2020年高考一道图形旋转的典型例题及其变式

一道图形旋转的典型例题及其变式

典例 已知：如图1，E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，且∠EAF =45°.

求证： BE +FD =EF

分析：可把△ADF 绕点A 旋转至图2所示位置则F ′B =FD ，再证△AF ′E ≌△AFD ，则EF ′=EF ，又E F ′=BE +F ′B =BE +FD 所以，BE +FD =EF .

证明：如图2，把△ADF 绕点A 顺时针旋转90︒，到△ADF ′的位置. ∵AD =AB ，∠DAB =90°

∴点B 与D ′重合

∵∠ABE +∠ABF ′=180°，∴F ′、B 、E 在一条直线上，即F ′E =BE +DF ∵∠EAF =45°，∴∠BAE +∠DAF =45°

∴∠F ′AB +∠BAE =45°，

∴∠F ′AB =∠F AE =45°

又∵AF =AF ′，AE =AE ，∴△F ′AE ≌△F AE

∴EF =EF ′，∴BE +FD =EF

点拨：本题解题方法体现了转化的数学思想，利用图形的旋转将分散了的条件转化为整体的.

本题为一经典旋转题，它其实是人教课标数学九上课本P64页例题的变式。以本典例为原型的中考题近几年出现很多，下面例举两道，供同学们学习参考。 变式1 (牡丹江市)已知：正方形ABCD 中，45MAN ∠= ，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB DC ，（或它们的延长线）于点M N ，． 当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN =时（如图3），易证BM DN MN +=．

（1）当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN ≠时（如图4），线段BM DN ，和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．

图2