第9讲概率统计模型
概率论中几种概率模型方法总结
○高校讲坛○
ＳＣＩＥＮＣＥ ＆ ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ
２００８ 年 第 １１ 期
概率论中几种概率模型方法总结
徐寅生 （许昌学院数学科学学院 河南 许昌 ４６１０００）
【摘 要】概率论中几种常用的概率模型是古典概型、几何概型、贝努里概型．本文对概率论中几种概率模型方法进行了总结． 【关键词】概率模型方法； 概率论； 概率计算
关于求“ｎ 重贝努里试验中至少发生一次”的概率．“ｎ 次 试 验 中 至
０
少发生一次”， 它的对立事件是“ｎ 次试验全部没有发生”．由 Ｐｎ （０）＝Ｃｎ ｐ
０ｎ ｎ
ｑ ＝ｑ 根据相互对立事件的概率之和为 １， 可得 Ｐ｛至少发生一次｝＝１－ ｑ
ｎ ，同理 Ｐ｛至少不发生一次｝＝１－ ｐｎ． 例 ６ 一个学生在罚球线投篮的命中率为 ０．２， 问： （ １） 该生独立进行 ２５ 次投篮恰有 １０ 次命中的概率是多少？ （ ２） 至
例 ７ 某人有一串 ｍ 把外形相同的钥匙， 其中只有一把能打开家 门， 有一天该人酒醉后回家， 下意识地每次从 ｍ 把钥匙中随便拿一只 去开门， 问该人在第 ｋ 次才把门打开的概率多大？
解： 因为每把钥匙试用后不做记号又放回， 所以每把被选中的概 率为 １ ， 由独立性得
ｍ Ｐ（第 ｋ 次才把门打开）＝ １ （１－ １ ）ｋ－１．
少有 １ 次命中的概率是多少？
解 ： 设 Ａ＝｛投 篮 命 中｝， 则 Ｐ（Ａ）＝ｐ＝０．２，Ａ ＝｛投 篮 不 命 中｝， 则 Ｐ（Ａ ）＝
ｑ＝０．８．
１０
１０
１５
（ １） 依 题 意 ， ｎ＝２５，ｋ＝１０，由 公 式 有 Ｐ２５（ １０） ＝Ｃ２５ ×０．２ ×０．８ ≈０．１８
概率统计数学模型
概率统计数学模型在数学领域，概率统计是一个非常重要的分支，它涉及到各种随机现象的数学描述和统计分析。
概率统计数学模型则是这些分析的基础，它能够准确地描述和预测各种随机现象的结果。
一、概率统计数学模型的基本概念概率统计数学模型是建立在随机试验基础上的数据分析方法。
在概率论中，随机试验的结果通常被视为不可预测的，但可以通过概率分布来描述它们。
而统计方法则是对数据进行收集、整理、分析和推断的方法，它依赖于概率论的知识。
二、概率统计数学模型的应用概率统计数学模型在各个领域都有广泛的应用，例如在金融领域中，它可以帮助我们预测股票价格的波动；在医学领域中，它可以帮助我们理解疾病的传播方式；在工程领域中，它可以帮助我们优化设计方案。
三、概率统计数学模型的建立过程建立概率统计数学模型通常包括以下几个步骤：1、确定研究问题：首先需要明确研究的问题是什么，以及我们想要从中获得什么样的信息。
2、设计随机试验：针对研究问题，设计合适的随机试验，以便收集数据。
3、收集数据：通过试验或调查等方式收集数据，并确保数据的准确性和可靠性。
4、分析数据：利用统计分析方法对收集到的数据进行处理和分析，提取有用的信息。
5、建立模型：根据分析结果，建立合适的概率统计模型，以描述数据的分布规律和预测未来的趋势。
6、验证模型：对建立的模型进行验证，确保其准确性和适用性。
7、应用模型：将建立的模型应用于实际问题的解决和预测中。
概率统计数学模型是处理和分析随机现象的重要工具，它在各个领域都有广泛的应用前景。
通过建立合适的概率统计模型，我们可以更好地理解和预测各种随机现象的结果，从而为实际问题的解决提供有力的支持。
概率统计数学模型在投资决策中的应用在投资决策的制定过程中，准确理解和应用概率统计数学模型是至关重要的。
概率统计数学模型为投资者提供了定量分析工具，帮助他们更准确地预测投资结果，从而做出更合理的决策。
一、概率模型的应用概率模型在投资决策中的应用广泛。
概率统计模型
－50000
对决策D，因为采取应急措施的数学期望为-50800，正常施工的期望即为-50000 显然，应采取决策为正常施工。
同理，对决策C，应采取应急措施进行施工，即C的期望值为-19800
提前加班
阴雨 0.4
-19800
(0.5)
-14900
应急
-19800
A
正常速度 B
为：E(B)=0×0.4+(-19800) ×0.5+(-50000) ×0.1=-14900
提前加班
阴雨 0.4
-19800
(0.5)
-14900
应急
-19800
A
正常速度 B
0.5 风暴
C
E
(0.3)
(0.2)
正常施工
台风 0.1
-
应急
-50000
-50800
F
D 正常施工
最后结论：
－18000 0 －24000
应急
减少误工3天(0.2) F
减少误工4天(0.1)
－54000 －46000 －38000
D 正常施工
－50000
提前加班
阴雨 0.4
-19800
(0.5)
应急
E
(0.3) (0.2)
A
正常速度 B
0.5 风暴
C
正常施工
台风 0.1
应急
-50800
F
－18000 0 －24000
－18000 －12000
方案或策略：参谋人员为决策者提供的各种可行计划和谋 略.
风险决策的基本要素
内容包括：决策者、方案、准则、状态、结果
概率与统计的数学模型
概率与统计的数学模型概率与统计是数学中两个重要的分支，它们在现代科学和实际生活中都起着至关重要的作用。
概率是研究随机现象发生的规律性，而统计是用数据推断总体特征的方法。
它们的数学模型在研究和应用中具有广泛的应用和意义。
一、概率的数学模型概率的数学模型主要有概率空间和概率分布两个方面。
1. 概率空间概率空间是指由样本空间和样本空间中的事件组成的数学模型。
样本空间是指所有可能结果的集合，事件是指样本空间的某些子集。
概率空间由三个元素组成：样本空间Ω，事件的集合F和概率函数P。
概率函数P定义了事件在样本空间中的概率，它满足三个条件：非负性、规范性和可列可加性。
2. 概率分布概率分布是指随机变量在各取值上的概率分布情况。
随机变量是样本空间到实数集的映射，它描述了随机现象的数值特征。
概率分布可以分为离散型和连续型两种。
离散型概率分布可以用概率质量函数（probability mass function，PMF）来描述。
例如，二项分布是描述n重伯努利试验的概率分布，其PMF可以用来计算在n次试验中成功的次数。
连续型概率分布可以用概率密度函数（probability density function，PDF）来描述。
例如，正态分布是一种常见的连续型概率分布，它在自然界和社会科学中有广泛应用。
二、统计的数学模型统计的数学模型主要有样本和总体两个方面。
1. 样本样本是指从总体中获取的部分观察结果。
样本可以是随机抽样或非随机抽样得到的，它用来代表总体并推断总体的特征。
样本是统计推断的基础。
2. 总体总体是指研究对象的整体集合。
总体可以是有限总体或无限总体，它包含了研究对象的所有可能结果。
总体的特征可以用参数来描述，例如总体的均值、方差等。
统计的数学模型主要是通过样本推断总体的特征。
统计推断包括点估计和区间估计两个方面。
点估计是利用样本数据来估计总体参数的值，常用的点估计方法有最大似然估计和矩估计等。
区间估计是利用样本数据给出总体参数的区间范围，常用的区间估计方法有置信区间和预测区间等。
营销活动的概率统计模型构建及运用
关键词：营销活动；概率统计模型；市场调查；市场预测；不可控因素营销活动中商品的销售情况是经营者最为关心的问题，同时也是难以预测的问题，其直接决定着营销活动成功与否。
通常，营销活动成功与否、销售业绩好坏是不可控因素，不是经营者能够决定的，其中也存在一定的随机性。
概率统计模型是数学领域重要的统计方法，其在营销活动中也有着一定的应用。
运用概率统计模型，一方面能够帮助解决现实生活中实际问题，另一方面能够确保经济利益最大化。
一、概率统计模型在市场调查环节的应用作为营销活动重要的组成部分，市场调查能够为市场预测及营销方案的制定提供可靠的参考依据，其主要指的是对市场营销相关资料、信息进行搜集、整理、分析，常用的调查方法为随机抽样法，引入数理统计知识，能够提升市场调查的科学性，包括分层抽样、整群抽样以及随机抽样等。
市场是由多个购买者构成的，购买群体不同、地理位置不同、购买态度及习惯等不同，其购买行为也会呈现明显的差异。
因此，市场调查期间，必须将市场细分，充分了解市场需求。
好的运营活动除了制定活动主题，还需要撰写活动方案，制定详细的活动流程，按照活动流程一步步地进行活动，并且能够详细传达活动的各项信息。
针对消费者年龄的不同，可以采用分层抽样法。
首先，根据某一特点将抽样单位中没有重叠的抽取出来，抽出的样本构成一个新的总样本，将其用于对总体目标量的推断。
如：在调查某一地区乳制品需求量时，首先需要对该地区居民每年用于乳制品的消费支出进行调查统计，抽样单位为地区居民户；在市场细分环节，可以按照居民收入水平将其划分成为4个级别，从每个级别中随机抽取10户作为样本，经过调查可获得以下数据（见表1），结合该地区居民乳制品年消费额对标准差进行估计。
胡俊红/文营销活动的概率统计模型构建及运用10.13999/ki.scyj.2020.05.026表1某地区乳制品消费支出情况总样本数量N 为2750，n k =10，其中k 表示1，2，3，4，对各层层权以及抽样比进行计算，计算方法为W 1=N 1N=2502750≈0.09，f 1=n1N 1=15250=0.06，根据该计算方法可以一次求出W 2、W 3、W 4的值。
第讲概率统计模型数据拟合方法分解
第讲概率统计模型数据拟合方法分解在概率统计模型中，数据拟合是指通过已有的数据来估计未知的参数，以便建立模型并进行进一步的分析与预测。
数据拟合方法可以分为参数估计和非参数估计两种。
参数估计方法是假设数据服从其中一特定参数分布，通过最大似然估计或最小二乘估计等方法，估计出这些参数的值。
最大似然估计是基于参数的似然函数，通过寻找使得似然函数取最大值的参数值来进行估计。
最小二乘估计是通过最小化观测值与模型预测值之间的平方差来进行参数估计。
这两种方法都可以通过求导数等数学手段来获得估计值的闭式解，从而得到参数的估计结果。
非参数估计方法是不对数据分布做任何假设，直接通过样本来进行估计。
常见的非参数估计方法包括核密度估计、最近邻估计等。
核密度估计是基于核函数的方式，通过将每个样本点周围一定区域内的所有样本点都等权重地加权平均来估计该点的密度。
最近邻估计则是通过找到每个样本点周围一定区域内的最靠近的样本点，以及这些样本点与该点之间的距离，来估计该点的密度。
在数据拟合过程中，可以通过拟合优度检验来评估模型的拟合效果。
常见的拟合优度检验方法有卡方检验和残差分析。
卡方检验是通过计算观测频数和预期频数之间的差异来检验模型的拟合优度。
残差分析是通过分析观测值与预测值之间的差异，来评估模型的拟合效果。
数据拟合方法的选择应根据具体问题的性质和可用数据的特点来确定。
参数估计方法适用于已知数据分布的情况，且假设其中一特定参数分布是合理的。
非参数估计方法适用于数据分布未知或无法假设特定参数分布的情况。
总之，数据拟合是概率统计模型中的重要步骤，通过参数估计和非参数估计方法，可以对数据进行拟合，建立相应的模型，并进行进一步的分析与预测。
在选择拟合方法时，应根据具体问题的性质和数据的特点来确定适用的方法，并通过拟合优度检验来评估模型的拟合效果。
《概率统计模型》课件
在市场营销领域，回归分析可以用于预 测产品需求、销售量、市场份额等方面 。
通过回归分析，企业可以了解市场趋势 ，制定有针对性的营销策略，提高市场 竞争力。
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03
统计方法在医学领域的应用还包括疾病预测、诊断和治疗效果评估等 方面。
04
统计方法在医学领域的应用有助于提高医学研究的准确性和可靠性。
回归分析在市场预测中的应用
回归分析是一种常用的统计分析方法， 用于探索变量之间的关系，并对未来趋 势进行预测。
回归分析在市场预测中的应用有助于企 业做出科学合理的决策，提高市场占有 率和盈利能力。
详细描述
时间序列分析涉及对按时间顺序排列的数据 进行统计处理，以揭示其内在的规律和特性 。这种方法广泛应用于金融、气象、医学等 领域，用于预测未来趋势和进行决策分析。
06 案例研究
概率论在金融中的应用
概率论在金融领域中有着 广泛的应用，如风险评估 、投资组合优化、期权定 价等。
概率论在金融领域的应用 还包括信用评级、保险精 算、风险管理等方面。
描述随机变量取值的平均水平和分散程度。
常见的随机变量分布
二项分布、泊松分布、正态分布等。
02 统计推断
参数估计
参数估计的概念
参数估计是用样本信息来估计总体参 数的过程，是统计推断的重要内容之 一。
点估计
点估计是指用一个单一的数值来估计 总体参数，常用的方法有矩估计和极 大似然估计。
区间估计
区间估计是指用一个区间范围来估计 总体参数，常用的方法有置信区间和 预测区间。
假设检验的步骤
概率统计模型的原理和应用
概率统计模型的原理和应用前言概率统计模型是一种基于概率论和统计学原理建立的数学模型，用于描述和推断随机现象的规律。
在实际应用中，概率统计模型被广泛应用于各个领域，包括金融、医学、工程等。
本文将介绍概率统计模型的原理和应用，并以列点的方式呈现相关内容。
概率统计模型的基本概念•概率：指事件发生的可能性或程度，用数值表示。
•统计：指通过对样本数据的观察和分析，对总体特征进行推断。
•随机变量：指表示随机现象结果的数值化变量，在概率统计模型中起重要作用。
•概率分布：指随机变量所有可能取值及其对应概率的分布情况，常见的概率分布包括正态分布、均匀分布等。
概率统计模型的原理1.概率论基础：概率统计模型建立在概率论的基础上，概率论提供了描述随机现象的理论框架和推断方法。
概率论中的公理系统和概率推断方法为概率统计模型的构建和分析提供了理论基础。
2.参数估计：参数估计是概率统计模型中的一个重要步骤，用于通过样本数据来估计总体参数。
常见的参数估计方法包括极大似然估计、最小二乘估计等。
3.假设检验：假设检验是通过观察样本数据，判断总体参数是否符合某个假设的一种推断方法。
假设检验在概率统计模型中应用广泛，用于验证模型的有效性和检测变量之间的相关性。
4.相关性分析：概率统计模型可以通过相关性分析来探索变量之间的关系。
常见的相关性分析方法包括相关系数分析和回归分析等。
概率统计模型的应用概率统计模型在各个领域有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景： 1. 金融领域：通过概率统计模型可以对股票价格、汇率变动等金融现象进行建模和预测，帮助投资者做出决策。
2. 医学领域：概率统计模型在医学研究和临床实践中有重要应用，例如用于分析疾病的发病机制、评估疗效等。
3. 工程领域：在工程项目中，概率统计模型可以用于风险评估、质量控制等方面。
例如，建筑工程中的结构安全分析。
4. 社会科学领域：概率统计模型可以用于社会调查、数据分析等方面，帮助研究人员理解社会现象和预测社会趋势。
概率统计模型决策模型课件
案例三：市场预测决策
பைடு நூலகம்
总结词
通过概率统计模型，可以帮助企业了解 市场趋势和消费者需求，为产品研发、 市场营销等提供决策支持。
VS
详细描述
市场预测决策需要考虑消费者行为、市场 趋势等因素。利用概率统计模型，可以对 历史数据和消费者行为进行分析，预测未 来市场趋势和消费者需求，为产品研发、 市场营销等提供决策支持。
案例二：生产计划制定决策
总结词
通过概率统计模型，可以帮助企业根据市场需求和生产能力制定合理的生产计划，提高生产效率和降 低成本。
详细描述
生产计划制定决策需要考虑市场需求、库存状况、生产能力等因素。利用概率统计模型，可以对历史 销售数据进行分析，预测未来市场需求，同时根据生产能力等因素进行生产计划安排，实现生产效益 最大化。
决策模型是指用来描述一个系统或者过程的一系列数学方程和算法，它可以帮助 我们理解和预测系统的行为。
决策模型通常包括三个主要部分：输入、处理和输出。输入部分包括所有可能影 响决策的因素，处理部分包括决策规则和算法，输出部分则是决策结果。
决策模型的应用领域
决策模型被广泛应用于各种领域，如金 融、医疗、军事、环境保护等。
案例四：质量控制决策
总结词
通过概率统计模型，可以帮助企业实现产品 质量控制和优化生产过程，提高产品质量和 生产效益。
详细描述
质量控制决策需要考虑产品质量、生产过程 等因素。利用概率统计模型，可以对生产过 程数据进行统计分析，找出影响产品质量的 关键因素，实现产品质量控制和优化生产过 程，提高产品质量和生产效益。
概率统计模型的基本概念
01
02
03
04
概率
描述随机事件发生的可能性大 小。
概率统计分布模型讲解
tc
3600 Q
1h内开段包括的全部时间：T开
Qtc
Qe 3600 (tc
3600 ) Q
开段和闭段相关计算公式
闭段分布概率 ：P闭
P(ht
tc ) 1 etc
Qtc
1 e 3600
1h内闭段总个数
：n闭
Q(1
Qtc
e ) 3600
闭段平均时距值
连续型分布----3.Eralng分布
基本公式：P(ht
t)
l 1 i0
(lt )i
elt i!
P(ht
t)
1
l 1 i0
(lt )i
elt i!
参数个数：l
数字特征：M 1
1
D 2l
参数估计： 1 l m2
m
s2
模型简化：
拟合优度检验的步骤
建立原假设H0
数据整理
分布形式
模型标定
g
选择适宜的统计量 2
fi2 N
F i1 i
确定统计量的临界值
2
显著性水平的确定；自由度DF的计算 DF g q 1
判断统计检验的结果
2 2则接受； 2 2则拒绝
拟合优度检验时的注意事项
应用举例
例1：在平均交通量为120辆/h的道路上，车辆到达符合泊 松分布，求30s内无车、有1辆、2辆、3辆、4辆及以上车 辆到达的概率。 例2：60辆汽车随机分布在4km长的道路上，求任意400m路 段上有4辆及4辆以上车辆的概率。 例3：某信号灯交叉口周期T=96s，有效绿灯时间g=44s,在 有效绿灯时间内排队的车流以Q=900辆/h的流量通过交叉 口，在有效绿灯时间外到达的车辆要停车排队。设信号灯 交叉口上游车辆的到达率为λ =369辆/h，车辆的到达服从 泊松分布，求使到达的车辆不致两次排队的周期占周期总 数的最大百分率？
解释概率模型：Logit,Probit以及其他广义线性模型
[6.2]
37
在使用多类别logit模型时，一个重要的问
等式6.1和等式6.2可以推出如下:
题就是在无关选择之间独立性的假设，或者称
做IIA。简单来说，IIA的特性明确了每任意两
个选择(回答类别)的概率的比例都不应系统性 地受到其他任何选择的影响。这是一个非常重
多类别logit的关系函数：
察到的和估计出来的两者之间的比数比的差就会消失。
10
给定自变量后的预测概率
这些预测的概率告诉我们每一组里面有多少成员有过性行为，给出了一个简单、直观的理 解。基于logit 模型，预测大约55%的黑人男性有过性行为，白人女性青少年有过性行为仅为大
约15%。
11
发生某事件概率的边际效应
我们去看解释变量对发生某事件的概率所带来的边际效应。可以用下面的等式来表示:
35
发生某事件概率的边际效应
对事件概率的边际效应： 利用上面的公式我们可以得到在这个例子中的边 际效应如右图所示可以看出：AFQT得分，用偏导数 和用预测概率差两个方法都能给出基本相同的结果。 （AFQT是连续变量）；如果计算入伍时的婚姻状况 可以看出，用两种方法计算出被分配到高级任务的概 率减少了大约相差5%。（入伍时的婚姻状况是二元变 量）在有二分自变量的时候，使用偏导数的方法产生
确的值其实是在这两个值之间或接近这两个值。
在一些特殊情况logit和probit模型得出的估计是差得非常远的，这样就一定要去考虑使用最
合适的模型了。对于尾端比重很大的分布来说，我们更应该考虑logit模型。
16
四、序列logit和probit模型
有时，一些因变量的结果是多样的，但它们并不是一些完全离散的毫无关联的类别。这些反应的类 别可以看做一系列阶段。晚期的响应是嵌套在早期的响应里面的。例如，结婚的决定是分两个阶段的: 一个人是否计划结婚，然后就是这个婚姻是否会在结束了某种教育程度之前开始(例如完成高中或者大 学学历)。
概率统计模型
2、简单统计模型
问题2：吸烟对血压的影响模型
（2）模型假设：将人群（样本总体）分为两类:吸烟者和 不吸烟者，分别记为Ａ类和Ｂ类，主要研究这两类人血压 的分布情况。假设：
Ａ和Ｂ两类人的血压都服从正态分布，均值分别为 1, 2 ， 而方差相同。抽样是随机的，相互独立的。
小概率事件在一次试验中是不可能发生的。 选取样本容量 nA 66, nB 62 ，显著性水平 0.05，xA, xB 表 示吸烟者和不吸烟者血压的样本均值， S1, S2 表示两类样 本的标准差。
为
P(
n
1)
ML ML MP
.由
ML=325，MP=250，从而有
P( n 1) 325 0.5652
325 250
1、初等概率模型
问题1：水果店的合理进货模型
当销售概率大于 0.5652时，水果店 应再增加1百千克水
P( 8) 0.05, P( 7) 0.050.05 0.1, P( 6) 0.050.050.05 0.15,
S 表示样本标准差，即样本值与样本均值的偏离
程度的度量；
n 是样本容量，即共抽到的有效问卷数。
2、简单统计模型
问题1：大学生平均月生活费的测算模型
模型建立与求解
根据抽样结果，使用95%的置信水平，相应置信区间：
S
S
(Xt(n1) 2
n,Xt2(n1)
) n
结论：全校本科生的月生活费平均水平在 520.70～554.40元之间；男生的月生活费平均水平在 505.15～552.43元之间；女生的月生活费平均水平在 545.83～596.65元之间。
[ 1 5 0 ,1 5 2 ] ,[ 1 5 2 ,1 5 4 ；] , ,[ 1 8 8 ,1 9 0 ]
概率统计分布模型
应用举例
例3：某交叉口有左转专用信号相，通过调查分析， 车流符合二项分布，每一周期内平均到达20辆车， 有25%的车辆左转但无右转，试求： <1>到达三辆车中有一辆左转车的概率； <2>某一周期不使用左转信号相的概率？
离散型分布---- 3.负二项分布
基本公式：P(0) p P(k) k 1(1 p) P(k 1) 0 p 1
离散型分布---- 2.二项分布
基本公式：
P(k
)
Cnk
(
t n
)
k
(1
t n
)
nk
参数个数： p t , n
n
递推公式： P(k) Cnk pk (1 p)nk
数字特征：M np D np(1 p)
参数估计:
p m s2 m
n m m2 p m s2
适用条件：二项分布适用于描述比较拥挤，车辆自由行
T闭
3600(1
Qtc
e 3600
Qtc 3600
Qtc
e ) 3600
连续型分布----2.移位负指数分布
t 基本公式：P(ht t) e(t ) P(ht t) 1 e(t ) 参数个数：
密度函数：F(t) 1 e(t) p(t) F(t) e(t)() e(t)
数字特征：M 1
参数估计： 1
m
l
m2 s2
模型简化：
l 1时,
P( ht
t)
11
(t)i
i0
et i!
et
l 2时,
P( ht
t)
21
(2t)i
i0
e2t i!
[1 2t]e2t
数学建模-概率统计模型
一个例子
• 二战时期，，为了提高飞机的防护能力，英国的科学家、 设计师和工程师决定给飞机增加护甲.
• 为了不过多加重飞机的负载，护甲必须加在最必要的地 方，那么是什么地方呢?
• 统计学家将每架中弹但仍返航的飞机的中弹部位描绘在 图纸上，然后将这些图重叠，形成了一个密度不均的弹 孔分布图.
中间距离法、重心法、类平均法、可变法和离差 平法和法。
• 最短距离法： 两个类别中距离最短的样品距离为类间距离。
• 最长距离法： 两个类别中距离最长的样品距离为类间距离。
方法选择
• 当数据量不大的时候，一般会利用系统聚类法， 从而达到最佳聚类结果。如果要聚类的数据量很 大，则利用系统聚类法会消耗太多计算时间，一 般选择K均值法，可以大大减少计算时间。
•
变量相似性度量
•
• 相关系数 •相关系数经常用来度量变量间的相似性。 代表第i个变量xi的平均值，则第i个变量和第j 个变量的相关系数定义为
分析
• 采用不同的距离公式，会得到不同的聚类结果。在聚类分析时， 可以根据需要选择符合实际的距离公式。在样品相似性度量中， 欧氏距离具有非常明确的空间距离概念，马氏距离有消除量纲影 响的作用；如果对变量作了标准化处理，通常可以采用欧氏距离。
• 分析：
评价电梯运行方案往往以电梯高峰期运行时间为依据。 一般来说，可以预估电梯可能停靠楼层数、电梯运载次数、电梯 停靠时间等参数来计算电梯高峰期运行总时间。 但这种估计的方法十分粗略，可能与实际结果相差巨大。 我们的目的是模拟电梯一次循环所需的平均时间，并设计电梯停 靠方案以使这个时间最短。 这里的主要随机量是各楼层乘客的到达数。 可以考虑采用蒙特卡罗方法对电梯上下楼的方案进行随机模拟。
如何利用概率图模型进行事件预测(九)
概率图模型（Probabilistic Graphical Models, PGM）是一种用于描述随机变量之间关系的数学模型，它通过图的方式表达变量之间的依赖关系，并利用概率论的知识来描述这些关系。
概率图模型包括贝叶斯网络（Bayesian Network）和马尔科夫网络（Markov Network）两种主要类型，它们在事件预测、机器学习和人工智能领域有着广泛的应用。
概率图模型的基本原理是利用概率论中的贝叶斯定理来描述变量之间的依赖关系。
通过构建变量之间的概率分布，可以利用已知的信息来推断未知的变量，从而进行事件预测。
在这一过程中，概率图模型能够有效地处理不确定性和复杂性，使得预测结果更加可靠和准确。
在实际应用中，概率图模型可以通过学习历史数据来构建模型，然后利用这个模型来进行事件预测。
以贝叶斯网络为例，它能够有效地描述变量之间的因果关系，通过学习历史数据中的变量之间的依赖关系，可以构建一个贝叶斯网络模型。
一旦构建好了模型，就可以使用这个模型来进行事件预测。
在事件预测中，概率图模型能够处理多个变量之间的复杂关系，从而更加准确地预测未来事件的发生概率。
比如，在金融领域中，可以利用概率图模型来预测股票价格的走势；在医学领域中，可以利用概率图模型来预测疾病的发生风险；在工程领域中，可以利用概率图模型来预测设备的故障率等等。
除了事件预测，概率图模型还可以用于决策分析、风险评估和因果推断等领域。
通过对变量之间的依赖关系进行建模，概率图模型能够帮助人们更好地理解复杂系统中的因果关系，从而进行有效的决策和风险管理。
在实际应用中，利用概率图模型进行事件预测通常需要以下几个步骤：首先，收集和整理相关的数据，包括历史数据和已知信息；然后，根据数据的特点选择合适的概率图模型，并进行模型的构建和学习；接着，利用构建好的模型进行事件预测，并对预测结果进行评估和调整；最后，根据预测结果进行决策和行动。
在选择概率图模型时，需要考虑数据的特点和问题的复杂性，不同类型的概率图模型适用于不同的场景。
解释概率模型：Logit-Probit以及其他广义线性模型-课件PPT
发生某事件概率的边际效应
我们去看解释变量对发生某事件的概率所带来的边际效应。可以用下面的等式来表示:
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Probit模型
Probit关系模型: 概率表示：
13
解释Probit模型
在η上的边际效应 给定自变量值后的预测概率
发生某事件概率的边际效应
14
给定自变量后的预测概率
probit模型计算的预测概率如下：
划分处理此类数据的一些统计模型常常根据数据的种类来代表和讨论，比如“二分数据分 析”、“序列数据分析”、“类别数据分析”或者“离散选择分析”，或者作为一个特别的模型， 比方说logit或者probit 模型。这些相关联的统计方法的共同特点就是它们都是对某事件的概率来建 模。因此，在本书里，我将所有分析事件概率的统计模型统一称为“ 概率模型”。我们讨论的概率 模型包括二分的，序列的，有序的logit和probit，多类别logit，条件logit，以及泊松回归模型。
由于解释上的一些困难，有些社会学家对于这些概率模型存有疑虑，由此导致他们逃避选择这 种概率模型，转而选择一些更加熟悉却未必合适的方法，比如线性回归。本书的目的就是展示如何 解释从各种概率模型中得出的结果。
3
二、广义线性模型和对其系数的解释
4
参数估测的符号和他们的显著性 给定一系列自变量后预测的η值或转化后的η值
解释概率模型
主讲人：xxx 2018.12.17
1
目录
1 介绍
2 广义线性模型和对其系数的解释
3 二分的logit和probit模型
44 序列logit和probit模型 5 有序logit和probit模型
6 多类别logit模型 7 条件logit模型
数学建模简明教程课件：概率模型
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图 7-4
32
5.决策树的优缺点
•决策树方法的优点：可以生成可以理解的规则；计 算量相对来说不是很大；可以处理连续和种类字段；决策 树可以清晰地显示哪些字段比较重要.
•决策树方法的缺点：对连续性的字段比较难预测； 对有时间顺序的数据，需要很多预处理的工作；当类别太 多时，错误可能就会增加得比较快；一般算法分类的时候 ，只是根据一个字段来分类.
(a b)np(r) d r
0
n
计算
(7.2.2)
d G (a b)np(n)
n
(b c) p(r) d r (a b)np(n)
(a b) p(r) d r
dn
0
n
n
(b c)0 p(r) d r (a b)n p(r) d r
18
令 d G 0 ，得到 dn
n
0
p(r)d r p(r)d r
14
2.问题的分析及假设
众所周知，应该根据需求量确定购进量.需求量是随机 的，假定报童已经通过自己的经验或其它的渠道掌握了需 求量的随机规律，即在他的销售范围内每天报纸的需求量 为r份的概率是f(r)(r＝0，1，2，…).有了f(r)和a，b，c，就 可以建立关于购进量的优化模型了.
假设每天的购进量为n份，因为需求量r是随机的，故r 可以小于n、等于n或大于n，致使报童每天的收入也是随 机的.所以作为优化模型的目标函数，不能是报童每天的收 入，而应该是他长期(几个月或一年)卖报的日平均收入.
26
(4)设定变量： A——试销成功，——试销失败 B——大量销售成功，——大量销售失败
27
3.建立模型 先来计算两个概率，注意到P(A|B)＝0.84，P(B)＝0.6 ，P(A|)＝0.36，代入贝叶斯概率公式：
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sig =1.2122
的置信度为0.95的置信区
2
（99.05，100.91），总体方差 的置信度为 0.95 的 置 信 区 间 为 （ 0.8188^2,2.3223^2 ） =(0.67,5.39计的命令还有：
[lam,lamci]=poissfit(x,alpha) 泊松分布的估计函数
lam、lamci分别是泊松分布中参数 的点估计及区 间估计值。 [a,b,aci,bci]=unifit(x,alpha) 均匀分布的估计函数
a、b、aci、bci分别是均匀分布中参数a,b的点估计及 区间估计值。
[mu,sig,muci,sigci]=normfit(x,alpha)
x为向量或者矩阵，为矩阵时是针对矩阵的 每一个列向量进行运算的。 alpha为给出的显著水平 （即置信度 （ 1 ）％， 缺省时默认 0.05，置信度为95％） mu、sig分别为分布参数 计值。
、
的点估
Muci、sigci分别为分布参数 区间估计。
2
标准正态分布：N (0, 1) 正态分布也称高斯分布，是概率论中最重要的一个分布。
如果一个变量是大量微小、独立的随机因素的 叠加，那么它一定满足正态分布。 如:年降雨量； 身高； 产品的质量指标，如零件的尺寸； 纤维的强度和张力； 农作物的产量 小麦的穗长、株高； 测量误差 射击目标的水平或垂直偏差,等等 都服从或近似服从正态分布.
正态分布 N ( , 2 ) 的图形特点
正态分布的密度曲线是一条关于 对 称的钟形曲线. 特点是“两头小，中间大，左右对称”.
正态分布 N ( , 2 ) 的图形特点
决定了图形的中心位置， 决定了图形
中峰的陡峭程度.
能不能根据密度函数的表达式， 得出正态分布的图形特点呢？
标准正态分布
0, 1 的正态分布称为标准正态分布. 其密度函数和分布函数常用 ( x)和 ( x )表示：
1 ( x) e , x 2 t2 1 x 2 ( x) e dt 2
( x)
x2 2
( x )
正态分布有些什么性质呢？ 由于连续型随机变量唯一地由它 的密度函数所描述，我们来看看正态 分布的密度函数有什么特点。
mu =0.5089
0.5173 0.0208
sig =0.0109
结果显示，总体均值的点估计为0.5089，总体方 差为0.109。在95%置信水平下，总体均值的区间 估计为（0.5005，0.5173），总体方差的区间估 计为
（0.0073，0.0208）。
案例某厂用自动包装机包装糖，每包糖的质量 X ~ N ( , 2 ) 某日开工后，测得9包糖的重量如下： 99.3，98.7，100.5，101.2，98.3，99.7，102.1， 100.5，99.5（单位：千克）。分别求总体均值 及方差 2 的置信度为0.95的置信区间。
第9讲 概率统计模型
9.1 参数估计 9.2 回归分析
常见的概率分布
二项式分布 卡方分布 指数分布 F分布 几何分布 正态分布 泊松分布 T分布 均匀分布 离散均匀分布 Binomial Chisquare Exponential F Geometric Normal Poisson T Uniform Discrete Uniform bino chi2 exp f geo norm poiss t unif unid
正态分布
正态分布 (应用最广泛的一种连续型分布)
如果随机变量 X 的概率密度函数为：
1 f ( x) 2
( X )2 2 2 e
x , 0
~ N ( , )
2
则称 X 服从正态分布。记做：X
其中
任意， >0， 和 都是常数， 2 则称X服从参数为 和 的正态分布. ：总体均值 ：标准差
[lam,lamci]=expfit(x,alpha)
指数分布的估计函数
lam、lamci分别是指数分布中参数 及区间估计值 [p,pci]=binofit(x,alpha)
的点估计
二项分布的估计函数
p、pci分别是二项分布中参数 区间估计值。
p 的点估计及
案例从某超市的货架上随机抽取9包0.5千克装的食 糖，实测其重量分别为（单位：千克）：0.497， 0.506，0.518，0.524，0.488，0.510，0.510，0.515， 0.512，从长期的实践中知道，该品牌的食糖重量 服从正态分布 N。根据数据对总体的均值及 ( , 2 ) 标准差进行点估计和区间估计。
解： 在MATLAB命令窗口输入 >> x=[99.3,98.7,100.5,101.2,98.3,99.7,102.1,100.5,99.5] ; >> alpha=0.05; >>[mu,sig,muci,sigci]=normfit(x,alpha)
回车键，显示： mu = 99.9778 muci = 99.0460 sigci =0.8188 所以得，总体均值 间为 100.9096 2.3223
解：在MATLAB命令窗口输入 >> x=[0.497,0.506,0.518,0.524,0.488,0.510,0.510,0.5 15,0.512]; >> alpha=0.05; >> [mu,sig,muci,sigci]=normfit(x,alpha)
回车键，显示： muci = 0.5005 sigci =0.0073
1 f ( x) e 2
( x )2 2 2
, x
容易看到，f(x)≥0 即整个概率密度曲线都在x轴的上方;
利用MATLAB进行参数估计
如果已经知道了一组数据来自正态分布总体，但 是不知道正态分布总体的参数。 我们可以利用 normfit()命令来完成对总体参数的点估计和区间 估计，格式为 [mu,sig,muci,sigci]=normfit(x,alpha)