2015级硕士研究生凝聚态物理导论考试题目及答案(自己整理)

2015年“凝聚态物理导论”课程考试题目（2015级硕士研究生，2016年1月）一、简答题（合计30分，要求给出简洁和准确的解答，字数不少于1000字）1. 固体物理学的范式？答：（1）晶体学研究，涉及晶体的周期性结构（2）固体比热理论，涉及晶格振动的研究（3）金属导电的自由电子理论（4）铁磁性研究相关内容[1]。

2. 凝聚态物理学的新范式？答：凝聚态物理学是从微观角度出发，研究相互作用多粒子系统组成的凝聚态物质的结构和动力学过程以及其与宏观物理性质之间关系的一门科学。

经过长时间的发展，如进行成了以“对称破缺”为核心概念所建立的凝聚态物理学新范式，包括了（1）基态（2）元激发（3）缺陷（4）临界区域等四个不同的层次，而且这些层次之间又彼此相互关联[2]。

3. Hartree-Fock 近似？答：总的来看，Hartree-Fock 近似是一种对“原子核和周围与其保持电中性的一组电子”这一系统哈密顿量的一种简化处理，以实现单电子近似。

它主要涉及到对“电子之间的相互作用势”这一项的简化与修正。

这种简化并非是一蹴而就的，首先是Hartree 的自洽场近似，假设每个电子运动于其他所有电子构成的电荷分布（通过2Ψ）所决定的场里，引入电子之间的相互作用势： ()()j i j j i j i i i dr r r r Ψe r V ∑≠-=22041πε（1）来代替原先Hamilton 量中的电子之间的相互作用势。

之所以称为“自洽”是因为最终的方程组可以通过自洽的方式求解。

另外一方面，如果考虑电子的自旋，总波函数相对于互换一对电子应是反对称的，最终求解出的电子系统的总能量还要增加一项：每对平行自旋电子的交换能。

()()()()r drd r r r r r r e E j i j j i i '''-⨯'=∑⎰⎰≠∞ψψψψπε1802（2） 结合以上两种处理就是Hartree-Fock 近似。

4. 密度泛函理论？答：密度泛函理论的含义从其英文“Density functional theory ”更能直观的反映出来，它应用“电子密度泛函数”来处理多体问题。

而泛函数通常指一种定义域为函数，而值域为实数的函数，换句话说，是一种函数组成的向量空间到实数的一个映射[3]。

泛函数常用来寻找某个能量泛函的最小系统状态，这为密度泛函理论的应用提供了一个基础。

下面对密度泛函理论的理论基础做一些初步的解释：一般在固体周期性结构中，当我们把原子或者离子实看作是不动（波恩-奥本海默近似）的时候，那么静态电子态的波动方程),...,(1N r r ψ将满足下面的静态薛定尔方程：[]()()E ΨΨr r U r V m ΨU V T ΨH N i N i N j i j i i i i =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∇-=++=∑∑∑< ,2ˆˆˆˆ22（3）解决多体薛定谔的方法很多都非常复杂，其中最简单的事Hartree-Fock 方法，但是这类方法的计算量都非常大，使得难以处理粒子更多，更加复杂的系统。

而密度泛函理论（以下DFT 表示）则提供了一种从Hohenberg-Kohn 定理,即体系的基态唯一的决定于电子密度的分布[4]出发，通过自洽迭代求解单电子多体薛定谔方程，获得电子密度分布。

利用电子密度可以使得原先的3N 个空间变量直接减少到3（N 为体系中电子的个数）。

这是因为电子密度本身只具有三个参量，这显然大大降低了计算的难度。

在DFT 中最主要的变量是粒子密度)(r n ，对于一个归一化的Ψ有：()()()N N N r r r Ψr r r Ψr d r d N r n ,,,,,,22323*⎰⎰=（4）通过一系列变换与计算，可以得出单粒子有效势为：()()()()[]r n V r d r r r n e r V r V s XC s s '+''-'+=⎰32（5） 其中，第二项叫做 Hartree 项，描述的是电子与电子之间的库伦斥力作用，最后一项是交换-关联势。

5. 绝热近似？答：相比于前两个问题中的Hartree-Fock 近似与密度泛函理论，绝热近似是一种更加基础的近似。

我们知道，固体晶格阵列的Hamilton 量由五项组成，具体形式如下：∑∑∑+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∇-+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∇-=≠N i i i q p q p p p p m R R e Z M H 22220222812 πε∑∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-≠p i p i j i j i R r Ze r r e ,20204181 πεπε（6） 在固体物理学问题中在许多问题中，起作用的只是最外层电子，即价电子，其余的电子将和电子与原子核一起运动，构成离子实，应将这些电子的质量归入p M ，而相应的调整Z 值，其次由于离子实的质量要远比电子大得多，相应的，其特征速度要比电子速度慢得多，所以不妨将离子实视为静止的，这就是著名的“Born-Oppenheimer 绝热近似”[5]在这种近似下，上述的薛定谔方程的第一项（为0），第二项（为常数）都可以被略去，于是只剩下下面简化得多的Hamilton 量：∑∑∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∇-=≠p i p i j i j i N i i i R r Ze r r e m H ,20202241812 πεπε（7）6.元激发？答：对于能量靠近基态的低激发态，可以认为是一些独立基本激发单元的集合，它们具有确定的能量和波矢，这些基本激发单元就是元激发，有时也称为准粒子。

引进元激发的概念，可以使复杂的多体问题简化为接近于理想气体的准粒子系统，从而使固体理论的大部分问题得以用简单统一的观点和方法加以阐述。

二、论述题（合计70分，要求给予充分的论述，字数不少于6000字）1.相变和临界现象答：（一）相变：相是物理性质和化学性质完全相同且均匀的部分。

具有特点：（1）相与相之间有分界面，可以用机械方法将他们分开[6]。

（2）系统中存在的相可以是稳定、亚稳或不稳定的（当某相的自由能最低时，该相处于平衡态；若自由能不是最低，但是与最低自由能态之间有能垒相分隔，则该相处于亚稳态；若不存在这种能垒，则该系统处于非稳定态，这种状态是不稳定的，一定会向平衡态或者亚稳态转变）。

（3）系统在某一热力学的条件下，只有当能量具有最小值的相才是最稳定的。

（4）系统的热力学条件改变时，自由能会发生变化，相的结构也相应发生变化[7]。

随着自由能的变化而发生的相的结构的变化称为相变，它指在外界条件发生变化的过程中，系统的相于某一特定条件下发生突变。

相变的表现为：（1）从一种结构变为另一种结构。

（2）化学成分的不连续变化。

（3）某些物理性质的突变。

相变的分类: 我们从热力学角度（从其他角度也可进行分类），根据相变前后热力学函数的变化，可将相变分为一级相变、二级相变和高级相变其中，一级相变指在临界温度、压力时，两相化学位相等，但化学位的一阶偏导数不相等的相变，这里两相共存的条件是化学位相等。

二级相变指的是在临界温度、临界压力时，两相化学势相等，其化学位的一阶偏导数相等，而二阶偏导数不相等的相变。

在临界温度、临界压力时，一阶，二阶偏导数相等，而三阶偏导数不相等的相变称为三级相变，以此类推，对于二级以上的相变人们称为高级相变。

波色-爱因斯坦凝聚就是一种三级相变。

（二）临界现象一般的人们把一级相变的终点称为临界点，与临界点有关的现象统称为临界现象，也称作连续相变。

除此之外另一种表述是，连续相变的相变点称为临界点，而临界现象则是物质系统连续相变临界点邻域的行为。

大部分的临界现象产生于临界点关联长度的发散性，涨落相关长度过大，除此之外还有动力降低[8]。

临界现象包括不同量之间的标度关系，由临界指数描述的标度律的发散，普适性，分形行为，遍历破缺等。

临界现象一般发生在二级相变中，不过也不全是如此。

2.有序相、无序相、序参量答：（一）有序相和无序相：某些置换固溶体（固相溶剂中部分质点被溶质质点取代而成的固态溶液[9]），当温度较低时，不同种类的原子在点阵位置上呈规则的周期型排列，称有序相[10]；而在某一温度以上，这种规律性就完全不存在了，称为无序相。

对于体积恒定的系统，平衡态要求自由能F ： TS E F -=（8） 取极小值（T 为热力学温度，S 为系统的熵），在高温时F 的极小值与系统最大熵值有关，因而趋向于无序态；而在低温下，F 中内能占优势，平衡态由内能极小值决定，系统处于有序态[11]。

而有序和无序的转变温度决定于上式中两相的相对重要性。

晶体由有序相转变为无序相称为有序-无序相变。

有序化转变包括：位置有序化，位向有序化，电子旋转态的有序化和结构中缺陷引起的有序化。

（二）序参量Landau 在描述二级相变理论的过程中引入了一个热力学平衡条件决定的宏观变量——序参量（order parameter ）[8]来描述有序-无序相变。

序参量描述了与物质有关的有序化程度和伴随的对称性质，在相变点，序参量从零（无序）连续地变为非零值（有序）。

序参量的数值大小表示这个相的有序程度，数值越大，有序度越高，对称性越差，反之则有序性越低，对称性越高。

对于二级相变，温度大于临界温度时，也就是说在高对称相中，序参量一般是选为零的，无所谓空间取向；当温度小于临界温度时，也就是在低对称相中，序参量不为零，它的可能的取向由相变过程中体系丢失的对称性决定。

所以，序参量反映的是低对称相的对称性。

自由能可以用序参量的幂级数展开，根据自由能极小和相变的稳定性条件要求，奇次幂系数为零，且四次方项系数大于零[2]：()()()() +++=420,ηηηT B T A T F T F （9）因为在高温时，系统处于无序相，所以)(T A 也是正的，随着温度下降，)(T A 应改变符号；而在某个临界温度c T 处，有0)(c =T A 。

通过一些计算，可以得到自由能F 和序参量η的关系如图1所示：图1. 自由能F 和序参量η的关系示意图当有序固溶体升温时，它向无序状态的改变，并不都是在临界温度下完成的，在接近临界温度时，有序相逐渐降低，离临界温度愈近转变愈快，到临界点，长程有序度完全消失；但是也有一些情况是，在临界温度以下，有序度下降不多，而在临界温度骤降为零，前者对应二阶相变，后者则基本是一阶相变[12]。

另一方面有序化过程是通过原子扩散实现的，快速降温会引起之后，甚至不能达到该温度下的平衡有序度，这种滞后的程度和合金的种类有关[13]。

有序度又分为长程有序度和短程有序度，这里不作详述。

3. 临界指数和标度规律。

答：（一）临界指数用幂指数来描述一些热力学量在临界点邻域内的特性，其幂（负幂次）称为临界指数（Critical exponent ）[14]。