1-3 常见特殊矩阵讲解学习
常用的特殊矩阵
常用的特殊矩阵矩阵在数学和工程领域中具有重要的应用价值。
除了常规的矩阵外，还存在一些特殊的矩阵形式，它们具有独特的性质和应用。
本文将介绍一些常用的特殊矩阵，包括对角矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵、单位矩阵、零矩阵和方阵。
1. 对角矩阵对角矩阵是指除了主对角线上的元素外，其余元素都为零的矩阵。
主对角线上的元素可以是任意值。
对角矩阵在线性代数中有广泛的应用，例如求解线性方程组、矩阵的特征值等。
对角矩阵具有良好的性质，例如可以进行快速的矩阵乘法运算。
2. 上三角矩阵上三角矩阵是指除了主对角线及其以上的元素外，其余元素都为零的矩阵。
上三角矩阵的主对角线上的元素可以是任意值。
上三角矩阵在计算机科学和数学中都有重要的应用，例如求解线性方程组、矩阵的LU分解等。
上三角矩阵具有良好的性质，例如可以进行快速的矩阵乘法运算。
3. 下三角矩阵下三角矩阵是指除了主对角线及其以下的元素外，其余元素都为零的矩阵。
下三角矩阵的主对角线上的元素可以是任意值。
下三角矩阵在计算机科学和数学中也有重要的应用，例如求解线性方程组、矩阵的LU分解等。
下三角矩阵具有良好的性质，例如可以进行快速的矩阵乘法运算。
4. 对称矩阵对称矩阵是指矩阵的转置等于自身的矩阵。
换句话说，对称矩阵的元素关于主对角线对称。
对称矩阵在数学和物理学中有广泛的应用，例如求解线性方程组、特征值问题、二次型等。
对称矩阵具有很多重要的性质，例如所有的特征值都是实数，特征向量可以正交等。
5. 反对称矩阵反对称矩阵是指矩阵的转置的相反数等于自身的矩阵。
换句话说，反对称矩阵的元素关于主对角线对称且元素为相反数。
反对称矩阵在数学和物理学中也有广泛的应用，例如旋转、刚体运动等。
反对称矩阵的特征值具有特殊的性质，例如如果矩阵的维度是奇数，则至少存在一个特征值为零。
6. 单位矩阵单位矩阵是指主对角线上的元素都为1，其余元素都为零的矩阵。
单位矩阵在线性代数中有重要的作用，它在矩阵乘法中起到类似于数字1的作用。
线性代数中的矩阵的特殊类型与性质
线性代数中的矩阵的特殊类型与性质矩阵是线性代数中的重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。
在线性代数中，矩阵可以分为多种特殊类型，每种类型都有其独特的性质和特点。
本文将介绍几种常见的矩阵特殊类型以及它们的性质。
一、对角矩阵对角矩阵是一种具有特殊形式的矩阵，其除了主对角线上的元素外，其余元素均为零。
对角矩阵的主对角线上的元素可以是任意值，也可以是相同的值。
对角矩阵的性质如下：1. 对角矩阵的乘法：两个对角矩阵相乘仍然得到一个对角矩阵，且新矩阵的主对角线上的元素等于原矩阵对应位置元素的乘积。
2. 对角矩阵的逆矩阵：对角矩阵的逆矩阵存在当且仅当主对角线上的元素均不为零。
逆矩阵的主对角线上的元素等于原矩阵对应位置元素的倒数。
3. 对角矩阵的转置：对角矩阵的转置等于其本身。
二、上三角矩阵和下三角矩阵上三角矩阵是一种特殊的矩阵，其主对角线及其以上的元素均不为零，而主对角线以下的元素均为零。
下三角矩阵与上三角矩阵相反，其主对角线及其以下的元素均不为零，而主对角线以上的元素均为零。
上三角矩阵和下三角矩阵的性质如下：1. 上三角矩阵和下三角矩阵的乘法：两个上三角矩阵或两个下三角矩阵相乘仍然得到一个上三角矩阵或下三角矩阵。
2. 上三角矩阵和下三角矩阵的逆矩阵：上三角矩阵和下三角矩阵的逆矩阵存在当且仅当其主对角线上的元素均不为零。
3. 上三角矩阵和下三角矩阵的转置：一个上三角矩阵的转置是一个下三角矩阵，一个下三角矩阵的转置是一个上三角矩阵。
三、对称矩阵对称矩阵是一种特殊的矩阵，其转置等于其本身。
也就是说，如果矩阵A是一个对称矩阵，那么A的转置矩阵等于A本身。
对称矩阵的性质如下：1. 对称矩阵的特征值：对称矩阵的特征值均为实数。
2. 对称矩阵的特征向量：对称矩阵的特征向量相互正交。
3. 对称矩阵的对角化：对称矩阵可以通过正交相似变换对角化，即可以找到一个正交矩阵P，使得P的逆矩阵乘以对称矩阵A再乘以P等于一个对角矩阵。
四、单位矩阵单位矩阵是一种特殊的矩阵，其主对角线上的元素均为1，其余元素均为零。
线性代数中的特殊矩阵分类
线性代数中的特殊矩阵分类线性代数是数学中一门重要的学科，其中矩阵是其中的一个核心概念。
矩阵作为一种数学工具在实际应用中有着非常广泛的应用。
由于矩阵具有一些重要的性质，因此矩阵可以根据这些性质进行分类，其中特殊矩阵是线性代数中常见的一个概念。
1. 对称矩阵对称矩阵是一种特殊的矩阵，它的转置矩阵与它本身相等，即A = A^T。
对称矩阵具有很多重要的性质，可以应用于广泛的领域。
例如，在椭圆偏微分方程中，对称矩阵的证明可以被用来证明谱定理；在统计学中，协方差矩阵是对称矩阵，用于描述变量之间的关系。
2. 上三角矩阵和下三角矩阵上三角矩阵和下三角矩阵也是特殊的矩阵类型。
上三角矩阵的所有下方元素都为0，下三角矩阵的所有上方元素都为0。
上下三角矩阵继承了其自身的性质。
上三角矩阵通常在求解线性方程组时用到，因为它可以轻松找出未知数。
上三角形式可以通过高斯消元算法来实现，这样，矩阵可以在O（n ^ 3）时间内求解。
3. 稀疏矩阵稀疏矩阵是一种非常特殊的矩阵。
如果矩阵中有大量元素值为0，则称该矩阵稀疏。
稀疏矩阵经常出现在一些实际应用和大型数据集中。
例如，社交媒体网站会生成巨量的关系矩阵，并且相互之间共享数据是非常常见的。
但是，在这个关系矩阵中，大多数元素的值都为0，因为人们只能与一小部分人进行交互。
稀疏矩阵可以通过一些优化算法来处理。
例如，压缩稀疏行（CSR）格式就是一种处理稀疏矩阵的算法，该算法将稀疏矩阵压缩为一个矩阵。
这个格式可以使得矩阵的计算变得非常高效，并且存储空间也可以大大减少。
总之，矩阵作为线性代数的核心概念，在实际应用中有着广泛的应用。
特殊矩阵是其中非常重要的一个概念，这些特殊矩阵都具有一些独特的性质，在实际应用中有着非常广泛的应用。
对于一个数学学习者来说，对于这些矩阵的掌握是十分必要的。
特殊矩阵知识点总结初中
特殊矩阵知识点总结初中一、矩阵的定义矩阵是由m×n个数排成的矩形阵列，记作A=(aij),其中i表示矩阵的行序号，j表示矩阵的列序号，aij表示矩阵A的第i行第j列的元素。
例如：A=(1 2 3)(4 5 6)(7 8 9)是一个3×3的矩阵，其中第一行的元素为1,2,3，第二行的元素为4,5,6，第三行的元素为7,8,9。
二、特殊矩阵的定义及性质1. 单位矩阵单位矩阵是指对角线上全为1，其它位置为0的矩阵。
记作In。
例如：I2=(1 0)(0 1)性质：（1）矩阵A和单位矩阵I相乘得到仍然是矩阵A。
即AI=IA=A。
（2）单位矩阵在矩阵乘法中作为单位元素。
即对任意矩阵A，都有AI=IA=A。
2. 零矩阵零矩阵是指所有元素都为0的矩阵。
记作0。
例如：0=(0 0 0)(0 0 0)(0 0 0)性质：（1）矩阵与零矩阵相加得到的还是矩阵本身。
即A+0=A。
（2）零矩阵在矩阵加法中作为零元素。
即对任意矩阵A，都有A+0=A。
3. 对角阵对角矩阵是指除了主对角线上的元素均为0，其它位置均为0的矩阵。
记作D。
例如：D=(1 0 0)(0 2 0)(0 0 3)性质：（1）对角阵的逆矩阵是仍然是对角阵，且每个元素取倒数。
即若D=(aij)是对角阵，则D的逆矩阵是D'=(1/aij)。
4. 反对角阵反对角阵是指除了主对角线外，其它位置的元素均为0，且对角线上的元素为1的矩阵。
记作J。
例如：J=(0 0 1)(0 1 0)(1 0 0)性质：（1）反对角阵的逆矩阵是自身。
即J的逆矩阵是J本身。
5. 上三角矩阵和下三角矩阵上三角矩阵是指主对角线以下的元素均为0的矩阵；下三角矩阵是指主对角线以上的元素均为0的矩阵。
例如：上三角矩阵U=(3 1 4)(0 2 5)(0 0 6)下三角矩阵L=(1 0 0)(2 3 0)(4 5 6)性质：（1）上（下）三角矩阵A的逆矩阵仍然是上（下）三角矩阵，且对角线上的元素取倒数。
矩阵1-3
k 0
k
k 1
k
2 线性变换运算的矩阵对应（Th1.13）： • 设 Vn(F)上的线性变换 T1，T2，它们在同一 组基下的矩阵：T1 A1；T2 A2 （i） (T1＋T2) (A1＋A2)
（ii） (T1T2) A1A2
（iii） (kT) kA （iv） T－1 A－1 (i), (iii)合并：(k1T1＋k2T2) (k1A1＋k2A2)
注意：变换乘法一般不具有交换律，如同矩阵乘法； Vn(F)上的线性变换的全体Ф 构成线性空间Ф(F)！
T (1 , 2 ,, n ) (1 , 2 ,, n ) A T ( i ) (1 , 2 ,, n ) Ai
n×n中的矩阵A V (F) 上的变换 T F 二、 线性变换的矩阵 n
T(W) = { T() | W }
2 . 不变子空间的判别 W是T的不变子空间
W T() W。 T(W) W。 特别：若W = L{ 1，2，…，m }，则 W是T的不变子空间 T(i) W。u)u，u是单位向量。 证明L(u)和 u = { x：(x, u) = 0 }(= L(u))是P的不变子空间。
A1 A 2 A Ak
矩阵Ai 的阶数 = dim Ui = ni
特别地，若 i, dim(Ui) = 1，则A为对角矩阵！
四、正交变换和酉变换(不改变内积的变换)
讨论内积空间 [V(F)；(，)] 中最重要的一类变换。 1 定义1.15 (P25)：(T(), T())=(, ) 2 正交（酉）变换的性质： 定理1.15 T是内积空间V(F)上的线性变换，则下列命题等价： （1）T是正交(酉)变换; （2）T保持向量的长度不变; （3）T把V(F)的标准正交基变成标准正交基; (证(2)→(3)) （4）T在标准正交基下的矩阵是正交(酉)矩阵。 3 变换的矩阵：正交矩阵和酉矩阵的性质 正交矩阵C：CTC=I；酉矩阵U： UHU=I 定理1.16(P27) 正交矩阵C和酉矩阵U有如下性质: (1) |det(C)|=1, |det(U)|=1; (2) C-1=CT,U-1=UH; (3) 正交(酉)矩阵的逆、两个正交(酉)矩阵的乘积仍是正交 (酉)矩阵； (4) n阶正交(酉)矩阵的列或行向量组是Rn(Cn)中的标准正 交基。
矩阵知识点总结图解
矩阵知识点总结图解一、矩阵的定义1.1 矩阵的概念矩阵是一个由m行n列的数域中的数字组成的矩形数组。
例如，一个3行2列的矩阵可以表示为：\[ \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22} \\a_{31} & a_{32} \\\end{bmatrix}\]1.2 矩阵的基本术语- 行数：矩阵中的行数为m。
- 列数：矩阵中的列数为n。
- 元素：矩阵中的每个数字称为元素，如矩阵中的a11、a12等。
- 维数：一个m行n列的矩阵的维数为m×n。
1.3 矩阵的表示矩阵可以用方括号表示，矩阵中的元素用逗号隔开，例如：\[ A = \begin{bmatrix}1 &2 &3 \\4 &5 &6 \\\end{bmatrix}\]二、矩阵的基本运算2.1 矩阵的加法对于两个相同维数的矩阵A和B，它们的加法定义为矩阵中相应位置元素的和。
即：\[ A + B = \begin{bmatrix}a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & a_{13}+b_{13} \\a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & a_{23}+b_{23} \\\end{bmatrix}\]2.2 矩阵的数乘对于一个m行n列的矩阵A和一个数k，它们的数乘定义为矩阵中每个元素与k的乘积。
即：\[ kA = \begin{bmatrix}ka_{11} & ka_{12} & ka_{13} \\ka_{21} & ka_{22} & ka_{23} \\\end{bmatrix}\]2.3 矩阵的乘法对于一个m行n列的矩阵A和一个p行q列的矩阵B，若n=p，则它们的乘法定义为：\[ AB = C \]其中C是一个m行q列的矩阵，其中元素cij的计算方式为：\[ c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{in}b_{nj} \]2.4 矩阵的转置一个m行n列的矩阵A的转置是一个n行m列的矩阵，其中元素aij转置为aji。
特殊矩阵知识点总结归纳
特殊矩阵知识点总结归纳一、特殊矩阵的定义在线性代数中，矩阵是一个非常重要的概念，它是一个按照矩形排列的数的集合。
特殊矩阵是指具有特殊性质的矩阵，这些特性可以是对角矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵、对称矩阵、正交矩阵等。
1. 对角矩阵对角矩阵是一种形式特殊的矩阵，它的非对角元素都是零。
具体来说，一个n×n的矩阵A 是对角矩阵，当且仅当a_ij=0，i≠j。
对角矩阵的特点是计算简单，特殊类型的特殊矩阵可以大大简化计算过程。
2. 上三角矩阵和下三角矩阵上三角矩阵和下三角矩阵也是特殊矩阵的一种。
上三角矩阵是指所有主对角线以下的元素都为零的矩阵，而下三角矩阵是指所有主对角线以上的元素都为零的矩阵。
这两种矩阵的特点是对称性很强，可以简化矩阵的运算过程。
3. 对称矩阵对称矩阵是一种特殊的矩阵，它满足a_ij=a_ji。
也就是说，对称矩阵的元素关于主对角线对称。
对称矩阵具有许多特殊的性质，比如它的特征值都是实数，对应不同的特征值的特征向量是正交的等。
4. 正交矩阵正交矩阵是指满足Q^T·Q=I的方阵Q，其中Q^T表示Q的转置矩阵，I表示单位矩阵。
正交矩阵的特点是它的列向量是正交的，也就是说，Q^T·Q=I意味着Q的列向量正交。
正交矩阵在旋转、变换等领域有着广泛的应用。
二、特殊矩阵的性质特殊矩阵具有许多特殊的性质，这些性质使得它们在科学计算、工程学和物理学等领域中有着广泛的应用。
1. 对角矩阵的性质对角矩阵的特点是它的非对角元素都是零，这使得它的计算非常简单。
对角矩阵的特征值就是它的对角线上的元素，而特征向量就是标准基的元素。
此外，对角矩阵具有可逆性，只要对角线上的元素不全为零，对角矩阵就是可逆的。
2. 上三角矩阵和下三角矩阵的性质上三角矩阵和下三角矩阵都具有可逆性，只有主对角线上的元素不为零，它们就是可逆的。
此外，上三角矩阵和下三角矩阵的特征值就是它们的对角线上的元素，而特征向量就是标准基的元素。
线性代数-特殊矩阵
例3 设 A2 A, E 是单位矩阵，证明：
( A E )m E (2m1 1) A
其中, m是正整数. 证 A,E相乘可以交换，由二项式定理有：
( A E )m
0 1 2 m 1 m Cm Am Cm Am 1 Cm Am 2 Cm A Cm E
2.2
几种特殊的矩阵
• 对角矩阵、数量矩阵和单位矩阵 • 上(下)三角形矩阵 • 对称矩阵和反对称矩阵 • 幂等矩阵，幂幺矩阵和幂零矩阵
一、对角矩阵、数量矩阵和单位矩阵
1.对角矩阵 形如
a1 a2 的方阵称为对角矩阵． an nn
【注】 1o A ( aij )nn 为对角矩阵 aij=0(i≠j，i,j=1,2,…,n)
1 0 0 1 例2 设 A 0 0 0 , B 3 1 1 1 , 0 0 1 1
验证A,B都是幂等矩阵． 解
1 0 0 1 0 0 1 2 A 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 B 2 3 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 B 1 0 0 0 0 A 0 1 1 1 1 3 1 1 1 1
0 a22 an 2 0 0 的方阵称为下三角矩阵． ann
2.下三角形矩阵
【注】A为上三角阵
aij=0, i＞j ( i, j=1,2,…,n)； A为下三角阵 aij=0, i＜j ( i, j=1,2,…,n)．
三、对称矩阵和反对称矩阵
0 1 2 m 1 m Cm A Cm A Cm A Cm A Cm E
数据结构之特殊矩阵
数据结构之特殊矩阵特殊矩阵在数据结构中是一个重要的概念，它是一种具有特定性质的矩阵，可以帮助我们解决很多实际问题。
在本文中，我将介绍几种常见的特殊矩阵，并说明它们的结构和用途。
一、对称矩阵对称矩阵是指矩阵的第i行第j列元素等于第j行第i列元素的矩阵。
对称矩阵的主对角线上的元素对称于矩阵的副对角线上的元素。
对称矩阵在图论、物理学和金融学领域有广泛的应用。
例如，在图论中，对称矩阵常用于表示图的邻接矩阵。
二、上三角矩阵上三角矩阵是指矩阵的下三角部分全为0的矩阵。
上三角矩阵可以有效地节省内存空间，并且在矩阵乘法和矩阵求逆等运算中具有重要的作用。
在线性代数中，上三角矩阵常用于解线性方程组和计算特征值等问题。
三、下三角矩阵下三角矩阵是指矩阵的上三角部分全为0的矩阵。
和上三角矩阵一样，下三角矩阵也可以节省空间并且在矩阵运算中有重要的应用。
在数值分析中，下三角矩阵常用于求解线性方程组和计算矩阵的特征值。
四、稀疏矩阵稀疏矩阵是指矩阵中绝大部分元素为0的矩阵。
稀疏矩阵在图论、网络分析和机器学习等领域有广泛的应用。
由于稀疏矩阵的元素非常稀少，因此可以有效地压缩存储和加速计算过程。
在处理大规模数据时，稀疏矩阵的优势更加明显。
五、对角矩阵对角矩阵是指除了主对角线上的元素外，其他元素都为0的矩阵。
对角矩阵在线性代数和微分方程等领域有广泛的应用。
由于对角矩阵的特殊结构，其乘法和逆运算非常简单，可以提高计算效率。
六、压缩矩阵压缩矩阵是一种用于存储稀疏矩阵的数据结构。
常见的压缩矩阵包括行压缩矩阵、列压缩矩阵和坐标压缩矩阵。
压缩矩阵可以提高稀疏矩阵的存储效率，并且可以支持基本的矩阵运算。
总结起来，特殊矩阵是指具有一定特性的矩阵，包括对称矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵、稀疏矩阵、对角矩阵和压缩矩阵等。
这些特殊矩阵在不同的领域和问题中有广泛的应用，能够提高存储效率和计算效率，对于处理大规模数据和复杂计算任务具有重要的作用。
因此，了解和熟悉特殊矩阵的结构和特点对于数据结构的学习和实践非常重要。
小结之特殊矩阵
■
■ ■
■
■
■
初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵 左乘以一个矩阵相当于对该矩阵做一次初等行变换
右乘以一个矩阵相当于对该矩阵做一次初等列变换 初等矩阵都是可逆矩阵, 且
1) P( i, j )-1 = P( i, j );
1 1 P ( i ( c ) ) P ( i ( c )); 2)
成对角形.
C TAC
5
反对称矩阵 AT= - A . 反对称矩阵特征值为0或者纯虚数
反对称矩阵与反对称变换一一对应
反对称变换在标准正交基下的矩阵是反对称矩阵 ( A , ) = -( , A )
T ( A ) = -TA
如果V1是反对称变换的不变子空间，则V1⊥也是
6
f ( x1 , x2 , … , xn ) =XTAX ( A 是实对称)是正定的 等价条件：
若尔当块
0 1 J0 0 0
0
0
1 0
0 0 0 0 0 1 0 n n 0
16
与初等因子 ( - 0)n 相互唯一确定.
若尔当形矩阵
J1 J
J2
Js
幂零矩阵的特征值全是0
幂零矩阵的Jordan标准形
J1 J
J2
Js
0 1 Ji 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 1 0 m m
10
幂等矩阵
A2=A
幂等矩阵的特征值全是0和1
幂等矩阵相似于对角形矩阵 P305 幂等的对称矩阵正交相似于对角形矩阵
1-3 初等矩阵
1
E , 1 CA
T T
即可得 Y CA
1
.
( A , C ) 作初等行变换，
T
（A ,C ) 即可得 Y
T
列变换
1 T T T 1
( E , ( A ) C ), ) C (A ) C ,
T
T
1
T
(A
即可求得
Y.
1） 0 0 0 1 0 0 0 1 1 3 2 1 3 3 1 2 5 2 1
r2 2） 1 （
r3 （
2 2 0 3 6 5 0 1 1 1 1 3 2 1 3 5 1 A 3 . 2 2 1 1 1 0 0 1 3
1 (A B) 2 3
1 0 0 0 2 0 0 0 1
2 2 4
3 4 1
3 1 3
2 3 4
5 1 3
1 0 0
0 2 0
0 0 1
3 4 1
2 r 2r 3 6 1 r2 5 r3 3
2 （ r2 2） 6 r 1） （ 3 3
1
设 n 阶 矩 阵 A 非 奇 异 , 由 定 理 6 , 有 初 等 矩 阵 P1 , P2 , , Pm 使 得 Pm P2 P1 A E
因此， Pm P2 P1 A E ） ( Pm P2 P1 A Pm P2 P1 E ) ( E A ) （
1
1
E ij ( k ) .
矩阵的等价
定理1 n 阶矩阵 A 可以经有限次消法变换化为对角矩阵 ， d ia g ( d 1 , d 2 , d r , 0, 0 ).
矩阵的概念及几种特殊矩阵
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3.数量矩阵
如下形式的 n 阶矩阵称为数量矩阵：
a 0 0 A 0 a 0 。
0 0 a
数量矩阵是特殊的对角矩阵：a11=a22==ann=a。
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4.单位矩阵
如下形式的 n 阶矩阵称为单位矩阵，记为 In 或或IE,n 或 E。
例如
3 4
1 2
与
5 6
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a b c d e f
当 a=3, b=-1, c=4, d=2,
e=-5, f=6 时, 它们相
等.
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三、几种特殊的矩阵
1 .零矩阵
若一个矩阵的所有元素都为零, 则称这个矩阵为
零矩阵, m n 零矩阵记为 Ｏm n 在, 不会引起
1 0 0
0 1 0
I
。
0 0 1
单位矩阵是特殊的数量矩阵：a11=a22==ann=a=1。
单位矩阵的作用： 类似于数字“1”的运算。
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5.对称矩阵
阵，即
如果 n 阶矩阵 A 满足 AT=A ，则称 A 为对称矩
a11 a12 a1n
A
a12 a22 a2n
§2.1 矩阵的概念 几种特殊的矩阵
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一、基本概念
定义 由 m n 个数 aij (i= 1, 2,
1-3常见特殊矩阵
A1-1=diag(1,…,1,1/a,1,…,1)；
A2-1=I-beiejT；
A3-1=A3。
分块形式初等变换矩阵。
例1 设A∈Cm×n，B∈Cn×m ，证明：AB和BA的非 零特征值完全相同，而且重数也相同。此外还有 det(Im+AB)=det(In+BA)。
3. 对称矩阵
(a) 实对称矩阵和复Hermite矩阵
特别的可以取y=e1。
设U∈Cn×n，如果满足U*U=UU*=I，则称U为酉 (unitary)矩阵。 酉矩阵与正交矩阵有着类似的性质。
5. 内积空间(欧式空间)
设V是实数域R上的线性空间。如果对于V中任意 两个向量x,y，可以定义一个二元运算<x,y>，并且 满足： 1. 交换性 <x,y>=<y,x>； 2. 分配律 <x,y+z>=<x,y>+<x,z>； 3. 齐次性 <kx,y>=k<x,y>，k∈R； 4. 非负性 <x,x>≥0，且等号只有当x=0时才成立。
1.3 常见特殊矩阵
1. 上三角矩阵 2. 初等变换矩阵 3. 对称矩阵 4. 正交矩阵 5. 内积空间
我们尽量采用如下记号：
用大写英文字母表示矩阵，如A,B,… 用小写英文字母加上下标表示矩阵的元素，如 a11,b2n,… 用小写英文字母表示向量，如x,y,z,…
用小写希腊字母表示标量，如a,b,l,m,…
设A∈Rn×n，如果满足A=AT，则称A为对称矩阵 (symmetric matrix)。记做A∈SRn×n。 对称矩阵的特征值都是实数。
设A∈Rn×n，如果满足A=-AT，则称A为反对称矩 阵(skew-symmetric matrix)。 反对称矩阵的特征值只能是纯虚数或0。
初中数学知识点矩阵的特殊类型与性质
初中数学知识点矩阵的特殊类型与性质矩阵作为初中数学的一个重要知识点，是一种方阵，由行和列所组成。
在矩阵的学习中，我们不仅需要了解基本的矩阵运算，还需要了解矩阵的特殊类型和性质。
本文将重点讨论初中数学知识点矩阵的特殊类型与性质。
一、方阵与非方阵1. 方阵是指行数等于列数的矩阵，形如n×n。
例如，3×3、4×4和5×5的矩阵都是方阵。
方阵在求逆、求行列式等运算中具有特殊的性质，是矩阵运算的基础。
2. 非方阵是指行数不等于列数的矩阵，形如m×n。
例如，2×3、3×4和4×5的矩阵都是非方阵。
二、对角矩阵1. 对角矩阵是指除了主对角线上的元素外，其余元素均为零的矩阵。
对角矩阵的主对角线上的元素称为对角元素。
2. 对角矩阵的特殊性质是，对角元素之外的所有元素都为零。
这使得对角矩阵在矩阵运算中具有一些简化的特点。
例如，对角矩阵的乘法运算只需要对对角元素进行相应的运算，其他元素都为零，可以大大简化计算。
三、单位矩阵1. 单位矩阵是指主对角线上的元素均为1，其余元素均为零的对角矩阵。
单位矩阵通常用符号I表示。
2. 单位矩阵的特殊性质是，单位矩阵乘以任意矩阵得到的结果还是原来的矩阵。
即对于任意矩阵A，有AI=IA=A。
四、零矩阵1. 零矩阵是指所有元素都为零的矩阵，通常用符号O表示。
零矩阵的行数和列数可以是任意值。
2. 零矩阵的特殊性质是，任何矩阵与零矩阵进行加法运算的结果都是原来的矩阵。
即对于任意矩阵A，有A+O=O+A=A。
五、上三角矩阵和下三角矩阵1. 上三角矩阵是指主对角线以下的元素都为零的矩阵。
例如，3×3的上三角矩阵形如：a b c0 e f0 0 i2. 下三角矩阵是指主对角线以上的元素都为零的矩阵。
例如，3×3的下三角矩阵形如：a 0 0d e 0g h i六、转置矩阵1. 转置矩阵是指将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
矩阵知识点归纳
矩阵知识点归纳矩阵是线性代数中一种重要的数学工具，它广泛应用于科学、工程、计算机科学等领域。
本文将对矩阵的基本概念、运算法则以及常见的矩阵类型进行归纳总结。
一、矩阵的基本概念1. 矩阵的定义：矩阵是由m行n列的元素排列而成的矩形阵列，用大写字母表示，如A。
其中，m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。
2. 元素：矩阵中的数值称为元素，用小写字母表示，如a。
矩阵A的第i行第j列的元素表示为a_ij。
3. 零矩阵：所有元素都为0的矩阵，用0表示。
4. 单位矩阵：主对角线上的元素为1，其他元素为0的矩阵，用I表示。
5. 行向量和列向量：只有一行的矩阵称为行向量，只有一列的矩阵称为列向量。
二、矩阵的运算法则1. 矩阵的加法：两个相同维数的矩阵相加，即对应位置的元素相加。
2. 矩阵的减法：两个相同维数的矩阵相减，即对应位置的元素相减。
3. 矩阵的数乘：用一个数乘以矩阵的每个元素。
4. 矩阵的乘法：矩阵乘法需要满足左矩阵的列数等于右矩阵的行数。
若A是m×n的矩阵，B是n×p的矩阵，那么A与B的乘积AB是m×p的矩阵，且AB的第i行第j列元素为A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和。
5. 转置：将矩阵的行和列对调得到的矩阵称为原矩阵的转置。
若A为m×n的矩阵，其转置记作A^T，即A的第i行第j列元素等于A^T的第j行第i列元素。
三、常见的矩阵类型1. 方阵：行数和列数相等的矩阵称为方阵。
2. 对角矩阵：主对角线以外的元素都为0的方阵称为对角矩阵。
3. 上三角矩阵：主对角线以下的元素都为0的方阵称为上三角矩阵。
4. 下三角矩阵：主对角线以上的元素都为0的方阵称为下三角矩阵。
5. 对称矩阵：元素满足a_ij=a_ji的方阵称为对称矩阵。
6. 反对称矩阵：元素满足a_ij=-a_ji的方阵称为反对称矩阵。
7. 单位矩阵：主对角线上的元素为1，其他元素为0的方阵称为单位矩阵。
四、矩阵的性质1. 矩阵的零点乘法：任何矩阵与零矩阵相乘，结果都是零矩阵。
矩阵讲义 1-3-1
式因子，记为 Dk (λ ) 。 结论 1 结论 2 Dk (λ ) Dk +1 (λ ) （ k = 1,2, L ） 设 d 1 (λ ),L , d s (λ ) 是 A(λ ) 的不变因子，则 d 1 ( λ ) = D1 (λ ), 结论 3 d i (λ ) = Di (λ ) Di −1 (λ ) (i = 1,2,L , s )
13
在用初等变换法求矩阵 A 的 Jordan 标准形时，是对 A 的特征矩阵 λI − A 这 一特殊的 λ -矩阵用初等变换化为 Smith 标准形来进行的。举例说明如下： 例 求下列矩阵的 Jordan 标准形： 3 1 0 1） A = − 1 1 0 ； −1 −1 2 解 第一步：对 λI − A 用初等变换化为 Smith 标准形： λ − 3 − λ2 + 4λ − 4 0 0 c − (λ −1) c λ − 3 −1 1 2 λ −1 0 → 1 0 0 λI − A = 1 1 1 λ − 2 2−λ λ − 2 1 0 − (λ − 2) 2 0 → 1 2−λ 0
3° ) 将某一行（列）的 ϕ (λ ) 倍加到另一行（列）上，其中 ϕ (λ ) 是 λ 的多项 式；第 j 行（列）的 ϕ (λ ) 倍加到第 i 行（列） ，记为 结论 ri + ϕ (λ ) r j （ c i + ϕ (λ ) c j ） 。
λ -矩阵 A(λ ) 总可以通过初等变换化为如下形式的矩阵 d 1 (λ ) d 2 (λ ) O S (λ ) = O d r (λ ) O O
r2 − 2 r3 r2 ×( −1)
1 0 0 λ 0 0
1-3 常见特殊矩阵
把正定矩阵定义中的x 改成x 把正定矩阵定义中的 TAx>0改成 TAx<0，则称 改成 ，则称A 矩阵。 是负定 (negative definite)矩阵。记做 矩阵 记做A<0。 。 负定矩阵的特征值都是负数 负数。 负定矩阵的特征值都是负数。
× 如果对任意x∈ 设A∈SRn×n，如果对任意 ∈Rn有xTAx≥(≤)0，则 ∈ ， 称A为半正 负)定 (semi positive/negative definite) 为半正(负 定 矩阵，记做A≥(≤)0。 矩阵，记做 。
4. 正交矩阵
设Q∈Rn×n，如果 TQ=QQT=I，则称 为正交 ∈ × 如果Q ，则称Q为 (orthogonal)矩阵。 矩阵。 矩阵 正交矩阵一定可逆， 正交矩阵一定可逆，且Q-1=QT。 是正交矩阵， 设Q1,Q2是正交矩阵，则Q1-1, Q1Q2, diag(Q1,Q2)也 也 都是正交矩阵。 都是正交矩阵。 1. Givens变换： 变换： 变换 A = c s , c 2 + s 2 = 1, A = cosθ sinθ . − s c − sinθ cosθ 可以通过一系列的Givens变换把任意非零向量变 可以通过一系列的 变换把任意非零向量变 的倍数。 成e1的倍数。
1.3 常见特殊矩阵
1. 上三角矩阵 2. 初等变换矩阵 3. 对称矩阵 4. 正交矩阵 5. 内积空间
我们尽量采用如下记号： 我们尽量采用如下记号： 用大写英文字母表示矩阵， 用大写英文字母表示矩阵，如A,B,… 用小写英文字母加上下标表示矩阵的元素，如 用小写英文字母加上下标表示矩阵的元素， a11,b2n,… 用小写英文字母表示向量， 用小写英文字母表示向量，如x,y,z,… 用小写希腊字母表示标量， 用小写希腊字母表示标量，如α,β,λ,µ,…
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设A∈SRn×n，如果对任意x∈Rn有xTAx≥(≤)0，则 称A为半正(负)定 (semi positive/negative definite) 矩阵，记做A≥(≤)0。
分块(block)对角矩阵：A=diag(A11,A22,…,Akk)； 分块(block)上(下)三角矩阵； 分块上(下)三角矩阵的特征值是各对角块矩阵特征 值的并集，其逆矩阵仍然是分块上(下)三角矩阵。
2. 初等变换矩阵
第一类：A1=diag(1,…,1,a,1,…,1)； 第二类：A2=I+beiejT； 第三类：A3=[e1,…,ei-1,ej,ei+1,…,ej-1,ei,ej+1,…,en]； 左行右列
对称半正定矩阵的特征值都大于等于0。
下列条件都等价：
1. A是半正定矩阵； 2. A的所有顺序主子式都大于等于0； 3. 存在矩阵C，使得A=CCT； 4. A对称，且所有特征值都非负。
设A是复Hermite矩阵，如果对任意x∈Cn都有 x*Ax>(<,≥,≤)0，则称A为正定(负定，半正定，半 负定)矩阵。
6. V=Rn，A>0， <x,y>=xTAy；a
在欧式空间中，称非负实数 x, x 为x的长度 (模、范数)，记为||x||。
1. ||kx||=|k| ||x||； 2. ||x+y||=||x||+||y||； 3. ||<x,y>||≤||x|| ||y||。
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设A∈Rn×n，如果满足A=AT，则称A为对称矩阵 (symmetric matrix)。记做A∈SRn×n。 对称矩阵的特征值都是实数。
设A∈Rn×n，如果满足A=-AT，则称A为反对称矩 阵(skew-symmetric matrix)。 反对称矩阵的特征值只能是纯虚数或0。
设A∈Cn×n，如果满足A=A*，则称A为Hermite 矩 阵(Hermitian matrix)；如果满足A=-A*，则称A为 反Hermite 矩阵(skew-Hermitian matrix)。
可以通过一系列的Givens变换把任意非零向量变 成e1的倍数。
2. Householder变换：
任给单位向量u，定义H=I-2uuT，则H被称为 Householder矩阵。
H满足：HT=H，H2=I，det(H)=-1。
对任意非零向量x，y，总可以找到一个
Householder矩阵H，使得Hx=ay。
1-3 常见特殊矩阵
1. 上三角矩阵
In表示n阶单位矩阵(identity matrix of order n)； ei表示In的第i列； 对角矩阵(diagonal matrix)：A=diag(a11,a22,…,ann) 上三角矩阵(upper triangular matrix) 下三角矩阵(lower triangular matrix) 上(下)三角矩阵的特征值就是对角元； 上(下)三角矩阵的逆矩阵仍然是上(下)三角矩阵；
A1-1=diag(1,…,1,1/a,1,…,1)；
A2-1=I-beiejT；
A3-1=A3。
分块形式初等变换矩阵。
例1 设A∈Cm×n，B∈Cn×m ，证明：AB和BA的非 零特征值完全相同，而且重数也相同。此外还有 det(Im+AB)=det(In+BA)。
3. 对称矩阵
(a) 实对称矩阵和复Hermite矩阵
则称这个二元运算是内积，V称为Euclid空间，或 欧式空间，或内积空间。
上述定义可以推广到复数域C上。
1. V=Rn，<x,y>=xTy； 2. V=Cn，<x,y>=x*y； 3. V=Cn，<x,y>=xTy； 不是内积 4. V=Rn×n，<A,B>=tr(ABT)；
5. V=C[a,b]，f(x ),g (x ) bf(x )g (x )d x；
(b) 正定矩阵
设A∈SRn×n，如果对任意x∈Rn都有xTAx>0，则称 A为对称正定 (symmetric positive definite)矩阵。 记做A>0。 对称正定矩阵的特征值都是正数。 下列条件都等价： 1. A是正定矩阵； 2. A的所有顺序主子式都大于0； 3. 存在非奇异矩阵C，使得A=CCT； 4. A对称，且所有特征值都是正数。
4. 正交矩阵
设Q∈Rn×n，如果QTQ=QQT=I，则称Q为正交 (orthogonal)矩阵。
正交矩阵一定可逆，且Q-1=QT。 设Q1,Q2是正交矩阵，则Q1-1, Q1Q2, diag(Q1,Q2)也 都是正交矩阵。
1. Givens变换：
Acscs, c2s21, Acsoisn csoins.
特别的可以取y=e1。
设U∈Cn×n，如果满足U*U=UU*=I，则称U为酉 (unitary)矩阵。 酉矩阵与正交矩阵有着类似的性质。
5. 内积空间(欧式空间)
设V是实数域R上的线性空间。如果对于V中任意 两个向量x,y，可以定义一个二元运算<x,y>，并且 满足： 1. 交换性 <x,y>=<y,x>； 2. 分配律 <x,y+z>=<x,y>+<x,z>； 3. 齐次性 <kx,y>=k<x,y>，k∈R； 4. 非负性 <x,x>≥0，且等号只有当x=0时才成立。