23.4中位线教案
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23.4 中位线
1.掌握中位线的定义以及中位线定理;(重点)
2.综合运用平行四边形的判定及中位线定理解决问题.(难点)
一、情境导入
如图所示,吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC,已知点E,F分别是边AB,AC的中点,量得EF=5米,他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡,你能求出需要篱笆的长度吗?
二、合作探究
探究点:三角形的中位线
【类型一】利用三角形中位线定理求线段的长
如图,在△ABC中,D、E分别为AC、BC的中点,AF平分∠CAB,交DE于点F.若DF=3,则AC的长为( )
A.3
2
B.3 C.6 D.9
解析:∵D、E分别为AC、BC的中点,∴DE∥AB,∴∠2=∠3,又∵AF平分∠CAB,∠1=∠3,∴∠1=∠2,∴AD=DF=3,∴AC=2AD=6.故选C.
方法总结:本题考查了三角形中位线定理,等腰三角形的判定与性质.解题的关键是熟记性质并熟练应用.
【类型二】利用三角形中位线定理求角
如图,C、D分别为EA、EB的中点,∠E=30°,∠1=110°,则∠2的度数为( )
A .80°
B .90°
C .100°
D .110°
解析:∵C 、D 分别为EA 、EB 的中点,∴CD 是三角形EAB 的中位线,∴CD ∥AB ,∴∠2=∠ECD .∵∠1=110°,∠E =30°,∴∠ECD =80°,故选A.
方法总结:中位线定理牵扯到平行线,所以利用中位线定理中的平行关系可以解决一些角度的计算问题.
【类型三】 运用三角形的中位线性质进行证明
如图,在△ABC 中,AB =5,AC =3,点N 为BC 的中点,AM 平分∠BAC ,CM ⊥AM ,垂足为点M ,延长CM 交AB 于点D ,求MN 的长.
解析:为证MN 为△BCD 的中位线,应根据三线合一,得到DM =MC ,即可解决问题. 解:∵AM 平分∠BAC ,CM ⊥AM ,∴AD =AC =3,DM =CM .∵BN =CN ,∴MN 为△BCD 的中位
线,∴MN =12
(5-3)=1. 方法总结:当已知三角形的一边的中点时,要注意分析问题中是否有隐含的中点.如已知一个三角形一边上的高又是这边所对的角平分线时,根据“三线合一”可知,这实际上是又告诉了我们一个中点.
【类型四】 中位线定理的综合应用
如图,E 为平行四边形ABCD 中DC 边的延长线上一点,且CE =DC ,连接AE ,分别交BC 、BD 于点F 、G ,连接AC 交BD 于O ,连接OF ,判断AB 与OF 的位置关系和大小关系,并证明你的结论.
解析:本题可先证明△ABF ≌△ECF ,从而得出BF =CF ,这样就得出了OF 是△ABC 的中位线,从而利用中位线定理即可得出线段OF 与线段AB 的关系.
解:AB =2OF .
证明如下:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB =CD ,OA =OC .∴∠BAF =∠CEF ,∠ABF =∠ECF .∵CE =DC ,在平行四边形ABCD 中,CD =AB ,∴AB =CE .∴在△ABF 和△ECF 中,
⎩⎪⎨⎪⎧∠BAF =∠CEF ,AB =CE ,
∠ABF =∠BCE ,
∴△ABF ≌△ECF (ASA),∴BF =CF .∵OA =OC ,∴OF 是△ABC 的中位线,∴AB =2OF ,AB ∥OF .
方法总结:本题综合的知识点比较多,解答本题的关键是判断出OF 是△ABC 的中位线.
三、板书设计
1.三角形的中位线
连接三角形的两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2.三角形中位线定理
三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.
本节课,通过实际生活中的例子引出三角形的中位线,又从理论上进行了验证.在学习的过程中,体会到了三角形中位线定理的应用时机.对整个课堂的学习过程进行反思,能够促进理解,提高认识水平,从而促进数学观点的形成和发展,更好地进行知识建构,实现良性循环.