《弧度制》公开课教学设计【高中数学必修4(北师大版)】
北师大版高中数学必修4第一章《三角函数》弧度制
7
抽象概括
4、任意一个0°～ 360°的角的弧度数为：
0 X 2
5、弧度制的定义：用弧度做单位来度量角的
制度叫做弧度制。 6、角度与弧度可以互化：
360 2 rad ;
1
180 rad ;
180 180 1rad ( ) 57.30 5718
得出结论：当圆的半径为1个单位长度时， 圆心角所对的弧长就是一个角的弧度数。所以， 我们可以用角的弧度数来度量角的大小。
6Hale Waihona Puke 抽象概括1、1弧度的角的定义：把长度等于半径长的弧 所对的圆心角叫做1弧度的角.符号是rad。
2、正角的弧度数
负角的弧度数 零角的弧度数
正数
负数 零
3、在单位圆中，当圆心角为周角时，它所 对的弧长（即圆周长）为2 ，所以周角的 弧度数是2 。
6 4
3
2
3
4
6
2
弧度制下的角与实数建立 一一对应关系
10
弧长与扇形面积公式
1、角度制下的弧长公式 弧度制下的弧长公式
l
n r 180
lr
n r
2
2、角度制下的扇形面积公式 S扇 弧度制制下的扇形面积公式 S 扇
360
1 lr 2
11
练习
2、把下列各弧度化成角度。
（1） 2 ; 2 （ 3） ; 3
换算关系
180 rad
基本关系
180 1rad 57.30 5718 13 导出关系
作业：
课本P11习题1-3 3、7
14
1、1º 的角是怎样规定的？
规定周角的1/360叫做1度的角。
高中数学必修四《弧度制》名师教学设计
课题：1.1.2 弧度制教学设计一、教学目标知识与技能1.理解1弧度的角，弧度制的定义，熟记特殊角的弧度数；2.掌握角度与弧度的换算公式并能熟练进行角度与弧度的换算；3.了解角的集合与实数集合之间可以建立一一对应关系；4.掌握弧度制下的弧长公式，扇形的面积公式.过程与方法1.经历弧度制的探索过程，让学生从某一个简单的、特殊的情况着手，更利于教学的开展和学生思维的拓展，共同找出弧度与角度的换算方法，领悟从特殊到一般的思想.2.通过设置问题启发，发展学生观察、分析、归纳概括解决问题的方法，提高解决问题的能力.情感态度与价值观1.使学生领悟到角度制、弧度制都是角的度量制，二者虽然单位不同，但是是互相联系的、辩证统一的，进一步加强对辩证统一思想的理解，欣赏数学之美.2.使学生体会弧度制的好处，学会归纳、整理并认识到任何新知识的学习都会为我们解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣.二、教学重点、难点1.教学重点：理解弧度制意义,能进行角度制与弧度制的互化.2.教学难点：弧度制的概念及弧度与角度的换算.三、教学方法与教学手段1.教学方法：问题教学法、合作学习法.2.教学手段：多媒图片、几何画板、PPT课件.四、教学过程（一）创设情境1.师提出问题：2019年10月1日中华人民共和国成立70周年，同学们有没有看阅兵式?【设计意图】以时政热点为话题导入新课，极大地调动了学生的学习热情，而且能提高学生的参与度，对培养学生的综合能力和提升课堂效率都很有帮助.2.问题情境1：中国国土面积960万平方千米，故宫面积约1080亩；中国领海宽度12海里；中国高铁运营里程达到3万公里，位居世界第一；中国黄金储备6245盎司；中国钢铁产量超过10亿吨，连续16年位居世界第一.【设计意图】以祖国的成就设为问题情境，调动学生的学习积极性，同学们都能够感受到祖国的强大，激起同学们浓烈的爱国思想；类比研究面积、长度、质量可以选择不同的单位，不同的单位制能为我们解决问题带来方便，引出度量角的另一种单位制.3.问题情境2：回忆初中学习的锐角三角函数定义，教师引出其他版本教材有不一样的定义.提出问题：为什么有的教材将锐角的正弦、余弦、正切定义成三角比呢？请你结合高中函数的定义进行分析.【设计意图】通过引出其他版本教材有不一样的定义，利用新旧知识所蕴含的矛盾引发认知冲突一方面引出本节课的主题，另一方面学生发现问题、提出问题的能力在潜移默化中得到培养，这个问题是本节知识的切入点是引发学生思考，培养学生素养的关键.（二）探究新知，得到概念1.教师提出问题：在半径为r 的圆O 中，当B 点在圆周上运动时，你发现了什么？（教师几何画板演示）学生活动1：学生讨论后总结，弧长变大，圆心角变大，因为我们要用实数度量圆心角，所以由180r n l π=，变形得r l n ⋅π=180. 师继续追问：当半径发生变化时，你发现了什么？能不能仅用弧长或者半径来度量圆心角？（教师几何画板演示）学生活动2：学生讨论后总结，不能仅用弧长或者半径来度量圆心角的大小. 教师再总结：仅用半径和弧长中的一个量不能度量圆心角的大小，但它又与半径r 和弧长l 相关.AA 教师继续追问：同学们觉得圆心角可能会由谁的值控制？ 学生得出与rl 有关后，继续追问这个猜想合理吗？教师几何画板演示. 学生活动3：从理论上证明猜想的正确性,由弧长公式180r n l π=，稍作变形得r l n ⋅π=180，这说明当圆心角确定时，rl 就确定；r l 是随着圆心角的确定而唯一角确定.【设计意图】通过设置问题启发，发展发展学生观察、分析、归纳概括解决问题的方法，提高解决问题的能力.在探索的过程中,让学生总结归纳出当角确定时，r l 是随着圆心角的确定而唯一角确定.学生体会用r l 度量角的合理性，从而比较顺利的引出1弧度角的概念.2.教师总结：rl 来度量圆心角的大小就是今天要学习的度量角的另一种单位制——弧度制.3.定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度，单位也可以省略不写.用弧度作为角的单位制来度量角的单位制称为弧度制.（三）深入探究，理解概念1.度量角的弧度数通过度量使学生进一步感受到r l 2=时，2=α；r l 3-=时，3-=α； rl π=时，π=α；r l π=2时，π=α2；动点从点A 逆时针经过的弧长为l 则这段弧所对的圆心角为多少弧度？学生活动：得出 r l =α 教师追问：这个等式能否推广为求解任意角弧度数的一般公式呢？【设计意图】通过不断追问，引导学生得出任意角弧度数的一般公式，rl =α,并加以强调l 为动点经过的弧长.2.引入弧度制数学史，向学生介绍角度制到弧度制的跨越有千年，我们就是引用数学家的思想方法进行探究的.【设计意图】数学史的引入，将弧度制的由来置于丰富的数学文化内涵之中，进一步表明引入弧度制解决了进位制统一的问题，让学生真正感受到现实世界需要这种文化内涵以及引入弧度制的可能性.让学生感知数学家探求知识的艰难，培养学生探索科学的精神.3.推导出任意角的弧度数公式后，再去度量一个角，既可以用原有的角度制，也可以用弧度制，教师抛出问题：构建起角度与弧度互化的等式是什么呢？ 学生活动：rad 2360π=︒，rad 180π=︒师追问：用类似的方法，你能够求出特殊角的弧度数吗？rad 290π=︒，rad 360π=︒，rad 445π=︒，rad 630π=︒， rad 00=︒ 从而很顺利得出角度与弧度互化的关系式.d ra 1801π=︒rad 017450.≈； rad 1︒≈︒π=30.57)180( 用弧度制表示角时，“弧度”可略去不写.如2=α表示2弧度的角，3π就表示3π弧度的角；角度表示角时，单位“度”不能省略.【设计意图】抛出问题让学生尝试不同方法求出相应的弧度数，实现角度与弧度的换算，让学生经历弧度制的探索过程，让学生从某一个简单的、特殊的情况着手，更利于教学的开展和学生思维的拓展，共同找出弧度与角度的换算方法，领悟从特殊到一般的思想.（四）巩固新知，应用概念1.练习1：把下列角从角度化为弧度：（1）︒-210 （2）0367'︒练习2：把下列角从弧度化为角度： (1) 54π （2）5.3- 结论：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是零.这样就在任意角的集合与实数集之间建立了一一对应关系.这也是引入弧度制的意义.【设计意图】使学生领悟到角度制、弧度制都是角的度量制，二者虽然单位不同，但是是互相联系，相互统一的，更容易看清楚与实数的一一对应关系.2.教师追问：在弧度制下，你能推导出弧长公式和扇形面积公式吗？（用r 表示半径，l 表示弧长，S 表示扇形面积，α表示圆心角的弧度数）（π≤α2）（师生共同回忆初中扇形的弧长与面积公式，学生尝试推导弧度制下的公式过程） 解：弧长公式：由公式rl =||α可得：r l α=. 扇形面积公式：22212r r S α=π⋅πα=（用弧长表示扇形面积） 又因为r l α=，所以有lr S 21=（用圆心角的弧度数表示扇形面积） 【设计意图】通过对比让学生发现：在弧度制下，弧长公式和扇形面积公式简单了，这也是引入弧度制的好处.3.师生总结：回过头来再去看问题情境2：通过弧度制的学习，可以将角转化成实数，它不再是三角比，它就是真正意义上的三角函数.追问学生：我们后面将要研究什么？【设计意图】前后呼应，再一次让学生体会到引入弧度制的必要性，为我们今后学习三角函数奠定了基础.五、课堂小结：(1)1弧度的角，弧度制定义，任意角的弧度数公式rl =||α； (2)弧度制下，角的集合与实数集之间建立了一一对应关系；(3)角度制与弧度制是度量角的两种单位制，它们之间可以进行换算；(4)掌握弧度制下的弧长公式，扇形的面积公式.六、课后作业：课本第9页练习1到6题七、板书设计：八、教学设计说明通过通过时政话题创设教学情境，极大地调动了学生的关注度，积极性，拉近与学生的距离，运用几何画板课件动态演示作图过程，实施信息技术与学科课程整合教学设计，引发学生学习兴趣，从而较好地完成教学任务.几何画板动态效果的展示形成对视觉的强刺激，把通常惯用的语言描述生动形象地刻画出来，促进学生对重点难点知识的理解掌握．建构主义学习理论认为，知识不是通过教师传授获得的，而是学习者在一定的情境即社会文化背景下，利用必要的学习资料，通过意义建构的方式而获得的．本课教学设计重点是学习环境的设计，强调学生自主学习．关注学生的学习兴趣和经验，引导学生主动参与、乐于探究、培养学生处理信息的能力．本节课的设计思想中体现着由特殊到一般，由具体到抽象的化归思想．本节本人遵循由浅入深，循序渐进的原则，从学生熟悉的基本单位入手，体会不同的单位制能给解决问题带来方便引导学生去思考，寻找另一种度量角的单位制. 经历弧度制的探索过程，让学生从某一个简单的、特殊的情况着手，更利于教学的开展和学生思维的拓展，共同找出弧度与角度的换算方法，领悟从特殊到一般的思想.通过设置问题启发，发展学生观察、分析、归纳概括解决问题的方法，提高解决问题的能力 . 使学生领悟到角度制、弧度制都是角的度量制，二者虽然单位不同，但是是互相联系的、辩证统一的，进一步加强对辩证统一思想的理解，欣赏数学之美.使学生体会弧度制的好处，学会归纳、整理并认识到任何新知识的学习都会为我们解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣.同时，本课的教材也是培养学生逻辑思维能力、观察、分析、归纳等数学能力的重要素材．。
高中数学必修4弧度值教案
高中数学必修4弧度值教案
课题：弧度值
目标：学生能够掌握弧度值的概念，能够转换角度和弧度的关系
教学重点：弧度的定义，角度和弧度的转换
教学难点：角度和弧度的转换
教学准备：教材、黑板、粉笔、教学PPT
教学步骤：
一、导入（5分钟）
老师通过引导学生回顾之前学过的角度的概念，让学生思考什么是角度，并与圆相关联。
二、讲解（15分钟）
1. 弧度的定义：引导学生思考圆周角的度量方式，并介绍弧度的定义为圆周的长度等于半径的角。
2. 角度和弧度的关系：通过示意图和实际问题，让学生理解角度与弧度的转换关系。
三、练习（25分钟）
1. 让学生完成几道简单的练习题，巩固弧度的概念及与角度的转换。
2. 让学生通过实际问题应用角度和弧度的计算方法。
四、总结（5分钟）
老师带领学生总结本节课学到的知识点，并强调弧度值在数学中的重要性。
五、作业布置（5分钟）
布置作业，巩固学生对弧度值的理解和运用。
板书设计：
1. 弧度的定义：圆周的长度等于半径的角
2. 角度和弧度的关系：1弧度=180°
3. 角度和弧度的转换公式：θ(弧度)=θ(角度) × π/180
反思：
通过本节课的教学，学生对弧度值的概念有了更深入的认识，能够灵活运用角度和弧度的转换公式进行计算。
同时，本节课难度适中，但为了更好地巩固和理解弧度值的知识，可以设计更多场景化的问题，提高学生的实际运用能力。
高中数学必修四《弧度制》名师教学设计
《弧度制》教学设计一、【内容解读与教学定位】《弧度制》是高中数学苏教版数学必修4中§1.1.2的课程内容，其引入了一种新的角的度量方法弧度制，承接于《任意角的概念》，为扩充后的角度提供了一个更为方便的表示方法，同时也为后面的三角函数的知识打下基础，具有重要的战略意义。
同时建立了角的集合和实数集的一一对应关系，发展学生数学抽象和直观想象素养，学会用数学思维分析问题，发展逻辑推理和数学运算素养。
二、【学生学情分析】1、学生的知识储备是角度制，刚刚学完角度的扩充，对于角度的范围有了新的认识，并且对于角度制有很好的理解和记忆，那我们现在要引入弧度制，那么就需要让学生理解为什么要引入弧度制，非常的必要，不然从感情上学生就不会接受弧度制，因为这是一个外来者，首要必须解决“为什么”的问题。
2、学生普遍缺乏创造性思维，希望他们理解弧度制不是与生俱来的，是被人创造出来的，让他们自己去探索弧度制的发现过程，可以更好得理解弧度制的概念，也就是弧度制“是什么”。
3、学生对于新事物的接受，理解和熟练需要时间，所以这里需要帮助他们解决弧度与角度的转化问题，也就是“如何化”，以及弧度制“怎么用”的问题。
三、【学习目标与教学重、难点】1、知识目标：(1)“为什么”——为什么要引入弧度制，理解引入弧度制的必要性；(2)“是什么”——弧度是什么，理解弧度的定义；(3)“如何化”——如何进行弧度与角度的转化，掌握弧度与角度之间的相互转化；（4）“怎么用”——如何使用弧度制，学会使用弧度制下的新的弧长与扇形面积公式解题。
2、能力目标：让学生经历一个新事物从思考到提出的过程和其意义，培养学生的创新意识，只有创新才是进步的源动力。
【教学重点】：.理解弧度“是什么”；学会弧度与角度之间“如何化”；学会新的弧度制来计算弦长和面积“怎么用”。
【教学难点】：.理解“为什么”要引入弧度制；理解弧度“是什么”。
四、【教学策略分析】本节课围绕在学情分析中的4个问题来进行策略分析：1、“为什么”（为什么要引入弧度制？）学生对于角度制的熟悉程度是非常之深，熟悉的事物总是会有感情，对于新的弧度制一定会有一些排斥。
高中数学必修四《弧度制》教学设计
苏教版必修4第一章三角函数1.1任意角和弧度制第二课时弧度制江苏省盐城中学何莹《弧度制》教学设计深入挖掘数学学科的核心价值，树立以发展学生数学学科核心素养为导向的教学意识，将数学学科核心素养的培养贯穿于教学活动的全过程——这是我教学设计的根本宗旨．本节课教学的重点就是弧度制概念．一．教学内容解析弧度制在本章的位置：本节知识结构：《弧度制》是必修4第一章第一节第二课时的内容，教学重点是弧度制的概念．本节内容起着承上启下的作用，在弧度制下，任意角的集合和实数集建立起一一对应的关系，为三角函数奠定基础．二．教学目标设置首先，理解1弧度的角及弧度制的定义；掌握角度和弧度的换算公式；了解角的集合和实数集之间一一对应的关系；理解并掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，会利用弧度制解决某些简单的实际问题．其次，以本节数学知识作为载体，为渗透类比的思想、转化化归的思想及数形结合的思想，还有提高学生数学抽象，逻辑推理，直观想像，数学运算和数据分析能力都提供了很好的契机．另外，探究新概念时，树立敢于质疑，善于思考，严谨求实的科学精神；从进制的不统一，认知的冲突引入新的度量制的必要性；从度量的角度引导学生探究从测量长度去度量角，并让学生感受到角的大小仅仅只与弧长和半径的比有关，与半径大小无关，理解弧度制的合理性；推导弧长公式，扇形的面积公式和角与实数的对应，认识到弧度制的优越性；同时，培养学生自主学习习惯，增强同学间相互交流的意识，取长补短，形成良好课堂学习氛围，达到学生主动、全面、健康发展．三．学生学情分析学生已有知识储备上，其一学生熟知角度制，其二学生能体会不同的单位制会给解决问题带来方便，其三学生已经学习了任意角的概念，这是本节课的知识基础．能力上，学生经过高中半个学期的数学思维训练，已经具有一定的学习能力和探索意识，本节课要学习和探究的内容都在学生的最近发展区内．弧度制的概念教学是重点也是难点，在概念的教学中引导学生分析概念生成的必要性、合理性、优越性．四．教学方法分析本节课采用问题驱动式教学，学生探究与教师讲授相结合，结合多媒体辅助教学，提出问题引发学生探究性思维活动，使学生在思考、讨论、交流中经历每个知识点的产生和发展过程．五．教学过程设计分为以下四个教学环节：（一） 创设情境1.角的研究，回顾角度制．设计意图：有人提出，60进制的角度制给运算带来不便，考虑给出新的度量角的单位制度．给出弧度制引入的必要性． 2.角的大小的测量思考1：角的概念推广后，我们如何去测量一个角？问１：测量一个角的大小，除量角器外还能用的工具是什么?问2：能用直尺（有刻度）测量一个角吗？用直尺测量角———用一条线段长来刻画（表示）一个角．设计意图：从测量的角度去引发学生的思考：最简单有效的工具是直尺，用直尺只能量线段的长，如何构造一条线段去刻画角的大小？（二）新课导入----弧度制的建构思考2：用来表示角的大小的这条线段怎样去构造？ 问1:它的两个端点如何选择？问2：这条线段的两个端点都在角的一条边上选显然是不行的，一定是在两条边上各取一点，怎样选呢？（以60角为例）问3：在两条边上，距角的顶点等距离的地方选两点．设计意图：让学生进行一系列尝试，找到初步符合要求的线段．问4：这种方法对于锐角而言可以建立起一一对应，即每一个锐角的大小都可以用对应的线段长之比刻画.对于任意角可行吗？问5：对于1200和2400的这两个角，相对应的线段长是一样的？对于00、3600等终边相同的角，它们对应的线段都一样？设计意图：在肯定部分学生尝试的合理性的同时，引导学生发现其局限性，引发认知冲突，激发学生进一步探究的欲望．思考3：用线段来刻画任意角的大小是不行的，那么用什么量才能反映任意角的大小？问1：能否利用弧线？为什么？问2：角的动态生成过程中，射线上任意一点（顶点除外）绕端点旋转都可以生成一段弧，仅仅利用弧长能否准确刻画角的大小呢？ 学生猜想用弧长与半径的比来刻画角的大小 设计意图：放手让学生探究、尝试，引导学生从角的动态生成过程中观察、抽象，找到“弧线”来刻画角的大小，引导学生利用弧长与半径的比来刻画角的大小． 问3：能否给出你的猜想一个合理的解释呢? 从180n rl p =出发得到180l n r p =?由此可知，弧长与半径的比决定圆心角的大小，欧拉提出：用圆的半径作单位去度量弧．设计意图：给出弧度制的合理性，同时渗透数学史． 思考4:如何定义这种度量角的制度？问:类比角度制，能否给出1弧度角的定义，得出弧度制的相关概念． 设计意图：让学生尝试、完善用准确的数学语言描述数学概念．（三）探索新知，数学运用1.弧度制的相关概念规定：1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角，记作1rad.用弧度作为单位来度量角的单位制叫弧度制．设计意图：明确给出1弧度角的定义．让学生直观感受1弧度角的大小,了解角度的单位不能省略，弧度的单位可以省略；初步感受弧度制下角与实数的对应．2.总结角度与弧度的互化，明确核心公式180π=，以及变形公式：10.01745180rad rad π=≈180157.3rad π=≈练习：特殊角的度数与弧度数的对应表：弧度制下，任意角的集合和实数集建立了一一对应的关系，即每个角都有唯一的实数与它对应，同时每个实数也都有唯一的一个角与它对应。
北师大版高中数学必修4-1.3《弧度制》参考教案1
§3 弧度制一、教学目标：1、知识与技能：（1）理解1弧度的角及弧度的定义；（2）掌握角度与弧度的换算公式；（3）熟练进行角度与弧度的换算；（4）理解角的集合与实数集R之间的一一对应关系；（5）理解并掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，并能灵活运用这两个公式解题。
2、过程与方法：通过单位圆中的圆心角引入弧度的概念；比较两种度量角的方法探究角度制与弧度制之间的互化；应用在特殊角的角度制与弧度制的互化，帮助学生理解掌握；以针对性的例题和习题使学生掌握弧长公式和扇形的面积公式；通过自主学习和合作学习，树立学生正确的学习态度。
3、情感态度与价值观：通过弧度制的学习，使学生认识到角度制与弧度制都是度量角制度，二者虽单位不同，但却是相互联系、辩证统一的；在弧度制下，角的加、减运算可以像十进制一样进行，而不需要进行角度制与十进制之间的互化，化简了六十进制给角的加、减运算带来的诸多不便，体现了弧度制的简捷美；通过弧度制与角度制的比较，使学生认识到引入弧度制的优越性，激发学生的学习兴趣和求知欲望，养成良好的学习品质。
二、教学重、难点重点: 理解弧度制的意义，正确进行弧度与角度的换算；弧长和面积公式及应用。
难点: 弧度的概念及与角度的关系；角的集合与实数之间的一一对应关系。
三、学法与教法在初中，我们非常熟悉角度制表示角，但在进行角的运算时，运用六十进制出现了很不习惯的问题，与我们常用的十进制不一样，正因为这样，所以有必要引入弧度制；在学习中，通过自主学习的形式，让学生感受弧度制的优越性，在类比中理解掌握弧度制。
教法:探究讨论法。
四、教学过程（一）、创设情境，揭示课题在初中几何里我们学过角的度量，当时是用度做单位来度量角的．我们把周角的3601规定为1度的角，而把这种用度作单位来度量角的单位制叫做角度制．但在数学和其他科学中我们还经常用到另一种度量角的单位制——弧度制。
下面我们就来学习弧度制的有关概念．(板书课题)弧度制的单位是rad ，读作弧度．（二）、探究新知1．1弧度的角的定义．(板书)我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角，叫做1弧度的角(打开课件)．如图1—12(见教材)，弧AB 的长等于半径r ，则弧AB 所对的圆心角就是1弧度的角，弧度的单位记作rad 。
(北师大版)高中数学必修四：1.3《弧度制》教案(2)
弧度制教学目的：1.理解1弧度的角、弧度制的定义2.掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算3.熟记特殊角的弧度数教学重点：使学生理解弧度的意义，正确地进行角度与弧度的换算.教学难点：弧度的概念及其与角度的关系授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪内容分析：讲清1弧度角的定义，使学生建立弧度的概念，理解弧度制的定义，达到突破难点之目的通过电教手段的直观性，使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性、可行性.通过周角的两种单位制的度量，得到角度与弧度的换算公式使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但是互相联系的、辩证统一的.进一步加强对辩证统一思想的理解教学过程： 一、复习引入：1．角的概念的推广⑴“旋转”形成角一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到另一位置OB ，就形成角α．旋转开始时的射线OA 叫做角α的始边，旋转终止的射线OB 叫做角α的终边，射线的端点O 叫做角α的顶点．⑵．“正角”与“负角”“0角”我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA 为2．度量角的大小第一种单位制—角度制的定义初中几何中研究过角的度量，当时是用度做单位来度量角，1°的角是如何定义的？ 规定周角的3601作为1°的角，我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制，有了它，可以计算弧长，公式为180rn l π=3．探究30°、60°的圆心角，半径r 为1，2，3，4，分别计算对应的弧长l ，再计算弧长与半径的比结论：圆心角不变，则比值不变，因此比值的大小只与角的大小有关，我们可以利用这个比值来度量角，这就是另一种度量角的制度——弧度制一样有不同的方法，千米、米、厘米与丈、尺、寸，反映了事物本身不变，改变的是不同的观察、处理方法，因此结果就有所不同用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0） 用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同二、角度制与弧度制的换算：rad rad 01745.0180≈π'185730.571801=≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad三、讲解范例：例1 把'3067化成弧度解：⎪⎭⎫⎝⎛=2167'3067∴ rad rad ππ832167180'3067=⨯=例2 把rad π53化成度解：1081805353=⨯=rad π注意几点：1．度数与弧度数的换算也可借助“计算器”进行；2．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略 如：3表示3rad ，表示角的正弦；3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住：4．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系任意角的集合 实数集R例3用弧度制表示：1 终边在x 轴上的角的集合2 终边在y 轴上的角的集合3 终边在坐标轴上的角的集合解：1 终边在x 轴上的角的集合 {}Z k k S ∈==,|1πββ 2 终边在y 轴上的角的集合 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k S ,2|2ππββ 3 终边在坐标轴上的角的集合 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==Z k k S ,2|3πββ 四、课堂练习：1.下列各对角中终边相同的角是( )A.πππk 222+-和（ｋ∈Ｚ） B.－3π和322πC.－97π和911πD. 9122320ππ和2.若α＝－3，则角α的终边在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.若α是第四象限角，则π－α一定在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 4.(用弧度制表示)第一象限角的集合为 ，第一或第三象限角的集合为 . 5.7弧度的角在第 象限，与7弧度角终边相同的最小正角为 . 6.圆弧长度等于截其圆的内接正三角形边长，则其圆心角的弧度数为 .7.求值：2cos4tan6cos6tan3tan3sinππππππ-+.8.已知集合Ａ＝｛α｜2ｋπ≤α≤π＋2ｋπ，ｋ∈Ｚ｝，B ＝｛α｜－4≤α≤4｝，求A ∩B. 9.现在时针和分针都指向12点，试用弧度制表示15分钟后，时针和分针的夹角. 参考答案：1.C2.C3.C4.｛α｜2k π＜α＜2π＋2k π，k ∈Z } ｛α｜k π＜α＜2π＋k π，k ∈Z ｝ 5.一 7－2π 6.3 7.28.A ∩B ＝｛α｜－4≤α≤－π或0≤α≤π｝ 9.2411π五、小结 1．弧度制定义 2．与弧度制的互化 2.特殊角的弧度数 六、课后作业：已知α是第二象限角，试求： (1)2α角所在的象限；(2)3α角所在的象限；(3)2α角所在范围.解：(1)∵α是第二象限角,∴2π+2k π<α<π+2k π,k ∈Z,即4π+k π<2α<2π+k π,k ∈Z.故当k=2m(m ∈Z)时，4π+2m π<2α<2π+2m π,因此，2α角是第一象限角；当k=2m+1(m ∈Z)时，45π+2m π<2α<23π+2m π,因此，2α角是第三象限角. 综上可知，2α角是第一或第三象限角.(2)同理可求得：6π+32k π<3α<3π+32k π,k ∈=3m(m ∈Z)时，ππαππm m 23326+<<+,此时，3α是第一象限角；当k=3m+1(m ∈Z)时，πππαπππ322333226++<<++m m ，即3265αππ<+m <π+2m π,此时，3α角是第二象限角；当k=3m+2(m ∈Z)时，ππαππm m 2353223+<<+,此时，3α角是第四象限角. 综上可知，3α角是第一、第二或第四象限角. (3)同理可求得2α角所在范围为：π+4k π<2α<2π+4k π,k ∈Z.评注：(1)注意某一区间内的角与象限角的区别.象限角是由无数个区间角组成的，例如0°<α<90°这个区间角，只是k=0时第一象限角的一种特殊情况.(2)要会正确运用不等式进行角的表达，同时会以k 取不同值，讨论形如θ=α+32k π(k ∈Z)所表示的角所在象限.(3)对于本例(3)，不能说2α只是第一、二象限的角，因为2α也可为终边在y 轴负半轴上的角23π+4k π(k ∈Z),而此角不属于任何象限. 七、板书设计（略）。
1.3【教学设计】《弧度制 》(北师大)
《弧度制》◆教材分析教科书首先通过类比引出弧度制，给出1弧度的定义，然后通过探究得到弧度数的绝对值公式，并得出弧度与角度的换算方法。
在此基础上，通过具体的例子，巩固所学的概念和公式，在探究和解决问题的过程当中，更好地形成弧度的概念，建立角的集合与实数集的一一对应关系，为学习任意角的三角函数奠定基础。
◆教学目标【知识与能力目标】理解弧度的意义；了解角的集合与实数集R之间的可建立起一一对应的关系；熟记特殊角的弧度数。
【过程与方法目标】能正确地进行弧度与角度之间的换算，能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式，并能运用公式解决一些实际问题。
【情感态度价值观目标】通过新的度量角的单位制(弧度制)的引进，培养学生求异创新的精神；通过对弧度制与角度制下弧长公式、扇形面积公式的对比，让学生感受弧长及扇形面积公式在弧度制下的简洁美。
重点：弧度的概念，弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明。
难点：“角度制”与“弧度制”的区别与联系。
电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。
一、复习角度制：初中所学的角度制是怎样规定角的度量的？规定把周角的1360作为1度的角,用度做单位来度量角的制度叫做角度制。
二、新课：1、引入：由角度制的定义我们知道,角度是用来度量角的, 角度制的度量是60进制的,运用起来不太方便。
在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？2、定义：我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制。
在弧度制下, 1弧度记做1rad 。
在实际运算中，常常将rad 单位省略。
3、思考：（1）一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是否是确定的？与圆的半径大小有关吗？（2）引导学生完成P 6的探究并归纳：弧度制的性质：①半圆所对的圆心角为rr ππ= ②整圆所对的圆心角为22r rππ= ③正角的弧度数是一个正数。
④负角的弧度数是一个负数。
18学年高中数学第一章三角函数3弧度制教学案北师大版必修4
3 弧度制[核心必知]1．度量角的单位制 (1)角度制规定周角的1360为1度的角，用度作为单位度量角的单位制叫角度制．(2)弧度制在以单位长为半径的圆中，单位长度的弧所对的圆心角称为1弧度的角，它的单位符号是rad ，读作弧度．这种以弧度作单位度量角的单位制，叫作弧度制．2．角度与弧度的互化(1)角度制与弧度制的互化(换算) 180°＝π_rad ；1°＝π180 rad ＝0.017 45 rad ；1 rad ＝180°π＝57°18′＝57.30° (2)特殊角的度数与弧度数的对应表任一正角的弧度数都是一个正数；任一负角的弧度数都是一个负数；零角的弧度数是0． 3．扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为r ，弧长为l ，α为其圆心角，则1．半径不同的圆中，相同的圆心角所对的角的弧度数是否相同？提示：相同．在公式|α|＝l r中，角的弧度数的大小与所在圆的半径的大小无关，只与圆心角的大小有关．2．2°与2弧度的角是否表示同一个角？提示：不是同一个角.2°是角度制，2是弧度制，2 rad 约为115°. 3．390°可以写成360°＋π6吗？提示：不可以，在同一表达式中角度与弧度不能混用．讲一讲1．(1)把112°30′化为弧度；(2)－5π12 rad 化为度．[尝试解答] (1)∵1°＝π180rad ，∴112°30′＝112.5°＝112.5×π180 rad ＝5π8 rad.(2)∵1 rad ＝⎝⎛⎭⎪⎫180π°，∴－5π12 rad ＝－5π12×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝－75°.1．将角度制化为弧度制，当角度制中含有“分”“秒”单位时，应先将它们统一转化为“度”，再利用1°＝π180rad 化为弧度便可．2．以弧度为单位表示角时，常把弧度写成多少π的形式，如无特殊要求，不必把π写成小数．练一练1．将下列角度与弧度互化． (1)20°； (2)11π12；(3)8 rad解：(1)20°＝20×π180＝π9，(2)11π12＝1112×180°＝165°.(3)8 rad ＝8×⎝⎛⎭⎪⎫180π°≈8×57.30°＝458.40°.讲一讲2．把下列角化成2k π＋α(0≤α<2π，k ∈Z )的形式，指出它是第几象限角并写出与α终边相同的角的集合．(1)－46π3； (2)－1 485°.[尝试解答] (1)－46π3＝－8×2π＋2π3，它是第二象限角，与2π3终边相同的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋2π3，k ∈Z . (2)－1 485°＝－5×360°＋315°＝－10π＋7π4，它是第四象限角，与7π4终边相同的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋7π4，k ∈Z .用弧度制表示角的集合时应注意：(1)利用弧度制与角度制之间的关系将有关角化为弧度数； (2)π的倍数是偶数，α的范围是[0，2π) (3)在表示角的集合时要使用统一的度量单位． 练一练2．(1)用弧度表示终边落在x 轴的非正、非负半轴上，y 轴的非正、非负半轴上，x 轴上，y 轴上的角的集合；(2)用弧度表示第一、二、三、四象限角的集合． 解：(1)终边落在x 轴的非正半轴上的角的集合为 {β|β＝2k π＋π，k ∈Z }；终边落在x 轴的非负半轴上的角的集合为 {β|β＝2k π，k ∈Z }；终边落在y 轴的非正半轴上的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪⎪β＝2k π＋3π2，k ∈Z ； 终边落在y 轴的非负半轴上的角的集合为 {β|β＝2k π＋π2，k ∈Z }；所以，终边落在x 轴上的角的集合为{β|β＝k π，k ∈Z }； 终边落在y 轴上的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪⎪β＝k π＋π2，k ∈Z . (2)第一象限角为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪⎪2k π<β<2k π＋π2，k ∈Z ；第二象限角为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪⎪2k π＋π2<β<2k π＋π，k ∈Z ；第三象限角为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪⎪2k π＋π<β<2k π＋3π2，k ∈Z ；第四象限角为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪⎪2k π＋3π2<β<2k π＋2π，k ∈Z .讲一讲3．(1)已知扇形的半径为1 cm ，圆心角为30°，求扇形的弧长和面积． (2)已知扇形的周长为6 cm ，面积为2 cm 2，求扇形圆心角的弧度数． [尝试解答] (1)∵α＝30°＝π6，∴l ＝|α|×r ＝π6×1＝π6(cm)S ＝12|α|×r 2＝12×π6×12＝π12(cm 2)故扇形的弧长为π6 cm ，面积为π12cm 2.(2)设扇形的弧长为l ，所在圆的半径为r ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝6，12lr ＝2，消去l 并整理得，r 2－3r ＋2＝0， 解得r ＝1或r ＝2.当r ＝1时，l ＝4，圆心角α＝l r ＝41＝4；当r ＝2时，l ＝2，圆心角α＝l r ＝22＝1.故扇形的圆心角为1弧度或4弧度．1．涉及扇形的周长、弧长、圆心角和面积等的计算，关键是要弄清题目中已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程组解决．2．解题过程中，常常用到方程的思想及等价转化的思想． 练一练3．扇形的周长C 一定时，它的圆心角θ取何值才能使该扇形的面积S 最大，最大值是多少？ 解：设扇形的半径为R ，则扇形的弧长为C －2R ， ∵S ＝12(C －2R )×R ＝－R 2＋C 2R＝－(R －C4)2＋(C4)2， ∴当R ＝C4，即θ＝C －2R R ＝2时，扇形有最大面积C 216.用弧度表示终边落在图中的阴影部分内的角的集合如图(不包括边界角)．[错解] (1)图①中，S 1＝{θ|2k π＋330°<θ<2k π＋75°，k ∈Z }； (2)图②中，S 2＝{θ|2k π＋225°<θ<2k π＋135°，k ∈Z }；(3)图③中，S 3＝{θ|2k π＋30°<θ<2k π＋90°或2k π＋210°<θ<2k π＋270°，k ∈Z }． [错因] 上面解答犯了两个错误：一是角的大小没分清，如(1)中330°>75°，(2)中，225°>135°，其实写出的集合S 1，S 2中不含任何元素；二是角度与弧度在同一表达式中混用．[正解] (1)图①中以OB 为终边的角为330°，可看成为－30°，化为弧度，即－π6，而75°＝75×π180＝5π12，∴所求集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪2k π－π6<θ <2k π＋5π12，k ∈Z .(2)图②中以OB 为终边的角225°，可看成是－135°，化为弧度，即－3π4，而135°＝3π4，∴所求集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪2k π－3π4<θ<2k π＋3π4，k ∈Z .(3)图③中，∵30°＝π6，210°＝7π6，∴所求集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪2k π＋π6<θ<2k π＋π2，k ∈Z ∪ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪2k π＋7π6<θ<2k π＋3π2，k ∈Z ， 即⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪2k π＋π6<θ<2k π＋π2，k ∈Z ∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪（2k ＋1）π＋π6<θ<（2k ＋1）π＋π2，k ∈Z . 即⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪k π＋π6<θ<k π＋π2，k ∈Z .1．下列说法不正确的是( )A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同制度B ．1度的角是圆周的1360所对的圆心角，1弧度的角是圆周的12π所对的圆心角C ．根据弧度的定义，180°一定等于π radD ．不论是用角度制还是弧度制度量角，它们都与圆的半径长短有关解析：选D 根据角、弧度的定义，可知无论角度制还是弧度制，角的大小都与圆的半径长短无关，而与弧长与半径的比值有关，所以D 错误．2．若α＝1 920°，则该角的弧度数为( ) A.163 B.323 C.16π3 D.32π3解析：选D ∵1°＝π180弧度，∴1 920°＝1 920×π180 rad ＝32π3 rad.3．－29π12的终边所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D －29π12＝－2π－5π12，因为－5π12是第四象限角，所以－29π12是第四象限角．4．已知半径为10 cm 的圆上，有一条弧的长是40 cm ，则该弧所对的圆心角的弧度数是________．解析：由l ＝|α|×r ，得弧度数为4. 答案：45．已知一扇形的圆心角是72°，半径为20 cm ，则扇形的面积是________． 解析：设扇形的弧长为l . ∵72°＝72×π180 rad ＝2π5 rad ，∴l ＝|α|×r ＝2π5×20＝8π(cm)，∴S ＝12lr ＝12×8π×20＝80π(cm 2)．答案： 80π cm 26．(1)把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α<2π； (2)若β∈[－4π，0]，且β与(1)中α的终边相同，求β. 解：(1)∵－1 480°＝－1 480π180＝－74π9＝－10π＋16π9，又0≤16π9<2π，∴－1 480°＝16π9－2×5π＝16π9＋2×(－5)π.(2)由(1)可知α＝16π9.∵β与α终边相同，∴β＝2k π＋16π9，k ∈Z .又∵β∈[－4π，0]，令k ＝－1，则β＝－2π9，令k ＝－2，则β＝－20π9，∴β的值是－2π9，－20π9.一、选择题1．下列命题中，真命题是( ) A ．1弧度是1度的圆心角所对的弧 B ．1弧度是长度为半径的弧 C ．1弧度是1度的弧与1度的角之和D ．1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角 解析：选D 由弧度制定义知D 正确． 2．α＝－2 rad ，则α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 解析：选C ∵－π<－2<－π2，∴α的终边落在第三象限，故选C. 3．时钟的分针在1时到3时20分这段时间里转过的弧度数为( ) A.14π3 B ．－14π3C.7π18 D ．－7π18解析：选B 显然分针在1时到3时20分这段时间里，顺时针转过了213周，其弧度数为－(2π×73)＝－14π3rad.4．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋（－1）k×π2，k ∈Z ，B ＝错误!⎭⎪⎬⎪⎫2k π＋π2，k ∈Z ，则集合A 与B 之间的关系为( )A ．AB B ．A BC ．A ＝BD ．A ∩B ＝∅解析：选C 对于集合A ，当k ＝2n (n ∈Z )时，x ＝2n π＋π2，当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，x ＝2nπ＋π－π2＝2n π＋π2∴A ＝B ，故选C. 二、填空题5．在半径为2的圆内，弧长为2π3的圆心角的度数为________．解析：设所求的角为α，角α＝2π32＝π3＝60°.答案：60°6．终边落在直线y ＝x 上的角的集合用弧度表示为S ＝________．解析：S ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝π4＋2k π，k ∈Z ∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝5π4＋2k π，k ∈Z＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝π4＋2k π，k ∈Z ∪{α|α＝π4＋(2k ＋1)π，k ∈Z }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝π4＋n π，n ∈Z .答案：{α|α＝π4＋n π，n ∈Z }7．已知θ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k π＋（－1）k ×π4，k ∈Z ，则角θ的终边所在的象限是________． 解析：当k 为偶数时，α＝2n π＋π4，终边在第一象限；当k 为奇数时，α＝(2n ＋1)π－π4＝2n π＋34π，终边在第二象限．答案：第一、二象限8．已知扇形的面积为25，圆心角为2 rad ，则它的周长为________． 解析：设扇形的弧长为l ，半径为r ， 则由S ＝12αr 2＝25，得r ＝5，l ＝αr ＝10，故扇形的周长为20. 答案：20 三、解答题9．用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在图中的阴影部分内的角的集合(不包括边界)．解：(1)图①中，以OA 为终边的角为π6＋2k π(k ∈Z )；以OB 为终边的角为－2π3＋2k π(k ∈Z )．∴阴影部分内的角的集合为{α|－2π3＋2k π<α<π6＋2k π，k ∈Z }．(2)图②中，以OA 为终边的角为π3＋2k π，k ∈Z ；以OB 为终边的角为2π3＋2k π，k ∈Z .不妨设右边阴影部分所表示集合为M 1，左边阴影部分所表示集合为M 2， 则M 1＝{α|2k π<α<π3＋2k π，k ∈Z }，M 2＝{α|2π3＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z }． ∴阴影部分所表示的集合为：M 1∪M 2＝{α|2k π<α<π3＋2k π，k ∈Z }∪{α|2π3＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z }＝{α|2k π<α<π3＋2k π或2π3＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z }．- 11 - 10．如图，动点P ，Q 从点A (4，0)出发，沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求P ，Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P ，Q 点各自走过的弧长．解：设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t s ，则t ×π3＋t ×|－π6|＝2π，所以t ＝4(s)，即P ，Q 第一次相遇时所用的时间为4 s .如图，设第一次相遇点为C ，第一次相遇时已运动到终边在π3×4＝4π3的位置，则x c ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫4×12＝－2，y c ＝－42－22＝－23，所以C 点的坐标为(－2，－23)．P 点走过的弧长为4π3×4＝16π3， Q 点走过的弧长为2π3×4＝8π3.。
高中数学必修四(北师大版)第一章学案 弧度制
403弧度制班级姓名组号编写人：程忠虎审核人：王松涛【学习目标】1、理解1弧度的定义和弧度制的概念，体会弧度制定义的合理性；2、掌握弧度与角度的互化，理解角的集合与实数集R间建立的一一对应关系；3、掌握弧度制下的弧长公式与扇形面积公式。
【学习重点】弧度制概念的理解，弧度与角度的互化。
【学习难点】弧度制的建立与应用。
【学习过程】一、预习自学（预习教材p9-p12）思考1：半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对的弧长和半径之比有什么特征？利用什么量表示这一特征？思考2：单位圆中，长度为1的狐与半径的比是多少？如何描述该狐所对圆心角的大小？如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l,那么a的弧度数是多少?思考3:课本表1-3是怎样得到的？你会转化吗？试举一例说明。
思考4: 利用弧度制证明下列关于扇形的公式:(1)l Rα=;(2)212S Rα=;(3)12S lR=.（其中R是半径,l是弧长,(02)ααπ<<为圆心角,S是扇形的面积）【知识自测】填写新学案P4-P5“知识梳理”相关内容二、合作探究问题1: 圆O的半径为2, AB的长等于4,AOC∠=-90°,AOC∠和BOC∠的弧度数.问题2；(弧度与角度之间的互化)(1)18°=_________; (2)6730'︒=_______; (3)310πrad =________; (4)2rad =________. 问题3:已知1570α=-︒,2750α=︒,145πβ=,23πβ=-. (1) 将12,αα用弧度表示出来,并指出它们是第几象限角；(2) 将12,ββ用角度表示出来,并在7200-︒︒ 之间找出与它们终边相同的角.问题4:(弧长公式、扇形面积公式的应用): 解下列各题： (1) 已知扇形的圆心角为32rad ,半径为6cm ,求扇形的周长。
(2) 已知扇形的周长为8cm , 圆心角为2rad,求扇形的面积三、当堂检测——新学案p5:自主测评四．学习小结1、本节学习收获2、弧度制与角度制有何不同？。
北师大版数学高一必修4教学设计1.3弧度制
例2把45°化成弧度.
解:45°= ×45rad= rad.
例3把 rad化成度.
解: rad= ×180°=108°.
例4将下列用弧度制表示的角化为2kπ+α〔k∈Z,α∈［0,2π)〕的形式,并指出它们所在的象限:①- ;② ;③-20;④-2 .
活动:本题的目的是让学生理解什么是终边相同的角,教师给予指导并讨论归纳出一般规律.即终边在x轴、y轴上的角的集合分别是:{β|β=kπ,k∈Z},{β|β= +kπ,k∈Z}.第一、二、三、四象限角的集合分别为:
由上表可知,如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l,那么α的弧度数的绝对值是 这里,应当注意从数学思想的高度引导学生认识“换算”问题,即角度制、弧度制都是角的度量制,那么它们一定可以换算.推而广之,同一个数学对象用不同方式表示时,它们之间一定有内在联系,认识这种联系性也是数学研究的重要内容之一.
解:由已知,得7θ=2kπ+θ,k∈Z,即6θ=2kπ.∴θ= .
又∵0＜θ＜2π,∴0＜ ＜2π.
∵k∈Z,当k=1、2、3、4、5时,θ= 、 、π、 、
点评:本题是在一定的约束条件下,求与角α终边相同的角,一般地,首先将这样的角表示为2kπ+α〔k∈Z,α∈［0,2π)〕的形式,然后在约束条件下确定k的值,进而求适合条件的角.
根据弧度制的定义:我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作一弧度的角.对照各项,可知D为真命题.
答案:D
点评:本题考查弧度制下角的度量单位:1弧度的概念.
变式训练
下列四个命题中,不正确的一个是()
A.半圆所对的圆心角是πrad
B.周角的大小是2π
C.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
高中数学 1.3.1弧度制学案 北师大版必修4
班级_______姓名________层次______1.3.1弧度制寄语：珍惜每一分钟，创造高效课堂！一、学习目标：1、理解1弧度的角及弧度制的定义.2、掌握角度与弧度的换算公式，理解角的集合与实数集合R 之间一一对应的关系.3、理解并掌握弧度制下的弧长公式、扇形的面积公式，并能灵活运用这两个公式解题. 二、学习重点：理解弧度制的意义，正确进行弧度与角度的换算.学习难点：弧长的概念及与角度的关系；角的集合与实数之间一一对应的关系，弧度制的运用.三、知识链接：1、角可以分为 、 、 .2、β 与α是终边相同的角⇔β= ____.3、在直角坐标系中，写出终边落在x 轴上角的集合___________________.写出终边落在y轴上角的集合___________________. 4、初中我们所学的0°～360°的角所对应的弧长公式 从中可以看出在一个给定半径的圆中， 和 是一一对应的.四、学习过程：1、仔细观察课本第9页的表格不难发现：当半径不同时，同样的圆心角所对的弧长与半径的比是______.我们称这个常数为该角的_______.特别地，当半径和弧长都为1时，那么弧长与半径的比值为 因此在单位圆中1弧度角的定义为： .它的单位符号是 ，读作弧度.在单位圆中，当圆心角为周角时，它所对的弧长为 ，所以圆周角的弧度数是_______.因此，任意一个0360oo:的角的弧度数必然适合不等式 .2、角度和弧度之间的互化：360°= __rad; =πrad; 1°= rad ≈ rad1rad=（ ）°≈ = . 完成下表（并掌握熟练）：、一般地，任一正角的弧度数是一个 ，任一负角的弧度数是一个 ，零角的弧度数是 ，这种以_____作为单位来度量角的单位制叫作弧度制.4、设r 是圆的半径，L 是圆心角α所对的弧长，由弧度的定义可知，角α绝对值满足 ，即 .采用角度制时的相应公式为 . 5、角的概念推广以后，不论用角度制还是弧度制，都能在角与实数之间建立一种 的对应关系.6、弧度制和角度制的主要区别是什么？五、基础练习（B ）1、把45o化为弧度=______rad. （B ）2、把35rad π化为角度=________，是第___象限角. （B ）3、下列说法正确的是（ ）A 、一弧度是一度的圆心角所对的弧.B 、一弧度是长度为半径的弧.C 、一弧度是一度的弧与一度的角之和.D 、一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位. (B)4、把下列各角从度化成弧度.(1) 135o(2) 90o(3) 60o(B)5、求下列各式的值. (1) sin3π (2) tan6π六、能力提升：（C ）1、用弧度制表示终边在x 轴上的角的集合.（C ）2、试用弧度制证明扇形面积公式12s lr =，其中l 是弧长，r 是 圆的半径. 并求扇形的弧长是18cm,半径是12cm 的扇形的面积.(B3、分别用角度制、弧度制下的弧长公式，计算半径为1m 的圆中，60o的圆心角所对的弧的长度.(选作)4、已知扇形的周长为6 cm ,面积为2 2cm ,求扇形中心角的弧度数.七、反思小结：。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修4 3 弧度制》
§3弧度制第1课时教学目标：1知识与技能：（1）理解1弧度的角和弧度的定义，体会引入弧度的好处；（2）掌握角度和弧度的换算公式，熟练进行角度与弧度的换算；2过程与方法：复习初中时学习过的度量角的方法---角度制，分析它的缺点，引出新课通过单位圆中的圆心角引入弧度概念，比较两种度量角的方法，探究角度制与弧度制之间的互化，应用在特殊角的角度制与弧度制的互化，能利用弧度制处理前面学习过的简单问题3情感态度与价值观：理解角度制与弧度制是度量角的两种不同方法，二者是有联系的，不是孤立、割裂的。
在弧度制下，角的加减运算可以像十进制一样进行，而不需要进行角度制下的六十进制之间的转化，给角的加减运算带来了简便。
通过弧度制与角度制的比较，激发学生的兴趣和求知欲望，养成良好的学习品质教学重点：弧度制概念的理解，弧度与角度的互化教学难点：弧度制的建立与应用教学课时：共二课时，本节是第一课时教学过程：一、复习引入教师：在初中学习几何时，我们就学习过角的度量，那么角的大小是如何确定的呢？角的度量的依据是什么呢？学生：将周角分成360等份，每一份是1o的角，用这个1o的角再去度量其他的角，就可以得到其他角的度数教师：我们把这种用度作为单位度量角的单位制称叫做角度制，你知道它是多少进制呢？做角的加减运算方便不方便？学生：由于采用的单位是度，比度小的单位有分、秒，1度=60分，1分=60秒，所以角度制是60进制，在做角的加减运算时很不方便教师：今天我们介绍另外一种的度量角的单位制---弧度制（t出示课题）二、探究新知 1弧度的定义t 出示三个同心圆，它们有相同的一个的圆心角，180n rl π=，是角的度数，r是圆的半径，结果列表如下：弧长 11180n r l π=22180n r l π=33180n r l π=半径 1r2r3r弧长与半径之比180n π 180n π 180n π （1）观察不同半径的圆中，弧长与半径的比有何特点？能否用该比值反映角的大小？ 由计算可知，在不同的圆中，同一个圆心角对应的弧长与半径之比是一个常数，这个常数与圆的大小无关，而只与圆中该角所对的弧长与半径有关当半径一定时，弧越大，角也越大，这个常数也越大因此， 我们可以用这个常数来衡量角的大小，把这个常数称为这个角的弧度数（2）弧度数是怎样定义？弧度数怎样计算？ 由于角已经从0o ～360o 扩展到任意角，如果角是正角，那么角的弧度数等于弧长与半径之比，即l rα=；如果角是负角，那么角的弧度数的绝对值等于弧长与半径之比，即lrα=，如果角是零角，那么角的弧度数是0，由此我们可以将任意角的弧度数的计算公式统一成.l rα= （3）1弧度的角怎样确定？为了简便，取半径为1的圆即单位圆，如图（t 展示），圆心角的弧度数就等于对应的弧长取长度为1的弧所对的圆心角就是1弧度的角，如图中∠AOB=1rad,取长度为2的弧所对的圆心角就是2rad, ∠AOC=2rad,圆周可以看成是周角所对的弧，所以周角的弧度数是23602o rad ππ=，即∠AOD 是负角，若弧AD=1，则∠AOD=,读作弧度2弧度制的定义这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制 注意：（1）弧度制下，角的大小用一个实数表示，是十进制，可便于角的加减运算 比如，一个的角加一个的角得一个的角（2）弧度制下，只要在单位圆中，角的大小可以用弧的长度表示 练习：判断正误：（1）弧度数为α的角所在圆的半径为r,则其所对的弧长l 等于.r α （ ） （2）弧度数为2的角所在圆的半径为1，则其所对的弧长l 等于 （ ） 过渡：前面探究是弧度的概念，理解了弧度数公式，下面介绍弧度与度的互化。
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《弧度制》教学设计
本节以新课程理念为指导，进口本节课教学目标。
教材首先透过提出问题给出弧度制的必要性，然后类比角度值的规定，通过度量和计算，得出1弧度的定义，并利用圆周角在不同单位下的度数关系，得出角度与弧度的转化关系，在此基础上，最后通过具体例子巩固所学知识。
【知识与能力目标】
（1）理解1弧度的角及弧度的定义；（2）掌握角度与弧度的换算公式；
（3）熟练进行角度与弧度的换算；（4）理解角的集合与实数集R 之间的一一对应关系；
（5）理解并掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，并能灵活运用这两个公式解题。
【过程与方法目标】
通过单位圆中的圆心角引入弧度的概念；比较两种度量角的方法探究角度制与弧度制之间的互化；应用在特殊角的角度制与弧度制的互化，帮助学生理解掌握；以针对性的例题和习题使学生掌握弧长公式和扇形的面积公式；通过自主学习和合作学习，树立学生正确的学习态度。
【情感态度价值观目标】
通过弧度制的学习，使学生认识到角度制与弧度制都是度量角制度，二者虽单位不同，但却是相互联系、辩证统一的；在弧度制下，角的加、减运算可以像十进制一样进行，而不需要进行角度制与十进制之间的互化，化简了六十进制给角的加、减运算带来的诸多不便，体现了弧度制的简捷美；通过弧度制与角度制的比较，使学生认识到引入弧度制的优越性，激发学生的学习兴趣和求知欲望，养成良好的学习品质。
【教学重点】
理解弧度制的意义，正确进行弧度与角度的换算；弧长和面积公式及应用。
【教学难点】
弧度的概念及与角度的关系；角的集合与实数之间的一一对应关系。
多媒体课件
◆ 教学目标
◆ 教学重难点
◆ ◆ 课前准备 ◆
◆ 教材分析
◆ 教学过程
（一）温故知新
在初中几何里我们学过角的度量，当时是用度做单位来度量角的．我们把周角的360
1
规定为1度的角，而把这种用度作单位来度量角的单位制叫做角度制．但在数学和其他科学中我们还经常用到另一种度量角的单位制——弧度制。
下面我们就来学习弧度制的有关概念．(板书课题)弧度制的单位是rad ，读作弧度．
（二）、探究新知
1．1弧度的角的定义．(板书)我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角，叫做1弧度的角(打开课件)．如图1—14(见教材)，弧AB 的长等于半径r ，则弧AB 所对的圆心角就是1弧度的角，弧度的单位记作rad 。
在图1（课件）中，圆心角∠AOC 所对的弧长l ＝2r ，那么∠AOC 的弧度数就是2rad ；圆心角∠AOD 所对的弧长l ＝21r ，那么∠AOC 的弧度数就是2
1rad ；圆心角∠AOE 所对的弧长为l ，那么∠AOE 的弧度数是多少呢？学生思考并交流，此我们可以得到弧度制的定义．
2．弧度制的定义： 一般地，(板书)正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，
零角的弧度数是o ；角α的弧度数的绝对值|α|＝r
l ，其中l 是以角α作为圆心角时所对弧的长，r 是圆的半径，这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制．
在弧度制的定义中，我们是用弧长与其半径的比值来反映弧所对的圆心角的大小的．为什么可以用这个比值来度量角的大小呢?这个比值与所取的圆的半径大小有没有关系?请同学们自主学习课本P12—P13，从课本中我们可以看出，这个比值与所取的半径大小无关，只与角的大小有关。
有兴趣的同学们可以对它进行理论上的证明：
(论证)如图1—13（见教材），设∠α为n°(n°＞0)的角，圆弧AB 和A l B l 的长分别为l 和l 1，点A 和A l 到点O 的距离(即圆的半径)分别为r(r ＞0)和r l (r l ＞0)，由初中所学的弧长公式有l ＝180πn r ，l 1＝180πn r 1，所以r l ＝11r l ＝180
πn ，这表明以角α为圆心角所对的弧长与其半径的比值，与所取的半径大小无关，只与角α的大小有关．
用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量数相同(都是0)；用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量数也不同．但它们既然是表示同一个角，那这二者之间就应该可以进行换算，下面我们来讨论角度与弧度的换算．
3．角度制与弧度制的换算．
现在我们知道：1个周角＝360°＝r
π2r ，所以，(板书)360°＝2πrad ，由此可以得到 180°＝πrad ，1°＝180π≈0．01745rad ，1rad ＝（π
180）°≈57.30°＝57°18’。
说明：在进行角度与弧度的换算时，关键要抓住180°＝πrad 这一关系式．
今后我们用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，而只写这个角所对应的弧度数．例如，角α＝2就表示是2rad 的角，sin 3π就表示3
πrad 的角的正弦，但用角度制表示角时，“度”或“°”不能省去．而且用“弧度”为单位度量角时，常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数，如45°＝
4πrad ，不必写成45°＝0．785弧度． 前面我们介绍了角度制下的终边相同角的表示方法，而角度制与弧度制可以相互转化，所以与角α终边相同的角(连同角α在内)，也可以用弧度制来表示．但书写时要注意前后两项所采用的单位制必须一致．
角的概念推广后，无论用角度制还是用弧度制，都能在角的集合与实数集R 之间建立一种一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数与它对应，例如这个角的弧度数或度数；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角与它对应，就是弧度数或度数等于这个实数的角。
（三）、巩固深化
例1．把45°化成弧度。
解：45°＝180π×45rad ＝4
πrad. 例2．把53πrad 化成度。
解：53πrad ＝5
3×180°＝108°. 例3．利用弧度制证明扇形面积公式S ＝
21lr ，其中l 是扇形的弧长，r 是圆的半径。
证：∵圆心角为1的扇形的面积为π21·πr 2，又∵弧长为l 的扇形的圆心角的大小为r l ，∴扇形的面积S ＝
r l ·π21·πr 2＝2
1lr. 五、小结 （1）主要学习了弧度制的定义；角度与弧度的换算公式；特殊角的弧度数。
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
六、作业
习题
略
◆ 教学反思。