概率论与数理统计(理工类_第四版)吴赣昌主编课后习题答案第五章

第五章数理统计的基础知识
5.1 数理统计的基本概念
习题1
已知总体X服从[0,λ]上的均匀分布(λ未知),X1,X2,⋯,Xn为X的样本，则().
(A)1n∑i=1nXi-λ2是一个统计量；(B)1n∑i=1nXi-E(X)是一个统计量；
(C)X1+X2是一个统计量；(D)1n∑i=1nXi2-D(X)是一个统计量.
解答：
应选(C).
由统计量的定义：样本的任一不含总体分布未知参数的函数称为该样本的统计量.(A)(B)(D)中均含未知参数.
习题2
观察一个连续型随机变量，抽到100株“豫农一号”玉米的穗位(单位：cm),得到如下表中所列的数据. 按区间[70,80),[80,90),⋯,[150,160),将100个数据分成9个组，列出分组数据计表(包括频率和累积频率),并画出频率累积的直方图.
解答：
分组数据统计表
解答：
由X∼B(10,3100),得
E(X)=10×3100=310,D(X)=10×3100×97100=2911000,所以
E(X¯)=E(X)=310,E(S2)=n-1nD(X)=291(n-1)1000n.习题6
设某商店100天销售电视机的情况有如下统计资料
f(2)(x)=2F(x)f(x)={2λe-λx(1-e-λx),x>00,其它,
又X(1)的概率密度为
f(1)(x)=2[1-F(x)]f(x)={2λe-2λx,x>00,其它.
习题9
设电子元件的寿命时间X(单位：h)服从参数λ=0.0015的指数分布，今独立测试n=6元件，记录它们的失效时间，求：
(1)没有元件在800h之前失效的概率；
(2)没有元件最后超过3000h的概率.
解答：
(1)总体X的概率密度f(x)={(0.0015)e-0.0015x,x>00,其它,
分布函数F(x)={1-e-0.0015x,x>00,其它,
{没有元件在800h前失效}={最小顺序统计量X(1)>800},有
P{X(1)>800}=[P{X>800}]6=[1-F(800)]6
=exp(-0.0015×800×6)=exp(-7.2)≈0.000747.
(2){没有元件最后超过3000h}={最大顺序统计量X(6)<3000}
P{X(6)<3000}=[P{X<3000}]6=[F(3000)]6
=[1-exp{-0.0015×3000}]6=[1-exp{-4.5}]6
≈0.93517.
习题10
设总体X任意，期望为μ,方差为σ2,若至少要以95%的概率保证∣X¯-μ∣<0.1σ,问样本容量n应取多大？
解答：
因当n很大时，X¯-N(μ,σ2n),于是
P{∣X¯-μ∣<0.1σ}=P{μ-0.1σ<X¯<μ+0.1σ}
≈Φ(0.1σσ/n)-Φ(-0.1σσ/n)=2Φ(0.1n)-1≥0.95,
则Φ(0.1n)≥0.975,查表得Φ(1.96)=0.975,因Φ(x)非减，故0.1n≥1.96,n≥384.16,故样本容量至少取385才能满足要求.
5.2 常用统计分布
习题1
对于给定的正数a(0<a<1),设za,χa2(n),ta(n),Fa(n1,n2)分别是标准正态分布，
χ2(n),t(n),F(n1,n2)分布的上a分位点，则下面的结论中不正确的是().
(A)z1-a(n)=-za(n);(B)χ1-a2(n)=-χa2(n);
(C)t1-a(n)=-ta(n);(D)F1-a(n1,n2)=1Fa(n2,n1).
解答：
应选(B).
因为标准正态分布和t分布的密度函数图形都有是关于y轴对称的，而χ2分布的密度大于等于零，所以(A)和(C)是对的.(B)是错的. 对于F分布，若F∼F(n1,n2),则
1-a=P{F>F1-a(n1,n2)}=P{1F<1F1-a(n1,n2)=1-P{1F>1F1-a(n1,n2)
由于1F∼F(n2,n1),所以
P{1F>1F1-a(n1,n2)=P{1F>Fa(n2,n1)=a,
即F1-a(n1,n2)=1Fa(n2,n1). 故(D)也是对的.
习题2(1)
2.设总体X∼N(0,1),X1,X2,⋯,Xn为简单随机样本，问下列各统计量服从什么分布? (1)X1-X2X32+X42;
解答：
因为Xi∼N(0,1),i=1,2,⋯,n,所以：
X1-X2∼N(0,2),X1-X22∼N(0,1),X32+X42∼χ2(2),
故X1-X2X32+X42=(X1-X2)/2X32+X422∼t(2).
习题2(2)
2.设总体X∼N(0,1),X1,X2,⋯,Xn为简单随机样本，问下列各统计量服从什么分布? (2)n-1X1X22+X32+⋯+Xn2;
解答：
因为Xi∼N(0,1),∑i=2nXi2∼χ2(n-1),所以
n-1X1X22+X32+⋯+Xn2=X1∑i=2nXi2/(n-1)∼t(n-1).
习题2(3)
2.设总体X∼N(0,1),X1,X2,⋯,Xn为简单随机样本，问下列各统计量服从什么分布?
(3)(n3-1)∑i=13Xi2/∑i=4nXi2.
解答：
因为∑i=13Xi2∼χ2(3),∑i=4nXi2∼χ2(n-3),所以：
(n3-1)∑i=13Xi2/∑i=4nXi2=∑i=13Xi2/3∑i=4nXi2/(n-3)∼F(3,n-3).
习题3
设X1,X2,X3,X4是取自正态总体X∼N(0,22)的简单随机样本，且
Y=a(X1-2X2)2+b(3X3-4X4)2,
则a=?,b=?时，统计量Y服从χ2分布，其自由度是多少？
解答：
解法一Y=[a(X1-2X2)]2+[b(3X3-4X4)]2,
令Y1=a(X1-2X2),Y2=b(3X3-4X4),则
Y=Y12+Y22,
为使Y∼χ2(2),必有Y1∼N(0,1),Y2∼N(0,1),因而
E(Y1)=0,D(Y1)=1,E(Y2)=0,D(Y2)=1,
注意到D(X1)=D(X2)=D(X3)=D(X4)=4,由
D(Y1)=D[a(X1-2X2)]=aD(X1-X2)=a(D(X1)+22D(X2))
=a(4+4×4)=20a=1,
D(Y2)=D[b(3X3-4X4)]=bD(3X3-4X4)
=b(9D(X3)+16D(X4))=b(4×9+16×4)=100b=1,
分别得a=120,b=1100.这时Y∼χ2(2),自由度为n=2.
解法二因Xi∼N(0,22)且相互独立，知
X1-2X2=X1+(-2)X2∼N(0,20),3X3-4X4=3X3+(-4)X4∼N(0,100),
故X1-2X220∼N(0,1),3X3-4X4100∼N(0,1),为使
Y=(X1-2X21/a)2+(3X3-4X41/b)2∼χ2(2),
必有X1-2X21/a∼N(0,1),3X3-4X41/b∼N(0,1),
与上面两个服从标准正态分布的随机变量比较即是
1a=20,1b=100,即a=120,b=1100.
习题4
设随机变量X和Y相互独立且都服从正态分布N(0,32).X1,X2,⋯,X9和Y1,Y2,⋯,Y9是分别取自总体X和Y的简单随机样本，试证统计量
T=X1+X2+⋯+X9Y12+Y22+⋯+Y92
服从自由度为9的t分布.
解答：
首先将Xi,Yi分别除以3,使之化为标准正态.
令X′i=Xi3,Y′i=Yi3,i=1,2,⋯,9,则
X′i∼N(0,1),Y′i∼N(0,1);
再令X′=X′1+X′2+⋯+X′9,则X′∼N(0,9),X′3∼N(0,1),
Y′2=Y′12+Y′22+⋯+Y′92,Y′2∼χ2(9).
因此
T=X1+X2+⋯+X9Y12+Y22+⋯+Y92=X1′+X2′+⋯+X9′Y′12+Y′22+⋯+Y′92=X′Y′2=X′/
3Y′2/9∼t(9),
注意到X′,Y′2相互独立.
习题5
设总体X∼N(0,4),而X1,X2,⋯,X15为取自该总体的样本，问随机变量
Y=X12+X22+⋯+X1022(X112+X122+⋯+X152)
服从什么分布？参数为多少？
解答：
因为Xi2∼N(0,1),故Xi24∼χ2(1),i=1,2,⋯,15,
而X1,X2,⋯,X15独立，故
X12+X22+⋯+X1024∼χ2(10),X112+X122+⋯+X1524∼χ2(5),
所以
X12+X22+⋯+X1024/10X112+X122+⋯+X1524/5=X12+X22+⋯+X1022(X112+X122+
⋯+X152)=Y
习题6
证明：若随机变量X服从F(n1,n2)的分布，则
(1)Y=1X服从F(n2,n1)分布；(2)并由此证明F1-α(n1,n2)=1Fα(n2,n1).
解答：
(1)因随机变量X服从F(n1,n2),故可设X=U/n1V/n2,其中U服从χ2(n1),V服从
χ2(n2),且U与V相互独立，设1X=V/n2U/n1,由F分布之定义知
Y=1x=V/n2U/n1,
服从F(n2,n1).
(2)由上侧α分位数和定义知
P{X≥F1-α(n1,n2)}=1-α,P{1X≤1F1-α(n1,n2)=1-α,
即P{Y≤1F1-α(n1,n2)=1-α,1-P{Y>1F1-α(n1,n2)=1-α,故
P{Y>1F1-α(n1,n2)=α,
而P{Y≥Fα(n2,n1)}=α.
又Y为连续型随机变量，故P{Y≥1F1-α(n1,n2)=α,从而
Fα(n2,n1)=1F1-α(n1,n2),
即F1-α(n1,n2)=1Fα(n2,n1).
习题7
查表求标准正态分布的上侧分位数：u0.4,u0.2,u0.1与u0.05.
解答：
u0.4=0.253,u0.2=0.8416,u0.1=1.28,u0.05=1.65.
习题8
查表求χ2分布的上侧分位数：χ0.952(5),χ0.052(5),χ0.992(10)与χ0.012(10).
解答：
1.145,11.071,
2.558,2
3.209.
习题9
查表求F分布的上侧分位数：F0.95(4,6),F0.975(3,7)与F0.99(5,5).
解答：
0.1623,0.0684,0.0912.
习题10
查表求t分布的下侧分位数：t0.05(3),t0.01(5),t0.10(7)与t0.005(10).
解答：
2.353,
3.365,1.415,3.169.
(2)P{X¯>4.5}=P{Z>4.5-42/9=1-P{Z≤2.25}
≈1-Φ(2.25)=1-0.9878=0.0122.
习题2
设总体X服从正态分布N(10,32),X1,X2,⋯,X6是它的一组样本，设
X¯=16∑i=16Xi.
(1)写出X¯所服从的分布；(2)求X¯>11的概率.
解答：
(1)X¯∼N(10,326),即X¯∼N(10,32).
(2)P{X¯>11}=1-P{X¯≤11}=1-Φ(11-1032)
≈1-Φ(0,8165)≈1-Φ(0.82)=0.2061.
习题3
设X1,X2,⋯,Xn是总体X的样本，X¯=1n∑i=1nXi,分别按总体服从下列指定分布求E(X¯),D(X¯).
(1)X服从0-1分布b(1,p);(2)*X服从二项分布b(m,p);
(3)X服从泊松分布P(λ);(4)X服从均匀分布U[a,b];
(5)X服从指数分布e(λ).
解答：
(1)由题意，X的分布律为：
P{X=k}=Pk(1-P)1-k(k=0,1).
E(X)=p,D(X)=p(1-p).
所以
E(X¯)=E(1n∑i=1nXi)=1n∑i=1nE(Xi)=1n⋅np=p,
D(X¯)=D(1n∑i=1nXi)=1n2∑i=1nD(X1)=1n2⋅np(1-p)=1np(1-p). (2)由题意，X的分布律为：
P{X=k}=CmkPk(1-p)m-k(k=0,1,2,⋯,m).
同(1)可得
E(X¯)=mp,D(X¯)=1nmp(1-p).
(3)由题意，X的分布律为：
P{X=k}=λkk!e-λ(λ>0,k=0,1,2,⋯).
E(X)=λ,D(X)=λ.
同(1)可得
E(X¯)=λ,D(X¯)=1nλ.
(4)由E(X)=a+b2,D(X)=(b-a)212,同(1)可得
E(X¯)=a+b2,D(X¯)=(b-a)212n.
(5)由E(X)=1λ,D(X)=1λ2,同(1)可得
D(X¯)=1λ,D(X¯)=1nλ2.
习题4
某厂生产的搅拌机平均寿命为5年，标准差为1年，假设这些搅拌机的寿命近似服从正态分布，求：
（1）容量为9的随机样本平均寿命落在4.4年和5.2年之间的概率；
（2）容量为9的随机样本平均寿命小于6年的概率。

解答：
（1）由题意知X¯∼N(5,1n),n=9，则标准化变量
Z=X¯-51/9=X¯-51/3∼N(0,1).
而P{4.4<X¯<5.2}=P{4.4-51/3<X¯-51/3<5.2-51/3
=P{-1.8<Z<0.6}≈Φ(0.6)-Φ(-1.8)
=0.7257-0.0359=0.6898
（2）P{X¯<6}=P{X¯-51/3<6-51/3=P{Z<3}≈Φ(3)=0.9987.
习题5
设X1,X2,⋯,X16及Y1,Y2,⋯,Y25分别是两个独立总体N(0,16)和N(1,9)的样本，以X¯和Y¯分别表示两个样本均值，求P{∣X¯-Y¯∣>1}.
解答：
X¯∼N(0,1616)，Y¯∼N(1,925)，X¯-Y¯∼N(-1,1+925)，即
X¯-Y¯∼N(-1,3425)．
标准化变量X¯-Y¯，令Z=X¯-Y¯34/5∼N(0,1)，所以
P{∣X¯-Y¯∣>1}=1-P{∣X¯-Y¯∣≤1}=1-P{-1≤X¯-Y¯≤1}
=1-P{0≤X¯-Y¯+134/5≤234/5
≈1-Φ(1.715)+Φ(0)
=1-0.9569+0.5=0.5431．
习题6
假设总体X服从正态分布N(20,32),样本X1,⋯,X25来自总体X,计算
P{∑i=116Xi-∑i=1725Xi≤182.
解答：
令Y1=∑i=116Xi,Y2=∑i=1725Xi,由于X1,⋯,X25相互独立同正态分布N(20,32),因此有Y1与Y2相互独立，且Y1∼N(320,122),Y2∼N(180,92),
Y1-Y2∼N(140,152),
P{∑i=116Xi-∑i=1725Xi≤182=P{Y1-Y2≤182},
=P{Y1-Y2-14015≤2.8≈Φ(2.8)=0.997.
习题7
从一正态总体中抽取容量为n=16的样本，假定样本均值与总体均值之差的绝对值大于2的概率为0.01,试求总体的标准差.
解答：
设总体X∼N(μ,σ2),样本均值为X¯,则有
X¯-μσ/n=X¯-μσ/4∼N(0,1).
因为
P{∣X¯-μ∣>2}=P{∣X¯-μσ/4∣>8σ=2P{Z>8σ=2[1-Φ(8σ)]=0.01,
所以Φ(8σ)=0.995.
查标准正态分布表，得8σ=2.575,从而σ=82.575=3.11.
习题8
设在总体N(μ,σ2)中抽取一容量为16的样本，这里μ,σ2均为未知.
(1)求P{S2/σ2≤2.041},其中S2为样本方差；(2)求D(S2).
解答：
(1)因为是正态总体，根据正态总体下的统计量分布可知
(n-1)S2σ2∼χ2(n-1).
这里n=16,于是
P{S2/σ2≤2.041}=P(15S2σ2≤15×2.041)
=1-P{15S2σ2>30.615(查χ2分布表可得)
=1-0.01=0.99.
(2)因为(n-1)S2σ2∼χ2(n-1),又知
D((n-1)S2σ2)=2(n-1),
所以
D(S2)=σ4(n-1)2D((n-1)S2σ2)=σ4(n-1)2⋅2(n-1)=2n-1σ4=215σ4
(因为n=16).
习题9
设总体X∼N(μ,16),X1,X2,⋯,X10为取自该总体的样本，已知P{S2>a}=0.1,求常数a.解答：
因为(n-1)S2σ2∼χ2(n-1),n=10,σ=4,所以
P{S2>a}=P{9S216>916a=0.1.
查自由度为9的χ2分布表得，916a=14.684,所以a≈26.105.
习题10
设X1,X2,⋯,Xn和Y1,Y2,⋯,Yn分别取自正态总体
X∼N(μ1,σ2)和Y∼N(μ2,σ2)
且相互独立，问以下统计量服从什么分布？
(1)(n-1)(S12+S22)σ2;(2)n[(X¯-Y¯)-(μ2-σ2)]2S12+S22.
解答：
(1)由(n-1)S12σ2∼χ2(n-1),(n-1)S22σ2∼χ2(n-1),由χ2(n)的可加性
(n-1)(S12+S22)σ2∼χ(2(n-1)).
(2)X¯-Y¯∼N(μ1-μ2,2σ2n),标准化后(X¯-Y¯)-(μ1-μ2)σ2n∼N(0,1),故有
[(X¯-Y¯)-(μ1-μ2)]22σ2n∼χ2(1),
又由(n-1)(S12+S22)σ2∼χ2(2n-2),注意F分布定义
[(X¯-Y¯)-(μ1-μ2)]21n2σ2/1(n-1)(S12+S22)σ2/2(n-1)=n[(X¯-Y¯)-(μ1-μ2)]2S1
习题11
分别从方差为20和35的正态总体中抽取容量为8和10的两个样本，求第一个样本方差不小于第二个样本方差的两倍的概率.
解答：
用S12和S22分别表示两个样本方差，由定理知
F=S12/σ12S22/σ22=S12/20S22/35=1.75S12S22∼F(8-1,10-1)=F(7,9).
又设事件A={S12≥2S22},下面求P{S12≥2S22},因
P{S12≥2S22}=P{S12S22≥2=P{S12/20S22/35≥2×3520=P{F≥3.5}.
查F分布表得到自由度为n1=7,n2=9的F分布上α分布点Fα(n1=7,n2=9)有如下数值：
F0.05(7,9)=3.29,F0.025(7,9)=4.20,
因而F0.05(7,9)=3.29<3.5<F0.025(7,9)=4.20,即事件A的概率介于0.025和0.05之间，故
0.025≤P{S12≥2S22}≤0.05.
总习题解答
习题1
设总体X服从泊松分布.一个容量为10的样本值为1,2,4,3,3,4,5,6,4,8,计算样本均值，样本方差和经验分布函数.
解答：
样本的频率分布为x¯=4,s2=3.6.经验分布函数为
F10(x)={0,x<11/10,1≤x<22/10,2≤x<34/10,3≤x<47/10,4≤x<58/10,5≤x<69/10,6≤x<71
,x≥8.
习题2
A厂生产的某产种电器的使用寿命服从指数分布，参数λ未知. 为此，抽查了n件电器，测量其使用寿命，试确定本问题的总体、样本及样本的分布.
解答：
总体是这种电器的使用寿命，其概率密度为
f(x)={λe-λx,x>00,x≤0(λ未知),
样本X1,X2,⋯,Xn是n件某种电器的使用寿命，抽到的n件电器的使用寿命是样本的一组观察值.样本X1,X2,⋯,Xn相互独立，来自同一总体X,所以样本的联合密度为
f(x1,x2,⋯,xn)={λne-λ(x1+x2+⋯+xn),x1,x2,⋯,xn>00,其它.
习题3
设总体X在区间[a,b]上服从均匀分布，求：
(1)来自X的简单随机样本X1,X2,⋯,Xn的密度f(x1,x2,⋯,xn);
(2)Y=max{X1,X2,⋯,Xn}的密度fY(x);
Z=min{X1,X2,⋯,Xn}的密度fZ(x).
解答：
(1)X的密度为f(x)={1b-a,x∈(a,b)0,其它, 由于X1,X2,⋯,Xn独立且与X同分布，所以有
f(x1,x2,⋯,xn)=∏i=1nf(xi)={1(b-a)n,a≤x1≤⋯≤xn≤b0,其它.
(2)由题设X在[a,b]上服从均匀分布，其分布函数为
F(x)={0,x<ax-ab-a,x∈[a,b]1,x>b,
由Y=max{X1,X2,⋯,Xn}及Z=min{X1,X2,⋯,Xn}分布函数的定义
FY(x)=[F(x)]n, FZ(x)=1-[1-F(x)]n,
于是有
fY(x)=nFn-1(x)f(x)=n(x-a)n-1(b-a)n,x∈[a,b],
fZ(x)=n[1-Fn-1(x)]n-1⋅f(x)=n(b-x)n-1(b-a)n,x∈[a,b].
习题4
在天平上重复称一重量为a的物品，假设各次称量的结果相互独立，且服从正态分布
N(a,0.2).若以X¯表示n次称量结果的算术平均值，求使P{∣X¯-a∣<0.1}≥0.95成立的称量次数n的最小值.
解答：
因为X¯=1n∑i=1nXi∼N(a,(0.2)2n),所以
X¯-a0.2/n∼N(0,1),
故
P{∣X¯-a∣<0.1}=P{∣X¯-a0.2/n∣<0.10.2/n=2Φ(n2)-1≥0.95,
即Φ(n2)≥0.975,查正态分布表得n2≥1.96,所以n≥15.37,即n=16.
习题5
设总体X∼N(20,3),从X中抽取两个样本X1,X2,⋯,X10和Y1,Y2,⋯,X15,求概率P{∣X¯-Y¯∣>0.3}.
解答：
因为X1,X2,⋯,X10和Y1,Y2,⋯,Y15独立同分布，所以
X¯∼N(20,310),Y¯∼N(20,0.2),
于是X¯-Y¯∼N(0,0.5).
P{∣X¯-Y¯∣>0.3}=P{∣X¯-Y¯∣/0.5>0.3/0.5}
=1-P{∣X¯-Y¯∣/0.5≤0.3/0.5}
=2[1-Φ(0.3/0.5)]=2[1-0.6628]
=0.6744(查正态分布表).
习题6
设总体X∼N(μ,σ2),假如要以0.9606的概率保证偏差∣X¯-μ∣<0.1,试问：当σ2=0.25时，样本容量n应取多大？
解答：
P{∣X¯-μ∣<0.1}=0.9606,即
P{∣X¯-μ∣<0.1}=P{∣X¯-μ0.25/n∣<0.10.25/n=2Φ(0.1n0.25)-1=0.9606,
⇒Φ(0.1n0.25)=0.9803⇒n5=2.06⇒n≈106.
P{∣X¯-μ∣<0.1}=0.9606,即
P{∣X¯-μ∣<0.1}=P{∣X¯-μ0.25/n∣<0.10.25/n.
习题7
设X1¯和X2¯分别为来自正态总体N(μ,σ2)的容量为n的两个简单随机样本
X11,X12,⋯,X1n和X21,X22,⋯,X2n的均值，试确定n,使两个子样的均值之差超过σ的概率小于0.05.
解答：
Xi¯∼N(μ,σ2n)(i=1,2),且X1¯和X2¯相互独立，故有
X1¯-X2¯∼N(0,2σ2n),
从而X1¯-X2¯σ/2/n∼N(0,1),
P(∣X1¯-X2¯∣>σ)=P{∣X1¯-X2¯∣σ2/n>n2=2Φ(-n2)
=2[1-Φ(n2)]<0.05,
故Φ(n2)>0.975,查正态分布表n2≥1.96,所以n>7.68,即取n=8.
习题8
设总体X∼f(x)={∣x∣,∣x∣<10,其它，X1,X2,⋯,X50为取自X的一个样本，试求：(1)X¯的数学期望与方差；(2)S2的数学期望；(3)P{∣X¯∣>0.02}.
解答：
μ=E(X)=∫-11x∣x∣dx=0,
σ2=D(X)=E(X2)-[E(X)]2=E(X2)=∫-11x2∣x∣dx=12.
(1)X¯=1n∑i=1nXi(n=50)
⇒E(X¯)=E(1n∑i=1nXi)=1n∑i=1nE(Xi)=0,D(X¯)=σ2n=12n=1100;
(2)E(S2)=[1n-1∑i=1n(Xi-X¯)2]=1n-1E[∑i=1n(Xi-X¯)2]
=1n-1E(∑i=1nXi2-nX¯2)=1n-1(∑i=1nD(X1)-nD(X¯))
=1n-1(n⋅12-n⋅12n)=12;
(3)P{∣X¯∣>0.02}=1-P{∣X¯∣≤0.02}
=1-P{∣X¯-μD(X¯)∣≤0.02-μD(X¯)
=1-P≥{∣X1/10∣≤0.2=2[1-Φ(0.2)]=0.8414.
习题9
从一正态总体中抽取容量为10的样本，设样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上的概率为0.02,求总体的标准差.
解答：
由于X¯∼N(μ,σ2n),故有
0.02=P{∣X¯-μ∣≥4}=P{∣X¯-μσ/n∣≥4σ/n
≈2(1-Φ(4σ/n))≈2(1-Φ(12.65σ)),
Φ(12.65σ)=0.99,
即有12.65σ=u0.01=2.33,解得σ≈5.43.
习题10
设X1,⋯,Xn是取自总体X的样本，X¯,S2分别为样本均值与样本方差，假定
μ=E(X),σ2=D(X)均存在，试求E(X¯),D(X¯),E(S2).
解答：
E(X¯)=1n∑i=1nE(Xi)=1n∑i=1nE(X)=μ,
D(X¯)=1n2∑i=1nD(Xi)=1n2∑i=1nD(X)=σ2n,
E(S2)=E(1n-1(∑i=1nXi2-nX¯2))=1n-1(∑i=1nE(Xi2)-nE(X¯2))
=1n-1(∑i=1nE(X2)-nE(X¯2))
=1n-1(∑i=1n(μ2+σ2)-n(μ2+(σ2n)))=σ2.
注：本题证明了对于任何存在均值μ与方差σ2的总体分布，均有
E(X¯)=μ,E(S2)=σ2.
习题11
设总体X服从正态分布N(μ,σ2)(σ>0),从总体中抽取简单随机样本X1,⋯,X2n(n≥2),其样本均值为X¯=12n∑i=12nXi,求统计量Y=∑i=1n(Xi+Xn+i-2X¯)2的数学期望.
解答：
注意到Xi+Xn+i相互独立，同分布N(2μ,2σ2),则它们可认为是取自同一正态总体
N(2μ,2σ2)的样本，其样本均值为
1n∑i=1n(Xi+Xn+i)=1n∑i=12nXi=2X¯.
如果记Zi=Xi+Xn+i,i=1,⋯,n,即Zi(i=1,⋯,n)是取自N(2μ,2σ2)的样本，且
Yn-1=1n-1∑i=1n(Xi+Xn+i-2X¯)2=S2(Z),
则有E(S2(Z))=1n-1E(Y)=2σ2,所以E(Y)=2(n-1)σ2.
习题12
设有k个正态总体Xi∼N(μi,σ2),从第i个总体中抽取容量为ni的样本Xi1,Xi2,⋯,Xini,且各组样本间相互独立，记
Xi¯=1n∑j=1niXij(i=1,2,⋯,k),n=n1+n2+⋯+nk,
求W=1σ2∑i=1k∑j=1ni(Xij-Xi¯)2的分布.
解答：
因为∑j=1ni(Xij-Xi¯)2σ2=(ni-1)Si2σ2∼χ2(ni-1),且(ni-1)Si2σ2(i=1,2,⋯,k)相互独立，故W=1σ2∑i=1k∑j=1ni(Xij-Xi¯)2=∑i=1k(ni-1)Si2σ2∼χ2(∑i=1k(ni-1)),
而∑i=1k(ni-1)=∑i=1kni-k=n-k,故
W=1σ2∑i=1k∑j=1ni(Xij-Xi¯)2∼χ2(n-k).
习题13
已知X∼t(n),求证X2∼F(1,n).
解答：
设X=U/Yn,其中U∼N(0,1),Y∼χ2(n).且U与Y相互独立，于是，
U2∼χ2(1),
且U2与Y也相互独立，所以
X2=U2/(Yn).
根据F变量的构成模式知，X2应服从F(1,n)分布.
习题14
设X1,X2,⋯,X9是取自正态总体X∼N(μ,σ2)的样本，且
Y1=16(X1+X2+⋯+X6),Y2=13(X7+X8+X9),
S2=12∑i=79(Xi-Y2)2,
求证Z=2(Y1-Y2)S∼t(2).
解答：
易知
Y1=16(X1+X2+⋯+X6)∼N(μ,σ26),
Y2=13(X7+X8+⋯+X9)∼N(μ,σ23),
且Y1与Y2独立，故Y1-Y2∼N(0,σ22),又
2S2σ2=∑i=79(Xi-Y2)2/σ2∼χ2(2),Y1-Y2与2S2σ2
独立，从而
(Y1-Y2)/σ22S2σ2/2=2(Y1-Y2)S=Z∼t(2).
习题15
设X1,⋯,Xn,Xn+1是取自正态总体X∼N(μ,σ2)的样本，
Xn¯=1n∑i=1nXi,Sn=1n-1∑i=1n(Xi-Xn¯)2,
试确定统计量nn+1⋅Xn+1-Xn¯Sn的分布.
解答：
将统计量改写成下列形式：
nn+1⋅Xn+1-Xn¯Sn=(Xn+1-Xn¯)/1+1nσ(n-1)Sn2σ2/(n-1)(*)由于Xn+1与Xi(i=1,⋯,n)相互独立，
Xn¯=1n∑i=1nXi∼N(μ,σ2n),Xn+1∼N(μ,σ2),
所以Xn+1-Xn¯∼N(0,(1+1n)σ2),从而
(Xn+1-Xn¯)/(1+1nσ)∼N(0,1),
注意到Xn¯与Sn2相互独立，Xn+1也与Sn2相互独立，且
(n-1)Sn2σ2∼χ2(n-1),
故由(*)式即得
nn+1⋅Xn+1-Xn¯Sn∼t(n-1).
假设X1,X2,⋯,X9是来自总体X∼N(0,22)的简单随机样本，求系数a,b,c,使
Q=a(X1+X2)2+b(X3+X4+X5)2+c(X6+X7+X8+X9)2
服从χ2分布，并求其自由度.
解答：
由于X1,X2,⋯,X9相互独立且取自总体X∼N(0,22),由正态分布的线性运算性质有X1+X2∼N(0,8),X3+X4+X5∼N(0,12),X6+X7+X8+X9∼N(0,16),
于是，由χ2=χ12+⋯+χk2有
Q=(X1+X2)28+(X3+X4+X5)212+(X6+X7+X8+X9)216∼χ2(3),
故a=1/8,b=1/12,c=1/16,自由度为3.
习题17(1)
17.从总体X∼N(μ,σ2)中抽取容量为16的样本. 在下列情况下分别求X¯与μ之差的绝对值小于2的概率：
(1)已知σ2=25;
解答：
由σ=5,U统计量(X¯-μ)/σn∼N(0,1),
P{∣X¯-μ∣<2}=P{∣X¯-μ∣/σn<2/516
=P{∣U∣<1.6}=2Φ(1.6)-1=0.8904.
习题17(2)
17.从总体X∼N(μ,σ2)中抽取容量为16的样本. 在下列情况下分别求X¯与μ之差的绝对值小于2的概率：
(2)σ2未知，但s2=20.8.
解答：
由T统计量(X¯-μ)/Sn∼t(n-1),
P{∣X¯-μ∣<2}=P{∣X¯-μ∣/Sn<2/20.816
=P{∣T∣<1.76}=1-2×0.05=0.90.
习题18(1)
18.设X1,X2,⋯,X10取自正态总体N(0,0.32),试求
(1)P{∑i=110X i2>1.44;
由∑i=1n(Xi-μ)2σ2∼χ2(n)题中μ=0,因此
P{∑i=110Xi2>1.44=P{∑i=110Xi2(0.3)2>1.44(0.3)2=P{χ2(10)>16}=0.1.
习题19
(1)设总体X具有方差σ12=400,总体Y具有方差σ22=900,两总体的均值相等，分别自这两个总体取容量为400的样本，设两样本独立，分别记样本均值为X¯,Y,¯试利用切比雪夫不等式估计k,使得P{∣X¯-Y¯∣<k}≥0.99.
(2)设在(1)中总体X和Y均为正态变量，求k.
解答：
(1)由题设
E(X¯-Y¯)=E(X¯)-E(Y¯)=0,
D(X¯-Y¯)=D(X¯)+D(Y¯)=400400+900400=134(由两样本的独立性).
由切比雪夫不等式
P{∣X¯-Y¯∣<k}≥1-1k2×134,
按题意应有1-1k2×134=0.99,解得k=18.028.
(2)由题设X,Y均为正态变量，故有
X¯-Y¯∼N(0,134).
因此
P{∣X¯-Y¯∣<k}=P{∣X¯-Y¯∣13/4<k13/4
=P{-k13/4<X¯-Y¯13/4<k13/4
=Φ(k13/4)-Φ(-k13/4)=2Φ(k13/4)-1,
要使2Φ(k13/4)-1≥0.99,即
Φ(k13/4)≥0.995=Φ(2.58),k13/4≥2.58,k≥4.651.
习题20
假设随机变量F服从分布F(5,10),求λ的值使其满足P{F≥λ}=0.95.
解答：
一般书中给出的F分布表，给出P{F≥λ}=α的α值只有α=0.01,α=0.05等几个较小的值，而现α=0.95,不能直接查F表得到λ,但是注意到P{F≥λ}=0.95,并且
P{F≤λ}=P{F-1≤λ-1}=0.05,
而F-1∼F(10,5),因此可查表得
1λ=F0.05(10,5)=4.74,λ≈0.21.
习题21
设X1,X2,⋯,Xn是总体X∼N(μ,σ2)的一个样本，证明：
E[∑i=1n(Xi-X¯)2]2=(n2-1)σ4.
解答：
因为
χ2=∑i=1n(Xi-X¯)2/σ2∼χ2(n-1),E(χ2)=n-1,D(χ2)=2(n-1),所以
E[∑i=1n(Xi-X¯)2]2=σ4E[∑i=1n(Xi-X¯)2/σ2]2
=σ4E[χ2]2=σ4[D(χ2)+[E(χ2)]2]
=σ4[2(n-1)+(n-1)2]=(n2-1)σ4.。