_2021年中考数学一轮突破 基础过关 第15讲反比例函数

第15讲反比例函数

课标要求

(1)结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式．

(2)能画出反比例函数的图像，根据图像和表达式y ＝

k

x

(k≠0)探索并理解k＞0和k＜0时，图像的变化情况．(3)能用反比例函数解决简单实际问题.

考情分析

该内容主要是以选择题、填空题、解答题的形式来考查，分值为3～12分．主要考查的内容为：(1)求解析式；(2)图象和性质；(3)反比例函数的应用；(4)k值的几何意义；(5)与反比例函数有关的综合题．这几个知识点几乎每年各地市都考，预测这几个知识点依然是2021年中考的热点，建议加强对这几个知识点的训练，力争做到题型熟练，方法掌握.

一、定义

若两个变量x，y之间可以表示成y＝________(k是常数，且k≠0)，则称y 是x的反比例函数．

二、图象

反比例函数y＝k

x(k≠0)的图象是________，它有两个分支，这两个分支分别

位于第________象限或第________象限．它们是一个中心对称图形，其对称中心是________．

注意：反比例函数的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交．

三、性质

1．当k>0时，x，y同号，图象分布在第________象限，在每个象限内，y 随x的增大而________．

2．当k<0时，x，y异号，图象分布在第________象限，在每个象限内y随x的增大而________．

四、反比例函数的应用

基本方法是建立反比例函数关系，然后运用反比例函数的性质解答．

注意：对于实际问题中的反比例函数，由于自变量x>0，其图象只有位于

第一(或第四)象限的一支曲

线.

,

反比例函数的图象和性质

(2020·桂林，第17小题，3分)

反比例函数y＝k

x(x<0)的图象如图所示，下列关于该函数图象的四个结论：

①k>0 ；

②当x<0 时，y随x的增大而增大；

③该函数图象关于直线y ＝－x 对称；

④若点(－2，3)在该反比例函数图象上，则点(－1，6)也在函数的图象上． 其中正确结论的个数有________个 .

【思路点拨】①∵反比例函数y ＝k

x (x<0)的图象在第二象限，∴k<0，错误；

②∵k>0，∴根据反比例函数图象的性质可得，在每个象限内y 随x 的增大而增大，正确；③∵反比例函数图象在第二象限，∴反比例函数y ＝k

x

(x<0)的图象关

于y ＝－x 对称，正确；④∵将点(－2，3)和(－1，6)代入反比例函数y ＝k

x (x<0)

时，k 都等于－6，∴说法成立，正确；综上所述，正确的结论有3个 .

(2019·北部湾经济区，第9小题，3分)

若点(－1，y 1)，(2，y 2)，(3，y 3)在反比例函数y ＝k

x (k ＜0)的图象上，则y 1，

y 2，y 3的大小关系是( )

A ．y 1>y 2>y 3

B ．y 3>y 2>y 1

C ．y 1>y 3>y 2

D ．y 2>y 3>y 1

(2019·贺州，第10小题，3分)

已知ab ＜0，一次函数y ＝ax －b 与反比例函数y ＝a

x 在同一直角坐标系中的

图象可能是( )

,A B )

,C

D )

【思路点拨】∵ab ＜0，∴分两种情况：①当a ＞0，b ＜0时，一次函数y ＝ax －b 过第一、二、三象限，反比例函数y ＝a

x

过第一、三象限；②当a ＜0，b ＞

0时，一次函数y ＝ax －b 过第二、三、四象限，反比例函数y ＝a

x 过第二、四象

限．综上可得答案．

(2017·贺州，第10小题，3分)一次函数y ＝ax ＋a (a 为常数，a ≠0)

与反比例函数y ＝a

x

(a 为常数，a ≠0)在同一平面直角坐标系内的图象大致为( )

,

反比例函数与一次函数综合

(2020·玉林，第18小题，3分) 已知函数y 1＝||x 与函数y 2＝

1

||

x 的部分图象如图所示，有以下结论：

①当x<0时，y 1，y 2都随x 的增大而增大； ②当x<－1时， y 1>y 2；

③y 1，y 2的图象的两个交点之间的距离是2； ④函数y ＝y 1＋y 2的最小值为2； 则所有正确的结论是________．

【思路点拨】如解图，当x< 0时，y 1＝－x ，y 2＝－1

x

，

所以y 1随x 的增大而减小，y 2随x 的增大而增大，①错误；当x<－1时，

||x ＞1

||

x ，即y 1>y 2，②正确；令y 1＝y 2 ，则x ＝±1，所以y 1与y 2图象的两个交

点之间的距离是2，③正确；y 1＋y 2 ＝ ||x ＋

1||x >0，而(||x ＋1||x )2－4||x ·1

||

x ＝(||x －1||x )2≥0，所以(||x ＋1||x )2－4≥0 .所以(||x ＋1||x )2≥4 .因为||x ＋1

||x 是正数，所以||x ＋1

||

x ≥2.因此y 1＋y 2最小值是2，④正确 .综上所述，所有正确结论的序号②③④.

(2017·河池，第16小题，3分)

如图，直线y ＝ax 与双曲线y ＝k x (x ＞0)交于点A (1，2)，则不等式ax ＞k

x 的

解集是________．

(2017·贵港，第21小题，6分)

如图，一次函数y ＝2x －4的图象与反比例函数y ＝k

x 的图象交于A ，B 两点，

且点A 的横坐标为3.

(1)求反比例函数的解析式； (2)求点B 的坐标．

【思路点拨】根据一次函数的解析式可先求出点A 的坐标，将A 的坐标代入反比例函数解析式，可求出k ；然后将两个函数解析式联立方程组求出点B 的坐标．