多项式除以多项式解析

多项式除以多项式公式

多项式除以多项式公式
多项式除法是将一个多项式除以另一个多项式，得到的结果为一个商多项式和一个余数多项式的过程。

多项式除法的公式如下：
(a x n + b x n-1+ ... + k) ÷ (m x n + n x n-1 + ... + p) = q x0 + r x-1 + ... + z
其中，a、b、k、m、n、p、q、r、z都是系数，x为变量，n为最高次幂。

具体的计算方法如下：
1. 将多项式除以x n的系数a，得到一个商q和一个余数r。

2. 将商q乘以多项式中的x n-1项，并将结果加上余数r，得到一个新的多项式。

3. 将新多项式中的x n-1项除以m，得到一个商和一个余数。

4. 重复步骤2和3，直到新多项式中的x的最高次幂小于n为止。

5. 最后得到的商即为多项式除法的商，余数为多项式除以除数后剩下的部分。

需要注意的是，在进行多项式除法时，需要确保除数不为零，否则将无法进行除法运算。

此外，多项式除法需要掌
握一定的数学知识，如代数式的运算、因式分解等。

多项式除以多项式

情感态度与价值目标： 2.情感态度与价值目标：情感态度与价值目标
( 1 )、通过师生观察、归纳、猜想、讨论、交流，培养学生合作探究、通过师生观察、归纳、猜想、讨论、交流，的意识和能力。的意识和能力。（2）、培养学生的创新意识和应用意识。）、培养学生的创新意识和应用意识。培养学生的创新意识和应用意识（3）、让学生感悟数学知识来源于现实生活又为现实生活服务，激）、让学生感悟数学知识来源于现实生活又为现实生活服务，让学生感悟数学知识来源于现实生活又为现实生活服务学生学习数学的兴趣和热情。发学生学习数学的兴趣和热情。
• 设计意图：数学教学论指出，数学概念要明确其内涵和外延（条设计意图：数学教学论指出，数学概念要明确其内涵和外延（结论、应用范围等）件、结论、应用范围等），通过对单项式相除定义几个方面的阐述，使学生的认知结构得到优化，知识体系得到完善，阐述，使学生的认知结构得到优化，知识体系得到完善，使学生的数学理解又一次突破思维的难点。的数学理解又一次突破思维的难点。
• 小结归纳不应该仅仅是知识的简单罗列，而应该是优化认小结归纳不应该仅仅是知识的简单罗列，知结构，完善知识体系的一种有效手段，知结构，完善知识体系的一种有效手段，为充分发挥学生的主体地位，的主体地位，让学生畅谈本节课的收获
当堂检测
对比反馈
• (1) 28x4y2÷7x3y ; • (2) -5a5b3c ÷ 15 a4b • (3) -21 x2y4 ÷ (- 3x2 y3)
布置作业，布置作业，提高升华
以作业的巩固性和发展性为出发点，以作业的巩固性和发展性为出发点，我设计了必做题和选做题，必做题是对本节课内容的一个反馈，选做题，必做题是对本节课内容的一个反馈，选做题是对本节课知识的一个延伸。总的设计意图是反馈教学，本节课知识的一个延伸。总的设计意图是反馈教学，巩固提高。提高。

多项式除以多项式

多项式除以多项式多项式除法示例多项式除以多项式的一般步骤：多项式除以多项式通常以垂直形式计算（1）把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐．（2）用除数的第一项去掉除数的第一项，得到商的第一项（3）用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项，把不相等的项结合起来．（4）将减少的差值作为一个新的除数，然后按照上述方法继续计算，直到余数为零或余数小于除数。

除数=除数×商+余数如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整除多项式除以多项式的运算多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下：例1计算(x?9x?20)?(x?4)规范解法2.∴（x2）?9x?20)?(x?4)?x?5.解算步骤说明：（1）将除法公式x（2）除以除法公式X22？9x？20和x组？按照字母的降序排列22?9x?20的第一项x除以除式x?4的第一项x，得x?x?x，这就是商的第一项．（3）商和除法的第一项x？乘以4得到x？4X，从x222开始用X（4）写？9x？20岁以下22?9x?20减去x?4x，得差5x?20，写在下面，就是被除式去掉x?4x后的一部分．（5） 5倍？将20的第一项5x除以除法的第一项x得到5x？十、5.这是商的第二项，以代数和的形式写在第一项x之后（6）以商式的第二项5与除式x?4相乘，得5x?20，写在上述的差5x?20的下面．（7）相减得差0，表示恰好能除尽．（8）写出运算结果，(x542?9x?20)?(x?4)?x?5.22案例2计算（6x？9x？7x？20x？3）？（2x×5）。

规范性解决方案-1-五千四百二十二∴(6x?9x?7x?20x?3)?(2x?x?5)32? 3倍？3倍？6x？1.你是9x吗？2．注①遇到被除式或除式中缺项，用0补位或空出；②余式的次数应低于除式的次数．另外，以上两例还可用分离系数法求解．如例2．∴（6x？9x？7x？20x？3）？（2x×5）32?3x?3x?6x?1???????????余9x?2．什么是综合部？由前面的问题4我们知道两个多项式相除可以用竖式进行，但当除式为一次式，而且它的首项系数为1时，情况比较特殊．例如：计算（2x？3x？4）？（x？3）。

多项式除法异或运算原理

多项式除法异或运算原理多项式除法是数学中的一种运算方法，用于将一个多项式除以另一个多项式，并得到商和余数。

在多项式除法中，异或运算也被广泛应用。

异或运算是一种逻辑运算符，用符号“^”表示。

它的运算规则是：两个数的对应位相同则结果为0，不同则结果为1。

例如，3 ^ 5 = 6。

在多项式除法中，异或运算可以用于消去同类项，简化运算过程。

我们来了解一下多项式的基本概念。

多项式是由常数项和各次幂的项按加法和乘法运算得到的表达式。

例如，2x^3 + 3x^2 - 4x + 5就是一个多项式。

在进行多项式除法时，我们需要将被除式除以除式，并得到商和余数。

多项式除法的基本原理是通过逐步消去同类项来得到商和余数。

首先，我们将被除式的最高次项与除式的最高次项进行异或运算，得到一个新的多项式，作为商的最高次项。

然后，将这个新的多项式乘以除式，得到一个新的多项式，与被除式进行异或运算，得到一个新的多项式。

这个新的多项式的次数比之前的次数低一次。

重复这个过程，直到新的多项式的次数比除式的次数低一次为止。

通过多项式除法异或运算原理，我们可以快速计算出多项式的商和余数。

这种运算方法具有简单、高效的特点。

通过异或运算，我们可以快速消去同类项，减少运算次数，提高计算效率。

除了在多项式除法中使用异或运算外，异或运算还广泛应用于计算机科学和密码学中。

在计算机科学中，异或运算常用于数据加密和校验。

在密码学中，异或运算被用于生成密钥序列和加密算法。

总结起来，多项式除法异或运算原理是一种通过逐步消去同类项的运算方法，用于计算多项式的商和余数。

通过异或运算，我们可以快速消去同类项，减少运算次数，提高计算效率。

同时，异或运算还广泛应用于计算机科学和密码学中。

掌握多项式除法异或运算原理，可以帮助我们更好地理解多项式除法的运算过程，以及在实际应用中的作用和意义。

多项式除以多项式课件

强调了多项式除以多项式在实际应用中的重要性和应用场景。
通过实例演示了多项式除以多项式的计算方法和步骤。

下章预告
将介绍分式的概念和性质，包括分式的约分、通分、加减运算等。
通过实例演示分式的计算方法和技巧，帮助读者更好地理解和掌握分式的运算。
强调分式在实际应用中的重要性和应用场景，进一步拓展读者的数学思维和计算能力。
让学生理解在多项式除法中，系数和变量如何变化，以及如何处理复杂的情况。
综合练习
多项式除法的实际应用
通过一些实际问题，让学生理解多项式除法的实际应用，并能够解决一些实际问题。
多项式除法的变种
让学生了解并掌握一些多项式除法的变种，如带余除法等。
06
总结与展望
本章总结
介绍了多项式除以多项式的概念和基本原理。
多项式除以多项式课件
目录
• 引言 • 多项式除法的基本概念 • 多项式除法的基本步骤 • 多项式除法的应用 • 练习与巩固 • 总结与展望
01
引言
课程背景
数学是研究数量、结构、变化以及空间等概念的学科，具有基础性和通用性。多项式是数学中的基本概念，多项式除以多项式是数学中重要的运算技能之一。
培养学生的数学思维和解决问题的能力。
02
多项式除法的基本概念
多项式的定义
总结词
多项式是由变量、数字和加、减、乘、除等基本运算组成的数学表达式。
详细描述
多项式是数学中一个基本的概念，它是由一个或多个单项式通过加法或减法连接而成的数学表达式。每个单项式由一个或多个变量、数字和运算符组成。例如，$x^2 + 3x - 4$ 是一个多项式，因为它由三个单项式 $x^2$、 $3x$ 和 $-4$ 通过加法和减法连接而成。

多项式除以多项式

多项式除以多项式 Revised by Petrel at 2021多项式除法示例多项式除以多项式的一般步骤：多项式除以多项式一般用竖式进行演算（1）把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐．（2）用被除式的第一项去除除式的第一项，得商式的第一项．（3）用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项，把不相等的项结合起来．（4）把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止．被除式=除式×商式+余式如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整除多项式除以多项式的运算多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下：例1计算)4()209(2+÷++x x x规范解法 ∴.5)4()209(2+=+÷++x x x x解法步骤说明：（1）先把被除式2092++x x 与除式4+x 分别按字母的降幂排列好．（2）将被除式2092++x x 的第一项2x 除以除式4+x 的第一项x ，得x x x =÷2，这就是商的第一项．（3）以商的第一项x 与除式4+x 相乘，得x x 42+，写在2092++x x 的下面．（4）从2092++x x减去x x 42+，得差205+x ，写在下面，就是被除式去掉x x 42+后的一部分．（5）再用205+x 的第一项x 5除以除式的第一项x ，得55=÷x x ，这是商的第二项，写在第一项x 的后面，写成代数和的形式．（6）以商式的第二项5与除式4+x 相乘，得205+x ，写在上述的差205+x 的下面．（7）相减得差0，表示恰好能除尽．（8）写出运算结果，.5)4()209(2+=+÷++x x x x例2计算)52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x ．规范解法 ∴)52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x163323-+-=x x x ……………………………余29-x ．注①遇到被除式或除式中缺项，用0补位或空出；②余式的次数应低于除式的次数．另外，以上两例还可用分离系数法求解．如例2． ∴)52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x163323-+-=x x x ……………………………余29-x ．8．什么是综合除法？由前面的问题4我们知道两个多项式相除可以用竖式进行，但当除式为一次式，而且它的首项系数为1时，情况比较特殊．如：计算)3()432(3-÷-+x x x．因为除法只对系数进行，和x 无关，于是算式（1）就可以简化成算式（2）．还可以再简化．方框中的数2、6、21和余式首项系数重复，可以不写．再注意到，因除式的首项系数是1，所以余式的首项系数6、21与商式的系数重复，也可以省略．如果再把代数和中的“＋”号省略，除式的首项系数也省略，算式（2）就简化成了算式（30的形式：将算式（3）改写成比较好看的形式得算式（4），再将算式（4）中的除数－3换成它的相反数3，减法就化为了加法，于是得到算式（5）．其中最下面一行前三个数是商式的系数，末尾一个数是余数．多项式相除的这种算法，叫做综合除法，它适合于除式为一次式，而且一次项系数为1．例1用综合除法求12333234+-+-x x x x 除以1-x 的商式和余式．规范解法 ∴商式2223-+-=x x x ，余式＝10．例2用综合除法证明910152235-+-x x x 能被3+x 整除．规范证法这里)3(3--=+x x ，所以综合除法中的除数应是－3．（注意被除式按降幂排列，缺项补0．）因余数是0，所以910152235-+-x x x能被3+x 整除．当除式为一次式，而一次项系数不是1时，需要把它变成1以后才能用综合除法．．例3求723-+x x除以12+x 的商式和余数．规范解法把12+x 除以2，化为21+x ，用综合除法．但是，商式2322+-≠x x ，这是因为除式除以2，被除式没变，商式扩大了2倍，应当除以2才是所求的商式；余数没有变．∴商式43212+-=x x ，余数437-=．为什么余数不变呢？我们用下面的方法验证一下．用723-+x x除以21+x ，得商式2322+-x x ，余数为437-，即 ∴437232213223-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+x x x x x()4374321122-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=x x x ．即323-+x x除以12+x 的商式43212+-=x x ，余数仍为437-．综合除法与余数定理综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。

如何进行多项式除以多项式的运算

如何进行多项式除以多项式的运算多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下：例1 计算)4()209(2+÷++x x x规范解法∴ .5)4()209(2+=+÷++x x x x解法步骤说明：（1）先把被除式2092++x x 与除式4+x 分别按字母的降幂排列好．（2）将被除式2092++x x 的第一项2x 除以除式4+x 的第一项x ，得x x x =÷2，这就是商的第一项．（3）以商的第一项x 与除式4+x 相乘，得x x 42+，写在2092++x x 的下面．（4）从2092++x x 减去x x 42+，得差205+x ，写在下面，就是被除式去掉x x 42+后的一部分．（5）再用205+x 的第一项x 5除以除式的第一项x ，得55=÷x x ，这是商的第二项，写在第一项x 的后面，写成代数和的形式．（6）以商式的第二项5与除式4+x 相乘，得205+x ，写在上述的差205+x 的下面．（7）相减得差0，表示恰好能除尽．（8）写出运算结果，.5)4()209(2+=+÷++x x x x例2 计算)52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x ．规范解法∴ )52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x163323-+-=x x x ……………………………余29-x ．注 ①遇到被除式或除式中缺项，用0补位或空出；②余式的次数应低于除式的次数．另外，以上两例还可用分离系数法求解．如例2．∴ )52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x 163323-+-=x x x ……………………………余29-x ．8．什么是综合除法由前面的问题4我们知道两个多项式相除可以用竖式进行，但当除式为一次式，而且它的首项系数为1时，情况比较特殊．如：计算)3()432(3-÷-+x x x ．因为除法只对系数进行，和x 无关，于是算式（1）就可以简化成算式（2）．还可以再简化．方框中的数2、6、21和余式首项系数重复，可以不写．再注意到，因除式的首项系数是1，所以余式的首项系数6、21与商式的系数重复，也可以省略．如果再把代数和中的“＋”号省略，除式的首项系数也省略，算式（2）就简化成了算式（30的形式：将算式（3）改写成比较好看的形式得算式（4），再将算式（4）中的除数－3换成它的相反数3，减法就化为了加法，于是得到算式（5）．其中最下面一行前三个数是商式的系数，末尾一个数是余数．多项式相除的这种算法，叫做综合除法，它适合于除式为一次式，而且一次项系数为1．例1 用综合除法求12333234+-+-x x x x 除以1-x 的商式和余式．规范解法∴ 商式2223-+-=x x x ，余式＝10．例2 用综合除法证明910152235-+-x x x 能被3+x 整除．规范证法这里)3(3--=+x x ，所以综合除法中的除数应是－3．（注意被除式按降幂排列，缺项补0．）因余数是0，所以910152235-+-x x x 能被3+x 整除．当除式为一次式，而一次项系数不是1时，需要把它变成1以后才能用综合除法．．例3 求723-+x x 除以12+x 的商式和余数．规范解法把12+x 除以2，化为21+x ，用综合除法．但是，商式2322+-≠x x ，这是因为除式除以2，被除式没变，商式扩大了2倍，应当除以2才是所求的商式；余数没有变．∴ 商式43212+-=x x ，余数437-=．为什么余数不变呢我们用下面的方法验证一下．用723-+x x 除以21+x ，得商式2322+-x x ，余数为437-，即 ∴ 437232213223-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+x x x x x ()4374321122-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=x x x ．即 323-+x x 除以12+x 的商式43212+-=x x ，余数仍为437-．。

有理分式的不定积分

有理分式的不定积分《有理分式的不定积分》有理分式是指形式为多项式除以多项式的分式。

在微积分中，求有理分式的不定积分是一项重要的计算任务。

本文将讨论有理分式不定积分的基本方法和一些常见的应用。

首先，我们考虑简单的有理分式的情况，即分子和分母的次数相等。

例如，对于形式为f(x)/g(x)的有理分式，其中f(x)和g(x)均为多项式，我们可以首先进行多项式的除法运算，将有理分式化简为一个多项式加上一个真分式。

对于多项式部分，我们可以直接运用多项式的积分法则进行求解；对于真分式部分，我们需要进行部分分式分解。

通过分解成简单的部分分式，我们可以将原有的有理分式转化为一系列更易求解的分式形式。

最后，我们再对每个简单的分式进行积分计算，得到整个有理分式的不定积分表达式。

另一种情况是当分子的次数小于分母的次数时，我们需要使用带余除法进行转化。

通过带余除法，我们可以将有理分式拆分为一个多项式和一个次数更低的有理分式的和。

再对这两部分分别进行不定积分的计算，就能得到原有的有理分式的不定积分。

有理分式的不定积分在实际应用中有广泛的应用。

例如，在概率统计中，我们常常需要计算某个随机变量的分布函数。

对于一些常见的概率分布，其分布函数可以表示为有理分式的形式。

通过对这些有理分式进行不定积分，我们可以得到这些概率分布的密度函数，进而计算出各种统计量和分布的特征。

此外，有理分式的不定积分还与计算机辅助计算密切相关。

在计算机代数系统和符号计算软件中，不定积分的计算是一个重要的功能。

通过对有理分式进行不定积分的算法研究，可以使计算机程序更加高效地完成符号运算任务。

总之，有理分式的不定积分是微积分中的重要内容，它是求解多项式方程、统计计算、符号计算等众多领域的基础。

通过掌握有理分式积分的基本方法和应用技巧，我们能够更好地理解和应用微积分的知识，提高数学建模和问题求解的能力。

多项式除法

关于多项式除以多项式两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如，我们来计算(7x＋2＋6x2)÷(2x＋1)，仿照672÷21，计算如下：∴(7x＋2＋6x2)÷(2x＋1)=3x＋2．由上面的计算可知计算步骤大体是，先用除式的第一项2x去除被除式的第一项6x2，得商式的第一项3x，然后用3x去乘除式，把积6x2＋3x写在被除式下面(同类项对齐)，从被除式中减去这个积，得4x＋2，再把4x＋2当作新的被除式，按照上面的方法继续计算，直到得出余式为止．上式的计算结果，余式等于0．如果一个多项式除以另一个多项式的余式为0，我们就说这个多项式能被另一个多项式整除，这时也可说除式能整除被除式．整式除法也有不能整除的情况．按照某个字母降幂排列的整式除法，当余式不是0而次数低于除式的次数时，除法计算就不能继续进行了，这说明除式不能整除被除式．例如，计算(9x2＋2x3＋5)÷(4x－3＋x2)．解：所以商式为2x＋1，余式为2x＋8．与数的带余除法类似，上面的计算结果有下面的关系：9x2＋2x3＋5＝(4x－3＋x2)(2x＋l)＋(2x＋8)．这里应当注意，按照x的降幂排列，如果被除式有缺项，一定要留出空位．当然，也可用补0的办法补足缺项．当除式、被除式都按降幂排列时，各项的位置就可以表示所含字母的次数．因此，计算时，只须写出系数，算出结果后，再把字母和相应的指数补上去．这种方法叫做分离系数法．按照分离系数法，上面例题的计算过程如下：于是得到商式=2x＋1，余式=2x＋8．对于多项式的乘法也可用分离系数法进行计算，例如，(2x3－5x－4)(3x2－7x＋8)按分离系数法计算如下：所以，(2x3－5x－4)(3x2－7x＋8)=6x5－14x4＋x3＋23x2－12x－32．如果你有兴趣，作为练习，可用上面的方法计算下面各题．1．(6x3＋x2－1)÷(2x－1)．2．(2x3＋3x－4)÷(x－3)．3．(x3－2x2－5)(x－2x2－1)．4．(x＋y)(x2－xy＋y2)．【本讲教育信息】一. 教学内容：单项式除以单项式、多项式除以单项式、多项式除以多项式二. 重点、难点整式的除法与我们以前所学的整式的加法、减法、乘法有很多不同，特别是多项式除以多项式，虽然是选学内容，但多项式除以多项式在解决代数式求值，及复杂的因式分解都有很大的用处。

多项式除以多项式课件

多项式的加法和减法
1
减法
2
将减数的各项取反，然后进行加法运Βιβλιοθήκη 算。3加法
将同类项相加，即将相同次数的单项式的系数相加。
例子
例如，(3x^2 - 2xy + 5) + (2xy - 4) = 3x^2 + 5 - 4。
多项式的乘法
将每个单项式的各项相乘，然后进行加法运算。
步骤
每个单项式的各项相乘，然后将结果相加。
展开
将乘法进行展开，保证将每个单项式和其他单项式相乘。
例子
例如，(x + y)(x - y) = x^2 - xy + xy - y^2 = x^2 - y^2。
一元多项式的除法
定义
一元多项式除法是将一个多项式除以另一个多项式得到商和余数。
长除法
使用长除法的步骤来进行一元多项式的除法运算。
用长除法解决多项式除法
使用长除法来解决一元多项式的除法运算，将被除式逐步除以除式并求商和余数。
多项式除法的基本性质
1
唯一性
同一个被除式和除式，得到的商和余数是唯一的。
2
次数
余数的次数比除式的次数低。
3
例子
例如，(3x^2 - 2x + 5) ÷ (x - 1) = 3x + 1 + 6/(x - 1)。
例子
例如，(2x^2 + 3x - 5) ÷ (x + 2) = 2x - 1 + (-7)/(x + 2)。
什么是多项式除法？
1 含义
多项式除法是一种将一个多项式整除另一个多项式并求商和余数的运算。
2 应用
多项式除法在数学中广泛应用，例如解方程和化简表达式等。

多项式除以多项式

多项式除法示例多项式除以多项式的一般步骤：多项式除以多项式一般用竖式进行演算（1）把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐．（2）用被除式的第一项去除除式的第一项，得商式的第一项．（3）用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项，把不相等的项结合起来．（4）把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止．被除式=除式×商式+余式如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整除多项式除以多项式的运算多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下：例1 计算)4()209(2+÷++x x x规范解法 ∴ .5)4()209(2+=+÷++x x x x解法步骤说明：（1）先把被除式2092++x x 与除式4+x 分别按字母的降幂排列好．（2）将被除式2092++x x的第一项2x 除以除式4+x 的第一项x ，得x x x =÷2，这就是商的第一项．（3）以商的第一项x 与除式4+x 相乘，得x x 42+，写在2092++x x 的下面．（4）从2092++x x减去x x 42+，得差205+x ，写在下面，就是被除式去掉x x 42+后的一部分．（5）再用205+x 的第一项x 5除以除式的第一项x ，得55=÷x x ，这是商的第二项，写在第一项x 的后面，写成代数和的形式．（6）以商式的第二项5与除式4+x 相乘，得205+x ，写在上述的差205+x 的下面．（7）相减得差0，表示恰好能除尽．（8）写出运算结果，.5)4()209(2+=+÷++x x x x例2 计算)52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x ．规范解法 ∴ )52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x163323-+-=x x x ……………………………余29-x ．注 ①遇到被除式或除式中缺项，用0补位或空出；②余式的次数应低于除式的次数．另外，以上两例还可用分离系数法求解．如例2． ∴ )52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x163323-+-=x x x ……………………………余29-x ．8．什么是综合除法？由前面的问题4我们知道两个多项式相除可以用竖式进行，但当除式为一次式，而且它的首项系数为1时，情况比较特殊．如：计算)3()432(3-÷-+x x x．因为除法只对系数进行，和x 无关，于是算式（1）就可以简化成算式（2）．还可以再简化．方框中的数2、6、21和余式首项系数重复，可以不写．再注意到，因除式的首项系数是1，所以余式的首项系数6、21与商式的系数重复，也可以省略．如果再把代数和中的“＋”号省略，除式的首项系数也省略，算式（2）就简化成了算式（30的形式：将算式（3）改写成比较好看的形式得算式（4），再将算式（4）中的除数－3换成它的相反数3，减法就化为了加法，于是得到算式（5）．其中最下面一行前三个数是商式的系数，末尾一个数是余数．多项式相除的这种算法，叫做综合除法，它适合于除式为一次式，而且一次项系数为1．例1 用综合除法求12333234+-+-x x x x 除以1-x 的商式和余式．规范解法 ∴ 商式2223-+-=x x x ，余式＝10．例2 用综合除法证明910152235-+-x x x 能被3+x 整除．规范证法这里)3(3--=+x x ，所以综合除法中的除数应是－3．（注意被除式按降幂排列，缺项补0．）因余数是0，所以910152235-+-x x x能被3+x 整除．当除式为一次式，而一次项系数不是1时，需要把它变成1以后才能用综合除法．．例3 求723-+x x除以12+x 的商式和余数．规范解法把12+x 除以2，化为21+x ，用综合除法．但是，商式2322+-≠x x ，这是因为除式除以2，被除式没变，商式扩大了2倍，应当除以2才是所求的商式；余数没有变．∴ 商式43212+-=x x ，余数437-=．为什么余数不变呢？我们用下面的方法验证一下．用723-+x x除以21+x ，得商式2322+-x x ，余数为437-，即 ∴ 437232213223-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+x x x x x()4374321122-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=x x x ．即 323-+x x除以12+x 的商式43212+-=x x ，余数仍为437-．综合除法与余数定理综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。

多项式除以多项式例题

多项式除以多项式例题多项式除以多项式是高中数学中的基础概念之一，也是后续学习中的重要基础。

在多项式除法中，被除数是一个高次多项式，除数是一个低次多项式，而商及余数都是多项式。

多项式除法实际上就是对多项式进行分解的过程，也可以理解为对多项式进行因式分解的过程。

我们接下来来看一个多项式除以多项式的例子：将多项式 f(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2x + 1 除以 g(x) = x^2 -2x + 3。

多项式除法的步骤如下：1. 将被除数的各项按次数从高到低排列，确保各项系数对应次数正确。

2. 将除数的各项按次数从高到低排列，确保各项系数对应次数正确。

3. 如果被除数的次数小于除数的次数，则商为零，余数为被除数的本身，直接求解即可。

4. 如果被除数的次数大于或等于除数的次数，则进行多项式除法运算，具体步骤如下：1. 列出商式，将被除数的最高次项除以除数的最高次项得到商式的首项系数。

2. 将商式的首项和除数相乘，得到一个新的多项式，将该多项式从被除数中减去。

3. 对所得到的新多项式重复以上两个步骤，直到被减数的次数小于除数的次数为止。

4. 最后剩下的部分即为余数。

通过上述步骤，我们可以计算出f(x) ÷ g(x) 的过程如下：(1) 商式的首项系数： 3x / x^2 = 3 / x商式为： q(x) = 3 / x(2) 将商式的首项和除数相乘：(3 / x) * (x^2 - 2x + 3) = 3 - 6x / x + 3 / x化简后，得到：(3x - 6) / x(3) 将被除数和上式相减即可得到余数：f(x) - (3x - 6) = 3x^3 - 5x^2 - x + 7因此，f(x) ÷ g(x) 的商为： q(x) = 3 / x余数为： r(x) = 3x^2 - 5x - 19 / (x^2 - 2x + 3) 需要注意的是，当除数的次数大于被除数的次数时，商为零，余数为被除数本身。

多项式除以多项式.docx

多项式除法示例多项式除以多项式的一般步骤：多项式除以多项式一般用竖式进行演算（1）把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐．（2 ）用被除式的第一项去除除式的第一项，得商式的第一项．（3）用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项，把不相等的项结合起来．（ 4）把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止．被除式=除式×商式+ 余式如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整除多项式除以多项式的运算多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下：例 1 计算( x29x 20) ( x 4)规范解法∴( x 29x20)(x 4)x 5.解法步骤说明：（1）先把被除式x29x20 与除式x 4 分别按字母的降幂排列好．（2）将被除式x29x20 的第一项 x2除以除式 x 4 的第一项x，得x2x x ，这就是商的第一项．（3）以商的第一项x 与除式x 4 相乘，得x24x ，写在 x29x20 的下面．（4）从x29x20 减去 x24x ，得差5x20，写在下面，就是被除式去掉x24x 后的一部分．（5）再用5x20 的第一项 5x 除以除式的第一项x ，得5x x 5 ，这是商的第二项，写在第一项x 的后面，写成代数和的形式．（6）以商式的第二项 5 与除式x 4 相乘，得 5x20 ，写在上述的差5x 20的下面．（7）相减得差0，表示恰好能除尽．（8）写出运算结果， (x 29x20)( x 4)x 5.例 2 计算(6x59x47x220 x3) (2x2x 5) ．规范解法∴ (6x59x 47x220x 3) ( 2x2x 5)3x33x26x1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯余9x 2．注①遇到被除式或除式中缺，用0 位或空出；②余式的次数低于除式的次数．另外，以上两例可用分离系数法求解．如例2．∴ (6x59x 47x220x 3) ( 2x2x 5)3x33x26x1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯余9x 2．8．什么是合除法由前面的 4我知道两个多式相除可以用式行，但当除式一次式，而且它的首系数 1 ，情况比特殊．如：算 ( 2x33x4)( x 3) ．因除法只系数行，和x 无关，于是算式（1）就可以化成算式（2）．可以再化．方框中的数2、6、21 和余式首系数重复，可以不写．再注意到，因除式的首系数是1，所以余式的首系数 6、21 与商式的系数重复，也可以省略．如果再把代数和中的“＋”号省略，除式的首系数也省略，算式（ 2）就化成了算式（30 的形式：将算式（ 3）改写成比较好看的形式得算式（4），再将算式（ 4）中的除数－ 3 换成它的相反数3，减法就化为了加法，于是得到算式（5）．其中最下面一行前三个数是商式的系数，末尾一个数是余数．多项式相除的这种算法，叫做综合除法，它适合于除式为一次式，而且一次项系数为1．例 1 用综合除法求x43x33x 23x 12 除以x 1的商式和余式．规范解法∴商式x32x 2x 2 ，余式＝10．例 2用综合除法证明2x515x3 10 x29 能被x 3整除．规范证法这里 x 3x( 3) ，所以综合除法中的除数应是－3．（注意被除式按降幂排列，缺项补0．）因余数是 0，所以2x515x310 x29 能被x 3 整除．当除式为一次式，而一次项系数不是 1 时，需要把它变成 1以后才能用综合除法．．例 3 求2x3x7 除以2x 1 的商式和余数．规范解法把 2x1除以2，化为x1，用综合除法．2但是，商式2x2x3，这是因为除式除以2，被除式没变，商式扩大了 2 倍，应当除以 2 才是所求的商2式；余数没有变．∴ 商式x21x3，余数73．244为什么余数不变呢我们用下面的方法验证一下．用 2x 3x 7 除以 x1 ，得商式 2x2 x3 ，余数为 7 3 ，即2 2 4 ∴2x3x 3x 12x2x3 7 322 42x 1 x 21 x 37 3．2 44即2x3x 3 除以 2x 1的商式x21 x 3 ，余数仍为 73．244综合除法与余数定理综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。

多项式的除法和余式定理

多项式的除法和余式定理多项式的除法是数学中常见的运算之一，它可以用于求解多项式的商和余数。

除法运算在代数学、数值计算和离散数学等领域都有着广泛的应用。

本文将介绍多项式的除法运算规则和余式定理，并通过具体例子进行说明。

1. 多项式的除法运算规则对于两个多项式f(x)和g(x)来说，其中f(x)是被除式，g(x)是除式，假设g(x)≠0。

多项式的除法运算遵循以下规则：（1）将被除式和除式按照降幂排列。

（2）将两个多项式的首项对齐。

（3）用除式的首项除以被除式的首项，将得到的商作为商项。

（4）将商项乘以除式，得到中间结果。

（5）将中间结果和被除式相减，得到新的被除式。

（6）将上述过程重复，直到被除式的次数低于除式或者为零时为止。

下面通过一个具体的例子来说明多项式的除法运算规则。

例子：求解多项式f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 4 除以 g(x) = x - 2。

首先按照降幂排列，将f(x)和g(x)写成:f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 4g(x) = x - 2将f(x)和g(x)的首项对齐，得到:x^2--------------x - 2 | x^3 - 2x^2 + 3x - 4用除式的首项 x 除以被除式的首项 x^3，得到商项为 x^2。

将商项乘以除式 x - 2，得到中间结果为 x^3 - 2x^2。

将中间结果和被除式相减，得到新的被除式为 5x^2 + 3x - 4。

重复上述过程，继续求解新的被除式和除式的商项。

x--------------x - 2 | x^2 + 5x + 3用除式的首项 x 除以被除式的首项 x^2，得到商项为 x。

将商项乘以除式 x - 2，得到中间结果为 x^2 - 2x。

将中间结果和被除式相减，得到新的被除式为 7x + 3。

继续重复上述过程，求解新的被除式和除式的商项。

7--------------x - 2 | 7x + 3用除式的首项 x 除以被除式的首项 7x，得到商项为 7。

多项式除以多项式

多项式除以多项式多项式除法⽰例多项式除以多项式的⼀般步骤：多项式除以多项式⼀般⽤竖式进⾏演算（1）把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项⽤零补齐．（2）⽤被除式的第⼀项去除除式的第⼀项，得商式的第⼀项．（3）⽤商式的第⼀项去乘除式，把积写在被除式下⾯（同类项对齐），消去相等项，把不相等的项结合起来．（4）把减得的差当作新的被除式，再按照上⾯的⽅法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为⽌．被除式=除式×商式+余式如果⼀个多项式除以另⼀个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另⼀个多项式整除多项式除以多项式的运算多项式除以多项式，⼀般可⽤竖式计算，⽅法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下：例1 计算)4()209(2+÷++x x x规范解法∴ .5)4()209(2+=+÷++x x x x解法步骤说明：（1）先把被除式2092++x x 与除式4+x 分别按字母的降幂排列好．（2）将被除式2092++x x的第⼀项2x 除以除式4+x 的第⼀项x ，得x x x =÷2，这就是商的第⼀项．（3）以商的第⼀项x 与除式4+x 相乘，得x x 42+，写在2092++x x 的下⾯．（4）从2092++x x减去x x 42+，得差205+x ，写在下⾯，就是被除式去掉x x 42+后的⼀部分．（5）再⽤205+x 的第⼀项x 5除以除式的第⼀项x ，得55=÷x x ，这是商的第⼆项，写在第⼀项x 的后⾯，写成代数和的形式．（6）以商式的第⼆项5与除式4+x 相乘，得205+x ，写在上述的差205+x 的下⾯．（7）相减得差0，表⽰恰好能除尽．（8）写出运算结果，.5)4()209(2+=+÷++x x x x例2 计算)52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x ．规范解法∴ )52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x163323-+-=x x x ……………………………余29-x ．注①遇到被除式或除式中缺项，⽤0补位或空出；②余式的次数应低于除式的次数．另外，以上两例还可⽤分离系数法求解．如例2．∴ )52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x163323-+-=x x x ……………………………余29-x ．8．什么是综合除法？由前⾯的问题4我们知道两个多项式相除可以⽤竖式进⾏，但当除式为⼀次式，⽽且它的⾸项系数为1时，情况⽐较特殊．如：计算)3()432(3-÷-+x x x．因为除法只对系数进⾏，和x ⽆关，于是算式（1）就可以简化成算式（2）．还可以再简化．⽅框中的数2、6、21和余式⾸项系数重复，可以不写．再注意到，因除式的⾸项系数是1，所以余式的⾸项系数6、21与商式的系数重复，也可以省略．如果再把代数和中的“＋”号省略，除式的⾸项系数也省略，算式（2）就简化成了算式（30的形式：将算式（3）改写成⽐较好看的形式得算式（4），再将算式（4）中的除数－3换成它的相反数3，减法就化为了加法，于是得到算式（5）．其中最下⾯⼀⾏前三个数是商式的系数，末尾⼀个数是余数．多项式相除的这种算法，叫做综合除法，它适合于除式为⼀次式，⽽且⼀次项系数为1．例1 ⽤综合除法求12333234+-+-x x x x 除以1-x 的商式和余式．规范解法∴商式2223-+-=x x x ，余式＝10．例2 ⽤综合除法证明910152235-+-x x x 能被3+x 整除．规范证法这⾥)3(3--=+x x ，所以综合除法中的除数应是－3．（注意被除式按降幂排列，缺项补0．）因余数是0，所以910152235-+-x x x能被3+x 整除．当除式为⼀次式，⽽⼀次项系数不是1时，需要把它变成1以后才能⽤综合除法．．例3 求723除以12+x 的商式和余数．规范解法把12+x 除以2，化为21+x ，⽤综合除法．但是，商式2322+-≠x x ，这是因为除式除以2，被除式没变，商式扩⼤了2倍，应当除以2才是所求的商式；余数没有变．∴商式43212+-=x x ，余数437-=．为什么余数不变呢？我们⽤下⾯的⽅法验证⼀下．⽤723-+x x除以21+x ，得商式2322+-x x ，余数为437-，即∴ 437232213223-??? ??+-??? ?+=-+x x x x x()4374321122-??+-+=x x x ．即 323-+x x 除以12+x 的商式43212+-=x x ，余数仍为43综合除法与余数定理综合除法与余数定理是中学数学中⼗分重要的内容，它们是研究多项式除法的有⼒⼯具。

多项式除以多项式——长除法

验算
多项式除以多项式的法则如下：
1.多项式除以多项式，先把被除式、除式都按某一字母的降幂排列（被除式有缺项要留出空位或加0）
2.用除式的第一项除被除式的第一项，得商式的第一项
3.用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），从被除式减去这个积，得第一余式
4.把所得余式当作新的被除式，再按上面的方法继续演算直到余式为0或者余式的次数低于除式的次数为止。
1.(2x3 9 x2 3x 5) ( x2 4 x 3) 2.(3x4 13x3 x) (x2 4x 3) 3.(2x5 10x 15 7 x3 6x4 ) (x2 4 3x) 4.( x4 3x3 2 x2 1) ( x2 1) 5.(8x4 6 x3 13x2 4) (2 x2 x 2) 6.(10 xy 2 7 x2 y 2 x3 10 y3 ) ( x 2 y)
练习
1.求x5y5除以xy的商 2.(34a2b2ab2)(ab)
例 4 . ( 2 x 4 3 x 3 1 0 x 2 1 3 x 2 7 ) ( x 2 2 x 3 )
注意：当余式不是零而次数低于除式的次数时，除法演算就不能继续进行，这说明除式不能整除被除式
被除式=除式×商式+余式
验算
例 1 ： (5x22x3 1 )(12x)
注意：被除式按x降幂排列时如有缺项，要留出空位，也可以采用加零的办法补足缺项
例 2 : ( a 4 4 0 b 4 5 a 3 b 2 2 a b 3 ) ( a 2 4 b 2 3 a b )
例 3 ： 2 x 2 4 x 4 除 2 x 4 5 x 3 x 2 2 的商
多项式除以多项式——长除法
多项式除以多项式

多项式的除法怎么计算

多项式的除法怎么计算
多项式的除法是数学中常用的一种算法。

它用来将多项式除以另一个多项式，以计算多项式的商和余数。

多项式除法是一种改变多项式的混合系数的方法，可以将多项式转换为更简单的形式。

具体来说，在多项式除法计算中，首先需要知道的是，需要对A(x) / B(x)进行计算，其中A(x)为被除多项式，B(x)为除数多项式。

然后，可以将A(x)被除多项式降阶，使其形式与B(x)相同。

然后，除数B(x)乘以A(x)中最高项的系数，乘积会加入最高项在A(x)减去最高项，结果被放在余项中。

然后，可以继续将系数乘以B(x)，积乘积累计，并将最大项减去A(x)中的累计最大值，将其和上一次累计的结果加在余项中。

这个过程会一直延续，直到A(x)中的所有的项都减完为止。

最终的结果就是多项式的商了。

当然，这里只介绍了最基本的多项式除法计算方法，但是也可以用更复杂的方法来进行计算，比如线性除法法和配方除法法，它们也可以用来求多项式的商和余数。

在总结多项式除法之前，我们需要知道，多项式除法最终会给出真正的多项式商，而商会带有加减乘除混合系数。

也就是说，它拥有一组混合系数，这组混合系数可以表示更多不同形式的多项式，是一种多项式改变形式的方式。

多项式除以多项式

多项式除法示例多项式除以多项式的一般步骤：多项式除以多项式一般用竖式进行演算（1）把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐．（2）用被除式的第一项去除除式的第一项，得商式的第一项．（3）用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项，把不相等的项结合起来．（4）把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止．被除式=除式×商式+余式如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整除多项式除以多项式的运算多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下：例1 计算)4()209(2+÷++x x x规范解法 ∴ .5)4()209(2+=+÷++x x x x解法步骤说明：（1）先把被除式2092++x x 与除式4+x 分别按字母的降幂排列好．（2）将被除式2092++x x的第一项2x 除以除式4+x 的第一项x ，得x x x =÷2，这就是商的第一项．（3）以商的第一项x 与除式4+x 相乘，得x x 42+，写在2092++x x 的下面．（4）从2092++x x减去x x 42+，得差205+x ，写在下面，就是被除式去掉x x 42+后的一部分．（5）再用205+x 的第一项x 5除以除式的第一项x ，得55=÷x x ，这是商的第二项，写在第一项x 的后面，写成代数和的形式．（6）以商式的第二项5与除式4+x 相乘，得205+x ，写在上述的差205+x 的下面．（7）相减得差0，表示恰好能除尽．（8）写出运算结果，.5)4()209(2+=+÷++x x x x例2 计算)52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x ．规范解法 ∴ )52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x163323-+-=x x x ……………………………余29-x ．注 ①遇到被除式或除式中缺项，用0补位或空出；②余式的次数应低于除式的次数．另外，以上两例还可用分离系数法求解．如例2． ∴ )52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x163323-+-=x x x ……………………………余29-x ．8．什么是综合除法？由前面的问题4我们知道两个多项式相除可以用竖式进行，但当除式为一次式，而且它的首项系数为1时，情况比较特殊．如：计算)3()432(3-÷-+x x x．因为除法只对系数进行，和x 无关，于是算式（1）就可以简化成算式（2）．还可以再简化．方框中的数2、6、21和余式首项系数重复，可以不写．再注意到，因除式的首项系数是1，所以余式的首项系数6、21与商式的系数重复，也可以省略．如果再把代数和中的“＋”号省略，除式的首项系数也省略，算式（2）就简化成了算式（30的形式：将算式（3）改写成比较好看的形式得算式（4），再将算式（4）中的除数－3换成它的相反数3，减法就化为了加法，于是得到算式（5）．其中最下面一行前三个数是商式的系数，末尾一个数是余数．多项式相除的这种算法，叫做综合除法，它适合于除式为一次式，而且一次项系数为1．例1 用综合除法求12333234+-+-x x x x 除以1-x 的商式和余式．规范解法 ∴ 商式2223-+-=x x x ，余式＝10．例2 用综合除法证明910152235-+-x x x 能被3+x 整除．规范证法这里)3(3--=+x x ，所以综合除法中的除数应是－3．（注意被除式按降幂排列，缺项补0．）因余数是0，所以910152235-+-x x x能被3+x 整除．当除式为一次式，而一次项系数不是1时，需要把它变成1以后才能用综合除法．．例3 求723-+x x除以12+x 的商式和余数．规范解法把12+x 除以2，化为21+x ，用综合除法．但是，商式2322+-≠x x ，这是因为除式除以2，被除式没变，商式扩大了2倍，应当除以2才是所求的商式；余数没有变．∴ 商式43212+-=x x ，余数437-=．为什么余数不变呢？我们用下面的方法验证一下．用723-+x x除以21+x ，得商式2322+-x x ，余数为437-，即 ∴ 437232213223-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+x x x x x()4374321122-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=x x x ．即 323-+x x除以12+x 的商式43212+-=x x ，余数仍为437-．综合除法与余数定理综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。