线性矩阵不等式1
《鲁棒控制》-6-线性矩阵不等式
(≤ 0)
为线性矩阵不等式（LMI）。
当存在实向量 x ，使得 F ( x) < 0(≤ 0) ，则称 LMI F ( x) < 0(≤ 0) 可行或存在可
行解。
LMI 的可行解全体构成一凸集。
令 X 是一实对称矩阵，对于任意给定实数矩阵 A 和实对称矩阵 Q ，则矩阵
不等式
AT X + XA + Q < 0
⎢ ⎣
0
⎡I ⎢⎣0
−S12 I
S −1 22
⎤ ⎥ ⎦
⎡ ⎢⎣
S11 S21
S12 S22
⎤ ⎥⎦
⎡I ⎢⎣0
−S12 I
S −1 22
⎤T ⎥ ⎦
0
⎤
S22
−
S21S1−11S12
⎥ ⎦
=
⎡ ⎢
S11
⎣
−
S12
S −1 22
S21
S21
0 ⎤⎡ I
S22
⎥ ⎦
⎢⎣−
S −1 22
S
21
0⎤
I
⎥ ⎦
x (t ) = Ax (t ) + Bu (t ) y (t ) = Cx (t ) + Du (t )
假设 D + DT > 0 。 令
H (s) = C (sI − )A −1 B + D
系统无源（passive）: 当 x (0) = 0 时，
∫T 0
uT
(t
)y
(t
)
dt
≥
0
● 系统无源 iff
ALQ
⎤ ⎥
⎥
0 ⎥<0
#
⎥ ⎥
线性矩阵不等式
则应用引理 2.1.2，可以将矩阵不等式（2.1.6）的可行性问题转化成一个等价的矩阵不等 式
AT P PA Q PB
BT P
R0
（2.1.7）
的可行性问题，而后者是一个关于矩阵变量P的线性矩阵不等式。
2.3一些标准的线性矩阵不等式问题
例2.1.1 稳定性问题 考虑线性自治系统
x(t) Ax(t)
setlmis([]) X=lmivar(1,[61]) S=lmivar(1,[20;21]) ﹪lst LMI lmiterm([111x],1,A,’s’) lmiterm([111s],c’,c) lmiterm([112x],1,B) lmiterm([122s],-1,1) ﹪2nd LMI lmiterm([-211X],1,1) ﹪3rd LMI lmiterm([-311s],1,1) lmiterm([3110],1) lmisys=getlmis
m 是一组给定的实对称矩阵，（2.1.1）中的不等号“＜”指的是矩阵 F(x)是负定的，即对所有
非零的向量 v Rm , vT F (x)v0 或者 F(x)的最大特征值小于零。
在许多系统与控制问题问题中，问题的变量是以矩阵的形式出现的。例如 Lyapunov 矩阵 不等式：
F ( X ) AT X XA Q0
lmivar 函数lmivar用来描述出现在线性矩阵不等式系
统中的矩阵变量，每一次只能描述一个矩阵变 量。矩阵变量的描述包括该矩阵变量的结构。 该函数的一般表达是：
X=lmivar(type,struct) 这一函数定义了一个新的矩阵变量X。函数中
的第一个输入量type确定了矩阵变量X的类型， 第二个输入量struct进一步根据变量X的类型给 出该变量的结构。变量的类型分成三类：
鲁棒控制理论与设计 第三章 矩阵分析和线性矩阵不等式
k<r
则 A 与秩为 k 的任一矩阵 B 之差的 L1 和 L2 范数分别为
min A − B =
rank (B )=k
1
A − Ak
1 = σ k +1
和
(3.1.30)
3－5
第三章 矩阵分析和线性矩阵不等式
min A − B 2 =rank (B )=k2A − Ak
2 2
=
σ
2 k +1
+
L
∂A ∂θ
= [ ∂A ∂θ1
,
∂A ∂θ 2
,L ,
∂A ∂θ n
]
(3.1.12)
4） 标量对矩阵求导仍为矩阵。设 J 为标量， M 为矩阵，则 ∂J 是以 ∂J 为第 ij 元素的矩阵，
∂M
∂mij
其中 mij 表示 M 矩阵的第 ij 元素。
在上述约定下，有如下一些结果：
1） ∂ (aT x) = aT ； ∂x
−
A21
A -1 11
A12
]
(3.1.5) (3.1.6)
证明：因为
所以有
⎡ A11
⎢ ⎣
A21
A12 ⎤ ⎡ I
A22
⎥ ⎦
⎢⎣−
A−1 22
A21
0⎤
A−1 22
⎥ ⎦
=
⎡ ⎢
A11
⎣
−
A12 0
A−1 22
A21
A12
A−1 22
I
⎤ ⎥ ⎦
det
A ⋅ det
A −1 22
=
det[ A11
3.1.2 矢量与矩阵的微分运算
在鲁棒控制理论和系统建模中，矢量与矩阵的微分运算是非常重要的。本节我们不加证明地给出 一些常用到得运算定理和公式。为了叙述方便，采用下列约定。
线性矩阵不等式
7.4.2线性矩阵不等式的确定
LMI工具箱可以处理具有以下一般形式的线性 矩阵不等式。 NTL（X1，…，Xk）N<MTR（X1，…，XK）M 其中：X1…，XK是具有一定结构的矩阵变量， 左、右外因子N和M是具有相同维数的给定矩 阵，左、右内因子L（﹒）和R（﹒）是具有相 同块结构的对称块矩阵。 注意，在线性矩阵不等式的描述中，左边总是 指不等式较小的一边，例如对线性矩阵不等式 X>0，X称为是不等式的右边，0称为是不等式 的左边，常表示成0< X。
I F T ( x) F ( x) F ( x) I 0 0 F ( x) I
T 2
因此，可以通过求解：
min x,
(7.3.2)
I F T ( x) s.t 0 F ( x) I
来得到所求问题的解。显然，问题（7.3.2）是一个具有线性矩阵不等式约束的线性目标函数 的最优化问题。
定的常数矩阵。由于
DED 1 1 D T E T D T DED 1 1
E T DT DE DT D
ET XE X 0
1 T 其中 X D D0 。因此，使得 DED 1 成立的对角矩阵 D 的存在性问题等价
于线性矩阵不等式 E XE X 0 的可行性问题。
要确定一个线性矩阵不等式系统，需要做以下两步： 给出每个矩阵变量X1，…，XK的维数和结构； 描述每一个线性矩阵不等式中各个项的内容。 这个过程产生所描述线性矩阵不等式系统的一个内部 表示，它以一个单一向量的形式储存在计算机内，通 常用一个名字，例如lmisys来表示。该内部表示lmisys 可以在后面处理这个线性矩阵不等式时调用。 下面将通过LMI工具箱中的一个例子来说明线性矩阵不 等式系统的确定。运行lmidem可以看到这个例子的完 整描述。
控制论常用的矩阵不等式
控制论常用的矩阵不等式控制论是一门研究如何通过控制手段来实现系统稳定、优化和鲁棒性的学科，而矩阵不等式则是控制论中常用的数学工具之一。
本文将介绍控制论中常用的几种矩阵不等式，并讨论其在控制系统设计中的应用。
1. 线性矩阵不等式(LMI)线性矩阵不等式是控制论中最常用的矩阵不等式之一。
它的形式为：$$A(x)X+B(x)Y+C^{T}(x)YC(x)<0$$其中，$A(x)$、$B(x)$、$C(x)$均为实系数矩阵函数，$X$、$Y$均为矩阵变量。
该不等式表示的是矩阵函数$A(x)$、$B(x)$、$C(x)$构成的线性系统对应的闭环系统是渐进稳定的，即对任意的初值$x_0$，系统的输出$y(t)$都会收敛到零。
2. Lyapunov矩阵不等式Lyapunov矩阵不等式是控制论中另一种常用的矩阵不等式。
它的形式为：$$A^{T}P+PA<-Q$$其中，$A$为系统的状态转移矩阵，$P$为对称正定矩阵，$Q$为对称正定矩阵。
该不等式表示的是系统的Lyapunov函数$V(x)=x^{T}Px$满足$V(x)leqslant-alpha x^{T}x$，其中$alpha$是正常数。
3. Riccati矩阵不等式Riccati矩阵不等式也是控制论中常用的矩阵不等式之一。
它的形式为：$$A^{T}P+PA-PBR^{-1}B^{T}P<-Q$$其中，$A$、$B$为系统的状态转移矩阵和输入矩阵，$P$为对称正定矩阵，$R$为对称正定矩阵。
该不等式表示的是系统的最优控制输入满足线性方程$u=-R^{-1}B^{T}Px$。
4. Schur矩阵不等式Schur矩阵不等式是控制论中最基本的矩阵不等式之一。
它的形式为：$$Mprec N$$其中，$M$、$N$为两个对称矩阵，$prec$表示矩阵的部分序。
该不等式表示的是矩阵$N-M$是正定的。
总之，矩阵不等式在控制论中具有广泛的应用，可以用于系统稳定性分析、最优控制设计和鲁棒性分析等领域。
lmi 特征值
lmi 特征值
线性矩阵不等式（LMI）是有如下形式的一种约束描述：其中：$x$是$m$个实数变量，称为线性矩阵不等式（1）的决策变量；$x$是由决策变量构成的向量，称之为决策向量；$A_i$是一组给定的实对称矩阵；（1）式中的不等号“$<0$”表示$F(x)$是“负定”的，也就是说，对所有非零的$x$或者$F(x)$的最大特征值小于零。
在一些将非线性矩阵不等式转化为线性矩阵不等式的问题中，常用到矩阵的Schur补性质。
在LMI特征值问题中，在一个LMI约束下，求矩阵$G(x)$的最大特征值的最小化问题，或确定问题的约束是不可行的。
如需了解更多关于LMI特征值的信息，你可以提供更具体的背景和条件，再次向我提问。
矩阵的几个不等式
矩阵的几个不等式1. 矩阵的不等式定义：矩阵的不等式指的是一组矩阵的元素之间的比较，它可以是大于、小于或等于关系。
矩阵的不等式可以表示为A≤B，其中A和B分别是两个矩阵，A≤B表示A中的每个元素都小于等于B中的对应元素。
## 2. 矩阵的不等式性质1. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≥A；2. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≤2A；3. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≠A；4. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≠2A；5. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≥2A；6. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≤A；7. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≠0；8. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≠-A；9. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≥0；10. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≤-A。
3. 矩阵的不等式应用矩阵的不等式应用可以用于多种情况，如矩阵的范数估计、矩阵的特征值估计、矩阵的迹估计、矩阵的奇异值估计、矩阵的乘积估计等。
此外，矩阵的不等式应用还可以用于求解线性方程组、求解矩阵的逆等问题。
此外，矩阵的不等式应用还可以用于矩阵的正定性判断、矩阵的正交性判断等。
#### 4. 矩阵的不等式推导1. 对于矩阵A，若A的行列式不为零，则有A的逆矩阵存在；2. 若A的行列式为零，则A的逆矩阵不存在；3. 对于任意矩阵A，有A+A的逆矩阵存在；4. 对于任意矩阵A，有A*A的逆矩阵存在；5. 对于任意矩阵A，有A*A+A的逆矩阵存在；6. 对于任意矩阵A，有A*A*A的逆矩阵存在；7. 对于任意矩阵A，有A*A*A+A的逆矩阵存在；8. 对于任意矩阵A，有A*A*A*A的逆矩阵存在；9. 对于任意矩阵A，有A*A*A*A+A的逆矩阵存在。
5. 矩阵的不等式变换：矩阵的不等式变换是指将一个矩阵中的不等式变换为另一个矩阵，这样可以更容易地解决矩阵的不等式问题。
变换的方法有很多，比如可以使用行列式，矩阵乘法，矩阵加法，矩阵转置等。
LMI(线性矩阵不等式)工具箱介绍学习
LMI：Linear Matrix Inequality，就是线性矩阵不等式。
在Matlab当中，我们可以采用图形界面的lmiedit命令，来调用GUI接口，但是我认为采用程序的方式更方便（也因为我不懂这个lmiedit的GUI）。
对于LMI Lab，其中有三种求解器（solver）： feasp，mincx和gevp。
每个求解器针对不同的问题：feasp：解决可行性问题（feasibility problem），例如：A(x)<B(x)。
mincx：在线性矩阵不等式的限制下解决最小化问题（Minimization of a linear objective under LMI constraints），例如最小化c'x，在限制条件A(x) < B(x)下。
gevp：解决广义特征值最小化问题。
例如：最小化lambda，在0<B(x),A(x)<lamba*B(x)限制条件下。
要解决一个LMI问题，首要的就是要把线性矩阵不等式表示出来。
对于以下类型的任意的LMI问题N' * L(X1, . . . , XK) * N < M' * R(X1, . . . , XK) * M其中X1, . . . , XK是结构已经事先确定的矩阵变量。
左侧和右侧的外部因子（outer factors）N和M是给定的具有相同维数的矩阵。
左侧和右侧的内部因子（inner factors）L(.)和R(.)是具有相同结构的对称块矩阵。
每一个块由X1, . . . , XK以及它们的转置组合而成形成的。
解决LMI问题的步骤有两个：1、定义维数以及每一个矩阵的结构，也就是定义X1, . . . , XK。
2、描述每一个LMI的每一项内容（Describe the term content of each LMI）此处介绍两个术语：矩阵变量（Matrix Variables）：例如你要求解X满足A(x)<B(x)，那么X就叫做矩阵变量。
LMI线性矩阵不等式培训讲学
(5)
其中，Xi
∈
Rqi×pi
是一个矩阵，而∑n i=1
qi
×
pi
=
m，所有矩
阵变量的列堆叠起来，形成单个向量变量x。
于是我们考虑下面常用形式的函数：
F (X1, X2, · · · , Xn) = F0 + G1X1H1 + G2X2H2 + · · · + GnXnHn
4
∑n
= F0 + GiXiHi
7
找P > 0，使得
AT P + P A > 0
(14)
这是一个关于变量P > 0的LMI可行性问题，然而，给定满
足该问题的任意的P > 0，明显地集合
P
=
{
βP
:
标量β
>
}
0
(15)
中任意矩阵都满足上述问题。
P > 0和(14)所描述的LMI约束，可以等价地组成一个LMI：
AT P + P A 0 < 0
9
%可行 ( 是稳定的A) 当且仅当 tmin<0
tmin
运行结果：
Lyap = 1
Solver for LMI f e a s i b i l i t y problems L ( x ) < R( x ) 10
This solver minimizes t subject to L( x ) < R( x ) + t∗I
The best value o f t should be negative for f e a s i b i l i t y
Iteration :
线性矩阵不等式
矩阵不等式来表示。
2、 在许多一些非线性矩阵不等式转化成线性矩阵不等式的问题中，我们常常用到矩阵的
Schur 补性质。考虑一个矩阵 S Rnn ,并将 S 进行分块：
S
S11 S21
S12
S22
其中的 S11 是 r×r 维的。假定 S11 是非奇异的，则 S11 S21S111S12 称为 S11 在 S 中的 Schur
补。以下引理给出了矩阵的 Schur 补性质。
引理 2.1.1
对给定的对称矩阵
S
S11 S21
S12 S22
，其中
S11
是
r×r
维的。以下三个条
件是等价的：
（ⅰ） S 0
（ⅱ） S110, S22 S1T2S111S12 0
（ⅲ）
S 22
0,
S11
S12
S
S 1 T
22 12
0
在一些控制问题中，经常遇到二次型矩阵不等式：
AT P PA PBR 1BT P Q0
(2.1.6)
其中：A, B, Q QT 0 , R RT 0 是给定的适当维数的常数矩阵，P 是对称矩阵变量，
NTL（X1，…，Xk）N<MTR（X1，…，XK）M 其中：X1…，XK是具有一定结构的矩阵变量，左、右
外因子N和M是具有相同维数的给定矩阵，左、右内因 子L（﹒）和R（﹒）是具有相同块结构的对称块矩阵。 注意，在线性矩阵不等式的描述中，左边总是指不等 式较小的一边，例如对线性矩阵不等式X>0，X称为是 不等式的右边，0称为是不等式的左边，常表示成0< X.。
线性矩阵不等式的LMI工具箱求解
一、线性矩阵不等式的LMI 工具箱求解 （一）可行性问题（LMIP ）1、可行性问题描述系统状态方程：[]11223301000210-414x x x x u x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦&&& 在判断系统的稳定性时，根据线性定常系统的李雅普诺夫稳定性判据，需要判断是否存在实对称矩阵P ，使得：T A P+PA=Q -成立，其中Q 为正定矩阵。
那么判断系统稳定性的问题，可以转化为下面不等式是否存在解的问题：T A P+PA<0这种不等式解是否存在的问题可以用MATLAB 的LMI 工具箱进行判断。
2、仿真所需要用到的命令setlmis([]) ：开始一个线性矩阵不等式系统的描述； X= lmivar(TYPE,STRUCT)：定义一个新的矩阵变量；lmiterm(TERMID,A,B,FLAG)：确定线性矩阵不等式的一个项的内容； LMISYS = getlmis ：结束一个线性矩阵不等式系统的描述，返回这个现行矩阵不等式系统的内部表示向量LMISYS ；X = dec2mat(LMISYS,DECVARS,XID)：由给定的决策变量得到相应的矩阵变量值。
[tmin,xfeas]=feasp(lmisys)：可行性问题的求解器函数，tmin大于0时，表明LMI系统不可行，P阵无解，系统不稳定，tmin小于0时，便可以用dec2mat 函数求解出P矩阵。
3、仿真结果可以看到，仿真结果tmin＜0，因此P阵存在，系统是稳定的。
进一步用dec2mat 函数求解出P 矩阵。
得：（二）特征值问题(EVP)1、EVP 问题描述该问题对应矩阵工具箱中的LMI 约束的线性目标函数最小化优化问题。
一般采用mincx 求解器求解。
考虑这样一个优化问题：min ().. 0TTTrace X s t A X XA XBB X Q +++<其中：5342154067; 3; 562.78314228A B Q -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭2、仿真用到的命令DECVARS = mat2dec(LMISYS,X1,X2,X3,...) ：由给定的矩阵变量得到相应的决策变量值；[copt,xopt]=mincx(LMIs,c,options)：用于给定的特征值问题求解，copt 返回全局最优的决策变量,xopt 返回决策变量的最优解。
线性矩阵不等式(LMI)的 MATLAB求解
线性矩阵不等式(LMI)的 MATLAB 求解©
作者：dynamic
Sky 时间：2008.12.10
版权：All Rights Reserved By
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b 一、LMI 工具箱概述 ..................................................................................................................................................6 a 1.系统描述 ...........................................................................................................................................................6
对lmi变量的操作dec2matmat2dec将求解器的输出转化为矩阵变量值通过给定的矩阵变量值返回决策向量3lmifeaspmincxdefcxgevpevallmishowlmidellmidelmvarsetmvarma4lmi结果验证与修改5lmi系统信息的提取decinfodecnbrlmiinfolminbrmntnbr以决策变量的形式表示每个输入的矩阵变量得到决策变量的个数查询现存lmi系统的信息得到问题中lmi的个数得到问题中矩阵变量的个数tlab验证lmi的可行性lmi限制下线性目标的极小值在mincx命令中第一ctx目标lmi限制下的广义特征值最小化由决策变量的给定值来验证所有的变量项返回一个已经评估的lmi的左右边从系统中删除一个lmi从问题中移除一个矩阵变量将一个矩阵变量赋予指定值ky三lmi工具箱函数详解1
线性矩阵不等式及其在控制工程中的应用(1)
1 引 言
在过去的 10 余年内 ,由于线性矩阵不等式 (L M I) 的优良性质以及解法的突破 ,使其在控制 系统分析和设计方面得到了广泛的重视和应用 。 在此之前 ,绝大多数的控制问题都是通过 Riccati 方程或其不等式的方法来解决的[1～3 ] 。但是解 Riccati 方程或其不等式时 ,有大量的参数和正定 对称矩阵需要预先调整 。有时 ,即使问题本身是 有解的 ,也找不出问题的解 。这给实际应用问题 的解决带来极大不便 ,而线性矩阵不等式方法可 以很好地弥补 Riccati 方程 方 法 的 上 述 不 足[4 ] 。 在解线性矩阵不等式时 ,不需要预先调整任何参 数和正定对称矩阵 。本文对 L M I 在控制工程中 的发展和现状进行简要的回顾 ,着重讨论 L M I 在 不确定控制系统中的应用研究成果以及展望 。
表 1 基于 LMI 方法的各种控制与滤波问题
序号
系统描述
采用方法
文献
1
不确定线性系统和非线性系统的状 基于 L M I 转化为凸优化问题求得鲁棒界 ;对于非
[14 ]
态反馈以及输出反馈表述
线性如 L urie 系统则通过 L yapunov 函数方法得到
[15 ]
系统稳定的 L M I 判定准则
摘 要 : 介绍了线性矩阵不等式的基本概念和用于求解线性矩阵不等式的软件工具 箱 Matlablmi 的 3 个求解器 ,对线性矩阵不等式在控制系统中的应用作了详细的综述 。分 析了其在当前的两个研究热点 ,即不确定系统的鲁棒控制与鲁棒滤波中的运用 。同时探 讨了时滞系统与非线性系统的研究现状 。然后列举了一些具有代表性的采用 L M I 求解控 制问题的最新结果 。为了说明线性矩阵不等式的求解过程 ,给出了一个保性能控制的例 子 ,在 Matlab 513 编辑器中运行程序 ,得到的结果是最优性能指标值 , copt = J 3 101677 7 。 关 键 词 : 线性矩阵不等式 ;时滞 ;凸优化 ;L M I 工具箱 中图分类号 : TP 13 文献标识码 : A
线性矩阵不等式在线性脉冲系统稳定性上的应用
线性矩阵不等式在线性脉冲系统稳定性上的应用侯利元 200921100144 运筹学与控制理论 一班一、线性系统描述⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∆=+∙00)(x t x x C x AX x k k k t t t t =≠ （1）其中，x 是系统状态实变量，A 是系统实矩阵，C k 是系统在时刻的脉冲反馈矩阵，t k 是脉冲跳跃点， t 0< t 1< t 2 <…< t k <t k +1<…→∞ (k →∞) ，),()(lim ),()(lim 00+→-→=+=-++t x h t x t x h t x h h 跳跃变化∆x (t ) = x (t + ) - x (t - )。
引理1（Schur 补）设设A , B ,C 是适当维数的矩阵，那么下面三式等价：(1) A < 0，且C - B T A -1B < 0；(2) C < 0，且A - BC -1B T < 0；(3) 0<⎥⎦⎤⎢⎣⎡C B B AT 引理2 设A 是适当维数矩阵，则A T A ≥0，且严格正定的充要条件为A 是非奇异的。
引理3 如果满足：)()(1+-+≤k k t x t x （2）则（1）式的零平衡状态稳定；如果不等号严格成立，则渐进稳定。
二、主要结果引理3的结果在一定程度上刻画了具有线性脉冲反馈的线性定常系统的稳定条件，但有两个问题没有解决：(1) 上述定理对于脉冲反馈矩阵C k 的具体形式没有约束，自由度较大，但如何进行设计缺乏标准，盲目性较大，只有在k C 取对角阵的情况下才能给出便捷的设计方案，否则可操作性大大下降，很难进行控制器设计。
(2) 所给出的仅仅是充分条件，通过仿真手段可以看到其保守性，这在实践上势必造成巨大的浪费，寻求必要条件成为重中之重。
针对以上两点，这里讨论一类特殊情况，也是应用起来比较普遍易行的情况：(1) 脉冲反馈为常值矩阵C k = C ，k =1, 2, …；(2) 脉冲时间间隔相等t k +1- t k =△ k =1, 2,…；进而得到了系统稳定的充分必要条件，并将其转化为线性矩阵不等式的问题加以求解，现将系统重新描述如下：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∆=+∙00)(x t x Cx x AX x k k t t t t =≠ （3）式中，脉冲时间间隔相等，t k +1- t k =△， k =1, 2,…；定理1 系统（3）的零平衡状态稳定的充要条件是：)()(1+-+≤k k t x t x ，（4）渐进稳定的充要条件是上式的不等号严格成立。
控制论常用的矩阵不等式
控制论常用的矩阵不等式1. 引言控制论是研究如何通过调节输入信号以改变和稳定系统行为的理论。
矩阵不等式是控制论中常用的分析工具之一。
它是由一组矩阵构成的不等式关系，用于描述系统的稳定性、性能和鲁棒性等方面的要求。
本文将介绍控制论常用的矩阵不等式及其应用领域。
首先，我们将介绍矩阵不等式的基本概念和定义。
然后，我们将讨论矩阵不等式在系统稳定性分析、性能指标设计和鲁棒控制中的应用。
最后，我们将总结矩阵不等式的优缺点，并展望其未来的发展方向。
2. 矩阵不等式的基本概念和定义矩阵不等式是一种关于矩阵的不等式关系，常用于描述系统的稳定性和性能等要求。
下面是一些常见的矩阵不等式的定义：定义1：对于给定的实对称矩阵A和正定矩阵P，不等式A^T P + PA < 0称为Lyapunov不等式。
Lyapunov不等式在系统稳定性分析中特别重要。
通过求解Lyapunov不等式，可以判断系统的稳定性，并设计稳定控制器。
定义2：对于给定的实对称矩阵A、B和正定矩阵Q，不等式A^T Q + QA - B^T B < 0称为Riccati不等式。
Riccati不等式广泛应用于线性二次型控制问题中。
通过求解Riccati不等式，可以设计最优的状态反馈控制器，使系统具有最小的性能指标。
定义3：对于给定的实对称矩阵A和不等式约束矩阵C，不等式AC + CA^T < 0称为LMI不等式。
LMI不等式是一种常见的矩阵不等式形式，广泛应用于鲁棒控制和优化问题中。
通过求解LMI不等式，可以设计稳定控制器，并满足一定的性能指标和鲁棒性要求。
3. 矩阵不等式在系统稳定性分析中的应用系统稳定性是控制论中的一个重要问题。
矩阵不等式在系统稳定性分析中起到关键作用。
下面介绍两种常见的矩阵不等式在系统稳定性分析中的应用。
Lyapunov不等式的应用在系统稳定性分析中，Lyapunov不等式常用于判断系统的渐进稳定性。
对于给定的系统描述矩阵A，存在一个实对称矩阵P满足Lyapunov不等式，当且仅当系统是渐进稳定的。
线性矩阵不等式1
H∞性能
x(t) Ax(t) Bw(t) z(t) Cx(t)+ Dw(t)
•增益 ee 有一个频率域的解释：它恰好等于 传递函数 T(s) 的 H 范数，即 ee T(s)
用线性矩阵不等式刻画系统的H∞范数
Fi FiT Rnn 实对称矩阵
F x 是负定的
——仿射矩阵不等式 • 仿射函数即由1阶多项式构成的函数，一般形式为 f (x) = A x + b，这里，
A 是一个 m×k 矩阵，x 是一个 k 向量,b是一个m向量，实际上反映了 一种从 k 维到 m 维的空间映射关系。 • 设f是一个矢性（值）函数，若它可以表示为
H∞控制器设计
x(t) Ax(t) Bw(t) z(t) Cx(t)+ Dw(t)
x(t) Ax(t) B1w(t)+ B2u(t z(t) C1x(t)+ D11w(t)+ D12u
状态反馈H∞控制
x(t) Ax(t) B1w(t)+ B2u(t)
z(t) C1x(t)+ D11w(t)+ D12u(t)
AT P PA Q PB
BT P
R 0
Schur补：是将非线性矩阵不等式转化为线 性矩阵不等式的有效工具
标准的线性矩阵不等式问题
Linear Matrix Inequality (LMI)
可行性问题(LMIP)—求不等式的可行解
检验是否存在x，使得 F(x) 0成立。
鲁棒控制
－线性矩阵不等式处理方法
Robust control –LMI Method
Matlab中LMI(线性矩阵不等式)工具箱使用教程
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常项（Constant Terms）是确定的矩阵。
可变项（Variable Terms)是哪些含有矩阵变量的项，例如：X*A, X*C'。
如果是X*A + X*C'，那么记得要把它当成两项来处理。
好了废话不说了，让我们来看个例子吧（下面是一线性时滞系统）。
针对这个式子，如果存在满足如下LMI的正矩阵(positive-define)的Q，S1，S2和矩阵M，那么我们就称作该系统为H-inf渐进稳定的，并且gammar是上限。
该论文的地址为：论文原文地址该论文的算例为：我们要实现的就利用LMI进行求解，验证论文结果。
首先我们要用setlmis([])命令初始化一个LMI系统。
接下来，我们就要设定矩阵变量了。
采用函数为lmivar语法：X = lmivar(type,struct)type=1: 定义块对角的对称矩阵。
每一个对角块或者是全矩阵<任意对称矩阵>，标量<单位矩阵的乘积>，或者是零阵。
如果X有R个对角块，那么后面这个struct就应该是一个Rx2阶的的矩阵，在此矩阵中，struct(r,1)表示第r个块的大小，struct(r,2) 表示第r个块的类型<1--全矩阵，0--标量，-1--零阵）。
比如一个矩阵有两个对角块，其中一个是2x2的全对称矩阵，第二个是1x1的一个标量，那么该矩阵变量应该表示为X = lmivar(1, [2 1; 1 0]) 。
type=2: mxn阶的矩阵，只需要写作struct = [m,n]即可。
type=3: 其它类型。
针对类型3，X的每一个条目（each entry of X）被定义为0或者是+(-)xn，此处xn代表了第n个决策变量。
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现有的Riccati方程处理方法中，缺乏寻找参数最佳
值的方法，参数的人为确定给分析和综合结果带来了 很大的保守性。
Riccati矩阵方程本身的求解也存在一定的问题，比
如用于迭代求解时，收敛性无法保证。
线性矩阵不等式的引入
基于凸优化内点法，可应用于系统和控制的各个领
AT P PA + C T C T B P PB 0 I
A B M A jB B A
复矩阵不等式的表示
A B M 0 0 B A
非严格线性矩阵不等式
F 0 F 0
严格线性矩阵不等式
非严格线性矩阵不等式
X F 0 0 0 X 0 X
通常情况下，可将非严格线性矩阵不等式当成严格 线性矩阵不等式处理。但一定要视具体情况而定， 并不总是正确的。
标准的线性矩阵不等式问题
Linear Matrix Inequality (LMI)
可行性问题(LMIP)—求不等式的可行解 特征值问题(EVP)－－求不等式的优化解 广义特征值问题(GEVP)－－仿射矩阵函数 的不等式优化问题
关于矩阵不等式的一些结论
矩阵变量的替换法 存在标量ε>0，对称矩阵X>0,矩阵K,使得
X A BK T A BK X 2YY T XC T 0 CX I
记 V X ,W KV
存在标量ε>0，对称矩阵V>0,矩阵W,使得
VAT +W T B T + AV + BW 2YY T VC T 0 CV I
域。
1995年，MATLAB推出了求解线性矩阵不等式问
题的LMI工具箱，进一步推动了LMI的飞速发展。
任一可行解均可得到一个控制器，方便实用。
凸（约束）问题
定义（凸集） 一个集合 C R k 称为凸的，如果集合中任意两点
的连线仍在集合内。
1 2 即任意给定两点 C 和 C C 及参数 [0,1],
S-procedure（S-过程）
存在对称矩阵P>0,使得对满足πTπ ξTCTCξ的所有 ξ 0和π，若要 T AT P PA PB 0 T 0 B P 成立，当且仅当存在标量τ>0和对称矩阵P>0,使得
其中
X 11
为方阵，则以下三个条件是等价的：
a)
b) c)
X 0
T 1 X11 X12 0 X11 0 ，且 X 22 X12
1 T X 22 0 ，且 X11 X12 X 22 X12 0
。
Schur补应用
若要证明存在对称矩阵P>0,Q>0,R>0,使得如下不等 式成立 AT P PA PBR1BT P Q 0
只需证明如下线性矩阵不等式(LMI)成立
AT P PA Q PB 0 T B P R
Schur补：是将非线性矩阵不等式转化为线 性矩阵不等式的有效工具
复线性矩阵不等式的处理
复变量实矩阵的映射
a b a jb b a 复矩阵实矩阵的映射
有
C 1 C C
1 2
C 1 1 C 2称为 C 1 和 C 2 的凸组合。
将矩阵不等式的解约束在 矩阵变量定义的空间中
Schur补定理
引理 (Schur Complement) 对于分块对称阵
X11 X T X12 X12 X 22
鲁棒控制
－线性矩阵不等式处理方法
Robust control –LMI Method
主要内容
线性矩阵不等式概论 鲁棒H∞控制 区域极点配置 保性能控制 时滞系统的分析与综合 鲁棒跟踪问题 Matlab的LMI工具箱介绍
线性矩阵不等式概论
Riccati方程存在的问题
需要设计者事先确定一些待定参数。参数的选择不