第八章矩阵位移法
矩阵位移法坐标变换
Fi k ii F j k ji
(e)
(e)
k ij δi k jj δ j
(e)
(e)
由分块后的单元刚度方程可得
(e) (e) (e) (e) Fi(e) k ii δi k ij δj (e) (e) (e) (e) (e) F j k ji δi k jj δ j
(1)
EA / l 6 10 5 kN/m
1 EA 0 l 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 6 10 5 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 kN/m 0 1 0 0 0 0
k (1)
桁架结构变换矩阵
②单元
(e )
k
(e )
EA l 0 EA l 0
0 0 0 0
EA 0 l 0 0 EA 0 l 0 0
cos sin T 0 0
sin cos 0 0
δ 4 cosθ sinθ 0 δ 4 δ t δ (e) δ δ 5 sin θ cos θ 0 5 j δ 6 0 0 1 δ 6
(e) j
结构力学教研室
2
西南交通大学
结构力学教研室
4
西南交通大学
单元刚度系数的意义
k 中的每个元素称为单元刚度系数。 注：结构坐标系 (e) 表示 k (e) 中第 l 行、第m列的元素； k lm 即：第m号杆端位移分量为1时引起的第l号杆端力。 例： (e) 代表当第5号杆端位移 k 25 时引起的第2号杆端力。 即第 i 端的竖向力 。
第八章 矩阵位移法(学生)
概述 矩阵位移法的基本原理 单元刚度矩阵 直接刚度法 直接刚度法的另一个形式－先处理法 等效结点荷载
1
概述
结构矩阵分析的目的：利用计算机进行结构分析
科技进步
结构分析问题大型化、复杂化
需要
计算机技术发展突飞猛进
可能
力法、位移法：线性代数方程组的求解问题
结构矩阵分析方法＋计算机应用软件
5
矩阵位移法的基本原理
结构的离散化：将结构视为（杆件）单元的集成
结构标识
结点编号 单元编号 坐标系
平面桁架 未知量＝2×结点数－3
平面刚架 未知量＝3×结点数－8
y ⑤4
2
⑩ ⑨
⑥6
1
①3 ② 5
y 2
④
① 1
⑦ 8 ⑧ 10
③7 ④ 9 x 4 ⑤6
② 3
③
5
x
6
1
矩阵位移法的基本原理
矩阵位移法基本方程
16
结构坐标系下的单元刚度矩阵（桁架单元）
结构坐标系中桁架单元刚度矩阵的一般表达式
K e T T k eT
c2
Ke
EA sc l c2
sc
sc c2 s2 sc sc c2 s2 sc
sce
s
2
sc
s2
（8-15）
17
刚架单元的刚度矩阵和刚度方程
F e k eΔe
6个位移
y
ui Fxi
0
0
0
ui e
vi
u
j
v j
Fxi Fxj
e
EA lElA
EA e
ElA
ui u j
l
结构力学矩阵位移法学习
第8章 矩阵位移法 ♍♦♐ 制作同济大学教材笔记(本章答案陆续上传中)一、知识要点： 1.结构坐标系一般采用右手坐标系，记为xoy 。
此时，结点位移和结点力均取与结构坐标系方向一致为正，其中结点的角位移和结点力矩按右手法则均取逆时针方向为正。
2.局部坐标系主要注意α角的定义，看如下图示即明白。
yxoijexyα3.桁架单元刚度方程000000000000eeexi i yi i xj j yj j EAEA F u l lF v EA EAF u l l F v ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭桁架结构变换矩阵Tcos sin 00sin cos 0000cos sin 00sin cos T αααααααα⎛⎫⎪-⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭桁架在结构坐标系下的单元刚度矩阵22222222ee c sc c sc sc s sc s EA k l c sc c sc sc s sc s ⎛⎫-- ⎪-- ⎪=⎪-- ⎪⎪--⎝⎭4.刚架单元刚度方程32322232322212612664621261266264eeeyi i i i yj j j j EIEI EI EI l l l l F v EI EI EI EI M l l l l EI EI EI EI F v l l l l M EI EI EI EI l l l l θθ⎛⎫- ⎪⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪-⎝⎭5.受轴向力作用的一般刚架单元刚度方程32322232322200001261260064620000001261260062640eexi i yi i i i xj j yj j EAEA ll EI EIEI EI F u l l l l F v EI EI EI EI M l l l l EA EA F u l l F v EIEI EI EI M l l l l EI EI EI EI l lllθ⎛⎫- ⎪⎪ ⎪⎛⎫- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ej j ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭一般刚架单元刚度方程的坐标变换矩阵Tcos sin 0000sin cos 0000001000000cos sin 0000sin cos 0001T αααααααα⎛⎫⎪- ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭结构坐标系下的一般刚架单元刚度矩阵e k12412423523545645612412423523545645622ea a a a a a a a a a a a a a a a a a k a a a a a a a a a a a a a a a a a a --⎛-- --=---- ---- --⎝6.为什么已知杆端位移能求得单元的唯一杆端力，而已知杆端力却无法唯一确定杆端位移这是因为支座位移条件不已知，可能相差一个刚体位移，即位移的绝对值不同。
第八章-矩阵位移法(一)
矩阵位移法ppt课件
i
u j , Fxj
e
vi , Fyi
0 0 0 0 EA l 0 EA l 0
v j , Fyj
0 0 0 0
ui v i u j v j
e
杆端力向量
单刚矩阵
杆端位移向量
22
坐标变换
上述单刚方程是在单元坐标系下建立的，单元按结点平衡拼装成结构之前， 由于结构中单元的方位一般不全相同，因此，应将杆端位移和杆端力都转换 成统一的、对整体坐标的量，这是同一矢量在不同坐标系中的变换问题，简 称为坐标变换。 坐标变换矩阵 —单元系与结构系的关系： F x yj y 结构系 x 轴沿逆时针转至单元系 y x 轴所转过的角度记为 。 Fxj j Fyi —单元系下的杆端力 Fxj e —结构系下的杆端力 Fyj i Fxi e e Fxi Fxie Fxi cos Fyi sin Fyi 表示为 e e e F F sin F cos yi xi yi x o e e Fxje Fxj cos Fyj sin 矩阵形式 e e Fyje Fxj sin Fyj cos
原始总刚度方程无法直接求解。因为原始总刚度方程表示结构全部结点的平 衡方程，结构的结点分为两大类：有约束的支座结点（如图示结构的1、2结 点）和无约束的内部结点（如图示结构的3结点）；前类结点已知结点位移而 未知结点力（支座反力），后类结点已知结点力而未知结点位移。 M 要求支座反力必须先求后类结点的结点位移，故，原 P 3 始总刚度方程必须考虑边界位移条件修正为结构刚度 I, A I, A 方程后才能求解。 2 根据支座位移边界条件的处理方式不同，矩阵位移法 1 可分为先处理法和后处 理法。
矩阵位移法
k22坐k11标局k01成部1k029坐200标时kk20与32，3 整局k0体12部45 单k0k20514
0 k26 k26
To 47
k e ke
刚和有何整k关体3k3系单33 ？刚k0k间454535
k35 00
k3k6 36
0 k56
对称对称
kk5544
kk65k66 66
F e FEe k e e
单元杆端位移矩阵
e 1
2
3
4
T e
单元刚度矩阵(应熟记)
12 6l 12 6l
k
e
EI l3
6l
12
4l 2 6l
6l 12
2l
2
6l
6l 2l 2 6l 4l 2
是转角位移方程的矩阵表示
单元等效结点荷载矩阵
根据单跨梁的载常数，可得
向上满跨均布荷载 q 作用
(F FE )e k e e F e FEe k e e
连续梁单元需要 进行坐标转换吗？
连续梁的局部坐标与整 体坐标一致，所以不需 要转换。
第一种做法
桁架单元如何
进行坐标转换？ T
力的转换
T
F1
F2
F3
F4
T
cos
0
位移的转换
sin
0
0
cos
0 T F1
sin F2
1 2
3. 坐标转换问题
在搞清单元特性后，像位移法一样，需将单 元拼装回去。在结点处位移自动满足协调条件 的基础上，令全部结点平衡，即可建立求解位 移的方程，这是下一节将讨论的内容。
除连续梁外，一般结构单元不全同方位， 为保证协调和平衡，应将杆端位移和杆端力 都转换成统一的，对整体坐标的量，因此要 先解决坐标转换问题。下面先讨论自由式梁 单元的转换问题。
结构力学第8章 矩阵位移法
单元两端的杆端位移分别在单元坐标系和整体坐标系 下分解，其位移分量就构成上面的杆端位移向量。
与坐标轴的正方向一致者为正;
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作业1：已知单元的内力图，列出单元坐标下 及整体坐标下的杆端力向量。
3.04
1.24
y 0.43
4.38N)
x
作业2：已知单元的杆端力如图，写出单元坐 标及整体坐标表示的单元杆端力向量，并 作出单元的内力图。
2EI
l
x
2EI EI
l 6EIl x x
l2
EuIj 1
6EIl
x
l 2 uj 1
EA
l
x
EI
EuIj 1
l
平l面梁单元ul j 的1 x单元刚度矩阵
l
y
ui=1
6EI
l2
N ElA i y
6EI
l
12 2EI l3
12EI
Qi
0l 3
y
2EI
0 Ml iy
2EI 6EI
l
l2
vi =1 θi=1
等截面直杆的刚度方程
适用于两端都是刚结点的杆， 基本未知量为杆两端的转角和侧移；
刚度方程：
M AB
4i A
2i B
6i
l
M BA
2i A
4i B
6i
l
QAB
QBA
1 l
(
M
AB
M BA)
QAB
QBA
6i l
A
6i l
B
1 2i l2
4i
❖ 写成矩阵的形式：
❖ 杆端弯矩、剪力、杆端 侧移均以绕杆端顺时针 为正。关键掌握每个系
矩阵位移法
D1 = D2 = 0
； D5 = D6 = 0
则有修正后的总刚度矩阵：
-100 2 [K ] = 100 600
[k11 ] [k12 ] {F1} = {F2 } [k 21 ] [k 22 ]
{D1} {D 2 }
@
单元刚度矩阵的性质：①对称性；②奇异性； ③主对角元恒为正值
3、整体刚度矩阵
K ij ：单元仅发生第j个杆端单位位移时，在第
Y2 = QBA
写成矩阵表达式为：
4 EI 2 EI 6 EI q + q + -v ) ( v l 1 l 2 l2 1 2 2 EI 4 EI 6 EI q + q + -v ) ( M2 = v l 1 l 2 l2 1 2 6 EI 12 EI (v1 - v2 ) Y1 = (q1 +q 2 ) + l2 l2 6 EI 12 EI = q + q (v1 - v2 ) Y2 ( 1 2) l2 l2 M1 =
2
3
1 2
Hale Waihona Puke 3-1 50 1 50 50 300 -50 150 -1 -50 2 -100 -1 -50 = 50 150 -100 600 50 150 -1 50 1 50 -50 150 50 300
计入边界条件：因边界结点1和3 为固定端，故有：
0 12EI l3 6 EI - 2 l 0 12EI l3 6 EI - 2 l
@
0 6 EI l2 2 EI l 0 6 EI - 2 l 4 EI l
EA l 0 0
结构力学课后答案第8章矩阵位移法
习 题8-1 试说出单元刚度矩阵的物理意义及其性质与特点。
8-2 试说出空间桁架和刚架单元刚度矩阵的阶数。
8-3 试分别采用后处理法和先处理法列出图示梁的结构刚度矩阵。
(a)解：（a ）用后处理法计算 （1）结构标识（2）建立结点位移向量，结点力向量[]T44332211 θνθνθνθν=∆[]Ty M F M F M F M F F 4y43y32y211 =θ（3）计算单元刚度矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=2222322211211462661261226466126122EI 21 l l -l l l -l -l l -l l l l - l k k k k k ①①①①①⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=222233332232223 33 6 3632336 362EI 21 l l - l l l - l -l l -l l l -l l k k k k k ②②②②②lll⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=222234443343323 33 6 3632336 362EI 2 1 l l - l l l - l -l l -l l l -l l k k k k k ③③③③③（4）总刚度矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++=222222222234443343333322322222112112 3300003 6 3 6 000 03403003601236000 0 3632600 363186120000 26460 0 0 06126122EI 0 0 00 0 0 4 3 2 1 4 3 2 1 l l -l l l - l - - l l -l l l l - l - - l l -l l -l l l l - -l -- l l -l l l l - l k k k k k k k k k k k k k ③③③③②②②②①①①①θ （5）建立结构刚度矩阵支座位移边界条件[][]00004311 θ θ θν=将总刚度矩阵中对应上述边界位移行列删除，得刚度结构矩阵。
第八章矩阵位移法
第八章矩阵位移法主要内容有限单元法的基本概念，结构离散化。
平面杆系结构的单元分析：局部坐标系下的单元刚度矩阵和整体坐标系下的单元刚度矩阵。
平面杆系结构的整体分析：结构整体刚度矩阵和结构整体刚度方程。
支承条件的处理，单元内力计算。
利用对称性简化位移法计算。
矩阵位移法的计算步骤和应用举例。
学习目的和要求矩阵位移法是以计算机为计算工具的现代化结构分析方法。
基于该法的结构分析程序在结构设计中得到了广泛的应用。
因此，以计算机进行结构分析是本章的学习目的。
本章的基本要求：矩阵位移法包含两个基本环节：单元分析和整体分析。
在单元分析中，熟练掌握单元刚度矩阵和单元等效荷载的概念和形成。
熟练掌握已知结点位移后求单元杆端力的计算方法。
在整体分析中，熟练掌握结构整体刚度矩阵中元素的物理意义和集成过程，熟练掌握结构综合结点荷载的集成过程。
掌握单元定位向量的建立，支撑条件的处理。
自由式单元的单元刚度矩阵不要求背记，但要领会其物理意义，并会由它来推出特殊单元的单元刚度矩阵。
§ 8-1 概述杆系结构矩阵分析又叫杆系结构的有限元法, 分为矩阵力法和矩阵位移法, 亦称为柔度法和刚度法。
由于矩阵位移法比矩阵力法更容易实现计算过程程序化, 因而应用很广泛, 故本章只讨论矩阵位移法。
矩阵位移法的内容包括以下两部分：(1) 将整体结构分成为有限个较小的单元( 在杆系结构中常把一个等截面直杆作为一个单元), 即进行结构的离散化。
然后分析单元内力与位移之间的关系式, 建立单元刚度矩阵, 形成单元的刚度方程, 称该过程为单元分析。
(2) 把各单元按结点处的变形协调条件和结点的平衡条件集合成原整体结构, 建立结构刚度矩阵, 形成结构刚度方程, 解方程后求出原结构的结点位移和内力, 称该过程为整体分析。
上述一分一合,先拆后搭的过程中, 是将复杂结构的计算问题转化为简单单元的分析及集合问题。
而由单元刚度矩阵直接形成结构刚度矩阵是直接刚度法的核心内容。
矩阵位移法
矩阵位移法
矩阵位移法是一种用于解决多项式方程组的数学方法。
它利用行和列变化将原系数矩阵转换成一个三角矩阵。
然后，从底端开始一行行解对角线的方程，最终求出未知数的值，解决多项式方程组。
矩阵位移法的基本步骤如下：
1.将系数矩阵进行行变换和列变换，转换成三角矩阵。
2.从最下面的方程开始，先求解最后一个未知数。
3.从次下面的方程开始，根据前面的结果一行行解出剩余未知数。
矩阵位移法比较容易理解和应用，可以有效地解决多项式方程组，但也存在一些缺点，比如容易出现几何错误，计算精度较低。
《结构力学习题集》(下)-矩阵位移法习题及答案
第八章 矩阵位移法1、(O)2、(X)3、(O)4、(X)5、(X)6、(O)7、(O)8、(X)9、(O) 10、(O) 11、(A)一、判断题：1、单元刚度矩阵反映了该单元杆端位移与杆端力之间的关系。
2、单元刚度矩阵均具有对称性和奇异性。
3、局部坐标系与整体坐标系之间的坐标变换矩阵T 是正交矩阵。
4、结构刚度矩阵反映了结构结点位移与荷载之间的关系。
5、结构刚度方程矩阵形式为：[]{}{}K P ∆=，它是整个结构所应满足的变形条件。
6、图示结构用矩阵位移法计算时（计轴向变形）未知量数目为8个。
7、在直接刚度法的先处理法中，定位向量的物理意义是变形连续条件和位移边界条件。
8、等效结点荷载数值等于汇交于该结点所有固端力的代数和。
9、矩阵位移法中，等效结点荷载的“等效原则”是指与非结点荷载的结点位移相等。
10、矩阵位移法既能计算超静定结构，也能计算静定结构。
11、已知图示刚架各杆EI = 常数，当只考虑弯曲变形，且各杆单元类型相同时，采用先处理法进行结点位移编号，其正确编号是：(0,1,2)(0,0,0)(0,0,0)(0,1,3)(0,0,0)(1,2,0)(0,0,0)(0,0,3)(1,0,2)(0,0,0)(0,0,0)(1,0,3)(0,0,0)(0,1,2)(0,0,0)(0,3,4)A.B.C.D.2134123412341234xy M , θ( )二、计算题：12、用先处理法计算图示结构刚度矩阵的元素133322,,K K K 。
123ll4ll5EI2EIEA(0,0,0)(0,0,1)(0,2,3)(0,0,0)(0,2,4)(0,0,0)xyM , θEI13、用先处理法计算图示刚架结构刚度矩阵的元素153422,,K K K 。
EI ，EA 均为常数。
l(0,0,1)(0,5,0)(2,3,4)l①②123xy M , θ14、计算图示结构整体刚度矩阵的元素665544,,K K K 。
第八章矩阵位移法-1
8-1 概述
局部坐标系示例
12
②
8-1 概述
13
5．结点位移整体码
• 按结点编码由小到大的顺序对结点的位移编码 • 不同问题，结点位移个数不同。
等截面连续梁每结点1个转角； 平面桁架每结点2个线位移； 平面刚架每结点3个位移；
8-1 概述
14
结构的离散化示例
8-1 概述
15
结构的离散化示例
后处理
Δi ui vi T
n个结点的位移向量为
Δ Δ1 Δ2 Δn T
或
Δ u1 v1 u2 v2
un vn T
8-1 概述
19
平面刚架FP2 的单元
FP1
平面刚架的结点位移向量：
Δ 1 2 3 4 u1 v1 1 u2
5 6 7 8 9
局部坐标系中:
(e)
(e)
1
(e)
δ
δi
(e)
2
ui
v
i
F1 (e) F xi (e)
(e)
F
F i
(e)
F 2
F
yi
δ j 3 u j
F j F 3 F xj
32
四.坐标系选择
常用的三种坐标系
8-1 概述
坐标系示例
33
②
2
3
②
2
3
8-1 概述
34
y
① x
2②
x
y
v2 2 u3 v3 3
矩阵位移法计算步骤
此题采用后处理法，结点位移分量编号、结构坐标 系、各单元的局部坐标系如图所示。
0.6442 0 FP 0.6442 0
（拉力）
F
( 3)
0 1 0 0
1 0 0 0 0 0 0 1
Δ T ( 3 ) k ( 3 )δ ( 3 ) T ( 3 ) k ( 3 ) 4 Δ1
3
将上述数据代入K 中，得
8.0 4.0 0.0 0.0 4.0 12.0 2.0 0.0 10 4 kN m K 0.0 2.0 16.0 6.0 0.0 0.0 6.0 12.0 由于连续梁的单元刚度矩阵为非奇异矩阵，由此组 集而成的结构刚度矩阵K 也是非奇异的，故无需再 进行支座约束条件处理。
（4）集成结构原始刚度矩阵K
k
(1)
k
( 2)
k
(3)
k (1)
k ( 2)
4
1
k (3)
(3) k 44 (3) k 34
4 (3) k 33 3 k
(3) 43
3
(2) 1 k12 (2) k 22 2
2
单元②和③
214 kN m 257
(1)
(2)
(3)
12 6 2.86 257 3 10 4 kN m 10 kN m 6 12 - 1.43 0
F ( 3 ) k ( 3 )δ ( 3 ) k ( 3 ) 3 4
（拉力）
2 / 2 2/ 2 0 0 2 2 2 2 2 2 2 / 2 2 / 2 0 0 EA 2 1 2 2 0 8 l 0 2/ 2 2/ 2 2 2 2 2 2 2 0 2/ 2 2/ 2 0 2 2 2 2 2 2
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第八章矩阵位移法
主要内容
有限单元法的基本概念，结构离散化。
平面杆系结构的单元分析：局部坐标系下的单元刚度矩阵和整体坐标系下的单元刚度矩阵。
平面杆系结构的整体分析：结构整体刚度矩阵和结构整体刚度方程。
支承条件的处理，单元内力计算。
利用对称性简化位移法计算。
矩阵位移法的计算步骤和应用举例。
学习目的和要求
矩阵位移法是以计算机为计算工具的现代化结构分析方法。
基于该法的结构分析程序在结构设计中得到了广泛的应用。
因此，以计算机进行结构分析是本章的学习目的。
本章的基本要求：
矩阵位移法包含两个基本环节：单元分析和整体分析。
在单元分析中，熟练掌握单元刚度矩阵和单元等效荷载的概念和形成。
熟练掌握已知结点位移后求单元杆端力的计算方法。
在整体分析中，熟练掌握结构整体刚度矩阵中元素的物理意义和集成过程，熟练掌握结构综合结点荷载的集成过程。
掌握单元定位向量的建立，支撑条件的处理。
自由式单元的单元刚度矩阵不要求背记，但要领会其物理意义，并会由它来推出特殊单元的单元刚度矩阵。
§8-1 概述
杆系结构矩阵分析又叫杆系结构的有限元法,分为矩阵力法和矩阵位移法,亦称为柔度法和刚度法。
由于矩阵位移法比矩阵力法更容易实现计算过程程序化,因而应用很广泛,故本章只讨论矩阵位移法。
矩阵位移法的内容包括以下两部分：
(1) 将整体结构分成为有限个较小的单元(在杆系结构中常把一个等截面直杆作为一个单元),即进行结构的离散化。
然后分析单元内力与位移之间的关系式,建立单元刚度矩阵,形成单元的刚度方程,称该过程为单元分析。
(2) 把各单元按结点处的变形协调条件和结点的平衡条件集合成原整体结构,建立结构刚度矩阵,形成结构刚度方程,解方程后求出原结构的结点位移和内力,称该过程为整体分析。
上述一分一合,先拆后搭的过程中,是将复杂结构的计算问题转化为简单单元的分析及集合问题。
而由
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单元刚度矩阵直接形成结构刚度矩阵是直接刚度法的核心内容。
§8-2 单元刚度矩阵
对称性 由反力互等定理可知,在单元刚度矩阵e k ⎡⎤⎣⎦中位于主斜线两边对称位置的两个元素是相
等的,故e k ⎡⎤⎣⎦是一个对称方阵。
奇异性 单元刚度矩阵e k ⎡⎤⎣⎦是奇异矩阵。
e k ⎡⎤⎣⎦的相应行列式的值为零,逆矩阵不存在。
因此,若给定了杆端位移e δ⎡⎤⎣⎦,则可以由式(10-4)确定出杆端力e F ⎡⎤⎣⎦；但是给定了杆端力e F ⎡⎤⎣⎦后,却不能由式
(10-4)反求出杆端位移e δ⎡⎤⎣⎦。
由于讨论的是一般单元(自由单元),两端设有任何支承约束,因此,杆件除了由杆端力所引起的弹性变形外,还可以具有任意的刚体位移。
§8-3 单元刚度矩阵的坐标变换
在上节中，单元刚度矩阵是建立在杆件的局部坐标系中的。
其目的是推导出的单元刚度矩阵形式最简单。
如果从整体分析的角度来考虑，对于整个结构，由于各杆轴方向不尽相同，因而各单元的局部坐标也不尽相同，很不统一。
为了便于整体分析，在考虑整个结构的几何条件和平衡条件时，必须选定一个统一的坐标系，称为结构坐标系(或整体坐标系)。
为了与局部坐标相区分，结构坐标系用xoy 表示。
为了推导结构坐标系下的单元刚度矩阵e k ⎡⎤⎣⎦，可采用坐标变换的方法，即把局部坐标系中建立的单元刚度矩阵e k ⎡⎤⎣⎦转换为结构坐标系中的e k ⎡⎤⎣⎦，为此，首先讨论两种坐标系中单元杆端力的转换式，得到
单元坐标转换矩阵；其次再讨论两种坐标系中单元刚度矩阵的转换式。
§8-4 结构的原始刚度矩阵
从本节开始进行结构的整体分析，即在单元分析的基础上，考虑各结点的几何条件及平衡条件，建立结构的刚度方程和结构刚度矩阵。
§8-5 非结点荷载的处理
结构上受到的荷载，按其作用位置的不同可分为两类：一类直接作用在结点上的称为结点荷载；另一类作用在结点之间的杆件上的称为非结点荷载。
非结点荷载不能直接用于结构矩阵分析。
但实际问题中所遇到的大部分荷载又是非结点荷载。
因此，在结构矩阵分析中，必须将非结点荷载处理为结点荷载，将其与结点荷载一并形成结构荷载列向量。
1．等效结点荷载
受有非结点荷载，可按以下两步来处理。
(1) 在具有结点位移的结点上加入附加刚臂和附加链杆以阻止所有结点的转动和移动，此时各单元将产生固端力，附加刚臂和附加链杆上产生附加反力矩和反力。
由结点的平衡可知，这些附加反力矩和反力的大小等于汇交于该结点的各单元固端力的代数和。
(2) 取消附加刚臂和链杆，相当于将上述附加反力矩和反力反号作为荷载加于结点上。
这些结点荷载称为原非结点荷载的等效结点荷载。
在等效结点荷载作用下，便可按前述方法求解。
最后，将以上两步内力叠加，即可得原结构在非结点荷载作用下的内力解答。
2．综合结点荷载
若除了非结点荷载的等效结点荷载[F Ei]外，结点上还有原来直接作用的荷载[F Di](下标“D”表示直接之意)，则总的结点荷载为
[F i]=[F Ei]+[F Di]
[F i]称为综合结点荷载。
整个结构的结点荷载列阵为
[F]=[F E]+[F D]
式中[F D]是直接结点荷载列阵，[F E]是等效结点荷载列阵。
§8-6 矩阵位移法的计算步骤及示例
通过以上的分析，可将矩阵位移法的计算步骤总结如下：
(1) 对结点、单元进行编号，选定结构坐标系及局部坐标系。
(2) 建立单元在局部坐标系中的单元刚度矩阵。
(3) 建立单元在结构坐标系中的单元刚度矩阵。
(4) 形成结构原始刚度矩阵。
(5) 计算固端力，等效结点荷载及综合结点荷载。
(6) 引入支承条件，修改结构原始刚度方程。
(7) 解刚度方程，求结点位移。
(8) 计算各单元杆端内力。
铰结点的处理
当刚架中有铰结点时，处理方法之一是像传统位移法那样，不把铰结点的转角作为基本未知量，当然这就要引用具有铰结端的单元刚度矩阵。
另一种处理方法是将各铰结端的转角均作为基本未知量求解，这样虽然增加了未知量的数目，但所有杆件都采用前述一般单元的刚度矩阵，因而单元类型统一，程序简单，通用性强。
当采用后一种处理方法时，由于在铰结点处，各杆的转角各不相等，故铰结点处的转角未知量便不止一个，因此在对结点编号时要编2个及2个以上的号，把每个铰结端都作为一个结点，而令它们的
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线位移相等，角位移则各自独立。
位移相等的则编相同的编号。
忽略轴向变形的影响
用矩阵位移法计算刚架时，亦可忽略轴向变形的影响。
由于不计轴向变形，各结点线位移不再全部独立，因而只对其独立的结点线位移予以编号，凡结点线位移相等者编号亦相同。
但当有斜杆等情况时，这样处理并不方便。
忽略轴向变形另一方便的办法是采用前面讲的一般方法（即每个结点位移分量均作为独立未知量求解），但将杆件的截面面积A输为很大的
数（例如比实际面积大104～106倍），就可得到满意的结果。
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