3(3)函数的单调性与极值

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高等数学自考3.3函数的单调性与极值

上单调增加；在上单调增加（i）如果在 b)内f ′(x) > 0，则f (x)在[a, b]上单调增加；）如果在(a, 内，上单调减少。（ii）如果在 b)内f ′(x) <0，则f (x)在[a, b]上单调减少。）如果在(a, 内，在上单调减少
例1 讨论函数 y = e x − x − 1的单调性 . 的单调性解 Q y′ = e x − 1. 又 Q D : ( −∞ ,+∞ ).
的极值点与极值。例4 求 f (x) = (x −1) x 的极值点与极值。
3 2
解
定义域（定义域（−，+）
2 5x − 2 f ′( x) = x + ( x −1) x = 3 , 3 3 x 2 当 x = 时 , f ′( x ) = 0; 5 当 x = 0时 , f ′( x )不存在
4 3
′(x) = 12x3 −12x2 = 12x2 ( x −1), 解 f
令得驻点: f ′( x) = 0 得驻点 x = 0, 1.
′′( x) = 36x2 − 24x = 12x(3x − 2) f
f ′′(0) = 0, f ′′(1) = 12 > 0.
由极值第二判别法, 由极值第二判别法 ξ=1时, 时 f (ξ)有极小值 f (1)=4. 有极小值: ξ 有极小值由于 f ′′( 0 ) = 0 所以,需用极值第一判别法判定所以需用极值第一判别法判定: 需用极值第一判别法判定
O x
y = x3
定理2 极值存在的一阶充分条件）定理2（极值存在的一阶充分条件）在该邻域（可除外）可导，在该邻域（x0可除外）可导，设f (x)在x0的某邻域内连续，在的某邻域内连续，不存在的点。 x0为f (x)的驻点或使 ′(x) 不存在的点。的驻点或使f 的驻点或使 (i) 若当 < x0 时，f ′(x) > 0；当x > x0 时，f ′(x) < 0，若当x ；，则 f (x0) 是f (x)的极大值；的极大值；的极大值 (ii) 若当 < x0 时，f ′(x) < 0；当x > x0 时，f ′(x) >0，若当x ；，的极小值；则 f (x0) 是f (x)的极小值；的极小值 (iii) 若在 0的两侧，f ′(x)不变号，若在x 的两侧，不变号，不变号不是极值。则f (x0)不是极值。不是极值

大学数学_3_3 函数的单调性与极值

在例 1 中函数 f ( x) x3 3 x 2 2 的极值点为 x=0及x 2, f (0) 2 为极大值， f (2) 2 为极小值. 由极值的定义可以看出，函数的极值概念是局部性的概念 . f ( x0 )是f ( x) 的极值是仅就 x0 的邻域而言的 . 因此函数 f ( x) 的极大（小）值就整个定义域来讲未必是函数 y 的最大（小）值. 在图 3-5 中函数 f ( x) 在区间[a, b] 有两个极大值 f ( x1 ), f ( x4 ) ；有两个极小值 f ( x2 ), f ( x5 ) 其中极小值 f ( x5 ) 大于极大值 f ( x1 ) . a x1 x2 O x3 x4 x5 b x 在整个区间[a, b] 上，极小图3-5
2 3
（1）
由此得到求连续函数极值的一般步骤如下：（1）求导 f ( x) ；（2）求出 f ( x ) 的全部驻点及使 f ( x) 不存在的点（即 f ( x ) 的极值可疑点）；（3）用极值可疑点将定义域分成若干个部分区间,考察 f ( x) 在每个部分区间在上的符号，以确定极值可疑点是否为极值点，并判断在极值点处函数取极大值还是极小值；求出各极值点处的函数值，即得函数的全部极值.
例 1 讨论函数 f ( x) x3 3x 2 2 的增减性 .
解函数 f ( x) 的定义域为 (, ) f ( x) 3x 2 6 x 3x( x 2), 当 x1 0, x2 2 时， f ( x ) 0. 这两点 x1 0, x2 2 将定义域分成三个区间 ( ,0], 0, 2 , 2, . 当 x (,0] (2, ) 时， f ( x) 0 ；当 x (0, 2) 时， f ( x ) 0, 故 x (,0] 2, 为 f ( x) 的单增区间， 0, 2 为 f ( x) 的单减区间，使导数等于零的点恰为单增区间与单减区间分界点 .

函数的单调性与极值点求解

函数的单调性与极值点求解函数的单调性是指函数在定义域上的增减情况，即在整个定义域上是递增还是递减。

而极值点则是指函数在定义域上的最大值或最小值所对应的点。

在数学中，我们经常需要确定一个函数的单调性以及求解其极值点，这对于研究函数的性质及应用具有重要的意义。

函数的单调性判断在求解函数的单调性时，我们可以通过函数的导数来进行判断。

对于一个函数f(x)，如果在定义域内存在任意两个点x1和x2，且满足x1<x2，则有以下情况：1. 当f'(x)>0时，函数f(x)在区间(x1,x2)上是递增的；2. 当f'(x)<0时，函数f(x)在区间(x1,x2)上是递减的；3. 当f'(x)=0时，函数f(x)在该点处可能存在极值点。

根据以上判断准则，我们可以利用函数的导数来确定函数的单调性。

例如，对于函数f(x)=x^3+2x^2-3x+4，我们可以先求出它的导函数f'(x)，即f'(x)=3x^2+4x-3。

然后我们可以通过求解f'(x)=0来确定函数f(x)的极值点。

极值点的求解在确定函数的极值点时，我们可以通过求导数为零的点来进行求解。

具体步骤如下：1. 对于给定的函数f(x)，求出其导函数f'(x)；2. 解方程f'(x)=0，得到函数f(x)的极值点的横坐标；3. 将横坐标代入原函数f(x)中，求出相应的纵坐标，得到函数f(x)的极值点。

以函数f(x)=x^3+2x^2-3x+4为例，我们已经得到了导函数f'(x)=3x^2+4x-3。

现在我们将f'(x)=0转化为方程，即3x^2+4x-3=0。

通过解这个方程，我们可以得到函数f(x)的极值点的横坐标。

假设解的结果为x1和x2，则将x1和x2分别代入原函数f(x)中，求出相应的纵坐标，即可得到函数f(x)的极值点。

需要注意的是，在某些情况下，函数的极值点可能不只是导数为零的点，还可能存在于定义域的边界上或者无穷远处。

高等数学：函数的单调性及其极值

函数的单调性及其极值单调性是函数的重要性态之一，它既决定着函数递增和递减的状况，又能帮助我们研究函数的极值，还能证明某些不等式和分析函数的图形。

本节将以导数为工具，给出函数单调性的判别法及极值的求法。

一、函数的单调性1、函数单调性的判定为利用导数研究函数的单调性，我们首先来看图133--)(a 、)(b 。

图133--)(a 中函数)(x f y =的图像在),(b a 内沿x 轴的正向上升，除点))(,(ξξf 处的切线平行于x 轴外，)(a )(b 图133--曲线上其余点处的切线与x 轴的夹角均为锐角，即曲线)(x f y =在区间),(b a 内除个别点外切线的斜率为正；而图133--)(b 中函数)(x f y =的图像在),(b a 内沿x 轴的正向下降，除个别点外，曲线上其余点处的切线与x 轴的夹角均为钝角，即曲线)(x f y =在区间),(b a 内除个别点外切线的斜率为负。

由此可见函数的单调性与导数的符号有着密切的联系。

反过来，能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？下面我们利用拉格朗日中值定理来讨论。

设函数)(x f 在区间I 内可导，在I 内任取两点1x 和2x （21x x <），在区间],[21x x 上应用拉格朗日中值定理，得)()()()(1212x x f x f x f -'=-ξ （21x x <<ξ）（1）由于在（1）式中012>-x x ，因此，若在I 内导数)(x f '的符号保持为正，即0)(>'x f ，那么也有0)(>'ξf ，于是0)()()()(1212>-'=-x x f x f x f ξ即 )()(21x f x f <表明函数)(x f 在区间I 上单调增加。

同理，若在I 内导数)(x f '的符号保持为负，即0)(<'x f ，那么也有0)(<'ξf ，于是0)()()()(1212<-'=-x x f x f x f ξ即 )()(21x f x f > 表明函数)(x f 在区间I 上单调减少。

2023届高考数学一轮复习讲义：第7讲函数的单调性与最值

第7讲函数的单调性与最值1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D 当x1<x2时，都有，那么就称函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有，那么就称函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是或，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件 (1)∀x ∈I ，都有； (2)∃x 0∈I ，使得(1)∀x ∈I ，都有； (2)∃x 0∈I ，使得结论M 为最大值M 为最小值➢考点1 函数的单调性[名师点睛]确定函数单调性的四种方法 (1)定义法：利用定义判断．(2)导数法：适用于初等函数可以求导的函数．(3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接． (4)性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性． 1．（2022·全国·高三专题练习）函数2()23f x x x -- ） A ．(,1]-∞B ．[3,)+∞C ．(,1]-∞-D ．[1,)+∞2．（2022·全国·高三专题练习）讨论函数()1axf x x =-（0a ≠）在(11)-，上的单调性.[举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）函数222x x y -++=的单调递增区间是（）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(,1]-∞-C ．112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，D ．[]12-， 2．（2022·全国·高三专题练习）函数()213log 412y x x =-++单调递减区间是（）A ．(),2-∞B ．()2,+∞C ．()2,2-D ．()2,6-3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()2f x x x x =-+，则下列结论正确的是（） A ．递增区间是(0,)+∞ B ．递减区间是(,1)-∞- C ．递增区间是(,1)-∞-D ．递增区间是(1,1)-4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的图象如图所示，则函数()()12log g x f x =的单调递增区间为（）A ．(],3-∞-，[]0,3B ．[]3,0-，[)3,+∞C ．(),5-∞-，[)0,1D ．(]1,0-，()5,+∞5．（2022·广西柳州·三模）下列函数在(),0∞-上是单调递增函数的是（） A ．tan y x =B ．()ln y x =-C ．12xy =D ．1y x=-6．（2022·全国·高三专题练习）函数y =|-x 2+2x +1|的单调递增区间是_________ ；单调递减区间是_________．7．（2022·全国·高三专题练习）函数216y x x =-+_____． 8．（2022·福建·三模）写出一个同时具有下列性质①②③的函数()f x =________. ①定义域为R ；②值域为(,1)-∞；③对任意12,(0,)x x ∈+∞且12x x ≠，均有()()12120f x f x x x ->-.9．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）1x=+lg 4xx -．判断并证明函数f （x ）的单调性；10．（2022·全国·高三专题练习）已知定义域为实数集R 的函数()11222xx f x +-=+．判断函数f （x ）在R 上的单调性，并用定义证明．➢考点2 函数单调性的应用1．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数()()e e 2x xx f x --=，则21log3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，342b f -⎛⎫= ⎪⎝⎭，432c f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的大小关系为（）A ．b ac << B ．a b c << C ．c a b << D ．a c b <<2．（2022·广东深圳·高三期末）已知函数()1e ,111,1x x f x x x x-⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，则()f x 的最大值为______．3．（2022·河北唐山·二模）已知函数()f x ()()21f x f x >-，则x 的取值范围是（） A ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．()1,1,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数1()ax f x x a-=-在(2,)+∞上单调递减，则实数a 的取值范围是（） A ．(-∞，1)(1-⋃，)+∞ B ．(1,1)-C ．(-∞，1)(1-⋃，2]D ．(-∞，1)(1-⋃，2)[举一反三]1．（2022·辽宁朝阳·高三开学考试）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意两个不相等的正数12,x x ，都有()()2112120x f x x f x x x ->-，记(2)(3)(1),,23f f a f b c -===，则（）A ．c a b <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．b c a <<2．（2022·重庆·模拟预测）设函数()()()32200x xx f x x x -⎧-+>⎪=⎨-≤⎪⎩，若ln 2a =，0.23b =，0.3log 2c =，则（）A ．()()()f a f b f c >>B ．()()()f b f a f c >>C ．()()()f a f c f b >>D ．()()()f c f a f b >>3．（2022·全国·高三专题练习）函数()41f x x x =++在1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为（） A ．153,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]3,4C ．153,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．154,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦4．（2022·重庆八中模拟预测）已知函数()1y f x =-是定义在R 上的偶函数，且()f x 在(),1-∞-单调递减，()00f =，则()()210f x f x +<的解集为（）A ．()(),20,-∞-⋃+∞B ．()2,0-C ．312,,022⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．31,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭5．（2022·河北·模拟预测）设函数()()212,1,2,1,x x f x x x ⎧++<⎪=⎨-≥⎪⎩则不等式()()340f f x +->的解集为（） A ．()1,1- B ．()(),11,-∞-⋃+∞ C ．()7,7-D ．()(),77,-∞-⋃+∞6．（2022·全国·高三专题练习）若函数21,1()2,,1ax x f x x ax x -<⎧=⎨-≥⎩是R 上的单调函数，则a 的取值范围（） A ．20,3⎛⎫⎪⎝⎭B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(]0,1D ．()0,17．（2022·全国·高三专题练习）函数2()2(1)3f x x m x =-+-+在区间(],4-∞上单调递增，则m 的取值范围是（）A ．[)3,-+∞B ．[)3,+∞C ．(],5-∞D ．(],3-∞-8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()2313,11,1a x a x f x x x ⎧-+<=⎨-+≥⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（） A ．11,63⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．11,,63⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭9．（多选）（2022·全国·高三专题练习）函数()21x af x x -=+在区间()b +∞，上单调递增，则下列说法正确的是（） A ．2a >-B ．1b >-C ．1b ≥-D ．2a <-10．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）函数()53x f x x a +=-+在()1,+∞上是减函数，则实数a 的范围是_______.11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f (x )m ≠1)在区间(0，1]上是减函数，则实数m 的取值范围是________．12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 满足：①(0)0f =；②在[13]，上是减函数；③(1)(1)f x f x +=-.请写出一个满足以上条件的()f x =___________.13．（2022·全国·高三专题练习）已知y =f (x )是定义在区间(-2，2)上单调递减的函数，若f (m -1)>f (1-2m )，则m 的取值范围是_______.14．（2022·全国·高三专题练习）若函数2()4f x x ax =-+在[]1.3内不单调，则实数a 的取值范围是__________．15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()y f x =是定义在R 的递减函数，若对于任意(0x ∈，1]不等式2(31)(1)(2)f mx f mx x f m ->+->+恒成立，求实数m 的取值范围.16．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x x .（1）若1a ，求函数的定义域；（2）是否存在实数a，使得函数()f x在定义域内具有单调性？若存在，求出a的取值范围第7讲函数的单调性与最值1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件 (1)∀x ∈I ，都有f (x )≤M ； (2)∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M(1)∀x ∈I ，都有f (x )≥M ； (2)∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论M 为最大值M 为最小值➢考点1 函数的单调性[名师点睛]确定函数单调性的四种方法 (1)定义法：利用定义判断．(2)导数法：适用于初等函数可以求导的函数．(3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接． (4)性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性． 1．（2022·全国·高三专题练习）函数2()23f x x x -- ） A ．(,1]-∞ B ．[3,)+∞ C ．(,1]-∞-D ．[1,)+∞【答案】B 【解析】由题意，可得2230x x --≥，解得1x ≤-或3x ≥，所以函数2()23f x x x =--(][),13,-∞-⋃+∞，二次函数223y x x =--的对称轴为1x =，且在(][),13,-∞-⋃+∞上的单调递增区间为[3,)+∞，根据复合函数的单调性，可知函数2()23f x x x =--[3,)+∞.故选：B.2．（2022·全国·高三专题练习）讨论函数()1axf x x =-（0a ≠）在(11)-，上的单调性. 【解】任取1x 、2(11)x ∈-，，且12x x <，(11)1()(1)11a x f x a x x -+==+--，则：21121212()11()()(1)(1)11(1)(1)a x x f x f x a a x x x x --=+-+=----，当0a >时，12())0(f x f x ->，即12()()f x f x >，函数()f x 在(11)-，上单调递减；当0a <时，12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <，函数()f x 在(11)-，上单调递增. [举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）函数y = ）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(,1]-∞-C ．112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，D ．[]12-，【答案】C 【解析】令220x x -++≥，解得12x -≤≤，令22t x x =-++，则y =∵函数22t x x =-++在区间112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增，在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，y =内递增，∴根据复合函数的单调性可知，函数y =112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．故选：C2．（2022·全国·高三专题练习）函数()213log 412y x x =-++单调递减区间是（） A ．(),2-∞ B ．()2,+∞ C ．()2,2- D ．()2,6-【答案】C 【解析】令13log y u=，2412u x x =-++．由24120u x x =-++>，得26x -<<．因为函数13log y u=是关于u 的递减函数，且()2,2x ∈-时，2412u x x =-++为增函数，所以()213log 412y x x =-++为减函数，所以函数()213log 412y x x =-++的单调减区间是()2,2-．故选：C.3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()2f x x x x =-+，则下列结论正确的是（） A ．递增区间是(0,)+∞ B ．递减区间是(,1)-∞- C ．递增区间是(,1)-∞- D ．递增区间是(1,1)-【答案】D 【解析】因为函数222,0()22,0x x x f x x x x x x x ⎧-+≥=-+=⎨+<⎩，作出函数()f x 的图象，如图所示：由图可知，递增区间是(1,1)-，递减区间是(,1)-∞-和()1,+∞．故选：D ．4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的图象如图所示，则函数()()12log g x f x =的单调递增区间为（）A ．(],3-∞-，[]0,3B ．[]3,0-，[)3,+∞C ．(),5-∞-，[)0,1D ．(]1,0-，()5,+∞【答案】C 【解析】因为12log y x=在()0,∞+上为减函数，所以只要求()y f x =的单调递减区间，且()0f x >.由图可知，使得函数()y f x =单调递减且满足()0f x >的x 的取值范围是()[),50,1-∞-.因此，函数()()12log g x f x =的单调递增区间为(),5-∞-、[)0,1.故选：C.5．（2022·广西柳州·三模）下列函数在(),0∞-上是单调递增函数的是（） A ．tan y x = B ．()ln y x =-C ．12xy =D ．1y x=-【答案】D 【解析】选项A. 函数tan y x =在(),0∞-上只有单调增区间，但不是一直单调递增，故不满足；选项B. 由复合函数的单调性可知函数()ln y x =-在(),0∞-上单调递减，故不满足；选项C. 函数1122xx y ⎛⎫== ⎪⎝⎭在(),0∞-上单调递减，故不满足；选项D. 函数1y x=-在(),0∞-上单调递增，故满足，故选：D6．（2022·全国·高三专题练习）函数y =|-x 2+2x +1|的单调递增区间是_________ ；单调递减区间是_________．【答案】 (12,1)-，(12,)++∞ (,12)-∞-，(1,12)【解析】作出函数y =|-x 2+2x +1|的图像，如图所示，观察图像得，函数y =|-x 2+2x +1|在(12,1)-和(12,)++∞上单调递增，在(,12)-∞和(1,12)上单调递减，所以原函数的单调增区间是(1，(1)+∞，单调递减区间是(,1-∞，(1,12).故答案为：(1-，(1)++∞；(,1-∞，(1,12)7．（2022·全国·高三专题练习）函数1y =_____．【答案】[3,6] 【解析】226060x x x x -+≥⇒-≤，解得06x ≤≤，令()()22639x x x x μ=-+=--+，对称轴为3x =，所以函数()x μ在(),3-∞为单调递增；在[)3,+∞上单调递减.所以函数1y =[3,6]. 故答案为：[3,6]8．（2022·福建·三模）写出一个同时具有下列性质①②③的函数()f x =________. ①定义域为R ；②值域为(,1)-∞；③对任意12,(0,)x x ∈+∞且12x x ≠，均有()()12120f x f x x x ->-.【答案】1()12xf x =-（答案不唯一）【解析】 1()12x f x =-，定义域为R ；102x>，1()112x f x =-<，值域为(,1)-∞；是增函数，满足对任意12,(0,)x x ∈+∞且12x x ≠，均有()()12120f x f x x x ->-.故答案为：1()12xf x =-（答案不唯一）. 9．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）1x=+lg 4xx -．判断并证明函数f （x ）的单调性；【解】由题意，040x x x ≠⎧⎪-⎨>⎪⎩，解得04x <<故f （x ）的定义域为（0，4）令441x u x x -==-，lg y u =，由于41u x=-在（0，4）单调递减，lg y u =在(0,)+∞单调递增，因此4lgxy x-=在（0，4）单调递减，又1y x =在（0，4）单调递减，故f （x ）1x =+4lgx x -在（0，4）上单调递减，证明如下：设0＜x 1＜x 2＜4，则： ()()()()121221121122122144411lg lg lg 4x x x x x x f x f x x x x x x x x x -----=+--=+-， ∵0＜x 1＜x 2＜4，∴x 2﹣x 1＞0，x 1x 2＞0，4﹣x 1＞4﹣x 2＞0，12214114x xx x --＞，＞， ∴()()()()1212211221214401lg 044x x x x x x x x x x x x -----＞，＞，＞， ∴f （x 1）＞f （x 2），∴f （x ）在（0，4）上单调递减11．（2022·全国·高三专题练习）已知定义域为实数集R 的函数()11222xx f x +-=+．判断函数f （x ）在R 上的单调性，并用定义证明．【解】由题意11211()22212x x x f x +-==-+++，令1112,2xu y u =+=-+，由于12x u =+在R 上单调递增，112y u=-+在(0,)+∞单调递减，由复合函数单调性可知f （x ）在R 上为减函数. 证明：设∀x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，所以f （x 1）﹣f （x 2）()()211212112212121212x x x x x x -=-=++++，由于x 1＜x 2，y ＝2x 在R 上单增所以21220x x -＞，且2x ＞0 所以f （x 1）＞f （x 2），所以f （x ）在R 上单调递减．➢考点2 函数单调性的应用1．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数()()e e 2x xx f x --=，则21log3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，342b f -⎛⎫= ⎪⎝⎭，432c f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的大小关系为（）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ．a c b <<【答案】A【解析】()f x 的定义域为R ，因为()()()e e ee ()22x xxx x x f x f x ------===，所以()f x 为偶函数，所以()()2221log log 3log 33a f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，443322c f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当0x >时，()()()ee e e 2xx x xx f x ---++'=，因为0x >，所以e1,0e 1xx -><<，所以e e 0x x -->，(e e )0x x x -+>，所以()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，因为2x y =在R 上单调递增，且340143-<<<，所以43013402222-<<<<，即433402122-<<<<，因为2log y x =在(0,)+∞上为增函数，且234<<，所以222log 2log 3log 4<<，即21log 32<<，所以4334202log 32-<<<，所以()433422log 32f f f -⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即b a c <<，故选：A2．（2022·广东深圳·高三期末）已知函数()1e ,111,1x x f x x x x-⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，则()f x 的最大值为______．【答案】1 【解析】解：(],1x ∈-∞时，()1x f x e -=单调递增，()()1111f x f e -==≤；()1,x ∈+∞时，()1+1f x x x=-单调递减，()11+111f x <-=.所以()f x 的最大值为1．故答案为：1．3．（2022·河北唐山·二模）已知函数()f x ()()21f x f x >-，则x 的取值范围是（） A ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．()1,1,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】解：()f x 定义域为R ，又()()-=-f x f x ，所以()f x 是奇函数，当0x =时，()00f =，当0x >时，()=f x ()f x 在()0,∞+上递增，所以()f x 在定义域R 上递增，又()()21f x f x >-，所以21x x >-，解得13x >，故选：C4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数1()ax f x x a-=-在(2,)+∞上单调递减，则实数a 的取值范围是（） A ．(-∞，1)(1-⋃，)+∞ B ．(1,1)-C ．(-∞，1)(1-⋃，2]D ．(-∞，1)(1-⋃，2)【答案】C 【解析】解：根据题意，函数221()11()ax a x a a a f x a x a x a x a--+--===+---，若()f x 在区间(2,)+∞上单调递减，必有2102a a ⎧->⎨⎩，解可得：1a <-或12a <，即a 的取值范围为(-∞，1)(1-⋃，2]，故选：C ． [举一反三]1．（2022·辽宁朝阳·高三开学考试）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意两个不相等的正数12,x x ，都有()()2112120x f x x f x x x ->-，记(2)(3)(1),,23f f a f b c -===，则（）A ．c a b <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．b c a <<【答案】B 【解析】依题意，12,(0,)x x ∀∈+∞，12x x ≠，122112121212()()()()00f x f x x f x x f x x x x x x x -->⇔>--，于是得函数()f x x 在(0,)+∞上单调递增，而函数()f x 是R 上的偶函数，即(2)(2)22f f b -==，显然有(1)(2)(3)123f f f <<，因此得：a b c <<，所以a b c <<. 故选：B2．（2022·重庆·模拟预测）设函数()()()32200x xx f x x x -⎧-+>⎪=⎨-≤⎪⎩，若ln 2a =，0.23b =，0.3log 2c =，则（）A ．()()()f a f b f c >>B ．()()()f b f a f c >>C ．()()()f a f c f b >>D ．()()()f c f a f b >>【答案】D 【解析】解：因为()()()32200x x x f x x x -⎧-+>⎪=⎨-≤⎪⎩，又2x y =在()0,∞+上单调递增，2x y -=在()0,∞+上单调递减，则()22xx g x -=-+在()0,∞+上单调递减且()002002g -+==，又()3h x x =-在(),0∞-上单调递减且()3000h =-=，所以()f x 在R 上单调递减，又因为0.20331>=，即1b >，0ln1ln 2lne 1=<<=，即01a <<，0.30.3log 2log 10<=，即0c <，所以b a c >>，所以()()()f b f a f c <<；故选：D3．（2022·全国·高三专题练习）函数()41f x x x =++在1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为（） A ．153,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]3,4C ．153,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．154,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】设1x t ，1x t =-，1,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则1,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()41g t t t =+-，根据双勾函数性质：函数在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在(]2,3上单调递增，()()max 1151015max ,3max ,2232g t g g ⎧⎫⎛⎫⎧⎫===⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭⎩⎭，()()min 23g t g ==，故函数值域为153,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：C.4．（2022·重庆八中模拟预测）已知函数()1y f x =-是定义在R 上的偶函数，且()f x 在(),1-∞-单调递减，()00f =，则()()210f x f x +<的解集为（）A ．()(),20,-∞-⋃+∞B ．()2,0-C ．312,,022⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．31,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】因为函数()1y f x =-是定义在R 上的偶函数，所以()y f x =的图象关于直线1x =-对称.因为()f x 在(),1-∞-上单调递减，所以在()1,-+∞上单调递增. 因为()00f =，所以()()200f f -==.所以当()(),20,x ∈-∞-⋃+∞时，()0f x >；当()2,0x ∈-时，()0f x <．由()()210f x f x +<，得20,2210.x x x ⎧-⎨-<+<⎩或或20,212210.x x x -<<⎧⎨+-+⎩或解得312,,022x ⎛⎫⎛⎫∈--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：C5．（2022·河北·模拟预测）设函数()()212,1,2,1,x x f x x x ⎧++<⎪=⎨-≥⎪⎩则不等式()()340f f x +->的解集为（） A ．()1,1- B ．()(),11,-∞-⋃+∞ C ．()7,7- D ．()(),77,-∞-⋃+∞【答案】A 【解析】解：因为()()212,12,1x x f x x x ⎧++<⎪=⎨-≥⎪⎩，所以()36f =-，()()233126f -=-++=，则()()340f f x +->，即()()()4363f x f f ->-==-，()f x 的函数图象如下所示：由函数图象可知当3x >-时()6f x <且()f x 在(),3∞--上单调递减，所以()()43f x f ->-等价于43x -<-，即1x <，解得11x -<<，即()1,1x ∈-；故选：A6．（2022·全国·高三专题练习）若函数21,1()2,,1ax x f x x ax x -<⎧=⎨-≥⎩是R 上的单调函数，则a 的取值范围（） A ．20,3⎛⎫⎪⎝⎭B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(]0,1D ．()0,1【答案】B 【解析】因为分段函数()f x 在R 上的单调函数，由于22y x ax =-开口向上，故在1≥x 上单调递增，故分段函数()f x 在在R 上的单调递增，所以要满足：0212112a aa a>⎧⎪-⎪-≤⎨⎪-≤-⎪⎩，解得：203a <≤ 故选：B7．（2022·全国·高三专题练习）函数2()2(1)3f x x m x =-+-+在区间(],4-∞上单调递增，则m 的取值范围是（）A ．[)3,-+∞B ．[)3,+∞C ．(],5-∞D ．(],3-∞-【答案】D 【解析】解：函数2()2(1)3f x x m x =-+-+的图像的对称轴为2(1)12m x m -=-=--，因为函数2()2(1)3f x x m x =-+-+在区间(],4-∞上单调递增，所以14m -≥，解得3m ≤-，所以m 的取值范围为(],3-∞-，故选：D8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()2313,11,1a x a x f x x x ⎧-+<=⎨-+≥⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（） A ．11,63⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．11,,63⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭【答案】B 【解析】由题意可知，()313y a x a =-+在(),1-∞上为减函数，则310a -<，函数21y x =-+在[)1,+∞上为减函数，且有()3130a a -+≥，所以，310610a a -<⎧⎨-≥⎩，解得1163a ≤<.综上所述，实数a 的取值范围是11,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：B.9．（多选）（2022·全国·高三专题练习）函数()21x af x x -=+在区间()b +∞，上单调递增，则下列说法正确的是（） A ．2a >- B ．1b >- C ．1b ≥- D ．2a <-【答案】AC 【解析】 ()22211x a a f x x x -+==-++， ()f x 在区间()b +∞，上单调递增，20a ∴+>，2a >-∴，由()f x 在区间()1+∞-，上单调递增， 1b.故选：AC10．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）函数()53x f x x a +=-+在()1,+∞上是减函数，则实数a 的范围是_______. 【答案】(2,4]- 【解析】函数5()3x f x x a +=-+，定义域为(,3)(3,)x a a ∈-∞-⋃-+∞，又322()133x a a a f x x a x a -++++==+-+-+，因为函数5()3x f x x a +=-+在(1,)+∞上是减函数，所以只需23a y x a +=-+在(1,)+∞上是减函数，因此2031a a +>⎧⎨-≤⎩，解得24a -<≤.故答案为：24a -<≤11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f (x )m ≠1)在区间(0，1]上是减函数，则实数m 的取值范围是________．【答案】(－∞，0)∪(1，4] 【解析】由题意可得4－mx ≥0，x ∈(0，1]恒成立，所以m ≤4()xmin ＝4．当0<m ≤4时，4－mx 单调递减，所以m －1>0，解得1<m ≤4；当m <0时，4－mx 单调递增，所以m －1<0，解得m <1，所以m <0．故实数m 的取值范围是(－∞，0)∪(1，4]．故答案为： (－∞，0)∪(1，4].12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 满足：①(0)0f =；②在[13]，上是减函数；③(1)(1)f x f x +=-.请写出一个满足以上条件的()f x =___________. 【答案】22x x -+ 【解析】由(1)(1)f x f x +=-可得()f x 关于1x =对称，所以开口向下，对称轴为1x =，且过原点的二次函数满足题目中的三个条件，故答案为：22x x -+13．（2022·全国·高三专题练习）已知y =f (x )是定义在区间(-2，2)上单调递减的函数，若f (m -1)>f (1-2m )，则m 的取值范围是_______.【答案】1223⎛⎫- ⎪⎝⎭，【解析】由题意得：-2-12-21-22-11-2m m m m <<⎧⎪<<⎨⎪<⎩，，，解得12-<m <23.故答案为：1223⎛⎫- ⎪⎝⎭，14．（2022·全国·高三专题练习）若函数2()4f x x ax =-+在[]1.3内不单调，则实数a 的取值范围是__________．【答案】13(,)22【解析】解：由题意得2()4f x x ax =-+的对称轴为2x a =，因为函数()f x 在[]1.3内不单调，所以123a <<，得1322a <<．故答案为：13(,)22．15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()y f x =是定义在R 的递减函数，若对于任意(0x ∈，1]不等式2(31)(1)(2)f mx f mx x f m ->+->+恒成立，求实数m 的取值范围.【解】因为函数()y f x =是定义在R 的递减函数，所以2(31)(1)(2)f mx f mx x f m ->+->+对(0x ∈，1]恒成立2231112mx mx x mx x m ⎧-<+-⇔⎨+-<+⎩在(0x ∈，1]恒成立.整理，当(0x ∈，1]时，2222(1)1mx x m x x ⎧<-⎨-<+⎩恒成立，（1）当1x =，2102m <⎧⎨<⎩，所以12m <；（2）当(0,1)x ∈时，222211x m xx m x ⎧-<⎪⎪⎨+⎪>⎪-⎩恒成立，1,2xy y x ==-都在(0,1)x ∈上为减函数22122x x y x x -∴==-在(0,1)x ∈上为减函数， ∴22122x x ->，222x m x-∴<恒成立⇔12m ≤. 结合当1x =时，12m <①又2222212(1)(1)21,01(1)(1)x x x x x x y y x x x +--+--'===<-++，当(0,1)x ∈ 故211x y x +=-在(0,1)x ∈上是减函数，∴2111x x +<--.211x m x +∴>-恒成立1m ⇔≥-② ∴①、②两式求交集1[1,)2m ∈-由（1）（2）可知当[1m ∈-，1)2时，对任意(0x ∈，1]时，2(31)(1)(2)f mx f mx x f m ->+->+恒成立.16．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x x . （1）若1a =，求函数的定义域；（2）是否存在实数a ，使得函数()f x 在定义域内具有单调性？若存在，求出a 的取值范围. 【解】（1）()f x x ，∴|1|10x +-≥，解得(,2][0,)x ∈-∞-+∞；所以函数的定义域为(,2][0,)x ∈-∞-+∞.（2）当x a ≥-，211()24f x x x ⎫===-+⎪⎭，在1[,)4+∞递减，此时需满足14a -≥，即14a -≤时，函数()f x 在[,)a -+∞上递减；当x a <-，()f x x x ，在(,2]a -∞-上递减， ∵104a ≤-<，∴20a a ->->，即当14a -≤时，函数()f x 在(,)a -∞-上递减；综上，当14a -≤时，函数()f x 在定义域R 上连续，且单调递减.所以a 的取值范围是1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦。

药学应用数学3.3 函数的单调性与极值

第四节函数单调性的判定法要求⑴会用导数求函数的单调区间。

⑵会利用单调性证明不等式。

1．用导数求函数的单调区间前面已经介绍了函数在区间上单调的概念，下面利用导数来对函数的单调性进行研究。

如果函数)(x f y =在[a,b ]上单调增加（单调减少），那末它的图形是一条沿x 轴正向上升（下降）的曲线。

这时，曲线上各点处的切线斜率是非负的（是非正的），即)0)((0)(≤'='≥'='x f y x f y 。

由此可见，函数的单调性与导数的符号有着密切的联系。

反过来，能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？下面我们利用拉格朗日中值定理来进行讨论。

设函数)(x f 在[a,b ]上连续，在（a,b ）内可导，在[a,b ]上任取两点1x 、2x （1x <2x ），应用拉格朗日中值定理，得到)( ))(()()(211212x x x x f x f x f <<-'=-ξξ由于在上式中，012>-x x ，因此，如果在（a,b ）内导数)(x f '保持正号，即0)(>'x f ，那末也有0)(>'ξf ，于是))(()()(1212>-'=-x x f x f x f ξ即)()(21x f x f <表明函数)(x f y =在[a,b ]上单调增加。

同理，如果在（a,b ）内导数)(x f '保持负号，即0)(<'x f ，那末0)(<'ξf ，于是0)()(12<-x f x f ，即)()(21x f x f >，表明函数)(x f y =在[a,b ]上单调减少。

归纳以上讨论，即得函数单调性的判定法设函数)(x f y =在[a,b ]上连续，在（a,b ）内可导。

（1）如果在（a,b ）内0)(>'x f ，那末函数)(x f y =在[a,b ]上单调增加；（2）如果在（a,b ）内0)(<'x f ，那末函数)(x f y =在[a,b ]上单调减少。

湘教版学案三次函数的性质单调区间和极值

3．3.3三次函数的性质：单调区间和极值1．理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系．2．会求某闭区间上函数的最值．极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质，但是我们往往更关心函数在某个区间上哪个值最大，哪个值最小，函数的极值与最值有怎样的关系？答：函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值，所以在开区间(a，b)上若存在最值，则必是极值．三次函数的导数零点与其单调区间和极值设F(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，F′(x)＝3ax2＋2bx＋c(a≠0)．填写下表：当a>0时，当a<0时，要点一求三次函数的单调区间和极值点例1求下列函数的单调区间和极值点：(1)f(x)＝2x3＋3x2＋6x＋1；(2)f(x)＝－2x3＋9x2－12x－7.解(1)f′(x)＝6x2＋6x＋6＝6(x2＋x＋1)．由于f′(x)恒正，∴f(x)在(－∞，＋∞)上递增．无极值点．(2)f′(x)＝－6x2＋18x－12＝－6(x2－3x＋2)＝－6(x－1)(x－2)．∴f′(x)在(－∞，1)和(2，＋∞)上均为负，在(1,2)上为正，∴f(x)在(－∞，1)和(2，＋∞)上递减，在(1,2)上递增，∴x＝1是函数f(x)的极小值点，x＝2为其极大值点．规律方法对此类题目，只要理解了f′(x)的符号对函数f(x)取极值的影响，所有问题便迎刃而解，所以重要的是方法的领悟．跟踪演练1求下列函数的单调区间和极值点：(1)f(x)＝－x3＋x2－x；(2)f(x)＝x3－12x2－2x－5.解 (1)f ′(x )＝－3x 2＋2x －1， ∵Δ＝22－4×(－3)×(－1)＝－8<0，又∵－3<0，∴f ′(x )<0恒成立．故函数f (x )在R 上单调递减且无极值点． (2)f ′(x )＝3x 2－x －2，令f ′(x )＝0，即3x 2－x －2＝0⇒x ＝1或x ＝－23. 所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23时，f ′(x )>0，f (x )为增函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1时，f ′(x )<0，f (x )为减函数．当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．所以f (x )的递增区间为(－∞，－23)和(1，＋∞)，f (x )的递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1.根据f (x )的单调性及f ′(x )＝0的零点知x ＝1为函数f (x )的极小值点，x ＝－23为其极大值点．要点二含参数的函数的最值问题例2 已知a 是实数，函数f (x )＝x 2(x －a )，求f (x )在区间上的最大值．解 ∵f (x )＝x 2(x －a )，∴f ′(x )＝x (3x －2a )．令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝2a 3. 当2a3≤0，即a ≤0时，f (x )在上单调递增，从而f (x )max ＝f (2)＝8－4a .当2a3≥2，即a ≥3时，f (x )在上单调递减，从而f (x )max ＝f (0)＝0. 当0<2a3<2，即0<a <3时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2a 3上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 3，2上单调递增，从而f (x )max ＝⎩⎨⎧8－4a (0<a ≤2)，0 (2<a <3)，综上所述，f (x )max ＝⎩⎨⎧8－4a (a ≤2).0 (a >2)，规律方法由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化．所以解决这类问题常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解．跟踪演练2 在本例中，将区间改为结果如何？解令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝23a ，①当23a ≥0，即a ≥0时，f (x )在上单调递增，从而f (x )max ＝f (0)＝0； ②当23a ≤－1，即a ≤－32时，f (x )在上单调递减，从而f (x )max ＝f (－1)＝－1－a ； ③当－1<23a <0，即－32<a <0时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，23a 上单调递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤23a ，0上单调递减，则f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ＝－427a 3.综上所述：f (x )max＝⎩⎪⎨⎪⎧－1－a ，a ≤－32，－427a 3，－32<a <0，0，a ≥0.要点三函数极值的应用例3 设函数f (x )＝tx 2＋2t 2x ＋t －1(x ∈R ，t ＞0)． (1)求f (x )的最小值h (t )；(2)若h (t )＜－2t ＋m 对t ∈(0,2)恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)∵f (x )＝t (x ＋t )2－t 3＋t －1(x ∈R ，t ＞0)， ∴当x ＝－t 时，f (x )取最小值f (－t )＝－t 3＋t －1，即h (t )＝－t 3＋t －1.(2)令g (t )＝h (t )－(－2t ＋m )＝－t 3＋3t －1－m ，由g ′(t )＝－3t 2＋3＝0得t ＝1，t ＝－1(不合题意，舍去)．当t变化时g′(t)、g(t)的变化情况如下表：maxh(t)<－2t－m对t∈(0,2)恒成立，也就是g(t)<0，对t∈(0,2)恒成立，只需g(t)max＝1－m<0，∴m>1.故实数m的取值范围是(1，＋∞)规律方法(1)“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，一般地，可采用分离参数法进行转化．λ≥f(x)恒成立⇔λ≥max；λ≤f(x)恒成立⇔λ≤min.对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可．(2)此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况，以此来确定参数的范围能否取得“＝”．跟踪演练3设函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，(1)若对任意的x∈，都有f(x)<c2成立，求c的取值范围．(2)若对任意的x∈(0,3)，都有f(x)<c2成立，求c的取值范围．解(1)∵f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)．∴当x∈(0,1)∪(2,3)时，f′(x)>0；当x∈(1,2)时，f′(x)<0.∴当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝5＋8c.又f(3)＝9＋8c>f(1)，∴x∈时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c.∵对任意的x∈，有f(x)<c2恒成立，∴9＋8c<c2，即c<－1或c>9.∴c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．(2)由(1)知f(x)<f(3)＝9＋8c，∴9＋8c≤c2即c≤－1或c≥9，∴c 的取值范围为(－∞，－19，＋∞)．1．函数f (x )＝－x 2＋4x ＋7，在x ∈上的最大值和最小值分别是( ) A ．f (2)，f (3) B ．f (3)，f (5) C ．f (2)，f (5) D ．f (5)，f (3)答案 B解析 ∵f ′(x )＝－2x ＋4， ∴当x ∈时，f ′(x )<0，故f (x )在上单调递减，故f (x )的最大值和最小值分别是f (3)，f (5)． 2．函数f (x )＝x 3－3x (|x |<1)( ) A ．有最大值，但无最小值 B ．有最大值，也有最小值 C ．无最大值，但有最小值 D ．既无最大值，也无最小值答案 D解析 f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x ∈(－1,1)时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.3．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的最大值是( )A ．π－1B ．π2－1 C ．π D ．π＋1答案 C解析因为y ′＝1－cos x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，y ′>0，则函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上为增函数，所以y 的最大值为y max ＝π－sin π＝π，故选C.4．函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋k 在区间上的最大值为10，则其最小值为________．答案－71解析 f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x －3)(x ＋1)．由f ′(x )＝0得x ＝3或x ＝－1. 又f (－4)＝k －76，f (3)＝k －27，f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，∴f(x)min＝k－76＝－71.1．求函数的最值时，应注意以下几点(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义域而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性的概念．(2)闭区间上的连续函数一定有最值．开区间(a，b)内的可导函数不一定有最值，但若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值，并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值)．2．求含参数的函数最值，可分类讨论求解．3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题．。

函数的极值点与函数的单调性分析

函数的极值点与函数的单调性分析函数的极值点以及函数的单调性是数学中重要的概念，在数学问题中经常出现。

了解和掌握函数的极值点和单调性的分析方法对于解决问题和优化函数至关重要。

在本文中，我们将介绍函数极值点和函数单调性的定义、理论基础以及常用的分析方法。

首先，我们来定义函数的极值点。

在数学中，对于一个函数 f(x)，如果在某个点 a，函数在其邻近范围内的取值都小于等于 f(a)，则称该点为函数的极大值点；如果在某个点 b，函数在其邻近范围内的取值都大于等于 f(b)，则称该点为函数的极小值点。

极大值点和极小值点都统称为函数的极值点。

要判断一个函数的极值点，可以通过求导数来实现。

对函数 f(x) 求导数并令导数等于零，求得的解即为函数的极值点。

具体步骤如下：1. 对函数 f(x) 求导数，并令导数等于零，得到方程 f'(x) = 0；2. 解方程 f'(x) = 0，得到函数的极值点。

接下来，我们来讨论函数的单调性。

在数学中，对于一个函数 f(x)，如果在一个区间上，随着 x 的增大，函数的取值不断增加，则称该函数在该区间上是递增的；如果在一个区间上，随着 x 的增大，函数的取值不断减少，则称该函数在该区间上是递减的。

同样地，要判断一个函数的单调性，可以通过导数的正负来确定。

具体步骤如下：1. 对函数 f(x) 求导数，并找到导数存在的区间；2. 在导数存在的区间，确定导数的正负情况；- 如果导数恒大于零，则函数在该区间上递增；- 如果导数恒小于零，则函数在该区间上递减；- 如果导数既大于零又小于零，则函数在该区间上不具备单调性。

函数的极值点和单调性分析在实际问题中有着广泛的应用。

以最简单的一次函数 y = kx + b 为例，我们来具体分析一下。

对于一次函数 y = kx + b，它是一个斜率为 k 的直线。

对于这种函数，它不存在极值点，因为它是一条直线且不存在拐点。

而单调性的分析则取决于斜率 k 的正负情况。

单调性与极值关系解析

单调性与极值关系解析实际上，函数的极值并不直接影响其单调性，而是函数的单调性变化“揭示”了极值的存在。

让我们更详细地探讨这一关系：1. 单调性变化的标志函数的单调性描述了函数在其定义域内某区间上是否递增或递减。

当函数从递增变为递减，或者从递减变为递增时，这种单调性的变化通常意味着函数在这一点附近有一个极值。

换句话说，极值点是单调性改变的“转折点”。

2. 极值的定义极值点是函数在其局部范围内的最大或最小值点。

如果函数在某点c处取得局部最大值，那么在该点的左侧（如果存在的话），函数是递增的；而在该点的右侧（如果存在的话），函数是递减的。

类似地，对于局部最小值点，函数在其左侧递减，在其右侧递增。

3. 导数与极值为了找到极值点，我们通常会求函数的导数，并找到导数等于零的点（驻点）。

然而，并不是所有驻点都是极值点。

为了确定一个驻点是否是极值点，我们需要检查该点附近的导数符号变化。

如果导数在该点从正变为负，那么该点是局部最大值点；如果导数从负变为正，那么该点是局部最小值点。

4. 单调性与极值的关系总结●单调性变化是极值点存在的“信号”。

●极值点是单调性变化的“转折点”。

●我们通过检查函数在其驻点附近的单调性变化来确定极值点的存在和类型。

5. 示例考虑函数f(x)=x3−3x，其导数为f′(x)=3x2−3。

●驻点：令f′(x)=0，得到x=±1。

●单调性：当x<−1时，f′(x)>0，函数递增；当−1<x<1时，f′(x)<0，函数递减；当x>1时，f′(x)>0，函数再次递增。

●极值：由于函数在x=−1处由递增变为递减，故x=−1是局部最大值点；在x=1处由递减变为递增，故x=1是局部最小值点。

在这个示例中，我们首先确定了函数的单调性变化，然后利用这些变化来找到并分类极值点。

因此，可以说单调性的变化“导致”了极值点的识别，而不是极值“影响”了单调性。

34 函数的单调性、凹凸性与极值

(2)求拐点的方法
方法: 设函数f ( x )在 x0的邻域内二阶可导, 且 f ′′( x0 ) = 0, 则有：
1) x0 两近旁f ′′( x )变号, 点( x0 , f ( x0 ))为拐点;
2) x0 两近旁f ′′( x )不变号, 点( x0 , f ( x0 ))不是拐点.
例9 求曲线 y = 3 x 4 − 4 x 3 + 1 的拐点及凹、凸的区间. 解易见函数的定义域为 ( −∞ ,+∞ ),
定理4 (第一充分条件) 设函数 f ( x ) 在点 x0 的某个邻域内连续并且可导(导数 f ′( x0 ) 也可以不存在), (1)如果在点 x0的左邻域内 f ′( x ) > 0; 在点 x0的右邻域内 f ′( x ) < 0, 则 f ( x ) 在 x0 处取得极大值 f ( x0 ); (2)如果在点 x0的左邻域内 f ′( x ) < 0; 在点 x0的右邻域内 f ′( x ) > 0, 则 f ( x ) 在 x0 处取得极小值 f ( x0 ); (3)如果在点 x0的邻域内, 在 x0处没有极值.
例3
2 3 y = x 讨论函数的单调区间.
解 Q D : ( −∞ ,+∞ ).
y′ = 32 ( x ≠ 0), 3 x 当 x = 0 时，导数不存在.
当 x < 0时，y′ < 0,
∴ 在 ( −∞ , 0]上单调减少；
当 x > 0时，y′ > 0,
∴ 在 [0, +∞ )上单调增加；
向上凸：图形上任意弧段位于所张弦的上方
定义设 f ( x ) 在区间 I 内连续,
x1 + x 2 f ( x1 ) + f ( x 2 ) ∀x1 , x2 ∈ I , 恒有 f ( )< , 2 2 则称 f ( x ) 在 I 上的图形是(向上)凹的. x1 + x 2 f ( x1 ) + f ( x 2 ) ∀x1 , x2 ∈ I , 恒有 f ( )> , 2 2

函数的单调性与极值

函数的单调性与极值在数学中，函数的单调性是指函数在定义域内的变化趋势。

它描述了函数图像是上升、下降还是具有其他类似的性质。

而函数的极值则表示函数在某个特定点上取得的最大值或最小值。

函数的单调性与极值是函数分析中常用的重要概念，可用于求解最优化问题、验证数学定理等。

一、函数的单调性函数的单调性分为递增和递减。

当函数随着自变量的增大而增大，或者随着自变量的减小而减小时，称为递增函数。

相反，当函数随着自变量的增大而减小，或者随着自变量的减小而增大时，称为递减函数。

我们以一些常见的函数类型为例，来说明函数的单调性：1. 线性函数：线性函数是指函数的表达式是一次方程的函数，即$f(x)=ax+b$，其中$a$和$b$是常数。

线性函数的单调性取决于斜率$a$的正负性。

当$a>0$时，函数递增；当$a<0$时，函数递减。

2. 幂函数：幂函数是指函数的表达式是$x$的幂次方，即$f(x)= x^n$，其中$n$是常数。

当$n>0$且$n$是奇数时，函数是递增的；当$n>0$且$n$是偶数时，函数是递减的。

3. 指数函数：指数函数是指函数的表达式是以常数为底数的指数函数，即$f(x)=a^x$，其中$a$是常数且$a>0$且$a\neq1$。

当$a>1$时，函数递增；当$0<a<1$时，函数递减。

4. 对数函数：对数函数是指函数的表达式是对数函数，即$f(x)=\log_a x$，其中$a$是常数且$a>0$且$a\neq1$。

当$a>1$时，函数递增；当$0<a<1$时，函数递减。

二、函数的极值函数的极值包括最大值和最小值。

当函数在某个点上取得最大值时，称为函数的最大值；当函数在某个点上取得最小值时，称为函数的最小值。

极值点也被称为驻点。

函数的极值可以通过求导数的方法来获得。

首先，求函数的导数，然后令导数等于零，解方程得到极值点的横坐标。

进一步，通过二阶导数的正负性来判断极值点的类型。

3.3函数的单调性、凹凸性与极值

y y
o
x
o
x
22
2.4 导数的应用(118)
如图中曲线弧AB是单增的曲线. 但从A
B
到 C 的曲线是向上凸的; 从 C 到 B 的
曲线是向下凸的. C 恰好是上凸和下凸的分界点, 我们称为拐点.
A
• C
显然, 曲线的弯曲方向和弯曲方向(上凸和下凸)的分界点对我们研究函数的性态是十分重要的. 这就是下面讨论的凸
x0
2.4 导数的应用(118)
16
当 xk
1 1 ( 2k ) 2
时， f ( x k ) 1
4 1 ( 2k ) 2
0
1 当 xk 时， 2 k
f ( xk ) 1 0
注意 k 可以任意大，故在 x0 0 点的任何邻域内，f ( x ) 都不单调递增．
f ( x ) 2 33 x , ( x 0)
y 3 x2
当x 0时, 导数不存在.
当 x 0时，f ( x ) 0, 在(,0]上单调减少；当0 x 时， f ( x ) 0, 在[0,)上单调增加；
单调区间为 ( ,0]， [0, ).
2.4 导数的应用(118)
15
思考题解答
不能断定.
1 2 x 2 x sin , x 0 x 例 f ( x) 0, x0
1 lim f (0) x0(1 2 x sin ) 1 0 x
1 1 但 f ( x ) 1 4 x sin 2 cos , x x
小结与思考题1
单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用.
定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立. 利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.

函数的单调性与极值、最值

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金融问题
在投资组合理论中，凹凸性可以用来描述投资组合的风险和回报之间的关系。投资者可以根据自己的风险承受能力和投资目标，选择合适的投资组合策略。
05 函数的拐点
函数拐点定义
函数拐点是指函数图像上凹凸性发生变化的点，即函数的一阶导数在该点为零或不存在的点。
在数学上，函数拐点的定义是函数在某点的二阶导数为零的点，即$f''(x)=0$。
最值的求法
代数法
通过求导数、找驻点、判断单调性等方法来求解最值。
无穷区间法
利用极限的思想，将函数在无穷区间上的最值转化为有限区间上的最值。
几何法
通过函数图像，直观地观察函数的最大值和最小值。
最值在实际问题中的应用
01
优化问题
在生产、运输、分配等实际问题中，常常需要通过求解最值来达到最优解。
定义法
通过比较任意两点之间的函数值来判断函数的单调性。如果任意两点之间的函数值都满足增减性条件，则函数在该区间内单调。
图像法
通过观察函数的图像来判断函数的单调性。如果在图像上随着$x$的增大，$y$的值也增大（或减小），则函数在该区间内单调递增（或递减）。
Hale Waihona Puke 单调性在实际问题中的应用单调性与最值
单调性与优化问题
在解决优化问题时，可以利用函数的单调性来找到最优解。例如，在求解最大值或最小值问题时，可以利用函数的单调性来确定搜索区间，从而缩小搜索范围，提高求解效率。
02 函数的极值
函数极值的定义
极值点
函数在某点的值比其邻近点的值大或小的点。
极大值
函数在某点的值比其左侧邻近点的值大，比其右侧邻近点的值小。

函数的单调性与极值点的判定

函数的单调性与极值点的判定一、函数的单调性函数的单调性指的是函数在定义域上的增减性质。

通过对函数的导数进行研究可以判断函数的单调性。

1.1 函数递增与递减的定义（1）递增函数：若对于定义域上的任意两个实数x1和x2，当x1 < x2时有f(x1) ≤ f(x2)，则称函数f(x)在定义域上递增。

（2）递减函数：若对于定义域上的任意两个实数x1和x2，当x1 < x2时有f(x1) ≥ f(x2)，则称函数f(x)在定义域上递减。

1.2 寻找函数的单调区间函数的单调区间是指函数在这个区间上具有递增或递减的性质。

寻找函数的单调区间可以通过该函数的导数符号来确定。

（1）当函数的导数大于0时，函数在该区间上递增。

（2）当函数的导数小于0时，函数在该区间上递减。

通过求解函数的导数并进行符号判断，可以找到函数的单调区间。

二、函数的极值点的判定函数的极值点是指函数在该点处取得的最大值或最小值。

2.1 临界点的求解临界点是指函数在该点处的导数等于0或者导数不存在。

通过求解函数的导数，可以找到函数的临界点。

2.2 极值点的判定（1）当函数在临界点处的导数由负数变为正数时，该点为极小值点。

（2）当函数在临界点处的导数由正数变为负数时，该点为极大值点。

（3）当函数在临界点处的导数符号不变时，该点不是极值点。

通过求解函数的导数并研究导数的符号变化，可以判断函数的极值点。

综上所述，函数的单调性和极值点的判定是通过对函数的导数进行研究来完成的。

通过求解导数，并通过导数符号的变化来判断函数的单调性和极值点的性质。

在实际问题中，掌握函数的单调性和极值点的判定方法，可以帮助我们更好地理解函数的性质，进而解决相关的数学问题。

三次函数的单调性与极值问题

三次函数的单调性与极值问题四川省内江市第十二中学雷华 (邮编：641106)电话：0832--2802488以函数为载体，以导数为工具，以考查函数性质和导数极值理论、单调性质、几何意义及应用是近年高考导数与函数交汇试题的特点和趋向。

其中三次函数问题在高考试卷(特别是文科)里经常出现，其原因是三次函数的导数是二次函数,而二次函数是高中的重要内容，并且可综合考查导数、函数、方程、不等式等知识。

下面就对三次函数的单调性、极值问题进行分析，希望对同学们提升解题能力有所帮助和启示。

一、三次函数的单调性问题1、设三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++>，则2()32f x ax bx c '=++是二次函数，原函数的单调性与导函数的正负有关，易知导函数中的判别式∆=224124(3)b ac b ac -=-的符号起决定性作用。

（1）若∆＞0，即23b ac -＞0时，方程()f x '=0有两根，设为1x ，2x （其中1x =a ac b b 332---，2x =a ac b b 332-+-），根据导函数的图象得：当x<1x 或x>2x 时，()f x '＞0，因此()f x 在(-∞，1x )和（2x ，+∞）上为增函数；当1x ＜x ＜2x 时，()f x '＜0，因此()f x 在（1x ，2x ）上为减函数。

（2）若∆≤0时，即23b ac -≤0，则()f x '≥0在R 上恒成立，因此()f x 在R 上为增函数。

2、由上述推导，较易得到：当a<0时，三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++<①若23b ac -＞0，则()f x 在(－∞，1x )和（2x ，+∞）上为减函数，在（1x ，2x ）上为增函数。

②若23b ac -≤0时，则()f x 在（-∞，+∞）上为减函数3、由三次函数的单调性，根据a 和∆的不同情况三次函数图象分别为：二、三次函数的极值问题结合三次函数的图象和单调性可得：当0∆>时，二次方程()0f x '=有两相异实根12,x x ，且在12,x x 的两边()f x '的符号相反，故函数()f x 存在两个极值点，图象为上图中的（2）、（4）两种；当0∆=时，二次方程()0f x '=有两相等实根，且在根的两边()f x '的符号相同，这时函数()f x 只存在驻点（但不是极值点）；当0∆<时；方程()0f x '=无实根，()f x '的值恒为正（或负），函数的图象为上图中的（1）、（3）两种。

函数的单调性、最大(小)值及其几何意义

函数的单调性、最大(小)值及其几何意义一、函数的单调性（一）定义1、一般地，设函数f(x)的定义域为I:(1)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2), 那么就说函数f(x)在区间D上是增函数。

(2)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数。

(3)如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。

（4）几何意义：1.增函数自左向右图象是上升的2.减函数自左向右图象是下降的2. a>0时，二次函数y=ax2的单调增区间为[0，十∞)。

3. k>0时，y=kx+b在R上是增函数。

1的单调递减区间为(一∞，0)和(0，十∞）4.函数y=x（二）注意点1. 函数的单调区间必须是定义域的子集。

因此讨论函数的单调性时，必须先确定函数的定义域。

2.研究函数的单调性，必须注意无意义的特殊点，如函数f(x)在(一∞，0)和(0，+∞)上都是减函数，但不能说函数f(x)在定义域上是减函数。

（三）解题方法1. 求单调区间的方法: (1)图象法; (2)定义法; (3)利用已知函数的单调性。

2.用单调性的定义证明函数的单调性分四个主要步骤:即“取值—作差变形—定号—判断”这四个步骤。

若f(x)>0,则判断f(x)的单调性可以通过作比的方法去解决，即“取值—作比变形—与1比较—判断”。

二、函数的最大值与最小值及几何意义从图象上看,函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标。

一般地，设y=f(x)是定义在[a,b]上的函数，y= f(x)在(a,b) 内有导数，求函数y= f(x)在[a,b]上的最大值与最小值可分为两步进行:1.求y= f(x)在(a,b)内的极值(极大值或极小值) ;2.将y= f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。

函数的单调性与最值课件共20张PPT

那么就称函数f(x)在区间D上单那么就称函数f(x)在区间D上单
调递增
调递减
∀x1，x2∈D 且 x1≠x2，有fxx11－－fx2x2>0(<0)或
(x1－ x2)[f(x1)－ f(x2)]>0(<0)⇔ f(x) 在区间 D 上单调递增
(减).
复习回顾
图象描述
自左向右看图象是上升的
解析
令
x2＋4＝t，则
t≥2，∴x2＝t2－4，∴y＝ t2
＋t 1＝t＋1 1，
t
设 h(t)＝t＋1，则 h(t)在[2，＋∞)上为增函数， t
∴h(t)min＝h(2)＝52，∴y≤15＝25(x＝0 时取等号)． 2
即 y 的最大值为2. 5
求函数最值的三种基本方法：
一．单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. 二．图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出
自左向右看图象是下降的
复习回顾
(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上_单__调__递__增__或_单__调__递__减__，那么就说函数y＝f(x) 在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.
复习回顾 2.函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
专题一：判断、证明函数的单调性
例 1：(3)已知 f x 2x , x 2,6. (1)判断 f x 的单调性，并加以证明；(2)求 f x 的最值.
x 1
专题一：判断、证明函数的单调性变式 3：讨论 f x ax a 0, 的单调性.
x 1
小结：确定函数单调性的四种方法 (1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法．