了,并且
的夹角就
在这个规定下,两向量
范围:π
b
a
b
a
b
a⊥
=
〉
〈互相垂直,并记作:
与
则称
如果,
2
,
π
b
a⋅
b
a⋅
b
a⋅
三、练习巩固
2.若a ,b 均为非零向量,则a ·b =|a ||b |是a 与b 共线的( )
A .充分不必要条件
B .必要非充分条件
C .充要条件
D .既非充分也非必要条件
3)空间向量的数量积性质
对于非零向量 有:
注意:
①性质2)是证明两向量垂直的依据; ②性质3)是求向量的长度(模)的依据;
4)空间向量的数量积满足的运算律
量的数量积的
有关概念、计算方法
和运算律
结合复习过的知
识,
学生探究讨论
夹角
的概
念 让学生对空间向量
数量积有更深的理
解 力求改变
单一、被动的学习方式,
让学b a ,a
a a
b a b a e a a e a ⋅==⋅⇔⊥〉〈=⋅2
)30)2,cos )1分配律))交换律)
()(3()2)()()1c a b a c b a a b b a b a b a ⋅+⋅=+⋅⋅=⋅⋅=⋅λλ1.2
22,,22
a b a b ==
⋅=-已知,则a b 与的夹角大小为_____.
练习强化6分钟注意:数量积不满足结合律
思考:
典例分析
1.已知a,b均为单位向量,它们的夹角为60°,
那么|a+3b|等于()
A.7
B.10
C.13 D.4
学生
探究
交流
讨
论。
结合
平面
向量
的学
习,
让学
生自
生成
为学
习的
主
人,
给他
们提
供一
个自
主探
索学
习的
机
会.
让学
生对
两个
问题
进行
对比
分
)
(
)c
b
a
c
b
a⋅
⋅
≠
⋅
⋅
(
)
(
,
b
)
3
)
(
)
(
)
(
)
2
)
(
,
1
.
1
b
k
a
k
a
c
b
a
c
b
a
c
b
a
b
b
a
=
=
•
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
•
=
⋅
则
则
若
)
判断真假:
点拨提升6分钟3.如图所示,已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA
=AB=BC=6,则PC等于
4、如图所示,已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面
ABCD是菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°.
求证:CC1⊥BD.
(第3题图)(第4题图)
四、课堂小结
通过学习, 我们可以利用向量数量积解决立体几
何中的以下问题:
1、证明两直线垂直;
2、求两点之间的距离或线段长度;
3、求两直线所成角.
五、作业
必做题:P92 练习1、2、3
选做题: A组 1、2、3、4
学、
探究
对学
生可
能出
现的
问
题,
组织
学生
讨
论、
交
流、
纠正
类比
于平
面向
量,
析,
强化
对空
间向
量的
数量
积运
算的
理
解.
空间向量又有哪些性质及满足哪些运算律?
学生分组讨论、纠正、争辩,合作
能力提升15分钟交流
交流
问
题,
给每
一个
学生
表现
个人
的机
会。
学生
板演
3、
4,
注重
不同
层次
的题
目,
层层
递
进,
不断
提高
学生
的能
力。
不仅
巩固
新学
的知
识,
而且
让不
同层
次的
学生
得到
总结评价2步
骤。
学生
完成
鼓励
学生
先尝
试分
析。
学
生展
示
应用
整
不同
的收
获.
通过
典型
例题
让学
生理
解本
节的
知识
点
分钟
布置作业合,
强化
新知
学生
总结
归纳
培养
学生
总结
归纳
的能
力
使不
同的
学生
得到
不同
的锻
炼
所学
知识作业
可以
反映
学生
对本
节知
识的
掌握
程
度。
可根
据作
业情
况,
强化
训
练。