2015年高考湖北卷理科数学答案
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2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
数学（理工类）试题参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．A 2．B 3．D 4．C 5．A 6．B 7．B 8．D 9．C 10．B 二、填空题（本大题共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分）
11．9
12．2 13
．
14．
（Ⅰ）22(1)(2x y -+=；（Ⅱ）①②③ 15．1
2
16
． 三、解答题（本大题共6小题，共75分） 17．（11分）
（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π
5,2,6
A ωϕ===-. 数据补全如下表：
且函数表达式为()5sin(2)6
f x x =-.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 π()5sin(2)6f x x =-，得π
()5sin(22)6
g x x θ=+-.
因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z . 令π22π6x k θ+-
=，解得ππ212
k x θ=+-，k ∈Z . 由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称，令ππ5π
21212
k θ+-=
， 解得ππ23k θ=-，k ∈Z . 由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π
6
. 18．（12分）
（Ⅰ）由题意有，111045100,2,a d a d +=⎧⎨=⎩ 即11
2920,
2,a d a d +=⎧⎨=⎩
解得11,2,a d =⎧⎨=⎩ 或19,2.9a d =⎧⎪
⎨=⎪⎩ 故1
21,2.n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或11(279),929().9n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩
（Ⅱ）由1d >，知21n a n =-，12n n b -=，故1
21
2
n n n c --=
，于是 234
1
357921
122222n n n T --=+
+++++
， ① 234511357921
2222222n n
n T -=++++++
. ② ①-②可得
22
11112123
23222222n n n n
n n T --+=++++
-
=-
， 故n T 1
23
62
n n -+=-
. 19．（12分） （解法1）
（Ⅰ）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥，
由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，而PD CD D =，
所以BC PCD ⊥平面. 而DE PCD ⊂平面，所以BC DE ⊥. 又因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以DE PC ⊥. 而PC
BC C =，所以DE ⊥平面PBC . 而PB PBC ⊂平面，所以PB DE ⊥.
又PB EF ⊥，DE
EF E =，所以PB ⊥平面DEF .
由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，
即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠，，
EFB DFB ∠∠，. （Ⅱ）如图1，在面PBC 内，延长BC 与FE 交于点G ，则DG 是平面DEF 与平面ABCD
的交线. 由（Ⅰ）知，PB DEF ⊥平面，所以PB DG ⊥. 又因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD DG ⊥. 而PD
PB P =，所以DG PBD ⊥平面.
故BDF ∠是面DEF 与面ABCD 所成二面角的平面角， 设1PD DC ==，BC λ=，有BD
在
Rt △PDB 中, 由DF PB ⊥, 得π
3
DPF FDB ∠=∠=, 则
πtan
tan 3BD DPF PD
=∠==, 解得λ= 所以
1DC BC λ==
第19题解答图2 第19题解答图1 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π
3
时，DC BC =
（解法2）
（Ⅰ）如图2，以D 为原点，射线,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系. 设
1PD DC ==，BC λ=，则(0,0,0),(0,0,1),(,1,0),(0,1,0)D P B C λ，(,1,1)PB λ=-，点E 是PC 的中
点，所以11(0,
,)22E ，11
(0,,)22
DE =， 于是0PB DE ⋅=，即PB DE ⊥. 又已知EF PB ⊥，而DE
EF E =，所以PB DEF ⊥平面.
因(0,1,1)PC =-, 0DE PC ⋅=, 则DE PC ⊥, 所以DE PBC ⊥平面.
由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，
即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠，，
EFB DFB ∠∠，.
（Ⅱ）由PD ABCD ⊥平面，所以(0,0,1)DP =是平面ABCD 的一个法向量；
由（Ⅰ）知，PB DEF ⊥平面，所以(,1,1)BP λ=--是平面DEF 的一个法向量.
若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π
3
，
则π1cos
32
||||
BP DP BP
DP λ⋅===
⋅， 解得λ=所以
1DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π
3
时，DC BC = 20．（12分）
（Ⅰ）设每天,A B 两种产品的生产数量分别为,x y ，相应的获利为z ，则有