方程解问题的代数解法与几何解法(含练习题)

方程解问题的代数解法与几何解法
一般地，讨论方程的解可以有两种解法，一是利用代数方法，最终把比较复杂的
方程化为比较简单的一元一次方程或一元二次方程或其他基本方程（如简单的三角方程），二是转化为函数或方程的曲线，利用图形进行分析，即几何解法.要根据具体问题灵活选用这两种解法，而且两种解法要相互补充，灵活运用.下面举例说明这两种解法的具体应用.
例题1：设方程340x
x +-=的根为1x ，方程3log 40x x +-=的根为2x ，
求12x x +.
代数解法：因为13140+-=，所以1x =方程340x
x +-=的一个根，
()34x f x x =+-在R 上为增函数，所以()34x f x x =+-在R 上最多只有一个零
点，所以1 1.x =因为3log 3340+-=，所以3x =方程3log 40x x +-=的一个根，3
()log 4
f x x x =+-在(0,)+ 上为增函数，所以3()lo
g 4f x x x =+-在(0,)+ 上最多只有一个零点，所以2 3.x = 所以12 4.x x +=
显然上面提供的代数解法仅仅局限于能够用观察法求出方程根的情况，对于含有指数式、对数式及整式的方程，一般无法用初等方法求出方程的根，因此可以考虑从整体上求出12x x +.
此题的特殊性决定了题目的确具有更有一般性的代数方法，但是要用到指数与对数的互化，很难想到，下面提供给同学们仅供参考：
11340x
x +-= ①
322log 40x x +-= ②
①式可以变形为1
13
4x x =-+，即为
311log (4)x x -+=，若设14x t -+=，
则14x t =-，于是3log 4t t =-，
②式变为322log 4x x =-，t 与2x 都是方程3log 4x x =-的根，而这个方程即3log 40
x x -+=，又函数3()log 4f x x x =+-在(0,)+ 上为增函数，最多只有一个实数根，因此必有214x x =-+，所以12 4.x x +=
几何解法：将方程340x
x +-=变形为34x
x =-+，将方程
3log 40x x +-=变形为3log 4x x =-+，在同一坐标系内分别作出函数3x y =，3log y x =，4y x =-+的图像，因为3x y =与3log y x =互为反函数，图像关于直
线y x =对称，而4y x =-+与y x =垂直，设垂足为
x
C ，则直线4y x =-+与3x y =，3log y x =的图像的交点A ，B 关于点C 对称，易求得C 点坐标为(2,2)，又A 点坐标为11(,)x y ，B 点坐标为22(,)x y ，由中点坐标公式得12 4.x x +=
这里的几何解法也具有一般性，而且比代数解法容易掌握.
例题2：已知实数0a ≥,函数2
()1f x ax x =+-在区间(1,1)-上有零点，求实数a
的取值范围.
代数解法:本题是函数存在零点问题，可以先转化为方程有解问题，而方程有解问题又可以转化为函数值域问题，因此我们还可以有下面的代数解法:
解:(1)当0x =时,,1)0(-=f 故0x =不是f (x)的零点. (2)当10,01<<<<-x x 或时,
2()1f x ax x =+-0=可以转化为
222
111111()()24x a x x x x
-=
=-=--,
当 01<<-x 时,
1
1x
<-, ∴a >21(1)2--
1
24
-=, 当 10<<x 时,
1
1x
>, ∴a >21(1)2-
1
04
-=, 综上2()1f x ax x =+-的值域为(0,∞+) ∴a 的取值范围是(0,∞+).
上述解法用了分离参数的方法, 分离参数后所得a 是关于x 的函数.一般地,当分离参数后所得的函数是一个比较简单的函数时,用分离参数法比较简单.
几何解法:本题若从端点并结合二次函数图像仔细分析,可以有下面简捷明快几何解法:
解：（1）当a =0时，f (x)=x-1,函数f (x)的零点为x=1，且1(1,1)?, 不符合题意.
(2) 当a >0时，
由0)1(,01)0(>=<-=a f f 知f (x)在区间(0,1)上至少有一个零点,因此
f (x)在区间(-1,1)上有零点.
综上所述,满足条件的实数a 的取值范围是(0,∞+). 例题3：已知函数||
()2
x f x x =+，方程2()f x kx =有四个不同的实数解，求实数k 的取值范围.
代数解法：原方程即
2||
2
x kx x =+. 0x =恒为方程的一个解，因此问题转化为方程
1
||2
k x x =+有三个不同的实数解. ⑴当0x >时，方程化为：
1
2
kx x =+，即 2210kx kx +-=，
①0k =时 ，方程无解；
②当0k ≠时，2444(1).k k k k ∆=+=+，
ⅰ）当10k -<<时，0∆<，方程无实数解. ⅱ）0k >时，显然0∆>，122x x +=-，121
0x x k
=-<，结合0x >知原方程有一个正根.
ⅲ）1k ≤-时，2440k k ∆=+≥，而此时122x x +=-，121
0x x k
=->，结合0x >知方程无解. ⑵当0x <时，方程化为：
1
2
kx x =-+，即 2210kx kx ++=，
①0k =时 ，方程无实数解；
②当0k ≠时，2444(1).k k k k ∆=-=- ⅰ）当01k <<时，0∆<，方程无实数解. ⅱ）0k <时，显然0∆>，122x x +=-，121
0x x k
=<，结合0x <知原方程有一个负根.
ⅲ）1k =时，方程显然有两个相等的负根.
ⅳ）1k >时，2440k k ∆=->，而此时122x x +=-，121
0x x k
=
>，结合0x <知方程有两个不等的负根.
综上可得，当1k >时，方程2()f x kx =有四个不同的实数解. 几何解法：在原方程即
2||
2
x kx x =+. 0x =恒为方程的一个解，因此问题转化为方程
1
||2
k x x =+（*）有三个不同的实数解. 显然0k ≠，在同一个坐标系中作出函数1
()2
g x x =+和函数()||h x k x =（0k ≠）的
图像：
由图像可知，当0k <时，两个函数图像仅有一个交点；当0k >时，若()||h x k x =的图像在第二象限的部分与双曲线相交，则在第二象限内有两个交点，而在第一象限内显然总有一个交点，因此我们只要利用判别式求出相切时k 的值0k ，那么本题的答案就是
0k k >.
当0k >，0x <方程即2210kx kx ++=，
由2444(1)0k k k k ∆=-=-=得： 1.k =
因此k 的取值范围1k >.
通过上面的几个例题两种解法的对比，可以看出，几何解法为代数解法提供了具体的形象的支撑，甚至可以提供讨论的层次，缩短讨论的过程，而代数解法可以解决几何法无法解决的关键的具体的数据.正如华罗庚所言，“数形结合百般好，割裂分家万是非，数缺形时少直觉，形缺数时难入微”.
请同学们选择适当的方法完成下面的练习: 1、求方程022=-x x 实数解的个数和有理数解. (答案:实数解的个数为3,有理数解为2,4)
２、若关于x 的方程043)4(9=+⋅++x x a 有实数解,求a 的取值范围. (答案: ]8,(--∞).
３、方程02|1|=--a a x )1,0(≠>a a 有两个不同的实数解，求a 的取值范围. (答案: 102
a <<
). ４、已知关于x 的方程a x x =+cos sin 在)2,0(π∈x 上有两个不同的实数解,求a 的取值范围.
(答案: )2,3()3,2( -).
５、关于x 的方程01)1(2
=+-+x m x 在]2,0[∈x 上有解，求实数m 的取值范围. (答案: ]1,(--∞).。