对数与对数运算学案
对数与对数运算学案三
2.2.3 对数与对数运算（3）【学习目标】1.能熟练运用对数运算性质解决对数运算问题；2.会运用对数运算性质解决实际应用问题．【学习重点】运用对数运算和对数运算性质解决实际应用问题．【难点提示】对数运算性质的正确理解与运用；【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材6469P -结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题及解答、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.【学习过程】 一、学习准备1. 上节课我们学习了对数运算及对数运算性质，请完成下列填空：如果a ＞0且a ≠1，M ＞0，N ＞0，b>0那么：（1）log a MN = ；（2）log a M N= ；（3）log n a M = ． （4）对数的换底公式：log a b = ；（5）拓展公式知道吗？（链接1）2.预备练习 （1）计算：827log 9log 32∙．（2）已知12log 27＝a ，求6log 16的值（用a 表示）.3.对数运算及运算性质在实际生活中有哪些运用呢？在16、17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之际，苏格兰数学家纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数．可见它对解决实际问题的作用非常巨大（请同学们认真阅读教材第68-69页），今天就来探究对数的实际应用．二、典例解析例1 （教材P66例5，请同学们先做，在看书上的解答）20世纪30年代，查尔斯．里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大． 这就是我们常说的里氏震级M ，其计算公式为：0lg lg M A A =-，其中A 是被测地震的最大振幅，0A 是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中距离造成的偏差）．(1) 假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0．001， 计算这次地震的震级（精确到0．1）；(2) 5级地震给人的振感已比较明显，计算7．6级地震最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍？（精确到1）思路启迪：读懂题中的有用信息是解决数学应用问题的关键，本题中的有用信息有哪些，你能通过读题后能读出来吗？然后根据你的理解试一试．解:●解后反思 这是一道什么题型、求解它的一般步骤是什么？应注意哪些问题？例2（教材P66例6，请同学们先做，在看书上的解答）当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．根据些规律，人们获得了生物体碳14含量P 与生物死亡年数t 之间的关系．回答下列问题：（1）求生物死亡t 年后它机体内的碳14的含量P ，并用函数的观点来解释P 和t 之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？（2）已知一生物体内碳14的残留量为P ，试求该生物死亡的年数t ，并用函数的观点来解释P 和t 之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？（3）长沙马王墓女尸出土时碳14的余含量约占原始量的76．7%，试推算古墓的年代？ 解:例3.log 1log log a a ab x b x=+(1)证明：. 24892(2)(log 3log 9log 27log 3)log .n n ++++ 化简：解后反思 证明恒等式有哪些方法？该题的证明用的什么方法？在（2）中化简的方向是什么？两个小题的入手点各在在哪里？变式练习 12121212).n na a a n a a a nb b λλ= 已知log b =log b ==log b =,求证:log (b三、学习反思1.本节课我们学习了哪些数学知识、数学思想方法，实现了我们的学习目标吗？如：解决实际应用问题的基本步骤有哪几步? 利用换底公式解决有关对数问题应注意什么?(学习链接2)2.通过本节课的学习对本节课你还有独特的见解吗？本节课的数学知识与生活有怎样的联系？感受到本节课数学知识与方法的美在哪里？四、学习评价25()a -（a ≠0）化简得结果是（ ）．A ．－a ；B ．a 2；C ．｜a ｜；D ．a ．2.若 log 7［log 3（log 2x ）］＝0，则12x =（ ）．A ． 3 ；B ． ；C ． ；D ． ．3.已知35a b m ==，且112a b+=，则m 之值为（ ）．A ．15；B ；C ．；D ．225．4.若32a=，则log 38－2log 36用a 表示为 ．5.化简：（1）222lg5lg8lg5lg20(lg2)3+++； （2）()()24525log 5+log 0.2log 2+log 0.5．6.若()()lg lg 2lg2lg lg x y x y x y -++=++，求x y的值．7.已知14log 2a =，用a 表示7．8.教材P74习题2.2A 组第6、9题、P75第12题.【学习链接】链接1：1log (0,1,0,1)log a b b a a b b a =>≠>≠；log log (0,1,0)n m a a m b b a a b n=>≠> 链接2. 解答应用问题的步骤是：审题、建模、化简、计算、下结论；其中审题、建模是关键；在解答有关对数应用题的过程中应注意：（1）针对具体问题，选择好底数；（2）注意换底公式与对数运算法则结合使用；（3）换底公式的正用与逆用．。
对数与对数运算教学设计
对数与对数运算教学设计对数与对数运算教学设计【篇1】1教学目标1、理解对数的概念,了解对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的互化；理解对数的性质，掌握以上知识并形成技能。
2、通过事例使学生认识对数的模型，体会引入对数的必要性；通过师生观察分析得出对数的概念及对数式与指数式的互化。
3、通过学生分组探究进行活动，掌握对数的重要性质。
通过做练习，使学生感受到理论与实践的统一。
4、培养学生的类比、分析、归纳能力，严谨的思维品质以及在学习过程中培养学生探究的意识。
2学情分析现阶段大部分学生学习的自主性较差，主动性不够，学习有依赖性，且学习的信心不足，对数学存在或多或少的恐惧感。
通过对指数与指数幂的运算的学习，学生已多次体会了对立统一、相互联系、相互转化的思想，并且探究能力、逻辑思维能力得到了一定的锻炼。
因此，学生已具备了探索发现研究对数定义的认识基础，故应通过指导，教会学生独立思考、大胆探索和灵活运用类比、转化、归纳等数学思想的学习方法。
3重点难点重点：（1）对数的概念；（2）对数式与指数式的相互转化。
难点：（1）对数概念的理解；（2）对数性质的理解。
4教学过程4.1第一学时教学活动活动1【导入】创设情境引入新课引例（3分钟）1、一尺之棰，日取其半，万世不竭。
（1）取5次，还有多长？（2）取多少次，还有0.125尺?分析:(1)为同学们熟悉的指数函数的模型,易得(2)可设取x次,则有抽象出:2、__年我国GPD为a亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年GPD是__年的2倍？分析:设经过x年,则有抽象出:活动2【讲授】讲授新课一、对数的概念（3分钟）一般地，如果a(a0且a≠1)的b次幂等于N, 就是 =N 那么数 b叫做 a为底 N的对数,记作，a叫做对数的底数,N叫做真数。
注意：①底数的限制:a0且a≠1②对数的书写格式二、对数式与指数式的互化：（5分钟）幂底数← a →对数底数指数← b →对数幂← N →真数思考：①为什么对数的定义中要求底数a0且a≠1？②是否是所有的实数都有对数呢？负数和零没有对数三、两个重要对数（2分钟）①常用对数：以10为底的对数 ,简记为: lgN②自然对数：以无理数e=2.71828…为底的对数的对数简记为: lnN . (在科学技术中,常常使用以e为底的对数)注意：两个重要对数的书写课堂练习（7分钟）对数与对数运算教学设计【篇2】对数与对数运算训练题1．2－3＝18化为对数式为A．log182＝－3 B．log18(－3)＝2C．log218＝－3 D．log2(－3)＝18解析：选C.根据对数的定义可知选C.2．在b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是()A．a＞5或a B．2＜a＜3或3＜a＜5C．25 D．3＜a＜4解析：选B.5－a＞0a－2＞0且a－21，2＜a＜3或3＜a＜5.3．有以下四个结论：①lg(lg10)＝0；②ln(lne)＝0；③若10＝lgx，则x ＝10；④若e＝lnx，则x＝e2，其中正确的是()A．①③ B．②④C．①② D．③④解析：选C.lg(lg10)＝lg1＝0；ln(lne)＝ln1＝0，故①、②正确；若10＝lgx，则x＝1010，故③错误；若e＝lnx，则x＝ee，故④错误．4．方程log3(2x－1)＝1的解为x＝________.解析：2x－1＝3，x＝2.答案：21．logab＝1成立的条件是()A．a＝b B．a＝b，且b0C．a0，且a D．a0，a＝b1解析：选D.a0且a1，b0，a1＝b.2．若loga7b＝c，则a、b、c之间满足()A．b7＝ac B．b＝a7cC．b＝7ac D．b＝c7a解析：选B.loga7b＝cac＝7b，b＝a7c.3．如果f(ex)＝x，则f(e)＝()A．1 B．eeC．2e D．0解析：选A.令ex＝t(t0)，则x＝lnt，f(t)＝lnt.f(e)＝lne＝1.4．方程2log3x＝14的解是()A．x＝19 B．x＝x3C．x＝3 D．x＝9解析：选A.2log3x＝2－2，log3x＝－2，x＝3－2＝19.5．若log2(log3x)＝log3(log4y)＝log4(log2z)＝0，则x＋y＋z的值为() A．9 B．8C．7 D．6解析：选A.∵log2(log3x)＝0，log3x＝1，x＝3.同理y＝4，z＝2.x＋y＋z＝9.6．已知logax＝2，logbx＝1，logcx＝4(a，b，c，x＞0且1)，则logx(abc)＝()A.47B.27C.72D.74解析：选D.x＝a2＝b＝c4，所以(abc)4＝x7，所以abc＝x74.即logx(abc)＝74.7．若a0，a2＝49，则log23a＝________.解析：由a0，a2＝(23)2，可知a＝23，log23a＝log2323＝1.答案：18．若lg(lnx)＝0，则x＝________.解析：lnx＝1，x＝e.答案：e9．方程9x－63x－7＝0的解是________．解析：设3x＝t(t0)，则原方程可化为t2－6t－7＝0，解得t＝7或t＝－1(舍去)，t＝7，即3x＝7.x＝log37.答案：x＝log3710．将下列指数式与对数式互化：(1)log216＝4； (2)log1327＝－3；(3)log3x＝6(x＞0); (4)43＝64；(5)3－2＝19； (6)(14)－2＝16.解：(1)24＝16.(2)(13)－3＝27.(3)(3)6＝x.(4)log464＝3.(5)log319＝－2.(6)log1416＝－2.11．计算：23＋log23＋35－log39.解：原式＝232log23＋353log39＝233＋359＝24＋27＝51. 12．已知logab＝logba(a0，且a1；b0，且b1)．求证：a＝b或a＝1b.证明：设logab＝logba＝k，则b＝ak，a＝bk，b＝(bk)k＝bk2.∵b0，且b1，k2＝1，即k＝1.当k＝－1时，a＝1b；当k＝1时，a＝b.a＝b或a＝1b，命题得证．对数与对数运算教学设计【篇3】对数是什么在数学中，对数是对求幂的逆运算，正如除法是乘法的倒数，反之亦然。
对数与对数运算教案
对数与对数运算教案一、教学目标1.了解对数的概念和性质。
2.掌握对数的换底公式。
3.能够运用对数运算解决实际问题。
二、教学重点1.对数的换底公式的掌握。
2.对数运算的实际应用。
三、教学难点1.对数的换底公式的理解与应用。
2.对数运算在实际问题中的灵活运用。
四、教学过程1.导入（5分钟）通过提问的方式引入对数的概念，例如：什么是指数？怎样求指数运算的结果？对数与指数有何关系等。
2.知识讲解与演示（25分钟）(1)对数的概念与性质：先简要介绍对数的概念，即以一些数为底，使结果等于一些数的指数运算。
然后讲解对数的性质，包括对数的唯一性、对数的基本法则等。
3.练习与巩固（25分钟）(1)讲解练习题：组织学生进行对数运算的练习，包括计算对数的值、利用对数解决方程等。
逐步提高题目的难度，以巩固学生的基本技能。
(2)拓展练习：根据实际问题设置应用题，引导学生运用对数解决实际问题，如物种数量的估算、露营地数量的计算等。
培养学生的问题解决能力和分析能力。
4.深化与延伸（20分钟）(1)对数运算的实际意义：通过一些具体的实际例子，讲解对数运算在生活中的应用，如音量的计算、地震强度的测量等。
让学生感受到对数运算在实际问题中的重要性。
(2)拓展延伸：引导学生深入思考对数的概念和性质，并做一些拓展性的练习，如求对数的近似值、应用对数解决复杂方程等。
拓宽学生的数学思维。
五、课堂小结与展望（5分钟）对本节课的内容进行小结，回顾所学的知识点和技能。
展望下节课的内容，为下一步学习打下基础。
六、作业布置布置适量的练习题作业，巩固对数与对数运算的知识与技能的掌握。
七、教学反思通过本节课的教学，学生对对数和对数运算有了初步的了解。
对数的换底公式的掌握是此节课的难点和重点，需要进行反复的练习和巩固。
通过设置实际问题的应用题，培养学生的问题解决能力和应用能力。
同时，教师需要耐心引导学生思考和讨论，帮助学生更好地理解和掌握数学知识。
《对数与对数运算》教学设计(精品)
对数与对数运算（一）（一）教学目标1．知识技能：①理解对数的概念，了解对数与指数的关系；②理解和掌握对数的性质；③掌握对数式与指数式的关系.2.过程与方法：通过与指数式的比较，引出对数定义与性质.3．情感、态度、价值观（1）学会对数式与指数式的互化，从而培养学生的类比、分析、归纳能力.（2）通过对数的运算法则的学习，培养学生的严谨的思维品质.（3）在学习过程中培养学生探究的意识.（4）让学生理解平均之间的内在联系，培养分析、解决问题的能力.（二）教学重点、难点（1）重点：对数式与指数式的互化及对数的性质（2）难点：推导对数性质的（三）教学方法启发式启发学生从指数运算的需求中，提出本节的研究对象——对数，从而由指数与对数的关系认识对数，并掌握指数式与对数式的互化、而且要明确对数运算是指数运算的逆运算.引导学生在指数式与对数式的互化过程中，加深对于定义的理解，为下一节学习对数的运算性质打好基础.（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图提出问题1．提出问题（P72思考题）13 1.01xy=⨯中，哪一年的老师提出问题，学生思考回答.由实际问题引入，激发人口数要达到10亿、20亿、30亿……，该如何解决？即：1820301.01, 1.01, 1.01,131313x x x ===在个式子中，x 分别等于多少？象上面的式子，已知底数和幂的值，求指数，这就是我们这节课所要学习的对数（引出对数的概念）.启发学生从指数运算的需求中，提出本节的研究对象——对数，学生的学习积极性.概念 形成合作探究：若1.01x =1318，则x 称作是以1.01为底的1318的对数.你能否据此给出一个一般性的结论？一般地，如果a x=N （a ＞0，且a ≠1），那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x =log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.举例：如：24416,2log 16==则，读作2是以4为底，16的对数.1242=，则41log 22=，读作12是以4为底2的对数.合作探究 师：适时归纳总结，引出对数的定义并板书.让学生经历从“特殊一一般”，培养学生“合情推理”能力，有利于培养学生的创造能力．概念 深化 1. 对数式与指数式的互化 在对数的概念中，要注意：（1）底数的限制a ＞0，且a ≠1 （2）log x a a N N x =⇔= 指数式⇔对数式 幂底数←a →对数底数 指 数←x →对数 幂 ←N→真数掌握指数式与对数式的互化、而且要明确对数运算是指数运算的逆运算.通过本环节的教学，培养学生的用联系的关点观察问题.说明：对数式log a N 可看作一记号，表示底为a （a ＞0，且a ≠1），幂为N 的指数工表示方程x a N =（a ＞0，且a ≠1）的解. 也可以看作一种运算，即已知底为a （a ＞0，且a ≠1）幂为N ，求幂指数的运算. 因此，对数式log a N 又可看幂运算的逆运算. 2. 对数的性质：提问：因为a ＞0，a ≠1时，log x N a a N x =⇔=则 由１、a 0=1 ２、a 1=a 如何转化为对数式②负数和零有没有对数？ ③根据对数的定义，log a N a =？ （以上三题由学生先独立思考，再个别提问解答） 由以上的问题得到① 011,a a a == （a ＞0，且a ≠1） ② ∵a ＞0，且a ≠1对任意的力，10log N 常记为lg N .恒等式：log a N a =N 3. 两类对数① 以10为底的对数称为常用对数，10log N 常记为lg N .② 以无理数e =2.71828…为底的对数称为自然对数，log e N 常记为ln N .备选例题例1 将下列指数式与对数式进行互化.（1）64)41(=x（2）51521=-（3）327log 31-= （4）664log -=x【分析】利用a x = N ⇔x = log a N ，将（1）（2）化为对数式，（3）（4）化为指数式. 【解析】（1）∵64)41(=x ，∴x =41log 64（2）∵51521=-，∴2151log 5-= （3）∵327log 31-=，∴27)31(3=-（4）∵log x 64 = –6，∴x －6 = 64.【小结】对数的定义是对数形式与指数形式互化的依据，同时，教材的“思考”说明了这一点. 在处理对数式与指数式互化问题时，依据对数的定义a b = N ⇔b = log a N 进行转换即可.例2 求下列各式中的x . （1）32log 8-=x ； （2）4327log =x ； （3）0)(log log 52=x ； 【解析】（1）由32log 8-=x得32332)2(8--==x = 2–2，即41=x .（2）由4327log =x ，得343327==x ，∴813)3(4343===x .（3）由log 2 (log 5x ) = 0得log 5x = 20 = 1. ∴x = 5.【小结】（1）对数式与指数式的互化是求真数、底数的重要手段.（2）第（3）也可用对数性质求解.如（3）题由log 2(log 5x ) = 0及对数性质log a 1=0. 知log 5x = 1，又log 55 = 1. ∴x = 5.对数与对数运算（二）（一）教学目标1．知识与技能：理解对数的运算性质．2．过程与方法：通过对数的运算性质的探索及推导过程，培养学生的“合情推理能力”、“等价转化”和“演绎归纳”的数学思想方法，以及创新意识．3．情感、态态与价值观通过“合情推理”、“等价转化”和“演绎归纳”的思想运用，培养学生对立统一、相互联系，相互转化以及“特殊—一般”的辩证唯物主义观点，以及大胆探索，实事求是的科学精神．（二）教学重点、难点1．教学重点：对数运算性质及其推导过程. 2．教学难点： 对数的运算性质发现过程及其证明. （三）教学方法针对本节课公式多、思维量大的特点，采取实例归纳，诱思探究，引导发现等方法． （四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入复习：对数的定义及对数恒等式log baN b a N=⇔=（a＞0，且a≠1，N＞0），指数的运算性质.;m n m n m n m na a a a a a+-⋅=÷=();mnm n mn n ma a a a==学生口答，教师板书．对数的概念和对数恒等式是学习本节课的基础，学习新知前的简单复习，不仅能唤起学生的记忆，而且为学习新课做好了知识上的准备．提出问题探究：在上课中，我们知道，对数式可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算性质，得出相应的对数运算性质吗？如我们知道m n m na a a+⋅=，那m n+如何表示，能用对数式运算吗？如：,,m n m n m na a a M a N a+⋅===设.于是,m nMN a+=由对数的定义得到log,maM a m M=⇔=lognaN a n N=⇔=logm naMN a m n MN+=⇔+=log log log()a a aM N MN∴+=放出投影学生探究，教师启发引导．即：同底对数相加，底数不变，真数相乘提问：你能根据指数的性质按照以上的方法推出对数的其它性质吗？概念形成（让学生探究，讨论）如果a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，那么：（1）log log loga a aMN M N=+（2）log log loga a aMM NN=-（3）log log()na aM n M n R=∈证明：（1）令,m nM a N a==则：m n m nMa a aN-=÷=logaMm nN∴-=又由,m nM a N a==log,loga am M n N∴==即：log log loga a aMM N m nN-=-=（3）0,log,Nn nan N M M a≠==时令则log,bnab n M M a==则N bn na a∴=N b∴=让学生多角度思考，探究，教师点拨．让学生讨论、研究，教师引导．让学生明确由“归纳一猜想”得到的结论不一定正确，但是发现数学结论的有效方法，让学生体会“归纳一猜想一证明”是数学中发现结论，证明结论的完整思维方法，让学生体会回到最原始（定义）的地方是解决数学问题的有效策略．通过这一环节的教学，训练学生思维的广阔性、发散性，进一步加深学生对字母的认识和利用，体会即log log log aa a MM N N=- 当n =0时，显然成立.log log na a M n M ∴=从“变”中发现规律．通过本环节的教学，进一步体会上一环节的设计意图．概念 深化合作探究： 1. 利用对数运算性质时，各字母的取值范围有什么限制条件？2. 性质能否进行推广？（师组织，生交流探讨得出如下结论） 底数a ＞0，且a ≠1，真数M ＞0，N ＞0；只有所得结果中对数和所给出的数的对数都存在时，等式才能成立.（生交流讨论） 性质（1）可以推广到n 个正数的情形，即 log a （M 1M 2M 3…M n ） =log a M 1+log a M 2 +log a M 3+…+log a M n（其中a ＞0，且a ≠1，M 1、M 2、M 3…M n ＞0）.应用 举例例1 用log a x ，log a y ，log a z 表示下列各式（1）log a xyz（2）23log 8a x y学生思考，口答，教师板演、点评． 例1分析：利用对数运算性质直接化简.（1）log axyzlog log a a xy z =-通过例题的解答，巩固所学的对数运算法则，提高运算能力．备选例题例1 计算下列各式的值： （1）245lg 8lg 344932lg21+-；（2）22)2(lg 20lg 5lg 8lg 325lg +⋅++. 【解析】（1）方法一：原式=2122325)57lg(2lg 34)7lg 2(lg 21⨯+--=5lg 217lg 2lg 27lg 2lg 25++-- =5lg 212lg 21+ =21)5lg 2(lg 21=+. 方法二：原式=57lg 4lg 724lg +- =475724lg⨯⨯ =21)52lg(=⨯.（2）原式=2lg5 + 2lg2 + lg5 (2lg2 + lg5) + (lg2)2 =2lg10 + (lg5 + lg2)2 = 2 + (lg10)2 = 2 + 1 = 3.【小结】易犯lg52 = (lg5)2的错误.这类问题一般有两种处理方法：一种是将式中真数的积、商、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值. 计算对数的值时常用到lg2 + lg5 = lg10 = 1.例2：（1）已知lg2 = 0.3010，lg3 = 0.4771，求lg 45； （2）设log a x = m ，log a y = n ，用m 、n 表示][log 344yxa a ⋅；（3）已知lg x = 2lg a + 3lg b – 5lg c ，求x .【分析】由已知式与未知式底数相同，实现由已知到未知，只须将未知的真数用已知的真数的乘、除、幂表示，借助对数运算法则即可解答.【解析】（1）1190lg 45lg 222==1[lg9lg10lg 2]2=+- 1[2lg31lg 2]2=+- =-+=2lg 21213lg 0.4771+0.5 – 0.1505 = 0.8266 （2）434log []a x a y⋅ 1113412log log log a a a a x y =+-.1213141log 121log 3141m n y x a a -+=-+=（3）由已知得：532532lglg lg lg lg cb ac b a x =-+=，∴532c b a x =.【小结】①比较已知和未知式的真数，并将未知式中的真数用已知式的真数的乘、除、乘方表示是解题的关键，并且应注意对数运算法则也是可逆的；②第（3）小题利用下列结论：同底的对数相等，则真数相等. 即log a N = log a M ⇒N = M .对数与对数运算（三）（一）教学目标 1．知识与技能：（1）掌握换底公式，会用换底公式将一般的对数化为常用对数或自然对数，并能进行一些简单的化简和证明.（2）能将一些生活实际问题转化为对数问题并加以解答. 2．过程与方法：（1）结合实例引导学生探究换底公式，并通过换底公式的应用，使学生体会化归与转化的数学思想.（2）通过师生之间、学生与学生之间互相交流探讨，培养学生学会共同学习的能力. （3）通过应用对数知识解决实际问题，帮助学生确立科学思想，进一步认识数学在现实生活、生产中的重要作用.3．情感、态度与价值观（1）通过探究换底公式的概念，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣，培养学生严谨的科学精神.（2）在教学过程中，通过学生的相互交流，培养学生灵活运用换底公式的能力，增强学生数学交流能力，同时培养学生倾听并接受别人意见的优良品质.（二）教学重点、难点1．教学重点：（1）换底公式及其应用.（2）对数的应用问题.2．教学难点：换底公式的灵活应用.（三）教学方法启发引导式通过实例研究引出换底公式，既明确学习换底公式的必要性，同时也在公式推导中应用对数的概念和对数的运算性质，在教学中可以根据学生的不同基础适当地增加具体实例，便于学生理解换底公式的本质，培养学生从具体的实例中抽象出一般公式的能力.利用换底公式“化异为同”是解决有关对数问题的基本思想方法，它在求值或恒等变形中起着重要作用，在解题过程中应注意：（1）针对具体问题，选择恰当的底数；（2）注意换底公式与对数运算性质结合使用；（3）换底公式的正用与逆用.（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图提出问题我们学习了对数运算法则，可以看到对数的运算法则仅适用于对数的底数相同的情形，若在解题过程中，遇到对数的底数不相同时怎么办？师：从对数的定义可以知道，任何不等于1的正数都可以作为对数的底.数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数、自然对数表，只要通过查表就能求出任意正产生认知冲突，激发学生的学习欲望.数的常用对数或自然对数.这样，如果能将其他底的对数转换为以10或e为底的对数，就能方便地求出任意不为1的正数为底的对数.概念形成1. 探求换底公式，明确换底公式的意义和作用.例如，求我国人口达到18亿的年份，就是计算x=log1.011318的值，利用换底公式与对数的运算性质，可得x=log1.011318=01.1lg1318lg=01.1lg13lg18lg-≈0043.01139.12553.1-=32.8837≈33（年）.由此可得，如果人口年增长率控制在1%，那么从2000年初开始，大约经过33年，即到2032年底我国的人口总数可达到18亿.师：你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗？log a N=aNccloglog（a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；N＞0）.（师生讨论并完成）当a＞0，且a≠1时，若a b=N，①则log a N=b. ②在①的两边取以c（c＞0，且c≠1）为底的对数，则log c a b=log c N，即b log c a=log c N.∴b=aNcaloglog. ③由②③得log a N=aNccloglog（c＞0，且c≠1）.一般地，log a N=aNccloglog（a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；N＞0），这个公式称为换底公式.推导换底公式应用举例（多媒体显示如下例题，生板演，师组织学生进行课堂评价）例1 计算：（1）例1分析：在利用换底公式进行化简求值时，一般情况是根据题中所给的对数式的掌握换底公式的应用.log34·log48·log8m=log416，求m的值.（2）log89·log2732.（3）（log25+log4125）·5log2log33.具体特点选择恰当的底数进行换底，如果所给的对数式中的底数和真数互不相同，我们可以选择以10为底数进行换底.（1）解：原方程等价于3lg4lg×4lg8lg×8lglg m=2，即log3m=2，∴m=9.（2）解法一：原式=8lg9lg·27lg32lg=2g313g21·3g312g51=910.解法二：原式=8log9log22·27log32log22=33log22·3log352=910.（3）解：原式=（log25+log255）·5log22log33=21log2255·log52=21log2525·log52=45log25·log52=45.小结（1）不同底的对数要尽量化为同底的对数来计算；（2）在第（3）小题的计算过程中，用到了性质logmaM n=mn logaM及换底公式log a N=aNbbloglog.利用换底公合作探究：现在我们来用已学过的对数知识解决实际问题.例2 20世纪30年代，里克特（C.F.Richter）制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M=lg A－lg A0，其中，A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）.（1）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级（精确到0.1）；（2）5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍（精确到1）. 式可以证明：log a b=ablog1，即log a b log b a=1.例2解：（1）M=lg20－lg0.001=lg001.020=lg20000=lg2+lg104≈4.3.因此，这是一次约为里氏4.3级的地震.（2）由M=lg A－lg A0可得M=lgAA⇔AA=10M⇔A=A0·10M.当M=7.6时，地震的最大振幅为A1=A0·107.6；当M=5时，地震的最大振幅为A2=A0·105.所以，两次地震的最大振幅之比是21AA=56.71010⋅⋅AA=107.6－5=102.6≈398.答：7.6级地震的最大振幅大约是5级地震的最大振幅的398倍.合作探究：可以看到，虽然7.6级地震和5级地震仅相差2.6级，但7.6级地震的最大振幅却是5级地震最大掌握利用对数知识解决实际问题.课堂练习1.课本P 79练习第4题.2.在a b log 1，ba lg lg ，log nb a n ，log n b a n ，baab ab log 1log 1--（a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，ab ≠1，n ∈N ）中和log a b 相等的有 A.2个B.3个C.4个D.1个3.若log 34·log 48·log 8m =log 42，求m .4.（1）已知log 53=a ，log 54=b ，试用a 、b 表示log 2512；（2）已知log 1227=a ，求log 616.14的含量P =（21）5730t.由对数与指数的关系，指数式P =（21）5730t可写成对数式t =log573021P .湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76.7%，即P =0.767，那么t =log5730210.767，由计算器可得t ≈2193. 所以，马王堆古墓是近2200年前的遗址. 课堂练习答案1.（1）1；（2）1；（3）45.2. A3. 3.4. （1）2ba +. （2）aa +-3)3(4. 归纳 总结1.换底公式及其应用条件（注意字母的范围）.2.解决实际问题的一般步骤：学生先自回顾反思，教师点评完善．形成知识体系.课后作业：2.2 第三课时 习案学生独立完成巩固新知备选例题例1 已知log 189 = a ，18b = 5，求log 3645. 【解析】方法一：∵log 189 = a ，18b = 5， ∴log 185 = b ， 于是)218(log )59(log 36log 45log 45log 1818181836⨯⨯== =2log 15log 9log 181818++=aba b a -+=++2918log 118. 方法二：∵log 189 = a ，18b = 5， ∴lg9 = a lg18，lg5 = b lg8，∴9lg 18lg 25lg 9lg 918lg)59lg(36lg 45lg 45log 236-+=⨯===ab a a b a -+=-+218lg 18lg 218lg 18lg . 【小结】（1）利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质；（2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数与对数互化，统一成一种形式. 例2 我们都处于有声世界里，不同场合，人们对音量会有不同的要求，音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I 的声波，分贝的定义是：y = 10lgI I. 这里I 0是人耳能听到的声音的最低声波强度，I 0 = 10－12w/m 2，当I = I 0时，y = 0，即dB = 0.（1）如果I = 1w/m 2，求相应的分贝值；（2）70dB 时声音强度I 是60dB 时声音强度I′的多少倍？ 【解析】（1）∵I =1w/m 2， ∴y =10lg120110lg 10I I -= 1210lg101012lg10120()dB ==⨯=（2）由70 = 10lg 0I I ，即7lg 0=I I，∴7010=I I ，又60 = 10lg0I I '，即lg 0I I '=6，∴0I I '=106. ∴67001010='='I I I II I =10，即I = 10I ′答： （1）I = 1w/m 2，相应的分贝值为120()dB ； （2）70dB 时声音强度I 是60dB 时声音强度I′的10倍。
对数及对数函数教案8篇
写教案能帮助教师更好地安排课堂教学时间，教案要结合实际的教学进度和学生的学习能力，才能更好地帮助学生提高学习效果，下面是范文社小编为您分享的对数及对数函数教案8篇，感谢您的参阅。
对数及对数函数教案篇1【学习目标】一、过程目标1通过师生之间、学生与学生之间的互相交流，培养学生的数学交流能力和与人合作的精神。
2通过对对数函数的学习，树立相互联系、相互转化的观点，渗透数形结合的数学思想。
3通过对对数函数有关性质的研究，培养学生观察、分析、归纳的思维能力。
二、识技能目标1理解对数函数的概念，能正确描绘对数函数的图象，感受研究对数函数的意义。
2掌握对数函数的性质，并能初步应用对数的性质解决简单问题。
三、情感目标1通过学习对数函数的概念、图象和性质，使学生体会知识之间的有机联系，激发学生的.学习兴趣。
2在教学过程中，通过对数函数有关性质的研究，培养观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力，增强学习的积极性，同时培养学生倾听、接受别人意见的优良品质。
教学重点难点：1对数函数的定义、图象和性质。
2对数函数性质的初步应用。
教学工具：多媒体学前准备】对照指数函数试研究对数函数的定义、图象和性质。
对数及对数函数教案篇2对数函数及其性质教学设计1.教学方法建构主义学习观，强调以学生为中心，学生在教师指导下对知识的主动建构。
它既强调学习者的认知主体作用，又不忽视教师的指导作用。
高中一年级的学生正值身心发展的过渡时期，思维活跃，具有一定的独立性，喜欢新鲜事物，敢于大胆发表自己的见解，不过思维还不是很成熟.在目标分析的基础上，根据建构主义学习观，及学生的认知特点，我拟采用“探究式”教学方法。
将一节课的核心内容通过四个活动的形式引导学生对知识进行主动建构。
其理论依据为建构主义学习理论。
它很好地体现了“学生为主体，教师为主导，问题为主线，思维为主攻”的“四为主”的教学思想。
2.学法指导新课程强调“以学生发展为核心”，强调培养学生的自主探索能力与合作学习能力。
2.2.1对数与对数运算学案
§2.2.1对数与对数运算学案（第一课时）【学习目标】 班级： 姓名：理解对数的概念，了解对数与指数的关系；能够进行指数式与对数式的互化.【学习指导】重难点：对数的定义；指数式与对数式的互化.【学习过程】一.自主学习（一）自主探究（预习教材P62-P63，并找出疑惑之处）探究一.对数定义：一般地，如果ax =N （a>0,且a ≠1）,那么数x 叫做以a 为底N 的 ，记作b N a =log ，a 叫做对数的底数，N 叫做 ．例如：1642= ⇔ 216log 4=； 100102=⇔2100log 10=；⇔ ； 01.0102=-⇔201.0log 10-=． 思考：1.对数的定义中，为什么规定“10≠>a a 且”？ 2.负数有对数吗？2.探究对数基本性质1.是不是所有的实数都有对数？ 中的N 可以取哪些值？2.根据对数的定义以及对数与指数的关系， , .3.底数的取值范围),1()1,0(+∞U ；真数的取值范围),0(+∞．探究二.对数与指数的间的关系当a>0,a ≠1时，请同学们填写下表中空白处的名称：探究三.两个重要对数（1）常用对数：以10为底的对数N 10log ，简记为 ,如：（2）自然对数：以e 为底的对数N e log ，简记为 ,如：=1log a =a a log 212log 4=2421=b N a =log二.合作探究1.将下列指数式化成对数式,对数式化成指数式: （1）54=625 （2） (3) (4)（5）lg0.01=-2 （6）ln10=2.303 （7）lg100=x (8)2.求下列各式中x 的值： (1) (2) log x 8=6 (3) lg100=x (4) -ln e 2=x三.交流展示1.将下列指数式化成对数式,对数式化成指数式: （1） （2）3log 92= （3） （4）2.求下列各式的值：(1)log 525 (2)lg1000 (3)log 1515 (4)lg o.oo1(5)log 0.41 (6)log 981 (7)log 3243 (8)log 7343 四.达标检测A 组1.2log 510+log 50.5=2.解下列方程：（1）（2）log x 4=2 (3)lg 2x-lgx 2-3=03.若log 3(log 2x)=1，则 = .B 组1.log 3[log 4(log 381)]= .2.若log a 2=m,log a 3=n,则a 2m+n = .3.已知log[log3(log 4x)]=0，且log 4(log 2y)=1,求 的值.五.课后总结知识： 方法： 2327log =x 131273-=0)(log log 25=x 73.531=⎪⎭⎫ ⎝⎛m 416log 21-=64126-=5log 1253=32log 64-=x 21-x43y x ⋅32log 64-=x。
对数运算学案
2.2.1对数与对数运算（一）（一）教学目标①理解对数的概念，了解对数与指数的关系； ②掌握对数式与指数式的关系 .（二）教学重点、难点；对数式与指数式的互化 （三）教学过程（课本P 57例8）13 1.01x y =⨯中，哪一年的人口数要达到18亿、20亿、30亿……，该如何解决？ 即：1820301.01, 1.01, 1.01,131313x x x ===在个式子中，x 分别等于多少？ 象上面的式子，已知_____________，求_______，这就是我们这节课所要学习的对数（引出对数的概念）.一．对数概念：_________________________________________________________________________________________________________________________________________例：24416,2log 16==则，读作2是以4为底，16的对数.1242=，则41log 22=，读作12是以4为底2的对数 二. 对数式与指数式的互化（1）底数的限制a ＞0，且a ≠1； N ＞0（2）log xa aN N x =⇔= 例：若log (x —1)（2x —1），则x 的取值范围为＿＿＿log a N 可看作一记说明：对数式号，表示底为a （a ＞0，且a ≠1），幂为程xaN =（a ＞0，N 的指数,也表示方以看作一种运算，即且a ≠1）的解. 也可已知底为a （a ＞0，且a ≠1）幂为N ，求此，对数式log aN幂指数的运算. 因又可看幂运算的逆运算. 三. 对数的性质：（1）负数和零没有对数 （2）l og a 1=__ , l og a a =___（3） 恒等式：log a N a= ___, l og aa n = ___应用：log a N =b ⇔a b=N （a ＞0，a ≠1，N ＞0）四. 两类对数① 以10为底的对数称为常用对数，10log N 常记为lg N .②以无理数e =2.71828…为底的对数称为自然对数，log e N 常记为ln N . 五．例题分析例1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： （1）54=625； （2）2－6=641； （3）（31）m =5.73； （4）log 2116=－4； （5）lg0.01=－2； （6）ln10=2.303.例2：求下列各式中x 的值 （1）642log 3x =- （2）log 86x =（3）lg100x =（4）2ln e x -=例3 求下列各式中的x .（1）0)22(log 22=--+x x x ；（2） log ２（log ５ｘ）＝１；（3）0)(log log 52=x ； （4）21log 5424log 3log 54-+练习：课本P 64 1、2、3、4．课堂小结： 1.对数的定义及其记法； 2.对数式和指数式的关系；3.自然对数和常用对数的概念.2.2.1对数与对数运算（二）（第一课时）（一）教学目标:掌握对数的运算性质，能较熟练地运用对数的运算性质解决有关对数式的化简、求值问题. （二）教学重点、难点1.掌握对数的运算性质.2.应用对数运算性质求值、化简.（三）教学过程一、复习回顾，引入新课上一节课我们学习了对数的概念、指数式与对数式的互化，我们知道，对数和指数都是一种运算，而且对数运算是指数运算的逆运算，指数有它自己的一套运算性质.从指数与对数的关系以及指数运算性质，能得出相应的对数运算性质吗？这就是本节课所要探究的知识.二、讲解新课（一）对数的运算性质的探究问题：指数幂运算有哪些性质？a m·a n=＿， a m÷a n=＿＿，（a m）n=＿，m n a=＿.根据对数的定义可得：log a N=b a b=N（a＞0，a≠1，N＞0），那么，对数运算也有相应的运算性质吗？如果有，它们的运算性质会与指数幂的运算性质之间有什么联系呢？探究（1）：由于a m·a n=a m+n（a＞0，且a≠1），＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿探究（2）：由a m÷a n=a m－n和（a m）n=a mn，得出对数运算的其他性质.＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿探究（3）：∵（a m）n=a mn，设M=a m，∴M n=a mn.＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿(二)对数的运算性质：a＞0，a≠1，M＞0，N＞0l og a（MN）=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿M=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿log aNlog a M n=＿＿＿＿＿＿＿＿＿（1）三个性质可归纳为：（1）积的对数等于各因式对数的和；（2）商的对数等于被除数的对数减除数的对数；（3）幂的对数等于指数乘以底数的对数.分析：这几条运算性质会对我们进行对数运算带来以下方便：利用以上性质，可以使两正数的积、商的对数运算问题转化为两正数各自的对数的和、差运算，大大的方便了对数式的化简、求值.（2）概念理解底数a＞0，且a≠1，真数M＞0，N＞0；只有所得结果中对数和所给出的数的对数都存在时，等式才能成立.性质推广性质（1）可以推广到n 个正数的情形，即log a （M 1M 2M 3…M n ）=log a M 1+log a M 2+log a M 3+…+log a M n （其中a ＞0，且a ≠1，M 1、M 2、M 3…M n ＞0）. 知识拓展：当a ＞0，a ≠1，M ＞0时，还有log m a M n =mnlog a M . （三）运算性质的应用 例1（课本P 65例3）、 用log a x ，log a y ，log a z 表示下列各式：（1）log a zxy；（2）log a32zy x .例2（P 65例4）、求下列各式的值：（1）log 2（47×25）；（2）lg 5100.例3、 已知lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，求下列各式的值：（结果保留4位有效数字）（1）lg12；（2）lg 1627.例4、 计算： （1）lg14－2lg37+lg7－lg18；（2）9lg 243lg ；（3）21lg 10lg 38lg 27lg ∙-+.（4）2log 2log 4log 7101.0317103-+（5）lg 25 + 32lg8 + lg5 ×lg20+ l 2g2例5解方程（1）lg(x 2+11x+8)-lg(x+1)=1．（2）l 2g (x+10)-3lg(x+10) -4=0．（四）课堂小结:1.对数的运算性质. 2.对数运算法则的综合运用，应掌握变形技巧：（1）各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系；（2）要避免错用对数运算性质.2.2.1对数与对数运算（三）（第二课时）（一）教学目标:1.掌握换底公式，会用换底公式将一般的对数化为常用对数或自然对数，并能进行一些简单的化简和证明； 2.能将一些生活实际问题转化为对数问题并加以解答. （二）教学重点：1.换底公式及其应用；2.对数的应用问题. 教学难点：换底公式的灵活应用. （三）教学过程一、复习与引入： 对数和指数比较：引入新课：我们学习了对数运算法则，可以看到对数的运算法则仅适用于对数的底数相同的情形，若在解题过程中，遇到对数的底数不相同时怎么办？例如：求ｌｏｇ２３×ｌｏｇ３４的值从对数的定义可以知道，任何不等于1的正数都可以作为对数的底.数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数、自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数.这样，如果能将其他底的对数转换为以10或e 为底的对数，就能方便地求出任意不为1的正数为底的对数.二、讲解新课（一）探求换底公式，明确换底公式的意义和作用 根据对数的定义推导出下面的换底公式log a N =aNc c log log （a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；N ＞0）.推导：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿一般地，log a N =aNc c log log （a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；N ＞0），这个公式称为换底公式.log a b ·log b a =＿＿＿， log a b ·log b c =＿＿＿＿换底公式作用：是把一个对数式的底数改变，可将不同底问题化为同底问题，为使用运算法则创设条件，如换底公式可以解决如下问题：例如 1． n a b m log =mnlog a b （a 、b ＞0且均不为1）. ｌｏｇ２３×ｌｏｇ３４＝2.求我国人口达到18亿的年份，就是计算x =log 1.011318的值，利用换底公式与对数的运算性质， （查表得：1139.113lg ,2553.118lg ≈≈）x =＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. （二）换底公式的应用例1． 求值.（1）log 89·log 2732； （2）（log 25+log 4125）·5lo g 2l o g 33.例2． 计算： log 34·log 48·log 8m =log 416，求m 的值.方法：在利用换底公式进行化简求值时，一般情况是根据题中所给的对数式的具体特点选择恰当的底数进行换底，如果所给的对数式中的底数和真数互不相同，我们可以选择以10为底数进行换底. 知识拓展：（1）不同底的对数要尽量化为同底的对数来计算；（2）在第（3）小题的计算过程中，用到了性质log m a M n =m nlog a M 及换底公式log a N =a N b b log log .（三）对数的应用问题：用已学过的对数知识解决实际问题例3． 20世纪30年代，里克特（C.F .Richter ）制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级M ，其计算公式为M =lg A －lg A 0，其中，A 是被测地震的最大振幅，A 0是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）.（1）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级（精确到0.1）； （2）5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍（精确到1）.分析：可以看到，虽然7.6级地震和5级地震仅相差2.6级，但7.6级地震的最大振幅却是5级地震最大振幅的398倍.所以，7.6级地震的破坏性远远大于5级地震的破坏性.例4．科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生放射性碳14.碳14的衰变极有规律，其精确性可以称为自然界的“标准时钟”.动植物在生长过程中衰变的碳14，可以通过与大气的相互作用得到补充，所以活着的动植物每克组织中的碳14含量保持不变.死亡后的动植物，停止了与外界环境的相互作用，机体中原有的碳14按确定的规律衰减，我们已经知道其“半衰期”为5730年.湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆古墓的年代.三、课堂小结1.换底公式及其应用条件（注意字母的范围）.2.解决实际问题的一般步骤：。
广东省佛山市顺德区高中数学《2.1.1对数与对数运算(一)》学案 新人教A版必修1
对数与对数运算（一）1. 对数的概念：一般的，如果)10(≠>=a a N a x且,那么数x 叫做以 ，记作 ，其中a 叫作对数的 ，N 叫作 .2. 以10为底的对数叫作 ，并把N 10log 记为 ，以无理数e=2.71828… 为底数的对数称为 ，并把N e log 记为 。
3. 指数式与对数式的互化：⇔=N a x4. 对数的性质 （1）零和负数______________对数; (2) 对数恒等式： )010______(log >≠>=N a a a N a ，且5. 对数的运算性质如果0010>>≠>M N a a ，，且,那么：（1）_______________)(log =⋅N M a (2) ___________________log =NM a(3) __________________log =n a M二．预习自测1.填空： =1log a =a a log =a a 1log =a a1log =N a a log （a>0,且a )1≠ =10log22=+3log 1222.把下列指数式写成对数式 _;__________164⇔=x _;__________13⇔=x _;__________6⇔=x e3.把下列对数式写成指数式___;__________3log 2⇔=x ___;__________25lg ⇔=x 2合作与交流：1. 有以下四个命题：①若15,3log 5==x x 则; ②若,21log 25=x 则x=5;③若50log 5==x x 则; ④若,3log 51-=x 则x=125;其中正确的个数为 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2.若,0941log 21=-x则x 的值为__________________3.设,3log 2=x 求x x xx ---+2222的值.我的疑问：典型例题：例1. (1) 4log 16的值为___________ (2)32log 2的值为___________(3) 5log 22=_____ 4loga a =_______（a>0且a ≠1） 例2.(1) 求使21log 64=x 成立的x 的值. (2)求使216log =x 成立的x 的值.例3. 用z y x a a a log ,log ,log 表示下列各式（其中x ，y,z +∈R ） (1) )(log 3221-z xy a (2)23log y xa例4已知.3log ,2log n m a a ==求n m a 32-的值.当堂检测：1．化简27log 3的结果是（ ）A. 3B. 23C. 32 D. 32.已知,29log =x 则x 的值为__________________A. -3B. 3C.3±D. 31 3.若,5log 51a =,2log 3=b ,则b-a=4.____________2log 18log _________,5lg 2lg 33=-=+5.=-2log 133____________课后作业1. 若,0,10>>≠>y x a a 且下列式子：①);(log log log y x y x a a a +=⋅②);(log log log y x y x a a a -=-③;log log log y x yx a a a ÷=④y x xy a a a log log )(log ⋅=其中正确的个数是( )A.0B.1C.2D.32.32=m 化为对数式是( )A.2log 3=mB. 3log 2=m C .m 3log 2= D. 3log 2m = 3. a =4log 5化为指数式是（ ）A. a =45B. a =54C. 45=aD. 54=a4.在)1(log 3-=m b 中，实数m 的取值范围是___________________.5.若,0)2(log 31=+x 则x=_______________;若,1)1(log 4=-x 则x=_______________.6.计算：(1) 8log 2 (2)e ln (3)1lg7.求对数式)5(log )2(x x --中的x 的取值范围.。
对数与对数的运算详细教案
课题2.2.1 对数与对数的运算 教学内容：对数与对数的运算 教学目标:1.知识目标：理解对数的概念，掌握指数式与对数式的互化以及认识特殊对数的意义和表示方式；2.能力目标：培养学生分析问题、解决问题的能力与思维灵活性的能力；3.情感目标：在知识的探索和发现过程中让学生认识事物之间的相互联系与相互转换；感受探索新知的乐趣和成功的喜悦．教学重点:对数的概念，对数与指数的关系． 教学难点:对数概念的理解． 课型：新授课. 教学方法：1 教法:讲解法，合作法.2 学法:类比学习法，合作学习法.3 教学用具:彩色粉笔；多媒体.教学过程：1.创设情境，引入新知（1）庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭.①取5次，还有多长？ ②取多少次，还有0.125尺？（2）截止1999年底，我国人口约13亿，如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么多少年后我国人口数可达18亿？ 可抽象出：51,2a ⎛⎫= ⎪⎝⎭10.125?2xx ⎛⎫=⇒= ⎪⎝⎭()1311%18y⨯+=即181.01?13y y =⇒=师：上一节我们已经知道指数运算就是我们以前学的乘方运算，同样也知道乘方运算的逆运算开方运算.对512a⎛⎫=⎪⎝⎭，大家认为是什么运算呢？a的值为多少呢？对于1180.125 1.01213xy⎛⎫==⎪⎝⎭和，这两个式子有什么共同的地方没有？是什么？（已知底数和幂值，求指数）.是我们熟悉的运算吗？和我们所熟知的指数也能算和开方运算有联系吗？其中的x y和的值怎么表示呢？带着这些问题进入我们今天的课堂：对数.2.探究新知⑴对数定义如果x a N=(a＞0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x =loga N（01a a>≠且）其中a叫对数的底数，N叫做真数.师：从上述定义要知道对数的记法为：logaN；读作：以a为底N的对数.师：得出logaN表示a的多少次幂为N.师：在上节我们学的指数函数中，我们知道a＞0且a≠1才有意义，所以在考虑对数的时候我们也规定a＞0且a≠1．师：知道了对数的定义，我们就根据定义来把刚刚的第三和四小题中的,x y表示出来了：因为10.1252x⎛⎫=⎪⎝⎭，所以12log0.125x=；因为181.0113y=，所以1.0118log13y=.师：我们根据对数定义，可以看出指数和对数存在密不可分的关系，那么究竟有怎样的关系呢？我们一起来看看.⑵指数式和对数式的关系师: 讨论两者之间的关系前要明确a的取值范围是a＞0且a≠1，也要知道两个式子中相同字母代表的是同一个数，只是数的位置发生了变化，到底是怎样的变化呢？下面我们就一起来学习：师: 这便是指数式和对数式的关系，在此我还要强调一下，x a N =和x =log a N 其实表示的一种关系，它们是一种关系的不同表达式，x a N =是指数形式，x =log a N 是对数形式，本质上它们是一回事。
高中数学第二章对数函数2.2.1对数与对数运算第1课时对数学案(含解析)新人教版
§2.2对数函数2.2.1 对数与对数运算第1课时对数学习目标 1.理解对数的概念、掌握对数的性质(重、难点).2.掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程(重点).知识点1 对数1.对数(1)指数式与对数式的互化及有关概念：(2)底数a的范围是a>0，且a≠1.2.常用对数与自然对数【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)根据对数的定义，因为(－2)4＝16，所以log(－2)16＝4.( )(2)对数式log32与log23的意义一样.( )(3)对数的运算实质是求幂指数.( )提示(1)×因为对数的底数a应满足a>0且a≠1，所以(1)错；(2)×log32表示以3为底2的对数，log23表示以2为底3的对数，所以(2)错；(3)√由对数的定义可知(3)正确.知识点2 对数的基本性质 (1)负数和零没有对数. (2)log a 1＝0(a >0，且a ≠1). (3)log a a ＝1(a >0，且a ≠1). 【预习评价】若log 32x －33＝1，则x ＝________；若log 3(2x －1)＝0，则x ＝________.解析 若log 32x －33＝1，则2x －33＝3，即2x －3＝9，x ＝6；若log 3(2x －1)＝0，则2x －1＝1，即x ＝1. 答案 6 1题型一 对数的定义【例1】 (1)在对数式y ＝log (x －2)(4－x )中，实数x 的取值范围是________； (2)将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式. ①54＝625；②log 216＝4；③10－2＝0.01；④log5125＝6.(1)解析 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧4－x >0，x －2>0，x －2≠1，解得2<x <4且x ≠3.答案 (2，3)∪(3，4)(2)解 ①由54＝625，得log 5625＝4. ②由log 216＝4，得24＝16. ③由10－2＝0.01，得lg 0.01＝－2. ④由log5125＝6，得(5)6＝125.规律方法 指数式与对数式互化的思路(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式. (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式. 【训练1】 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：(1)43＝64；(2)ln a ＝b ；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫12m＝n ；(4)lg 1000＝3.解 (1)因为43＝64，所以log 464＝3；(2)因为ln a ＝b ，所以e b＝a ；(3)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫12m＝n ，所以log 12n ＝m ； (4)因为lg 1 000＝3，所以103＝1 000. 题型二 利用指数式与对数式的互化求变量的值 【例2】 (1)求下列各式的值.①log 981＝________.②log 0.41＝________.③ln e 2＝________. (2)求下列各式中x 的值. ①log 64x ＝－23；②log x 8＝6；③lg 100＝x ；④－ln e 2＝x .(1)解析 ①设log 981＝x ，所以9x ＝81＝92，故x ＝2，即log 981＝2；②设log 0.41＝x ，所以0.4x ＝1＝0.40，故x ＝0，即log 0.41＝0；③设ln e 2＝x ，所以e x ＝e 2，故x ＝2，即ln e 2＝2. 答案 ①2 ②0 ③2(2)解 ①由log 64x ＝－23得x ＝64－23＝43×(－23)＝4－2＝116； ②由log x 8＝6，得x 6＝8，又x >0，即x ＝816＝23×16＝2；③由lg 100＝x ，得10x＝100＝102，即x ＝2； ④由－ln e 2＝x ，得ln e 2＝－x ，所以e －x＝e 2， 所以－x ＝2，即x ＝－2.规律方法 对数式中求值的基本思想和方法 (1)基本思想.在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解. (2)基本方法.①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题. ②利用幂的运算性质和指数的性质计算.【训练2】 利用指数式、对数式的互化求下列各式中x 的值. (1)log 2x ＝－12；(2)log x 25＝2；(3)log 5x 2＝2.解 (1)由log 2x ＝－12，得2－12＝x ，∴x ＝22. (2)由log x 25＝2，得x 2＝25. ∵x ＞0，且x ≠1，∴x ＝5. (3)由log 5x 2＝2，得x 2＝52，∴x ＝±5.∵52＝25＞0，(－5)2＝25＞0， ∴x ＝5或x ＝－5.题型三 利用对数的性质及对数恒等式求值 【例3】 (1)71－log 75；(2)100⎝⎛⎭⎪⎪⎫12lg 9－lg 2； (3)alog ab ·log bc(a ，b 为不等于1的正数，c >0).解 (1)原式＝7×7－log 75＝77log 75＝75. (2)原式＝10012lg 9×100－lg 2＝10lg 9×1100lg 2＝9×1102lg 2 ＝9×110lg 4＝94.(3)原式＝(alog ab )log bc＝blog bc＝c .规律方法 对数恒等式a log a N ＝N 的应用 (1)能直接应用对数恒等式的直接应用即可.(2)对于不能直接应用对数恒等式的情况按以下步骤求解.【训练3】 (1)设3log 3(2x ＋1)＝27，则x ＝________.(2)若log π(log 3(ln x ))＝0，则x ＝________. 解析 (1)3log 3(2x ＋1)＝2x ＋1＝27，解得x ＝13.(2)由log π(log 3(ln x ))＝0可知log 3(ln x )＝1，所以ln x ＝3，解得x ＝e 3. 答案 (1)13 (2)e 3课堂达标1.有下列说法：(1)只有正数有对数；(2)任何一个指数式都可以化成对数式；(3)以5为底25的对数等于±2；(4)3log 3(－5)＝－5成立.其中正确的个数为( )A.0B.1C.2D.3解析 (1)正确；(2)，(3)，(4)不正确. 答案 B2.使对数log a (－2a ＋1)有意义的a 的取值范围为( ) A.a >12且a ≠1B.0<a <12C.a >0且a ≠1D.a <12解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋1>0，a >0，a ≠1，解得0<a <12.答案 B3.方程lg(2x －3)＝1的解为________.解析 由lg(2x －3)＝1知2x －3＝10，解得x ＝132.答案1324.计算：2log 23＋2log 31－3log 77＋3ln 1＝________.解析 原式＝3＋2×0－3×1＋3×0＝0. 答案 05.把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式. (1)2－3＝18；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫17a ＝b ；(3)lg 11 000＝－3；(4)ln 10＝x .解 (1)由2－3＝18可得log 218＝－3；(2)由⎝ ⎛⎭⎪⎫17a＝b 得log 17b ＝a ；(3)由lg 11 000＝－3可得10－3＝11 000；(4)ln 10＝x 可得e x＝10.课堂小结1.对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即a b＝N ⇔log a N ＝b (a ＞0，且a ≠1，N ＞0)，据此可得两个常用恒等式：(1)log a ab ＝b ；(2)a log a N ＝N .2.在关系式a x＝N 中，已知a 和x 求N 的运算称为求幂运算，而如果已知a 和N 求x 的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算. 3.指数式与对数式的互化基础过关1.有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝10；④若e ＝ln x ，则x ＝e 2.其中正确的是( ) A.①③ B.②④ C.①②D.③④解析 lg(lg 10)＝lg 1＝0，ln(ln e)＝ln 1＝0，故①②正确；若10＝lg x ，则x ＝1010，故③错误；若e ＝ln x ，则x ＝e e，故④错误. 答案 C2.log a b ＝1成立的条件是( ) A.a ＝b B.a ＝b 且b >0 C.a >0，a ≠1D.a >0，a ＝b ≠1解析 由log a b ＝1得a >0，且a ＝b ≠1. 答案 D3.设a ＝log 310，b ＝log 37，则3a －b 的值为( )A.107B.710C.1049D.4910解析 3a －b＝3a÷3b＝3log 310÷3log 37＝10÷7＝107.答案 A4.若log (1－x )(1＋x )2＝1，则x ＝________. 解析 由题意知1－x ＝(1＋x )2， 解得x ＝0或x ＝－3.验证知，当x ＝0时，log (1－x )(1＋x )2无意义， 故x ＝0时不合题意，应舍去.所以x ＝－3. 答案 －35.若log 3(a ＋1)＝1，则log a 2＋log 2(a －1)＝________.解析 由log 3(a ＋1)＝1得a ＋1＝3，即a ＝2，所以log a 2＋log 2(a －1)＝log 22＋log 21＝1＋0＝1. 答案 16.将下列指数式化成对数式，对数式化成指数式. (1)35＝243；(2)2－5＝132；(3)log 1381＝－4；(4)log 2128＝7.解 (1)log 3243＝5；(2)log 2132＝－5；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫13－4＝81；(4)27＝128.7.求下列各式中的x 的值. (1)log x 27＝32；(2)log 2x ＝－23；(3)log x (3＋22)＝－2； (4)log 5(log 2x )＝0； (5)x ＝log 2719.解 (1)由log x 27＝32，得x 32＝27，∴x ＝2723＝32＝9.(2)由log 2x ＝－23，得2－23＝x ，∴x ＝1322＝322.(3)由log x (3＋22)＝－2，得3＋22＝x －2， ∴x ＝(3＋22)－12＝2－1.(4)由log 5(log 2x )＝0，得log 2x ＝1.∴x ＝21＝2. (5)由x ＝log 2719，得27x＝19，即33x＝3－2， ∴x ＝－23.能力提升8.对于a >0且a ≠1，下列说法正确的是( )(1)若M ＝N ，则log a M ＝log a N ；(2)若log a M ＝log a N ，则M ＝N ；(3)若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ；(4)若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2.A.(1)(2)B.(2)(3)(4)C.(2)D.(2)(3)解析 (1)中若M ，N 小于或等于0时，log a M ＝log a N 不成立；(2)正确；(3)中M 与N 也可能互为相反数且不等于0；(4)中当M ＝N ＝0时不正确. 答案 C9.已知log 3(log 5a )＝log 4(log 5b )＝0，则a b的值为( ) A.1 B.－1 C.5D.15解析 由log 3(log 5a )＝0得log 5a ＝1，即a ＝5，同理b ＝5，故a b＝1. 答案 A 10.方程3log 2x ＝127的解是________. 解析 3log 2x ＝3－3，∴log 2x ＝－3，x ＝2－3＝18.答案 1811.若正数a ，b 满足2＋log 2a ＝3＋log 3b ＝log 6(a ＋b )，则1a ＋1b＝________.解析 设2＋log 2a ＝3＋log 3b ＝log 6(a ＋b )＝k ，则a ＝2k －2，b ＝3k －3，a ＋b ＝6k ，即4a ＝2k，27b ＝3k ，所以108ab ＝6k，∴108ab ＝a ＋b ，∴108＝1a ＋1b.答案 10812.(1)若f (10x)＝x ，求f (3)的值； (2)计算23＋log 23＋35－log 39.解 (1)令t ＝10x，则x ＝lg t ，∴f (t )＝lg t ，即f (x )＝lg x ，∴f (3)＝lg 3. (2)23＋log 23＋35－log 39＝23·2log 23＋353log 39 ＝23×3＋359＝24＋27＝51.13.(选做题)若log 2(log 12(log 2x ))＝log 3(log 13(log 3y ))＝log 5(log 15(log 5z ))＝0，试确定x ，y ，z 的大小关系.解 由log 2(log 12(log 2x ))＝0，得log 12(log 2x )＝1，log 2x ＝12，x ＝212＝(215)130.由log 3(log 13(log 3y ))＝0，得log 13(log 3y )＝1，log 3y ＝13，y ＝313＝(310)130.由log 5(log 15(log 5z ))＝0，得log 15(log 5z )＝1，log 5z ＝15，z ＝515＝(56)130.∵310>215>56，∴y >x >z .。
对数和对数的运算教案
对数和对数的运算教案(总8页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除2.2.1对数与对数运算（三课时）教学目标：1．理解并记忆对数的定义，对数与指数的互化，对数恒等式及对数的性质．2．理解并掌握对数运算法则的内容及推导过程．3．熟练运用对数的性质和对数运算法则解题．4．对数的初步应用.教学重点：对数定义、对数的性质和运算法则教学难点：对数定义中涉及较多的难以记忆的名称，以及运算法则的推导教学方法：学导式教学过程设计第一课时师：（板书）已知国民生产总值每年平均增长率为7.2％，求20年后国民生产总值是原来的多少倍？生：设原来国民生产总值为1，则20年后国民生产总值y=（1+7.2％）20=1.07220，所以20年后国民生产总值是原来的1.07220倍．师：这是个实际应用问题，我们把它转化为数学中知道底数和指数，求幂值的问题．也就是上面学习的指数问题．师：（板书）已知国民生产总值每年平均增长率为7.2％，问经过多年年后国民生产总值是原来的4倍？师：（分析）仿照上例，设原来国民生产总值为1，需经x年后国民生产总值是原来的4倍．列方程得:1.072x=4．我们把这个应用问题转化为知道底数和幂值，求指数的问题，这是上述问题的逆问题，即本节的对数问题．师：（板书）一般地，如果a（a＞0，a≠1）的x次幂等于N，就是x=，那么数x就叫做以a为底N的对数(logarithm)，记作x=log a N，其中a NN叫做对数式．a叫做对数的底数，N叫做真数，式子loga对数这个定义的认识及相关例子:N实际上就是指数式中的指数x的一种新的记法．(1)对数式loga(2)对数是一种新的运算．是知道底和幂值求指数的运算．=这个式子涉及到了三个量a，x，N，由方程的观点可得“知二实际上x a N求一”．知道a，x可求N，即前面学过的指数运算；知道x（为自然数时）、N=；知道a,N可以求x，即今天可求a a要学习的对数运算，记作log a N= x．因此，对数是一种新的运算，一种知道底和幂值求指数的运算．而每学一种新的运算，首先要学习它的记法，对数运算的记法为log a N，读作：以a为底N的对数．请同学注意这种运算的写法和读法．师：下面我来介绍两个在对数发展过程中有着重要意义的对数．师：（板书）对数log a N（a＞0且a≠1）在底数a=10时，叫做常用对数(common logarithm)，简记lgN；底数a=e时，叫做自然对数(natural logarithm)，记作lnN，其中e是个无理数，即e≈2.718 28……．师：实际上指数与对数只是数量间的同一关系的两种不同形式．为了更深式子名称a x N指数式对数式a x=NlogaN=x练习1 把下列指数式写成对数形式：4611(1)5625;(2)2;(3) 5.73643m-⎛⎫===⎪⎝⎭练习2 把下列对数形式写成指数形式：12(1)log164;(2)lg0.012;(3)ln10 2.303=-=-=练习3 求下列各式的值：（两名学生板演练习1，2题（过程略），一生板演练习三．）因为22=4，所以以2为底4的对数等于2．因为53=125，所以以5为底125的对数等于3．（注意纠正学生的错误读法和写法．）例题（教材第73页例题2）师：由定义，我们还应注意到对数式log a N=b中字母的取值范围是什么？生：a＞0且a≠1；x∈R；N∈R．师：N∈R（这是学生最易出错的地方，应一开始让学生牢牢记住真数大于零．）生：由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因而a x=N中N总是正数．师：要特别强调的是：零和负数没有对数．师：定义中为什么规定a＞0，a≠1？（根据本班情况决定是否设置此问．）生：因为若a＜0，则N取某些值时，x可能不存在，如x=log（-2）8不存在；若a=0，则当N不为0时，x不存在，如log02不存在；当N为0时，x可以为任何正数，是不唯一的，即log 00有无数个值；若a=1，N 不为1时，x 不存在，如log 13不存在，N 为1时，x 可以为任何数，是不唯一的，即log 11有无数多个值．因此，我们规定：a ＞0，a ≠1．（此回答能培养学生分类讨论的数学思想．这个问题从a x =N 出发回答较为简单．）练习4 计算下列对数：lg10000，lg0.01，2log 42，3log 273，lg10510，5111255og ．师：请同学说出结果，并发现规律，大胆猜想．生：2log 42=4．这是因为log 24=2，而22=4． 生：3log 273=27．这是因为log 327=3，而33=27． 生：lg10510=105．生：我猜想log a N a N =，所以5111255og =1125．师：非常好．这就是我们下面要学习的对数恒等式． 师：（板书）log a N a N =（a ＞0，a ≠1，N ＞0）．（用红笔在字母取值范围下画上曲线） （再次鼓励学生，并提出更高要求，给出严格证明．）（学生讨论，并口答．）生：（板书）证明：设指数等式a b =N ，则相应的对数等式为log a N=b ，所以a b =log a N a N = 师：你是根据什么证明对数恒等式的？ 生：根据对数定义．师：（分析小结）证明的关键是设指数等式a b =N ．因为要证明这个对数恒等式，而现在我们有关对数的知识只有定义，所以显然要利用定义加以证明．而对数定义是建立在指数基础之上的，所以必须先设出指数等式，从而转化成对数等式，再进行证明．师：掌握了对数恒等式的推导之后，我们要特别注意此等式的适用条件． 生：a ＞0，a ≠1，N ＞0．师：接下来观察式子结构特点并加以记忆． （给学生一分钟时间．）师：（板书）2log 28=？2log 42=？生：2log 28=8；2log 42=2．师：第2题对吗错在哪儿师：（继续追问）在运用对数恒等式时应注意什么？ （经历上面的错误，使学生更牢固地记住对数恒等式．）生：当幂的底数和对数的底数相同时，才可以用公式log a N a N =． （师用红笔在两处a 上重重地描写．） 师：最后说说对数恒等式的作用是什么？ 生：化简！师：请打开书74页，做练习4．（生口答．略）师：对对数的定义我们已经有了一定认识，现在，我们根据定义来进一步研究对数的性质．师：负数和零有没有对数并说明理由．生：负数和零没有对数．因为定义中规定a ＞0，所以不论x 是什么数，都有a x ＞0，这就是说，不论x 是什么数，N=a x 永远是正数．因此，由等式x=log a N 可以看到，负数和零没有对数．师：非常好．由于对数定义是建立在指数定义的基础之上，所以我们要充分利用指数的知识来研究对数．师：（板书）性质1：负数和零没有对数． 师：1的对数是多少？生：因为a 0=1（a ＞0，a ≠1），所以根据对数定义可得1的对数是零． 师：（板书）1的对数是零． 师；底数的对数等于多少？生：因为a 1=a ，所以根据对数的定义可得底数的对数等于1． 师：（板书）底数的对数等于1．师：给一分钟时间，请牢记这三条性质． 练习：课本第74页练习1、2、3、4题。
对数函数学案
2.2对数函数2.2.1对数与对数运算第一课时对数Q 情景引入ing jing yin ru“对数”(logarithm)一词是纳皮尔首先创造的，意思是“比数”．他最早用“人造的数”来表示对数．俄国著名诗人莱蒙托夫是一位数学爱好者，传说有一次他在解答一道数学题时，冥思苦想没法解决，睡觉时做了一个梦，梦中一位老人提示他解答的方法，醒后他真的把此题解出来了，莱蒙托夫把梦中老人的像画了出来，大家一看竟是数学家纳皮尔，这个传说告诉我们：纳皮尔在人们心目中的地位是多么地高！那么，“对数”到底是什么呢？学完本节内容就明白了！X 新知导学in zhi dao xue1．对数的概念若a x＝N(a＞0，且a≠1)，则数x叫做以a为底N的对数，a叫做对数的__底数__，N 叫做__真数__，记作x＝__log a N__.[知识点拨]对数式log a N可看作一种记号，表示关于x的方程a x＝N(a＞0，且a≠1)的解；也可以看作一种运算，即已知底为a(a＞0，且a≠1)，幂为N，求幂指数的运算，因此，对数式log a N又可看作幂运算的逆运算．2．常用对数和自然对数(1)常用对数：通常我们将以__10__为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为__lg N__.(2)自然对数：在科学技术中常使用以无理数e＝2.71828…为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把log e N记为__ln N__.3．对数与指数的关系当a＞0，且a≠1时，a x＝N⇔x＝__log a N__.4．对数的基本性质(1)__零__和__负数__没有对数．(2)log a1＝__0__(a＞0，且a≠1)．(3)log a a＝__1__(a＞0，且a≠1)．Y 预习自测u xi zi ce1．将a b ＝N 化为对数式是( B ) A ．log b a ＝N B ．log a N ＝b C ．log N b ＝aD ．log N a ＝b[解析] 根据对数定义知a b ＝N ⇔b ＝log a N ，故选B. 2．若log 8x ＝－23，则x 的值为( A )A.14 B ．4 C ．2D ．12[解析] ∵log 8x ＝－23，∴x ＝8－23 ＝2－2＝14，故选A.3．对数式log a 8＝3改写成指数式为( D ) A ．a 8＝3 B ．3a ＝8 C ．83＝aD ．a 3＝8[解析] 根据指数式与对数式的互化可知，把log a 8＝3化为指数式为a 3＝8，故选D. 4．若log 2x －12＝1，则x ＝__5__.[解析] ∵log 2x －12＝1，∴x －12＝2，∴x ＝5.H 互动探究解疑u dong tan jiu jie yi命题方向1 ⇨指数式与对数式的互化典例1 完成以下指数式、对数式的互化.(1)log 515＝－1；(2)log 12 16＝－4；(3)log 5125＝6；(4)26＝64；(5)10－3＝0.001；(6)(12)－3＝8.[思路分析] 先判断出是指数式还是对数式，再利用指对数的关系转化求解． [解析] (1)∵log 515＝－1，∴5－1＝15.(2)∵log 12 16＝－4，∴(12)－4＝16.(3)∵log 5125＝6，∴(5)6＝125. (4)∵26＝64，∴log 264＝6.(5)∵10－3＝0.001，∴lg0.001＝－3. (6)∵(12)－3＝8，∴log 128＝－3.『规律方法』 对数式log a N ＝b 是由指数式a b ＝N 变化得来的，两式底数相同，对数式中的真数N 就是指数式中的幂的值，而对数值b 是指数式中的幂指数，对数式与指数式的关系如图：并非所有指数式都可以直接化为对数式．如(－3)2＝9就不能直接写成log (－3)9＝2，只有a ＞0且a ≠1，N ＞0时，才有a x ＝N ⇔x ＝log a N .〔跟踪练习1〕将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)42＝16； (2)102＝100；(3)412＝2；(4)log 1232＝－5. [解析] (1)log 416＝2. (2)lg100＝2. (3)log 42＝12.(4)(12)－5＝32. 命题方向2 ⇨对数定义与性质的应用典例2 求下列各式中的x ：(1)log 3(log 2x )＝0； (2)log 3(log 7x )＝1； (3)lg(ln x )＝1; (4)lg(ln x )＝0.[思路分析] 利用指数式与对数式的互化进行解答． [解析] (1)由log 3(log 2x )＝0得log 2x ＝1，∴x ＝2； (2)log 3(log 7x )＝1，log 7x ＝31＝3， ∴x ＝73＝343； (3)lg(ln x )＝1，ln x ＝10， ∴x ＝e 10；(4)lg(ln x )＝0，ln x ＝1， ∴x ＝e.『规律方法』 对数性质在计算中的应用 (1)对数运算时的常用性质：log a a ＝1，log a 1＝0.(2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质．〔跟踪练习2〕 求下列各式中x 的值：(1)x ＝log 12 16； (2)log 8x ＝－13；(3)log 2(log 4x )＝0； (4)log (2－1)13＋22＝x .[解析] (1)∵x ＝log 12 16，∴(12)x ＝16，即2－x ＝24.∴－x ＝4，即x ＝－4.(2)∵log 8x ＝－13，∴x ＝8－13 ＝1 38＝12.(3)∵log 2(log 4x )＝0，∴log 4x ＝1，∴x ＝4. (4)∵log (2－1)13＋22＝x ，∴(2－1)x ＝13＋22＝1(2＋1)2＝12＋1＝2－1，∴x ＝1.命题方向3 ⇨对数恒等式的应用典例3 计算：(1)71－log 75；(2)412 (log 29－log 25)；(3)a log a b ·log b c (a 、b 均为不等于1的正数，c ＞0)． [解析] (1)原式＝77log 75＝75.(2)原式＝2(log 29－log 25)＝2log 292log 25＝95. (3)原式＝(a log a b )log b c ＝b log b c ＝c .『规律方法』 运用对数恒等式时注意事项 (1)对于对数恒等式a log a N ＝N 要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为对数的真数．(2)对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用．〔跟踪练习3〕求31＋log 36－24＋log 23＋103lg3＋(19)log 34的值．[解析] 原式＝3·3log 36－24·2log 23＋(10lg3)3＋(3log 34)－2 ＝3×6－16×3＋33＋4－2 ＝18－48＋27＋116＝－4716.Y 易混易错警示i hun yi cuo jing shi因忽视对数式的底数和真数的取值范围致误典例4 对数式log (a －2)(5－a )＝b 中，实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，5)B ．(2,5)C ．(2，＋∞)D ．(2,3)∪(3,5)[错解] A由题意，得5－a >0，∴a <5.[错因分析] 该解法忽视了对数的底数和真数都有范围限制，只考虑了真数而忽视了底数．[正解] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧5－a >0，a －2>0，a －2≠1，∴2<a <3或3<a <5.故选D.[警示] 对数的真数与底数都有范围限制，不可顾此失彼． X 学科核心素养ue ke he xin su yang再谈等价转化指数式与对数式可以相互转化，利用这种转化关系可以求解指对方程与不等式及指数对数运算．将等式两端取同底的对数，是指数对数转化的另一种表现形式．典例5 若log 12 x ＝m ，log 14y ＝m ＋2，求x 2y 的值.[思路分析] 14＝(12)2，两个对数式可以通过指数对数互化化为指数式，于是可以运用幂的运算法则求x 2y.[解析] ∵log 12x ＝m ，∴(12)m ＝x ，x 2＝(12)2m .∵log 14 y ＝m ＋2，∴(14)m ＋2＝y ，y ＝(12)2m ＋4.∴x 2y ＝(12)2m (12)2m ＋4＝(12)2m －(2m ＋4)＝(12)－4＝16.K 课堂达标验收e tang da biao yan shou1．下列说法： ①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成为对数式； ③以10为底的对数叫做常用对数； ④以e 为底的对数叫做自然对数． 其中正确命题的个数为( C ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] ①正确；②当底数小于0的指数式不可以化成对数式；③④叫法正确，故选C.2．若b ＝a 3(a >0且a ≠1)，则有( B ) A ．log a 3＝b B ．log a b ＝3 C ．log b 3＝aD ．log b a ＝3[解析] ∵b ＝a 3，∴log a b ＝3，故选B.3．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( B ) A ．100＝1与lg1＝0 B ．27－13＝13与log 2713＝－3 C ．log 39＝2与32＝9 D ．log 55＝1与51＝5 [解析] 对B 选项27－13＝13化为对数式为log 2713＝－13. 4．若对数log (x －1)(4x －5)有意义，则x 的取值范围是__(54，2)∪(2，＋∞)__.[解析] 要使对数log (x －1)(4x －5)有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧4x －5>0x －1>0x －1≠1，∴x >54且x ≠2.5．将下列指数式与对数式互化： (1)log 216＝4； (2)log 1327＝－3；(3)log 3x ＝6；(4)43＝64； (5)3－2＝19；(6)(14)－2＝16. [解析] (1)∵log 216＝4，∴24＝16. (2)∵log 13 27＝－3，∴(13)－3＝27.(3)∵log3x ＝6，∴(3)6＝x .(4)∵43＝64，∴log 464＝3. (5)∵3－2＝19，∴log 319＝－2.(6)∵(14)－2＝16，∴log 1416＝－2.A 级 基础巩固一、选择题1．(2015·盘锦高一检测)下列指数式与对数式互化不正确的一组是( B ) A ．e 0＝1与ln1＝0 B ．log 39＝2与912＝3C ．8－13＝12与log 812＝－13D ．log 77＝1与71＝7[解析] log 39＝2化为指数式为32＝9，故选B. 2．把对数式x ＝lg2化成指数式为( A ) A ．10x ＝2 B ．x 10＝2 C ．x 2＝10D ．2x ＝10[解析] 由指数、对数的互化可得x ＝lg2⇔10x ＝2，故选A. 3．log x 3y ＝4，则x 、y 之间的关系正确的是( A ) A ．x 4＝3y B ．y ＝64x C ．y ＝3x 4D ．x ＝3y 2[解析] 将对数式log x 3y ＝4化为指数式为x 4＝3y ，故选A. 4．(12)－1＋log 0.54的值为( C )A ．6B ．72C ．8D ．37[解析] (12)－1＋log 0.54＝(12)·(12)log 0.54＝(12)－1·(12)log 12 4＝2×4＝8.5．方程2log 3x ＝14的解是( A )A ．x ＝19B ．x ＝33C ．x ＝3D ．x ＝9[解析] ∵2log 3x ＝2－2，∴log 3x ＝－2，∴x ＝3－2＝19.6．已知f (e x )＝x ，则f (3)＝( B ) A ．log 3e B ．ln3 C ．e 3D ．3e[解析] 令e x ＝3，∴x ＝ln3，∴f (3)＝ln3，故选B. 二、填空题7．若log π[log 3(ln x )]＝0，则x ＝__e 3__. [解析] 由题意，得log 3(ln x )＝1， ∴ln x ＝3，∴x ＝e 3. 8．log2－1(2＋1)＋ln1－lg1100＝__1__. [解析] 设log 2－1(2＋1)＝x ，则(2－1)x ＝2＋1＝12－1＝(2－1)－1，∴x ＝－1；设lg 1100＝y ，则10y ＝1100＝10－2，∴y ＝－2；又ln1＝0，∴原式＝－1＋0－(－2)＝1. 三、解答题9．求下列各式的值：(1)log 464； (2)log 31； (3)log 927； (4)2log 2π. [解析] (1)设log 464＝x ，则4x ＝64， ∵64＝43，∴x ＝3，∴log 464＝3. (2)设log 31＝x ，则3x ＝1， ∵1＝30，∴x ＝0，∴log 31＝0. (3)设log 927＝x ，则9x ＝27即32x ＝33， ∴2x ＝3即x ＝32，∴log 927＝32.(4)设2log 2π＝x ，则log 2π＝log 2x ＝u ， ∴π＝2u ，x ＝2u ，∴x ＝π，即2log 2π＝π.B 级 素养提升一、选择题1．在b ＝log (3a －1)(3－2a )中，实数a 的取值范围是( B ) A ．a ＞32或a ＜13B.13＜a ＜23或23＜a ＜32 C.13＜a ＜32D.23＜a ＜32[解析] 要使式子b ＝log (3a －1)(3－2a )有意义，则 ⎩⎪⎨⎪⎧3a －1＞0，3a －1≠1，3－2a ＞0即13＜a ＜23或23＜a ＜32，故选B. 2．log 5[log 3(log 2x )]＝0，则x －12等于( C )A.66 B ．39C.24D ．23[解析] ∵log 5[log 3(log 2x )]＝0，∴log 3(log 2x )＝1， ∴log 2x ＝3，∴x ＝23＝8， ∴x－12＝8－12＝18＝122＝24，故选C. 3．若log a 3＝2log 230，则a 的值为( B ) A ．2 B ．3 C ．8D ．9[解析] ∵log a 3＝2log 230＝20＝1，∴a ＝3，故选B. 4．已知lg a ＝2.31，lg b ＝1.31，则ba 等于( B )A.1100 B ．110C ．10D ．100[解析] ∵lg a ＝2.31，lg b ＝1.31， ∴a ＝102.31，b ＝101.31， ∴b a ＝101.31102.31＝10－1＝110. 二、填空题5．若log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋n ＝__12__. [解析] ∵log a 2＝m ，∴a m ＝2，∴a 2m ＝4， 又∵log a 3＝n ，∴a n ＝3，∴a 2m ＋n ＝a 2m ·a n ＝4×3＝12.6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤1，－x ，x ＞1，若f (x )＝2，则x ＝__log 32__.[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，3x ＝2⇒x ＝log 32，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1－x ＝2⇒x ＝－2无解． 三、解答题7．求下列各式中的x ： (1)log x 27＝32；(2)log 2x ＝－23；(3)log x (3＋22)＝－2； (4)log 5(log 2x )＝0； (5)x ＝log 2719；(6)x ＝log 1216.[解析] (1)由log x 27＝32，得x 32 ＝27， ∴x ＝2723＝9.(2)由log 2x ＝－23，得x ＝2－23 ＝322.(3)由log x (3＋22)＝－2，得3＋22＝x －2， ∴x ＝(3＋22)－12＝2－1.(4)由log 5(log 2x )＝0，得log 2x ＝1， ∴x ＝21＝2.(5)由log 2719＝x ，得27x ＝19，33x ＝3－2，∴3x ＝－2，∴x ＝－23.(6)由log 12 16＝x ，得(12)x ＝16，即2－x ＝24，∴x ＝－4.C 级 能力拔高1．求下列各式中x 的值： (1)x ＝log 224；(2)x ＝log 93； (3)log x 8＝－3；(4)log 12x ＝4.[解析] (1)由已知得(22)x＝4， ∴2－x 2＝22，－x2＝2，x ＝－4.(2)由已知得9x ＝3，即32x ＝312.∴2x ＝12，x ＝14.(3)由已知得x －3＝8， 即(1x )3＝23，1x ＝2，x ＝12. (4)由已知得x ＝(12)4＝116.2．设x ＝log 23，求23x －2－3x2x －2－x的值.[解析] 由x ＝log 23，得2－x ＝13，2x ＝3，∴23x －2－3x 2x －2－x ＝(2x )3－(2－x )32x －2－x＝(2x )2＋1＋(2－x )2＝32＋1＋(13)2＝919. 第二课时 对数的运算性质Q 情景引入ing jing yin ru已知对数log 864，log 264，log 28，log 464，log 48.对数log 864的值与对数log 264和log 28的值有什么关系？ 对数log 864的值与对数log 464和log 48的值有什么关系？ 由上面的问题你能得出什么结论？ X 新知导学in zhi dao xue1．对数的运算性质[知识点拨]a a M )(log a N )，log a (M ＋N )≠log a M ＋log a N ，log a M N ≠log a M log a N.2．换底公式log a b ＝__log c blog c a __(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0)．[知识拓展] (1)可用换底公式证明以下结论：①log a b ＝1log b a ；②log a b ·log b c ·log c a ＝1；③log an b n ＝log a b ；④log an b m ＝m n log a b ；⑤log 1a b＝－log a b .(2)对换底公式的理解：换底公式真神奇，换成新底可任意， 原底加底变分母，真数加底变分子． Y 预习自测u xi zi ce1．若a >0，a ≠1，x >0，y >0，x >y ，下列式子中正确的个数是( A ) ①log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )； ②log a x －log a y ＝log a (x －y )； ③log a xy ＝log a x ÷log a y ；④log a (xy )＝log a x ·log a y . A ．0 B ．1 C ．2D ．3[解析] 由对数运算法则知，均不正确．故选A. 2．lg20＋lg50的值为( C ) A ．70 B ．1 000 C ．3D ．52[解析] lg20＋lg50＝lg1 000＝3.故选C. 3．log 62＋log 63等于( A ) A ．1 B ．2 C ．5D ．6 [解析] log 62＋log 63＝log 62×3＝log 66＝1. 4．log 23·log 34＝__2__.[解析] log 23·log 34＝lg3lg2·lg4lg3＝lg3lg2·2lg2lg3＝2.5．计算下列各式的值： (1)2lg5＋lg4＋e ln2＋log222；(2)(log 23＋log 89)(log 34＋log 98＋log 32)．[解析] (1)原式＝2lg5＋2lg2＋2＋3＝2(lg5＋lg2)＋5＝7. (2)原式＝(log 23＋log 29log 28)(log 322＋log 38log 39＋log 32)＝(log 23＋23log 23)(2log 32＋32log 32＋log 32)＝(53log 23)(92log 32)＝152.H 互动探究解疑 u dong tan jiu jie yi典例1 用log a x ，log a y ，log a z 表示：(1)log a(xy 2)；(2)loga (x y )；(3)log a3x yz 2. [解析] (1)log a (xy 2)＝log a x ＋log a y 2＝log a x ＋2log a y . (2)log a (x y )＝log a x ＋log a y ＝log a x ＋12log a y .(3)log a3x yz 2＝13log a x yz 2＝13(log a x －log a (yz 2))＝13(log a x －log a y －2log a z )． 『规律方法』 对对数式进行计算、化简时，一要注意准确应用对数的性质和运算性质．二要注意取值范围对符号的限制．〔跟踪练习1〕用log a x 、log a y 、log a z 表示下列各式： (1)log a (x 3y 5)； (2)log axyz. [解析] (1)log a (x 3y 5)＝log a x 3＋log a y 5 ＝3log a x ＋5log a y . (2)log axyz＝log a x －log a (yz ) ＝log a x 12－(log a y ＋log a z )＝12log a x －log a y －log a z . 命题方向2 ⇨运用对数的运算性质化简求值典例2 计算下列各式的值：(1)lg 27＋lg8－3lg 10lg1.2；(2)log 535－2log 573＋log 57－log 51.8；(3)2(lg 2)2＋lg 2·lg5＋(lg 2)2－lg2＋1. [思路分析] 利用对数的运算性质计算．[解析] (1)原式＝lg (33)12 ＋lg23－3lg1012lg 3×2210＝32(lg3＋2lg2－1)lg3＋2lg2－1＝32.(2)原式＝log 5(5×7)－2(log 57－log 53)＋log 57－log 595＝log 55＋log 57－2log 57＋2log 53＋log 57－2log 53＋log 55 ＝2log 55＝2.(3)原式＝lg 2(2lg 2＋lg5)＋(lg 2－1)2 ＝lg 2(lg2＋lg5)＋1－lg 2 ＝lg 2＋1－lg 2 ＝1.『规律方法』 灵活运用对数运算法则进行对数运算，要注意法则的正用和逆用．在化简变形的过程中，要善于观察、比较和分析，从而选择快捷、有效的运算方案进行对数运算．〔跟踪练习2〕 求下列各式的值： (1)log 318－log 36； (2)log 1123＋2log 1122；(3)lg 28＋43＋log 28－43； (4)lg3＋2lg2－1lg1.2.[解析] (1)原式＝log 3186＝log 33＝1.(2)原式＝log 1123＋log 1124＝log 11212＝－1.(3)原式＝log 2[8＋438－43]＝log 282－(43)2＝log 264－48)＝log 24＝2. (4)原式＝lg3＋lg4－1lg1.2＝lg1.2lg1.2＝1.命题方向3 ⇨换底公式的应用典例3 (1)计算log 2125·log 318·log 519；(2)若log 34·log 48·log 8m ＝log 42，求m 的值.[思路分析] (1)对数的底数不同，如何将其化为同底的对数？(2)等式左边前一个对数的真数是后面对数的底数，利用换底公式很容易进行约分求解m 的值．[解析] (1)原式＝lg 125lg2·lg 18lg3·lg 19lg5＝(－2lg5)·(－3lg2)·(－2lg3)lg2·lg3·lg5＝－12.(2)由题意，得lg4lg3·lg8lg4·lg m lg8＝lg m lg3＝12，∴lg m ＝12lg3，即lg m ＝lg312 ， ∴m ＝ 3.『规律方法』 关于换底公式的用途和本质：(1)换底公式的主要用途在于将一般对数式化为常用对数或自然对数，然后查表求值，以此来解决对数求值的问题．(2)换底公式的本质是化异底为同底，这是解决对数问题的基本方法．(3)在运用换底公式时，若能结合底数间的关系恰当选用一些重要的结论，如log a b ＝1log b a ；log a a n ＝n ，log am b n ＝nmlog a b ；lg2＋lg5＝1等，将会达到事半功倍的效果．〔跟踪练习3〕 计算下列各式的值： (1)log 89·log 2732； (2)log 927； (3)log 21125·log 3132·log 513. [解析] (1)log 89·log 2732＝lg9lg8·lg32lg27＝lg32lg23·lg25lg33＝2lg33lg2·5lg23lg3＝109.(2)log 927＝log 327log 39＝log 333log 332＝3log 332log 33＝32.(3)log 21125·log 3132·log 513＝log 25－3·log 32－5·log 53－1＝－3log 25·(－5log 32)·(－log 53)＝－15·lg5lg2·lg2lg3·lg3lg5＝－15.Y 易混易错警示i hun yi cuo jing shi因忽视对数的真数大于零而致误典例4 解方程lg(x ＋1)＋lg x ＝lg6.[错解] ∵lg(x ＋1)＋lg x ＝lg[x (x ＋1)]＝lg(x 2＋x )， ∴lg(x 2＋x )＝lg6，∴x 2＋x ＝6，解得x ＝2或x ＝－3.[错因分析] 错解中，去掉对数符号后方程x 2＋x ＝6与原方程不等价，产生了增根，其原因是在x 2＋x ＝6中x ∈R ，而在原方程中，应有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x >0.求解之后再验根即可．[正解] ∵lg(x ＋1)＋lg x ＝lg[x (x ＋1)]＝lg6，∴x (x ＋1)＝6，解得x ＝2或x ＝－3，经检验x ＝－3不符合题意，∴x ＝2. X 学科核心素养ue ke he xin su yang转化与化归思想的应用与综合分析解决问题的能力典例5 (1)设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y的值；(2)已知log 23＝a,3b ＝7，求log 1256.[思路分析] (1)欲求2x ＋1y 的值，已知3x ＝36,4y ＝36，由此两式怎样得到x ，y ，容易想到对数的定义——故可用等式两端取同底的对数(指对互化)来解决；(2)已知条件中有指数式，也有对数式，而待计算式为对数式，因此可将指数式3b ＝7化为对数式解决．观察所给数字特征、条件式中为2、3、7，又12＝3×22,56＝7×23，故还可以利用换底公式的推论log an b m ＝mnlog a b ，将条件中的对数式log 23＝a 化为指数式解答．[解析] (1)由已知分别求出x 和y ， ∵3x ＝36,4y ＝36， ∴x ＝log 336，y ＝log 436，由换底公式得：x ＝log 3636log 363＝1log 363，y ＝log 3636log 364＝1log 364，∴1x ＝log 363，1y ＝log 364，∴2x ＋1y ＝2log 363＋log 364＝log 36(32×4)＝log 3636＝1. (2)解法一：因为log 23＝a ，所以2a ＝3.又3b ＝7，故7＝(2a )b ＝2ab ，故56＝23＋ab，又12＝3×4＝2a ×4＝2a ＋2，从而log 1256＝log 2a ＋223＋ab＝3＋aba ＋2. 解法二：因为log 23＝a ，所以log 32＝1a .又3b ＝7，所以log 37＝b .从而log 1256＝log 356log 312＝log 37＋log 38log 33＋log 34＝log 37＋3log 321＋2log 32＝b ＋3·1a 1＋2·1a ＝ab ＋3a ＋2.『规律方法』 1.应用换底公式应注意的事项 (1)注意换底公式的正用、逆用以及变形应用．(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式，注意转化与化归思想的运用．2．对数式的条件求值问题要注意观察所给数字特征，分析找到实现转化的共同点进行转化．3．利用换底公式计算、化简、求值的一般思路：思路一：用对数的运算法则及性质进行部分运算→换成同一底数． 思路二：一次性统一换为常用对数(或自然对数)→化简、通分、求值． K 课堂达标验收e tang da biao yan shou1．若lg2＝a ，lg3＝b ，则lg12lg15等于( D )A.2a ＋b 1＋a ＋b B ．2a ＋2b 1＋a ＋bC.2a ＋b 2－a ＋b D ．2a ＋b1－a ＋b[解析]lg12lg15＝lg3＋2lg2lg3＋(1－lg2)＝2a ＋b 1－a ＋b. 2．计算log 89·log 932的结果为( B ) A ．4 B ．53C.14D ．35[解析] log 89·log 932＝lg9lg8·lg32lg9＝5lg23lg2＝53，故选B.3．已知a ＝log 32，那么log 38－2log 36用a 表示是( A ) A ．a －2 B ．5a －2 C ．3a －(1＋a )2D ．3a －a 2－1[解析] log 38－2log 36＝log 323－2(log 32＋log 33) ＝3log 32－2(log 32＋1) ＝3a －2(a ＋1)＝a －2.故选A. 4.12log 612－log 62＝__12__. [解析] 原式＝12log 612－12log 62＝12log 6122＝12log 66＝12. 5．计算：(1)lg14－2lg 73＋lg7－lg18；(2)2lg2＋lg32＋lg0.36＋2lg2； (3)lg 25＋lg2·lg50.[解析] (1)解法一：原式＝lg(2×7)－2(lg7－lg3)＋lg7－lg(32×2)＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－2lg3－lg2 ＝0.解法二：原式＝lg14－lg(73)2＋lg7－lg18＝lg 14×7(73)2×18＝lg1＝0.(2)原式＝2lg2＋lg32＋lg36－2＋2lg2＝2lg2＋lg34lg2＋2lg3＝12.(3)原式＝lg 25＋(1－lg5)(1＋lg5)＝lg 25＋1－lg 25＝1.A 级 基础巩固一、选择题1．设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( B ) A ．log a b ·log c b ＝log c a B ．log a b ·log c a ＝log c b C ．log a (bc )＝log a b ·log a c D ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c2．如果lg x ＝lg a ＋2lg b －3lg c ，则x 等于( C ) A ．a ＋2b －3c B ．a ＋b 2－c 3 C.ab 2c3 D ．2ab 3c[解析] lg x ＝lg a ＋2lg b －3lg c ＝lg ab 2c 3，∴x ＝ab 2c3，故选C.3．已知2x ＝3，log 483＝y ，则x ＋2y 的值为( A )A ．3B ．8C ．4D ．log 48 [解析] x ＋2y ＝log 23＋2log 483＝log 49＋log 4(83)2＝log 4(9×649)＝log 464＝3，故选A.4．若log 34·log 8m ＝log 416，则m 等于( D ) A ．3 B ．9 C ．18D ．27[解析] 原式可化为：log 8m ＝2log 34，∴13log 2m ＝2log 43，∴m 13＝3，m ＝27，故选D.5．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x －12等于( C )A.13 B ．123C.122D ．133[解析] log 7[log 3(log 2x )]＝0，则log 3(log 2x )＝1，log 2x ＝3，x ＝8，因此x －12＝122.故选C.6．已知2a ＝5b ＝M ，且2a ＋1b ＝2，则M 的值是( B )A ．20B ．25C ．±25D ．400[解析] ∵2a ＝5b ＝M ，∴a ＝log 2M ＝lg Mlg2，b ＝log 5M ＝lg Mlg5，∴1a ＝lg2lg M， 1b ＝lg5lg M ，∴2a ＋1b ＝2lg2lg M ＋lg5lg M ＝lg4＋lg5lg M ＝lg20lg M ＝2， ∴2lg M ＝lg20，∴lg M 2＝lg20， ∴M 2＝20， ∵M >0，∴M ＝2 5. 二、填空题7．2log 525＋3log 264－8ln1＝__22__.[解析] 原式＝2×2＋3log 226－8·ln1＝4＋3×6－0＝22. 8．化简log 2(2＋3)＋log 2(2－3)＝__0__. [解析] log 2(2＋3)＋log 2(2－3) ＝log 2(2＋3)·(2－3)＝log 21＝0. 三、解答题9．计算：(1)(log 3312 )2＋log 0.2514＋9log 55－log 31；(2)lg25＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2.[解析](1)(log 3312 )2＋log 0.2514＋9log 55－log 31＝(12)2＋1＋9×12－0＝14＋1＋92＝234.(2)原式＝lg25＋lg823＋lg102·lg(10×2)＋(lg2)2＝lg25＋lg4＋(1－lg2)(1＋lg2)＋(lg2)2＝lg(25×4)＋1－(lg2)2＋(lg2)2＝3.B 级 素养提升一、选择题1．若x log 34＝1，则4x ＋4－x 的值为( B ) A.83 B ．103C ．2D ．1[解析] 由x log 34＝1得x ＝log 43，所以4x ＋4－x ＝3＋13＝103，故选B.2．lg8＋3lg5的值为( D ) A ．－3 B ．－1 C ．1D ．3[解析] lg8＋3lg5＝3lg2＋3lg5＝3(lg2＋lg5)＝3lg10＝3，故选D. 3．已知lg a ＝1.63，lg b ＝1.15，lg c ＝4.11，则a 2bc 的值为( D )A ．－2B ．2C ．100D ．1100[解析] ∵lg a 2bc ＝2lg a －lg b －lg c＝2×1.63－1.15－4.11＝－2. ∴a 2bc ＝10－2， ∴a 2bc ＝1100.故选D. 4.log 2716log 34＝( D ) A ．2 B ．32C ．1D ．23[解析] 由公式log a n b m ＝mn log a b ，得原式＝log 3342log 34＝23log 34log 34＝23.二、填空题5．lg 52＋2lg2－(12)－1＝__－1__.[解析] lg 52＋2lg2－(12)－1＝lg 52＋lg4－2＝－1.6．若log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6，则log (abc )x ＝__1__. [解析] ∵log a x ＝1log x a ＝2，∴log x a ＝12.同理log x c ＝16，log x b ＝13. ∴log abc x ＝1log x (abc )＝1log x a ＋log x b ＋log x c ＝1.三、解答题7．已知log a 2＝m ，log a 3＝n . (1)求a 2m－n的值；(2)求log a 18.[解析] (1)因为log a 2＝m ，log a 3＝m ， 所以a m ＝2，a n ＝3.所以a 2m －n ＝a 2m ÷a n ＝22÷3＝43.(2)log a 18＝log a (2×32)＝log a 2＋log a 32＝log a 2＋2log a 3＝m ＋2n .C 级 能力拔高1．若a ，b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根，求lg(ab )·(log a b ＋log b a )的值. [解析] 原方程可化为2(lg x )2－4lg x ＋1＝0，设t ＝lg x ， 则原方程化为2t 2－4t ＋1＝0. 所以t 1＋t 2＝2，t 1t 2＝12.由已知a ，b 是原方程的两个实根，则t 1＝lg a ，t 2＝lg b ，所以lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12.所以lg(ab )·(log a b ＋log b a ) ＝(lg a ＋lg b )(lg b lg a ＋lg alg b )＝(lg a ＋lg b )[(lg b )2＋(lg a )2]lg a lg b＝(lg a ＋lg b )·(lg b ＋lg a )2－2lg a lg blg a lg b＝2×22－2×1212＝12.2．已知3x ＝4y ＝6z .(1)若z ＝1，求(x －1)(2y －1)的值； (2)若x ，y ，z 为正数，求证：2x ＋1y ＝2z.[解析] (1)由3x ＝4y ＝6得x ＝log 36，y ＝log 46， 所以(x －1)(2y －1)＝(log 36－1)(2log 46－1) ＝log 32·log 49＝lg2lg3·2lg32lg2＝1.(2)证明：设3x ＝4y ＝6z ＝m (m >1)， 则x ＝log 3m ，y ＝log 4m ，z ＝log 6m . 所以1x ＝log m 3，1y ＝log m 4，1z＝log m 6.又因为2log m 3＋log m 4＝log m 36＝2log m 6，所以2x ＋1y ＝2z.2.2.2 对数函数及其性质 第一课时 对数函数及其性质Q 情景引入ing jing yin ru我们所处的地球正当壮年，地壳运动还非常频繁，每年用地震仪可以测出的地震大约有500万次，平均每隔几秒钟就有一次，其中3级以上的大约只有5万次，仅占1%,7级以上的大震每年平均约有18次，8级以上的地震每年平均仅1次，那么地震的震级是怎么定义的呢？这里面就要用到对数函数．X 新知导学in zhi dao xue1．对数函数的定义一般地，我们把函数y ＝__log a x __(a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中__x __是自变量，函数的定义域是__(0，＋∞)__.[知识点拨] (1)由于指数函数y ＝a x 中的底数a 满足a ＞0，且a ≠1，则对数函数y ＝log a x 中的底数a 也必须满足a ＞0，且a ≠1.(2)对数函数的解析式同时满足：①对数符号前面的系数是1；②对数的底数是不等于1的正实数(常数)；③对数的真数仅有自变量x .2．对数函数的图象和性质一般地，对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象和性质如下表所示：定义域：__(0，＋∞)__对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)和指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线__y＝x__对称．Y预习自测u xi zi ce1．下列函数是对数函数的是(D)A．y＝2＋log3xB．y＝log a(2a)(a＞0，且a≠1)C．y＝log a x2(a＞0，且a≠1)D．y＝ln x[解析]判断一个函数是否为对数函数，其关键是看其是否具有“y＝log a x”的形式，A，B，C全错，D正确．2．函数f(x)＝log2(x＋1)的定义域为(C)A．(－∞，－1)B．[－1，＋∞)C．(－1，＋∞)D．(1，＋∞)[解析]要使函数有意义，应满足x＋1>0，∴x>－1，故选C.3．函数y＝log a x的图象如图所示，则实数a的可能取值为(A)A．5B．15C.1e D．12[解析]∵函数y＝log a x的图象一直上升，∴函数y＝log a x为单调增函数，∴a＞1，故选A.4．对数函数的图象过点P(9,2)，则此对数函数的解析式为__y＝log3x__. [解析]设对数函数为y＝log a x，∴2＝log a9，∴a＝3，∴解析式为y＝log3x.H 互动探究解疑u dong tan jiu jie yi命题方向1⇨对数函数概念典例1 下列函数表达式中，是对数函数的有(B)①y＝log x2；②y＝log a x(a∈R)；③y＝log8x；④y＝ln x；⑤y＝log x(x＋2)；⑥y＝2log4x；⑦y＝log2(x＋1)．A．1个B．2个C．3个D．4个[思路分析](1)对数概念对底数、真数、系数的要求是什么？[解析]根据对数函数的定义进行判断．由于①中自变量出现在底数上，∴①不是对数函数；由于②中底数a∈R不能保证a>0且a≠1，∴②不是对数函数；由于⑤、⑦的真数分别为(x＋2)，(x＋1)，∴⑤、⑦也不是对数函数；由于⑥中log4x系数为2，∴⑥不是对数函数；只有③、④符合对数函数的定义．『规律方法』对于对数概念要注意以下两点：(1)在函数的定义中，a>0且a≠1.(2)在解析式y＝log a x中，log a x的系数必须为1，真数必须为x，底数a必须是大于0且不等于1的常数．〔跟踪练习1〕指出下列函数中，哪些是对数函数？①y＝5x；②y＝－log3x；③y＝log0.5x；④y＝log32x；⑤y＝log2(x＋1)．[解析]①是指数函数；②中log3x的系数为－1，∴②不是对数函数；③中的真数为x，∴③不是对数函数；⑤中的真数是(x＋1)，∴⑤不是对数函数；∴只有④是对数函数．命题方向2⇨对数函数的定义域典例2 求下列函数的定义域：(1)f (x )＝log (2x －1)(2－x )；(2)f (x )＝2－ln (3－x )；(3)f (x )＝3log 0.5(x －1).[思路分析] 依据使函数有意义的条件列出不等式组→解不等式组→写出函数的定义域．[解析] (1)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧2x －1>0，且2x －1≠1，2－x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >12，且x ≠1，x <2，∴12<x <2，且x ≠1，故函数的定义域为{x |12<x <2，且x ≠1}． (2)要使函数有意义，需使2－ln(3－x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－x ≤e 2，3－x >0，解得3－e 2≤x <3，故函数的定义域为{x |3－e 2≤x <3}． (3)要使函数有意义，需使log 0.5(x －1)>0， 即log 12(x －1)>0，∴0<x －1<1，即1<x <2.故函数的定义域为{x |1<x <2}．『规律方法』 定义域是研究函数的基础，若已知函数解析式求定义域，常规为：①分母不能为零，②0的零次幂与负指数次幂无意义，③偶次方根的被开方式(数)非负，④求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意底数；三是按底数的取值应用单调性．〔跟踪练习2〕 (1)函数f (x )＝1log 2x －1的定义域为( C )A ．(0,2)B ．(0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)(2)函数y ＝f (x )的定义域为(－1,1)，则函数y ＝f (lg x )的定义域为__(110，10)__.[解析] (1)使函数有意义应满足log 2x －1>0， 即log 2x >1，∴x >2，故选C. (2)由y ＝f (x )定义域为(－1,1)知 －1＜lg x ＜1 解得110＜x ＜1，故y ＝f (lg x )定义域为(110，10)．Y 易混易错警示i hun yi cuo jing shi忽略对数函数的定义域致错典例3 已知函数y ＝f (x )，x ，y 满足关系式lg(lg y )＝lg(3x )＋lg(3－x )，求函数y＝f (x )的解析式、定义域及值域.[错解] 因为lg(lg y )＝lg(3x )＋lg(3－x )＝lg[3x (3－x )]，① 所以lg y ＝3x (3－x )，即y ＝103x (3－x )．所以定义域为R ，值域为(0，＋∞)．以上解题过程中都有哪些错误？出错的原因是什么？你如何改正？如何防范？ [错因分析] 错解中没有注意到对数函数的定义域，即表达式①成立的前提为⎩⎪⎨⎪⎧3x >0，3－x >0. [正解] ∵lg(lg y )＝lg(3x )＋lg(3－x )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x >0，3－x >0，lg y >0，即⎩⎪⎨⎪⎧0<x <3，y >1. 又lg(lg y )＝lg(3x )＋lg(3－x )＝lg[3x (3－x )]，∴lg y ＝3x (3－x )，所以y ＝103x (3－x )．∵0<x <3，∴3x (3－x )＝－3(x －32)2＋274∈(0，274]，∴y ＝103x (3－x )∈(1,10274]，满足x >1.∴函数y ＝f (x )的解析式为y ＝103x (3－x )，定义域为(0,3)，值域为(1,10274]．X 学科核心素养ue ke he xin su yang观察下列对数函数图象，分析底数a 的变化对函数图象的影响，你发现了什么规律？(1)不管a >1还是0<a <1，底大图低；(2)在第一象限内，依图象的分布，逆时针方向a 逐渐变小，即a 的值越小，图象越靠近y 轴．典例4 已知图中曲线C 1，C 2，C 3，C 4分别是函数y ＝log a 1x ，y ＝log a 2x ，y ＝log a 3x ，y ＝log a 4x 的图象，则a 1，a 2，a 3，a 4的大小关系是( B )A ．a 4<a 3<a 2<a 1B ．a 3<a 4<a 1<a 2C ．a 2<a 1<a 3<a 4D ．a 3<a 4<a 2<a 1[思路分析] 由图象来判断参数的大小情况，需要抓住图象的本质特征和关键点．根据图中的四条曲线底数不同及图象的位置关系，利用log a a ＝1，结合图象判断．[解析] 在图中作一条直线y ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，y ＝log a 3x ，得log a 3x ＝1，所以x ＝a 3. 所以直线y ＝1与曲线C 3：y ＝log a 3x 的交点坐标为(a 3,1)．同理可得直线y ＝1与曲线C 4，C 1，C 2的交点坐标分别为(a 4,1)，(a 1,1)，(a 2,1)． 由图象可知a 3<a 4<a 1<a 2，故选B.『规律方法』 1.熟记函数图象的分布规律，就能在解答有关对数图象的选择、填空题时，灵活运用图象，数形结合解决．2．对数值log a x 的符号(x >0，a >0且a ≠1)规律：“同正异负”．(1)当0<x <1,0<a <1或x >1，a >1时，log a x >0，即当真数x 和底数a 同大于(或小于)1时，对数log a x >0，即对数值为正数，简称为“同正”；(2)当0<x <1，a >1或x >1,0<a <1时，log a x <0，即当真数x 和底数a 中一个大于1，而另一个小于1时，也就是说真数x 和底数a 的取值范围“相异”时，对数log a x <0，即对数值为负数，简称为“异负”．因此对数的符号简称为“同正异负”．3．指数型、对数型函数的图象与性质的讨论，常常要转化为相应指数函数，对数函数的图象与性质的问题．K 课堂达标验收e tang da biao yan shou1．已知对数函数的图象过点M (16,4)，则此对数函数的解析式为( D ) A ．y ＝log 4x B ．y ＝log 14xC ．y ＝log 12xD ．y ＝log 2x[解析] 由于对数函数的图象过点M (16,4)，所以4＝log a 16，得a ＝2，所以对数函数的解析式为y ＝log 2x ，故选D.2．y ＝2x 与y ＝log 2x 的图象关于( B ) A ．x 轴对称 B ．直线y ＝x 对称 C ．原点对称D ．y 轴对称[解析] 函数y ＝2x 与函数y ＝log 2x 是互为反函数，故它们的图象关于直线y ＝x 对称． 3．如图是三个对数函数的图象，则a 、b 、c 的大小关系是( D )A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b[解析] 由图可知a ＞1，而0＜b ＜1,0＜c ＜1，取y ＝1，则可知c ＞b .∴a ＞c ＞b ，故选D.4．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，10x ，x ≤0，则f [f (－2)]＝__－2__.[解析] f (－2)＝10－2，f [f (－2)]＝lg10－2＝－2. 5．已知对数函数f (x )＝(m 2－m －1)log (m ＋1)x ，求f (27). [解析] ∵f (x )是对数函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －1＝1，m ＋1＞0，m ＋1≠1，解得m ＝2.∴f (x )＝log 3x ，∴f (27)＝log 327＝3.A 级 基础巩固一、选择题 1．已知函数f (x )＝11－x的定义域为M ，g (x )＝ln(1＋x )的定义域为N ，则M ∩N 等于( C )A ．{x |x ＞－1}B ．{x |x ＜1}C ．{x |－1＜x ＜1}D ．∅[解析] 由题意各M ＝{x |x ＜1}，N ＝{x |x ＞－1}，则M ∩N ＝{x |－1＜x ＜1}，故选C. 2．函数y ＝log 2x 在[1,2]上的值域是( D ) A ．RB ．[0，＋∞)C．(－∞，1]D．[0,1][解析]∵1≤x≤2，∴log21≤log2x≤log22，即0≤y≤1，故选D.3．函数f(x)＝log2(3x＋3－x)是(B)A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数[解析]∵3x＋3－x＞0恒成立，∴f(x)的定义域为R.又∵f(－x)＝log2(3－x＋3x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故选B.4．下列各组函数中，定义域相同的一组是(C)A．y＝a x与y＝log a x(a＞0，且a≠1)B．y＝2ln x与y＝ln x2C．y＝lg x与y＝lg xD．y＝x2与y＝lg x2[解析]A项中，函数y＝a x的定义域为R，y＝log a x(a＞0，且a≠1)的定义域为(0，＋∞)；B项中，y＝2ln x的定义域是(0，＋∞)，y＝ln x2的定义域是{x|x∈R，x≠0}；C项中，两个函数的定义域均为(0，＋∞)；D项中y＝x2的定义域为R，y＝lg x2的定义域是{x|x∈R，x≠0}，故选C.5．函数y＝log a(x－3)＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(C)A．(3,0)B．(3,2)C．(4,2)D．(4,0)[解析]令x－3＝1，即x＝4，此时y＝log a1＋2＝2，故函数y＝log a(x－3)＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(4,2)．6．已知a>0，且a≠1，函数y＝a x与y＝log a(－x)的图象只能是图中的(B)[解析]可以从图象所在的位置及单调性来判别．也可以利用函数的性质识别图象，特别注意底数a对图象的影响．注意到y＝log a(－x)的图象关于y轴的对称图象为y＝log a x，又y＝log a x与y＝a x互为反函数(图象关于直线y＝x对称)，则可直接确定选B.二、填空题7．已知f (x )＝log 9x ，则f (3)＝__12__.[解析]f (3)＝log 93＝log 9912＝12. 8．函数y ＝log 12x －1的定义域为__(0，12]__.[解析] 要使函数有意义，须log 12x －1≥0， ∴log 12 x ≥1，∴0<x ≤12.∴定义域为⎝⎛⎦⎤0，12. 三、解答题9．求下列函数定义域： (1)f (x )＝lg(x －2)＋1x －3；(2)f (x )＝log x ＋1(16－4x )．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x －2＞0，x －3≠0，得x ＞2且x ≠3，∴定义域为(2,3)∪(3，＋∞)． (2)由⎩⎪⎨⎪⎧16－4x ＞0，x ＋1＞0，x ＋1≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧4x ＜16，x ＞－1，x ≠0，解得－1＜x ＜0或0＜x ＜4. ∴定义域为(－1,0)∪(0,4)．10．已知f (x )＝lg 1＋x 1－x .x ∈(－1,1)若f (a )＝12，求f (－a ).[解析] 解法一：∵f (－x )＝lg 1＋x1－x＝lg(1－x 1＋x )－1＝－f (x )，∴f (－a )＝－f (a )＝－12.解法二：f (a )＝lg 1＋a1－a ，f (－a )＝lg 1－a1＋a＝lg(1＋a 1－a )－1＝－lg 1＋a 1－a＝－12.B 级 素养提升一、选择题1．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数，其图象经过点(a ，a )，则f (x )等于( A )A ．log 12xB ．log 2xC ．12xD ．x 2[解析] 由题意知f (x )＝log a x ，又f (a )＝a ，∴log a a ＝a ，∴a ＝12，∴f (x )＝log 12 x ，故选A.2．已知函数f (x )＝log a (x ＋2)，若图象过点(6,3)，则f (2)的值为( B ) A ．－2 B ．2 C.12D ．－12[解析] 由条件知，f (6)＝3，即log a 8＝3，∴a ＝2，∴f (x )＝log 2(x ＋2)， ∴f (2)＝log 2(2＋2)＝2.故选B.3．(2017·全国卷Ⅱ文，8)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( D ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)[解析] 由x 2－2x －8>0，得x <－2或x >4.令g (x )＝x 2－2x －8，函数g (x )在(4，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减，∴函数f (x )的单调递增区间为(4，＋∞)．4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ，x ≤1，log a x ，x ＞1是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( C )A ．(0,1)B ．(0，13)C ．[17，13)D ．[17，1)[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a －1＜0，0＜a ＜1，(3a －1)＋4a ≥0，∴17≤a ＜13.二、填空题5．函数f (x )＝3x 21－x＋lg(3x ＋1)的定义域是__{x |－13＜x ＜1}__.[解析] 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，3x ＋1＞0，解得－13＜x ＜1，故函数的定义域为{x |－13＜x ＜1}．6．函数y ＝log a 2x ＋1x －1的图象恒过定点P ，则P 点坐标为__(－2,0)__.[解析] 对一切a ∈(0,1)∪(1，＋∞)，当x ＝－2时，log a2(－2)＋1(－2)－1＝0，∴P 点坐标为(－2,0)．三、解答题7．求下列函数的反函数.(1)y ＝10x ；(2)y ＝(45)x ；(3)y ＝log 13x ；(4)y ＝log 7x .[解析] (1)指数函数y ＝10x ，它的底数是10，它的反函数是对数函数y ＝lg x (x >0)． (2)指数函数y ＝(45)x ，它的底数是45，它的反函数是对数函数y ＝log 45 x (x >0)．(3)对函数y ＝log 13 x ，它底数是13，它的反函数是指数函数y ＝(13)x .(4)对函数y ＝log 7x ，它的底数是7，它的反函数是指数函数y ＝7x .C 级 能力拔高1．若函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg(x ＋1)，求f (x )的表达式，并画出大致图象.[解析] ∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (0)＝0. 又当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)， ∴f (－x )＝lg(1－x )．又∵f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－lg(1－x )，∴f (x )的解析式为 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg (x ＋1)，x ＞0，0，x ＝0，－lg (1－x )，x ＜0.∴f (x )的大致图象如图所示： 2．已知函数f (x )＝lg(x －1). (1)求函数f (x )的定义域和值域； (2)证明f (x )在定义域上是增函数．。
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人教版高中数学必修一学案：《对数与对数运算》(含答案)
2.2.1 对数与对数运算(二)自主学习1．掌握对数的运算性质及其推导．2．能运用对数运算性质进行化简、求值和证明．1．对数的运算性质：如果a >0，a ≠1，M >0，N >0，那么，(1)log a (MN )＝______________；(2)log a M N＝____________；(3)log a M n ＝__________(n ∈R )．2．对数换底公式：________________________.对点讲练正确理解对数运算性质【例1】 若a >0，a ≠1，x >0，y >0，x >y ，下列式子中正确的个数有( )①log a x ＋ log a y ＝log a (x ＋y )； ②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a x y＝log a x ÷log a y ； ④log a (xy )＝log a x ·log a y . A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个规律方法 正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件．使用运算性质时，应牢记公式的形式及公式成立的条件．变式迁移1 (1)若a >0且a ≠1，x >0，n ∈N *，则下列各式正确的是( )A ．log a x ＝－log a 1xB ．(log a x )n ＝n log a xC ．(log a x )n ＝log a x nD ．log a x ＝log a 1x(2)对于a >0且a ≠1，下列说法中正确的是( )①若M ＝N ，则log a M ＝log a N ；②若log a M ＝log a N ，则M ＝N ；③若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ；④若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2.A ．①③B ．②④C ．②D ．①②③④对数运算性质的应用【例2】 计算：(1)log 535－2log 573＋log 57－log 51.8； (2)2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋(lg 2)2－lg 2＋1.变式迁移2 求下列各式的值：(1)log 535＋2log 122－log 5150－log 514； (2)(lg 5)2＋lg 2·lg 50.换底公式的应用【例3】 设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y的值．规律方法 换底公式的本质是化同底，这是解决对数问题的基本方法．解题过程中换什么样的底应结合题目条件，并非一定用常用对数、自然对数．变式迁移3 (1)设log 34·log 48·log 8m ＝log 416，求m ； (2)已知log 142＝a ，用a 表示log 27.1．对于同底的对数的化简要用的方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成两对数的和(差)．2．对于常用对数的化简要创设情境充分利用“lg 5＋lg 2＝1”来解题．3．对于多重对数符号对数的化简，应从内向外逐层化简求值．4．要充分运用“1”的对数等于0，底的对数等于“1”等对数的运算性质．5．两个常用的推论：(1)log a b ·log b a ＝1；(2)log am b n ＝n mlog a b (a 、b >0且均不为1)．课时作业一、选择题1．lg 8＋3lg 5的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．32．已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 36等于( )A.a ＋b aB.a ＋b bC.a a ＋bD.b a ＋b3．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则⎝⎛⎭⎫lg a b 2的值等于( ) A ．2 B.12 C ．4 D.144．若2.5x ＝1 000,0.25y ＝1 000，则1x －1y等于( ) A.13 B ．3 C ．－13D ．－3 5．计算2log 525＋3log 264－8log 71的值为( )A ．14B ．8C ．22D ．27二、填空题6．设lg 2＝a ，lg 3＝b ，那么lg 1.8＝______________.7．已知log 63＝0.613 1，log 6x ＝0.386 9，则x ＝____________.三、解答题8．求下列各式的值：(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2.9．已知log 189＝a,18b ＝5，试用a ，b 表示log 365.2.2.1 对数与对数运算(二) 答案自学导引1．(1)log a M ＋log a N (2)log a M －log a N(3)n log a M2．log a b ＝log c b log c a对点讲练【例1】 A [对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算．在运算中要注意不能把对数的符号当作表示数的字母参与运算，如log a x ≠log a ·x ，log a x 是不可分开的一个整体．四个选项都把对数符号当作字母参与运算，因而都是错误的．] 变式迁移1 (1)A(2)C [在①中，当M ＝N ≤0时，log a M 与log a N 均无意义，因此log a M ＝log a N 不成立． 在②中，当log a M ＝log a N 时，必有M >0，N >0，且M ＝N ，因此M ＝N 成立． 在③中，当log a M 2＝log a N 2时，有M ≠0，N ≠0，且M 2＝N 2，即|M |＝|N |，但未必有 M ＝N .例如，M ＝2，N ＝－2时，也有log a M 2＝log a N 2，但M ≠N .在④中，若M ＝N ＝0，则log a M 2与log a N 2均无意义，因此log a M 2＝log a N 2不成立． 所以，只有②成立．]【例2】 解 (1)原式＝log 5(5×7)－2(log 57－log 53)＋log 57－log 595＝log 55＋log 57－2log 57＋2log 53＋log 57－2log 53＋log 55＝2log 55＝2.(2)原式＝lg 2(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2－1)2＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋1－lg 2＝lg 2＋1－lg 2＝1.变式迁移2 求下列各式的值：(1)log 535＋2log 122－log 5150－log 514； (2)(lg 5)2＋lg 2·lg 50.解 (1)原式＝log 5(5×7)－2log 2212＋log 5(52×2)－log 5(2×7) ＝1＋log 57－1＋2＋log 52－log 52－log 57＝2.(2)原式＝(lg 5)2＋lg 2·(lg 2＋2lg 5)＝(lg 5)2＋2lg 5·lg 2＋(lg 2)2＝(lg 5＋lg 2)2＝1.【例3】 解 由已知分别求出x 和y .∵3x ＝36,4y ＝36，∴x ＝log 336，y ＝log 436，由换底公式得：x ＝log 3636log 363＝1log 363，y ＝log 3636log 364＝1log 364， ∴1x ＝log 363，1y＝log 364， ∴2x ＋1y＝2log 363＋log 364 ＝log 36(32×4)＝log 3636＝1.变式迁移3 解 (1)利用换底公式，得lg 4lg 3·lg 8lg 4·lg m lg 8＝2， ∴lg m ＝2lg 3，于是m ＝9.(2)由对数换底公式，得log 27＝log 27log 22＝log 2712＝2log 27＝2(log 214－log 22) ＝2(1a －1)＝2(1－a )a. 课时作业1．D [lg 8＋3lg 5＝lg 8＋lg 53＝lg 1 000＝3.]2．B [log 36＝lg 6lg 3＝lg 2＋lg 3lg 3＝a ＋b b.] 3．A [由根与系数的关系，得lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12， ∴⎝⎛⎭⎫lg a b 2＝(lg a －lg b )2 ＝(lg a ＋lg b )2－4lg a ·lg b＝22－4×12＝2.] 4．A [由指数式转化为对数式：x ＝log 2.51 000，y ＝log 0.251 000，则1x －1y ＝log 1 0002.5－log 1 0000.25＝log 1 00010＝13.] 5．C6.a ＋2b －12解析 lg 1.8＝12lg 1.8 ＝12lg 1810＝12lg 2×910＝12(lg 2＋lg 9－1)＝12(a ＋2b －1)． 7．2解析 由log 63＋log 6x＝0.613 1＋0.386 9＝1.得log 6(3x )＝1.故3x ＝6，x ＝2.8．解 (1)方法一 原式＝12(5 lg 2－2lg 7)－43·32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5) ＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5 ＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5) ＝12lg 10＝12. 方法二 原式＝lg 427－lg 4＋lg 7 5 ＝lg 42×757×4＝lg(2·5)＝lg 10＝12. (2)方法一 原式＝(lg 5＋lg 2)(lg 5－lg 2)＋2lg 2＝lg 10·lg 52＋lg 4＝lg ⎝⎛⎭⎫52×4＝lg 10＝1. 方法二 原式＝(lg 10－lg 2)2＋2lg 2－lg 22＝1－2lg 2＋lg 22＋2lg 2－lg 22＝1.9．解 ∵18b ＝5，∴log 185＝b,又∵log 189＝a ，∴log 365＝log 185lg 1836＝b log 18(18×2) ＝b 1＋log 182＝b 1＋log 18189 ＝b 1＋(1－log 189)＝b 2－a.。
《对数与对数运算》教案全面版
《对数与对数运算》教案全面版（一）学习目标：⒈理解对数的意义、符号，能正确进行指数式与对数式的互相转化；⒉通过阅读材料，了解对数的发展历史以及其对简化运算的作用．教学重点：对数的意义．教学难点：对数概念的理解．教学方法：讲授式．教具准备：《几何画板》演示课本例8．教学过程：（I）新课引入：师：在上节课的例题8中，我们得到了一个指数型函数．通过函数的解析式，我们可以计算得到任意一个年头的人口数．反之，哪一年的人口数将会达到18亿、20亿、30亿……呢？（学生思考，教师引导、演示）要解决这样一个问题，现在对我们来说是很困难的，但是我们可以通过电脑软件《几何画板》的演示来得到问题的近似解大约分别是33，43，84，…，这就是说，如果保持年增长率为1个百分点，那么大约经过33年，43年，84年，我国人口分别约为18亿，20亿，30亿．解决这个问题，实际上就是要要从，，，…中分别求出的值，也就是已知底数和幂的值，求指数．这就是本节课开始学习的对数问题．（II）讲授新课：⒈对数的意义：师：一般地，如果（且），那么数叫做以a为底N的对数，记作，其中a叫对数的底数，N叫真数．请同学们把前面的人口问题中的时间用对数表示出来．生：，，．师：由于我们实际应用的进制记数方法，所以在实际应用中将以10为底的对数叫做常用对数，并把记作．另外，在科学技术和工程计算中常使用以无理数为底数的对数，以为底的对数成为自然对数，并且把记作．请同学们用计算器计算下面几个对数的值：，，，．生：（计算得），，，．师：由对数的定义，我们可以得到对数与指数间的关系式：．请同学们填写下表中空白处的名称：式子名称指数式对数式生：略．2、对数的性质：师：在对数中，我们规定且，这是为什么呢？生：在指数式中，为了使对任意实数都有意义，我们规定了；而当时，式子的值恒为1，但是在对数式中的值就是不确定的了，所以，在对数式中，我们和指数式一样规定了且．师：在学习指数函数的性质时我们知道，，这反映在对数中是怎样的性质呢？生：由于，所以在对数中必须有．师：这样我们就得到了对数的一条性质：负数和零没有对数．在指数式中我们知道：，，这反映到对数式中是怎样的呢？生：，．师：这就是对数的另一条性质．根据指数与对数间的关系，我们还可以得到，这个公式我们一般称为对数恒等式．例⒈例⒉见课本．（Ⅲ）课后练习：课本练习．（Ⅳ）课时小结⒈指数与对数的比较：式子名称幂的底数幂的指数幂值对数的底以为底的对数真数⒉要能够熟练的进行指数式与对数式的互相转化；⒊关于对数的发展历史，同学们可以阅读课本的阅读与思考．（Ⅴ）课后作业⒈课本习题2、2 A组⒈⒉⒉阅读课本～，思考下列问题：⑴对数有哪些运算性质？怎样用对数的定义证明这些性质？⑵什么叫对数的换底公式？它有什么用途？怎样用定义证明对数的换底公式？板书设计：2、2、1 对数与对数运算（一）⒈对数的意义：⒉根式的性质例⒈⑴常用对数⑴⑵自然对数⑵例⒉⑶ 小结：预习提纲：教学后记:2、2、1 对数与对数运算（二）学习目标：⒈理解对数的运算性质，能够运用对数的运算性质进行对数运算；⒉知道对数换底公式能将一般对数转化成常用对数或自然对数．教学重点：对数的运算性质．教学难点：用定义证明对数换底公式．教学方法：讲授式．教具准备：投影．教学过程：（I）复习引入：师：上节课我们学习了对数的定义及其基本性质，请同学们回忆一下，什么叫对数？生：如果（且），那么数叫做以a为底N的对数，记作，其中a叫对数的底数，N叫真数．师：对数有哪些基本性质呢？生：对数有下面的基本性质：⑴负数和零没有对数；⑵，；⑶．师：对数与指数之间有怎样的关系？生：．师：这一节，我们将利用对数与指数之间的关系和幂的运算性质推导出对数的运算性质和对数换底公式．（II）讲授新课：⒈对数的运算性质：师：根据对数与指数之间的关系，我们可以进行指数式与对数式的互相转化．例如：设，，则有，，∴．将上式化为对数形式，得．这样我们就得到了对数的一个运算性质：．请同学们仿照上述过程，由和得出对数运算的另外两条性质．生：（推导得出），．师：下面我们来看一下对数的运算性质的应用．例题：课本例3、例4、⒉对数换底公式：师：有了对数的运算性质，我们就可以对一些特殊的对数式进行运算或化简了．但实际应用中多见的还是常用对数和自然对数，怎样才能将以其他底的对数转换为以10或为底的对数，以方便我们的计算呢？为了解决上述问题，我们有下面的对数换底公式：．你能根据对数的定义推导出上面的换底公式吗？（在教师的指导下，学生讨论、探究换底公式的证明方法，教师板书）证明：设，，，那么，，．将后面的两个式子代入前面的式子，得．根据指数函数的单调性，得，即．∴．师：对数换底公式的证明方法较多，例如也可以证明．对数换底公式还有如下常用的推论：⑴；⑵；⑶．请同学们应用对数的换底公式计算下面各式的值：，，．（Ⅲ）课后练习：课本练习．（Ⅳ）课时小结⒈要理解对数运算性质的推导方法，能够熟练应用对数的运算性质进行化简、求值；⒉应用对数换底公式可以方便的求出任意不为1的正数为底的对数．（Ⅴ）课后作业⒈课本习题2、2 A组⒊⒋⒉阅读课本～，思考下列问题：⑴怎样的函数叫对数函数？对数函数的定义域是什么？⑵对数函数的图象是怎样的？函数和的图象有什么关系？⑶对数函数有哪些性质？板书设计：2、2、1 对数与对数运算（二）⒈对数的运算性质：例题⒉对数换底公式⑴ 推论⑴⑵⑵⑶ ⑶小结：预习提纲：教学后记:你曾落过的泪，最终都会变成阳光，照亮脚下的路。
《对数与对数运算》教案(第1课时)
2.2 对数函数 2.2.1 对数与对数运算整体设计教学分析我们在前面的学习过程中,已了解了指数函数的概念和性质,它是后续学习的基础,从本节开始我们学习对数及其运算.使学生认识引进对数的必要性,理解对数的概念及其运算性质,了解对数换底公式及其简单应用,能将一般对数转化为常用对数或自然对数,通过阅读材料,了解对数的发现历史及其对简化运算的作用.教材注重从现实生活的事例中引出对数概念,所举例子比较全面,有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望.教学中要充分发挥课本的这些材料的作用,并尽可能联系一些熟悉的事例,以丰富教学的情景创设.教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能,教材安排了“阅读与思考”的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读.根据本节内容的特点,教学中要注意发挥信息技术的力量,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用,尽量利用计算器和计算机创设教学情境,为学生的数学探究与数学思维提供支持. 三维目标1.理解对数的概念,了解对数与指数的关系;理解和掌握对数的性质;掌握对数式与指数式的关系；通过实例推导对数的运算性质,准确地运用对数运算性质进行运算,并掌握化简求值的技能;运用对数运算性质解决有关问题.培养学生分析、综合解决问题的能力;培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度.2.通过与指数式的比较,引出对数的定义与性质；让学生经历并推理出对数的运算性质;让学生归纳整理本节所学的知识.3.学会对数式与指数式的互化,从而培养学生的类比、分析、归纳能力;通过对数的运算法则的学习,培养学生的严谨的思维品质；在学习过程中培养学生探究的意识；让学生感受对数运算性质的重要性,增加学生的成功感,增强学习的积极性. 重点难点教学重点：对数式与指数式的互化及对数的性质,对数运算的性质与对数知识的应用. 教学难点:对数概念的理解,对数运算性质的推导及应用. 课时安排 3课时教学过程第1课时 对数与对数运算(1)导入新课思路1.1.庄子：一尺之棰,日取其半,万世不竭.（1）取4次,还有多长？（2）取多少次,还有0.125尺？2.假设2002年我国国民生产总值为a 亿元,如果每年平均增长8%,那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍？ 抽象出：1.(21)4＝？(21)x ＝0.125⇒x=? 2.(1+8%)x =2⇒x=?都是已知底数和幂的值,求指数.你能看得出来吗？怎样求呢？像上面的式子,已知底数和幂的值,求指数,这就是我们这节课所要学习的对数〔引出对数的概念,教师板书课题:对数与对数运算(1)〕.思路2.我们前面学习了指数函数及其性质,同时也会利用性质解决问题,但仅仅有指数函数还不够,为了解决某些实际问题,还要学习对数函数,为此我们先学习对数〔引出对数的概念,教师板书课题:对数与对数运算(1)〕.新知探究 提出问题(对于课本P 572.1.2的例8) ①利用计算机作出函数y=13×1.01x 的图象.②从图象上看,哪一年的人口数要达到18亿、20亿、30亿…? ③如果不利用图象该如何解决,说出你的见解？ 即1318=1.01x ,1320=1.01x ,1330=1.01x ,在这几个式子中,x 分别等于多少？ ④你能否给出一个一般性的结论?活动：学生讨论并作图,教师适时提示、点拨.对问题①,回忆计算机作函数图象的方法,抓住关键点.对问题②,图象类似于人的照片,从照片上能看出人的特点,当然从函数图象上就能看出函数的某些点的坐标.对问题③,定义一种新的运算.对问题④,借助③,类比到一般的情形. 讨论结果：①如图2-2-1-1.图2-2-1-1②在所作的图象上,取点P,测出点P 的坐标,移动点P,使其纵坐标分别接近18,20,30,观察这时的横坐标,大约分别为32.72,43.29,84.04,这就是说,如果保持年增长率为1个百分点,那么大约经过33年,43年,84年,我国人口分别约为18亿,20亿,30亿.③1318=1.01x ,1320=1.01x ,1330=1.01x ,在这几个式子中,要求x 分别等于多少,目前我们没学这种运算,可以定义一种新运算,即若1318=1.01x ,则x 称作以1.01为底的1318的对数.其他的可类似得到,这种运算叫做对数运算.④一般性的结论就是对数的定义:一般地,如果a(a>0,a≠1)的x 次幂等于N,就是a x =N,那么数x 叫做以a 为底N 的对数(logarithm),记作x=log a N,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数. 有了对数的定义,前面问题的x 就可表示了: x=log 1.011318,x=log 1.011320,x=log 1.011330. 由此得到对数和指数幂之间的关系:例如：42=16⇔2=log 416;102=100⇔2=log 10100;421=2⇔21=log 42;10-2=0.01⇔-2=log 100.01①为什么在对数定义中规定a>0,a≠1?②根据对数定义求log a 1和log a a(a>0,a≠1)的值. ③负数与零有没有对数? ④Na alog =N 与log a a b =b(a>0,a≠1)是否成立?讨论结果：①这是因为若a ＜0,则N 为某些值时,b 不存在,如log （－2）21; 若a=0,N 不为0时,b 不存在,如log 03,N 为0时,b 可为任意正数,是不唯一的,即log 00有无数个值;若a=1,N 不为1时,b 不存在,如log 12,N 为1时,b 可为任意数,是不唯一的,即log 11有无数个值.综之,就规定了a ＞0且a≠1. ②log a 1=0,log a a=1.因为对任意a>0且a≠1,都有a 0=1,所以log a 1=0. 同样易知：log a a=1.即1的对数等于0,底的对数等于1.③因为底数a ＞0且a≠1,由指数函数的性质可知,对任意的b ∈R ,a b ＞0恒成立,即只有正数才有对数,零和负数没有对数. ④因为a b =N,所以b=log a N,a b =a Na alog =N,即a Na alog =N.因为a b =a b ,所以log a a b =b.故两个式子都成立.(a Na alog =N 叫对数恒等式)思考我们对对数的概念和一些特殊的式子已经有了一定的了解,但还有两类特殊的对数对科学研究和了解自然起了巨大的作用,你们知道是哪两类吗? 活动：同学们阅读课本P 68的内容,教师引导,板书. 解答：①常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数.为了简便,N 的常用对数log 10N 简记作lgN.例如：log 105简记作lg5;log 103.5简记作lg3.5. ②自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.718 28……为底的对数,以e 为底的对数叫自然对数,为了简便,N 的自然对数log e N 简记作lnN. 例如：log e 3简记作ln3;log e 10简记作ln10. 应用示例思路1例1将下列指数式写成对数式,对数式写成指数式： （1）54=625;（2）2-6=641;（3）(31)m =5.73; (4)log 2116=-4;(5)lg0.01=-2;(6)ln10=2.303.活动：学生阅读题目,独立解题,把自己解题的过程展示在屏幕上,教师评价学生,强调注意的问题.对（1）根据指数式与对数式的关系,4在指数位置上,4是以5为底625的对数. 对（2）根据指数式与对数式的关系,-6在指数位置上,-6是以2为底641的对数.对（3）根据指数式与对数式的关系,m 在指数位置上,m 是以31为底5.73的对数. 对(4)根据指数式与对数式的关系,16在真数位置上,16是21的-4次幂. 对(5)根据指数式与对数式的关系,0.01在真数位置上,0.01是10的-2次幂. 对(6)根据指数式与对数式的关系,10在真数位置上,10是e 的2.303次幂. 解：（1）log 5625=4;（2）log 2641=-6;（3）log 315.73=m; （4）(21)-4=16;(5)10-2=0.01;(6)e 2.303=10. 思考指数式与对数式的互化应注意哪些问题?活动：学生考虑指数式与对数式互化的依据,回想对数概念的引出过程,理清对数与指数幂的关系,特别是位置的对照.解答：若是指数式化为对数式,关键要看清指数是几,再写成对数式.若是对数式化为指数式,则要看清真数是几,再写成幂的形式.最关键的是搞清N 与b 在指数式与对数式中的位置,千万不可大意,其中对数的定义是指数式与对数式互化的依据. 变式训练课本P 64练习 1、2.例2求下列各式中x 的值: （1）log 64x=32-;（2）log x 8=6; （3）lg100=x;（4）-lne 2=x. 活动：学生独立解题,教师同时展示学生的作题情况,要求学生说明解答的依据,利用指数式与对数式的关系,转化为指数式求解.解：（1）因为log 64x=-32,所以x=6432-=(2))32(6-⨯=2-4=161.（2）因为log x 8=6,所以x 6=8=23=(2)6.因为x>0,因此x=2. （3）因为lg100=x,所以10x =100=102.因此x=2.（4）因为-lne 2=x,所以lne 2=-x,e -x =e 2.因此x=-2.点评：本题要注意方根的运算,同时也可借助对数恒等式来解. 变式训练求下列各式中的x ： ①log 4x=21;②log x 27=43;③log 5（log 10x ）=1. 解：①由log 4x=21,得x=421=2;②由log x 27=43,得x 43=27,所以x=2734=81;③由log 5（log 10x ）=1,得log 10x=5,即x=105.点评：在解决对数式的求值问题时,若不能一下子看出结果,根据指数式与对数式的关系,首先将其转化为指数式,进一步根据指数幂的运算性质算出结果.思路2例1以下四个命题中,属于真命题的是（ ） （1）若log 5x=3,则x=15 （2）若log 25x=21,则x=5 （3）若log x 5=0,则x=5 （4）若log 5x=－3,则x=1251 A.（2）（3） B.（1）（3） C.（2）（4） D.（3）（4） 活动：学生观察,教师引导学生考虑对数的定义. 对数式化为指数式,根据指数幂的运算性质算出结果. 对于（1）因为log 5x=3,所以x=53=125,错误;对于（2）因为log 25x=21,所以x=2521=5,正确;对于（3）因为log x 5=0,所以x 0=5,无解,错误; 对于（4）因为log 5x=－3,所以x=5-3=1251,正确. 总之（2）（4）正确. 答案：C点评：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据. 例2对于a ＞0,a≠1,下列结论正确的是（ ）（1）若M=N,则log a M=log a N （2）若log a M=log a N,则M=N （3）若log a M 2=log a N 2,则M=N（4）若M=N,则log a M 2=log a N 2 A.（1）（3） B.（2）（4） C.（2） D.（1）（2）（4） 活动：学生思考,讨论,交流,回答,教师及时评价. 回想对数的有关规定.对（1）若M=N,当M 为0或负数时log a M≠log a N,因此错误; 对（2）根据对数的定义,若log a M=log a N,则M=N,正确; 对（3）若log a M 2=log a N 2,则M=±N,因此错误;对（4）若M=N=0时,则log a M 2与log a N 2都不存在,因此错误. 综上,（2）正确. 答案：C点评：0和负数没有对数,一个正数的平方根有两个. 例3计算：(1)log 927;(2)log 4381;(3)log )32((2-3);(4)log 345625.活动：教师引导,学生回忆,教师提问,学生回答,积极交流,学生展示自己的解题过程,教师及时评价学生.利用对数的定义或对数恒等式来解.求式子的值,首先设成对数式,再转化成指数式或指数方程求解.另外利用对数恒等式可直接求解,所以有两种解法.解法一：(1)设x=log 927,则9x =27,32x =33,所以x=23; (2)设x=log 4381,则(43)x =81,34x =34,所以x=16; (3)令x=log )32(+(2-3)=log )32(+(2+3)-1,所以(2+3)x =(2+3)-1,x=-1; (4)令x=log 345625,所以(345)x =625,534x=54,x=3.解法二：(1)log 927=log 933=log 9923=23; (2)log 4381=log 43(43)16=16; (3)log )32(+(2-3)=log )32(+(2+3)-1=-1;(4)log 345625=log 345(345)3=3.点评：首先将其转化为指数式,进一步根据指数幂的运算性质算出结果,对数的定义是转化和对数恒等式的依据. 变式训练课本P 64练习 3、4. 知能训练1.把下列各题的指数式写成对数式:(1)42＝16;（2）30=1;（3）4x ＝2;（4）2x ＝0.5;(5)54=625;(6)3-2=91;(7)(41)-2=16. 解：(1)2＝log 416;(2)0＝log 31;(3)ｘ＝log 4２;(4)ｘ＝log 20.5;(5)4=log 5625; (6)-2=log 391;(7)-2=log 4116. 2.把下列各题的对数式写成指数式:(1)ｘ＝log 527;(2)ｘ＝log 87;(3)ｘ＝log 43;(4)ｘ＝log 731; (5)log 216=4;(6)log 3127=-3;(7)logx3=6;(8)log x 64=-6;(9)log 2128=7;(10)log 327=a.解：(1)5x ＝27;(2)8x ＝７;(3)4x ＝3;(4)7x ＝31;(5)24=16;(6)(31)-3=27;(7)(3)6 =x;(8)x -6=64;(9)27=128;(10)3a =27. 3.求下列各式中x 的值: (1)log 8x=32-;(2)log x 27=43;(3)log 2（log 5x ）=1;(4)log 3（lgx ）=0.解：(1)因为log 8x=32-,所以x=832-=(23)32-=)32(32-⨯=2-2=41;(2)因为log x 27=43,所以x 43=27=33,即x=(33)34=34=81;(3)因为log 2（log 5x ）=1,所以log 5x=2,x=52=25; (4)因为log 3（lgx ）=0,所以lgx=1,即x=101=10. 4.(1)求log 84的值;(2)已知log a 2=m,log a 3=n,求a 2m +n 的值.解：(1)设log 84=x,根据对数的定义有8x =4,即23x =22,所以x=32,即log 84=32; (2)因为log a 2=m,log a 3=n,根据对数的定义有a m =2,a n =3,所以a 2m +n =(a m )2·a n =(2)2·3=4×3=12.点评：此题不仅是简单的指数与对数的互化,还涉及到常见的幂的运算法则的应用. 拓展提升请你阅读课本75页的有关阅读部分的内容,搜集有关对数发展的材料,以及有关数学家关于对数的材料,通过网络查寻关于对数换底公式的材料,为下一步学习打下基础. 课堂小结(1)对数引入的必要性；(2)对数的定义；(3)几种特殊数的对数；(4)负数与零没有对数；(5)对数恒等式；(6)两种特殊的对数. 作业课本P 74习题2.2A 组 1、2. 【补充作业】1.将下列指数式与对数式互化,有x 的求出x 的值. （1）521-=51;（2）log 24=x;（3）3x =271; （4）(41)x=64;（5）lg0.000 1=x;（6）lne 5=x. 解：（1）521-=51化为对数式是log 551=21-; （2）x=log 24化为指数式是(2)x=4,即22x=22,2x=2,x=4; （3）3x =271化为对数式是x=log 3271,因为3x =(31)3=3-3,所以x=-3; （4）(41)x =64化为对数式是x=log 4164,因为(41)x =64=43,所以x=-3; （5）lg0.0001=x 化为指数式是10x =0.0001,因为10x =0.000 1=10-4,所以x=-4;（6）lne 5=x 化为指数式是e x =e 5,因为e x =e 5,所以x=5.2.计算51log 53log333+的值.解：设x=log 351,则3x =51,(321)x =(51)21,所以x=log513.所以351log 5log 3333+=513log 35+=515+=556. 3.计算Nc b c b a a log log log ∙∙(a>0,b>0,c>0,N>0).解：Nc b c b a alog log log ∙∙=Nc c b b log log ∙=Nc clog =N.设计感想本节课在前面研究了指数函数及其性质的基础上,为了运算的方便,引进了对数的概念,使学生感受到对数的现实背景,它有着丰富的内涵,和我们的实际生活联系密切,也是以后学习对数函数的基础,鉴于这种情况,安排教学时,无论是导入还是概念得出的过程,都比较详细,通俗易懂,要反复练习,要紧紧抓住它与指数概念之间的联系与区别,结合指数式理解对数式,强化对数是一种运算,并注意对数运算符号的理解和记忆,多运用信息化的教学手段,顺利完成本堂课的任务,为下一节课作准备. (设计者：路致芳)。
对数与对数运算教案
2．2．1对数与对数运算（三）（一）教学目标1．知识与技能：（1）掌握换底公式，会用换底公式将一般的对数化为常用对数或自然对数，并能进行一些简单的化简和证明．（2）能将一些生活实际问题转化为对数问题并加以解答．2．过程与方法：（1）结合实例引导学生探究换底公式，并通过换底公式的应用，使学生体会化归与转化的数学思想．（2）通过师生之间、学生与学生之间互相交流探讨，培养学生学会共同学习的能力．（3）通过应用对数知识解决实际问题，帮助学生确立科学思想，进一步认识数学在现实生活、生产中的重要作用．3．情感、态度与价值观（1）通过探究换底公式的概念，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣，培养学生严谨的科学精神．（2）在教学过程中，通过学生的相互交流，培养学生灵活运用换底公式的能力，增强学生数学交流能力，同时培养学生倾听并接受别人意见的优良品质．（二）教学重点、难点1．教学重点：（1）换底公式及其应用．（2）对数的应用问题．2．教学难点：换底公式的灵活应用．（三）教学方法启发引导式通过实例研究引出换底公式，既明确学习换底公式的必要性，同时也在公式推导中应用对数的概念和对数的运算性质，在教学中可以根据学生的不同基础适当地增加具体实例，便于学生理解换底公式的本质，培养学生从具体的实例中抽象出一般公式的能力．利用换底公式“化异为同”是解决有关对数问题的基本思想方法，它在求值或恒等变形中起着重要作用，在解题过程中应注意：（1）针对具体问题，选择恰当的底数；（2）注意换底公式与对数运算性质结合使用；（3）换底公式的正用与逆用．（四）教学过程（2）aa +-3)3(4．归纳 总结1．换底公式及其应用条件（注意字母的范围）．2．解决实际问题的一般步骤：学生先自回顾反思，教师点评完善．形成知识体系．课后 作业作业：2．2 第三课时 习案 学生独立完成巩固新知提升能力备选例题例1 已知log 189 = a ，18b = 5，求log 3645． 【解析】方法一：∵log 189 = a ，18b = 5， ∴log 185 = b ， 于是)218(log )59(log 36log 45log 45log 1818181836⨯⨯== =2log 15log 9log 181818++=aba b a -+=++2918log 118． 方法二：∵log 189 = a ，18b = 5， ∴lg9 = alg18，lg5 = blg8，∴9lg 18lg 25lg 9lg 918lg)59lg(36lg 45lg 45log 236-+=⨯===aba ab a -+=-+218lg 18lg 218lg 18lg ．【小结】（1）利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质；（2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数与对数互化，统一成一种形式． 例2 我们都处于有声世界里，不同场合，人们对音量会有不同的要求，音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I 的声波，分贝的定义是：y = 10lgI I． 这里I 0是人耳能听到的声音的最低声波强度，I 0 = 10－12w/m 2，当I = I 0时，y = 0，即dB = 0．（1）如果I = 1w/m 2，求相应的分贝值；（2）70dB 时声音强度I 是60dB 时声音强度I′的多少倍？ 【解析】（1）∵I=1w/m 2， ∴y =10lg120110lg 10I I -= 1210lg101012lg10120()dB ==⨯=（2）由70 = 10lg 0I I，即7lg 0=I I ，∴7010=I I ，又60 = 10lg0I I '，即lg 0I I '=6，∴0I I '=106． ∴67001010='='I I I II I =10，即I = 10I ′答： （1）I = 1w/m 2，相应的分贝值为120()dB ； （2）70dB 时声音强度I 是60dB 时声音强度I′的10倍。
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高一数学必修一 对数与对数运算 》学案
2009年我国国民生产总值为a 亿元，如果每年平均增长8％，那么经过多少年，
我国国民生产总值是2009年的2倍？
一、学习目标：对数的定义，对数式与指数式之间的关系及互化 二、 学习任务：
1、若a x =N （a ＞0且a ≠1）. 已知a ，x 可根据幂运算计算出N 已知x,N 怎样表示a ？，即a=____ 已知a 、N ，怎样表示x ？即x=____
2、在x= log a N 中，a 、x 、N 的名称分别是什么？它的等价式子是什么？a 的范围是什么？ N 的范围是什么？负数和零有没有对数？
3、什么叫常用对数？自然对数？
4、log a 1= _____ log a a = _____ a logaN
= _____ log a a b = _____
三、知识运用：
必做题 P64 练习1、2、3、4 ; P74 A 组 1、2
选做题
1、使得对数式子log 2x （3x+2）有意义的实数x 的取值范围为_________。
2、 log(
12+)（
12-）= _______。
3、将下列对（或指）数式化成指（或对）数式。
（1）log 3x= 3 （2）log x 64=-6
（3）3-2=9
1 （4）（4
1
）x =16
四、本节课收获：
高一数学必修一 》学案
随着电子计算器的出现，我们可以很容易地计算以10和以e 为底的对数，但底数不是10和e 的对数怎么求呢？通过本节的学习，你可以解决这个问题了。
一、学习目标：掌握对数的运算性质及对数的初步应用及换底公式的运用。
二、学习任务：
1、试证明 log a （M ·N ）=log a M+log a N ，（M ＞0,N ＞0），并由此
推导log a N
M
=__________ log a M n =______________
2、判断①log 2［（- 3）×（- 5）］=log 2（- 3）+log 2（- 5）是否正确？
②lga 2=2lga
3、试推导换底公式log a b=a
b c c log log (a ＞0,且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0）
三、知识运用：
必做题 P 68练习 1、2、3、4
P 74习题2.2 A 组3、4、5、6
B 组1
选做题
1、已知a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，n>1,n ∈N ，下列各式正确的是（ ）
A 、log a （M+N ）=logaM ·logaN
B 、N
M
a a log log =log a （M-N ）
C 、log a n M =n
1
log a M D 、log a （M+N ）=log a M+log a N
2、计算（lg2）2+lg20·lg5=_____。
3、求值：log 23×log 35×log 516
4、已知log 189 =a ，18b = 5，用a ，b 表示log 3645的值。
四、本节课收获：。