2020年高考一道图形旋转的典型例题及其变式

合集下载

热点05 图形的平移、翻折与旋转(解析版)

第二步·大题夺高分热点05 图形的平移、翻折与旋转真题回顾1．（2020·上海中考真题）如图，在△ABC中，AB=4，BC=7，∠B=60°，点D在边BC上，CD=3，联结AD．如果将△ACD沿直线AD翻折后，点C的对应点为点E，那么点E到直线BD的距离为____．【答案】．【分析】过E点作EH⊥BC于H，证明△ABD是等边三角形，进而求得∠ADC=120°，再由折叠得到∠ADE=∠ADC=120°，进而求出∠HDE=60°，最后在Rt△HED中使用三角函数即可求出HE的长．【详解】解：如图，过点E作EH⊥BC于H，∵BC=7，CD=3，∴BD=BC-CD=4，∵AB=4=BD，∠B=60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ADB=60°，∴∠ADC=∠ADE=120°，∴∠EDH=60°，∵EH⊥BC，∴∠EHD=90°．∵DE=DC=3，∴EH=DE×sin∠HDE=3×=，∴E到直线BD的距离为．故答案为：．【点睛】本题考查了折叠问题，解直角三角形，点到直线的距离，本题的关键点是能求出∠ADE=∠ADC=120°，另外需要重点掌握折叠问题的特点：折叠前后对应的边相等，对应的角相等．2．（2017·上海中考真题）一副三角尺按如图的位置摆放（顶点C 与F 重合，边CA与边FE叠合，顶点B、C、D在一条直线上）．将三角尺DEF绕着点F按顺时针方向旋转n°后（0＜n＜180 ），如果EF∥AB，那么n的值是_____．【答案】45【解析】解：①如图1中，EF∥AB时，∠ACE=∠A=45°，∴旋转角n=45时，EF∥AB．②如图2中，EF∥AB时，∠ACE+∠A=180°，∴∠ACE=135°∴旋转角n=360°﹣135°=225°，∵0＜n°＜180，∴此种情形不合题意，故答案为45．3．（2015·上海中考真题）已知在中，8AB AC ==，30BAC ∠=．将绕点旋转，使点落在原的点处，此时点落在点处．延长线段，交原的边的延长线于点，那么线段的长等于___________．【答案】【详解】解：如图，由旋转的性质知，8AD AC ==，30CAD ∠=，过作CF AE ⊥交于，而，，故843DF =-．在中，8AB AC ==，30BAC ∠=则75B ACB ∠=∠=，故45E ACB DAC ∠=∠-∠=，为等腰直角三角形，则4EF CF ==，所以．4．（2011·上海中考真题）Rt △ABC 中，已知∠C ＝90°，∠B ＝50°，点D 在边BC 上，BD ＝2CD （如图）．把△ABC 绕着点D 逆时针旋转m （0＜m ＜180）度后，如果点B 恰好落在初始Rt △ABC 的边上，那么m ＝______．【答案】80°或120°【分析】本题可以图形的旋转问题转化为点B 绕D 点逆时针旋转的问题，故可以D 点为圆心，DB 长为半径画弧，第一次与原三角形交于斜边AB 上的一点B′，交直角边AC 于B″，此时DB′=DB ，DB″=DB=2CD ，由等腰三角形的性质求旋转角∠BDB′的度数，在Rt △B″CD 中，解直角三角形求∠CDB″，可得旋转角∠BDB″的度数．【详解】解：如图，在线段AB 取一点B′，使DB=DB′，在线段AC 取一点B″，使DB=DB″，∴①旋转角m=∠BDB′=180°-∠DB′B -∠B=180°-2∠B=80°，②在Rt △B″CD 中，∵DB″=DB=2CD ，∴∠CDB″=60°，旋转角∠BDB″=180°-∠CDB″=120°．故答案为80°或120°．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．运用含30度的直角三角形三边的关系也是解决问题的关键．1．（2021·上海徐汇区·九年级一模）如图，在中，点分别在边、上，//DE BC ，将沿直线翻折后与 FDE 重合，、分别与边交于点、，如果，，那么的长是 _____ ．【答案】4【分析】设，从而可得2,a AD a BD ==，先根据平行线的性质可得,ADE B EDM BMD ∠=∠∠=∠，再根据翻折的性质可得，从而可得B BMD ∠=∠，然后根据等腰三角形的判定可得DM BD a ==，从而可得，最后根据三角形的中位线定理即可得．【详解】设，则2,BD D a A a A AB D =-==，//DE BC ，,ADE B EDM BMD ∠=∠∠=∠∴，由翻折的性质得：，B BMD ∴∠=∠，DM BD a ∴==，，即点M 是DF 的中点，又//DE BC ，是FDE 的中位线，118422MN DE ∴==⨯=，故答案为：4．【点睛】本题考查了翻折的性质、等腰三角形的判定、三角形的中位线定理等知识点，熟练掌握翻折的性质是解题关键．2．（2021·上海杨浦区·九年级一模）如图，已知在△ABC 中，∠B=45º，∠C=60º，将△ABC 绕点A 旋转，点B 、C 分别落在点B 1、C 1处，如果BB 1//AC ，联结C 1B 1交边AB 于点D ，那么的值为______．【答案】【分析】由旋转得出∠=75°，在△中，过点B 作BM ⊥于M,设,由勾股定理计算出BD 的长，由此解答即可．【详解】解：由题意知，AC ∥BB 1，°，∠C=60°，∴11CAB ABB AB B ==∠∠∠=75°模拟预测∵∠∠ABC =45°，∴∠=30°，则∠=75°在△中，过点B 作BM ⊥于M,设在Rt △BMB 1中，∠=30°，∴BM=，，∴则x == ∵=【点睛】本题考查了旋转知识平行线的性质和勾股定理等知识，掌握勾股定理是解题的关键．3．（2021·上海静安区·九年级一模）在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =13，（如图），将△ABC 绕点C 旋转后，点A 落在斜边AB 上的点A ’，点B 落在点B ’，A ’B ’与边BC 相交于点D ，那么的值为____．【答案】【分析】先过作CE AB ⊥交于点，根据题意求出和，由Rt ABC 面积公式求出，再根据旋转的性质得，'AC A C =，由'CE AA ⊥，则'AE EA =，并求出，利用对顶角相等得，则''A DB CDB △△∽，最后根据相似三角形性质可得【详解】过作CE AB ⊥交于点，，，设，，在Rt ABC 中，13AB ===，，AC ∴=1122ABC S BC AC AB CE =⋅=⋅，， 2tan 3CE B EB ==，， ''Rt A B C 由Rt ABC 旋转而得，'B B ∴∠=∠，'AC A C =，'CE AA ⊥，，，，，又，''A DB CDB ∴∽，''''5CD CB CB A D A B A B ∴=== 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理以及相似三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 4．（2021·上海宝山区·九年级一模）在Rt ABC △中，，AC BC =，点、分别是边、的中点，已知点在线段上，联结，将线段绕点逆时针旋转90°得到线段，如果点、、在同一直线上，那么______．【答案】或．【分析】分两种情形：①当点D 在线段PC 上时，延长AD 交BC 的延长线于H ．证明AD ＝DC 即可解决问题．【详解】解：①如图2中，当点D 在线段PC 上时，延长AD 交BC 的延长线于H ．∵CE ＝EA ，CF ＝FB ，∴EF ∥AB ，∵AC ＝AB ，∠ACB ＝90°，∴∠CEF ＝∠CAB ＝45°，∵PD ＝P A ，∠APD ＝90°，∴∠P AD ＝∠PDA ＝45°，∴∠HDC ＝∠PDA ＝45°，∵点是边的中点，∴EA ＝EP ＝EC ，∴∠EPC ＝∠CEP ，∵∠HDC ＝∠DCA+∠DAC ＝45°，∠CEF ＝∠DCA+∠EPC ＝45°，∴∠DAC ＝∠EPC ＝∠ECP ，∴DA ＝DC ，设AP ＝a ，则DA DC ==,∴)1PC a =，∴)1tan 1a PC CAP PA a ∠=== ②如图3中，当点P 在线段CD 上时，由①可知，EF ∥AB ，∠CAB ＝∠PDA ＝45°，∴∠CAD ＝180°-∠ACD-45°，∠COA ＝180°-∠ACO-45° ∴∠CAD ＝∠COA ，∵EF ∥AB ，∴∠CPE ＝∠COA ，∴∠CPE ＝∠CAD ，∵点是边的中点，∴EA ＝EP ＝EC ，∴∠ECP ＝∠CPE ，∴∠ECP ＝∠CAD ，∴DA ＝DC ，设AP ＝a ，则PD ＝a ，DA DC ==,∴)1PC a =，∴)1tan 1a PC CAP PA a ∠==综上所述，tan CAP ∠的值是或．【点睛】本题考查了旋转变换，等腰直角三角形的性质，中位线的性质，外角的性质，三角形内角和，勾股定理和三角函数等知识，熟悉相关性质是解题的关键．5．（2021·上海闵行区·九年级一模）如图，在Rt ABC 中，，，，将绕着点A 顺时针旋转后，点B 恰好落在射线CA 上的点D 处，点C 落在点E 处，射线DE 与边AB 相交于点F ，那么BF ＝_________．【答案】【分析】如图，过点F 作FG ⊥AC 于G ，设FG=x ，由旋转得∠D=∠B ，求出2GD x =，23AG x =-，利用FG ∥BC ，求得FG=2AG ，由此列得x=2（2x-3），求出FG=2，AG=1，利用勾股定理求出AF ，即可求得答案．【详解】如图，过点F 作FG ⊥AC 于G ，设FG=x ，由旋转得∠D=∠B ，∴，∴，∴2GD x =，∵AD=AB=3，∴23AG x =-，∵∠FGA=，∴FG ∥BC ，∴∠AFG=∠B ，∴，∴FG=2AG ，∴x=2（2x-3），解得x=2∴FG=2，AG=1，∴AF ==∴，故答案为：．【点睛】此题考查锐角三角函数，勾股定理，旋转的性质，解一元一次方程，解题中运算等角的三角函数值相等是思想解决问题是解题的关键．6．（2020·上海杨浦区·九年级一模）如图，已知在中，，60C ∠=°，将绕点A 旋转，点B 、C 分别落在点、处，如果1//BB AC ，连接结交边于点D ，那么的值为______．【答案】【分析】过点D 作DE ⊥，如图所示，由题意易得175CAB ABB ∠=∠=︒，1175AB B ABB ∠=∠=︒，，进而可证11ABB B BD ∽，则有，设，则有，然后根据相似三角形的性质可求解．【详解】解：由题意可作如图所示：过点D 作DE ⊥，∵∠C=60°，∠B=45°，∴∠CAB=75°，145AB D ∠=︒，∵1//BB AC ，∴175CAB ABB ∠=∠=︒，∵，∴1175AB B ABB ∠=∠=︒，∴，∴1175BDB ABB ∠=∠=︒，∴，∴11ABB B BD ∽，∴，设，∴，∴)11AB a =，∴，∴，故答案为．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、旋转的性质及三角函数，熟练掌握相似三角形的性质与判定、旋转的性质及三角函数是解题的关键．7．（2021·上海奉贤区·九年级一模）如图，在Rt ABC ∆中，90,3,4,ACB AC BC CD ∠=︒==是的角平分线，将Rt ABC∆绕点旋转，如果点落在射线上，点落在点处，连接ED，那么的正切值为_______________________．【答案】【分析】如图，过点D作DG⊥AC于G，可得DG//BC，即可证明△AGD∽△ACB，可得，由CD是角平分线可得∠ACD=45°，可得CG=DG，进而可求出AG的长，根据勾股定理即可求出AD的长，根据旋转的性质可得AC′=AC，AE=AB，根据等腰三角形的性质可得∠CC′A=45°，可得∠CAC′=90°，可得旋转角为90°，可得∠DAE=90°，利用勾股定理可求出AB的长，根据正切的定义即可得答案．【详解】如图，过点D作DG⊥AC于G，∵∠ACB=90°，∴DG//BC，∴△AGD∽△ACB，可得，∵CD是角平分线，∴∠ACD=45°，∴CG=DG，∵AC=3，AC=AG+CG，∴+CG=3，即=3，解得：DG=，∴AG=，∴，∵将Rt ABC∆绕点旋转，如果点落在射线上，∴AC′=AC，AE=AB，∴∠CC′A=∠ACD=45°，∴∠CAC′=90°，∴旋转角为90°，∴∠DAE=90°，∵AC=3，BC=4，∴AB=5，tanAD AD AEDAE AB∠===．故答案为：【点睛】本题考查旋转的性质、相似三角形的判定与性质及三角函数的定义，正确得出旋转角为90°并熟练掌握相关性质及定义是解题关键．8．（2020·上海浦东新区·九年级三模）如图，在矩形ABCD中，，，将矩形ABCD绕点旋转，点、、的对应点分别为、、，当落在边的延长线上时，边与边的延长线交于点，联结，那么线段的长度为_________．【答案】【分析】由旋转的性质得CD=CD'=3，A'D'=AD=4，∠ADC=∠A'D'C=90°，由勾股定理得出A'C=5，则A'D=A'C-CD=5-3=2，证Rt△CDF≌Rt△CD'F（HL），得出DF=D'F，设DF=D'F=x，则A'F=4-x，在Rt△A'DF中，由勾股定理得出方程，解方程得DF=，由勾股定理即可得出CF的长度．【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=3，AD=BC=4，∠ADC=90°，∴∠A'DF=∠CDF=90°，由旋转的性质得：CD=CD'=3，A'D'=AD=4，∠ADC=∠A'D'C=90°，∴5A C'=，∴A'D=A'C-CD=5-3=2，在Rt △CDF 和Rt △CD'F 中，，∴Rt △CDF ≌Rt △CD'F （HL ），∴DF=D'F ，设DF=D'F=x ，则A'F=4-x ，在Rt △A'DF 中，由勾股定理得：22+x 2=（4-x ）2，解得：x=，∴；故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和旋转的性质，证明三角形全等是解题的关键．9．（2020·上海普陀区·九年级二模）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，cot B ＝，点P 为边AB 上一点，将△BPC 沿着PC 翻折得到△B ′PC ，B ′C 与边AB 的交于点D ，如果△B ′PD 恰好为直角三角形，那么BP ＝__．【答案】4或【分析】分两种情形：如图1中，当时，过点作CH AB ⊥于．如图2中，当时，设．分别求解即可解决问题．【详解】解：如图1中，当时，过点作CH AB ⊥于．，，，10AB ∴==，1122BC AC AB CH =，， 90B A ∠+∠=︒，90B PD B ∠'+∠'=︒，，，，6AC CD ∴==，CH AD ⊥，，36141055BD AB AD ∴=-=-=，，设，在Rt PDB ∆'中，则有，解得或（舍弃），如图2中，当时，设．在Rt PDB ∆'中，则有2223216()()55x x =-+，解得，综上所述，满足条件的的值为或4．故答案为4或．【点睛】本题考查解直角三角形，翻折变换等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．10．（2020·上海青浦区·九年级二模）在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝2，将△ABC绕着点B顺时针旋转，如果点A落在射线BC上的点A'处．那么AA'＝_____．【答案】2【分析】作AH⊥BC于H，如图，利用等腰三角形的性质得BH＝CH＝BC＝1，利用勾股定理可计算出AH＝2，再根据旋转的性质得BA′＝BA＝3，则HA′＝2，然后利用勾股定理可计算出AA′的长．【详解】解：作AH⊥BC于H，如图，∵AB＝AC＝3，BC＝2，∴BH＝CH＝BC＝1，∴AH＝，∵△ABC绕着点B顺时针旋转，如果点A落在射线BC上的点A'处，∴BA′＝BA＝3，∴HA′＝2，在Rt△AHA′中，AA′＝．故答案为2．【点睛】此题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，解题关键在于掌握对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．11．（2020·上海虹口区·九年级二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D、E分别是边BC、AB上一点，DE∥AC，BD＝5，把△BDE绕着点B旋转得到△BD'E'（点D、E分别与点D'，E'对应），如果点A，D'、E'在同一直线上，那么AE'的长为_____．【答案】或【分析】分两种情形分别求解：如图1中，当点D′在线段AE′上时，解直角三角形求出AD′，D′E′即可．如图2中，当E′在线段AD′上时，同法可得．【详解】解：在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BCA，∴，∴，∴DE＝，∵∠AD′B＝90°，如图1中，当点D′在线段AE′上时，'==∵△BDE绕着点B旋转得到△BD'E'，∴D B DB∴AD′＝，又∵，∴AE′＝AD′+D′E′＝，如图2中，当E′在线段AD′上时，同法可得AE′＝AD′﹣D′E′＝，综上所述，满足条件的AE′的长为或．故答案为或．【点睛】本题考查旋转变换，解直角三角形，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题以及灵活运用所学的知识点，属于中考常考题型．12．（2020·上海杨浦区·九年级二模）如图，已知在平行四边形ABCD中，AB＝10，BC＝15，tan∠A＝，点P是边AD上一点，联结PB，将线段PB绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ，如果点Q恰好落在平行四边形ABCD的边上，那么AP的值是_____．【答案】6或10【分析】分情况解答：当点Q落在CD上时，作BE⊥AD于E，QF⊥AD交AD的延长线于F．设PE＝x，通过证明△PBE≌△QPF，得出PE＝QF＝x，DF＝x﹣1，由tan∠FDQ＝tan A＝＝，即可得出AP的值；当点Q落在AD上时，得出∠APB＝∠BPQ＝90°，由tan A＝，即可得出AP的值；当点Q落在直线BC上时，作BE⊥AD于E，PF⊥BC于F．则四边形BEPF是矩形．由tan A＝＝，可得出△BPQ是等腰直角三角形，此时求出BQ不满足题意，舍去.【详解】解：如图1中，当点Q落在CD上时，作BE⊥AD于E，QF⊥AD交AD的延长线于F．设PE＝x．在Rt△AEB中，∵tan A＝＝，AB＝10，∴BE＝8，AE＝6，∵将线段PB绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ，∴∠BPQ＝90°，∴∠EBP+∠BPE＝∠BPE+∠FPQ＝90°，∴∠EBP＝∠FPQ，∵PB＝PQ，∠PEB＝∠PFQ＝90°，∴△PBE≌△QPF（AAS），∴PE＝QF＝x，EB＝PF＝8，∴DF＝AE+PE+PF﹣AD＝x﹣1，∵CD∥AB，∴∠FDQ＝∠A，∴tan∠FDQ＝tan A＝＝，∴＝，∴x＝4，∴PE＝4，∴AP＝6+4＝10；如图2，当点Q落在AD上时，∵将线段PB绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ，∴∠BPQ＝90°，∴∠APB＝∠BPQ＝90°，在Rt△APB中，∵tan A＝＝，AB＝10，∴AP＝6；如图3中，当点Q落在直线BC上时，作BE⊥AD于E，PF⊥BC于F．则四边形BEPF是矩形．在Rt△AEB中，∵tan A＝＝，AB＝10，∴BE＝8，AE＝6，∴PF＝BE＝8，∵△BPQ是等腰直角三角形，PF⊥BQ，∴PF＝BF＝FQ＝8，∴PB＝PQ＝8，BQ＝PB＝16＞15（不合题意舍去），综上所述，AP的值是6或10，故答案为：6或10．【点睛】本题主要考查旋转的性质，由正切求边长，正确画出图形，分情况解答是解题的关键.13．（2020·上海金山区·九年级二模）如图，已知在四边形ABCD中∠A=∠ABC=90°，点E是CD的中点，△ABD与△EBD关于直线BD对称，，．（1）求点A和点E之间的距离；（2）联结AC交BE于点F，求的值．【答案】（1）AE= ；（2）【分析】（1）连接AE交BD于H，根据△ABD与△EBD关于直线BD对称，得AE⊥BD，AH=HE，利用勾股定理求出BD=2，利用1122ABDS AB AD BD AH=⋅=⋅求出即可得到答案；（2）根据∠A=90°，， BD=2求出∠ABD=30°，由△ABD与△EBD关于直线BD对称，得到∠BED=∠A=90°，DE=AD=1，∠DBE=∠ABD=30°，由点E是CD的中点，求出BC=BD=2，∠CBE=∠DBE=30°，求出∠M =30°，AM=3，利用AM∥BC，，即可求出.【详解】（1）连接AE交BD于H，∵△ABD与△EBD关于直线BD对称，∴AE⊥BD，AH=HE，∵∠A=90°，，，∴BD=2，∵1122ABDS AB AD BD AH=⋅=⋅,∴，∴，∴AE=；（2）延长AD、BE交于点M，∵∠A=90°，， BD=2，∴sin∠ABD=，∴∠ABD=30°，∵△ABD与△EBD关于直线BD对称，∴∠BED=∠A=90°，DE=AD=1，∠DBE=∠ABD=30°，∵点E是CD的中点，∴BE垂直平分CD，∴BC=BD=2，∴∠CBE=∠DBE=30°，∵∠A=∠ABC=90°，∴AD∥BC，∴∠M=∠CBE=30°，∴AM=，∵AM∥BC，∴，∴.【点睛】此题考查轴对称的性质，锐角三角函数，勾股定理，平行线的性质，线段垂直平分线的判定及性质.14．（2021·上海九年级专题练习）如图，已知对称轴为直线的抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中点的坐标为．（1）求点的坐标及抛物线的表达式；（2）记抛物线的顶点为，对称轴与线段的交点为，将线段绕点，按顺时针方向旋转，请判断旋转后点的对应点是否还在抛物线上，并说明理由；（3）在轴上是否存在点，使与相似？若不存在，请说明理由；若存在请直接写出点的坐标（不必书写求解过程）．【答案】（1），；（2）在抛物线上，理由见解析；（3）存在；或或或【分析】（1）根据轴对称图形的性质，对应点到对称轴的距离相等，方向相反，可得点B 的坐标，用待定系数法求得函数解析式．（2）求出直线BC 的解析式，计算得出线段PQ 的长度，过作平行于x 轴，交抛物线对称轴于点D ，根据旋转角度解直角三角形，得出的坐标，将的横坐标代入抛物线的解析式，计算并判断即可得出答案．（3）根据勾股定理可得出是直角三角形，根据相似三角形的性质分类讨论，得出点M 的坐标．【详解】解：（1）∵A 、B 是关于直线轴对称图形的两点，点的坐标为，∴点B 的横坐标为，∴点B 的坐标为；将A 、B 两点坐标值代入可列方程组：，解得∴抛物线的表达式为：．（2）∵点P 为抛物线顶点，直线为抛物线的对称轴，∴点P 的横坐标为-1，纵坐标为2223=(1)2(1)34y x x =--+---⨯-+=，∴点P 的坐标为，直线BC 的解析式为，将B 、C 的值代入可列方程：，解得∵BC 与对称轴交于点Q ，∴当，，∴点Q 的坐标为，，∵是点P 绕点Q 顺时针旋转120°得到的，∴，过作平行于x 轴，交抛物线对称轴于点D ，如图：∵在Rt QDP '中，18012060P QD '∠=︒-︒=︒，，∴，，∴点横坐标为点D 横坐标加，即：，点纵坐标为点Q 纵坐标减，即：，将的横坐标值代入，，∴的坐标符合抛物线表达式，∴在抛物线上．（3）∵[]2223(1)(04)20BP =---+-=，222(10)(43)2PC =--+-=，222(30)(03)18BC =--+-=，20182=+，∴222BP PC BC =+，∴是直角三角形，=90BCP ∠︒，，，∵M 是x 轴上一点，90COM ∠=︒，若OCM CBP ∠=∠，则OCM CBP ∽，∴，此时，点M 坐标为或，若OCM CPB ∠=∠，则OCM CPB ∽，∴，此时，点M 坐标为或，∴综上，点M 存在，点坐标为或或或．【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、勾股定理及相似三角形的性质，运用分类讨论的思想是解决第（3）小题的关键．15．（2011·上海静安区·中考模拟）如图（1），在△ABC 和△EDC 中，AC ＝CE ＝CB ＝CD ，∠ACB ＝∠ECD ＝，AB 与CE 交于F ，ED 与AB 、BC 分别交于M 、H ．（1）求证：CF ＝CH ；（2）如图（2），△ABC 不动，将△EDC 绕点C 旋转到∠BCE =时，试判断四边形ACDM 是什么四边形？并证明你的结论．【答案】（1）见解析；（2）菱形，理由见解析【分析】（1）要证明CF=CH ，可先证明△BCF ≌△ECH ，由∠ABC=∠DCE=90°，AC=CE=CB=CD ，可得∠B=∠E=45°，得出CF=CH ；（2）当旋转角∠BCD=45°，推出四边形ACDM 是平行四边形，由AC=CD 判断出四边形ACDM 是菱形．【详解】（1）∵AC=CE=CB=CD ，∠ACB=∠ECD=90°，∴∠A=∠B=∠D=∠E=45°，在△BCF 和△ECH 中，∵,∴△BCF ≌△ECH （ASA ），∴CF=CH ；（2）∠BCE=45°时，四边形ACDM 是菱形，理由如下：∵∠ACB=∠DCE=90°，∠BCE=45°，∴∠ACE=∠DCB=45°．∵∠E=45°，∴∠ACE =∠E ，∴AC ∥DE ，∴∠AMH=180°-∠A=135°，又∵∠A=∠D=45°，∴∠AMH+∠D=135°+45°=180， ∴AM ∥CD ，∴四边形ACDM 是平行四边形；∵AC=CD ，∴四边形ACDM 是菱形．【点睛】本题考查的是旋转的性质以及菱形的判定、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质，熟知图形旋转的性质是解答此题的关键．解题时注意：一组邻边相等的平行四边形是菱形． 16．（2021·上海九年级专题练习）在矩形ABCD 中，点P 在AD 上，AB=2，AP=1.直角尺的直角顶点放在点P 处，直角尺的两边分别交AB 、BC 于点E 、F ，连接EF(如图1).(1)当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合(如图2).①求证：△APB∽△DCP；②求PC、BC的长.(2)探究：将直角尺从图2中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止.在这个过程中(图1是该过程的某个时刻)，观察、猜想并解答：① tan∠PEF的值是否发生变化？请说明理由.②设AE=x，当△PBF是等腰三角形时，请直接写出x的值.【答案】(1)①证明见解析；②PC=2，BC=5；(2)①tan∠PEF的值不变；②x=或x=或x=.【分析】（1）①由勾股定理求BP，利用互余关系证明△APB∽△DCP；②利用相似比求PC，DP, 再根据BC=AD=AP+DP即可求得BC的长；（2）①tan∠PEF的值不变．理由为：过F作FG⊥AD，垂足为点G. 则四边形ABFG是矩形，同（1）的方法证明△APE∽△GFP，得相似比，再利用锐角三角函数的定义求值；②利用相似比求GP，再矩形性质求出BF，△PBF是等腰三角形，分三种情况讨论：(Ⅰ) 当PB=PF时，根据BF=2AP求值；当BF=BP时，(Ⅱ)根据BP=求值；(Ⅲ) 当BF=PF时，根据PF=即可求出x值.【详解】解：(1)①如图3.2，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=90°，CD=AB=2，∴在Rt△ABC中，∠1+∠2=90°，=又∵∠BPC=90°,∴∠3+∠2=90°，∴∠1=∠3. ∴△APB∽△DCP.②由△APB∽△DCP.∴，即.∴PC=2，DP=4.∴BC=AD=AP+DP=5.(2)①tan∠PEF的值不变.理由如下：如图3.1，过F作FG⊥AD，垂足为点G. 则四边形ABFG是矩形.∴∠A=∠PGF=90°，FG=AB=2，∴在Rt△APE中，∠1+∠2=90°，又∵∠EPF=90°,∴∠3+∠2=90°，∴∠1=∠3. ∴△APE∽△GFP，∴.∴在Rt△EPF中，tan∠PEF=2.∴tan∠PEF的值不变.②由△APE∽△GFP.∴.∴GP=2AE=2x，∵四边形ABFG是矩形.∴BF=AG=AP+GP=2x+1.△PBF 是等腰三角形，分三种情况讨论：(Ⅰ)当PB=PF 时，点P 在BF 的垂直平分线上.∴ BF=2AP. 即2x+1=2，∴x=.(Ⅱ)当BF=BP 时，BP=BP=，∴2x+1=.∴x=.(Ⅲ)当BF=PF 时，∵PF=，∴(2x)2+22=(2x+1)2，∴x=.【点睛】本题是综合题：熟练掌握线段垂直平分线的判定、矩形的性质和相似三角形的判定方法和性质；灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系和计算线段的长；合理作平行线构建相似三角形是解决问题的关键．17．（2021·上海九年级专题练习）如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC ＝90°，AB ＝6，BC ＝8，tanD ＝2，点E 是射线CD 上一动点(不与点C 重合)，将△BCE 沿着BE 进行翻折，点C 的对应点记为点F ．(1)如图1，当点F 落在梯形ABCD 的中位线MN 上时，求CE 的长.(2)如图2，当点E 在线段CD 上时，设CE ＝x ，，求y 与x 之间的函数关系式，并写出定义域.(3)如图3，联结AC ，线段BF 与射线CA 交于点G ，当△CBG 是等腰三角形时，求CE 的长．【答案】(1)；(2)(0＜x≤10)；(3)CE 的长为或或．【分析】(1)把BE 与MN 的交点记为点O ，根据折叠的性质以及梯形中位线定理，可判定△EFO 是等边三角形，即可得出∠FEB ＝60°，即∠CEB ＝60°，进一步在Rt △ECB 中，利用60°角的三角函数即可求出EC 的长；(2)把BE 与CF 的交点记为点P ，根据BE 是CF 的垂直平分线，可得，易证△ECP ∽△CBP ，然后利用相似三角形的性质即可得出y 与x 之间的函数关系式；(3)当△CBG 是等腰三角形时，分三种情况进行讨论：①GB ＝GC ；②CB ＝CG ；③BC ＝BG ，分别根据折叠的性质以及直角三角形的边角关系，求得CE 的长．【详解】解：(1)把BE 与MN 的交点记为点O ，如图1，∵梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC ＝90°，∴∠C ＝90°，由翻折得∠CEB ＝∠FEB ，∠EFB ＝∠C ＝90°， ∵MN 是梯形ABCD 的中位线，∴MN ∥AB ∥CD ，∴∠CEB ＝∠FOE ，，∴∠FEB ＝∠FOE ，∴FE ＝FO ，∵∠EFB ＝90°，EO ＝BO ，∴FO ＝EO ，∴FE ＝FO ＝EO ，∴△EFO 是等边三角形，∴∠FEB ＝60°，∴∠CEB ＝60°，∴在Rt △ECB 中，tan 60BC EC ===︒(2)把BE 与CF 的交点记为点P ，如图2，由翻折得，BE 是CF 的垂直平分线，即∠EPC ＝∠BPC ＝90°，，∴S △EFC ＝2S △EPC ，S △BFC ＝2S △BPC ，∴，∵∠ECP +∠BCP ＝90°，∠CBP +∠BCP ＝90°，∴∠ECP ＝∠CBP ，又∵∠EPC ＝∠BPC ＝90°，∴△ECP ∽△CBP ，∴∴(0＜x≤10)；(3)当△CBG 是等腰三角形时，存在三种情况：①当GB ＝GC 时，延长BF 交CD 于点H ，如图3， ∵AB ＝6，BC ＝8，∠ABC ＝90°，∴AC ＝10，∵GB ＝GC ，∴∠GBC ＝∠GCB ，∵∠HCB ＝90°，∴∠CHB +∠GBC ＝90°，∵∠ABC ＝90°，∴∠CAB +∠GCB ＝90°，∴∠CHB ＝∠CAB ，∴4sin sin 5CHB CAB ∠=∠=， ∵∠ABC ＝90°，∴∠ACB +∠CAB ＝90°，∠ABG +∠GBC ＝90°，∴∠CAB ＝∠GBA ，∴GA ＝GB ，∴GA ＝GC ，∵AB ∥CD ，∴，∴CH ＝AB ＝6，∵CE ＝x ，∴EF ＝x ，HE ＝6﹣x ，∵∠HFE ＝90°，∴，解得，即；②当CB ＝CG ＝8时，AG ＝10﹣8＝2，∵AB ∥CD ，∴，∴CH ＝4AB ＝24，∵CE ＝x ，∴EF ＝x ，HE ＝24﹣x ，∵∠HFE ＝∠HCB ＝90°，∴sin24EF BC x CHB HE BH x ∠====-，解得，即；③当BC ＝BG 时，F 点与G 点重合，如备用图，由翻折可得，BE 垂直平分线段GC ，∵∠CBE +∠BCA ＝90°＝∠CAB +∠BCA ，∴∠CBE ＝∠CAB ， ∴4tan tan 3CBE CAB ∠=∠=，∴，解得，综上所述，CE 的长为或或．【点睛】本题以梯形为载体，重点考查了梯形的中位线定理、折叠的性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形和等腰三角形的分类问题，涉及的知识点多，综合性强，解题时需要综合运用所学知识，注意知识的前后联系，有意识的运用数形结合、转化、分类和方程等数学思想方法. 18．（2021·上海九年级专题练习）已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，点C 在线段AB 上，且2AOB AOC S S ∆∆=．（1）求点C 的坐标（用含有m 的代数式表示）；（2）将△AOC 沿x 轴翻折，当点C 的对应点C′恰好落在抛物线上时，求该抛物线的表达式；（3）设点M 为（2）中所求抛物线上一点，当以A 、O 、C 、M 为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标．【答案】（1）（3，-2m ）；（2）；（3）或（或．【分析】（1）令x=0，即可求得B 的纵坐标，令x=0求得x ，则A 、B 的坐标即可求得，根据2AOB AOC S S ∆∆=．可以得到C 是AB 的中点，据此即可求得C 的坐标.（2）求得C 关于x 轴的对称点，代入抛物线的解析式，即可求得m 的值，进而求得抛物线解析式.（3）分AO 是平行四边形的对角线，OC 是平行四边形的对角线，AC 是平行四边形的对角线三种情况进行讨论，根据平行四边形的对角线互相平分，即可求解．【详解】（1）在直线中，令x=0，解得：y=-4m ，则B 的坐标是（0，-4m ），令y=0，解得：x=6，则A 的坐标是（6，0）．∵2AOB AOC S S ∆∆=．∴C 是AB 的中点.∴C 的坐标是（3，-2m ）.（2）∵将△AOC 沿x 轴翻折，点C 的对应点为C′，∴C′的坐标是（3，2m ），代入抛物线的解析式得：，解得：.∴抛物线的解析式是：.（3）设M 的坐标是（x ，y ），又C 的坐标是，当AO 是对角线时，AO 的中点是（3，0），则解得：.则M 的坐标是，满足函数的解析式.当AC 是平行四边形的对角线时，AC 的中点是：，则M 的坐标是是抛物线上的点.当OC 是平行四边形的对角线时，OC 的中点是，则，解得：.则M 的坐标是．点是抛物线上的点．综上所述，M 的坐标是：或（或．。

2020年九年级数学中考一轮复习专题---图形的旋转(含解析)

图形的旋转1、旋转：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O 叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。

2、旋转的性质：（ 1）对应点到旋转中心的距离相等。

（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。

（3）旋转前、后的图形全等例1．如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标（﹣5，0），（1）图中B点的坐标是（2）点B关于原点对称的点C的坐标是；点A关于y轴对称的点D的坐标是；（3）△ABC的面积是；（4）在直角坐标平面上找一点E，能满足S△ADE=S△ABC的点E有个；（5）在y轴上找一点F，使S△ADF=S△ABC，那么点F的所有可能位置是；（用坐标表示，并在图中画出）例2．如图，在直角坐标系中，矩形纸片ABCD的点B坐标为（9，3），若把图形按要求折叠，使B、D两点重合，折痕为EF．（1）△DEF是否为等腰三角形？（不要说明理由）（2）图形中是否存在成中心对称的两个图形？如果存在请说明理由；如果不存在，也请说明理由．（图中实线、虚线一样看待）（3）求折痕EF的长及所在直线的解析式．例3．我们知道，在平面内，如果一个图形绕着一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转的这个角称为这个图形的一个旋转角．例如，正方形绕着它的对角线的交点旋转90°后能与自身重合所以正方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为90°．（1）判断下列说法是否正确（在相应横线里填上“对”或“错”）①正五边形是旋转对称图形，它有一个旋转角为144°．②长方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°．（2）填空：下列图形中时旋转对称图形，且有一个旋转角为120°的是．（写出所有正确结论的序号）①正三角形②正方形③正六边形④正八边形（3）写出两个多边形，它们都是旋转对称图形，都有一个旋转角为72°，其中一个是轴对称图形，但不是中心对称图形；另一个既是轴对称图形，又是中心对称图形．例4：如图，如果把钟表的指针看做三角形OAB，它绕O点按顺时针方向旋转得到△OEF，在这个旋转过程中：（1）旋转中心是什么？旋转角是什么？（2）经过旋转，点A、B分别移动到什么位置？例5：如图，△ABC绕C点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B•对应点的位置，以及旋转后的三角形．例6：如图，在方格纸中的△ABC 经过变换得到△DEF ，正确的变换是（）A ．把△ABC 向右平移6格B ．把△ABC 向右平移4格，再向上平移1格C ．把△ABC 绕着点A 顺时针旋转90°，再向右平移6格D ．把△ABC 绕着点A 逆时针旋转90°，再向右平移6格A 档（巩固专练）1. 如图，该图形围绕点O 按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是（）（A ）72︒ （B ）108︒ （C ）144︒ （D ）216︒2. 如图，在△ABC 中, ο70=∠CAB . 在同一平面内, 将△ABC 绕点A 旋转到△//C AB 的位置, 使得AB CC ///, 则=∠/BAB （）A. ο30B. ο35C. ο40D. ο503. 如图，将ABC △绕点C 顺利针方向旋转40︒得A CB ''△，若AC A B ''⊥，则BAC ∠等于（）Ａ．50︒ Ｂ．60︒ Ｃ．70︒ Ｄ．80︒4. 一个图形无论经过平移还是旋转，有以下说法：①对应线段平行 ②对应线段相等③对应角相等 ④图形的形状和大小都没有发生变化其中都正确的说法是（）A ．①、②、③B ．①、②、④C ．①、③、④D ．②、③、④5. 在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为。

几何形的旋转方法与例题

几何形的旋转方法与例题几何形的旋转是数学中常见的操作方法，通过围绕旋转中心点旋转图形，可以产生一系列有趣的变化和性质。

本文将介绍几何形的旋转方法，并结合例题进行详细论述。

一、平面上的旋转方法在平面几何中，常见的旋转方法有以下两种：1. 以原点为旋转中心点的旋转：对于平面上的点A(x, y)，经过以原点O(0, 0)为中心点的逆时针旋转θ度后，新的坐标为A'(x', y')。

根据旋转矩阵的定义，可以得到旋转后的坐标计算公式：```x' = x*cosθ - y*sinθy' = x*sinθ + y*cosθ```这种方法适用于旋转点或图形关于原点对称的情况。

2. 以任意点为旋转中心点的旋转：对于平面上的点A(x, y)，经过以点P(a, b)为中心点的逆时针旋转θ度后，新的坐标为A'(x', y')。

根据旋转矩阵的定义，可以得到旋转后的坐标计算公式：```x' = (x-a)*cosθ - (y-b)*sinθ + ay' = (x-a)*sinθ + (y-b)*cosθ + b```这种方法适用于旋转点或图形关于任意点对称的情况。

二、几何形的旋转例题1. 旋转矩形：设矩形ABCD的长为a，宽为b，以点O为中心逆时针旋转α度，求旋转后矩形的长和宽。

解析：以O为中心点旋转，将矩形四个顶点A、B、C、D依次进行旋转，记为A'、B'、C'、D'。

由于矩形维持原始形状，我们只需计算A'、B'的横坐标之差即可求出旋转后的长和宽。

假设A点坐标为(x, y)，经过逆时针旋转α度后的坐标为(x', y')。

则根据旋转公式可得：```x' = x*cosα - y*sinαy' = x*sinα + y*cosα```对于A点有：x' - x = a代入上述公式可得：a*co sα - b*sinα - a = 0解上述方程可以求得旋转后矩形的长。

专题45 以矩形为基础的图形的旋转变换问题(解析版)

专题45 以矩形为基础的图形的旋转变换问题【例题精讲】两个长为2cm，宽为1cm的长方形，摆放在直线l上（如图①），CE=2cm，将长方形ABCD绕着点C顺时针旋转α角，将长方形EFGH绕着点E逆时针旋转相同的角度．（1）当旋转到顶点D、H重合时，连接AE、CG，求证：△AED≌△GCD（如图②）．（2）当α=45°时（如图③），求证：四边形MHND为正方形．证明：（1）如图②，②由题意知，AD=GD，ED=CD，②ADC=②GDE=90°，②②ADC+②CDE=②GDE+②CDE，即②ADE=②GDC，在②AED与②GCD中，AD GDADE GDC ED CD⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，②②AED②②GCD（SAS）；（2）如图②，②α=45°，BC②EH，②②NCE=②NEC=45°，CN=NE，②②CNE=90°，②②DNH=90°，②②D=②H=90°，②四边形MHND是矩形，②CN=NE，②DN=NH，②矩形MHND是正方形．【教师总结】四边形的旋转，可以构造全等三角形，在根据旋转的性质画出相应的图形，再综合其他知识解决.【针对训练】1、如图，有一矩形纸片ABCD，AB＝6，AD＝8，如图1，将纸片折叠使AB落在AD边上，B的对应点为B′，折痕为AE．如图2，再将△AB'E以B'E为折痕向右折叠，AE与CD交于点F．（1）求的值；（2）四边形EFDB′的面积为；（3）如图3，将△A′DF绕点D旋转得到△MDN，点N刚好落在B′E上，A′的对应点为M，F的对应点为N，求点A'到达点M所经过的距离．解：（1）∵将纸片折叠使AB落在AD边上，B的对应点为B′，∴AB＝AB'，∠BAE＝∠B'AE，∠B＝∠B'＝90°，∴四边形ABEB'为正方形，∴△AB'E为等腰直角三角形，∵AB＝6，AD＝8，∴B'D＝AD﹣AB'＝8﹣6＝2，∵将△AB'E以B'E为折痕向右折叠，∴AB'＝A'B'＝6，∠A'＝∠A＝45°，∴A'D＝DF＝6﹣2＝4，∵CD＝AB＝6，∴CF＝6﹣4＝2，∴．（2）由（1）可知B'D＝2，DF＝4，B'E＝6，∴四边形EFDB′的面积＝×（B'E+DF）×B'D＝＝10．故答案为：10．（3）∵将△A′DF绕点D旋转得到△MDN，∴DF＝DN＝4，∠NDM＝90°，∵B'D＝2，∠NB'D＝90°，∴∠B'ND＝30°，∴∠B'DN＝60°，∴∠A'DM＝90°﹣∠B'DN＝90°﹣60°＝30°，∵△A′DF在绕点D旋转过程中，点A'到达点M所经过的路径是圆弧A'M，∴的长为．即点A'到达点M所经过的距离为．2、已知线段AB，如果将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC，则称点C为线段AB关于点A的逆转点．点C为线段AB关于点A的逆转点的示意图如图1：（1）如图2，在正方形ABCD中，点为线段BC关于点B的逆转点；（2）如图3，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x，0），且x＞0，点E是y轴上一点，点F 是线段EO关于点E的逆转点，点G是线段EP关于点E的逆转点，过逆转点G，F的直线与x轴交于点H．①补全图；②判断过逆转点G，F的直线与x轴的位置关系并证明；③若点E的坐标为（0，5），连接PF、PG，设△PFG的面积为y，直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．解：（1）由题意，点A是线段AB关于点B的逆转点，故答案为A．（2）①图形如图3所示．②结论：GF⊥x轴．理由：∵点F是线段EF关于点E的逆转点，点G是线段EP关于点E的逆转点，∴∠OEF＝∠PEG＝90°，EG＝EP，EF＝EO，∴∠GEF＝∠PEO，∴△GEF≌△PEO（SAS），∴∠GFE＝∠EOP，∵OE⊥OP，∴∠POE＝90°，∴∠GFE＝90°，∵∠OEF＝∠EFH＝∠EOH＝90°，∴四边形EFHO是矩形，∴∠FHO＝90°，∴FG⊥x轴．③如图4﹣1中，当0＜x＜5时，∵E（0，5），∴OE＝5，∵四边形EFHO是矩形，EF＝EO，∴四边形EFHO是正方形，∴OH＝OE＝5，∴y＝•FG•PH＝•x•（5﹣x）＝﹣x2+x．如图4﹣2中，当x＞5时，y＝•FG•PH＝•x•（x﹣5）＝x2﹣x．综上所述，．3、如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D为AC延长线上一点，连接DB，将DB绕点D逆时针旋转90°，得到线段DE，连接AE．（1）如图①，当CD＝AC时，线段AB、AE、AD三者之间的数量关系式是AB+AE＝AD．（2）如图②，当CD≠AC时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．（3）当点D在射线CA上时，其他条件不变，（1）中结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段AB、AE、AD三者之间的数量关系式．解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∴CA＝BC，AC⊥BC，∠BAC＝45°∵AC＝CD，BC⊥AC，∴AB＝BD，∴∠BAC＝∠BDC＝45°，∴∠ABD＝90°，∵将DB绕点D逆时针旋转90°，得到线段DE，∴BD＝DE，∠BDE＝90°，∴DE＝AB＝BD，AB∥DE，∴四边形ABDE是平行四边形，且∠ABD＝90°，∴四边形ABDE是矩形，且AB＝BD，∴四边形ABDE是正方形，∴AB＝AE，AD＝AB，∴AB+AE＝AD，故答案为：；（2）结论仍然成立；如图②过点D作DF∥BC交AB的延长线于点F，∵BC∥DF，∴∠ADF＝∠ACB＝90°，∠F＝∠ABC＝45°，∴∠F＝∠DAF＝45°，∴AD＝DF，∴AF＝AD，∵∠ADF＝∠EDB＝90°，∴∠ADE＝∠BDF，且DE＝DB，AD＝DF，∴△ADE≌△FDB（SAS），∴AE＝BF，∴AB+AE＝AB+BF＝AF＝AD；（3）不成立，当点D在线段AC上时，如图③，过点D作DF∥BC，∴∠AFD＝∠ABC＝45°，∠ACB＝∠ADF＝90°，∴∠DAF＝∠AFD＝45°，∴AD＝DF，AF＝AD，∵∠EDB＝90°＝∠ADF，∴∠ADE＝∠BDF，且AD＝DF，DE＝BD∴△ADE≌△FDB（SAS）∴AE＝BF，∵AB﹣BF＝AF，∴AB﹣AE＝AD；当点D在CA的延长线上时，如图④，过点D作DF∥BC，交BA延长线于点F，∴∠AFD＝∠ABC＝45°，∠ACB＝∠ADF＝90°，∴∠DAF＝∠AFD＝45°，∴AD＝DF，AF＝AD，∵∠EDB＝90°＝∠ADF，∴∠FDB＝∠EDA，且AD＝DF，DE＝BD∴△ADE≌△FDB（SAS）∴AE＝BF，∵AB+AF＝BF，∴AB+AD＝AE．4、如图，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，将BC绕点C顺时针旋转90°得CG，DG交EC于O点（1）求证：DO＝OG；（2）若∠ABC＝135°，AC＝2，求DG的长；（3）若∠ABC＝90°，BC＞AB，且＝时，直接写出的值．解：（1）如图1，延长CB交DE于H．∵∠ABC+∠ABH＝180°，∠ABC＝∠ADH，∴∠ADH+∠ABH＝180°，∴∠DAB+∠DHB＝180°，∵∠DAB＝90°，∴∠DHB＝90°，∴∠DHB＝∠HCG＝90°，∴DE∥CG，∴∠EDO＝∠G，∵DE＝BC＝CG，∠DOE＝∠GOC，∴△DOE≌△GOC（AAS），∴EO＝OC．（2）如图2，连接EG，BD，由旋转知，AD＝AB，∠BAD＝90°，∴∠ABD＝45°，∵∠ABC＝135°，∴∠ABD+∠ABC＝180°，∴点D，B，C在同一条直线上，由（1）知，∠EDG＝∠CGD，∴DE∥CG，∵DE＝CG，∴四边形CDEG是平行四边形，∵将BC绕点C顺时针旋转90°得CG，∴∠DCG＝90°，∴平行四边形CDEG是矩形，∴DG＝CE，由旋转知，∠CAE＝90°，AE＝AC＝2，∴CE＝AC＝2，∴DG＝2，（3）如图3，延长DA，CG相交于点F，由旋转知，∠BAD＝∠BCG＝90°，∴∠BAF＝∠BCF＝90°，∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCF是矩形，∴AF＝BC，CF＝AB，∴FD＝FG，在Rt△DFG中，DG＝DF＝（AD+AF）＝（AB+BC），在RtACF中，AF2+CF2＝AC2，∴AB2+BC2＝AC2，∵＝，∴＝，∴＝，∴＝，∴2AB2﹣5AB•BC+2BC2＝0，∴（2AB﹣BC）（AB﹣2BC）＝0，∴2AB﹣BC＝0或AB﹣2BC＝0，∴＝或＝2（舍弃），故答案为：．5、如图乙，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点P为射线BD，CE的交点．（1）如图甲，将△ADE绕点A旋转，当C、D、E在同一条直线上时，连接BD、BE，则下列给出的四个结论中，其中正确的是哪几个．（回答直接写序号）①BD＝CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC＝45°；④BE2＝2（AD2+AB2）（2）若AB＝6，AD＝3，把△ADE绕点A旋转：①当∠CAE＝90°时，求PB的长；②直接写出旋转过程中线段PB长的最大值和最小值．（1）解：如图甲：①∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，即∠BAD＝∠CAE．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∴①正确．②∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE．∵∠CAB＝90°，∴∠ABD+∠AFB＝90°，∴∠ACE+∠AFB＝90°．∵∠DFC＝∠AFB，∴∠ACE+∠DFC＝90°，∴∠FDC＝90°．∴BD⊥CE，∴②正确．③∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝45°，∴∠ABD+∠DBC＝45°．∴∠ACE+∠DBC＝45°，∴③正确．④∵BD⊥CE，∴BE2＝BD2+DE2，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，∴DE2＝2AD2，BC2＝2AB2，∵BC2＝BD2+CD2≠BD2，∴2AB2＝BD2+CD2≠BD2，∴BE2≠2（AD2+AB2），∴④错误．故答案为①②③．（2）①解：a、如图乙﹣1中，当点E在AB上时，BE＝AB﹣AE＝3．∵∠EAC＝90°，∴CE＝＝＝3，同（1）可证△ADB≌△AEC．∴∠DBA＝∠ECA．∵∠PEB＝∠AEC，∴△PEB∽△AEC．∴＝，∴＝，∴PB＝．b、如图乙﹣2中，当点E在BA延长线上时，BE＝9．∵∠EAC＝90°，∴CE＝＝＝3，同（1）可证△ADB≌△AEC．∴∠DBA＝∠ECA．∵∠BEP＝∠CEA，∴△PEB∽△AEC，∴＝，∴＝，∴PB＝．综上，PB＝或．②解：a、如图乙﹣3中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A上方与⊙A相切时，PB的值最大．理由：此时∠BCE最大，因此PB最大，（△PBC是直角三角形，斜边BC为定值，∠BCE最大，因此PB最大）∵AE⊥EC，∴EC＝＝＝3，由（1）可知，△ABD≌△ACE，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，BD＝CE＝3，∴∠ADP＝∠DAE＝∠AEP＝90°，∴四边形AEPD是矩形，∴PD＝AE＝2，∴PB＝BD+PD＝3+3．综上所述，PB长的最大值是3+3．b、如图乙﹣4中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A下方与⊙A相切时，PB的值最小．理由：此时∠BCE最小，因此PB最小，（△PBC是直角三角形，斜边BC为定值，∠BCE最小，因此PB最小）∵AE⊥EC，∴EC＝＝＝3，由（1）可知，△ABD≌△ACE，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，BD＝CE＝3，∴∠ADP＝∠DAE＝∠AEP＝90°，∴四边形AEPD是矩形，∴PD＝AE＝4，∴PB＝BD﹣PD＝3﹣3．综上所述，PB长的最小值是3﹣3．6、如图1，在等腰直角△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝3，在边AB上取一点D（点D不与点A，B重合），在边AC上取一点E，使AE＝AD，连接DE．把△ADE绕点A逆时针方向旋转α（0°＜α＜360°），如图2．（1）请你在图2中，连接CE和BD，判断线段CE和BD的数量关系，并说明理由；（2）请你在图3中，画出当α＝45°时的图形，连接CE和BE，求出此时△CBE的面积；（3）若AD＝1，点M是CD的中点，在△ADE绕点A逆时针方向旋转的过程中，线段AM的最小值是．解：（1）如图1中，连接EC，BD．结论：BD＝CE．理由：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ADB≌△AEC（SAS）．∴BD＝CE．（2）如图2中，由题意：∠CAE＝45°，∵AC＝AB，∠CAB＝90°，∴∠ACB＝∠ABC＝45°，∴AE∥BC．∴△CBE的面积与△ABC的面积相等．∵△ABC的面积为4.5，∴△CBE的面积4.5．（3）如图3中，延长AM到N，使得MN＝AM，连接CN，DM．∵AM＝MN，CM＝MD，∴四边形ADNC是平行四边形，∴AD＝CN＝1，∵AC＝3，∴3﹣1≤AN≤3+1，∴2≤2AM≤4，∴1≤AM≤2，∴AM的最小值为1．故答案为1．7、综合与实践问题情境数学活动课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展数学活动，△ABC和△DEC是两个全等的直角三角形纸片，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠B＝∠E＝30°，AB＝DE＝4．解决问题（1）如图①，智慧小组将△DEC绕点C顺时针旋转，发现当点D恰好落在AB边上时，DE∥AC，请你帮他们证明这个结论；（2）缜密小组在智慧小组的基础上继续探究，连接AE、AD、BD，当△DEC绕点C继续旋转到如图②所示的位置时，他们提出S△BDC＝S△AEC，请你帮他们验证这一结论是否正确，并说明理由；探索发现（3）如图③，勤奋小组在前两个小组的启发下，继续旋转△DEC，当B、A、E三点共线时，求BD的长；（4）在图①的基础上，写出一个边长比为1：：2的三角形（可添加字母）解：（1）如图①中，∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，∴AC＝CD，∵∠BAC＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD＝60°，又∵∠CDE＝∠BAC＝60°，∴∠ACD＝∠CDE，∴DE∥AC；（2）如图②中，作DM⊥BC于M，AN⊥EC交EC的延长线于N．∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到∴BC＝CE，AC＝CD，∵∠ACN+∠BCN＝90°，∠DCM+∠BCN＝180°﹣90°＝90°，∴∠ACN＝∠DCM，在△ACN和△DCM中，，∴△ACN≌△DCM（AAS），∴AN＝DM，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S△BDC＝S△AEC．（3）如图③中，作CH⊥AD于H．∵∴AC＝CD＝AB＝2，∵B，A，E共线，∴∠BAC+∠EAC＝180°，∴∠EAC＝120°，∵∠EDC＝60°，∴∠EAC+∠EDC＝180°，∴A，E，D，C四点共圆，∴∠CAD＝∠CED＝30°，∠BAD＝90°，∵CA＝CD，CH⊥AD，∴AH＝DH＝AC•cos30°＝，∴AD＝2，∴BD＝＝＝2．（4）如图①中，设DE交BC于T．因为含有30°的直角三角形的三边之比为1：：2，由（1）可知△BDT，△DCT，△ECT都是含有30°的直角三角形，∴△BDT，△DCT，△ECT符合条件．8、已知△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠BED＝90°，AB＝2BD，连接CE．（1）如图1，若点D在AB边上，点F是CE的中点，连接BF．当AC＝4时，求BF的长；（2）如图2，将图1中的△BDE绕点B按顺时针方向旋转，使点D在△ABC的内部，连接AD，取AD 的中点M，连接EM并延长至点N，使MN＝EM，连接CN．求证：CN⊥CE．解：（1）∵△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠BED＝90°，∴AC＝BC＝4，AB＝AC＝4，DE＝BE，DB＝BE，∠ABC＝45°，∠DBE＝45°，∵AB＝2BD，∴AD＝BD＝2，∴BE＝2，∵∠CBE＝∠ABC+∠DBE＝90°，∴CE＝＝＝2，∵点F是CE的中点，∴BF＝CE＝；（2）如图，连接AN，设DE与AB交于点H，∵点M是AD中点，∴AM＝MD，又∵MN＝ME，∠AMN＝∠DME，∴△AMN≌△DME（SAS），∴AN＝DE，∠MAN＝∠ADE，∴AN∥DE，∴∠NAH+∠DHA＝180°，∵∠NAH＝∠NAC+∠CAB＝∠NAC+45°，∠DHA＝∠EDB+∠DBH＝45°+∠DBH，∴∠NAC+45°+45°+∠DBH＝180°，∴∠NAC+∠DBH＝90°，∵∠CBA+∠DBE＝45°+45°＝90°，∴∠CBE+∠DBH＝90°，∴∠CBE＝∠NAC，又∵AC＝BC，AN＝DE＝BE，∴△ACN≌△BCE（SAS），∴∠ACN＝∠BCE，∵∠BCE+∠ACE＝90°，∴∠ACN+∠ACE＝90°＝∠NCE，∴CN⊥CE．9、如图，已知点A（0，8），B（16，0），点P是x轴上的一个动点（不与原点O重合），连结AP，把△OAP沿着AP折叠后，点O落在点C处，连结PC，BC，设P（t，0）．（1）如图1，当AP∥BC时，试判断△BCP的形状，并说明理由．（2）在点P的运动过程中，当∠PCB＝90°时，求t的值．（3）如图2，过点B作BH⊥直线CP，垂足为点H，连结AH，在点P的运动过程中，是否存在AH＝BC？若存在，求出t的值：若不存在，请说明理由．解：（1）等腰三角形，理由如下：∵AP∥BC，∴∠APC＝∠BCP，∠APO＝∠CBP，∵△OAP沿着AP折叠，∴∠APO＝∠APC，∴∠PCB＝∠PBC，∴PC＝PB，∴△BCP是等腰三角形；（2）当t＞0时，如图，∵△OAP沿着AP折叠，∴∠AOP＝∠ACP＝90°，OP＝PC＝t，∴∠ACP+∠BCP＝180°，∴点A，点C，点B三点共线，∵点A（0，8），B（16，0），∴OA＝8，OB＝16，∴AB＝＝＝8，∵tan∠ABO＝，∴，∴t＝4﹣4；当t＜0时，如图，同理可求：t＝﹣4﹣4；（3）∵△OAP沿着AP折叠，∴AC＝AO＝8，∠ACP＝∠AOP＝90°，∵BH⊥CP，∴∠ACP＝∠BHC＝90°，∵AH＝BC，CH＝CH，∴Rt△ACH≌Rt△BHC（HL）∴AC＝BH，∴四边形AHBC是平行四边形，如图2，当0≤t≤16时，点H在PC上时，连接AB交CH于G，∵四边形AHBC是平行四边形，∴AG＝BG＝4，HG＝CG，AC＝BH＝8，∴HG＝＝＝4，在Rt△PHB中，PB2＝BH2+PH2，∴（16﹣t）2＝64+（t﹣8）2，∴t＝8；如图3，当0≤t≤16时，点H在PC的延长线上时，∵四边形AHBC是平行四边形，∴AG＝BG＝4，HG＝CG，AC＝BH＝8，∴HG＝＝＝4，在Rt△PHB中，PB2＝BH2+PH2，∴（16﹣t）2＝64+（t+8）2，∴t＝；如图4，当t＜0时，同理可证：四边形ABHC是平行四边形，又∵AH＝BC，∴四边形ABHC是矩形，∴AC＝BH＝8，AB＝CH＝4，在Rt△PHB中，PB2＝BH2+PH2，∴（16﹣t）2＝64+（t+8）2，∴t＝16﹣8；当t＞16时，如图5，∵四边形ABHC是矩形，∴AC＝BH＝8，AB＝CH＝8，CP＝OP＝t，在Rt△PHB中，PB2＝BH2+PH2，∴（t﹣16）2＝64+（t﹣8）2，∴t＝16+8．综上所述：当t＝8或或16﹣8或16+8时，存在AH＝BC．10、问题情境：数学活动课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展数学活动，△ABC和△DEC是两个全等的直角三角形纸片，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠B＝∠E＝30°，AB＝DE＝4．解决问题：（1）如图1，智慧小组将△DEC绕点C顺时针旋转，发现当点D恰好落在AB边上时，DE∥AC，请你帮他们证明这个结论；（2）缜密小组在智慧小组的基础上继续探究，当△DEC绕点C继续旋转到如图2所示的位置时，连接AE、AD、BD，他们提出S△BDC＝S△AEC，请你帮他们验证这一结论是否正确，并说明理由．解：（1）如图1中，∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，∴AC＝CD，∵∠BAC＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD＝60°，又∵∠CDE＝∠BAC＝60°，∴∠ACD＝∠CDE，∴DE∥AC；（2）结论正确，理由如下：如图2中，作DM⊥BC于M，AN⊥EC交EC的延长线于N．∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，∴BC＝CE，AC＝CD，∵∠ACN+∠BCN＝90°，∠DCM+∠BCN＝180°﹣90°＝90°，∴∠ACN＝∠DCM，在△ACN和△DCM中，，∴△ACN≌△DCM（AAS），∴AN＝DM，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S△BDC＝S△AEC．11、如图，△ABC中AB＝AC＝5，tan∠ACB＝，点D为边BC上的一动点（不与点B、C重合），将线段AD绕点A顺时针旋转得AE，使∠DAE＝∠BAC，DE与AB交于点F，连接BE．（1）求BC的长；（2）求证∠ABE＝∠ABC；（3）当FB＝FE时，求CD的长．解：（1）如图，过点A作AH⊥BC于点H，∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝CH＝BC，∵tan∠ACB＝＝，∴设AH＝3k（k＞0），CH＝4k，∵AC2＝AH2+CH2，∴9k2+16k2＝25，∴k＝1，∴HC＝4，∴BC＝2CH＝8；（2）∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAC＝∠BAE，∵将线段AD绕点A顺时针旋转得AE，∴AE＝AD，又∵AB＝AC，∴△AEB≌△ADC（SAS），∴∠ABE＝∠ACD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACD，∴∠ABE＝∠ABC；（3）∵AD＝AE，∴∠AED＝∠ADE＝（180°﹣∠DAE），∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠BAC），∵∠DAE＝∠BAC，∴∠ADE＝∠AED＝∠ABC＝∠ACB，∴∠ABE＝∠ABC＝∠ADE，又∵∠BFE＝∠DFA，∴∠BEF＝∠DAF，∵FB＝FE，∴∠FBE＝∠FEB，∴∠DAF＝∠ADF＝∠FBE＝∠FEB，∴∠DAF＝∠ABC＝∠ACB，又∵∠ABC＝∠ABD，∴△BAD∽△BCA，∴∴BD＝＝，∴CD＝BC﹣BD＝8﹣＝．12、（1）如图1，O是等边三角形ABC内一点，连接OA，OB，OC，且OA＝3，OB＝4，OC＝5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．填空：①旋转角为°；②线段OD的长是；③∠BDC＝°；（2）如图2，O是△ABC内一点，且∠ABC＝90°，BA＝BC．连接OA，OB，OC，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．当OA，OB，OC满足什么条件时，∠BDC＝135°？请说明理由．解：（1）①∵△ABC为等边三角形，∴BA＝BC，∠ABC＝60°，∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴∠OBD＝∠ABC＝60°，∴旋转角的度数为60°；②∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴BO＝BD，而∠OBD＝60°，∴△OBD为等边三角形；∴OD＝OB＝4；③∵△BOD为等边三角形，∴∠BDO＝60°，∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴CD＝AO＝3，在△OCD中，CD＝3，OD＝4，OC＝5，∵32+42＝52，∴CD2+OD2＝OC2，∴△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，∴∠BDC＝∠BDO+∠ODC＝60°+90°＝150°；故答案为：60；4；150；（2）OA2+2OB2＝OC2时，∠ODC＝90°，理由如下：∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴∠OBD＝∠ABC＝90°，BO＝BD，CD＝AO，∴△OBD为等腰直角三角形，∴OD＝OB，∵当CD2+OD2＝OC2时，△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，∴OA2+2OB2＝OC2，∴当OA、OB、OC满足OA2+2OB2＝OC2时，∠BDC＝135°．12、在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝α，点D为直线BC上一动点，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，将AD绕点D顺时针旋转α得到ED，ED交直线AB于点O，连接BE．（1）问题发现：如图1，α＝90°，点D在边BC上，猜想：①AF与BE的数量关系是；②∠ABE＝度．（2）拓展探究：如图2，0°＜α＜90°，点D在边BC上，请判断AF与BE的数量关系及∠ABE的度数，并给予证明．（3）解决问题如图3，90°＜α＜180°，点D在射线BC上，且BD＝3CD，若AB＝8，请直接写出BE的长．解：（1）问题发现：如图1中，设AB交DE于O．∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝45°，∵DF∥AC，∴∠FDB＝∠C＝90°，∴∠DFB＝∠DBF＝45°，∴DF＝DB，∵∠ADE＝∠FDB＝90°，∴∠ADF＝∠EDB，∵DA＝DE，DF＝DB∴△ADF≌△EDB（SAS），∴AF＝BE，∠DAF＝∠E，∵∠AOD＝∠EOB，∴∠ABE＝∠ADO＝90°故答案为：AF＝BE，90°．（2）拓展探究：结论：AF＝BE，∠ABE＝α．理由如下：∵DF‖AC∴∠ACB＝∠FDB＝α，∠CAB＝∠DFB，∵AC＝BC，∴∠ABC＝∠CAB，∴∠ABC＝∠DFB，∴DB＝DF，∵∠ADF＝∠ADE﹣∠FDE，∠EDB＝∠FDB﹣∠FDE，∴∠ADF＝∠EDB，∵AD＝DE，DB＝DF∴△ADF≌△EDB（SAS），∴AF＝BE，∠AFD＝∠EBD∵∠AFD＝∠ABC+∠FDB，∠DBE＝∠ABD+∠ABE，∴∠ABE＝∠FDB＝α．（3）解决问题①如图（3）中，当点D在BC上时，由（2）可知：BE＝AF，∵DF∥AC，∴，∵AB＝8，∴AF＝2，∴BE＝AF＝2，②如图（4）中，当点D在BC的延长线上时，∵AC∥DF，∴，∵AB＝8，∴BE＝AF＝4，故BE的长为2或4．13、如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AB上一点，连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°至CE，连接AE．（1）求证：△BCD≌△ACE；（2）如图2，连接ED，若CD＝2，AE＝1，求AB的长；（3）如图3，若点F为AD的中点，分别连接EB和CF，求证：CF⊥EB．解：（1）由旋转可得EC＝DC，∠ECD＝90°＝∠ACB，∴∠BCD＝∠ACE，又∵AC＝BC，∴△BCD≌△ACE（SAS）；（2）由（1）可知AE＝BD＝1，∠CAE＝∠B＝45°＝∠CAB，∴∠EAD＝90°，∴，∴．∴；（3）如图，过C作CG⊥AB于G，则AG＝AB，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴CG＝AB，即＝，∵点F为AD的中点，∴FA＝AD，∴FG＝AG﹣AF＝AB﹣AD＝（AB﹣AD）＝BD，由（1）可得：BD＝AE，∴FG＝AE，即＝，∴＝，又∵∠CGF＝∠BAE＝90°，∴△CGF∽△BAE，∴∠FCG＝∠ABE，∵∠FCG+∠CFG＝90°，∴∠ABE+∠CFG＝90°，∴CF⊥BE．14、如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，BC＝4，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE．将△EDC绕点C按逆时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现①当α＝0°时，＝；②当α＝180°时，＝．（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决当△EDC旋转至DE∥AC时，请直接写出BD的长．解：（1）①当α＝0°时，∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，BC＝4，∴AB＝，∴AC＝，∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴BD＝CD＝BC＝2，AE＝CE＝AC＝，∴；故答案为：．②如图1，，当α＝180°时，∵将△EDC绕点C按逆时针方向旋转，∴CD＝2，CE＝，∴AE＝AC+CE＝4，BD＝BC+CD＝6，∴．故答案为：．（2）当0°≤α＜360°时，的大小没有变化，∵∠ECD＝∠ACB，∴∠ECA＝∠DCB，又∵CE＝，CD＝2，AC＝，BC＝4，∴，∴△ECA∽△DCB，∴．（3）2或2．①如图3，过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，∵DE∥AC，∴∠DCA＝∠EDC＝90°，∵∠ACB＝30°，∴∠DCF＝60°，∵DC＝2，∴CF＝1，DF＝，∴BF＝1+4＝5，∴＝＝2；②如图4，过点D作DF⊥BC交BC于点F，同理可得，CF＝1，DF＝，∴BF＝3，∴BD＝＝2．故BD的长为2或2．15、（1）问题发现如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝90°，将线段AC绕点A逆时针旋转，旋转角α＝2∠BAC，∠BCD的度数是；线段BD，AC之间的数量关系是．（2）类比探究在Rt△ABC中，∠BAC＝45°，∠ABC＝90°，将线段AC绕点A逆时针旋转，旋转角α＝2∠BAC，请问（1）中的结论还成立吗？（3）拓展延伸如图3，在Rt△ABC中，AB＝2，AC＝4，∠BAC＝90°，若点P满足PB＝PC，∠BPC＝90°，请直接写出线段AP的长度．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝90°，∴∠ACB＝60°，∵将线段AC绕点A逆时针旋转，旋转角α＝2∠BAC，∴∠CAD＝α＝2∠BAC＝60°，AC＝AD，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD＝60°，∴∠BAD＝90°，∠BCD＝120°，∵在Rt△ABC中，AB＝AC，∴BD2＝AB2+AD2＝（AC）2+AC2＝AC2，即线段BD，AC之间的数量关系是BD＝AC；故答案为：120°，BD＝AC；（2）不成立，理由：在Rt△ABC中，∠BAC＝45°，∠ABC＝90°，∴∠ACB＝45°，∵将线段AC绕点A逆时针旋转，旋转角α＝2∠BAC，∴∠CAD＝α＝2∠BAC＝90°，AC＝AD，∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠ACD＝45°，∴∠BCD＝90°，∵在Rt△ABC中，AB＝BC＝AC，在Rt△ACD中，CD＝AC，∴BD2＝BC2+CD2＝（AC）2+（AC）2＝AC2，即线段BD，AC之间的数量关系是BD＝AC；（3）如图3，作PE⊥AC于E，连接PA，∵在Rt△ABC中，AB＝2，AC＝4，∠BAC＝90°，∴BC＝＝2，∵∠BPC＝90°，PB＝PC，∴PB＝PC＝，∠PBC＝∠PCB＝45°，∵∠BAC＝∠BPC＝90°，∴点B，C，P，A四点共圆，∴∠PAE＝45°，∴△PAE是等腰直角三角形，∴PE＝AE，∴CE＝4﹣AE，∵PE2+CE2＝PC2，。

2020初中数学中考专题复习——图形变换旋转综合题专项训练(附答案详解)

A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
15．在 Rt△ ABC 中，AC＝BC，点 D 为 AB 中点．∠GDH＝90°，∠GDH 绕点 D 旋转，
DG，DH 分别与边 AC，BC 交于 E，F 两点．下列结论：①AE+BF＝AC，②AE2+BF2
＝EF2，③S ＝四边形 CEDF 1 S△ ABC，④△DEF 始终为等腰直角三角形．其中正确的是(
A．45°
B．60°
C．70°
D．90°
14．如图，把 Rt△ ABC 绕顶点 C 顺时针旋转 90°得到 Rt△ DFC，若直线 DF 垂直平分
AB，垂足为点 E，连接 BF，CE，且 BC=2，下面四个结论：①BF= 2 2 ；②∠CBF=45°；
③△BEC 的面积=△ FBC 的面积；④△ECD 的面积为 2 2 3 ，其中正确的结论有（）
经过的路径为 BD ，则图中阴影部分的面积是（）
A． 2 3
B． 4 3
C．4π
D．条件不足，无法计算
21．如图，平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 A（﹣6，0），C（0，2 3 ）．将矩
形 OABC 绕点 O 顺时针方向旋转，使点 A 恰好落在 OB 上的点 A1 处，则点 B 的对应点 B1 的坐标为_____．
2020 初中数学中考专题复习——图形变换旋转综合题专项训练（附答案详解） 1．已知正方形 MNKO 和正六边形 ABCDEF 边长均为 1，把正方形放在正六边形外边，使 OK 边与 AB 边重合，如图所示．按下列步骤操作：将正方形在正六边形外绕点 B 顺时针旋转，使 KN 边与 BC 边重合，完成第一次旋转；再绕点 C 顺时针旋转，使 NM 边与 CD 边重合，完成第二次旋转；……在这样连续 6 次旋转的过程中，点 M 在图中直角坐标系中的纵坐标可能是（）

旋转典型例题(精品解析)

典型例题一例如图，以点O 为旋转中心，将ABC ∆顺时针旋转45°，画出图形．分析当旋转中心O 在图形之外时，O 是一个孤立的点，没有从O 出发的线段或射线作参照，就无法确定旋转的角度，因此，首先还须将O 与图形上的某点（或某些点）连结起来．解如图，连结OA 、OB 、OC ．将这三条线段绕O 点分别顺时针旋转45°，得C O B O A O '''、、，则C B A '''∆就是按题目要求得到的旋转后的图形．说明：图形旋转后的效果有时不像平移那样直观，画图出现错误时可能不易发现，因此画图时要特别细心．典型例题二例如图，正方形ABCD 中，E 是正方形内的一点，把AED ∆绕着点A 按逆时针旋转90°，画出旋转后的三角形，并回答：（1）图中有哪些等线段和等角？（2）哪两个三角形形状、大小都一样？分析一个图形绕它的对称中心旋转一个角度后，图形中的每一点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度．本例中可以发现AD 旋转90°后，刚好与AB 重合，于是将AE 旋转90°到E A '的位置，使︒='∠90E EA ，确定点E '，连E B '，则E AB '∆就是ADE ∆按要求旋转的三角形．（1）（2）中，根据图形旋转的特征，图形从一个位置旋转到另一个位置，形状和大小都没有改变，可确定相等的线段、相等的角以及形状相同的三角形．答案（1）相等的线段有：E B DE E A AE CD BC AB AD '='====,,．相等的角有：E E E AB ADE E BA DAE '∠=∠'∠=∠'∠=∠,,．（2）ADE ∆与E AB '∆的形状和大小都一样．典型例题三例如图，把一块砖ABCD 直立于地面上，然后将其轻轻推倒．在这个过程中，A 点保持不动，四边形ABCD 旋转到B C D A '''位置．（1）指出在这个过程中的旋转中心，并说出旋转的角度是多大？（2）指出图中的对应线段．分析（1）由于四边形B C D A '''是由四边形ADCB 旋转得到的，A 点保持不动，所以A 是旋转中心．又由于D A B ',,三点在一条直线上，且AB AD ⊥，所以旋转的角度是90°．（2）由于D C B A ,,,的对应点分别是D C B A ''',,,，所以不难找出图中的对应线段．答案（1）A 是旋转中心，旋转的角度是90°．（2）CD BC AD AB ,,,的对应线段分别是D C C B D A B A '''''',,,．典型例题四例（1）把长方形ABCD 绕着顶点A 逆时针旋转60°．如图．（2）把长方形ABCD 绕着长方形内一点P 逆时针旋转60°．解（1）①AB 绕A 点逆时针旋转60°到B A '位置，.,60AB B A AB B ='︒='∠②连结AC ，作.,60AC C A AC C ='︒='∠③作.,60AD D A AD D ='︒='∠连结B C C D '''',，则四边形D C B A '''是四边形ABCD 逆时针旋转60°得到的图形．（2）①连结AP ，作︒='∠60PA A ，使.AP P A ='②用同样的方法作出D C B '''、、，连结A D D C C B B A ''''''''、、、．则四边形D C B A ''''是四边形ABCD 绕P 点逆时针旋转60°得到的图形．典型例题五例画一个三角形，使通过这个三角形的旋转得到一个正六边形，指出这是一个什么三角形、旋转中心和每次旋转的角度、需要旋转多少次才能完成这个图形．分析这个题目给了我们一个由三角形制作正多边形的方法．解给出的三角形应该是正三角形，可以以它的任一个顶点为旋转中心，每次旋转60°，旋转六次便可完成这个图形．说明：利用这个方法，可以画出任意边数的正多边形．请想一下，画正n 边形应该使用什么样的三角形？怎样旋转呢？典型例题六例把8个同样大小的等腰梯形拼成如图所示的图形．（1）找出它的旋转中心．（2）当它旋转多少度后与自身重合．分析（1）从图中可以看出，这八个等腰梯形的八个顶点H G F E D C B A ,,,,,,,恰好在同一个圆周上，该图形的旋转中心就是各顶点所在圆的圆心．因此只要把任意两腰延长，它们的延长线的交点就是旋转中心．（2）这八个等腰梯形将圆周八等分，因此，它只要旋转︒=︒458360后就能与自身重合．答案（1）任意延长任何梯形的两腰，这两腰延长线的交点就是旋转中心．（2）旋转的角度是45°．典型例题七例找出下列图形中的旋转中心，旋转角以及旋转的“基本图案”。

利用图形的旋转变换解题举例

利用图形的旋转变换解题举例这一轮课程改革,对几何作了较大幅度的调整,印象较深之一是加强了"几何变换"的内容,即从变换的角度去认识传统几何中的证题术。

初中几何涉及的变换主要有平移、对称和旋转,本文从"旋转"这一角度举些例子,供大家参考。

我们知道,图形的旋转变换不改变图形的形状、大小,只改变图形的位置,故解题时可充分利用图形的旋转变换的这一特点,把图形位置进行改变,从而达到优化图形结构,进一步整合图形〔题设〕信息的目的,使较为复杂的问题得以顺利求解。

例1、如图〔1〕分别以正方形ABCD的边AB、AD为直径画半圆,若正方形的边长为 ,求阴影部分的面积。

解:连AC、BD如右图,则绕AD中点将图中②逆时针旋转到图中③,将图中①绕AB中点顺时针方向旋转到图中④,则原图中阴影部分的面积就和△DBC的面积相等,所以图中阴影部分的面积=S⊿DCB = S 正方形ABCD= 。

这里我们用旋转变换的方法改变了图中①和②的位置,从而顺利地完成了计算。

例2、如图⑵所示,在⊿ABC中,AB=AC,∠BAC= ,D是BC上任一点,试说明。

证法一(非旋转法):过A点作AE⊥BC于E,如图⑶,则容易证明AE=BE=EC,又BD=BE-DE,DC=CE+DE,所以 , ,所以 = + = ,而在直角三角形ADE中,存在 ,所以 ,这是传统的证明方法。

本题考虑到BD、DC、AD三线段分散在两个三角形中,而且构成平方和的条件不明显,若利用旋转变换,将BD、DC放到一个三角形中,若这个三角形是直角三角形,则创造就更能接近所证的目标了.证法二(旋转法): 将△ADC绕A点顺时针方向旋转到△AEB,如图⑷, 连DE, 易知△ADE、△DBE均为直角三角形,且AE=AD,BE=DC, 所以在Rt△EBD中有 , 在Rt△AED中有 ,所以。

例3、如图⑸所示,P为正方形内一点,且PA=1,BP=2,PC=3,求∠APB的大小解: 如图(6),将⊿BPC绕B点逆时针旋转到△BEA, 连EP易知∠PBE= 且AE=PC=3 BE=BP=2,在Rt⊿BEP中, ,且∠EPB= ,在⊿AEP中,又,所以△APE是直角三角形,即∠APE= ,∠APB=∠APE+∠EPB= + = ,即∠APB为。

旋转试题及答案

旋转试题及答案一、选择题1. 旋转变换不改变图形的：A. 形状B. 大小C. 面积D. 所有选项答案：D2. 一个图形绕某点旋转180°后，与原图形：A. 完全重合B. 不同C. 部分重合D. 无法确定答案：A二、填空题1. 旋转中心是旋转变换中的________。

答案：固定点2. 旋转角度的正负表示旋转的方向，顺时针旋转角度为________。

答案：正三、简答题1. 请简述旋转的性质。

答案：旋转的性质包括：（1）旋转不改变图形的形状和大小；（2）旋转后图形的位置发生变化，但与原图形保持相同的角度和距离；（3）旋转可以是顺时针或逆时针。

2. 描述一个图形绕某点旋转90°后可能发生的变化。

答案：当一个图形绕某点旋转90°后，其位置会发生变化，图形的四个顶点会分别沿顺时针或逆时针方向移动90°。

图形的形状和大小保持不变，但方向发生改变。

四、计算题1. 假设有一个正方形ABCD，中心点为O，如果正方形绕O点顺时针旋转45°，求旋转后A点的新位置。

答案：旋转后A点的新位置可以通过计算得出。

首先确定A点相对于O点的坐标，然后应用旋转矩阵进行坐标变换。

假设A点的初始坐标为(x1, y1)，旋转45°后的坐标为(x2, y2)，则有：x2 = x1 * cos(45°) - y1 * sin(45°)y2 = x1 * sin(45°) + y1 * cos(45°)2. 如果一个图形绕原点旋转θ角度，求该图形上任意一点P(x, y)旋转后的新坐标。

答案：设点P的初始坐标为(x, y)，旋转θ角度后的坐标为(x',y')，则有：x' = x * cos(θ) - y * sin(θ)y' = x * sin(θ) + y * cos(θ)五、论述题1. 论述旋转在几何学中的重要性及其应用。

图形旋转测试题及答案

图形旋转测试题及答案一、选择题1. 一个图形绕某点旋转了90°，下列说法正确的是：A. 图形的大小不变B. 图形的形状不变C. 图形的位置不变D. 以上说法都不正确答案：A、B2. 下列哪个图形旋转180°后与原图形完全重合？A. 正方形B. 圆形C. 长方形D. 三角形答案：B二、填空题3. 若一个图形绕中心点O旋转____度，可以得到与原图形关于点O对称的图形。

答案：1804. 一个等腰三角形绕底边的中点旋转____度，可以得到与原图形完全重合的图形。

答案：180三、简答题5. 描述一个正方形绕其一个顶点旋转90°后，图形的位置变化情况。

答案：正方形绕其一个顶点旋转90°后，其四个顶点的位置将分别移动到原来对角线的顶点位置。

具体来说，如果原正方形的顶点分别为A、B、C、D，且A为旋转中心，则旋转后，A点位置不变，B点移动到C点位置，C点移动到D点位置，D点移动到B点位置。

四、计算题6. 已知一个正六边形绕其中心点O旋转60°后，求旋转后顶点的新位置。

答案：正六边形的每个顶点绕中心点O旋转60°后，每个顶点的新位置将沿着正六边形的外接圆的圆周上移动，每个顶点相对于原来的位置旋转了60°的弧度。

五、论述题7. 论述图形旋转的性质及其在几何学中的应用。

答案：图形旋转是一种几何变换，它保持图形的大小和形状不变，只改变图形的位置。

旋转的性质包括旋转角度的可加性，即连续旋转两个角度相当于旋转这两个角度的和。

在几何学中，图形旋转常用于证明图形的对称性，解决几何构造问题，以及在变换几何中研究图形的不变性质等。

图形的旋转练习题及答案

图形的旋转练习题及答案图形的旋转练习题及答案在数学学科中，图形的旋转是一个重要的概念。

通过旋转，我们可以改变图形的方向和位置，从而帮助我们更好地理解和解决问题。

在本文中，我们将介绍一些关于图形旋转的练习题，并提供相应的答案。

1. 练习题：将一个正方形逆时针旋转90度，得到的图形是什么？并画出旋转后的图形。

答案：将正方形逆时针旋转90度，得到的图形是一个新的正方形。

旋转后的图形与原始图形的边长相等，但是边的方向发生了变化。

下图展示了旋转前后的对比：旋转前：┌───┐│ │└───┘旋转后：┌───┐│ │└───┘2. 练习题：将一个长方形顺时针旋转180度，得到的图形是什么？并画出旋转后的图形。

答案：将长方形顺时针旋转180度，得到的图形仍然是一个长方形。

旋转后的图形与原始图形的长宽相等，但是边的方向发生了变化。

下图展示了旋转前后旋转前：┌─────┐│ │└─────┘旋转后：┌─────┐│ │└─────┘3. 练习题：将一个三角形逆时针旋转270度，得到的图形是什么？并画出旋转后的图形。

答案：将三角形逆时针旋转270度，得到的图形仍然是一个三角形。

旋转后的图形与原始图形的边长相等，但是边的方向发生了变化。

下图展示了旋转前后的对比：旋转前：/\/ \/____\旋转后：_____\ /\ /通过以上的练习题，我们可以看到图形旋转是一种非常有趣和有用的操作。

通过旋转，我们可以改变图形的朝向和位置，从而帮助我们更好地理解和解决数学问题。

在实际生活中，图形旋转也有着广泛的应用，例如在建筑设计、机械制造以及计算机图形学等领域。

除了上述练习题，还有许多其他类型的图形旋转练习题可以帮助我们提高对图形旋转的理解和应用能力。

通过不断练习和思考，我们可以逐渐掌握图形旋转的技巧，并将其应用于更复杂的问题中。

总结起来，图形旋转是数学学科中的一个重要概念。

通过练习题的形式，我们可以更好地理解和应用图形旋转。

希望本文提供的练习题和答案能够帮助读者加深对图形旋转的理解，并在解决问题时起到一定的指导作用。

一道图形旋转的典型例题及其变式

一道图形旋转的典型例题及其变式典例已知：如图1，E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，且∠EAF =45°.求证： BE +FD =EF分析：可把△ADF 绕点A 旋转至图2所示位置则F ′B =FD ，再证△AF ′E ≌△AFD ，则EF ′=EF ，又E F ′=BE +F ′B =BE +FD 所以，BE +FD =EF .证明：如图2，把△ADF 绕点A 顺时针旋转，到△ADF ′的位置.∵AD =AB ，∠DAB =90°∴点B 与D ′重合∵∠ABE +∠ABF ′=180°，∴F ′、B 、E 在一条直线上，即F ′E =BE +DF ∵∠EAF =45°，∴∠BAE +∠DAF =45°∴∠F ′AB +∠BAE =45°，∴∠F ′AB =∠F AE =45°又∵AF =AF ′，AE =AE ，∴△F ′AE ≌△F AE∴EF =EF ′，∴BE +FD =EF点拨：本题解题方法体现了转化的数学思想，利用图形的旋转将分散了的条件转化为整体的.本题为一经典旋转题，它其实是人教课标数学九上课本P64页例题的变式。

以本典例为原型的中考题近几年出现很多，下面例举两道，供同学们学习参考。

变式1 （牡丹江市）已知：正方形ABCD 中，45MAN ∠=，MAN ∠绕点顺时针旋转，它的两边分别交CB DC ，（或它们的延长线）于点M N ，．当MAN ∠绕点旋转到BM DN =时（如图3），易证BM DN MN +=．（1）当MAN ∠绕点旋转到BM DN ≠时（如图4），线段BM DN ，和之间有怎样的数量关系写出猜想，并加以证明． E D A 图2（2）当MAN ∠绕点旋转到如图5的位置时，线段BM DN ，和之间又有怎样的数量关系请直接写出你的猜想．解：（1）BM DN MN +=成立．如图4，把AND △绕点顺时针，得到ABE △，（证明过程与典例相同，所以略）。

2020初中数学中考专题复习——图形变换旋转综合题解答题专项训练(附答案详解)

2020 初中数学中考专题复习——图形变换旋转综合题解答题专项训练（附答案详解）1．已知四边形ABCD 和四边形CEFG都是正方形，且AB CE.1）如图 1，连接BG,DE .求证：BG DE ；2）如图 2，将正方形CEFG 绕着点C旋转到某一位置时恰好使得CG//BD ，BG BD .求BDE 的度数；3）在（2）的条件下，当正方形ABCD的边长为2 时，请直接写出正方形CEFG的边长 .2．如图，已知∠AOB ＝ 60°，在∠AOB 的平分线 OM 上有一点 C，∠DCE＝120°，当∠ DCE 的顶点与点 C 重合，它的两条边分别与直线 OA 、 OB 相交于点 D、 E．（ 1）当∠ DCE 绕点 C 旋转到 CD 与 OA 垂直时（如图 1），请猜想 OE+OD 与 OC 的数量关系，并说明理由；（ 2）由（图 1）的位置将∠DCE 绕点 C 逆时针旋转θ角（ 0< θ< 90°），线段 OD、OE 与 OC 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．1）以点 A 为中心，把△ ADE 顺时针旋转 90°，画出旋转后的图形；2）在 BC边上画一点 F，使△ CFE 的周长等于正方形 ABCD 的周长的一半，请简要说明你取该点的理由．4．如图，已知点 A（1，0），B（0，3），将△AOB 绕点 O 逆时针旋转 90°，得到△COD，设 E 为 AD 的中点．（ 1）判断 AB 与 CD 的关系并证明；（ 2）求直线 EC 的解析式．5．（1）如图①，在正方形 ABCD 中，△AEF 的顶点 E，F分别在 BC，CD 边上，高 AG 与正方形的边长相等，求∠ EAF 的度数．（ 2）如图②，在 Rt△ABD 中，∠BAD=90° ，AB=AD ，点 M ，N 是 BD 边上的任意两点，且∠MAN=4°5 ，将△ABM 绕点 A 逆时针旋转 90°至△ ADH 位置，连接 NH，试判断 MN 2，ND2，DH2之间的数量关系，并说明理由．6．矩形 ABCD 中，AB ＝ 2，AD ＝4，将矩形 ABCD 绕点 C顺时针旋转至矩形EGCF（其中 E、G、F分别与 A、B、D 对应）．（ 1）如图 1，当点 G 落在 AD 边上时，直接写出 AG 的长为；（2）如图 2，当点 G落在线段 AE上时， AD 与CG交于点 H，求 GH的长；（3）如图 3，记 O为矩形 ABCD 对角线的交点， S为△OGE的面积，求 S的取值范围．7．点 O 为直线 AB 上一点，过点 O 作射线 OC，使∠BOC＝65°，将一直角三角板的直角顶点放在点 O 处．（1）如图①，将三角板 MON 的一边 ON 与射线 OB 重合时，则∠MOC ＝；（2）如图②，将三角板 MON 绕点 O逆时针旋转一定角度，此时 OC是∠ MOB 的角平分线，求旋转角∠ BON 和∠CON 的度数；1（3）将三角板 MON 绕点 O 逆时针旋转至图③时，∠NOC＝∠AOM，求∠NOB4的度数．8．如图 1，长方形纸片 ABCD 的两条边 AB、BC 的长度分别为a 、b （0 < a< b），小明它沿对角线 AC 剪开，得到两张三角形纸片（如图2），再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，点 A、B、D、E在同一条直线上，且点 B与点 D 重合，点 B、F、C 也在同一条直线上．（ 1）将图 3 中的△ABC 沿射线 AE 方向平移，使点 B 与点 E 重合，点 A、 C 分别对应点 M、N，按要求画出图形，并直接写出平移的距离；（用含a 或b 的代数式表示）（ 2）将图 3 中的△ DEF 绕点 B 逆时针方向旋转 60°，点 E、F 分别对应点P、Q，按要求画出图形，并直接写出∠ ABQ 的度数；（3）将图 3中的△ABC 沿BC所在直线翻折，点 A落在点 G处，按要求画出图形，并直接写出 GE 的长度．（用含a 、b的代数式表示）9．（1）问题发现如图①，在 Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝kAC，点 D是AB上一点， DE∥BC．填空： BD，CE 的数量关系为；位置关系为；（ 2）类比探究如图②，将△ADE 绕着点 A 顺时针旋转，旋转角为α（0°<α≤90）°，连接BD，CE，请问（ 1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．（ 3）拓展延伸在（ 2）的条件下，将△ADE绕点 A顺时针旋转，旋转角为α，直线 BD，CE交于点 F，若 AC＝1，AB＝3 ，当∠ACE＝ 15°时，请直接写出 BF 的长．10．如图，在△ ABC中，∠ ACB＝ 90°，AC＝ BC，以 C为顶点作等腰直角三角形 CMN．使∠ CMN＝90°，连接 BN，射线 NM 交 BC 于点 D ．（1）如图 1，若点 A，M，N 在一条直线上，① 求证： BN+CM ＝AM；3② 若 AM ＝4，BN＝，求 BD 的长；2（2）如图 2，若 AB＝4，CN＝2，将△CMN 绕点 C 顺时针旋转一周，在旋转过程中射线 NM 交 AB 于点 H ，当三角形 DBH 是直角三角形时，请你直接写出 CD的长．11．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点 O是边 AC 的中点．（ 1）在图 1 中，将△ABC 绕点 O 逆时针旋转 n°得到△ A1B1C1，使边 A1B1经过点 C．求 n 的值．（ 2）将图 1 向右平移到图 2 位置，在图 2 中，连结 AA1、AC1、CC 1．求证：四边形 AA1CC1 是矩形；（3）在图 3 中，将△ABC 绕点 O 顺时针旋转 m°得到△A2B2C2，使边 A2B2经过点 A，连结 AC2、A2C、 CC2．①请你直接写出 m 的值和四边形 AA2CC2的形状；②若 AB＝，请直接写出 AA2的长．段 BD 的中点 ,连接 CE 、 FE.1）若 AD=3 2 ,BE=4 ,求 EF 的长2）求证： CE= 2 EF 3）将图 1中的△ADE 绕点A 顺时针旋转 ,使△AED 的一边 AE 恰好与△ABC 的边AC 在同一条直线上（如图 2）,连接 BD, 取 BD 的中点 F,问（2）中的结论是否仍然成立 ,并说（ 1）用尺规作图，线段 CD 绕点 C 按逆时针方向旋转 90°得到线段 CE ，连接 DE 交BC 于点 F ，连接 BE ；（保留作图痕迹，不写作法．）（ 2）当 AD ＝ BF 时，求 ∠BEF 的度数．（ 3）求证： AD 2+BD 2＝2CD 2．14．在矩形 ABCD 中， AB ＝3， BC ＝ 2，以点 A 为旋转中心，逆时针旋转矩形∠ACB= ∠AED=90° , 点 E 在 AB 上,F 是线中 AC=BC,AE=DE , 12．在 △ABC 和△ ADE B?C ，点 D 是 AB 上一点（点D 与 A ，B 不重合），连接CD ．ABCD ，旋转角为α（0°<α<180°），得到矩形 AEFG ，点B、点C、点 D的对应点分别为点 E、点 F、点 G ．（ 1）如图①，当点 E落在DC边上时，直写出线段 EC的长度为；（ 2）如图②，当点 E 落在线段 CF 上时， AE 与 DC 相交于点 H，连接 AC ，①求证：△ACD ≌△ CAE ；② 直接写出线段 DH 的长度为．（ 3）如图③ 设点 P 为边 FG 的中点，连接 PB，PE，在矩形 ABCD 旋转过程中，△ BEP 的面积是否存在最大值？若存在请直接写出这个最大值；若不存在请说明理由．15．边长为 6 的等边△ABC 中，点 D ，E 分别在 AC ，BC 边上， DE∥ AB ，EC ＝23（1）如图 1，将△DEC 沿射线 EC 方向平移，得到△ D′E′，C′边 D′E与′ AC 的交点为 M ，边 C′ D与′∠ ACC′的角平分线交于点 N.当 CC′多大时，四边形 MCND′为菱形？并说明理由．2）如图 2，将△DEC 绕点 C 旋转∠α（0°<α<36，0°得）到△D ′E′，C 连接 AD′，BE′ 边 D′ E的′中点为 P.① 在旋转过程中， AD′和 BE′有怎样的数量关系？并说明理由；②连接 AP ，当 AP 最大时，求 AD′的值．（结果保留根号） 16．如图，点O 为直线 AB上一点，过点 O作射线 OC，使∠BOC＝135°，将一个含 45角的直角三角尺的一个顶点放在点O处，斜边 OM 与直线 AB重合，另外两条直角边都在直线 AB 的下方．（ 1）将图 1 中的三角尺绕着点 O 逆时针旋转 90°，如图 2 所示，此时∠BOM＝；在图 2 中， OM 是否平分∠CON？请说明理由；（ 2）紧接着将图 2 中的三角板绕点 O 逆时针继续旋转到图 3 的位置所示，使得 ON 在∠ AOC的内部，请探究：∠AOM 与∠CON之间的数量关系，并说明理由；（3）将图 1中的三角板绕点 O按每 2秒 5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第 t 秒时，直线 ON 恰好平分锐角∠AOC ，则 t 的值为（直接写出结果）17．如图，一伞状图形，已知∠AOB ＝120°，点 P 是∠AOB 角平分线上一点，且 OP＝ 2，∠MPN＝60°，PM 与OB交于点 F，PN与 OA 交于点 E．（ 1）如图一，当 PN 与 PO 重合时，探索 PE，PF 的数量关系．（ 2）如图二，将∠MPN 在（ 1）的情形下绕点 P逆时针旋转 a度（ 0<a<60°），继续18．在△ ABC 中，AB=AC，在BC 边上有两动点 D、E，满足 2∠DAE=∠BAC，将△AEC 绕 A 旋转，使得 AC 与 AB 重合，点 E 落到点 E '．（ 1）求证：∠DAE'=∠DAE ；（ 2）当∠BE'D=20°时，求∠ DEA 的度数；（3）当 BD=1，EC=2，△BE'D又为直角三角形时，求∠BAC 的度数．19． ABC 是等边三角形，点P 在BC 的延长线上，以P 为中心，将线段 PC 逆时针旋转 n °（0 n 180）得线段 PQ ，连接 AP ， BQ ．2）M 为线段 BQ 的中点，连接 PM ．写出一个 n 的值，使得对于 BC 延长线上任意20 ．操作与证明：如图 1，把一个含 45 °角的直角三角板 ECF 和一个正方形 ABCD 摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点 C 重合，点 E 、F 分别在正方形的边 CB 、 CD 上，连接 AF ．取 AF 中点 M ，EF 的中点 N ，连接 MD 、MN ．（ 1）连接 AE ，求证： △AEF 是等腰三角形；猜想与发现：（ 2）在（ 1）的条件下，请判断 MD 、MN 的数量关系和位置关系，得出结论．结论 1：DM 、 MN 的数量关系是；一点 P ，总有 MP 21 AP ，并说明理由． n 的值；结论 2：DM 、 MN 的位置关系是拓展与探究：3）如图 2，将图 1中的直角三角板 ECF 绕点 C 顺时针旋转 180°，其他条件不变，则2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．C 作 CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，垂足分别为 D 、 E ，易得到结论： OD+OE等于多少；1 中的 ∠ DCE 绕点 C 旋转，当 CD 与 OA 不垂直时（如图 2），上述结论是否成立？并说明理由；（ 2）把图 1 中的 ∠ DCE 绕点 C 旋转，当 CD 与 OA 的反向延长线相交于点 D 时： ① 请在图 3 中画出图形；②上述结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请直接写出线段1）把图OD 、 OE 之距离为过OC ＝5，且点 C 到 OA 的22．如图①，在 ABC 中， AB AC 2， BAC 120 ，点 D 、E 分别是 AC 、BC AB 1）在图① 中，的值为 BC BE 的中点，连接DE .AD 的值为2）若将CDE 绕点C逆时针方向旋转得到CD1E1，点D 、E的对应点为D1、E1，在旋转过程中A B D E1的大小是否发生变化？请仅就图② 的情形给出证明BE13）当CDE 在旋转一周的过程中，A，D1，E1 三点共线时，请你直接写出线段BE1 的长.23．如图，在边长为 1 的正方形网格中， A（1，7）、B（5， 5）、C（7，5）、D（ 5，1）．（ 1）将线段 AB绕点 B逆时针旋转，得到对应线段 BE．当BE与CD第一次平行时，画出点 A 运动的路径，并直接写出点 A 运动的路径长；（2）线段 AB与线段 CD 存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，直接写出这个旋转中心的坐标．24 ．（ 1）解方程： x2﹣5x﹣6＝ 0（ 2）如图，△ABC 中∠ C＝ 90°①将△ABC绕 A点逆时针旋转 90°，画出旋转后的三角形△AB′C′；BAC DAE 90o．B 点旋转后的对应是 B ′，求B?B的长是线段BC 上一点，AB AC ，AD AE ，1) 逆时针旋重2) BD 3) 中时针旋正确结论的个 3 C nnAE PBC D 是边 AC 上一点线段 AB 绕点2DC ，则 BC 9．其°可与线段 AC 使 OG=2OD ，OE=2OC ，然后以 OG 、OE 为邻边作正方形 OEFG ，连接 AG ，A ．1B ．2 D ．426 ．在等边 VABC连接 BD ，将 VBCD 绕点 B 逆则 CAE若 BAD BC 5， BD 4 ，有下列结论： ①27 ．如图 1，点 O 是正方形 ABCD 两对角线的交点，分别延长 OD 到点 G ，② ADE BDC ；③ VBDE70o是等边三角形； ④ VADE 的周长若 EC 460o ，得到 VBAE ，连接 ED ，若（ 1）求证： DE⊥AG ；（ 2）正方形 ABCD 固定，将正方形 OEFG绕点 O逆时针旋转α角（0°<α<360°）得到正方形 OE′F′G，′如图 2．① 在旋转过程中，当∠ OAG′是直角时，求α的度数；② 若正方形 ABCD 的边长为 1，在旋转过程中，求 AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．28．正方形 ABCD 和正方形 AEFG 的边长分别为 2和2 2，点 B在边 AG 上，点D 在线段 EA 的延长线上，连接 BE．（ 1）如图 1，求证： DG ⊥ BE；（ 2）如图 2，将正方形 ABCD 绕点 A 按逆时针方向旋转，当点 B 恰好落在线段 DG 上时，求线段 BE 的长．29．如图，在Rt ABC中，C 90 ，CAB 35 ，BC 7．线段AD 由线段AC 绕点A按逆时针方向旋转125 得到，EFG 由ABC沿CB方向平移得到，且直线（ 2）求DE 的长．30．如图，两个形状，大小完全相同的含有30°，60°的三角板如图①放置，PA，PB 与直线 MN 重合，且三角板 PAC 与三角板 PBD 均可绕点 P 逆时针旋转。

旋转练习题带答案

旋转练习题带答案旋转是数学中的一个重要概念，它涉及到图形在平面或空间中的转动。

下面是一些关于旋转的练习题，以及它们的答案。

练习题1：在平面直角坐标系中，点A(3, 4)绕原点O(0, 0)顺时针旋转90度后，求点A的新坐标。

答案：点A绕原点O顺时针旋转90度后，其坐标变为(-4, 3)。

练习题2：如果一个正方形的四个顶点在平面直角坐标系中分别位于(1, 1), (1, -1), (-1, -1), (-1, 1)，求这个正方形绕其中心点旋转180度后的顶点坐标。

答案：正方形绕其中心点(0, 0)旋转180度后，顶点坐标变为(-1, -1), (-1, 1), (1, 1), (1, -1)。

练习题3：一个圆心位于(2, 2)的圆，半径为3，求这个圆绕原点O(0, 0)顺时针旋转45度后，圆上任意一点P(x, y)的新坐标。

答案：由于圆的旋转不改变其形状和大小，只是位置发生变化，所以具体点P(x, y)的新坐标取决于其在圆上的位置。

但可以确定的是，圆心的新坐标会发生变化。

通过计算，圆心的新坐标为(1, 2 + √2)。

练习题4：在三维空间中，一个立方体的一个顶点位于(1, 1, 1)，求这个立方体绕通过(1, 1, 1)且与x轴成30度角的直线旋转90度后，该顶点的新坐标。

答案：这个问题较为复杂，需要使用三维空间旋转矩阵来解决。

但一般来说，通过适当的旋转矩阵变换，我们可以找到新的坐标。

具体计算需要用到三角函数和矩阵乘法。

练习题5：考虑一个由四个点组成的矩形，其顶点坐标分别为A(0, 0), B(4, 0), C(4, 3), D(0, 3)。

求矩形绕点A旋转60度后，各顶点的新坐标。

答案：矩形绕点A旋转60度后，可以使用旋转矩阵来计算新坐标。

新坐标分别为：- A点不变，坐标仍为(0, 0)。

- B点新坐标为(2√3, -2)。

- C点新坐标为(2√3, 2)。

- D点新坐标为(-2√3, 2)。

请注意，这些练习题的答案需要根据具体的旋转公式和几何知识来计算得出。

高中数学图形的旋转解题技巧

高中数学图形的旋转解题技巧在高中数学中，图形的旋转是一个重要的考点，也是一种常见的解题方式。

通过对图形进行旋转，我们可以得到一些有用的信息，帮助我们解决问题。

本文将介绍一些常见的旋转解题技巧，并通过具体的题目进行说明，帮助高中学生和他们的家长更好地理解和应用这些技巧。

一、旋转对称性旋转对称性是指图形在某个旋转中心旋转一定角度后，能够重合于原来的图形。

利用旋转对称性，我们可以得到一些有用的性质，从而解决问题。

例如，考虑以下的题目：题目：已知正方形ABCD的边长为2，以点A为中心逆时针旋转90°，得到新的正方形A'B'C'D'，连接AA'、BB'、CC'、DD'。

求证：四边形AA'BB'CC'DD'是一个正方形。

解析：首先，我们可以通过旋转对称性得出AA'、BB'、CC'、DD'的长度均为2，因为旋转90°后，原来的正方形与新的正方形完全重合。

接下来，我们需要证明四边形AA'BB'CC'DD'的边长相等。

我们可以观察到，AA'与BB'的夹角为90°，而且长度相等，所以AA'与BB'是相等的直角边。

同理，BB'与CC'、CC'与DD'、DD'与AA'也是相等的直角边。

因此，四边形AA'BB'CC'DD'的四个角均为90°，且四边长度相等，所以它是一个正方形。

通过这个例子，我们可以看到，利用旋转对称性可以得到图形的对称性和边长的相等性，从而帮助我们解决问题。

二、旋转叠加旋转叠加是指将一个图形旋转一定角度后，再将旋转后的图形继续旋转。

通过旋转叠加，我们可以得到一些有用的信息，帮助我们解决问题。

例如，考虑以下的题目：题目：已知正方形ABCD的边长为2，以点A为中心逆时针旋转90°得到正方形A'B'C'D'，再以点A'为中心逆时针旋转90°得到正方形A''B''C''D''，连接AA''、BB''、CC''、DD''。

旋转练习题及答案

旋转练习题及答案一、选择题1. 一个图形绕某一点旋转90°后，与原图形相比，位置发生了变化，但形状和大小不变。

这种现象称为：A. 平移B. 对称B. 旋转D. 反射答案：C2. 一个正方形绕其中心点旋转180°后，其形状和位置将如何变化？A. 形状改变，位置不变B. 形状不变，位置改变C. 形状和位置都不变D. 形状和位置都改变答案：C3. 在平面直角坐标系中，点P(3,4)绕原点O(0,0)顺时针旋转90°后，新坐标为：A. (4,-3)B. (-4,3)C. (-3,4)D. (3,4)答案：A二、填空题4. 若一个图形绕某点旋转θ°后，旋转后的图形与原图形关于该点对称，则称该图形为______图形。

答案：中心对称5. 一个图形绕某点旋转180°后，与原图形完全重合，这种现象称为图形的______。

答案：中心对称三、解答题6. 已知点A(1,2)，求点A绕原点O(0,0)顺时针旋转90°后的坐标。

解答：设点A旋转后的坐标为(x,y)。

根据旋转公式，我们有：\[ x = 2 \]\[ y = -1 \]因此，点A的新坐标为(2, -1)。

7. 一个等边三角形ABC，其中A(0,0)，B(1,√3)，C(-1,√3)。

求三角形ABC绕点A顺时针旋转60°后的顶点坐标。

解答：首先，我们需要找到等边三角形的旋转矩阵。

对于顺时针旋转60°，旋转矩阵为：\[ \begin{bmatrix} \cos(60°) & -\sin(60°) \\ \sin(60°) & \cos(60°) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/2 & -√3/2 \\ √3/2 & 1/2 \end{bmatrix} \]应用旋转矩阵到点B和C，我们得到：B' = (1/2 - √3/2, √3/2 + 1/2)C' = (-1/2 + √3/2, √3/2 - 1/2)因此，旋转后的顶点坐标为：B'(1/2 - √3/2, √3/2 + 1/2)C'(-1/2 + √3/2, √3/2 - 1/2)四、应用题8. 一个时钟的时针在12点整时指向上方，若时针以恒定速度旋转，求时针在3小时后的位置。

图形平移旋转练习题

图形平移旋转练习题图形平移旋转练习题在几何学中，图形的平移和旋转是常见的操作。

通过平移和旋转，我们可以改变图形的位置和方向，从而探索不同的几何性质和关系。

本文将为读者提供一些图形平移旋转的练习题，帮助读者巩固和加深对这些操作的理解和应用。

练习题一：平移1. 将一个正方形沿着横轴向右平移3个单位，再向上平移4个单位。

请问新的正方形的顶点坐标分别是多少？2. 给定一个三角形ABC，其中A(1, 2)，B(4, 5)，C(7, 2)。

将该三角形沿着横轴向左平移2个单位，再向上平移3个单位。

请问新的三角形的顶点坐标分别是多少？练习题二：旋转1. 将一个正方形绕原点逆时针旋转90度，求旋转后正方形的顶点坐标。

2. 给定一个矩形ABCD，其中A(2, 2)，B(6, 2)，C(6, 4)，D(2, 4)。

将该矩形绕原点顺时针旋转45度，求旋转后矩形的顶点坐标。

练习题三：平移和旋转的组合1. 将一个正方形绕原点逆时针旋转45度，再向右平移3个单位，求变换后正方形的顶点坐标。

2. 给定一个三角形ABC，其中A(1, 1)，B(4, 1)，C(4, 4)。

将该三角形绕原点顺时针旋转60度，再向上平移2个单位，求变换后三角形的顶点坐标。

通过这些练习题，我们可以加深对图形平移和旋转的理解和应用。

平移是指将图形沿着某个方向移动一定的距离，而旋转则是指将图形围绕某个点旋转一定的角度。

这些操作可以改变图形的位置和方向，从而产生新的图形。

在解决这些练习题时，我们需要注意几个关键点。

首先，要清楚平移和旋转的基本原理和规则。

平移是通过改变图形的坐标来实现的，而旋转则是通过应用旋转矩阵来实现的。

其次，要熟练掌握平移和旋转的计算方法和公式。

通过计算新的顶点坐标，我们可以得到变换后的图形。

最后，要注意单位和方向的变化。

在平移和旋转过程中，单位和方向可能会发生变化，所以要仔细计算和判断。

通过练习图形平移和旋转的题目，我们可以提高几何思维和空间想象能力。

旋转知识点总结和题型总结

旋转知识点总结和题型总结一、旋转知识点总结旋转是几何学中的一个重要概念，它涉及到图形围绕某个中心点进行转动的运动。

在高中数学中，旋转通常是指平面图形绕坐标原点或其他指定点进行旋转。

旋转的性质和相关定理在解决几何问题和证明几何定理中起着重要的作用。

下面我们来总结一下旋转的相关知识点。

1. 旋转的基本概念旋转是指一个平面图形绕着一个固定的中心点旋转。

通常我们用一个角度来表示旋转的大小，这个角度可以是正数也可以是负数，正数表示逆时针旋转，负数表示顺时针旋转。

旋转后的图形与原图形相似，它们的对应部分保持着等长和等角关系。

2. 旋转的公式当平面图形沿着坐标原点以逆时针旋转θ度时，点（x，y）绕原点旋转后得到的新点的坐标为（x'，y'）可以由以下公式得到：x' = xcosθ - ysinθy' = xsinθ + ycosθ3. 旋转的性质a. 图形绕原点旋转180°后的性质：如果一个平面图形绕坐标原点旋转180°之后得到的图形恰好与原图形重合，那么这个图形就是轴对称的。

b. 图形绕原点旋转360°之后的性质：如果一个平面图形绕坐标原点旋转360°之后得到的图形与原图形完全相同，那么这个图形就是旋转对称的。

c. 图形绕原点旋转90°或270°之后的性质：如果一个平面图形绕坐标原点逆时针旋转90°或顺时针旋转270°得到的图形与原图形重合，那么这个图形就是垂直对称的。

4. 旋转的应用旋转在几何学中有着广泛的应用，例如在解析几何中，我们可以利用旋转的公式来求解相关的几何问题；在立体几何中，旋转可以帮助我们解决求体积、曲面积等问题；在实际生活中，旋转也被广泛应用在工程、建筑、航空航天等领域。

5. 旋转的相关定理a. 复合旋转定理：两次旋转可合成一次旋转。

b. 示例旋转定理：一个图形旋转180°之后，再旋转180°后得到了与原图形相同的图形。

专题09 图形的运动——旋转4种常见压轴题型全攻略(解析版)

专题09图形的运动——旋转4种常见压轴题型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一旋转角概念的识别】 (1)【考点二旋转中心个数的识别】 (2)【考点三由旋转的性质求线段的长度】 (2)【考点四由旋转的性质求图形的面积】 (3)【过关检测】 (4)【典型例题】【考点一旋转角概念的识别】A．15︒B．45︒C．90是由△AOB【分析】COD三边关系解答．【详解】解：如图，设小方格的边长为1，得22=+=2222,OC AOA．30︒B．40︒C．50︒【分析】直接利用旋转的性质得出∠的度数，根据旋转的定义即可求解．出ECB【分析】根据旋转角的定义即可解答．【详解】解：Rt ABC △绕点则BAD ∠即为旋转角，∵点C 在AD 上，90CAB ∠=【分析】根据正方形的性质可得【详解】解：在正方形PBC 绕点B 逆时针旋转到A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】根据旋转的性质，即可得出，分别以A,B,C为旋转中心即可从正方形甲旋转到正方形乙的位置．【详解】解：如图，绕A点逆时针旋转90°，可到正方乙的位置；绕C点顺时针旋转90°，可到正方乙的位置；绕AC的中点B旋转180°，可到正方乙的位置；故选：C．【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等；特别注意容易忽略点B．【变式1】如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是（）A．M或O或N B．E或O或C C．E或O或N D．M或O或C【答案】A【详解】试题分析：若以M为旋转中心，把正方形ABCD顺时针旋转90°，A点对应点为H，B点对应点为E，C点对应点为F，D点对应点为G，则可得到正方形EFGH；若以O为旋转中心，把正方形ABCD旋转180°，A点对应点为G，B点对应点为H，C点对应点为E，D点对应点为F ，则可得到正方形EFGH ；若以N 为旋转中心，把正方形ABCD 逆时针旋转90°，A 点对应点为F ，B 点对应点为G ，C 点对应点为H ，D 点对应点为E ，则可得到正方形EFGH ．故选A ．【变式2】如图，如果正方形ABCD 旋转后能与正方形CDEF 重合，那么图形所在平面内，可作为旋转中心的点个数（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【详解】可以绕点D,点C,线段CD 的中点旋转，故选C.【考点三由图形旋转的性质求线段的长度】A ．2B ．12C ．3【分析】由直角三角形的性质可得【详解】解：90B ∠=︒ ，22AC AB ∴==，【答案】32【分析】根据旋转的性质，得到【详解】解：根据旋转的性质，可得3AP = ，答案】42【分析】先进行把AEC △绕点82ABC AA C S S '== ，继而利用勾股定理可得【详解】如图，AEC △绕点C 点D 与D ¢对应，点E 与B 对应∵45BCE ∠=︒，45DAC ∠=︒，BC ∴AEC △旋转后与A BC ' 重合，∴A BC AEC '∠=∠，CED CBD ∠=∠∵180AEC CED ∠+∠=︒，ACB ∠∴180A BC CBD ''∠+∠=︒，AC ∴点A '，B ，D ¢三点共线，AA B S ' ∴AA G BGC S S '= ，∴82ABC AA C S S '== ，AC A C '=∴90AHC ∠=︒∴90AHC ∠=︒，AH CH =，在Rt AHC ，由勾股定理得：CH ∴1·822ABC AA C S S A C AH ''=== 22824AC =，∴42AC =，故答案为：42．【点睛】此题考查了旋转及勾股定理，解题的关键是熟练掌握旋转的性质与勾股定理得应用．【变式3】正方形ABCD 内一点P 长为．【答案】22【分析】由旋转的性质得到出PP '的长即可．【详解】解：由旋转的性质得到BPP ∴' 为等腰直角三角形，A ．14B ．38C ．34【分析】根据旋转的性质得出45C ABE ∠=∠=︒，CD 【详解】解：线段AD AD AE ∴=，=90DAE ∠90EAB BAD ∴∠+∠=︒，【分析】利用旋转的性质可得1AD A B ⊥，利用含30度直角三角形的性质，即可求解．【详解】解：由旋转的性质可得：∴ABC A BC S S =∵30ABD ∠=︒∴132AD AB ==11192ABA S AD A B =⨯= ，即阴影部分的面积为故答案为：9【过关检测】一、单选题1．若ABC 绕点A 按逆时针方向旋转50︒后与11AB C ∆重合，则1CAC ∠=（）A ．50︒B ．55︒C ．60︒D ．65︒【答案】A 【分析】由旋转的性质可得1150CAC BAB ∠=∠=︒即可求解．【详解】解：由旋转的性质可得1150CAC BAB ∠=∠=︒故选：A ．【点睛】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．2．如图，COD △是AOB 绕点O 顺时针旋转40︒后得到的图形，且AOD ∠的度数为90︒，则AOB ∠的度数是()A ．70︒B ．60︒C ．50︒D ．45︒【答案】C 【分析】根据旋转的性质可得40AOC BOD ∠=∠=︒，进而根据AOD ∠的度数为90︒，得出10COB ∠=︒，即可求解．【详解】解：∵COD △是AOB 绕点O 顺时针旋转40︒后得到的图形，∴40AOC BOD ∠=∠=︒，∵AOD ∠=90︒，∴90404010COB ∠=︒-︒-︒=︒，∴50AOB AOC BOC ∠=∠+∠=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了旋转的性质，几何图形中角度的计算，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．3．如图，在ABC 中，以点C 为中心，将ABC 顺时针旋转30︒得到DEC ，边DE ，AB 相交于点F ，35A ∠=︒，则AFD ∠的度数为（）A ．35︒B ．30︒C ．65︒D ．60︒【答案】B 【分析】以点C 为中心将ABC 顺时针旋转30︒得到DEC ，可知ACD ∠是旋转角，为30,D ︒∠与A ∠是对应角，则35D A ∠=∠=︒，由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和可求出AFD ∠的度数，得出答案；【详解】解：∵以点C 为中心将ABC 顺时针旋转30︒得到DEC ，30,ACD \Ð=°35,D A ∠=∠=︒①ABC DEC△△②BC≌∠=∠④AC③A CBEA．①②③B．①②④【答案】A【分析】由全等三角形的判定可判断A．1个B．【答案】C【分析】根据旋转的性质可得，数为50︒，通过推理证明对绕【详解】解：①ABCA．40︒B．50︒【答案】C【分析】先根据旋转的性质得到∠A．30︒B．【答案】B∠【分析】先确定旋转角BCB【详解】∵三角形ABC 绕点C 顺时针旋转35︒，得到三角形A B C ''，∴35BCB ACA ''∠=∠=︒，∵105A CB '∠=︒，∴105353535ACB BCB AC C A A B '︒-︒-︒=︒'''∠=∠-∠-∠=，故选：B ．【点睛】本题考查了图形旋转和角度计算，确定旋转角是解题的关键．9．如图，ABC 中，47AB BC ==，，将ABC 沿射线BC 的方向平移，得到A B C ''' ，再将A B C ''' 烧点A '逆时针旋转60︒后，点B '恰好与点C 重合，则平移的距离和B ∠的度数分别为（）A ．3，60︒B ．4，60︒C ．3，30︒D ．4，30︒【答案】A 【分析】由旋转的性质和平移的性质可得B C A C ''=，5AB A B ''==，60B A B C ⅱÐ=Ð=°，可证A B C ''' 是等边三角形，可得5A B B C '''==，即可求解．【详解】解：将A B C ''' 绕点A '逆时针旋转60︒后，点B '恰好与点C 重合，A B A C '''∴=，60B A C ''∠=︒，∴A B C '' 是等边三角形，将ABC 沿射线BC 的方向平移，得到A B C ''' ，4AB A B ''∴==，60B A B C ⅱÐ=Ð=°，4A B B C '''∴==，3BB BC B C ''∴=-=，∴平移的距离为3，故选：A ．【点睛】本题考查了旋转的性质，平移的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质是本题的关键．10．如图，将AOB 绕点O 按逆时针方向旋转45︒后得到A OB ''△，若15AOB ∠=︒，则AOA '∠的度数是（）A．45︒B．【答案】A【分析】利用旋转的性质，求解即可．绕点【详解】解：将AOB则O旋转中心，旋转角为45a-︒【答案】2180【分析】根据旋转的性质可知【详解】根据旋转的性质得∵点A，D，E共线，【答案】30︒或45︒或120︒【分析】分情况画出图形，利用平行线的性质和直角三角形的特征分别进行求解即可．【详解】解：①如图1，当CD OB ∥时，α∠②如图2，当OC AB ∥时，∴909045B α∠=︒-∠=︒-︒=③如图3．当DC OA ∥时，∴90AOB AOD α∠=∠+∠=【答案】70【分析】根据旋转的性质、等腰三角形的性质，即可求得．【详解】解：∵50B ∠=︒，∴40B AB '∠=︒，【答案】(180)a ︒-【分析】根据旋转的性质得BAE ∠【答案】45︒/45度【分析】画出图形，利用平行线的性质求解即可．【详解】①如图1中，EFα=︒时，EF∥∴旋转角45②如图2中，EF AB∥时，故答案为：45︒．【点睛】本题考查旋转变换、平行线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．16．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，40ABC ∠=︒．将ABC 并使点C 的对应点C '恰好落在边AB 上，则BB C ''∠的度数是【答案】25︒【分析】根据旋转可得BAB ∠而可得BB C ''∠的度数．【详解】解：∵90C ∠=︒，∠【答案】80︒/80度【分析】根据旋转的性质得到∠根据旋转的性质可得CAC【详解】解：∵将ABC【详解】故答案为90 ．【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及重合部分的角相等和等角的余角相等的知识，其中确定∠2=∠BOC是解题的关键．三、问答题△可以由V(1)ABF△的形状．(2)试说明AEF(3)若4=AD，DE=【答案】(1)点A，90△是等腰直角三角形(2)AEF(3)34EF=四、作图题21．如图ABC 中，()()()0,1,1,0,2,0A B C -，先将ABC 绕着点C 顺时针旋转90︒，再向上平移2个单位得到A B C ''' ．(1)画出A B C ''' ，并写出A '的坐标；(2)A B C ''' 可以看作是由ABC 顺时针旋转一次而来，请直接写出该旋转的旋转中心的坐标和旋转角的度数．【答案】(1)作图见解析，(3,4)(2)旋转中心(3,1)，旋转角为90︒【分析】（1）先将ABC ，向上平移2个单位，再以C '为旋转中心顺时针方向旋转90︒得A B C ''' ，即可写出A '的坐标；（2）连接CC '，作CC '垂直平分线，连解AA '，作AA '的垂直平分线连线交于点P ，点P 为旋转中心，连接PC ，PC '，由旋转90︒，可知90CPC '∠=︒，由='CP C P ，可得C CP '△是等腰直角三角形，由2CC '=可求1CD C D DP '===即可．【详解】（1）解：如图所示，先将ABC ，向上平移2个单位，再以C '为旋转中心顺时针方向旋转90︒得A B C ''' ，即为所求，其中A '的坐标为(3,4)；（2）解：连接CC '，作CC '垂直平分线，连解AA '，作AA '的垂直平分线连线交于点P ，点P 为旋转中心，连接PC ，PC '，由旋转90︒，∴90CPC '∠=︒，∴='CP C P ，∴C CP '△是等腰直角三角形，21CC CD C D DP ''====，，P (3,1)．如图所示，点P (3,1)即为旋转中心，旋转角90CPC '∠=︒．【点睛】本题考查平移与旋转作图，已知图形找旋转中心问题，掌握平移与旋转的性质，会利用对应点连线的垂直平分线过旋转中心找旋转中心是解题关键．。

2020年高考全国1数学理高考真题变式题6-10题-(解析版)

2020年高考全国1数学理高考真题变式题6-10题原题61．函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（） A ．21y x =-- B ．21y x =-+ C ．23y x =- D ．21y x =+变式题1基础2．设函数()()ln f x g x x x =++，曲线()y g x =在点1,1g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为（） A ．4y x = B ．48=-y x C ．22y x =+ D ．21y x =+变式题2基础 3．曲线2xy x =+在点(1,1)--处的切线方程为 A ．21y x =+ B ．21y x =- C ．23y x =- D ．22y x =-变式题3巩固4．函数()2sin xf x e x =-的图象在点(0, f(0))处的切线方程为（）A ．1y x =-B ．21y x =+C ．21y x =-D ．1y x =+变式题4巩固5．若点P 在曲线1()f x x=上，且该曲线在点P 处的切线的倾斜角为150°，则点P 的横坐标为（） A 3B ．3-C ．3D ．43变式题5巩固6．已知()f x 为偶函数，当0x ≤时，1()e x f x x --=-，则曲线()y f x =在点(1,2)处的切线斜率是（） A ．1 B ．2 C ．e D ．2e 1---变式题6提升 7．若曲线1()ln 2f x x x =+在点()()00,x f x 处的切线方程为y kx b =+，则k b +的最小值为（） A ．-1 B ．12-C ．12D ．18．设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（）A ．10π9B ．7π6C ．4π3D ．3π2变式题1基础9．设函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[,]-ππ上的大致图象如图所示，则()f x 的最小正周期为（）A ．πB ．98π C ．32πD ．74π 变式题2基础10．函数5()cos 6f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则()f x 的最小正周期为（）A ．2πB ．πC ．32π D ．2π变式题3巩固11．设函数()cos()f x A x ωϕ=+（其中0,||4,0A ωϕπ><<<）的大致图象如图所示，则()f x 的最小正周期为（）A ．2π B ．π C ．2π D ．4π变式题4巩固12．函数()cos()0,0,||,02f x A x b A b πωϕωϕ⎛⎫=++>><> ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列判断不正确的是（）A ．2A =B ．12ω=C ．1b =D ．6π=ϕ 变式题5巩固13．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω）的部分图象如图所示，其中线段BD 的中点在y 轴上，且△BCD 的面积为2π，则()f x 可以为（）A ．1sin 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．sin 3x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．12sin 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．12sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭变式题6提升14．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，图象与y轴交于点M ，与x 轴交于点C ，点N 在()f x 的图象上，且点M ，N 关于点C 对称，则下列说法：△2ω=；△5()03f x f x π⎛⎫++-= ⎪⎝⎭；△()f x 在2,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增；△将函数()f x 的图象向左平移6π个单位长度后得到的函数图象关于y 轴对称，其中正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4原题815．25()()x x y x y ++的展开式中x 3y 3的系数为（）A ．5B ．10C ．15D ．20变式题1基础16．251(1)x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中x 3的系数为（）A ．5B ．10C ．15D ．20变式题2基础17．()242y x x y x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中23x y 项的系数为（）A ．24-B ．40-C ．24D ．30-变式题3巩固18．(x +y )(2x -y )5的展开式中x 3y 3的系数为 A ．-80 B ．-40 C ．40 D ．80变式题4巩固19．已知()6311x a x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和为128，则该展开式中2x 的系数为（）A ．15B ．21C ．30D ．35变式题5巩固20．62()y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中42x y 的系数为（）A ．36-B ．24-C ．24D ．36变式题6提升21．在64(1)(1)x y ++的展开式中，记m n x y 项的系数为(),f m n ，则()()3,01,2f f +=（） A ．24 B ．80 C ．56 D ．120原题922．已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=（） A 5B ．23C ．13D 5变式题1基础23．设0απ<<，7sin cos 13αα+=，则1tan 1tan αα-+的值为（）A ．177B ．717C ．177-D ．717-变式题2基础24．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且8sin 3cos25αα-=，则cos α=（）A 5B ．23C ．13D 5变式题3巩固25．已知,2παπ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭且3cos28cos 50--=αα，则tan α=（）A ．23-B 5C 25D 5变式题4巩固26．若1sin cos 5αα+=，0απ<<，则sin 2cos2αα+=（）A ．1725B ．1725-C ．3125D ．3125-变式题5巩固27．已知10,,sin 243πθθ⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，则sin cos θθ-=（）A ．23B ．23-C 6D ．6变式题6提升28．已知A 是ABC 的内角，且sin 3cos 2A A +=-tan A 的值为（） A ．-1或7 B ．23-或1C ．-1D ．23-原题1029．已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，△1O 为ABC 的外接圆，若△1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为（）A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π变式题1基础30．平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α，则此球的表面积为（）A ．12πB ．C ．3ππD ．变式题2基础31．在四面体PABC 中，PA PB ⊥，3PA PB ==，AC ==BC 外接球的表面积为（）A ．B ．C ．9πD ．18π变式题3巩固32．三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一球面上，其中PA ⊥平面ABC ，ABC 是正三角形，24PA BC ==，则该球的表面积是（） A ．83πB ．163πC ．323πD ．643π变式题4巩固33．在ABC 中，AC =B 在以AC 为直径的圆上.点P 在平面ABC 上的射影为AC 的中点，2PA =，则其外接球的表面积为（） A ．12π B ．163π C ．94π D ．16π变式题5巩固34．球面上有三点、、A B C 组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中6,8AB BC ==，10AC =，球心O 到这个截面的距离为球半径的一半，则球的表面积为（）A ．4003πB ．1003πC ．2003πD 变式题6提升35．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面且各顶点都在同一球面上,若12AB AC AA a ===,120BAC ∠=︒,则此球的表面积等于A ．210a πB ．212a πC ．24a πD ．220a π参考答案：1．B【分析】求得函数()y f x =的导数()f x '，计算出()1f 和()1f '的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可. 【详解】()432f x x x =-，()3246f x x x '∴=-，()11f ∴=-，()12f '=-，因此，所求切线的方程为()121y x +=--，即21y x =-+. 故选：B.【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题 2．A【分析】结合导数的几何意义求出(1)3(1)2g g =⎧⎨='⎩，从而可以求出(1)f '和(1)f 的值，进而可以求出结果.【详解】因为曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，所以(1)3(1)2g g =⎧⎨='⎩，因为()()ln =++f x g x x x ，则1()()1f x g x x''=++，所以1(1)(1)141f g ''=++=，且(1)(1)1ln14f g =++=，因此曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为()441y x -=-，即4y x =，故选：A. 3．A 【详解】解：221222'2(2)(2)2'|2(12)x x x x y y x x x y =-+-=∴==+++∴==-+利用点斜式方程可知为y=2x+1 4．D【解析】求得()22cos xf x e x '=-，得到() 01f '=，()01f =，结合直线的点斜式，即可求解.【详解】由题意()2sin x f x e x =-，可得()22cos xf x e x '=-，可得() 0211f '=-=，()1010f =-=，所以切线方程为()110y x -=⨯-，即1y x =+. 故选：D. 5．D【分析】根据导数的几何意义求斜率，再由倾斜角求斜率，建立方程求解即可. 【详解】设点Р的横坐标为0x ，因为1()f x x=，所以21()f x x '=-．因为切线的倾斜角为150°，所以切线的斜率为()0201f x x '=-=所以0x = 故选：D 6．B【分析】利用偶函数求0x >的解析式再求导，根据导数的几何意义即可求(1,2)处的切线斜率.【详解】设0x >，则0x -<，1()e x f x x --=+，又()f x 为偶函数， △1()e x f x x -=+，则对应导函数为1()e 1x f x -'=+， △(1)2f '=，即所求的切线斜率为2. 故选：B 7．C【分析】利用导数的几何意义求出函数在切点出的切线方程，进而得到0011ln 2k b x x +=+-，构造函数11()ln (0)2u x x x x =+->，利用导数求出函数的最小值即可得到答案. 【详解】由1()ln 2f x x x =+，则切点为0001,2x x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭求导11()2f x x '=+，则切线斜率0112k x =+，切线方程为0000111()ln 22y x x x x x ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭，即0011ln 12y x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭则00011ln (0)2k b x x x +=+-> 令11()ln (0)2u x x x x =+->，则22111()x u x x x x-'=-=，令()0u x '=，得1x = 当01x <<时，()0u x '<，()u x 单调递减；当1x >时，()0u x '>，()u x 单调递增；故当1x =时，函数()u x 取得最小值1(1)2u =，即k b +的最小值为12故选：C【点睛】方法点睛：本题主要考查了利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程，以及利用导数研究函数的单调性与极值，求切线常见考法：(1)已知切点()00(,)A x f x 求斜率k ，即求该点处的导数值：()0k f x ='． (2)已知斜率k ，求切点()11(,)A x f x ，即解方程()1f x k '=.(3)若求过点00() ,P x y 的切线方程，可设切点为11 (,)x y ，由1101101()()()y f x y y f x x x '=⎧⎨-=-⎩，求解即可． 8．C【分析】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭，即可得到4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭，结合4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点即可得到4962πππω-⋅+=-，即可求得32ω=，再利用三角函数周期公式即可得解.【详解】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭，将它代入函数()f x 可得：4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭ 又4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点，所以4962πππω-⋅+=-，解得：32ω=所以函数()f x 的最小正周期为224332T πππω=== 故选：C【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题. 9．C【分析】根据函数图象过点9,016π⎛⎫⎪⎝⎭，即可得到ω的取值集合，再根据函数图象可得22T T π>>，即可求出ω的取值范围，从而求出ω的值，即可求出函数的最小正周期；【详解】解：由图可得，函数图象过点9,016π⎛⎫⎪⎝⎭，所以()9164k k Z ππωπ+=∈，即()16499k k Z ω=-∈，设函数()f x 的最小正周期为T ，又因为22T T π>>，即2222πππωω⋅>>，解得12ω<<，所以当1k =时43ω=，所以函数()f x 的最小正周期232T ππω==故选：C 10．B【分析】由图可知，354123T ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,计算即可. 【详解】由图可知，355341231234T πππππ⎛⎫=--=+= ⎪⎝⎭,则T π=, 故选：B 11．C【分析】根据图象求得,,A ϕω，从而求得()f x 的最小正周期.【详解】由图象可知函数的最低点的纵坐标为-2，所以A =2，函数的图象与y 轴的交点的坐标为（0，1），所以(0)2cos(0)1f ωϕ=⨯+=，根据单调性可得：()2,03k k πϕπϕπ=+∈<<Z ，所以3πϕ=.又函数的图象与x 轴的正半轴的第一个交点的坐标为,06π⎛⎫⎪⎝⎭，所以2cos 0663f πππω⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则根据单调性可得()2632k k πππωπ⨯+=+∈Z ，解得()121k k ω=+∈Z ，又||4ω<，所以1ω=，所以()f x 的最小正周期为2π. 故选：C 12．D【分析】利用图象求出函数()f x 的解析式，即可判断各选项的正误. 【详解】由图可得()3122A --==，()3112b +-==，函数()f x 的最小正周期为72433T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，则212T πω==，所以2cos 1336f ππϕ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos 16πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故()26k k Z πϕπ+=∈，所以，()26k k Z πϕπ=-∈，2πϕ<，则6πϕ=-，故()12cos 126f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以，ABC 选项正确，D 选项错误.故选：D. 13．C【分析】由图象及BD 的中点在y 轴上知3,0,,022B C ππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且()f x 的最小正周期为4π求ω，根据三角形面积求A ，最后由五点法求ϕ，即可确定解析式.【详解】由题图及线段BD 的中点在y 轴上，知：,02B π⎛⎫- ⎪⎝⎭，由对称性得3,02C π⎛⎫ ⎪⎝⎭，△()f x 的最小正周期为4π，故24ππω=，即12ω=. 由△BCD 的面积为2π，得：122BC A A ππ⋅==，得2A =，故()12sin 2ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x . 由22f π⎛⎫= ⎪⎝⎭得sin 14πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故()242k k Z ππϕπ+=+∈，即()24k k Z πϕπ=+∈，故()()12sin 224f x x k k Z ππ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭，结合选项知：C 正确.故选：C. 14．B【分析】先根据点M ，N 关于点C 对称求出点C 的坐标，则函数的周期可求，然后再结合图象即可求出解析式，然后逐一判断即可．【详解】由点M ，N 关于点C 对称可知,03C π⎛⎫ ⎪⎝⎭，故236T πππ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22T πω==，故△正确，所以()sin(2)f x A x ϕ=+，所以又()06f π-=，所以sin()03πϕ-+=，即03πϕ-+=，得3πϕ=，所以()sin(2)3f x A x π=+，因为5()sin 206f A ππ==，故()f x 图象关于5(,0)6π对称，则5()()03f x f x π++-=，故△正确，当2(,0)3x π∈-时，2(,)33x πππ+∈-，因为函数sin y x =在(,)2ππ--上单调递减，在(,)23ππ-上单调递增，故()f x 在2(,0)3π-上不满足单调递增，故△错误，将函数()f x 的图象向左平移6π个单位长度后得2sin[2()]sin(2)633y A x A x πππ=++=+，0x =时显然取不到最值，故不是偶函数，即△错误．故选：B ． 15．C【分析】求得5()x y +展开式的通项公式为515rrrr T C xy -+=（r N ∈且5r ≤），即可求得2y x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与5()x y +展开式的乘积为65r rr C x y -或425r r r C x y -+形式，对r 分别赋值为3，1即可求得33x y 的系数，问题得解.【详解】5()x y +展开式的通项公式为515r rr r T C xy -+=（r N ∈且5r ≤）所以2y x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的各项与5()x y +展开式的通项的乘积可表示为：56155r rrr rrr xT xC xy C xy --+==和22542155r r rr r r r T C x y xC y y y x x --++==在615rrr r xT C xy -+=中，令3r =，可得：33345xT C x y =，该项中33x y 的系数为10，在42152r r r r T C x xy y -++=中，令1r =，可得：521332T C y x x y =，该项中33x y 的系数为5 所以33x y 的系数为10515+= 故选：C【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题. 16．C【分析】利用乘法分配律和二项式展开式通项公式，求得3x 的系数.【详解】依题意，展开式中3x 的项为()12243355151015x C x C x x x x⋅+⋅=+=，所以3x 的系数为15.故选：C【点睛】本小题主要考查二项式展开式，考查乘法分配律，属于基础题. 17．B【分析】将式子分成两项之和，再利用二项式定理的展开式，求特定的项.【详解】()()()22444222y y x x y x x y x y x x ⎛⎫+-=-+- ⎪⎝⎭因为()42x y -()42x y =+-⎡⎤⎣⎦()()()()()0123404132231404444422222C x y C x y C x y C x y C x y =-+-+-+-+-4322348243216x x y x y xy y =-+-+，所以()242y x x y x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中23x y 项的为()()2332332840y x xy x y x y x⋅-+⋅-=-，系数为40-.故选：B. 18．C【详解】()()()()555222x y x y x x y y x y +-=-+-，由()52x y -展开式的通项公式()()515C 2r rrr T x y -+=-可得：当3r =时，()52x x y -展开式中33x y 的系数为()3325C 2140⨯⨯-=-；当2r =时，()52y x y -展开式中33x y 的系数为()2235C 2180⨯⨯-=，则33x y 的系数为804040-=. 故选C.【名师点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项. （2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.19．B【分析】先根据已知条件求出a 的值，然后求出()61x +的展开式的通项公式，根据多项式的乘法即可求出结果.【详解】由题意知()631128111a ⎛⎫+⨯+ ⎪=⎝⎭，所以1a =，又因为()61x +的展开式的通项公式为6r r C x ，所以展开式中2x 的系数256615621C C +=+=，故选：B. 20．B【分析】由二项式定理写出6()x y +的展开式通项公式，结合乘积形式确定含42x y 项，即可得其系数.【详解】由题意得：6()x y +的展开式的通项为616(0,1,,6)rrr r T C xy r -+=⋅⋅=；当1r =时，1615266T C x y x y -==，此时只需乘以因式2y x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中的y x 即可，得到426x y ；当2r =时，2622423615T C x y x y -==，此时只需乘以因式2y x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中的2-即可，得到4230x y -；据此可得，62()y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中42x y 的系数为24-.故选：B.21．C【分析】由题意根据定义、二项展开式的通项公式，求得要求式子的值．【详解】在64(1)(1)x y ++的展开式中，记m n x y 项的系数为(,)f m n ，则()()3,01,2f f +，即30x y 项的系数加上12x y 项的系数，又()()301264643,01,2203656f f C C C C +=⋅+⋅=+=，故选：C ． 22．A【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于cos α的一元二次方程，求解得出cos α，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.【详解】3cos28cos 5αα-=，得26cos 8cos 80αα--=，即23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=（舍去），又(0,),sin απα∈∴== 故选：A.【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题. 23．C【分析】依题意可知2απ<<π，得到cos sin 0αα-<，再利用正余弦和差积三者的关系可求得cos sin αα-的值，将所求关系式切化弦，代入所求关系式计算即可．【详解】由7sin cos 13αα+=，平方得到491sin 2169α+=，49120sin 21216916s 9in cos ααα∴=-=-=， 0απ<<，∴2απ<<π， cos 0α∴<，而sin 0α>，cos sin 0αα∴-<；令cos sin (0)t t αα=-<，则21sin 2t α=-，21202891sin 21169169t α∴=-=+=，0t < 1713t ∴=-∴1tan cos sin 13131717(cos sin )()1tan cos sin 77137αααααααα--==-=⨯-=-++，故选：C ． 24．A【分析】把已知等式利用倍角公式变形，求解sin α，再由同角三角函数基本关系式求解cos α．【详解】解：由8sin 3cos25αα-=，得28sin 3(12sin )50αα---=，即23sin 4sin 40αα+-=，解得sin 2α=-（舍)或2sin 3α=．(0,)2πα∈，cos α∴．故选：A ．【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式与倍角公式的应用，属于基础题． 25．D【分析】利用二倍角公式化简已知方程求得cos α，进而确定α的范围，得到sin 0α<，由同角三角函数关系可求得结果.【详解】23cos 28cos 56cos 8cos 80αααα--=--=，解得：2cos 3α=-或cos 2α=（舍），,2παπ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，2cos 03α=-<，,2παπ⎛⎫∴∈-- ⎪⎝⎭，sin 0α∴<，sin α∴==，sin 5tan cos 2. 故选：D. 26．D【分析】将1sin cos 5αα+=两边同时平方得到242sin cos 25αα=-，进而可以缩小角的范围，得到324ππα<<，从而得到322αππ<<，然后结合二倍角以及同角的平方关系即可求出结果.【详解】将1sin cos 5αα+=两边同时平方，112sin cos 25αα+=，所以242sin cos 25αα=-，因此，sin ,cos αα异号，故2απ<<π，且sin cos 0αα+>，则324ππα<<，因此322αππ<<，而24sin 22sin cos 25ααα==-，7cos 225==-α，所以24731sin 2cos 2252525⎛⎫+=-+-=- ⎪⎝⎭αα，故选：D. 27．D【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式即可求解．【详解】解：因为10,,sin 243πθθ⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，sin cos 0θθ∴-<，sin cos θθ∴-=．故选：D ． 28．C【分析】将等式两边平方，应用同角三角函数的平方关系及商数关系可得2tan 6tan 70A A --=，结合题设即可确定tan A 的值.【详解】△sin 3cos A A +=△222sin 6sin cos 9cos 28cos 6sin cos 1A A A A A A A ++=⇒+= △2tan 6tan 70tan 1A A A --=⇒=-或tan 7A =．由0A π<<且sin 3cos A A +=tan 0A <． △tan 1A =-. 故选：C ． 29．A【分析】由已知可得等边ABC 的外接圆半径，进而求出其边长，得出1OO 的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论.【详解】设圆1O 半径为r ，球的半径为R ，依题意，得24,2r r ππ=∴=，ABC 为等边三角形，由正弦定理可得2sin 60AB r =︒=1OO AB ∴==，根据球的截面性质1OO ⊥平面ABC ，11,4OO O A R OA ∴⊥====，∴球O 的表面积2464S R ππ==.故选：A【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题. 30．A【分析】根据球心到平面α的距离,结合球的截面圆的性质,利用勾股定理求出球的半径R ,代入球的表面积公式求解即可.【详解】因为平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α由球的截面圆的性质可得,球的半径R =根据球的表面积公式可得，224412S R πππ==⨯=，故选：A 31．D【解析】易得AB =222AB AC BC =+，得到AC BC ⊥，然后利用直角三角形中线定理得到AB 的中点为球的球心求解 . 【详解】如图所示：因为PA PB ⊥，3PA PB ==，所以AB =.因为AC ==BC 所以222AB AC BC =+，所以AC BC ⊥.设AB 的中点为O ，则OA OB OC OP ====所以外接球表面积为2418r ππ=. 故选：D 32．D【分析】找到三棱锥P ABC -的外接球的球心，在三角形中求得球半径，从而求得表面积. 【详解】取PB 的中点E ，AB 的中点F ，联结EF ，取ABC 的外接圆圆心为D ，分别从E ，D 作各自平面的垂线，交于O 点，则O 为三棱锥P ABC -的外接球的球心，由线线，线面关系易知四边形OEFD 为矩形，122OD EF PA ===，AD =则在Rt ODA 中，外接球半径OA ==则外接球表面积为26443ππ=故选：D 33．D【分析】根据题意画出图形，先求出O P '，再在Rt O OC '求出R ，即可求解. 【详解】解：如图所示，设AC 的中点为O '，外接球的球心为O 在Rt PO A '中，1O P ∴=='，设外接球的半径为R ，在Rt O OC '中：222(1)R R -+=，解得：2R =，∴外接球的表面积为：2244216R πππ=⨯=.故选：D. 34．A【分析】ABC ∆是直角三角形，AC 的中点M 是其外接圆圆心，OM 与平面ABC 垂直，由勾股定理可求得球半径，从而得表面积．【详解】如图，设M 是AC 中点，△222AB BC AC +=，△ABC ∆是直角三角形，AC 是斜边，则M 是ABC ∆的外心，OM ⊥平面ABC ，OM AC ⊥，设球半径为R ，1,2OA R OM R ==，152AM AC ==，2221()52R R -=，21003R =， △21004004433πS πR π==⨯=．故选：A ．【点睛】本题考查球的表面积，解题时需求出球的半径，解题关键是掌握球的截面圆性质：球心与截面圆圆心连线与截面圆所在平面垂直． 35．D【解析】通过已知条件求出底面外接圆的半径,设此圆圆心为O ,球心为O ',在Rt OBO '中,求出球的半径,然后求出球的表面积.【详解】解: 在ABC 中2AB AC a ==,120BAC ∠=︒可得BC =,由正弦定理,可得ABC 外接圆半径2r a =, 设此圆圆心为O ,球心为O ',在Rt OBO '中,易得球半径R =, 故此球的表面积为22420R a ππ= 故选：D【点睛】本题是基础题,解题思路是：先求底面外接圆的半径,转化为直角三角形,求出球的半径,这是三棱柱外接球的常用方法；本题考查空间想象能力,计算能力.。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

一道图形旋转的典型例题及其变式
典例已知：如图1，E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，且∠EAF =45°.
求证： BE +FD =EF
分析：可把△ADF 绕点A 旋转至图2所示位置则F ′B =FD ，再证△AF ′E ≌△AFD ，则EF ′=EF ，又E F ′=BE +F ′B =BE +FD 所以，BE +FD =EF .
证明：如图2，把△ADF 绕点A 顺时针旋转90︒，到△ADF ′的位置. ∵AD =AB ，∠DAB =90°
∴点B 与D ′重合
∵∠ABE +∠ABF ′=180°，∴F ′、B 、E 在一条直线上，即F ′E =BE +DF ∵∠EAF =45°，∴∠BAE +∠DAF =45°
∴∠F ′AB +∠BAE =45°，
∴∠F ′AB =∠F AE =45°
又∵AF =AF ′，AE =AE ，∴△F ′AE ≌△F AE
∴EF =EF ′，∴BE +FD =EF
点拨：本题解题方法体现了转化的数学思想，利用图形的旋转将分散了的条件转化为整体的.
本题为一经典旋转题，它其实是人教课标数学九上课本P64页例题的变式。