三 等价无穷小与取对数法

三、等价无穷小替换公式

<7> 正确地使用等价无穷小替换，将会快速化繁为简，得出结果，是求极限最得力的工具。

(请特别注意：自变量→？，无穷小？因子？)

例11 ∵ 0ln(1)lim x x x

→+=10limln(1)x

x x →+=10lnlim(1)x x x →+=ln e =1。 ∴❺ ln(1)~x x + 得证。

说明：上面运算交换了求极限与求对数的运算次序,这一步的合理性在以后的文档中给出证明__规则是:只要过程中没有出见“无意义”的情况,结果都是正确的！

由定理5及❶，❷，❺ 可以直接得到等价无穷小关系式❻，❼，❹ (∵ln(1+x)=t ,x=e t -1是ln(1+x)的反函数)。

例12 令 ()1+1a

x -= t ,x→0时,t→0,

t 的反函数x =1ln(1)t a e +-1～1ln(1)t a +～t

a 【❹,❺】,

∴ 0(1)1lim →+-a x x ax =0lim (/)

→t t

a t a =1, 【x ～ t /a 】 ∴❽得证。

下面将多用箭头演算式中,为了简洁,用符号“#”表示原题中去掉极限运算后的函数式。

例7又一解法: 0x →【∵-2x →0, ❽】=1

20(2)

lim x x x

→-=-1。

例13 lim )x x x →∞

；y=#【o /x 】→2[(11/)1]x x x 1

2⋅+-【❽】→2

211()2x

x =12

。 例14 22201cos lim sin x x x x →-；y=#【❶❸】221

222()x x x →=12

。

<8> 有界量与无穷小之积仍然是无穷小。简单标记为[M o]

例15 sin lim

x x

x →∞。解：原式=0 【M o,|sin x |≤1,10x →,注意sin x 不是无穷小！】。 例16 arctan lim x x x →∞。解：arctan lim x x

x

→∞=0【M o,|arctan x |≤π/2】。

四、取对数法。简记为: [对] ； 该方法有以下特点: 1) 冪指函数()

[()]

v

v x y u u x ==当x→&时,若u→1,v→∞这时称为1∞

型未定式。

2) 解决这一类求极限的问题,都有相当的难度！但是,本方法却是套用一个简单的模式,几乎可以心算得到结果,不用复杂的技巧,在化简中也不容易发生错误！ 3) 本方法只要记住名称就不会忘记该怎么计算。 4) 求解原理及步骤: 对于()

[()]

v

v x y u u x ==及u→1,v→∞；设u=1+α,α=u -1是无穷小。

先取对数 ln y =v ln u =v ln(1+α),再求x→&时的极限ln y 【❺】→v ·α→【结果W 】。 再根据情况进行分类:

最后直接给出答案就行了: ∴&

lim x y →=W

e 或y→W

e 。

例17 计算 32lim(1)x

x x →∞

-。

解：设y=32(1)

x

x -,ln y =3xln(1-2/x)【❺】→3x(-2/x)=-6，∴y →6

e -。

例18 计算 211lim()

x

x x x --+→∞

。

解：设y=#=221(1)x x -+-,ln y =-2x 21ln(1)x +-【❺】→-2x 21()x +-=41x x +=4(11/)

x x x +→4,∴y →4

e 。 例19 计算 arctan 0

lim(cos )

x

x x →。

解：y=#,ln y =2

2arctan ln [1(cos 1)](cos 1)()x x x x x x +-→-→-→0,∴y →0

e =1【❻❺❸】。 例20 计算 0

lim(2sin )2

x x

x x e →+。

解: y=#, ln y =2ln[1(2sin 1)]x

x e x

++-【❺】→2(2sin 1)x

x e x

+-

【拆】→4sin 2(1)4x x e x -+【❶❹】→42x x x x

+=6。∴y →6

e 。 掌握了方法后，这类问题能够用半心算方式快速求解。