(05)第5章 概率与概率分布

– 一个试验中所有基本事件的集合，用表示
– 如：在掷枚骰子的试验中，{1,2,3,4,5,6} – 在投掷硬币的试验中，{正面，反面}
小游戏：掷骰子
• 掷1个骰子后：
– 点数为3的概率？ – 点数为偶数的概率？ – 点数大于10的概率？ – 点数小于7的概率？
4.概率的古典定义
事件A所包含的基本事件个数 P( A) 样本空间所包含的基本 事件个数 m ＝ n
– 若A与B互斥，则P ( A∪B ) = P ( A ) + P ( B ) – 多个两两互斥事件A1，A2，…，An， P ( A1∪A2 ∪… ∪An) = P ( A1 ) + P (A2 ) + …+ P (An )
小游戏：轮盘赌
• 停在奇数的概率？ • 停在红色或奇数的概率？
8
10
8
7.概率的加法法则(additive rule)
第 5 章 概率与概率分布
小游戏：掷骰子
• 掷1枚骰子有几种结果
• 如果只掷1次，结果是？
1.试 验(experiment)
1. 在相同条件下，对事物或现象所进行的观察
– 如：掷一枚骰子，观察其出现的点数
2. 试验的特点
– 可以在相同的条件下重复进行 – 每次试验的可能结果可能不止一个，但试验的所有 可能结果在试验之前是确切知道的 – 在试验结束之前，不能确定该次试验的确切结果
10/18
10/18 8/18

18/37
红
1/37
绿
1/1
10.全概公式
• 设事件A1，A2，…，An 两两互斥 • A1+A2+…+ An=，且P(Ai)>0(i=1,2, …,n)
P( B) P( Ai ) P( B | Ai )
i 1
n
例 6：某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各种机床的 次品率分别为 5%、 4%、 2% ，它们各自的产品分别占总产 量的25%、35%、40%，将它们的产品组合在一起，求任取 一个是次品的概率。 解：设 A1表示“产品来自甲台机床”， A2表示“产品来自乙台机床”， A3表示“产品来自丙台机床”， B表示“取到次品”。
P ( AB ) P(A|B) = P(B)
P(AB)=P(B)P(A|B)
P(AB)=P(A)P(B|A)
例 4 ：设有 1000 件产品，其中 850 件是正品， 150 件是次品，从中依次抽取 2 件，两件都是次 品的概率是多少？
解：设 Ai 表示“第 i 次抽到的是次品”(i=1,2)，
P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 | A1 ) 150 149 0.0224 1000 999
小游戏：轮盘赌
• 2次都停在红色的概率？
9.事件的独立性(independence)
• 一个事件的发生与否并不影响另一个事件发 生的概率，则称两个事件独立
• 若事件A与B独立， 则P(B|A)=P(B)， P(A|B)=P(A) P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)· P(B) P(A1 A2 …An)=P(A1)P(A2) … P(An)
例1：某钢铁公司所属三个工厂的职工人数如下表。从 该公司中随机抽取1人，问： (1)该职工为男性的概率 (2)该职工为炼钢厂职工的概率
某钢铁公司所属企业职工人数 工厂 炼钢厂 炼铁厂 轧钢厂 合计 男职工 4400 3200 900 8500 女职工 1800 1600 600 4000 合计 6200 4800 1500 12500
i 1 n
• 贝叶斯公式： P( Ai | B)
P ( Ai ) P ( B | Ai )
P( A
j 1
n
j
) P( B | A j )
练1：芒果公司有2款游戏，调查发现100名玩家中
有80位玩第1款游戏，有20位玩第2款游戏，在游戏
1的玩家中有60%的客户认为好玩，在游戏2的玩家
中有30%的客户认为不好玩，经理在这100名玩家
i 1
6
1 1 2 (1 3.5) (6 3.5) 2.9167 6 6
2
3. 期望与方差
E ( X ) xi pi
i 1 n
( X取有限个值）
D( X ) xi E ( X ) pi
2 i 1
n
D( X )
4. 贝努里试验
• • • • 试验包含了n 个相同的试验 每次试验只有2个可能的结果，即“成功”和“失败” 出现“成功”的概率 p 对每次试验结果是相同的；“ 失败”的概率 q 也相同，且 p + q = 1 试验是相互独立的
– 如：掷一枚骰子出现的点数小于7
4. 不可能事件(impossible event)：每次试验一定不出现的 事件，用表示
– 如：掷一枚骰子出现的点数大于6
3.事件与样本空间
1. 基本事件(elementary event)
– 一个不可能再分的随机事件 – 如：掷一枚骰子出现的点数
2. 样本空间(sample space)
解：设A＝{读甲报纸}， B＝{读乙报纸}， C＝{至少读一种报纸}。 则 P ( C ) =P ( A∪B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A∩B ) =0.2 + 0.16 - 0.08 = 0.28
小游戏：轮盘赌
• 特别情报：停在红色区 • 停在奇数的概率？
8
10
8
8.条件概率(conditional probability)
小游戏：抛硬币
• 试验 • 结果 • 样本空间
5.概率的统计定义
正面 /试验次数
1.00
0.75
0.50 0.25
0.00
0 25 50 75 试验的次数 100 125
m P( A) p n
例2：某工厂为节约用电，规定每天的用电量指标 为1000度。按照上个月的用电记录，30天中有12天的 用电量超过规定指标，若第二个月仍没有具体的节电 措施，试问该厂第一天用电量超过指标的概率。
P( B) P( Ai ) P( B | Ai )
i 1
3
0.25 0.05 0.35 0.04 0.40 0.02 0.0345
小游戏：轮盘赌
黑
18/37 8/18
奇
偶 奇 偶 偶
10/18
10/18 8/18

18/37
红
1/37
绿
1/1
11.贝叶斯公式
设 n 个 事 件 A1 ， A2 ， … ， An 两 两 互 斥 ， A1+A2+…+ An= ，且P(Ai)>0(i=1,2, …,n)，则
P( Ai | B)
P( Ai ) P( B | Ai )
P( A ) P( B | A )
j 1 j j
n
例7：某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各种机床的次 品率分别为 5%、 4%、 2%，它们各自的产品分别占总产量的 25%、35%、40%，将它们的产品组合在一起，如果取到的一 件产品是次品，分别求这一产品是甲、乙、丙生产的概率
例 5 ：某工人同时看管三台机床，每单位时间 ( 如 30 分钟 ) 内 机床不需要看管的概率：甲机床为0.9，乙机床为0.8，丙机 床为0.85。若机床是自动且独立地工作，求
（1）在30分钟内三台机床都不需要看管的概率
（2）在30分钟内甲、乙机床不需要看管，且丙机床需要看 管的概率 解：设 A1，A2，A3为甲、乙、丙三台机床不需要看管的事件，
某钢铁公司所属企业职工人数 工厂 炼钢厂 炼铁厂 轧钢厂 合计 男职工 4400 3200 900 8500 女职工 1800 1600 600 4000 合计 6200 4800 1500 12500
全公司男性职工人数 8500 P( A) 0.68 全公司职工总人数 12500 炼钢厂职工人数 6200 P( B) 0.496 全公司职工总人数 12500
超过用电指标天数 12 P( A) 0.4 试验的天数 30
小游戏：轮盘赌
• 停在数字8的概率？ • 停在数字37的概率？ • 停在红色的概率？
• 停在红色或黑色的概率？
6.概率的性质
1. 非负性： 0 P(A) 1 2. 规范性：P ( ) = 1； P ( ) = 0 3. 可加性：
以他们调查了96个人，其中32人参加瑜伽班，72人
参加游泳班，还有24人两个班都参加，问参加瑜伽
班和游泳班是相关的，还是独立的？
练4：抛硬币，连续10次都是正面朝上，问第11次
Hale Waihona Puke Baidu
反面朝上的概率是多少？
二、离散型随机变量及其分布
1.随机变量(random variables)
试验 抽查100个产品 一家餐馆营业一天 电脑公司一个月的销售 销售一辆汽车 试验 抽查一批电子元件 新建一座住宅楼 测量一个产品的长度 随机变量 取到次品的个数 顾客数 销售量 顾客性别 随机变量 使用寿命(小时) 半年后工程完成的百分比 测量误差(cm) 可能的取值 0,1,2, …,100 0,1,2, … 0,1, 2,… 男性为0,女性为1 可能的取值 X0 0 X 100 X0
2. 概率函数与概率分布
X = xi P(X =xi)
P(X) 1 1/6 2 1/6 3 1/6 4 1/6 5 1/6 6 1/6
1/6
1
2
3
4
5
6
X
2. 概率函数与概率分布
X = xi P(X =xi)
P(X) 1 1/4 2 1/2 3 1/4
1/2
1/4 1 2 3 X
2. 概率函数与概率分布
中随机挑选了1名玩家，问他游戏是否好玩，他说好 玩，那么他玩游戏1的概率是多少？
练2：52张扑克牌中有13张红桃，问： • 随机从中抽了一张牌，发现是红桃的概率是多少？ • 第1张不放回，又随机抽了一张红桃的概率是多少？
练3：芒果健身俱乐部现有游泳班和瑜伽班，他们想
知道参加游泳班的人是否更有可能参加瑜伽班，所
P ( A∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A ∩B )
A B A B
P ( A∪ B ) = P ( A ) + P ( B )
例3：设某地有甲、乙两种报纸，该地成年人中 有 20%读甲报纸， 16%读乙报纸， 8%两种报纸 都读。问成年人中有百分之几至少读一种报纸。
解：设 A1表示“产品来自甲台机床”， A2表示“产品来自乙台机床”， A3表示“产品来自丙台机床”， B表示“取到次品”。
0.25 0.05 0.3623 0.0345 0.35 0.04 P ( A2 | B ) 0.406 0.0345 0.4 0.02 P ( A3 | B ) 0.232 0.0345 P ( A1 | B )
2.事件的概念
1. 事件(event)：随机试验的每一个可能结果(任何样本点集 合)
– 如：掷一枚骰子出现的点数为3
2. 随机事件 (random event) ： 每次试验可能出现也可能不 出现的事件
– 如：掷一枚骰子可能出现的点数
3. 必然事件(certain event)：每次试验一定出现的事件，用 表示
A3 为丙机床需要看管的事件，
(1) P(A1A2A3)= P(A1) ∙P(A2) ∙ P(A3)=0.9×0.8×0.85=0.612 (2) P(A1A2A3)= P(A1) ∙P(A2) ∙ P(A3)
= 0.9×0.8×(1-0.85)=0.108
小游戏：轮盘赌
黑
18/37 8/18
奇
偶 奇 偶 偶
小结
• 随机事件：0 P(A) 1 • 必然事件：P ( ) = 1
• 不可能事件：P ( ) = 0
• 互斥事件：P ( A∪B ) = P ( A ) + P ( B ) • 非互斥事件：P ( A∪B ) = P ( A ) + P ( B )- P ( A∩B ) • 条件概率：P(A|B)=P(AB)/P(B)，P(AB)=P(B)P(A|B) • 独立事件：P(AB)=P(A)· P(B) • 全概率公式： P( B) P( Ai ) P ( B | Ai )
X = xi P(X =xi)
P(X)
0.95
0 0.05
1 0.95
0
1
X
3. 期望与方差
X = xi P(X =xi)
1 1/6
6
2 1/6
3 1/6
4 1/6
5 1/6
6 1/6
E ( X ) xi p i 1
i 1
1 1 6 3.5 6 6
2
D( X ) xi E ( X ) pi