直角三角形斜边上的中线的性质
直角三角形斜边中线性质2
4.证明 如图，已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∠A=30°. 求证：CD=1/2AB.
证明：取AB的中点D，
5结论
直角三角形的性质3推论： 在直角三角形中，如果一个锐角等 于30°，那么它所对的直角边等于 斜边的一半。
巩固练习
答案: 1.1cm. 2.没有. 3.12米.
ห้องสมุดไป่ตู้
归纳小结
直角三角形斜边上中线性质 是直角三角形的一个重要性质， 它为证明线段相等、角相等、线 段的倍分等问题提供了很好的思 路和理论依据。
数学发明创造的动力不是推理，而 是想象力的发挥。
——德摩
等于斜边的一半。
探索新知
4证明 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
CD是斜边AB上的中线。求证：AB=2CD.
证明：
5结论
直角三角形的性质3定理： 直角三角形斜边上的中线等于斜边 的一半。
应用拓展
1.探索：在直角三角形中，30°角所对的直角 边与斜边的关系。 2.发现：用两个含30°角的直角三角尺可以摆 出一个街边三角形。 3.猜想：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对应的直角边等于斜边的一半。
复习导入
我们已经知道：直角三角形的性质： 1.在直角三角形中，两个锐角互余。 2.在直角三角形中，两条直角边的平方 和等于斜边的平方（勾股定理）。 下面，我们来探索直角三角形的其他性 质。
探索新知
1.探索： 画Rt△ABC，并画出斜边AB上的中线CD，量 一量，看看CD与AB有什么关系。
2.发现： CD恰好是AB的一半。 3.猜想： 直角三角形斜边上的中线
“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用
“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是直角三角形的重要性质之一，而且斜边上的中线将直角三角形分割成两个顶角互补、底角互余的两个等腰三角形，如能善于把握图形特征，恰当地构造并借助直角三角形斜边上的中线，往往能帮助我们迅速打开解题思路，从而顺利地解决问题，下面举例说明．一、有直角、有中点，利用垂直平分线性质【例1】如图，BD 、CE 是△ABC 的两条高，M 是BC 的中点，N 是DE 的中点．求证：MN 垂直平分DE ．二、有直角、无中点，取中点，连线出中线【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AD ∥BC ，∠CBE=21∠ABE ，求证：DE=2AB ．三、有中点、无直角，造直角【例3】如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M 、N 是AB 、CD 的中点，∠ADC+∠BCD=270°，求证：MN=21（AB －CD ）．四、逆用性质解题【例4】如图，延长矩形ABCD 的边CB 至E ，使CE=CA ，P 是AE 的中点．求证：BP ⊥DP ．【习题练习】1、如图，△ABC 中，AB=AC ，∠ABD=∠CBD ，BD ⊥DE 于D ，DE 交BC 于E ，求证：CD=21BE ．2、如图，△ABC 中，∠B=2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 是BC 的中点，求证：AB=2DM ．3、如图，在四边形ABCD 中，∠DAB=∠DCB=90°，点M 、N 分别是BD 、AC 的中点.确定MN 、AC 的位置关系．直角三角形斜边上中线性质的应用一、直角三角形斜边上中线的性质1、性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图，在Rt △BAC 中，∠BAC=90°，D 为BC 的中点，则BC 21AD =．2、性质的拓展：如图：因为D 为BC 中点，所以BC 21DC BD ==， 所以AD=BD=DC=BC 21， 所以∠1=∠2，∠3=∠4，因此∠ADB=2∠1=2∠2，∠ADC=2∠3=2∠4．因而可得如下几个结论：①直角三角形斜边上的中线将直角三角形分成两个等腰三角形；②分成的两个等腰三角形的腰相等，两个顶角互补、底角互余，并且其中一个等腰三角形的顶角等于另一个等腰三角形底角的2倍．二、性质的应用1、21倍关系求值 例1、如图，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的中线，若CD=4，则AB= ．2、证明线段相等例2、如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，延长BA 到D 点，使AB 21AD =，点E 、F 分别为边BC 、AC 的中点．（1）求证：DF=BE ；（2）过点A 作AG ∥BC ，交DF 于G ．求证：AG=DG ．3、证明角相等及角的倍分关系例3、已知，如图，在△ABC中，∠BAC 90°，BD、CE分别为AC、AB上的高，F为BC的中点，求证：∠FED=∠FDE．例4、已知：如图，在△ABC中，AD是高，CE是中线。
【精选文档】三角形的中位线直角三角形斜边上的中线PPT
命题思路 本题主要考查三角形的中位线的性质、直角三角形斜边上的中 线的性质. 失分警示 判断DF是△ABE的中位线是本题的解题关键.
实战预测 2.( 大庆)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D、E分别是AB、AC的中点,连 接CD,过E作EF∥DC交BC的延长线于F. (1)证明:四边形CDEF是平行四边形; (2)若四边形CDEF的周长是25 cm,AC的长为5 cm,求线段AB的长度.
( 大庆)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D、E分别是AB、AC的中点,连
定义:三角形两边中点之间的线段叫做三角形的中位线
性质
图形语言
文字语言
符号语言
三角形的中位线平行并且等于第 ∵DE是△ABC的中位线,∴DE∥B
三边的一半
1
C,DE= 2BC
即学即练 1.( 贵州贵阳,5,3分)如图,在菱形ABCD中,E是AC的中点,EF∥CB,交AB于 点F,如果EF=3,那么菱形ABCD的周长为 ( A )
试真题·练易
命题点一 三角形中位线的性质
1.( 昆明)如图,△ABC中,AB=8,D、E分别是BC、CA的中点,连接DE,则DE =4.
(=4.昆明2)如.图( ,△AB曲C中,A靖B=8,D)、如E分图别是,B把C、CA一的中张点,连三接DE角,则D形E 纸片ABC沿中位线DE剪开后,在平面上将△
精讲案·学易
类型一 三角形中位线的性质
例1( 曲靖)如图,在△ABC中,AB=13,BC=12,点D、E分别是AB、BC的中 点,连接DE、CD,如果DE=5 ,那么△ACD的周长是18.
2
命题思路 本题主要考查三角形的中位线的性质、勾股定理的逆定理、直
∴AF是等角腰△三ADE底角边D形E上的斜中线边, 上的中线的性质.
(完整word版)直角三角形斜边上的中线的性质及其应用
“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是直角三角形的重要性质之一，而且斜边上的中线将直角三角形分割成两个顶角互补、底角互余的两个等腰三角形，如能善于把握图形特征，恰当地构造并借助直角三角形斜边上的中线，往往能帮助我们迅速打开解题思路，从而顺利地解决问题，下面举例说明．一、有直角、有中点，连线出中线，用性质例1．如图1，BD 、CE 是△ABC 的两条高，M 是BC 的中点， N 是DE 的中点．试问：MN 与DE 有什么关系？证明你的猜想．猜想：MN 垂直平分DE.证明：如图：连接ME 、MD ，在Rt△BEC 中，∵点M 是斜边BC 的中点，∴ME=21BC ，又NE ＝ND ，∴直线MN 是线段DE 的垂直平分线，∴NM⊥DE．即MN 垂直平分DE.评析：题目中给出了三角形的两条高与两个中点，联想“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，问题便迎刃而解．二、有直角、无中点，取中点，连线出中线，用性质例2．如图2，在Rt △ABC 中，∠C=900，AD ∥BC ，∠CBE=12∠ABE ，求证：DE=2AB分析：欲证DE=2AB ，则可寻DE 的一半，再让其与AB 相等， 取DE 的中点F ，连AF ，则AF=FD=12DE ，可证得△A FD ， △ABF 均为等腰三角形，由此结论得证．证明：DE 的中点F ，连AF ，则AF=FD=12DE ，所以∠DAF=∠ADF ，又因为AD ∥BC ，所以∠CBE=∠ADF ，又因为∠CBE=12∠ABE ，所以∠ABF=∠AFB ，所以AF=AB ，即DE=2AB ． 评析：本题是有直角、无中点的情况，这时要取直角三角形的斜边上的中点，再连结该点与直角顶点，然后用性质来解决问题．三、有中点、无直角，造直角，用性质例3．如图3，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M 、N 是AB 、CD 的中点，图1 B A DC EF图2BA CDP M NK 图3∠ADC+∠BCD=2700，求证：MN=12（AB-CD ）． 证明：延长AD 、BC 交于P ，∵∠ADC+∠BCD=2700，∴∠APB=900，连结PN ，连结PM 交DC 于K ，下证N 和K 重合，则P 、N 、M 三点共线， ∵PN 、PM 分别是直角三角形△PDC 、△PAB 斜边上的中线，∴PN=CN=DN=12CD ，PM=BM=DM=12AB ， ∵∠PNC=2∠PDN=2∠A ，∠PMB=∠PKC=2∠A ，∴∠PNC=∠PKC ，∴N 、K 重合， ∴MN=PM-PN=12（AB-CD ）． 评析：本题只有中点，而没有直角，这时要想方设法构造直角，应用性质，而条件中正好有角的关系“∠ADC+∠BCD=2700 ”，这样问题就易以解决了四、逆用性质解题例4．如图4，延长矩形ABCD 的边CB 至E ，使CE=CA ， P 是AE 的中点．求证：BP ⊥DP ．证明：如图3，连结BD 交AC 于点O ，连结PO ， ∵四边形ABCD 是矩形，∴AO=OC=OB=OD ， ∵PA=PE ，∴PO=12EC ，∵EC=AC ，∴PO=12BD ， 即OP=OB=OD ，∴BP ⊥DP ．评析：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个性质是众所周知的，而它的逆定理往往被大家所忽视，本题就是利用这个性质构造△PBD ，证BD 边的中线等于BD 的一半．请同学们试一试吧！1．如图5，△ABC 中，AB=AC ，∠ABD=∠CBD ，BD ⊥， 求证：CD=12BE ． 2．如图6，△ABC 中，∠B=2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 是中点，求证：AB=2DM ．图4B图5ACM ·1．提示：结论中的BE 是直角三角形的斜边，由12BE 应想到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，故应取BE 的中点F ，连结DF ，只需证明DC=DF ，即证∠C=∠DFC ． 2．提示：取AB 的中点N ，连结DN 、MN 即可．直角三角形斜边上中线性质的应用直角三角形斜边上中线的性质是直角三角形的一个重要性质，同时也是常考的知识点．它为证明线段相等、角相等、线段的倍分等问题提供了很好的思路和理论依据。
直角三角形斜边中线定理 (3)
直角三角形斜边中线定理直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度。
直角三角形的边可分为三种：斜边、邻边和对边。
直角三角形具有许多特性和性质，其中之一就是直角三角形斜边中线定理。
定理描述直角三角形斜边中线定理指出：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
换句话说，如果在一个直角三角形中，连接斜边的中点与直角顶点的直线段，那么这个直线段的长度等于斜边的一半。
下面是该定理的数学表达式：设直角三角形的斜边长度为c，斜边上的中线长度为m，则有：m = c / 2定理证明我们可以通过几何和代数的方法来证明直角三角形斜边中线定理。
几何证明设直角三角形的斜边为AC，斜边上的中线为BM，并连接顶点A和中点B。
首先，我们可以通过斜边上的中线构造一个三角形ABM。
根据直角三角形的性质，A和C分别为直角三角形ABM的直角顶点和斜边上的另一个顶点。
由于三角形ABM是直角三角形，我们可以利用勾股定理来求解等式AB和BM的关系。
根据勾股定理，直角三角形ABM的斜边AB的平方等于直角边AM的平方加上直角边BM的平方：AB² = AM² + BM²因为直角三角形ABM是等腰三角形（与斜边等长），所以直角边AM的长度等于斜边AC的一半（即AM=c/2），我们将其带入等式中化简：AB² = (c/2)² + BM²继续化简：AB² = c²/4 + BM²由于AB = AC（直角边）和AC = c（斜边），我们可以将AB替换为c，即：c² = c²/4 + BM²继续化简并整理：3c²/4 = BM²通过移项操作，得到：BM² = 3c²/4我们可以取开根号来求解BM的长度：BM = √(3c²/4) = (√3c) / 2接下来，我们将BM的长度与斜边的一半进行比较：BM = (√3c) / 2 c / 2我们可以发现，BM的长度等于斜边的一半（c/2），这证明了直角三角形斜边中线定理。
直角三角形斜边上的中线定理
直角三角形斜边上的中线定理
（原创版）
目录
1.直角三角形斜边上的中线定理的概念
2.直角三角形斜边上的中线定理的证明
3.直角三角形斜边上的中线定理的应用
正文
一、直角三角形斜边上的中线定理的概念
直角三角形斜边上的中线定理是指：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
这里的中线是指连接斜边上某一点和对立顶点的线段。
这个定理在我国古代数学中被称为“勾股定理的逆定理”，因为它可以方
便地用来验证一个三角形是否为直角三角形。
二、直角三角形斜边上的中线定理的证明
为了证明这个定理，我们可以采用平行四边形的性质。
假设在直角三角形 ABC 中，斜边为 c，中线 CD 等于斜边的一半，我们需要证明 AD=DB。
过点 D 作 DE 平行于 AB，交 BC 于 E，那么四边形 ACDE 就是一
个平行四边形。
根据平行四边形的性质，AD=CE，而 CE=AB，所以 AD=AB。
同理，BD=CE，所以 BD=AB。
因此，AD=DB，证毕。
三、直角三角形斜边上的中线定理的应用
直角三角形斜边上的中线定理在实际应用中有很多好处，它可以帮助我们在没有直角的情况下，快速判断一个三角形是否为直角三角形。
同时，它还可以用来计算直角三角形斜边上的中线长度，这在一些实际问题中非常有用。
例如，假设我们有一个直角三角形，斜边长为 10，那么根据直角三
角形斜边上的中线定理，斜边上的中线长度就是 5。
这样，我们就可以快
速计算出中线的长度，而不需要进行复杂的数学运算。
专题12 直角三角形斜边上的中线(解析版)
专题12 直角三角形斜边上的中线【考点归纳】（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．该定理可一用来判定直角三角形．【好题必练】一、选择题1．（2020秋•贵阳期末）如图，在长为10的线段AB上，作如下操作：经过点B作BC⊥AB，使得BC＝AB；连接AC，在CA上截取CE＝CB；在AB上截取AD＝AE，则AD的长为（）A．5﹣5B．10﹣5C．10﹣10D．5+5【答案】A【解析】解：∵AB＝10，BC＝AB，∴BC＝5，由勾股定理得：AC＝5，∵CE＝BC＝5，∴AD＝AE＝AC﹣CE＝5﹣5．故选：A．2．（2020秋•仪征市期末）A、B、C分别表示三个村庄，AB＝1000米，BC＝600米，AC＝800米，为拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（）A．AB中点B．BC中点C．AC中点D．∠C的平分线与AB的交点【答案】A．【解析】解：∵AB2＝10002＝1000000，BC2＝6002＝360000，AC2＝8002640000，∴AB2＝BC2+AC2，∴△ABC为以AB为斜边的直角三角形，当点P在AB的中点时，CP＝AB＝P A＝PB，故选：A．3．（2020秋•莲湖区期末）如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB 的长为4.8km，则M，C两点间的距离为（）A．1.2km B．2.4km C．3.6km D．4.8km【答案】B．【解析】解：∵公路AC，BC互相垂直，∴∠ACB＝90°，∵M为AB的中点，∴CM＝AB，∵AB＝4.8km，∴CM＝2.4（km），即M，C两点间的距离为2.4km，故选：B．4．（2020秋•新华区校级月考）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE⊥BC，E为垂足，AC＝AB，图中为60°的角有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】D．【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝AB，∴∠B＝30°．∵D是AB的中点，∴BD＝CD．∴∠DCB＝∠B＝30°．又∵DE⊥BC于E，∴∠BDE＝∠CDE＝60°．∴∠ACD＝90°﹣30°＝60°．∴△ACD为等边三角形．∴∠ADC＝∠DAC＝∠ACD＝∠CDE＝∠BDE＝60°．故选：D．5．（2020秋•嵊州市期中）直角三角形的两条直角边为3，4，则这个直角三角形斜边上的中线长为（）A．5B．2.5C．3.5D．4.5【答案】B【解析】解：由勾股定理得：直角三角形的斜边长是＝5，所以＝2.5，故选：B．6．（2020秋•高州市期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝10，则CD＝（）A．2B．3C．4D．6【答案】D【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE为AB边上的中线，CE＝10，∴AE＝CE＝10，∵AD＝2，∴DE＝8，∵CD为AB边上的高，在Rt△CDE中，CD＝＝＝6，故选：D．二、填空题7．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若AB＝20，则CD＝．【答案】10【解析】解：∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，∴CD＝AB＝10，故答案为：10．8．如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝36°，D是AB的中点，ED⊥AB交BC于E，连接CD，则∠CDE：∠ECD＝．【答案】1：2．【解析】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝36°，D是AB的中点，∴CD＝DB，∴∠ECD＝∠B＝36°，∴∠CDB＝180°﹣∠ECD﹣∠B＝180°﹣36°﹣36°＝108°，∵ED⊥AB，∴∠EDB＝90°，∠CDE＝∠CDB﹣∠EDB＝108°﹣90°＝18°，∠CDE：∠ECD＝1：2．故答案为1：2．9．（2020春•南岗区校级期中）如图，已知在△ABC中，∠C＝25°，点D在边BC上，且∠DAC＝90°，AB＝DC．则∠BAC的度数为°．【答案】105【解析】解：取CD的中点E，连接AE，在Rt△ADC中，DE＝EC，∴AE＝CD＝ED＝EC，∴∠EAC＝∠C＝25°，∴∠AED＝∠EAC+∠C＝50°，∵AE＝ED，∴∠EAD＝∠EDA＝65°，∵AB＝DC，AE＝CD，∴AB＝AE，∴∠BAE＝80°，∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝105°，故答案为：105．10．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果斜边AB上的中线CD＝4cm，那么斜边AB＝cm．【答案】8【解析】解：∵在Rt△ABC中，斜边AB上的中线CD＝4cm，∴AB＝2CD＝8cm．故答案为：8．11．已知：如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC与BD相交于点O，E、F分别是AC、BD的中点．则∠EFO＝．【答案】90°【解析】解：连接EB、ED，∵∠ABC＝90°，E是AC的中点，∴BE＝AC，同理，DE＝AC，∴EB＝ED，又F是BD的中点，∴EF⊥BD，∴∠EFO＝90°，故答案为：90°．三、解答题12．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，AD⊥BD于点D．（1）若∠C＝74°，求∠BAD的度数；（2）点E为线段AB的中点，连接DE．求证：DE∥BC．【答案】（1）解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝74°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠ABC＝37°，∵AD⊥BD，∴∠BAD＝90°﹣37°＝53°；（2）证明：在Rt△ADB中，点E为线段AB的中点，∴ED＝EB∴∠EBD＝∠EDB，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠EDB＝∠CBD，∴DE∥BC．【解析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠C＝74°，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可；（2）根据直角三角形的性质得到ED＝EB根据等腰三角形的性质得到∠EBD＝∠EDB，根据平行线的判定定理证明结论．13．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G，CD＝AE．（1）求证：CG＝EG．（2）已知BC＝13，CD＝5，连结ED，求△EDC的面积．【答案】（1）证明：连接DE，在Rt△ADB中，点E是AB的中点，∴DE＝AB＝AE，∵CD＝AE，∴DE＝DC，又DG⊥CE，∴CG＝EG．（2）解：作EF⊥BC于F，∵BC＝13，CD＝5，∴BD＝13﹣5＝8，∵DE＝BE，EF⊥BC，∴DF＝BF＝4，∴EF＝＝＝3，∴△EDC的面积＝×CD×EF＝×5×3＝7.5．【解析】（1）连接DE，根据直角三角形的性质得到DE＝AB＝AE，根据等腰三角形的性质证明结论；（2）作EF⊥BC于F，根据题意求出BD，根据等腰三角形的性质求出DF，根据勾股定理求出EF，根据三角形的面积公式计算，得到答案．14．如图，在△ABC中，AD是高，CE是中线，DG垂直平分CE，连接DE．（1）求证：DC＝BE；（2）若∠AEC＝72°，求∠BCE的度数．【答案】（1）证明：∵DG垂直平分CE，∴DE＝DC，∵AD是高，CE是中线，∴DE是Rt△ADB的斜边AB上的中线，∴DE＝BE＝AB，∴DC＝BE；（2）∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE，∴∠EDB＝∠DEC+∠BCE＝2∠BCE∵DE＝BE∴∠B＝∠EDB，∴∠B＝2∠BCE，∴∠AEC＝3∠BCE＝72°，∴∠BCE＝24°．【解析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DE＝DC，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得到DE＝BE＝AB，证明结论；（2）根据等腰三角形想的性质得到∠DEC＝∠DCE，根据三角形的外角性质列式计算即可．15．如图．△ABC中，∠C＝2∠B，D是BC上一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连结AE．（1）求证：BD＝2AC；（2）若AE＝6.5，AD＝5，那么△ABE的周长是多少？【答案】（1）证明：∵AD⊥AB，∴∠BAD＝90°，又点E是BD的中点，∴EA＝BD＝EB，∴∠EAB＝∠EBA，∴∠AEC＝2∠B，又∠C＝2∠B，∴∠AEC＝∠C，∴AE＝AC，∴BD＝2AC；（2）解：∵∠BAD＝90°，点E是BD的中点，∴BD＝2AE＝13，EA＝EB＝6.5，由勾股定理得，AB＝＝＝12，∴△ABE的周长＝AB+AE+BE＝12+6.5+6.5＝25．【解析】（1）根据直角三角形的性质得到EA＝BD＝EB，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质证明；（2）根据直角三角形的性质分别求出BC和BE，根据勾股定理求出AB，根据三角形的周长公式计算．16．已知：如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分别是AC、BD的中点，求证：MN⊥BD．【答案】证明：连接DM，BM，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点，∴DM＝AC，BM＝AC，∴DM＝BM，又N是BD的中点，∴MN⊥BD．【解析】连接DM，BM，根据直角三角形的性质得到DM＝AC，BM＝AC，得到DM＝BM，根据等腰三角形的三线合一证明．11/ 11。
斜边中线定理知识点总结
斜边中线定理知识点总结一、斜边中线定理的定义斜边中线定理是指在一个直角三角形中，三角形的斜边上的中线等于斜边的一半。
即斜边中线的长度等于斜边的长度的一半。
这个定理在数学中有着很重要的应用，特别是在直角三角形的计算中。
二、斜边中线定理的证明证明斜边中线定理的过程非常简单，我们可以通过勾股定理和平行线的性质来证明。
首先，我们假设在一个直角三角形ABC中，AB为斜边，C为直角的顶点，M为AB的中点。
我们要证明MC等于AB的一半。
根据勾股定理可知，在直角三角形ABC中，有AB^2=AC^2+BC^2。
根据平行线的性质，可以得出MC平行于BC。
因此，根据斜边中线定理的定义，我们可以得出MC=AB/2。
通过上面的证明过程，我们可以得出斜边中线定理的结论。
三、斜边中线定理的应用1. 直角三角形的计算在解决直角三角形相关问题时，斜边中线定理是一个常用的工具。
通过斜边中线定理，我们可以快速计算出直角三角形中斜边上的中线的长度，从而简化计算过程。
2. 辅助几何问题的解决在解决一些几何问题时，斜边中线定理也是一个重要的工具。
通过斜边中线定理，我们可以快速计算出斜边上的中线的长度，从而解决一些与直角三角形相关的几何问题。
四、斜边中线定理的拓展斜边中线定理在一定条件下也具有拓展的能力。
例如，我们可以将斜边中线定理与其他定理进行结合，从而得出一些更加复杂的几何问题的解决方法。
在解决与直角三角形相关的问题时，我们可以将斜边中线定理与勾股定理、正弦定理、余弦定理等进行结合，从而得出更加复杂的计算方法。
五、斜边中线定理的实际应用1. 在实际测量中，斜边中线定理可以帮助我们快速计算出直角三角形斜边上的中线的长度，从而简化实际测量的过程。
2. 在建筑设计中，斜边中线定理可以帮助我们解决一些关于直角三角形的设计问题，从而提高建筑设计的效率。
3. 在工程测量中，斜边中线定理可以帮助我们解决一些土木工程中的几何问题，从而提高工程测量的准确性。
直角三角形斜边上的中线的性质及其应用
“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用而且斜边上的中线将“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是直角三角形的重要性质之一，恰当地构造并直角三角形分割成两个顶角互补、底角互余的两个等腰三角形，如能善于把握图形特征，下面举例说借助直角三角形斜边上的中线，往往能帮助我们迅速打开解题思路，从而顺利地解决问题，明．一、有直角、有中点，连线出中线，用性质 BC的中点，CE是△ABC的两条高，M是例1．如图1，BD、有什么关系？证明你的猜想．DE的中点．试问：MN与DEN是DE.垂直平分猜想：MN1图1，∴NDBC，又NE＝、MD，在Rt△BEC中，∵点M是斜边BC的中点，∴ME=证明：如图：连接ME2DE.垂直平分的垂直平分线，∴NM⊥DE．即直线MN是线段DEMN，“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”评析：题目中给出了三角形的两条高与两个中点，联想问题便迎刃而解．二、有直角、无中点，取中点，连线出中线，用性质1A DADBC，∠CBE=，∠ABE例2．如图2，在Rt△ABC中，∠C=902DE=2AB0∥，求证：FAB相等，分析：欲证DE=2AB，则可寻DE的一半，再让其与2图E 1B取DE的中点F，连AF，则AF=FD=DE，可证得△AFD， C2△ABF均为等腰三角形，由此结论得证．1DE，所以∠DAF=∠ADF，又因为AD∥BCAFF，连，则AF=FD=，所以∠CBE=∠ADF，证明：DE的中点21∠ABE，所以∠ABF=又因为∠CBE=∠AFB，所以AF=AB，即DE=2AB．2评析：本题是有直角、无中点的情况，这时要取直角三角形的斜边上的中点，再连结该点与直角顶点，然后用性质来解决问题．P 三、有中点、无直角，造直角，用性质CD CD的中点，N是AB、，梯形ABCD中，AB∥CD，M、．如图例33N K 0 BCD=270，∠ADC+∠1M A B．MN=（AB-CD）求证：3图20证明：延长AD、BC交于P，∵∠ADC+∠BCD=270，、MK重合，则P、N于APB=90，连结PN，连结PM交DCK，下证N和∴∠11CD，PM=BM=DM=AB，0三点共线，PM分别是直角三角形△PDC、△PAB斜边上的中线，∴PN=CN=DN= 、∵PN22∵∠PNC=2∠PDN=2∠A，∠PMB=∠PKC=2∠A，∴∠PNC=∠PKC，∴N、K重合，1（AB-CD）．∴MN=PM-PN=2评析：本题只有中点，而没有直角，这时要想方设法构造直角，应用性质，而条件中正好有角的关系“∠0，这样问题就易以解决了”BCD=270∠ADC+DA 四、逆用性质解题E，使CE=CA，至例4．如图4，延长矩形ABCD的边CP的中点．是AEODP．求证：BPEBC4图，于点O，连结PO证明：如图3，连结BD交AC AO=OC=OB=OD∵四边形ABCD是矩形，∴，11，EC=AC∵PA=PE，∴PO=，∴PO=BDEC，∵22．BP⊥DPOP=OB=OD即，∴“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个性质是众所周知的，而它的逆定理往往被评析：的一半．BD边的中线等于BD大家所忽视，本题就是利用这个性质构造△PBD，证请同学们试一试吧！于E，于D，DE交BCDE1．如图5，△ABC中，AB=AC，∠ABD=∠CBD，BD⊥A 1CD=BE．求证：2 BC的于BCD，M是2．如图6，△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥D．中点，求证：AB=2DM ACE B5图M·C B D6 图1应想到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一BEBE是直角三角形的斜边，由1．提示：结论中的2DFC．，即证∠C=∠DF，故应取BE的中点F，连结，只需证明DC=DF半”即可．、，连结DNMN2．提示：取AB的中点N直角三角形斜边上中线性质的应用它为证明线同时也是常考的知识点．直角三角形斜边上中线的性质是直角三角形的一个重要性质，下面谈谈直角三角形斜边上中线的线段的倍分等问题提供了很好的思路和理论依据。
中线的性质
中线的性质
1、三角形的三条中线都在三角形内；
2、三角形的三条中线交于一点，该点叫做三角形的重心；
3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的1/2；
4、三角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的3/4；
5、三角形重心将中线分为长度比为1:2的两条线段。
三角形的中线是接三角形顶点和它的对边中点的线段。
每个三角形都有三条中线，它们都在三角形的内部。
在三角形中，三条中线的交点是三角形的重心。
三角形的三条中线交于一点，这点位于各中线的三分之二处。
三角形的中线与三角形的中位线，这两者也只有一字之差，它们的不同点是：“三角形的中线”指的是连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段；“三角形的中位线”指的是连接三角形两边中点的线段。
而这两个概念又存在着共同点：
1、都是线段；
2、每一个三角形都有三条中线，也都有三条中位线。
归纳总结
“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用
“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是直角三角形的重要性
质之一，而且斜边上的中线将直角三角形分割成两个顶角互补、底角互余的两个等腰三角形，如能善于把握图形特征，恰当地构造并借助直角三角形斜边上的中线，往往能帮助我们迅速打开解题思路，从而顺利地解决问题。
①直角三角形斜边上的中线将直角三角形分成两个等腰三角形；
②分成的两个等腰三角形的腰相等，两个顶角互补、底角互余，并且其中一个等腰三角形的顶角等于另一个等腰三角形底角的2倍
直角三角形斜边上中线的性质是直角三角形的一个重要性质，同时也是常考的知识点．它为证明线段相等、角相等、线段的倍分等问题提供了很好的思路和理论依据。
三角形中点的定理
三角形中点的定理
中点的性质是：
1、等腰三角形三线合一（底边中点），直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；
2、三角形的中位线(三角形两边的中点的连线)平行且等于第三边的一半。
在线段AC上，若AF=CF，则F为AC中点，反之亦然。
扩展资料：
几何中的著名定理：
1、勾股定理（毕达哥拉斯定理）
2、射影定理（欧几里德定理）
3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分。
4、四边形两边中心的连线与两条对角线中心的连线交于一点。
5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。
6、三角形各边的垂直平分线交于一点。
7、三角形的三条高线交于一点。
中考经典题型--“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用
“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用 “直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是直角三角形的重要性质之一，而且斜边上的中线将直角三角形分割成两个顶角互补、底角互余的两个等腰三角形，如能善于把握图形特征，恰当地构造并借助直角三角形斜边上的中线，往往能帮助我们迅速打开解题思路，从而顺利地解决问题，下面举例说明．一、有直角、有中点，利用垂直平分线性质【例1】如图，BD 、CE 是△ABC 的两条高，M 是BC 的中点，N 是DE 的中点．求证：MN 垂直平分DE ．二、有直角、无中点，取中点，连线出中线【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AD ∥BC ，∠CBE=21∠ABE ，求证：DE=2AB ．三、有中点、无直角，造直角【例3】如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M 、N 是AB 、CD 的中点，∠ADC+∠BCD=270°，求证：MN=21（AB －CD ）．四、逆用性质解题 【例4】如图，延长矩形ABCD 的边CB 至E ，使CE=CA ，P 是AE 的中点．求证：BP ⊥DP ．【习题练习】1、如图，△ABC 中，AB=AC ，∠ABD=∠CBD ，BD ⊥DE 于D ，DE 交BC 于E ，求证：CD=21BE ．2、如图，△ABC 中，∠B=2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 是BC 的中点，求证：AB=2DM ．3、如图，在四边形ABCD 中，∠DAB=∠DCB=90°，点M 、N 分别是BD 、AC 的中点.确定MN 、AC 的位置关系．直角三角形斜边上中线性质的应用 一、直角三角形斜边上中线的性质 1、性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图，在Rt △BAC 中，∠BAC=90°，D 为BC 的中点，则BC 21AD =． 2、性质的拓展：如图：因为D 为BC 中点，所以BC 21DC BD ==， 所以AD=BD=DC=BC 21， 所以∠1=∠2，∠3=∠4，因此∠ADB=2∠1=2∠2，∠ADC=2∠3=2∠4．因而可得如下几个结论：①直角三角形斜边上的中线将直角三角形分成两个等腰三角形；②分成的两个等腰三角形的腰相等，两个顶角互补、底角互余，并且其中一个等腰三角形的顶角等于另一个等腰三角形底角的2倍．二、性质的应用1、21倍关系求值 例1、如图，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的中线，若CD=4，则AB= ．2、证明线段相等例2、如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，延长BA 到D 点，使AB 21AD =，点E 、F 分别为边BC 、AC 的中点．（1）求证：DF=BE ；（2）过点A 作AG ∥BC ，交DF 于G ．求证：AG=DG ．3、证明角相等及角的倍分关系例3、已知，如图，在△ABC中，∠BAC 90°，BD、CE分别为AC、AB上的高，F为BC的中点，求证：∠FED=∠FDE．例4、已知：如图，在△ABC中，AD是高，CE是中线。
直角三角形斜边上的中线的性质
直角三角形斜边上的中线的性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
推论：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
要点诠释：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推
论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可
使用.
（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐
角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边
的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜
边的一半.
（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.
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八年级数学常考点精练(苏科版)：专题16 直角三角形斜边上的中线(解析版)
专题16直角三角形斜边上的中线知识点一直角三角形斜边上的中线性质1．直角三角形斜边上的中线等于斜边的_____．【答案】一半【解析】【详解】试题解析：根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得解.故答案为一半．2．Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AB的中点，若AB＝10，则CD的长等于_____．【答案】5【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．【详解】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴CD＝12AB，∵AB＝10，∴CD＝12×10＝5．故答案为5．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．3．如图，在Rt ABC△中，斜边AB上的中线5CD ，则AB ________．【答案】10【解析】【分析】根据直角三角形斜边上中线性质得出AB =2CD ，代入求出即可．【详解】解：∵CD 是直角三角形ABC 斜边AB 上的中线，CD =5，∴AB =2CD =10，故答案为：10．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上中线性质的应用，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．4．如图， ABC 中，90ACB ，CD 是AB 边上的中线，且12CD AB ，则AB 的长为______．【答案】8【解析】【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半解答．【详解】解：∵∠ACB =90°，D 是AB 边的中点，12CD AB ，∵12CD AB 8AB 故答案为：8．【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．5．若直角三角形斜边上的高是4cm ，斜边上的中线是5m ，则这个直角三角形的面积是_____．【答案】20m 2【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出斜边的长，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．【详解】解：∵直角三角形斜边上的中线长是5m∴斜边长为10m∵直角三角形斜边上的高是4m ∴这个直角三角形的面积＝12×10×4＝20m 2故答案为20m 2【点睛】本题考查直角三角形斜边上中线的性质，熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键.6．如图，在Rt ABC 中，90ACB ，点D 是AC 上一点，连接BD ，P 点是BD 的中点，若D A BA ，8AD ，则CP 的长为（）．A ．8B ．4C ．16D ．6【答案】B【解析】【分析】由题意推出BD ＝AD ，然后在Rt △BCD 中，CP ＝12BD ，即可推出CP 的长度．【详解】∵D A BA ，∴BD ＝AD=8，∵P 点是BD 的中点，90ACB∴CP ＝12BD ＝4，故选：B ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线的性质，关键在于根据已知推出BD ＝AD ，求出BD 的长度．7．如图，AD 是ABC 的角平分线，点E 为AC 的中点，连结DE ．若10AB AC ，8BC ，则CDE △的周长为（）A ．20B ．12C ．14D ．13【答案】C【解析】【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD ⊥BC ，CD=BD ，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=CE=12AC ，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解．【详解】解：∵AB=AC ，AD 平分∠BAC ，BC=8，∴AD ⊥BC ，CD=BD=12BC=4，∵点E 为AC 的中点，∴DE=CE=12AC=5，∴△CDE 的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14．故选：C ．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．知识点二斜边上中线分割直角三角形成两个等腰三角形8．如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，若∠A ＝26°，则∠BDC 的度数是（）A ．26°B ．38°C ．42°D ．52°【答案】D【解析】【分析】根据直角三角形斜边上中线定理得出CD＝AD，求出∠DCA＝∠A，根据三角形的外角性质求出求出即可．【详解】解：∵∠ACB＝90 ，CD是斜边AB上的中线，∴BD＝CD＝AD，∴∠A＝∠DCA＝26 ，∴∠BDC＝∠A+∠DCA＝26 +26 ＝52 ．故选：D．【点睛】本题考查了对三角形的外角性质，直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形性质等知识点的理解和运用，能求出BD＝CD＝AD和∠DCA的度数是解此题的关键．9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝40°，D为线段AB的中点，则∠ACD＝_____．【答案】50°【解析】【分析】由“直角三角形的两个锐角互余”得到∠A＝50°，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到CD＝AD，则等边对等角，即∠ACD＝∠A＝50°．【详解】解：如图，∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝40°，∴∠A＝50°．∵D为线段AB的中点，∴CD＝AD，∴∠ACD＝∠A＝50°．故答案是：50°．【点睛】本题考查了直角三角形的性质．在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，若BC＝BD，则∠A＝_____度．【答案】30【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD＝BD，再由BC＝BD，可得CD＝BC＝BD，可得△BCD是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可求解．【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴CD＝BD，∵BC＝BD，∴CD＝BC＝BD，∴△BCD是等边三角形，∴∠B＝60°，∴∠A＝30°．故答案为30．【点睛】考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，关键是证明△BCD是等边三角形．11．如图，△ABC中，若∠ACB＝90°，∠B＝56°，D是AB的中点，则∠ACD＝_____°．【答案】34°．【解析】【分析】由∠ACB＝90°，D是AB的中点，可得出CD＝BD＝AD，结合∠B的度数可得出∠BCD的度数，再由∠ACD和∠BCD互余可求出∠ACD的度数．【详解】解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴CD＝BD＝AD＝12AB，∴∠BCD＝∠B＝56°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝90°﹣56°＝34°．故答案为34°．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线以及等腰三角形的性质，牢记“在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半”是解题的关键．12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将边BC沿斜边上的中线CD折叠到CB′，若∠B＝50°，则∠ACB′＝______.【答案】10°【解析】【分析】根据三角形内角和定理求出∠A的度数，根据直角三角形的性质分别求出∠BCD、∠DCA的度数，根据翻折变换的性质求出∠B′CD的度数，计算即可．【详解】∵∠ACB=90 ,∠B=50 ，∴∠A=40 ，∵∠ACB=90 ，CD是斜边上的中线，∴CD=BD，CD=AD，∴∠BCD=∠B=50 ,∠DCA=∠A=40 ，由翻折变换的性质可知,∠B′CD=∠BCD=50 ，∴∠ACB′=∠B′CD−∠DCA=10 ，故答案为10 .【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线.知识点三斜边上的中线应用13．如图，公路AC ，BC 互相垂直，公路AB 的中点M 与点C 被湖隔开，若测得AB 的长为5km ，则M ，C 两点间的距离为（）A ．2kmB ．2.5kmC ．3kmD ．4km【答案】B【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直接可以得出答案．【详解】∵AC ，BC 互相垂直，ABC 是直角三角形，M ∵是AB 的中点， 1 2.52CM AB ，故选B ．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，能根据直角三角形斜边上的中线性质得出12CM AB 是解此题的关键．14．如图，有一架梯子斜靠在与地面（OM ）垂直的墙（ON ）上，在墙角（点O 处）有一只猫紧紧盯住位于梯子（AB ）正中间（点P 处）的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉，把梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，若梯子A 端沿墙下滑，且梯子B 端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离（）A ．不变B ．变小C ．变大D ．无法判断【解析】【分析】根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可解答．【详解】如图，连接OP ，由题意可知：点P 为AB 的中点，∠AOB =90 ，在Rt AOB 中，12OP AB ，若梯子A 端沿墙下滑，且梯子B 端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，OP 始终等于AB 的一半，故OP 的长不变，即猫与老鼠的距离不变．故选：A【点睛】本题主要考查了直角三角形形斜边中线的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形形斜边中线的性质，并会利用数学建模思想．知识点四共斜边的两个直角三角形的斜边上的中线相等15．如图，四边形ABCD 中，90ACB ADB ，取AB 中点E ，连接DE ，CE ，CD ，则EDC △为______三角形．【答案】等腰【解析】【分析】根据题意结合直角三角形中“斜中半”定理即可推出结论．由题ABC ADB，均为直角三角形，且都以AB为斜边，∵E为AB的中点，∴1122CE AB DE AB CE DE，，，即：EDC为等腰三角形，故答案为：等腰．【点睛】本题考查直角三角形中“斜中半”定理，理解并灵活运用定理是解题关键．16．如图，点C为线段AB的中点，90AMB ANB，则CMN△是_______________三角形．【答案】等腰【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解.【详解】∵90AMB ANB∴在Rt△ABM中，C是斜边AB上的中点，∴MC=12AB，同理在Rt△ABN中，CN=12AB，∴MC=CN∴CMN△是等腰三角形，故答案为：等腰.【点睛】此题主要考查等腰三角形的判定，解题的关键是熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.三、解答题(共0分)17．如图所示，在△ABC中，CD是AB上的中线，且DA＝DB＝DC．（1）已知∠A＝30°，求∠ACB的度数；（2）已知∠A＝40°，求∠ACB的度数；（3）已知∠A＝x°，求∠ACB的度数；（4）请你根据解题结果归纳出一个结论．【答案】（1）90°；（2）90°；（3）90°；（4）三角形中，一边上的中线等于这边的一半，那么这边所对的角等于90°．【解析】【分析】（1）（2）（3）利用等腰三角形及三角形内角和定理即可求出答案；（4）三角形中，一边上的中线等于这边的一半，那么这边所对的角等于90°．【详解】解：（1）∵在△ABC中，CD是AB上的中线，且DA＝DC，∠A＝30°∴∠ACD＝30°∵∠CDB是△ACD的外角∴∠CDB＝60°∵DB＝CD∴∠DCB＝∠B＝60°∴∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝30°+60°＝90°；（2）若∠A＝40°，同（1），可知∠ACD＝40°，∠CDB＝40°+40°＝80°∠DCB＝12（180°﹣∠CDB）＝12（180°﹣80°）＝50°∴∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝40°+50°＝90°；（3）若∠A＝x°，同（1），可知∠ACD＝x°，∠CDB＝x°+x°＝2x°∠DCB＝12（180°﹣∠CDB）＝12（180°﹣2x°）＝90°﹣x°，故∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝x°+90°﹣x°＝90°；（4）三角形中，一边上的中线等于这边的一半，那么这边所对的角等于90°．【点睛】此题主要考查直角三角形的性质，解题的关键是熟知直线三角形斜边上的中线的性质.18．如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点．（1）求证：△MEF是等腰三角形；（2）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠EMF的度数．【答案】（1）见解析，（2）40°【解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明EM=FM即可；（2）根据等腰三角形两底角相等求出∠BMF，∠CME，然后根据平角等于180°列式计算即可求出∠EMF．【详解】（1）证明：∵CF⊥AB，BE⊥AC，M为BC的中点，∴EM＝12BC，FM＝12BC，∴BM＝FM，∴△MEF是等腰三角形；（2）∵BM＝FM，∠ABC＝50°，∴∠MBF＝∠MFB＝50°，∴∠BMF＝180°﹣2×50°＝80°，∵CM＝EM，∠ACB＝60°，∴∠MCE＝∠MEC＝60°，∴∠CME＝180°﹣2×60°＝60°，∴∠EMF＝180°﹣∠BMF﹣∠CME＝40°．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的判定与性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．19．如图，已知ABC 的高BD CE 、相交于点O M N ，、分别是BC AO 、的中点，求证：MN 垂直平分DE ．(括号中需写本学期新学理由)【答案】见解析【解析】【分析】联结EN DN EM DM 、、、,根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得EN DN EM DM ，，进而判断M N 、在线段DE 的垂直平分线上，即可证明MN 垂直平分DE【详解】证明：联结EN DN EM DM 、、、,∵BD AC ,CE AB ,∴90AEC ADB BEC BDC ,∵M N 、是BC AO 、的中点,∴1111,,,2222EN AO DN AO EM BC DM BC (直角三角形斜边中线等于斜边一半),∴EN DN EM DM ，,∴M N 、在线段DE 的垂直平分线上(垂直平分线的逆定理),∴MN 垂直平分DE .【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，垂直平分线的判定，掌握以上性质定理是解题的关键．。
三角形中点连线的性质
三角形中点连线的性质
三角形中点连线的性质有：
1、三角形的三条中线交于一点，这点位于各中线的三分之二处;连接三角形
两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半;
2、直角三角形斜边上的中线等于斜边的二分之一;三角形中线组成的三角形
面积等于这个三角形面积的四分之三;
3、三角形重心将中线分为长度比为1比2的两条线段。
三角形的中线是接三角形顶点和它的对边中点的线段，每个三角形都有三条中线，它们都在三角形的内部，三条中线的交点是三角形的重心。
从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段，就是三角形的高。
锐角三角形的三条高都在三角形的内部。
交点也在三角形的内部;直角三角形的两条高分别在两条直角边上，另一条高在三角形的内部。
交点是直角的顶点;钝角三角形的钝角的两边上的高在三角形外部。
交点在三角形的外部。
三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段，称三角形的角平分线。
三角形的三条角平分线交于一点，且到各边的距离相等.这个点称为内心，即以此点为圆心可以在三角形内部画一个内切圆;三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。
直角三角形中线的性质
直角三角形中线的性质
设△abc的角a、角b、角c的对边分别为a,b,c。
1、三角形的三条中线都在三角形内。
ma=(1/2)√（2b2+2c2-a2）
mb=(1/2)√（2a2+2c2-b2）
mc=(1/2)√（2a2+2b2-c2）
(ma、mb、mc分别为角a,b,c所对边的中线长）
3、三角形的三条中线处设一点，该点叫作三角形的战略重点。
4、直角三角形斜边上的中线等于斜边的1/2。
5、角形中线共同组成的`三角形面积等同于这个三角形面积的3/4。
6、三角形重心将中线分为长度比为1:2的两条线段。
三角形都存有什么线
三角形有四线，分别为中线，高，角平分线，中位线。
1、中线定义：三角形的中线就是相连接三角形的一个顶点及其对边中点的线段，一个三角形存有3条中线。
2、高定义：从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段。
3、角平分线定义：三角形一个内角的平分线与这个角的对边平行，这个角的顶点与交点之间的线段。
4、中位线定义：三角形的三边中任意两边中点的连线。
直角三角形斜边中线性质
24.2 直角三有形的性质※教学目标※【知识与技能】1.了解直角三角形的表示方法.2.掌握直角三角形的性质3定理，能利用直角三角形的性质3定理进行有关的计算和证明.【过程与方法】1.经历“实践—探索—发现—猜想—证明”的过程，引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充.2.根据直角三角形的性质得到角与角、角与边、边与边之间的内在关系，并能根据这一关系解决与实际生活相联系的简单的数学问题.通过“实践—探索—发现—猜想—证明”的过程体验数学活动中的探索与创新，感受数学的严谨性，激发学生的好奇心和求知欲，培养学习的自信心.直角三角形性质3及其推论的应用.直角三角形性质3及其推论的理解和推导.※教学过程※1.在直角三角形中，两个锐角互余.2.在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）.下面我们来探索直角三角形的其他性质.1.如图，画Rt△ABC，并画出斜边AB上的中线CD，量一量，看看CD与AB有什么关系.2.发现：CD恰好是AB的一半.3.猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.4.证明.已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线.求证：CD=AB.证明：延长CD至点E，使DE=CD，连结AE、BE.∵CD是斜边AB上的中线，∴AD=DB.又∵DE=CD，∴四边形ACBE是平行四边形.又∵∠ACB=90°，∴四边形ACBE∴CE=AB.∴CD=CE=AB.5.结论：直角三角形的性质3直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.1.已知直角三角形两条直角边的长分别为1cm和cm.求斜边上中线的长.2.如图，在A岛周围20海里水域有暗礁，一艘轮船由西向东航行到点O处时，发现A 岛在北偏东60°的方向，且与轮船相距30海里.该船如果不改变航向，有触暗礁的危险吗？3.如图是某商店营业大厅自动扶梯的示意图.自动扶梯AB的倾斜角为30°，大厅两层之间的距离BC为6米.你能算出自动扶梯AB答案：1.直角三角形的斜边长为=2(cm).所以斜边上中线的长为1cm.2.在Rt△AOD中，∠AOD=30°，AO=30∴AD=AO=×30=15（海里）.∵15>20,该船如果不改变航向，没有触暗礁的危险.3.在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=6∴AB=2BC=2×6=12（米）.∴自动扶梯AB的长为12米.四、应用拓展1.探索在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边的关系.2.发现：用两个含30°角的直角三角尺可以摆出一个等边三角形.3.猜想：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.4.证明.如图，已知，在Rt∴ACB中，∠ACB=90°，∠A=30°.求证：BC=AB.证明：作斜边AB上的中线CD，则CD=AB=AD=BD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）.∵∠A=30°.∴∠B=60°.△CDB是等边三角形.∴BC=BD=AB.5.结论：直角三角形的性质3在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.五、归纳小结直角三角形斜边上中线的性质是直角三角形的一个重要性质，它为证明线段相等、角相等、线段的倍分等问题提供了很好的思路和理论依据.※课后作业※教材习题24.2的第1~3题.。
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D O
1 若已知AB=8㎝，AD=6㎝，
A
则AC＝ 10 ㎝ OB= 5 ㎝
பைடு நூலகம்
2 若已知∠CAB=40°，则∠OCB= 50°，∠OBA= ∠AOB= 100° ， ∠AOD= 80°。
C
B
40°，
3 若已知AC＝10㎝，BC=6㎝，则矩形的周长＝ 28 ㎝
矩形的面积＝ 48 ㎝2
2 4 若已知 ∠DOC=120°，AD＝6㎝，则AC= 12
阳原县第二中学 李国华
温故知新
性质:
角 平行四边形的对角相等 边 平行四边形的对边平行且相等 对角线 平行四边形的对角线互相平分
对称性 中心对称图形
角 矩形的四个角都是直角
性质:
边 矩形的对边平行且相等 对角线 矩形的对角线互相平分且相等
对称性 中心对称图形,轴对称图形
温故知新
• 四边形ABCD是矩形
㎝
D C
2 若∠C=30°，AB＝5㎝，则AC＝ 10 ㎝，
1 BD＝ 5
㎝，∠BDC＝ 120° 。
做一做
1、如图，在△ABC中，D，E，F，分别 是BC、AC、AB边的中点，AH⊥BC于H， FD=8㎝，求HE的长。
A
F
E
┓
B
DHC
2、已知：如图BE、CF是△ABC的两条高，M为 BC的中点，分别连ME、MF. 求证： (1)ME= 1 BC (2)ME=MF
线？
A
D 由此你能得到什么结论？
O
B
C
得出结论
直角三角形的性质：
直角三角形斜边上的中线等于斜边
的一半。
A
数学语言：
O
在Rt三角形ABC中
∵∠ABC=90° BO是AC边的中线
B
C BOAOCO1AC
2
牛刀小试
A
已知△ABC是Rt△，∠ABC=90° ，
BD是斜边AC上的中线
┓
B
1 若BD=3㎝则AC＝ 6
2
(3)若点N为EF的中点，连接MN，试判断MN与EF 的位置关系，并说明理由。
A
.N E
F
B
C
M
课后作业
课本第103页习题19.2第9题 做在作业本上； 作业纸上的1、2、3题。
❖不经历风雨，怎么见彩虹 ❖没有人能随随便便成功!
A A
O
O
B
图1
C
B
C
图2
四个学生正在做投圈游戏,他们分别站在一 个矩形的四个顶点处，目标物放在对角线的交 点处,这样的队形对每个人公平吗?为什么？
A
D
O
B 公平,因为OA=OC=OB=OD C
如图，在任意的矩形ABCD中，ＡＣ，
ＢＤ相交于O，那么BO与AC有怎样的数
量关系？
Rt⊿ABC中，BO是一条什么
㎝
四个学生正在做投圈游戏,他们分别站在一 个矩形的四个顶点处，目标物放在对角线的交 点处,这样的队形对每个人公平吗?为什么？
A
D
O
B 公平,因为OA=OC=OB=OD C
自主探究
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC边上的中线。 1、如图1，当∠ACB=30°，则BO与AC有什么数 量关系？ 2、如图2，当∠ACB=45°，则BO与AC有什么数 量关系？