《弧度制》公开课教学设计【高中数学必修4(北师大版)】

《弧度制》教学设计

本节以新课程理念为指导，进口本节课教学目标。教材首先透过提出问题给出弧度制的必要性，然后类比角度值的规定，通过度量和计算，得出1弧度的定义，并利用圆周角在不同单位下的度数关系，得出角度与弧度的转化关系，在此基础上，最后通过具体例子巩固所学知识。

【知识与能力目标】

（1）理解1弧度的角及弧度的定义；（2）掌握角度与弧度的换算公式；

（3）熟练进行角度与弧度的换算；（4）理解角的集合与实数集R 之间的一一对应关系；

（5）理解并掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，并能灵活运用这两个公式解题。

【过程与方法目标】

通过单位圆中的圆心角引入弧度的概念；比较两种度量角的方法探究角度制与弧度制之间的互化；应用在特殊角的角度制与弧度制的互化，帮助学生理解掌握；以针对性的例题和习题使学生掌握弧长公式和扇形的面积公式；通过自主学习和合作学习，树立学生正确的学习态度。

【情感态度价值观目标】

通过弧度制的学习，使学生认识到角度制与弧度制都是度量角制度，二者虽单位不同，但却是相互联系、辩证统一的；在弧度制下，角的加、减运算可以像十进制一样进行，而不需要进行角度制与十进制之间的互化，化简了六十进制给角的加、减运算带来的诸多不便，体现了弧度制的简捷美；通过弧度制与角度制的比较，使学生认识到引入弧度制的优越性，激发学生的学习兴趣和求知欲望，养成良好的学习品质。

【教学重点】

理解弧度制的意义，正确进行弧度与角度的换算；弧长和面积公式及应用。

【教学难点】

弧度的概念及与角度的关系；角的集合与实数之间的一一对应关系。

多媒体课件

◆ 教学目标

◆ 教学重难点

◆ ◆ 课前准备 ◆

◆ 教材分析

◆ 教学过程

（一）温故知新

在初中几何里我们学过角的度量，当时是用度做单位来度量角的．我们把周角的360

1

规定为1度的角，而把这种用度作单位来度量角的单位制叫做角度制．但在数学和其他科学中我们还经常用到另一种度量角的单位制——弧度制。下面我们就来学习弧度制的有关概念．(板书课题)弧度制的单位是rad ，读作弧度．

（二）、探究新知

1．1弧度的角的定义．(板书)我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角，叫做1弧度的角(打开课件)．如图1—14(见教材)，弧AB 的长等于半径r ，则弧AB 所对的圆心角就是1弧度的角，弧度的单位记作rad 。

在图1（课件）中，圆心角∠AOC 所对的弧长l ＝2r ，那么∠AOC 的弧度数就是2rad ；圆心角∠AOD 所对的弧长l ＝21r ，那么∠AOC 的弧度数就是2

1rad ；圆心角∠AOE 所对的弧长为l ，那么∠AOE 的弧度数是多少呢？学生思考并交流，此我们可以得到弧度制的定义．

2．弧度制的定义： 一般地，(板书)正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，

零角的弧度数是o ；角α的弧度数的绝对值|α|＝r

l ，其中l 是以角α作为圆心角时所对弧的长，r 是圆的半径，这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制．

在弧度制的定义中，我们是用弧长与其半径的比值来反映弧所对的圆心角的大小的．为什么可以用这个比值来度量角的大小呢?这个比值与所取的圆的半径大小有没有关系?请同学们自主学习课本P12—P13，从课本中我们可以看出，这个比值与所取的半径大小无关，只与角的大小有关。有兴趣的同学们可以对它进行理论上的证明：

(论证)如图1—13（见教材），设∠α为n°(n°＞0)的角，圆弧AB 和A l B l 的长分别为l 和l 1，点A 和A l 到点O 的距离(即圆的半径)分别为r(r ＞0)和r l (r l ＞0)，由初中所学的弧长公式有l ＝180πn r ，l 1＝180πn r 1，所以r l ＝11r l ＝180

πn ，这表明以角α为圆心角所对的弧长与其半径的比值，与所取的半径大小无关，只与角α的大小有关．

用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量数相同(都是0)；用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量数也不同．但它们既然是表示同一个角，那这二者之间就应该可以进行换算，下面我们来讨论角度与弧度的换算．

3．角度制与弧度制的换算．

现在我们知道：1个周角＝360°＝r

π2r ，所以，(板书)360°＝2πrad ，由此可以得到 180°＝πrad ，1°＝180π≈0．01745rad ，1rad ＝（π

180）°≈57.30°＝57°18’。

说明：在进行角度与弧度的换算时，关键要抓住180°＝πrad 这一关系式．

今后我们用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，而只写这个角所对应的弧度数．例如，角α＝2就表示是2rad 的角，sin 3π就表示3

πrad 的角的正弦，但用角度制表示角时，“度”或“°”不能省去．而且用“弧度”为单位度量角时，常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数，如45°＝

4πrad ，不必写成45°＝0．785弧度． 前面我们介绍了角度制下的终边相同角的表示方法，而角度制与弧度制可以相互转化，所以与角α终边相同的角(连同角α在内)，也可以用弧度制来表示．但书写时要注意前后两项所采用的单位制必须一致．

角的概念推广后，无论用角度制还是用弧度制，都能在角的集合与实数集R 之间建立一种一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数与它对应，例如这个角的弧度数或度数；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角与它对应，就是弧度数或度数等于这个实数的角。

（三）、巩固深化

例1．把45°化成弧度。 解：45°＝180π×45rad ＝4

πrad. 例2．把53πrad 化成度。 解：53πrad ＝5

3×180°＝108°. 例3．利用弧度制证明扇形面积公式S ＝

21lr ，其中l 是扇形的弧长，r 是圆的半径。 证：∵圆心角为1的扇形的面积为π21·πr 2，又∵弧长为l 的扇形的圆心角的大小为r l ，∴扇形的面积S ＝

r l ·π21·πr 2＝2

1lr. 五、小结 （1）主要学习了弧度制的定义；角度与弧度的换算公式；特殊角的弧度数。

（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。

（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？

六、作业

习题

略

◆ 教学反思